Erarbeitung der durchschnittlichen Änderungsrate (Fach: Mathematik)


Unterrichtsentwurf, 2014

28 Seiten, Note: 1,5


Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1. stundenziel mit Lehrplanbezug

2. Darstellung der zugehörigen längerfristigen Unterrichtszusammenhänge:

3. Begründung der wesentlichen Planungsentscheidungen der vorliegenden stunde
3.1. Besondere Aspekte der Lernausgangslage der vorliegenden stunde
3.2. Begründung der didaktisch-methodischen Entscheidungen

4. Verlaufsplan als Tabelle

5. Antizipierte Lernergebnisse

6. Literatur- und Quellenangaben

7. Material

1. Stundenziel mit Lehrplanbezug

Die Schülerinnen und Schüler1 können die mittlere Änderungsrate bestimmen, im Kontext des 100 m Laufes als Durchschnittsgeschwindigkeit und geometrisch als Sekantensteigung deuten.

Dies zeigt sich daran, dass ...

... die S'uS den Graphen einer linearen Funktion erstellen, die den 100 m Lauf in 9,58 s (9,71 s, 9,84 s) beschreibt,
... die S'uS die Steigung dieser linearen Funktion berechnen und als Geschwindigkeit in dem Zeitintervall [0; 9,58] ([0; 9,71], [0; 9,84]) deuten (Durchschnittsgeschwindigkeit),
... die S'uS den Graphen um die Zwischenzeiten des 100 m Laufes ergänzen und erkennen, dass sich der 100 m Lauf nicht durch eine lineare Funktion beschreiben lässt,
... die S'uS anhand der zu Beginn skizzierten linearen Funktion erkennen, dass diese den genaueren Verlauf in den zwei Punkten (0|0) und (9,58|100) / (9,711100) / (9,84|100) schneidet,
... die S'uS das Verhältnis zwischen der Änderung des Weges zur Änderung der Zeit (Durchschnittsgeschwindigkeit) in den einzelnen Zeitintervallen bestimmen,
... die S'uS erkennen, dass das Verhältnis zwischen der Änderung des Weges zur Änderung der Zeit in einem gegebenen Zeitintervall der Steigung der linearen Funktion durch die zwei betrachteten Messpunkte entspricht (Sekantensteigung) und
... die S'uS die Durchschnittsgeschwindigkeiten nutzen, um die Frage, warum Usain Bolt trotz seiner langsamen Reaktionszeit der schnellste ist, beantworten zu können.

Der Lernzuwachs der heutigen stunde leistet einen Beitrag zur Entwicklung der folgenden obligatorischen Kompetenz/en des Lehrplans:

Nach dem Kernlehrplan für das Gymnasium (NRW 2013) ist die stunde dem inhaltlichen Schwerpunkt der Funktionen und Analysis zuzuordnen, in dem das Grundverständnis des Ableitungsbegriffs als Voraussetzung für die Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen vorgesehen ist.

Folgende Kompetenzen werden in der stunde gefördert:2

Die Schülerinnen und Schüler berechnen durchschnittliche [...] und interpretieren sie im Kontext.

2. Darstellung der zugehörigen längerfristigen Unterrichtszusammenhänge:

Das Thema der Unterrichtssequenz Abhängigkeiten und Änderungen - Die Ableitung ein Schlüsselkonzept der Analysis lässt sich durch die Obligatorik des Kernlehrplans Mathematik für die Sekundarstufe II didaktisch rechtfertigen und ist dem inhaltlichen Schwerpunkt der Funktionen und Analysis zuzuordnen. Als fachmethodische Zugriffsweise wird für die Unterrichtssequenz das genetische Lernen3 gewählt.

Im Rahmen der zentralen Idee des funktionalen Zusammenhangs soll die Unterrichtssequenz die

״[...] funktionalen Vorstellungen aus der Sekundarstufe I mit Begriffen und Verfahren der elementaren Analysis vertiefen und den Funktionsbegriff [...] erweitern [...]"4 (Spiralprinzip)■ Die phänomenologische Betrachtung der Geschwindigkeit thematisiert die Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit und bietet damit eine Perspektive zur Betrachtung des Begriffs der Ableitung über die durchschnittliche und lokale Änderungsrate.5 Der durch diesen Zugang zum Ableitungsbegriff hergestellte Realitätsbezuq ermöglicht den S'uS ״Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen oder angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur, in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen"6 (Grunderfahrunq ไ zur Allgemeinbildung des Mathematikunterrichts und Gegenwarts- und Zukunftsbedeutung7 )■ Weiterhin knüpft dieser Zugang an in die Erfahrungswelt der S'uS an (Schülerorientierung), was die Motivation durch die emotionale Bindung erhöht.8 Um zudem die Steigerung der Motivation zu erzielen, spielt die Verbindung der Authentizität und Sinnstiftunq von Aufgaben eine entscheidende Rolle,9 da bei der Aufgabenauswahl nicht nur der Realitätsbezug von Bedeutung ist, sondern auch die Anforderung eine kompelxe

Situation zu analysieren und für die Lösungsfindung angemessene Verfahren und Konzepte anzuwenden.10 Das Durchdringen des zentralen mathematischen Begriffs der Ableitung aus dem Sachkontext der Geschwindigkeiten und lokalen Änderungsraten fördert die Grunderfahrunq 2 zur Allgemeinbildung des Mathematikunterrichts insofern, als die S'uS ״mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in Sprache, Symbolen, Bildern und Formeln, als geistige Schöpfungen, als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art [kennen lernen und begreifen]"11 \ Weiterhin ermöglicht die zunächst phänomenologische Betrachtung des Ableitungsbegriffs die Förderung der ״[...] Problemlösefähigkeiten, die über die Mathematik hinaus gehen (heuristische Fähigkeiten) [...]"12 (Grunderfahrunq ไ zur Allgemeinbildung des Mathematikunterrichts). Authentisches Problemlosen13 basiert auf dem operativen Prinzip14, bei dem die S'uS Sachzusammenhänge erfassen und erforschen sollen, um im Anschluss Funktionen und funktionale Zusammenhänge zur Beschreibung der entdeckten Zusammenhänge aufstellen und nutzen zu können. Dieser aktive ״[...] Prozess der Lösungsfindung und die Diskussion der Kriterien für die Angemessenheit von Lösungen [ist] ein wichtiger Schritt zum Erwerb von Problemlösekompe-tenzen"15 und leistet einen entscheidenden Beitrag zur Ausgestaltung des Erziehunqsauftraqs im Mathematikunterricht■16 Die in der Unternchtsseqeuenz geförderte Problemlösekompetenz als ein zentrales Ziel von Unterricht, beschreibt ״[...] die Fähigkeit [...], die Rolle [der] Mathematik in Alltagssituationen zu erkennen, fundierte mathematische Urteile abzugeben und Mathematik so zu verwenden, dass eine konstruktive gesellschaftliche Teilhabe unterstützt wird" (funktionale mathematische Bildung und gesellschaftliche Teilhabe)■17 Darüber hinaus erfordert eine Erweiterung der Problemlösekompetenz das aktive Engagement der S'uS, sich an dem Analyse- und Löseprozess komplexer Probleme zu beteiligen. Da ״[...] neues Wissen [nur aufgebaut werden kann], das gleichzeitig sinnvoll in bereits existierende Wissensstrukturen verankert ist"18, muss der das individuelle Erfahrungsstand der S'uS im Fokus des Unterrichts Stehen, um das Prinzip aktiven Lernens zu unterstützen. Die S'uS sollen dabei im Verlauf der Unterrichtssequenz erkennen, dass sich Größen in Sachzusammenhängen durch Variablen (z.B. die Geschwindigkeit als Änderung des Weges mit der Zeit) beschreiben lassen und die Problemlösung durch den Begriff der durchschnittlichen und lokalen Änderungsrate erfolgt. Die Unterrichtssequenz integriert Elemente des selbstständigen und kooperativen Lernens. Gruppenlernprozesse bedeuten kollaboratives Lernen, bei dem ״[...] der gemeinsame Lernprozess, die Kommunikation der Gruppenmitglieder untereinander und die Erarbeitung einer gemeinsamen Wissensbasis im Vordergrund [ste-hen]".19 Die im Gruppenlernprozess notwendige Kommunikation ist in verbaler und auch non-verbaler Form als Prozess der Informationsaufnahme und -Vermittlung unter der Verwendung der Fachsprache ein notwendiger Prozess, damit Lernen stattfinden kann. Innerhalb solcher Kommunikationsprozesse setzt sich das Individuum mit dem in Verbindung, was bereits gelernt wurde und verknüpft dies mit den aktuellen Erfahrungen.20 Die dargestellte Unterrichtsequenz schließt als Teil des inhaltlichen Schwerpunktes der Funktionen und Analysis an die zuvor erfolgte Wiederholung des Funktionsbegriffs aus der Sekundarstufe I und die Erweiterung auf ganzrationale Funktionen an. Dort haben die S'uS charakteristische Eigenschaften ganzrationaler Funktionen, wie Symmetrie, Nullstellen und Grenzwertverhalten kennengelernt. Die Ableitung wird begrifflich zunächst über die lokale Änderungsrate durch die Betrachtung mittlerer Änderungsraten in immer kleiner werdenden Zeitintervallen eingeführt. Der propädeutisch eingeführte Grenzwertbegriff wird dabei zur Bestimmung der lokalen Änderungsrate als Grenzwert des Differenzenquotienten im Rahmen des Problemlösens in Sachzusammenhängen verknüpft. Die Kompetenz des Problemlösens ist dabei unmittelbar mit dem Realitätsbezug der S'uS verbunden. Die S'uS sollen dabei die Erkenntnis gewinnen, dass die in der Sekundarstufe I berechneten Steigungen linearen Funktionen im Sachzusammenhang ganzrationaler Funktionen als durchschnittliche Änderungsrate die Sekantensteigung darstellt. Die S'uS sollen die Erkenntnis erlangen, dass die Betrachtung von Grenzwerten auch außermathematisch eine entscheidende Rolle in der Gesellschaft

spielen. Nur durch diese Erkenntnis und den Bezug der fachlichen Inhalte mit dem Alltag kann eine aktive Beteiligung im Lösungsprozess gewährleistet werden. Die S'uS sollen in der Unterrichtssequenz sukzessive an das Problemlosen herangeführt werden. Dabei ist es entscheidend, ״[...] ein ausbalanciertes Verhältnis zwischen offener Problemsituation und Strukturierung zu schaffen".21 Das Schaffen strukturierender Impulse oder Materialien in komplexen Lernsituationen soll vermeiden, dass sich schwächere S'uS überfordert fühlen und ein unstrukturiertes, unkontrolliertes Ausprobieren angeregt wird.22 Eine zur Förderung der Problemlösekompetenz entscheidende vorangestellte Kompetenz ist die des Leseverständnisses, das sich sowohl auf das Leseverstehen von Texten als auch auf das Leseverstehen von Graphen bezieht. Der Kompetenzaufbau innerhalb der Unterrichtssequenz erfolgt schrittweise: In der ersten stunde sollen die S'uS am Beispiel verschiedener Schlagzeilen und deren graphische Darstellungen ein Verständnis über den Begriff der Änderung erhalten. Erst dann erfolgt die mathematische Betrachtung der Änderung über die durchschnittliche Änderungsrate als Differenzenquotient im Rahmen der Betrachtung der Durchschnittsgeschwindigkeit. Die zu zeigende stunde stellt insofern eine Gelenkstelle dar, als das Wissen zur Berechnung der Steigung linearer Funktionen auf ganzrationale Funktionen übertragen wird. Die S'uS sollen zu der Erkenntnis gelangen, dass die durchschnittliche Änderungsrate ganzrationaler Funktionen die Sekantensteigung darstellt. Die Betrachtung der durchschnittlichen Änderungsrate im Kontext der Geschwindigkeiten bei einem 100 m Lauf soll zum einen an die Erfahrungswelt der S'uS anknüpfen und zum anderen die geometrische Bedeutung der durchschnittlichen Änderungsrate verdeutlichen. Die S'uS können hier unmittelbar an ihr Vorwissen über die Berechnung der Steigung anknüpfen und ihr Verständnis erweitern. Im Anschluss an die Betrachtung der durchschnittlichen Änderungsrate, soll die lokale Änderungsrate als Grenzwert des Differenzenquotienten untersucht werden. Dabei steht die Frage nach der Momentangeschwindigkeit im Vordergrund. Die Annäherung an die lokale Änderungsrate über den

Differenzenquotienten erfolgt im Sachkontext der Radarfalle und der Betrachtung der Frage nach der Geschwindigkeit an dem Punkt der Radarfalle. Die Frage nach der Bestimmung der Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt ergibt sich aus dem Alltagsverständnis, dass Geschwindigkeiten nur in Zeitintervallen messbar sind23.

Ebenfalls stellt sich diese Frage aus der vorherigen stunde heraus, da die S'uS in dieser die Geschwindigkeit als Änderung des Weges mit der Zeit kennenlernen und die Geschwindigkeit nur in einem Zeitintervall als Durchschnittsgeschwindigkeit berechnen. Durch die Anschaulichkeit und den Alltagsbezug wird den S'uS der Begriff der lokalen Änderungsrate verdeutlicht, so dass im Anschluss daran die lokale Änderungsrate durch die Ableitung als Steigung der Tangente in einem Punkt analytisch symbolisiert werden kann. Die S'uS können durch die Notwendigkeit der Differenzenquotienten auf Wissenselemente der Sekundarstufe I und der vorherigen stunde zurückgreifen, um eine Lösungsstrategie zu entwickeln. Die Kommunikation über die individuellen Lösungsansätze besitzt auch an dieser stelle einen hohen Stellenwert. Durch die Kommunikation über ihre Lösungsansätze werden die S'uS in die Lage des Lehrenden versetzt, da sie den anderen Gruppemitgliedern ihren Lösungsansatz erklären müssen (Prinzip des Lernens durch Lehren24 ) und zugleich die eigene Lösung und die der anderen Gruppenmitglieder kritisch hinterfragen, diskutieren und reflektieren. Die geometrische Deutung der lokalen Änderungsrate als Grenzgerade einer Folge von Sekanten wird den S'uS mit Hilfe von Geogebra verdeutlicht. Dabei sollen sie erkennen, dass die Grenzwertbildung der durchschnittlichen Änderungsrate als Sekantensteigung zu der Tangente führt und somit die lokale Änderungsrate der Tangentensteigung in dem Punkt entspricht. An dieser stelle der Unterrichtssequenz haben die S'uS das notwendige Verständnis über die Bedeutung der Ableitung erlangt. Die Bedeutung der Ableitungsfunktion wird für die S'uS im Anschluss thematisiert. Dabei sollen die S'uS erkennen, dass es mit einem hohen Aufwand verbunden ist, für jeden Punkt die Ableitung zu berechnen. Die Bildung der Ableitungsfunktion vereinfacht die Bestimmung der Tangentensteigung / lokalen Änderungsrate in einem Punkt. Aufbauend darauf, können die S'uS erkennen, wie die Funktion und die Ableitungsfunktion Zusammenhängen und Regeln zur Ableitung formulieren.

Unterrichtssequenz 1 : Abhängigkeiten und Änderungen - Die Ableitung ein

Abbildung in dieser leseprobe nicht enthalten

3. Begründung der wesentlichen Planungsentscheidungen der vorliegenden Stunde

3.1.Besondere Aspekte der Lernausgangslage der vorliegenden Stunde Bei der vorliegenden Lerngruppe handelt es sich um einen hinsichtlich der Lern- und

Leistungsbereitschaft mittelstarken Kurs. Neben wenigen leistungsstarken und lernwilligen S'uS, müssen ein Großteil der S'uS immer wieder zur Mitarbeit aufgefordert und aktiviert werden. Daraus ergibt sich die Entscheidung für die Methode des Gruppenpuzzles. Das Gruppenpuzzle eröffnet die Möglichkeit, alle S'uS zur Mitarbeit zu aktivieren, da alle S'uS in die Rolle des Lehrenden versetzt werden.

3.2. Begründung der didaktisch-methodischen Entscheidungen

Im Zentrum der heutigen stunde steht die problemorientierte Erarbeitung der mittleren Änderungsrate als Sekantensteigung im Kontext der Durchschnittsgeschwindigkeiten eines 100 m Laufes. Legitimiert wird die stunde durch den Kernlehrplan25, wie bereits in Kapitel 1 dargestellt wurde. Neben den hier schwerpunktmäßig vermittelten fachlichen Inhalten fördert die stunde auch prozessbezogene Kompetenzen, wie das Modellieren26,

[...]


1 Im Folgenden S'uS

2 Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Hg.): Kernlehrplan für die Sekundarstufe II - Gymnasium/Gesamtschule in Nordrhein-Westfalen. Mathematik, 12013, s. 23.

3 Wagenschein, M.: Verstehen lehren. Gentisch, sokratisch, exemplarisch. Weinheim und Basel, 91992, s. 75ff.

4 Beschluss der Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife, 2012, s. 25.

5 Danckwerts, R.; Vogel, D.: Analysis verständlich unterrichten. Berlin und Heidelberg, 12006, s. 50.

6 Danckwerts, R.; Vogel, D.: Analysis verständlich unterrichten. Berlin und Heidelberg, 12006, s. 6.

7 Leuders, T.: Mathematische Aligemeinbildung - Mathematikunterricht aus der Perspektive der Gesellschaft. In: Leuders, T.: Mathematik Didaktik Praxishandbuch für die Sekundarstufe I und II. Berlin, 62011, s. 52 (gesellschaftliche Teilhabe als nachhaltiges Lernen von mathematischen Kompetenzen zur Anwendung dieser in lebensweltlichen Kontexten und Sachsituationen).

8 Helmke, A.: Unterrichtsqualität und Lehrerprofessionalität. Diagnose, Evaluation und Verbesserung des Unterrichts, Seelze-Velbert, 42012, s. 223f.

9 Leuders, T.; Hu?mann, s; Barzel, B; Prediger, s.: ״Das macht Sinn!" Sinnstiftung mit Kontexten und Kernideen. In PM- Praxis der Mathematik in der Schule. Sekundarstufen I und II (37), 2011, s. 3f

10 Hardy, I.: Die Förderung von Problemlösekompetenzen im Unterricht: Ergebnisse der Lernforschung und Umsetzung im Schulunterricht. In: Das Lehrer Handbuch: Der pädagogische Ratgeber für Lehrerinnen und Lehrer. Berlin, 2007, s.

11

" Danckwerts, R.; Vogel, D.: Analysis verständlich unterrichten. Berlin und Heidelberg, ]2006, s. 6.

12 Danckwerts, R.; Vogel, D.: Analysis verständlich unterrichten. Berlin und Heidelberg, 12006, s. 6.

13 Leuders, T.; Hu?mann, s; Barzel, B; Prediger, s.: ״Das macht Sinn!" Sinnstiftung mit Kontexten und Kernideen. In PM- Praxis der Mathematik in der Schule. Sekundarstufen I und II (37), 2011.

14 Kohls K. D.: Kompetenzzunnahme durch Aufgabenvariationen im Mathematikunterricht einer Gesamtschulklasse mit Fallbeispielen von Schülerinnen und Schülern aus den Jahrgangsstufen 9/10, 2007, Universität Duisburg-Essen, s. 17 -18 (Dissertation).

15 Hardy, I.: Die Förderung von Problemlösekompetenzen im Unterricht, s. 3.

16 Kernlehrplan Sekundarstufe II Mathematik, 12013, s. 14ff.

17 Leuders, T.: Mathematische Allgemeinbildung - Mathematikunterricht aus der Perspektive der Gesellschaft. In: Leuders, T.: Mathematik Didaktik Praxishandbuch für die Sekundarstufe I und II. Berlin, 62011, s. 51 ff.

18 Hardy, I.: Die Förderung von Problemlösekompetenzen im Unterricht, s. 4.

19 agileiearn.wikispaces.com/Kollaboratives+Lernen (letzter Zugriff: 24.11.2014)

20 Haustein, K.: Über den Zusammenhang von Kommunikation und Lernen im schulischen Kontext. Ein Modell Kommunikations­orientierter Schulsozialarbeit auf der Grundlage der Gewaltfreien Kommunikation von Mashall B. Rosenberg. 2012, Fachhoch­schule Erfurt, s.33-40 (Diplomarbeit).

21 Hardy, I.: Die Förderung von Problemlösekompetenzen im Unterricht, s. 5.

22 Hardy, I.: Die Förderung von Problemlösekompetenzen im Unterricht, s. 6.

23 Danckwerts, R.; Vogel, D.: Analysis verständlich unterrichten. Berlin und Heidelberg, 12006, s. 55.

24 Brüning, L, Saum, T.: Erfolgreich unterrichten durch Kooperatives Lernen. Strategien zur Schüleraktivierung, Essen, s. 11-28 und s. 132-152.

25 Kernlehrplan Sekundarstufe II Mathematik, 12013, s. 23.

26 Mathematisieren: ״Die Schülerinnen und Schüler erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells.", Kernlehrplan Sekundarstufe II Mathematik, 12013, s. 18.

Ende der Leseprobe aus 28 Seiten

Details

Titel
Erarbeitung der durchschnittlichen Änderungsrate (Fach: Mathematik)
Note
1,5
Autor
Jahr
2014
Seiten
28
Katalognummer
V441290
ISBN (eBook)
9783668817586
Sprache
Deutsch
Schlagworte
erarbeitung, änderungsrate, fach, mathematik
Arbeit zitieren
Jenni Stek (Autor), 2014, Erarbeitung der durchschnittlichen Änderungsrate (Fach: Mathematik), München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/441290

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