Der Umgang mit der Null im Mathematikunterricht einer vierten Klasse

Rechnen, Reflektieren über Vorstellungen und mögliche Konsequenzen


Hausarbeit, 2018
23 Seiten, Note: 1,3
Anonym

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Die Null
2.1. Die Entstehung der Null
2.2. Die Bedeutung der Null
2.3. Die Null in der Mathematik der Grundschule
2.3.1. Bezug zum Lehrplan
2.3.2. Rechnen mit der Null

3. Forschungsteil – Vorstellungen der Kinder über die Null
3.1. Erstellung des Arbeitsblattes
3.2. Planung der Gruppenphase und der Plenumsdiskussion
3.3. Auswertung des Arbeitsblattes
3.4. Auswertung der Gruppenphase.

4. Fazit

5. Literaturverzeichnis

6. Anhang

1. Einleitung

Die Null in der Welt der Mathematik - schon seit der Grundschule an beschäftigt sie die Menschen immer wieder. „Fragen Sie doch mal einen Freund oder eine Kollegin, warum man nicht durch null dividieren darf! Ganze Partygesellschaften haben sich schon von der Diskussion um diese Frage in ihren Bann ziehen lassen und darüber das Feiern vergessen.“ (Selter; Spiegel, 1997, S. 139). Christoph Selter und Hartmut Spiegel bringen es in ihrem Buch ‚Wie Kinder rechnen‘ auf den Punkt. Selbst Erwachsene können zwar die Rechenregeln, jedoch wissen die meisten nicht so recht woher sie kommen und warum sie gelten. Die Null bleibt also ein kleines Mysterium. Wie soll es da erst Kindern in der Grundschule gehen?

In dieser Arbeit, über ein Studienprojekt während des Praxissemesters im Fach Mathematik, wird der Frage nachgegangen, was für eine Vorstellung die Kinder einer vierten Klasse einer Grundschule im Kreis Minden-Lübbecke über die Null haben. Dieses Studienprojekt ist im Themenfeld ‚Lernschwierigkeiten‘ Variante ‚Eigener Unterricht‘ und ‚Diagnose & Förderung‘ anzuordnen. In dieser Arbeit wird zunächst der theoretische Hintergrund näher beleuchtet. Es wird ein Überblick über die Entstehung und den Gebrauch der Null im Alltag gegeben und die mathematische Bedeutung und das Rechnen mit der Null dargestellt. Außerdem beinhaltet diese Arbeit eine Betrachtung des Umgangs von Kindern mit der Null und Konsequenzen für den Unterricht. Im Anschluss an den theoretischen Literaturteil folgt der praktische Forschungsteil der Hausarbeit, um herauszufinden welche Vorstellungen die Kinder einer vierten Klasse mit der Null verbinden und wie sie mit ihr rechnen. Hierzu wird ein Arbeitsblatt mit Aufgaben mit der Null und ohne die Null erstellt. Die Kinder sollen dieses Arbeitsblatt im ersten Schritt eigenständig bearbeiten und Lösungen zu den Aufgaben finden. Im Anschluss sollen sie die Aufgaben nach der Schwierigkeit bewerten und danach in Kleingruppen über ihre Ergebnisse sprechen und Erklärungen für die Lösungen und den Schwierigkeitsgrad der Aufgaben finden. In einer abschließenden Plenumsdiskussion sollen sie sich über die Null und ihre Bedeutung austauschen. Die Ergebnisse dieses Ablaufs werden in dieser Hausarbeit zunächst durch die Analyse der Arbeitsblätter festgehalten. Im weiteren Verlauf werden die Ergebnisse der Plenumsdiskussion wiedergegeben. Diese wurden zuvor durch kurze Notizen und Stichpunkte festgehalten.

Der letzte Punkt dieser Hausarbeit ist die Sicherung der Ergebnisse. Hieraus werden Konsequenzen für den Umgang mit der Null im Mathematikunterricht der Grundschule gezogen und anschließend ein Fazit und ein Ausblick formuliert.

Die Null ist eine besondere Zahl in der Mathematik: „Ob geschichtlich betrachtet, im alltäglichen Sprachgebrauch oder beim Rechnen: Sie unterscheidet sich von den anderen Zahlen und stellt deshalb Kinder im Mathematikunterricht immer wieder vor Herausforderungen.“ (KIRA online, 06.2018). Da die Zahl so besonders ist, möchte ich durch die Durchführung des Studienprojektes erfahren, welche Vorstellungen Kinder einer vierten Klasse in der Grundschule mit der Zahl verknüpfen und wie sie mit ihr rechnen. Ich erhoffe mir einen tieferen Einblick in das Verständnis der Schüler über die Null, da ich denke, dass dieses Thema oft zu kurz kommt und in den Schulen nicht ausreichend Beachtung findet.

2. Die Null

2.1. Die Entstehung der Null

Die Null lässt sich nicht auf einen Erfinder oder Entdecker zurückführen, sondern hat verschiedene Entstehungsorte und Zeitpunkte. Eine Variante geht zurück auf das Entstehen des Stellenwertsystems (2000 v. Chr.):

„Anfangs wurden nicht besetzte Stellen zunächst einfach leer gelassen. So wurde um die Zeit 2000 v. Chr. beispielsweise die 308 noch wie folgt geschrieben: 3 8. Für die Betrachter stellte sich dadurch aber immer die Frage, ob die Lücke zwischen den Zahlen beabsichtigt oder ob der Abstand zwischen zwei Ziffern nur etwas groß geraten ist (vgl. Volkert 1996, S. 100).“ (KIRA online, 06.2018).

Dieses Problem wurde durch die Einführung der Null aus der Welt geschaffen, die Null sollte die Leerstellen deutlich machen und hatte somit eine Platzhalter-Funktion. Erst später kam ihr eine neue Funktion zu, nämlich die der Menge mit null Elementen, der Zahl 0. Wann genau sich jedoch dieser Wechsel vollzog, ist nicht klar (vgl. ebd., 06.2018). Klaus Volkert (1996, S. 100) hält fest, dass der erste zweifelsfreie Fund der Null als Ziffer aus Indien aus dem Jahre 870 n. Chr. kommt. Die Null als Zahl konnte sich in Europa erst sehr spät durchsetzen. Erste Belege finden sich erst bei den Rechnungen von Leonard von Pisa (1170-1240) (vgl. Volkert, 1996, S. 100-102).

Dieser kurze geschichtliche Hintergrund zu der Null zeigt bereits, dass sie im Gegensatz zu den anderen Ziffern und Zahlen eine Sonderstellung hat und eine besondere Rolle beim Rechnen spielen könnte.

2.2. Die Bedeutung der Null

Auch bei der Bedeutung der Null wird diese besondere Rolle erneut deutlich. Bei der Betrachtung der Null sollte man zwischen der Null als Ziffer und der Null als Zahl unterscheiden. Die Null als Ziffer hat ihre Bedeutung vor allem bei der Zahldarstellung. Mit der Entdeckung der Null als Zahl ist es möglich geworden, mit nur 10 Symbolen unendlich viele Zahlen eindeutig darzustellen. In diesem Teil der Hausarbeit wird die Zahl Null aus Sicht der verschiedenen Zahlaspekte betrachtet. Diese Darstellung ist vor allem im Hinblick auf das Rechnen mit der Null wichtig, da deutlich wird, dass sie im Alltag nicht die Beachtung findet, die ihr beim Rechnen zukommen sollte. Es entsteht also eine Diskrepanz, welcher man als LehrerIn entgegenwirken muss. Die folgenden Erklärungen beruhen auf einem Artikel von der Internetseite KIRA – Deutsches Zentrum für Lehrerbildung Mathematik (KIRA online, 06.2018).

Der erste Zahlaspekt ist der Kardinalzahlaspekt. Diesen nennt man auch Anzahlaspekt, da oft eine Menge von Elementen in den Blick genommen wird. Die Null ist hierbei kein Produkt einer Zählhandlung, sondern markiert lediglich, dass keine Elemente vorhanden sind. Eine Eigenschaft die die Null deutlich von den anderen natürlichen Zahlen abgrenzt. Im alltäglichen Sprachgebrauch wird die Null oft durch Synonyme ersetzt, zum Beispiel wird gesagt ‚es sind keine Äpfel mehr übrig‘, anstatt ‚es sind null Äpfel übrig!‘. Volkert (1996, S. 99) hält fest, dass der kardinale Gebrauch der Null im Alltag höchst selten und zudem auf Grund der vielen Umschreibungsmöglichkeiten entbehrlich ist.

Der zweite Zahlaspekt ist der Ordinalzahlaspekt. Dieser Aspekt, der sich um die Ordnungszahlen dreht, ist weniger natürlich als der Kardinalaspekt, jedoch haben sich Begriffe wie ‚die nullte Stunde‘ oder ‚die nullte Stufe‘ verfestigt. Laut Hefendehl- Hebeker (1981, S. 241) beginnt natürliches Abzählen bei eins, mit dem Begriff ‚nullte …‘ möchte man demnach etwas darstellen, was davor geschehen ist. Es bezeichnet also etwas, das stattfindet bevor der eigentliche Prozess losgeht. In der ordinalen Darstellung der Null schwingt somit automatisch eine qualitative Wertung mit.

Für Lernanfänger könnte diese Darstellung sehr verwirrend sein (vgl. Hefendehl- Hebeker, 1981, S.241). Der Operatoraspekt beschäftigt sich mit der Frage ‚Wie oft?‘. Mit diesem Aspekt verhält es sich ähnlich wie bei dem Kardinalzahlaspekt. Der mathematisch korrekte Ausdruck wäre ‚nullmal‘, jedoch wird im Alltag vorzugsweise der Begriff ‚keinmal‘ oder ‚gar nicht‘ genutzt. (vgl. ebd., S. 241)

Auch bei dem Maßzahlaspekt finden sich Synonyme. Hierbei geht es um die Darstellung von Größeneinheiten, wie zum Beispiel bei der Währung und dem Geld oder bei dem Messen von Längen. Im Alltag nehmen die Menschen Größen als einen positiven Wert da und verbinden Größeneinheiten wie Meter oder Millimeter selten mit der Null. Bei dem Umgang mit Geld ist es jedoch schon wahrscheinlicher, da ein Konto auch den Betrag 0,00€ aufweisen kann. Jedoch werden statt ‚null Euro‘ oft auch ‚gratis‘ oder ‚kostenlos‘ als Synonyme genannt. (vgl. ebd., S. 241/242)

Die Verwendung der Null in Hausnummern, Telefonnummern oder in Tabellen ist unter dem Codierungsaspekt zu fassen. Dieser Aspekt zeigt die Null als ebenbürtig gegenüber anderen Zahlen. Auch sind hier keine Synonyme möglich, da sonst der Sinn in Frage gestellt werden würde. Auf Skalen lässt sich die Null ebenfalls finden und hat hier auch eine wichtige Aufgabe: sie trennt den positiven Bereich von dem negativen Bereich und stellt somit einen Bruch dar. (vgl. ebd., S. 242)

Der letzte Aspekt scheint für die Kinder in der Grundschule der wichtigste Aspekt zu sein, da es sich um die konkrete handelnde Auseinandersetzung mit Zahlen geht. Der Rechenzahlaspekt betrachtet die Null nochmal aus einer etwas anderen Perspektive. Die Null scheint hier als Ausnahmezahl aufzutreten: „Neutral bezüglich der Addition, ist sie bezüglich der Multiplikation so dominierend, daß sie als einzige Zahl nicht durch die Gegenoperation Division neutralisiert werden kann.“ (Hefendehl-Hebeker, 1981, S. 240). Diese Extreme können die Schülerinnen und Schüler sehr verwirren. Zudem verleitet der Nichts-Charakter der Null dazu, Rechenoperationen mit der Null immer als neutral anzusehen. (vgl. ebd., S. 240)

Die Null hat also viele Funktionen und Bedeutungen. Man kann die Null als ‚Nichts‘ gegenüber der Null als ‚Etwas‘ betrachten, außerdem kann die Null als ‚Anfang‘ oder auch als ‚Ende‘ beziehungsweise ‚Grenze‘ gesehen werden und die Null kann vor allem als ‚Zahl‘ behandelt werden (Wagner, 1994, S. 161/162). Weitere Informationen zu der Null als Rechenzahl werden im Kapitel 2.3. dieser Arbeit dargestellt.

2.3. Die Null in der Mathematik der Grundschule

2.3.1. Bezug zum Lehrplan

Eine direkte Erwähnung der Null als gesonderter Lehr- und Lernaspekt findet sich im Lehrplan und in den KMK Standards nicht, jedoch gibt es Punkte denen der Umgang mit der Null zugeordnet werden kann. Im Lehrplan ist im Bereich Zahlen und Operationen, Schwerpunkt Zahlvorstellungen, der Unterpunkt „Die SuS orientieren sich im Zahlenraum bis 100 durch Zählen (in Schritten) sowie durch Ordnen und Vergleichen von Zahlen.“ zu finden (Lehrplan NRW, S. 61). Zu dieser Orientierung im Zahlenraum bis 100 gehört auch die Behandlung der Zahl Null.

Auffällig ist, dass die Zahl Null keine gesonderte Darstellung im Lehrplan und den KMK Standards hat, obwohl sie, wie im vorangegangenen Teil dieser Hausarbeit bereits dargestellt, den Kindern beim Rechnen einige Probleme bereitet. An dieser Stelle sind also die Lehrerinnen und Lehrer gefragt, sich mit der Thematik auseinanderzusetzen und das Thema ‚Null‘ in ausreichender Weise aufzuarbeiten.

Außerdem findet man in den KMK Standards wichtige Aussagen, die auch auf den Umgang mit der Null zutreffen:

„Auf diese Weise wird die Grundlage für das Mathematiklernen in den weiterführenden Schulen und für die lebenslange Auseinandersetzung mit mathematischen Anforderungen des täglichen Lebens geschaffen. Dies gelingt um so nachhaltiger, je besser schon in der Grundschule die für die Mathematik insgesamt zentralen Leitideen entwickelt werden.“ (KMK Standards, S. 6)

Wie wichtig es ist bei diesen Grundlagen auch den Umgang mit der Null zu thematisieren betont Hefendehl-Hebeker (1981, S. 240) in ihrem Aufsatz ‚Zur Behandlung der Zahl Null im Unterricht, Insbesondere in der Primarstufe.‘. Sie hält fest, dass ein mangelndes Begriffsverständnis im Umgang mit der Null zu erheblichen Problemen in der Sekundarstufe führen kann.

Deshalb sei es wichtig, bereits in der Primarstufe ein komplexes und sicheres Verständnis über die Null zu erarbeiten. Um das Interesse der Schülerinnen und Schüler für die Null zu wecken, sollte man ihre Aufmerksamkeit auf die Null als Zahl lenken. Ein Weg dieses Interesse zu wecken besteht darin, den Kindern deutlich zu machen, dass es für die Ausdrücke ‚keine‘ oder ‚nichts‘ ein Synonym in der Sprache der Mathematik gibt – nämlich die Null.

Nachdem dieses Grundbild aufgebaut ist, kann man sich an die verschiedenen Rechenoperationen mit der Null wagen und versuchen den Kindern auch hier den ‚Nichts-Charakter‘ der Null etwas zu nehmen. (vgl. ebd., S. 247). In dem nächsten Kapitel dieser Arbeit wird das Rechnen mit der Null in der Grundschule näher beleuchtet.

2.3.2. Rechnen mit der Null

Die Null als Rechenzahl hat eine starke Ambiguität:

„Die Null erhält allenfalls als Differenz gleicher Zahlen eine in das bisherige Operationsverständnis passende Bedeutung. In allen anderen Fällen müssen Schülerinnen und Schüler nicht nur ihr Verständnis der Rechenoperationen ändern, sondern ebenfalls Differenzierungen vornehmen, welche Rolle die Null jeweils spielt: neutral bei Addition und Subtraktion, absorbierend bei der Multiplikation und fast undurchschaubar bei der Division.“ (vgl. Ruwisch, 2008, S. 677)

In diesem Zitat von Ruwisch wird die starke Wandlung der Null bezogen auf die verschiedenen Rechenoperationen deutlich. Je nach Rechenzeichen müssen die Schülerinnen und Schüler anders handeln und die Wirkung der Null jeweils richtig einordnen. Der Fehler, dass bei der Addition oder Subtraktion mit der Null wieder null als Ergebnis herauskommt, kann laut Hefendehl-Hebeker (1981, S. 243) daran liegen, dass der Gedanke ‚Bei Operationen mit der Null operiere ich gar nicht.‘ falsch übergeneralisiert wird und somit das Sprichwort ‚Von nichts kommt nichts.‘ angewandt wird. Die größeren Probleme treten jedoch meist bei der Multiplikation und Division auf, daher sollten diese Bereiche in der Schule auch immer getrennt behandelt werden (vgl. Hefendehl-Hebeker, 1981, S. 243). Bei der Multiplikation wird auch bei der Einführung der Null auf die verkürzte Addition als Bindeglied zur Multiplikation gesetzt. Angenommen man nähme die Aufgabe ‚4x0‘ und würde diese darstellen als ‚0+0+0+0‘, so würden die Kinder sehen, dass man sich nicht von der Null wegbewegt. Wichtig ist, dass man hier ganz klar den ‚Nichts-Charakter‘ der Zahl Null außen vorlässt, da dieser zu falschen Schlussfolgerungen führt: „5 mit Null malnehmen, d.h. 5 mit nichts malnehmen, d.h. 5 nicht malnehmen, d.h. 5 behalten, also 5 bleibt stehen, 5 ist das Ergebnis.“ (vgl. Hefendehl-Hebeker, 1981, S. 244)

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Ende der Leseprobe aus 23 Seiten

Details

Titel
Der Umgang mit der Null im Mathematikunterricht einer vierten Klasse
Untertitel
Rechnen, Reflektieren über Vorstellungen und mögliche Konsequenzen
Hochschule
Universität Bielefeld
Note
1,3
Jahr
2018
Seiten
23
Katalognummer
V495772
ISBN (eBook)
9783668998469
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Die Null, Mathematik, Grundschule, Der Umgang mit der Null, Vierte Klasse
Arbeit zitieren
Anonym, 2018, Der Umgang mit der Null im Mathematikunterricht einer vierten Klasse, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/495772

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