Einer Formel auf der Spur. Schüler leiten sich die Zahl Pi und die Formel zur Umfangsberechnung des Kreises selbst her

Inhalt

1. Reflexionen zur Lerngruppe
1.1. Allgemeines
1.2. Zusammensetzung der Klasse
1.3. Der Leistungsstand der Klasse im Hinblick auf den Inhalt

2. Nennung der zu fördernden und zu erreichenden Kompetenzen
2.1. Einordnung des Themas im Bildungsplan
2.2. Ziele, die zur Erreichung dieser Kompetenzen dienen

3. Überlegungen zum Inhalt und zur Sache
3.1. Didaktische Begründung der Themenauswahl
3.2. Einbettung der Stunde in den übergeordneten unterrichtlichen Kontext
3.3. Didaktische Hinweise und Prinzipien

4. Methodische Überlegungen
4.1. Einstieg
4.2. Hinführung
4.3. Erarbeitungsphase
4.4. Sicherungsphase

5. Unterrichtsverlauf

6. Anhang

1. Reflexionen zur Lerngruppe

1.1. Allgemeines

Die XX-Schule ist eine Grund- und Werkrealschule und setzt sich aus den zwei Standorten, der Tal- und der Bergschule zusammen. In der Talschule befinden sich Grund- und Werkrealschulklassen, während es in der Bergschule nur Grundschulklassen gibt. Die Werkrealschule ist einzügig. Seit diesem Schuljahr gibt es keine 5. Klasse mehr. Alle Schüler gehen nun auf die Gemeinschaftsschule, die nebenan in der Realschule entstanden ist. An der Berg- und Talschule werden ca. 550 Schüler¹ aufgeteilt auf 22 Klassen von 39 Lehrerinnen und Lehrern und zwei pädagogischen Assistentinnen betreut und unterrichtet. Zwei Besonderheiten der Schule möchte ich an dieser Stelle noch nennen:

- zum Einen werden an der Hauptschule in unterschiedlichen Fächern bilinguale Module durchgeführt.
- zum Anderen handelt es sich bei der XX-Schule um eine offene Bürgerschule.

Das Klassenzimmer der Klasse 8 befindet sich im Erdgeschoss des Hauptgebäudes der XX-Schule.

Das Klassenzimmer musste leider zu Beginn des Schuljahres aufgrund von Disziplinproblemen umgebaut werden. Nun sitzen die Schüler nicht mehr in einer Lernlandschaft sondern an Einzeltischen, die alle frontal zur Tafel gestellt sind. Es stehen drei Tische nebeneinander und jeweils zwei Tische dahinter. Es hat trotzdem im Klassenzimmer genügend Platz um vor der Tafel einen Stuhlhalbkreis zu bilden.

Das Pult steht im Klassenzimmer vorn, rechts neben der Tafel. Die Tafel ist magnetisch und hinter ihr befindet sich eine weiße Wand, die als Projektionsfläche genutzt werden kann, so dass auch der Einsatz eines Overheadprojektors oder Beamers ohne Probleme möglich ist.

1.2. Zusammensetzung der Klasse

Die Klasse 8 ist eine sehr lebendige Klasse mit unterschiedlichen Charakteren und setzt sich aus 13 Schülern zusammen: 7 Jungen und 6 Mädchen (13-16 Jahre). Die Klasse beschreibt sich selbst als eine gut funktionierende Gruppe. Meiner Beobachtung nach, ist es jedoch so, dass es sowohl Jungen als auch Mädchen gibt, die ab und an in eine Außenseiterposition gedrängt werden. Außerdem beschimpfen und ärgern sie sich. Manche Kinder haben große Probleme in der Familie. Dies spiegelt sich, wie auch die Pubertät, im Verhalten wieder.

Das Arbeits- und Sozialverhalten der Klasse ist zurzeit eher als schlecht zu beschreiben. Die Schüler sind unmotiviert und verhalten sich sowohl untereinander als auch der Lehrperson gegenüber teilweise respektlos. Es zeigt sich beispielsweise darin, dass die Schüler im Unterricht nicht mitarbeiten, sich hinter ihren Tischen verstecken oder massiv stören. Dieses Verhalten der Klasse muss bei der Unterrichtsplanung berücksichtigt werden.

Allgemein ist die Klasse in Mathematik sehr leistungsschwach. Einige Schüler, die meines Erachtens eine Sonderstellung in der Klasse einnehmen, möchte ich im Folgenden kurz vorstellen:

N. ist der stärkste Schüler in Mathematik. Er arbeitet stets motiviert und bringt sich mit seinem breiten Wissen gut in den Unterricht ein. Ihn werde ich bei Bedarf als Experten hinzuziehen.

Bei H. wurde bereits in der Grundschule ADHS diagnostiziert und er fällt in letzter Zeit ebenfalls häufig durch Desinteresse auf. Er zählt in Mathematik zu den leistungsstärkeren Schülern. Oft steht er sich durch albernes Verhalten oder Trotzigkeit selbst im Weg und lehnt die Mitarbeit ab.

… sind in Mathematik die leistungsschwächsten Schüler. Sie brauchen viel Hilfe und verstehen Dinge oft auch nach häufigem Erklären noch nicht. Während … und … sich eher leise hinter ihrem Tisch verstecken um nicht aufzufallen, stört … den Unterricht. Es wird eine besondere Herausforderung sein, den Unterricht so zu gestalten, dass auch diese Schüler in den Unterricht gut mit einbezogen werden können und motiviert sind zu arbeiten.

… ist für den Mathematikunterricht meist schwer zu motivieren. Sein Verhalten ist von Lustlosigkeit und Desinteresse gekennzeichnet. Er fällt meist durch Störungen auf.

… Er kam letztes Schuljahr neu in die Klasse und hat eine recht dramatische Vorgeschichte. Er verhält sich im Unterricht meist sehr unberechenbar: Es kann sein, er arbeitet sofort gut und aufmerksam mit, aber er kann mit seinem Verhalten auch eine Stunde auf den Kopf stellen. In Mathematik zählt er zu den leistungsschwächeren Schülern. Des Weiteren zeigt er sich, wie auch … von Sondersituationen, wie den Unterrichtsbesuchen oder Lehrproben, recht unbeeindruckt.

Sollte es in der Unterrichtsstunde zu gravierenden Störungen kommen, werde ich die betreffenden Schüler auseinandersetzen. Es gibt in der Klasse außerdem folgendes Ritual: Schüler, die ermahnt werden müssen, werden in ein Heft notiert. Sie erhalten bei jeder Ermahnung einen Strich hinter ihren Namen. Hat ein Schüler am Ende der Stunde mehr als drei Striche, muss er nach der Stunde bei mir bleiben. Er bekommt eine Strafarbeit auf. Pro Strich müssen 20 Wörter abgeschrieben werden. Anschließend muss die Arbeit von den Eltern unterschrieben abgegeben werden.

1.3. Der Leistungsstand der Klasse im Hinblick auf den Inhalt

Die dargestellte Stunde stellt die Einführungsstunde in die Unterrichtseinheit „Berechnungen am Kreis“ dar. Die Schüler wissen bereits aus der Grundschule und vorausgegangen Schuljahren, wie ein Kreis aussieht und kennen Eigenschaften des Kreises. Sie haben in einer zu Beginn der Unterrichtseinheit stehenden Wiederholungsstunde die Begriffe „Radius“, „Durchmesser“ und „Mittelpunkt“ dem Kreis zugeordnet und kennen die Beziehung zwischen den beiden Begriffen. Des Weiteren können die Schüler einen Kreis zeichnen.

Ich gehe außerdem davon aus, dass manchen Schülern die Zahl π bereits bekannt ist und sie diese sogar als ungefähr 3,14 angeben können.

Die Formel zur Berechnung des Kreisumfangs stellt einen neuen Inhalt für die Schüler da.

Ebenfalls für Bedeutung in dieser Stunde ist, dass die Schüler in der vorausgehenden Unterrichtseinheit Terme und Gleichungen behandelt haben. Sie greifen bei der Umformung der Formel des Kreisumfangs auf das in dieser Einheit erarbeitete Vorwissen zurück.

2. Nennung der zu fördernden und zu erreichenden Kompetenzen

2.1. Einordnung des Themas im Bildungsplan

Im Bildungsplan sind folgende Kompetenzen für das Fach Mathematik aufgeführt, die ich in dieser Stunde fördern möchte:

Leitidee Messen:

„Die Schülerinnen und Schüler können Umfang […] von […] Kreisen […] ermitteln.“²

Des Weiteren sind im Bildungsplan prozessbezogene Kompetenzen aufgeführt.³ Diese zu Fördern und zu Erreichen gilt ebenfalls als längerfristiges Ziel. In dieser Unterrichtsstunde werden die Kompetenz mit symbolischen, formalen und technischen Elementen umzugehen, das Argumentieren und das Kommunizieren gefördert.

2.2. Ziele, die zur Erreichung dieser Kompetenzen dienen

Stundenziel:

Die Schülerinnen und Schüler leiten sich die Kreiszahl π selbst her und wissen die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Kreises.

Niveaukonkretisierung:

Anforderungsbereich 1:

Die Schüler ermitteln mit Hilfe eines Maßbandes den Umfang des Kreises und tragen die Ergebnisse in eine Tabelle in. In einem nächsten Schritt ermitteln sie mit Hilfe des Geodreiecks oder Lineals den Durchmesser des Kreises. In einem dritten Schritt ermitteln sie den Quotient aus Umfang und Durchmesser.

Anforderungsbereich 2:

Die Schüler erledigen die gleiche Aufgabe wie Anforderungsbereich 1, erkennen in einem weiteren Schritt, dass der Quotient immer gleich groß ist und dass man diesen Quotienten als π bezeichnet.

Anforderungsbereich 3:

Die Schüler schaffen Anforderungsbereich 2 und es gelingt ihnen zusätzlich, eine Formel zur Berechnung des Kreisumfangs aufzustellen.

Prozessbezogene Kompetenzen:

- Die Schüler trainieren die Kompetenz mit symbolischen, formalen und technischen Elementen umzugehen, in dem sie Umfänge und Durchmesser mit Messgeräten ermitteln.
- Die Schüler werden während der Arbeitsphase und in der Schlussphase miteinander über das Problem ins Gespräch kommen. Hierdurch wird das Kommunizieren in und über Mathematik gefördert.
- Die Schüler trainieren das Argumentieren, in dem sie über richtige und falsche Lösungsmöglichkeiten und Ergebnisse diskutieren.

3. Überlegungen zum Inhalt und zur Sache

„Der Kreis ist die Menge aller Punkte der Ebene, die von einem festen Punkt M der Ebene den gleichen Abstand r haben. M heißt Mittelpunkt und die Strecke der Länge r, die jeden Punkt des Kreises mit seinem Mittelpunkt verbindet, heißt Radius.“⁴ Dieser Definition zu folge ist ein Kreis eine Linie. Alle Randpunkte und alle inneren Punkte des Kreises bilden die Fläche. Die Länge der Kreislinie heißt Umfang. Der Durchmesser d eines Kreises ist der größtmögliche Abstand zweier Punkte auf der Kreislinie. Ihn erhält man indem man den Radius mit zwei multipliziert.⁵

Um den Umfang U eines Kreises zu bestimmen muss man den Durchmesser d mit dem Faktor π (=3,141592653589793238…, näherungsweise 3,14) multiplizieren.⁶

„Für den Umfang des Kreises gilt: U = π x d = π x 2r“⁷

3.1. Didaktische Begründung der Themenauswahl

Kreise sind den Schülern aus ihrem Alltag bekannt. Man trifft täglich auf sie. Sei es beim Trinken aus dem am oberen Rand runden Glas, beim Öffnen von Konservendosen oder beim Zerschneiden der kreisrunden Pizza.

Berechnungen am Kreis sind jedoch den meisten Schülern fremd. Dabei ist es für Schüler in der Berufsfindungsphase von Bedeutung zu wissen, dass es Berufe gibt in denen täglich mit solchen Formeln gearbeitet wird. Zu nennen wäre beispielsweise der Tiefbauer, der Schreiner oder viele weitere handwerkliche Berufe.

Geometrische Themen wie der Kreis sind bei Schüler häufig sehr beliebt. Dies ist darin zu begründen, dass es sich hierbei um einen Inhalt handelt, bei dem auch rechenschwache Kinder oft Erfolg und Freude haben können. Außerdem wird durch den geometrischen Inhalt das problemorientierte Arbeiten geschult und die Schüler fördern grundlegende Kompetenzen wie das Umgehen mit Mess- oder Zeicheninstrumenten.

[...]

¹ Aufgrund der besseren Lesbarkeit habe ich in diesem Unterrichtsentwurf außer innerhalb eines Zitats auf die Nennung beider Geschlechter verzichtet. Grundsätzlich sind jedoch beide Geschlechtergruppen mit gleich hoher Wertigkeit gemeint.

² Bildungsplan Werkrealschule 2012, S. 61

³ Vgl. Bildungsplan Werkrealschule 2012, S. 59

⁴ Rolles, Unger (2008), S. 251

⁵ Vgl. Rolles, Unger (2008), S. 251

⁶ Vgl. Rolles, Unger (2008), S. 259

⁷ Rolles, Unger (2008), S. 260