Das kleine 1 + 1

Inhalt

0. Einleitung

1. Das kleine Einspluseins
1.1. Grundaufgaben der Addition
1.2. Behandlung der Grundaufgaben
1.3. Lösungsstrategien
1.3.1. Zählstrategien
1.3.1.1. Alles-Zählen
1.3.1.2. Weiterzählen
1.3.1.2.1. Weiterzählen vom ersten Summanden aus
1.3.1.2.2. Weiterzählen vom größeren Summanden aus
1.3.1.2.3. Weiterzählen vom größeren Summanden aus in größeren Schritten
1.3.2. Heuristische Additionsstrategien
1.3.2.1. Tauschaufgaben
1.3.2.2. Verdoppeln
1.3.2.3. Fastverdoppeln
1.3.2.4. Nachbaraufgaben
1.3.2.5. Analogieaufgaben
1.3.2.6. Gegensinniges Verändern
1.3.2.7. Zerlegung einer Aufgabe in leichtere Teilaufgaben
1.3.3. Auswendigwissen der Grundaufgaben

2. Vermittlungsmöglichkeiten im Unterricht
2.1. Beispiele: Materialien und Übungen
2.1.1. Arbeit mit der Einspluseinstafel
2.1.2. Kleeblätter
2.1.3. Wendekarten

3. Resümee

4. Anmerkungen

5. Literatur

0. Einleitung

Die vorliegende Ausarbeitung befasst sich mit wichtigen Aspekten des Kleinen Einspluseins. Im ersten Abschnitt wird es darum gehen, was man unter dem Kleinen Einspluseins versteht, warum es so wichtig ist und unter welchen Gesichtspunkten es im Unterricht behandelt werden sollte. Außerdem werde ich Lösungsstrategien erläutern, die für das Lösen der Grundaufgaben von Bedeutung sind. Ich werde im zweiten Teil exemplarisch einige Möglichkeiten vorstellen, wie man das Kleine Einspluseins im Unterricht vermitteln kann. Anschließend folgen Anmerkungen, die Literaturhinweise.

1. Das Kleine Einspluseins

Der Rahmenplan Grundschule legt fest, dass die Schüler im ersten und zweiten Schuljahr die additiven Operationen wie Hinzufügen, Wegnehmen, Ergänzen, Zerlegen sowie das Verdoppeln und Halbieren kennenlernen und verstehen sollen. Dabei soll die Lehrkraft von Situationen aus dem Leben der Kinder ausgehen und ihnen helfen, dass sie sich das Kleine Einspluseins zunächst durch Handlungen mit geeignetem Material modellmäßig erarbeiten und es dann schrittweise verinnerlichen. Ziel ist es, dass die Schüler vom (ab)zählenden Rechnen zum denkenden und anwendungsorientierten Rechnen geführt werden und auch das Lesen und Darstellen der Grundaufgaben in symbolischer Form erlernen. Der Zahlenraum umfaßt bis zum Ende des zweiten Schuljahres die Zahlen bis 100, wobei sich die Inhalte des ersten Schuljahres in der Regel auf die Zahlen bis 20 beschränken (vgl. Rahmenplan Grundschule: 152f).

An dieser Stelle ist allerdings zu bedenken, dass es auch von Bedeutung ist, ob die Lehrkraft das traditionelle oder das stärker ganzheitlich ausgerichtete Vorgehen bevorzugt. Während beim traditionellen Ansatz die Erarbeitung des Zahlenraums in Stufen stattfindet, ist es beim ganzheitlichen Ansatz durchaus möglich und erwünscht, dass die Kinder auch Zahlen verwenden, die noch nicht eingeführt wurden. Konkret heißt dass, dass anstelle des schrittweisen Vorgehens bis 5, dann bis 10 und erst dann bis zwanzig, eine Öffnung des Zahlenraums bis 20 schon von Anfang an stattfindet. Außerdem orientiert sich die Lehrkraft stärker an den Vorkenntnissen der Schüler und akzeptiert auch schon im ersten Schuljahr Zahlen, die über den Zahlenraum bis 20 hinausgehen (vgl. Krauthausen, Scherer 2003: 20 sowie vgl. Wittmann, Müller 19942: 16f)). Nach dem ausführlichen Orientieren im Zahlenraum bis 20 ist es auf jeden Fall bis zum Ende des ersten Schuljahres Ziel, dass die Kinder dahin geführt werden, das sie das Kleine Einspluseins bzw. das Kleine Einsminuseins auswendig wissen. Im Folgenden werde ich auf das Kleine Einspluseins eingehen und sowohl die Gundaufgaben als auch mögliche Lösungsstrategien erläutern.

1.1. Grundaufgaben der Addition

Es ist ein wichtiges Ziel, dass die Schüler am Ende des ersten Schuljahres die Grundaufgaben des Kleinen Einspluseins, aber auch des Kleinen Einsminuseins, auswenig wissen.. Dieses gedächtnismäßige Beherrschen der Gundaufgaben ist für das weiterführende Rechnen bedonders wichtig, denn jede Aufgabe die wir mündlich bzw. im Kopf rechnen, besteht aus einer bzw. mehreren Grundaufgaben als Teilrechnungen. Auch die Aufgaben des schriftlichen Rechnens sind aus Grundaufgaben zusammengesetzt und so ist das Beherrschen des Kleinen Einspluseins und des kleinen Einsminuseins eine entscheidende Grundlage für das erfolgreiche Durchführen von schriftlichen Rechenverfahren.

Wenn man vom Kleinen Einspluseins und den dazugehörigen Grundaufgaben spricht, sind damit alle Aufgaben der Form a + b = c mit den natürlichen Zahlen a < 10 und b < 10 gemeint, d.h. der Wert von c kann die Zahl zwanzig nicht überschreiten (1). Folglicherweise gibt es 121 Grundaufgaben (Aufstellung der Grundaufgaben: siehe Anhang 2) der Addition und drei verschiedene Typen von Additionsaufgaben, nämlich a + b = ?, a + ? = c und ? + b = c. (vgl. Radatz, Schipper u.a 1996: 77f)

1.2. Behandlung der Grundaufgaben

Wie bereits erwähnt, ist es notwendig, dass die Schüler spätestens zu Beginn des Erarbeitens der schriftlichen Rechenverfahren die Grundaufgaben gedächtnismäßig beherrschen sollten. Das Können des Kleinen Einspluseins erleichtert zudem das Lösen einfacher Sachaufgaben bzw. Rechengeschichten. Das Erlernen der Grundaufgaben bedeutet, dass dies nicht durch ein unbewußtes Auswendiglernen, sondern durch ein bewußtes Einprägen der Zahlensätze geschehen soll. Dieses bewußte Einprägen erfordert allerdings zwei wichtige Voraussetzungen von Seiten der Schüler (vgl. Radatz, Schipper 1983: 70f):

1.) Der „Sinn“ bzw. das Wesen der Rechenoperationen muß deutlich sein, die Begriffe sind ausreichend entwickelt (vgl. Radatz, Schipper 1983: 70).

Beim Einführen der Addition wäre es falsch, davon auszugehen, dass die Kinder vor ihrer Schulzeit noch keine Berührung mit Additions-, aber auch Subtraktionssituationen hatten. Wie auch verschiedene Untersuchungen zum Thema zeigen, ist es so, dass viele Schulanfänger schon zahlreiche -wenn auch sehr unterschiedlich breite und intensive- Erfahrungen zum Begriff der Addition gesammelt haben. Häufig sind ihnen Additionssituationen des Hinzukommens wie „Thomas hat drei Bonbons; er bekommt noch vier dazu.“, des Dazulegens, des Zusammenlegens, des Weiterzählens etc. schon vertraut. Um dieses bereits vorhandene Verständnis von Addition (aber auch von Subtraktion) zu erweitern, müssen die Kinder ausreichend Gelegenheit bekommen, sogenannte Rechengeschichten (2) mit konkretem Material zu simulieren. Solche Rechengeschichten, die auch in Form von Bildgeschichten vorgegeben werden können, festigen bei den Kindern die Grundvorstellungen von Addition und Subtraktion, denn es ist so, dass Schulanfänger diese Begriffe immer mit Handlungen unter operativen Aspekten verbinden (3). Es ist wichtig, diese Handlungen zu Beginn des Lernprozesses ausführlich aufzunehmen und nicht zu schnell auf das mathematische Verständnis der Operationen hinzuarbeiten (vgl. Radatz, Schipper u.a 1996: 77f). Das Verständnis für die Operationen muß auch aus der Interpretation von Zuständen und Darstellungen erwachsen, die mit der Notation der Zahlensätze verbunden werden sollten. Außerdem muß aus der Anwendung und Generalisierung des Erarbeiteten auch die Einsicht entstehen, dass die Subtraktion als Umkehrung der Addition anzusehen ist (vgl. Radatz, Schipper 1983: 66).. Allerdings erfolgt die Systematisierung aller Kenntnisse, die Übersetzung einer Sachsituation in die formale Gleichungsschreibweise (3 + ? = 7) und die zunehmende Sicherheit beim Lösen von in Gleichungsform vorgegebenen Adiditionsaufgaben erst später (vgl. Radatz, Schipper u.a 1996: 77f).

2. Alle Rechenoperationen müssen „gelöst“ werden können, zunächst handelnd mit Material oder zählend, dann durch heuristische Strategien (vgl. Radatz, Schipper 1983: 70).

Die Grundaufgaben sollen nicht stur auswendiggelernt, sondern erarbeitet werden. Dabei ist es notwendig, denn Schülern geeignetes Material zur Verfügung zu stellen. Es ist wichtig, dass den Kindern nicht vorzeitig die Möglichkeit genommen wird, auf der handelnden und bildhaften Ebene zu agieren. Dabei können die Schüler die Aufgaben mit zeichnerischer Unterstützung lösen oder Material wie Steckwürfel, Rechenplättchen, eine Rechenwaage u.ä. benutzen. So können sie langsam ein Verständnis für Gleichungen entwickeln und zu lernen zwischen Operations- und Relationszeichen in einem Zahlensatz zu unterscheiden.

Neben dem Einsatz von Material ist es von Bedeutung, den Kindern auf ihrem Weg zum Gebrauch von geeigneten Lösungsstrategien behilflich zu sein (vgl. Radatz, Schipper 1983: 70). In 1.3. werde ich die Lösungsstrategien erörtern, die für das Erarbeiten des Kleinen Einspluseins von besonderer Wichtigkeit sind.

1.3. Lösungsstrategien

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