Modellierung und Schätzung von Responsefunktionen

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Symbolverzeichnis

1 Einleitung
1.1 Motivation
1.2 Ziel und Aufbau der Arbeit

2 Begriffliche Abgrenzung und Definition einer Responsefunktion

3 Modellierung und Schätzung von Responsefunktionen
3.1 Das Pareto/NBD – Modell
3.1.1 Modellannahmen
3.1.2 Mathematische Modellierung und Schätzung
3.2 BG/NBD - Modell
3.2.1 Modellannahmen
3.2.2 Mathematische Modellierung und Schätzung

4 Vergleich der Modelle
4.1 Vergleich der Modelle auf empirischer Basis
4.2 Vergleich gegenüber anderen Modellen

5. Schlussbetrachtung

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Verlauf von P(alive)7

Abbildung 2: Erwartete Anzahl zukünftiger Transaktionen

Symbolverzeichnis

l: Transaktionshäufigkeit

a: Modellparameter zur Quantifizierung der Transaktionshäufigkeit

b: Modellparameter zur Quantifizierung der Abwanderungsrate

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten: Binärvariable, gleich 1, wenn ein Kunde aktiv ist, 0, wenn ein Kunde inaktiv ist

N: Anzahl der Haushalte

p: Wahrscheinlichkeit, dass der Kunde nach der x-ten Transaktion inaktiv wird

r: Indikator der Homogenität der Transaktionshäufigkeit, je kleiner r, desto unregelmäßi­ger ist das Kaufverhalten verteilt

s: Indikator der Homogenität der Abwanderungsraten, je kleiner s, desto unregelmäßiger das Ab­wanderungsverhalten

t: Zeitpunkt der am kürzesten zurückliegenden Transaktion eines Kunden

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten: Gibt an zu welchen Zeitpunkten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, die Transaktionen erfolgen

T: Ende des Beobachtungsfensters

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten: Zufallsvariable, welche die Zeit der x-ten Transaktion angibt

x: Anzahl der durchgeführten Transaktionen eines Kunden in einer Periode

X(t): Anzahl der Transaktionen in einer Periode der Länge t

1 Einleitung

1.1 Motivation

Ständig steigende Kundenansprüche und die durch die neuen Medien verbesserten Informationsmöglichkeiten sowie eine damit verbundene höhere Markttransparenz führen zu einem tiefgreifenden Wandel im Kundenverhalten.^[1] Stagnierende Märkte und wachsender Wettbewerbsdruck sowie die Auswirkung auf Umsatz und Ertrag tragen dazu bei, dass dem effizienten Umgang mit dem Kunden eine immer größere Bedeutung zukommt. Der zu beobachtende Trend weg von markenbasierten Strategien hin zu kundenorientierten Strategien sieht nicht mehr die Maximierung einzelner Verkaufsabschlüsse im Mittelpunkt, sondern vielmehr die Langlebigkeit von Geschäftbeziehungen im Unternehmen.^[2] Die Pflege und Intensivierung der Kundenbeziehung stellt dabei eine wesentliche Priorität dar. Denn die Unternehmen stehen immer wieder vor dem Problem einer wachsenden Anzahl von Konkurrenzprodukten und Leistungen sowie geringer werdenden Möglichkeiten zur Produktdifferenzierung und nicht zuletzt sinkender Anbietertreue der Kunden.

Die Gewinnung neuer sowie die Bindung bestehender Kunden stellt sich in diesem dynamischen und wettbewerbsintensiven Umfeld als immer schwieriger und kostenintensiver dar. Für die Unternehmen bedeutet dies in Zeiten stagnierender oder rückläufiger Märkte, dass eine Messung und Steuerung der Zufriedenheit sowie Bindung von Kunden durch ein individualisiertes, kundenorientiertes Management zur Optimierung der Qualität der Geschäftsbeziehung beiträgt, bzw. neben der Verbesserung von Produkten, Dienstleistungen und Prozessen eine zentrale Determinante des Unternehmenserfolges darstellt.^[3]

1.2 Ziel und Aufbau der Arbeit

Das Schätzen und Modellieren von Responsefunktionen für den Wiederkauf von Kunden ist das im Vordergrund stehende Ziel dieser Arbeit. Dabei geht es um Modelle bzw. Techniken, die es dem Marketer ermöglichen, zukünftiges Kaufverhalten von Kunden vorherzusagen und zu bestimmen, um diese in den „lifetime value“ mit einzubeziehen, oder frühzeitig abwandernde Kunden zu identifizieren.^[4] Es stellt sich die Frage, welche und wie viele Kunden eines Unternehmens als gebunden gelten, und vor allem, wie viele Transaktionen diese zukünftig noch durchführen werden. Entscheidend für ein Unternehmen dabei ist, die Kunden anhand des „Typs der Bindung“ zu identifizieren, um entsprechende Marketingstrategien anwenden zu können.^[5]

Zur Behandlung der Problemstellung wird einleitend in Abschnitt 2 die Modellierung und Schätzung von Responsefunktionen definiert. In Abschnitt 3 soll dann mögliche Modelle zur Bestimmung des Wiederkaufverhaltens von Kunden dargestellt und erläutert werden, um anschließend die Modelle gegenüberzustellen und zu vergleichen. Die Arbeit wird durch eine Schlussbetrachtung abgerundet.

2 Begriffliche Abgrenzung und Definition einer Responsefunktion

Um eine Prognose über das Wachstum und die Größe der Kundenbasis eines Unternehmens durchführen zu können, ist die Aktivität von derzeitigen Kundenbeziehungen von relevanter Bedeutung. Zur Erfüllung dieser Aufgabe sind Responsefunktionen sehr hilfreich. Diese er­mitteln die Antwort eines Systems gegeben eines bestimmten Inputs, d.h. sie erklären den Zu­sammenhang zwischen der unabhängigen Variable und dem „Ziel“ eines existierenden Opti­mierungsproblems. Eine einfache Darstellung ist die lineare Funktion der Form: y=kx+d, wobei y die vom Modell vorausgesagte Variable ist, x die Eingabedaten repräsentiert, und k und d die Parameter sind, die gefunden bzw. optimiert werden müssen.

Bei der Schätzung des zukünftigen Wiederkaufverhaltens von Kunden verhält es sich analog. Für eine zuvor willkürlich ermittelte Gruppe von Kunden wird deren Transaktionsverhalten von Unternehmen mittels RFM^[6] beobachtet und festgehalten. Anhand dieser gegebenen Daten ist es mit Hilfe einer Responsefunktion möglich zukünftiges Kaufverhalten von Kunden zu berechnen. Dazu sind bestimmte Annahmen über das Verhalten von Kunden zu treffen, die dem tatsächlichen nahe kommen (hier unterscheiden sich die verschiedenen Ansätze). Wie diese komplexe Aufgabe zu erfüllen ist, wird anhand der folgenden Modelle detailliert dargestellt.

3 Modellierung und Schätzung von Responsefunktionen

3.1 Das Pareto/NBD – Modell

^[7] Als Ausgangspunkt gilt das von Ehrenberg (1959) und von Schmittlein weiterentwickelte NBD – Modell zur Modellierung des Kaufverhaltens von Kunden. Es wurde über die letzten Jahre kontinuierlich verbessert und durch Variablen erweitert, die für das Marketing von entschei­dender Bedeutung sind. Eines der dadurch entstandenen Modelle soll in diesem Abschnitt vorgestellt und näher erläutert werden.

Das Ziel des Pareto-NBD-Modells ist es, auf Basis von Vergangenheitsdaten die zukünftige Aktivität eines Kunden (Wiederkaufverhalten) in einer Geschäftsbeziehung zu ermitteln. Eine solche Prognose stellt sich bei vertraglichen Geschäftsbeziehungen als unproblematisch dar, da hier die Beendigung der Beziehung mit dem Kunden durch dessen Kündigung angezeigt wird. Die Beurteilung, ob ein Kunde als aktiv oder inaktiv anzusehen ist, erweist sich insbe­sondere bei nicht-vertraglichen Geschäftsbeziehungen als Problem.^[8] Für ein Unternehmen ist es nicht eindeutig beobachtbar, ob ein Kunde nur temporär oder dauerhaft inaktiv ist. Das Pareto-NBD-Modell ist im Stande dieses komplexe Problem zu lösen.

Die Aktivität des Kunden wird durch eine vom Modell ermittelte kundenindividuelle Wahr­scheinlichkeit determiniert, die als P(alive) bezeichnet wird. Das Ergebnis, also die Wahr­scheinlichkeit, dass ein Kunde aktiv ist, stellt für die weitere Modellierung des Modells (Mo­dellierung der Lebenszeit) eine wichtige Ausgangsgröße dar.^[9] Durch die Umwandlung der kontinuierlichen Größe P(alive) mit Hilfe eines kritischen Schwellenwertes lässt sich in einem weiteren Schritt für individuelle Kunden eine endliche Lebenszeit bestimmen. Diese In­formation wird für die Bestimmung des individuellen Kundenertragswertes und somit die Profitabilität jedes einzelnen Kunden benötigt.^[10]

Im Folgenden wird zunächst dargestellt, welche Annahmen dem Modell zugrunde liegen. Anschließend wird detailliert erläutert, wie sich in einem ersten Schritt, die Wahrscheinlichkeit P(alive) herleiten lässt und darauf aufbauend, in einem zweiten Schritt, diese Wahrscheinlichkeit zur Ermittlung der Lebenszeit eines Kunden eingesetzt werden kann. Durch eine einfache Erweiterung des Modells lassen sich auch Aussagen über zukünftiges Kaufverhalten von Kunden treffen.^{[11] [12]}

3.1.1 Modellannahmen

Das Modell beschreibt das Wiederkaufverhalten von Kunden, wobei allerdings der Austritts­zeitpunkt aus der Kundenbeziehung für das Unternehmen nicht erkennbar ist. Es wird ange­nommen, dass ein beliebiger Kunde in einem bestimmten Zeitraum regelmäßig Transaktionen durchführt und dann inaktiv wird, wobei die „Kaufregelmäßigkeit“ stochastisch verteilt ist. D.h. ein Kunde, der ab dem Zeitpunkt 0 aktiv ist (Erstkauf = Geburt der Kundenbeziehung bzw. Beginn des Beobachtungszeitraumes), wird bis zu einem Zeitpunkt T beobachtet, so dass sich ein Beobachtungszeitraum von (0, T) ergibt. Innerhalb dieses Zeitraumes wird der Kunde X -mal tätig, wobei der letzte Kauf zum Zeitpunkt t mit 0< t Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten T stattfindet. Somit besteht die Information über den Kunden aus drei zentralen Elementen:^[13]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Des Weiteren wird zur Bestimmung des Austrittszeitpunktes eines Kunden das Pareto-Ti­ming-Modell (exponential-gamma mixture) benutzt und zur Modellierung des Wiederkauf­verhaltens von einem noch aktiven Konsumenten das NBD-Counting-Modell (Poisson-gamma mixture).^[14]

Zur Ermittlung der Wahrscheinlichkeit P(alive) werden fünf weitere Annahmen getroffen:

Annahmen auf individueller Kundenebene:

i. Sofern ein Kunde aktiv ist, folgt die Anzahl seiner Käufe X innerhalb einer gegebenen Periode der Länge t einer Poissonverteilung mit der langfristigen kundenspezifischen Transaktionshäufigkeit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten:

(1) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

ii. Jeder Kunde wird vom Unternehmen als aktiv angesehen, mit einer nicht direkt beobachtbaren Lebenszeit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Mit der latenten Wahrscheinlichkeit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten bricht ein - bis zum Zeitpunkt t aktiver Kunde - die Geschäftsbeziehung ab der nächsten Periode ab. Diese Lebenszeit wird als Exponentialfunktion modelliert:

(2) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bezüglich der Heterogenität zwischen den einzelnen Kunden werden folgende Annahmen ge­stellt:

iii. Die Heterogenität der Transaktionsrate Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten über alle Kunden folgt einer Gammavertei­lung mit „Shape-Parameter“ Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten and „Scale-Parameter“ Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Somit wird berücksichtigt, dass einige Kunden regelmäßig kaufen und andere eher unregelmäßig. Die durch­schnittliche Kaufrate über alle Kunden beträgt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und die Varianz Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, d.h. a und r werden so bestimmt, dass sie dem Erwartungswert der Transaktionshäufigkeit ent­sprechen. Der Parameter r ist als Index der Homogenität in Kaufraten über alle Kunden zu verstehen, während Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten die mittlere Transaktionshäufigkeit pro Monat festlegt.

(3) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

iv. Die Abwanderungsrate Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten über alle Kunden ist ebenfalls nicht homogen und folgt einer Gammaverteilung mit „Shape-Parameter“s und „Scale-Paramter“ Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Somit wird be­rücksichtigt, dass alle Kunden zu einem unterschiedlichen Zeitpunkt die Geschäftsbe­ziehung abbrechen und unterschiedliche Abwanderungsraten haben. Die durchschnittliche Abwanderungsrate beträgt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und die Varianz Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Der Parameter s ist als Index der Homogenität in Abwanderungsraten zwischen Kunden zu verstehen.

(4) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

v. Die Transaktionshäufigkeit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und die Abwanderungsrate Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten sind unabhängig voneinan­der und variieren zwischen den Kunden. Dies impliziert, dass Kunden mit hoher Trans­aktionshäufigkeit ebenso wahrscheinlich eine hohe oder auch niedrigere Abwanderungs­rate aufweisen können wie Kunden, die weniger oft aktiv waren.

Die Variablen des Pareto-NBD-Modells x und t weisen im Gegensatz zu den anderen Parametern kundenindividuelle Ausprägungen auf.^[15]

3.1.2 Mathematische Modellierung und Schätzung

Durch die Annahmen i. und ii. wird gezeigt, dass jeder Kunde durch die Transaktionshäufig­keit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und durch die Abwanderungsrate Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten charakterisiert ist. Um diese zwei Merkmale modellieren zu können, wird auf die zwei oben genannten Verfahren zurückgegriffen. Das ne­gative binomialverteilte Modell, welches die Kundenaktivität über Wiederkaufswahrschein­lichkeiten für ein bestimmtes Zeitintervall schätzt, wird durch die Annahmen i., iii. und v. ge­geben, während die Annahmen ii., iv. und v. ein paretoverteiltes Modell implizieren, das die Abwanderungswahrscheinlichkeit festlegt. Als Modellinput dienen nur vergangene Kaufdaten von Kunden (kumulierte Anzahl der Käufe X im Beobachtungszeitraum (0, T) und der Zeit­punkt der letzten Transaktion t). Das Modell kann mit Hilfe dieser Daten kalibriert werden, und als Folge erhält man die für einen Manager relevanten Daten.

Die erwartete Anzahl von Transaktionen für einen zufällig ausgewählten Kunden in einem Zeitintervall t seit seinem Erstkauf ergibt sich als:

(5) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.^[16]

Ein weiterer wichtiger Output des Modells ist die kundenindividuelle Wahrscheinlichkeit P(alive) basierend auf dem beobachteten Kaufverhalten, die angibt, wie ein Kunde hinsichtlich seiner Aktivität zu beurteilen ist. Sie wird ausgedrückt durch:

(6) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten,

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten: Gauß´sche hypergeometrische Funktion.

Die angegebene Formel gilt ausschließlich für den Fall, dass Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ist. Für die Fälle Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten gibt es jeweils eine davon abweichende Darstellung dieser Formel.^[17] Auf Basis der ermittelten Wahrscheinlichkeit P(alive) ist es möglich, die erwartete Anzahl an aktiven Kunden zu jedem beliebigen Zeitpunkt zu errechnen und in eine Rangfolge einzuordnen (je nach Höhe der Whkt., dass ein Kunde noch aktiv ist) sowie eine endliche Kundenlebenszeit (KLZ) zu ermitteln. Allerdings ist dazu die Transformation der Wahrscheinlichkeit in eine dichotome Variable mit der Ausprägung “lebt/tot” notwendig.^[18] Mit Hilfe eines zu ermittelnden Schwellenwertes c lässt sich so die Aktivität eines Kunden bestimmen, vorausgesetzt, dass Daten über früheres Kaufverhalten vorliegen. Fällt die Wahrscheinlichkeit P(alive) unter diesen Schwellenwert, so ist der Kunde inaktiv und die Geschäftsbeziehung beendet. Reinartz und Kumar gehen in ihrer Studie von einem c-Wert 0,5 aus und validieren diesen mittels einer Sensitivitätsanalyse. Die Kundenlebenszeit entspricht somit dem Zeitraum seit dem Erstkauf bis zum Datum seines Ausscheidens aus der Geschäftsbeziehung. In der nachstehenden Abbildung ist illustriert, wie sich mit Hilfe des Pareto-NBD-Modells die KLZ anhand von P(alive) ermitteln lässt:^[19]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es ist zu erkennen, dass P(alive) umso größer ist, je kürzer die letzte Transaktion zurückliegt, und nach jedem Kauf in t=1, t=5 und t=10 wieder auf 1 (=100%) steigt. D.h. erfolgt die letzte Transaktion unmittelbar vor dem Ende des Beobachtungszeitraumes T, so wird die Geschäftbeziehung als besonders aktiv angesehen.^[20] Beziehungen zwischen Kunde und Unternehmen können als inaktiv angesehen werden, wenn die letzte Transaktion eines Kunden mit hoher Kaufhäufigkeit schon länger zurückliegt. Das Modell ist deshalb bei regelmäßigem Kaufverhalten nur bedingt anwendbar. Es unterschätzt derartige Kunden hinsichtlich ihrer Aktivität relativ zum aggregierten Kaufverhalten aller Kunden.^[21]

P(alive) nähert sich in Abhängigkeit von der Zeitdauer der letzten Transaktion mit zunehmenden t dem Wert 0. Somit besitzt ein Kunde, der schon seit längerem inaktiv war, trotzdem noch eine geringe Wiederkaufwahrscheinlichkeit. Reinartz und Kumar (2000) befassen sich in ihrer Studie mit der Problematik, ob es für ein Unternehmen überhaupt noch sinnvoll ist, solche Kunden an sich zu binden, und vor allem damit, wie man sie ermittelt.

Das Modell kann also benutzt werden, um darzustellen, wie lange ein Kunde noch aktiv ist. Für einen Kunden, der nur ein einziges Mal tätig war, ergibt sich diese Formel aus Bedingung (2) und (4), gegeben in Morrison (1978) und Schmittlein und Morrison (1983b). Für einen Kunden mit beobachteten Kaufverhalten ist die restliche zu erwartende aktive Zeit entweder “0”, falls er inaktiv ist mit der Wahrscheinlichkeit 1-P(alive), oder wieder die Formel beste­hend aus Bedingungen (2) und (4), allerdings mit aktualisierten Dropout-Parametern Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.^[22]

Neben der nützlichen Bestimmung von P(alive) ist das Modell von zentraler Bedeutung zur Prognose der erwarteten Anzahl zukünftiger Transaktionen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten auf individueller Kunden­ebene für Zeiträume außerhalb des BeobachtungszeitraumesAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Hieraus ergibt sich folgende Formel:

(7) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die einzigen benötigten Inputdaten, um die erwartete Anzahl zukünftiger Transaktionen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten der Periode (T, T+Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten) zu berechnen, sind die Daten über das bereits beobachtete Kaufverhalten (X, t,T). Es wird davon ausgegangen, dass der Kaufumfang unabhängig vom Kaufzeitpunkt ist. Für das zukünftige Kaufverhalten eines Kunden, der bis zum Zeitpunkt T noch aktiv ist, wird wiederum eine Pareto-NBD-Verteilung angenommen, allerdings mit den angepassten Parametern: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Der Erwartungswert über die Anzahl zu­künftiger Transaktionen eines Kunden setzt sich dabei aus der erwarteten Anzahl an Trans­aktionen eines Kunden zu einem beliebigen Zeitpunkt innerhalb des Beobachtungszeitraumes mit angepassten Parametern, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit zum Zeitpunkt T noch aktiv zu sein, P(alive), zusammen (Formel 6).

Anhand von Formel (7) lässt sich neben der zukünftig erwarteten individuellen Transaktions­häufigkeit auch die der Gesamtheit der Kunden messen, indem über alle Kunden aufsum­miert wird. So lässt sich sehr leicht die Menge an Neukunden ermitteln, die akquiriert werden müssen, um ein bestimmtes Verkaufsziel zu erreichen.

Schmittlein, Morrison und Colombo schlagen zur Schätzung der gesuchten vier Parameter drei Methoden vor. Eine Methode ist die wenig beliebte Maximum-Likelihood-Schätzung (MLE). Diese ist mathematisch sehr anspruchsvoll und nicht leicht zu berechnen, da sie mehrstufige Schätzungen der Gauß´schen hypergeometrischen Funktion benötigt. Reinartz und Kumar 2003 zählen zu den Wenigen, die diese Methode erfolgreich eingesetzt haben.^[23] In ihrer Studie von 1987 schlagen Schmittlein, Morrison und Colombo die dreistufige Methode der Momentenschätzer vor, die von Schmittlein und Peterson 1994 verbessert wurde (Methode in nur zwei Stufen).^[24] Obwohl diese Methode auch nicht einfach anzuwenden ist, stellt sie sich als besser anwendbar dar, trotz statistischer Nachteile gegenüber MLE. Als letzte Methode wird die Schätzung mittels Managemententscheidungen in Betracht gezogen, die im Pareto-NBD-Modell ohne bereits vorliegende Kaufdaten eines Kunden Anwendung findet.

Das Modell ist außerdem noch um die nützliche Variable Dollar-Volumen erweiterbar, die aussagt, wie viel Geld ein Kunde zukünftig im Durchschnitt pro Transaktion ausgibt. Der Kunde wird jetzt durch die Parameter Transaktionsrate Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, die Abbruchrate Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und die durchschnittliche „Dollar-pro-Kauf-Rate“ Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten charakterisiert, wobei die Kaufsumme unabhängig vom Kaufzeitpunkt ist.^[25] Um alle Kunden mit einzubeziehen, auch diejenigen, die kein beobachtbares Kaufverhalten aufweisen, wird ein Gesamtdurchschnitt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten verwendet, wie er in Schmittlein und Peterson vorgeschlagen und errechnet wird. Die erwarteten zukünftigen Ausgaben pro Kauf, mit Z als das Dollar-Volumen und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten als Varianz, ergeben sich als:

(8) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[26]

Das erwartete zukünftige Dollar-Volumen für einen Kunden mit beobachteten Kaufdaten (X, t ,T, Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten) ergibt sich aus der Multiplikation der oben genannten Formel mit der zukünftig erwar­teten Wiederkaufrate (Formel (7)).^{[27] [28]}

3.2 BG/NBD - Modell

Das BG/NBD Modell von Fader, Hardie und Lee (2005) stellt eine minimale Veränderung zu dem vorgestellten Pareto-NBD-Modell dar. Es dient ebenso wie das Modell von Schmittlein dazu, basierend auf beobachteten Kaufverhalten von Kunden, deren zukünftiges zu prognos­tizieren. Es ist allerdings leichter zu implementieren und stellt hinsichtlich der Parameter­schätzung, die mittels EXCEL errechnet werden kann, eine Vereinfachung dar, ohne dabei grundlegend an Aussagekraft zu verlieren. Der einzige Unterschied zum Pareto-NBD-Modell liegt darin, wie und wann Kunden inaktiv werden. Während im Pareto-Modell angenommen wird, dass die Geschäftsbeziehung jederzeit abgebrochen werden kann, unabhängig davon, wann ein Kauf geschieht, so wird hingegen im BG/NBD Modell angenommen, dass ein Abbruch der Geschäftbeziehung nur direkt nach einem Tätigwerden des Kunden eintreten kann. Das Abbruchverhalten wird mittels eines beta-geometrischen Modells (BG) dargestellt.

[...]

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^[1] Vgl. Wisotzky, 2001, S. 7ff.

^[2] Vgl. Rust, Zeithalm, Lemon, 2004, S.110.

^[3] Vgl. Krafft, 2002, S. 22ff.

^[4] Vgl. Fader, Hardie, Lee, 2005, S. 275ff.

^[5] Vgl. Reinartz, Kumar, 2000, S. 33.

^[6] Vgl. ebda., S. 18, RFM = Recency, Frequency and Monetary Value – Methode, um Kaufdaten zu archivieren.

^[7] Vgl. Schmittlein, Peterson, 1994, S, 41ff.

^[8] Vgl. Reinartz, Kumar, 2000, S. 17ff.

^[9] Vgl. ebda., Seite 21 und Schmittlein, Morrison, Colombo, 1987, S. 3.

^[10] Vgl. Reinartz, Krafft, 2001, S. 1268f.

^[11] Vgl. Schmittlein, Peterson, 1994, S. 47f und Fader, Hardie, Lee, 2005, Seite 276.

^[12] Vgl. ebda., S. 41ff und des Pareto/NBD Modell-Ansatzes von Schmittlein, Morrison, Colombo, 1987, S. 3.

^[13] Vgl. Fader, Hardie, 2005a, S. 469 und Fader, Hardie, Lee, 2005, S. 276 und Schmittlein, Peterson, 1994, S. 45.

^[14] Vgl. ebda., S. 470 und Fader, Hardie, Lee, 2005, S. 275.

^[15] Vgl. Schmittlein, Peterson, 1994, S. 45ff. und Fader, Hardie, Lee, 2005, S. 276 sowie Schmittlein, Morrison, Colombo, 1987, S. 3ff.

^[16] Die zu der Gleichung gehörende Varianz lautet: , sie wird für die zweistufige Schätzung der Parameter gebraucht. Nach Schmittlein, Peterson, 1994.

^[17] Siehe hierzu Schmittlein, Peterson, 1994, Seite 65.

^[18] Vgl. Reinartz, Kumar, 2000, S. 22.

^[19] Vgl., ebda., S. 22.

^[20] Vgl. Krafft, 2002, S. 95f.

^[21] Vgl. „Tee-Beispiel“, Wu, Chen, 2000, S. 114f und Rutsatz, 2004, S. 76 ff.

^[22] Vgl. Schmittlein, Peterson, 1994, S. 47.

^[23] Vgl. ebda., S. 48 und Farder, Hardie, Lee, 2005, S. 276.

^[24] Siehe ebda., S. 65f.

^[25] Vgl. hierzu u.a Fader, Hardie, Lee, 2005, S. 283.

^[26] Zur Herleitung und zu den Annahmen siehe Schmittlein, Peterson, 1994, S. 49f.

^[27] Vgl. ebda., S. 48ff.

^[28] Vgl. BG/NBD Modell von Fader, Hardie, Lee, 2005.