Lineare Funktionen in der Berufsfachschule. Planung und Durchführung einer Unterrichtsreihe

Unter besonderer Berücksichtigung der Bildungsstandards für Mittlere Abschlüsse


Examensarbeit, 2006
79 Seiten, Note: 1,0

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

1. Einleitung

2. Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Abschluss
2.1. Ziel, Umfang und Gestaltung von Bildungsstandards
2.2. Allgemeine mathematische Kompetenzen
2.2.1. Mathematisch argumentieren (K 1)
2.2.2. Probleme mathematisch lösen (K 2)
2.2.3. Mathematisch modellieren (K 3)
2.2.4. Mathematische Darstellungen verwenden (K 4)
2.2.5. Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K 5)
2.2.6. Kommunizieren (K 6)
2.3. Leitideen und inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen
2.4. Anforderungsbereiche der allgemeinen mathematischen Kompetenzen

3. Planung der Unterrichtsreihe
3.1. Lehr- und Lernbedingungen
3.2. Didaktische Begründung des Unterrichtsinhaltes
3.3. Didaktische Begründung der Unterrichtsmethoden
3.4. Didaktische Begründung der Aufgaben

4. Planung, Durchführung und Reflexion zweier ausgewählter Unterrichtseinheiten
4.1. Unterrichtseinheit am 29. Mai 2006
4.1.1. Didaktisch-methodische Begründung
4.1.2. Durchführung und Reflexion
4.2. Unterrichtseinheit am 20. Juni 2006
4.2.1. Didaktisch-methodische Begründung
4.2.2. Durchführung und Reflexion

5. Durchführung und Reflexion der gesamten Unterrichtsreihe

6. Schlussbetrachtung und Fazit

7. Literaturverzeichnis

8. Anhang
8.1. Verlauf der Unterrichtsreihe zu linearen Funktion
8.2. Geplanter Verlauf der Unterrichtsstunden am 29. Mai 2006
8.3. Geplanter Verlauf der Unterrichtsstunden am 20. Juni 2006
8.4. Arbeitsblätter der Unterrichtsreihe
8.5. Klassenarbeit
8.6. Feedbackbogen
8.7. Schülerlösungen

Ehrenwörtliche Erklärung

Erklärung zur Ausleihe

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Einleitung

Die Ergebnisse der internationalen Vergleichsstudien TIMSS (Third International Mathematics an Science Study) und PISA (Programme for International Student Assessment) der OECD (Organisation for Economic Cooperation and Development) haben eine vorher unvorstellbare Bewegung in die deutsche Bildungsdebatte gebracht. Die Tatsache, dass deutsche Schüler[1] im internationalen Vergleich der mathematisch-naturwissenschaftlichen Leistungen nur im Mittelfeld liegen, beherrschte die Schlagzeilen. Der Kontrast zwischen den hochgesteckten und teilweise sogar selbstgefälligen Erwartungen und den tatsächlichen Ergebnissen hätte kaum größer sein können. Die alarmierenden TIMSS-Befunde stehen im krassen Gegensatz zu der bis dahin weit verbreiteten Überzeugung, das deutsche Bildungssystem zeichne sich durch besondere Stärken im mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich aus. Zwar lösen deutsche Schüler Aufgaben, die erfolgreich mit Alltagswissen bearbeitet werden können, verhältnismäßig leichter und sind stark in der Durchführung von Routineverfahren und der Reproduktion von gelerntem Faktenwissen, doch scheitern die Schüler in offenen, problemhaltigen und ungewohnten Kontexten.[2] Ihre Schwächen treten demzufolge gerade dann hervor, wenn Kenntnisse aus mehreren Sachgebieten vernetzt werden müssen und/oder mehrschrittige Lösungen bzw. Transfer erforderlich sind.[3]

Wurde über Jahre detailliert mittels Lehrplänen geregelt, was Schüler lernen sollten, wurde die Kontrolle der Ergebnisse, die durch diese Input-Steuerung zu Stande kamen, völlig vernachlässigt. Dementsprechend wurde immer häufiger gefordert, sich an den Lernergebnissen der Schüler zu orientieren.[4] Diesem Wunsch wurde durch den Beschluss der Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss nachgekommen. Bildungsstandards formulieren allgemeine und inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen, die zur Erlangung des Mittleren Schulabschlusses erreicht werden müssen. Durch Bildungsstandards wird der Output „zum entscheidenden Bezugspunkt für die Beurteilung des Schulsystems und für Maßnahmen zur Verbesserung und Weiterentwicklung“[5] Nach der Expertise zur Entwicklung nationaler Standards, der so genannten Klieme-Kommission, umfasst der „Output von Bildungssystemen […] im Wesentlichen den Aufbau […] von Persönlichkeitsmerkmalen bei den Schülern, mit denen die Basis für ein lebenslanges Lernen zur persönlichen Weiterentwicklung und gesellschaftlichen Beteiligung gelegt ist“[6].

Die Förderung von allgemeinen und inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen erfordert implizit folgende Qualitätsmerkmale vom Mathematikunterricht:[7]

- Lernen in realen Kontexten.
- Verstärkung von Selbsttätigkeit bzw. eigenständiger Aneignung.
- Eine Unterrichtskultur, die Problemlösen, vernetztes Denken und kooperative Lernformen fördert sowie verschiedene Lösungswege berücksichtigt.
- Stärkere Binnendifferenzierung und größere Methodenvielfalt.

Aus diesem Grund versuche ich, eine Unterrichtsreihe durchzuführen, die diese Aspekte berücksichtigt und somit die Entwicklung allgemeiner und inhaltsbezogener Kompetenzen im Fach Mathematik unterstützt.

Die Arbeit beginnt mit der Erläuterung der Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss. Im Anschluss daran werden die Planung der Unterrichtsreihe zu linearen Funktionen und die ihr zugrunde liegenden Intentionen dargestellt. Im vierten Kapitel folgt die Planung, Durchführung und Reflexion zweier ausgewählter Unterrichtseinheiten. Danach wird die gesamte Reihe reflektiert und sich auf Erfahrungen bezogen, die bei ihrer Durchführung gemacht wurden. Die Arbeit schließt mit einer Schlussbetrachtung und einem Fazit ab, bei der ich Rückschlüsse für den Mathematikunterricht ziehe.

2. Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Abschluss

2.1. Ziel, Umfang und Gestaltung von Bildungsstandards

Nicht zuletzt als Reaktion auf das schwache Abschneiden deutscher Schülerinnnen und Schüler bei den beiden Studien TIMSS und PISA und die aufgedeckten Probleme im deutschen Bildungssystem stellte die KMK bereits im Juli 2003 einen Entwurf zu Bildungsstandards für den Mittleren Schulabschluss vor, der in überarbeiteter Fassung am 04.12.2003 beschlossen wurde.[8]

Die Bildungsstandards sollen laut KMK insbesondere dazu dienen, die Qualität schulischer Bildung, die Vergleichbarkeit schulischer Abschlüsse und die Durchlässigkeit des deutschen Bildungssystems zu sichern.[9] Sie greifen allgemeine Bildungsziele auf und beschreiben, über welche Kompetenzen Schüler mit Erreichen eines bestimmten Abschlusses verfügen sollen.[10] Indem die Anwendung von Bildungsstandards „Hinweise für die notwendigen Förderungs- und Unterstützungsmaßnahmen“[11] bietet, ist sie Teil eines umfangreichen Systems der Qualitätssicherung, das auch Schulentwicklung sowie interne und externe Evaluation einschließt.

Auffällig ist, dass die deutschen Bildungsstandards als abschlussbezogene Regelstandards und nicht schulformbezogen konzipiert sind. Auch dies ist ein Hinweis darauf, dass mehr Vergleichbarkeit der Schulabschlüsse unterschiedlicher Schulformen erreicht werden soll. Durch Regelstandards wird im Unterschied zu Minimalstandards ein mittleres Niveau beschrieben, das Schüler zur Erlangung eines bestimmten Schulabschlusses erreicht haben sollen. Minimalstandards hingegen beschreiben ein unterstes Niveau, das bei einem erfolgreichen Schulabschluss nicht unterschritten werden darf. Der Grund für die Wahl dieses Standardtyps liegt offenbar darin begründet, dass Minimalstandards für Schulabschlüsse eine empirische Validierung voraussetzen, während Regelstandards zunächst einmal aus der Erfahrung der Schulpraxis entwickelt werden können. Diese können dann aber im Laufe der Zeit durch die Untergliederung in einzelne Kompetenzstufen eine notwendige Voraussetzung zur Formulierung von Minimalstandards schaffen.[12]

Die vereinbarten Regelstandards für den Mittleren Schulabschluss sollen folgenden Merkmalen genügen: „Sie

- greifen die Grundprinzipien des jeweiligen Unterrichtfaches auf,
- beschreiben die fachbezogenen Kompetenzen einschließlich zugrunde liegender Wissensbestände, die Schüler bis zu einem bestimmten Zeitpunkt ihres Bildungsganges erreicht haben sollen,
- zielen auf systematisches und vernetztes Lernen und folgen so dem Prinzip des kumulativen Kompetenzerwerbs,
- beschreiben erwartete Leistungen im Rahmen von Anforderungsbereichen,
- beziehen sich auf den Kernbereich des jeweiligen Faches und geben den Schulen Gestaltungsfreiräume für ihre pädagogische Arbeit,
- weisen ein mittleres Anforderungsniveau aus,
- werden durch Aufgabenbeispiele veranschaulicht.“[13]

Darüber hinaus fußen die Standards auf in der schulpraktischen Erfahrung gereiften fachspezifisch definierten Kompetenzmodellen, die u. a. theoretische Grundlagen der PISA-Studie einbeziehen.[14]

Im Folgenden sollen nun die Grundlagen der Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss genauer beleuchtet werden. Wie jedes andere Schulfach muss auch der Mathematikunterricht zeigen, inwiefern er zur Bildung beiträgt.

In Anlehnung an Heinrich Winter[15] kann er insbesondere durch die Ermöglichung folgender drei Grunderfahrungen bildend sein:

- „technische, natürliche, soziale und kulturelle Erscheinungen und Vorgänge mit Hilfe der Mathematik wahrnehmen, verstehen und unter Nutzung mathematischer Gesichtspunkte beurteilen,
- Mathematik mit ihrer Sprache, ihren Symbolen, Bildern und Formeln in der Bedeutung für die Beschreibung und Bearbeitung von Aufgaben und Problemen inner- und außerhalb der Mathematik kennen und begreifen,
- in der Bearbeitung von Fragen und Problemen mit mathematischen Mitteln allgemeine Problemlösefähigkeit erwerben.“[16]

Durch die drei Grunderfahrungen – Mathematik als anwendbare Wissenschaft, Mathematik als formale Wissenschaft und Mathematik als heuristisches Betätigungsfeld – wird der Begriff von mathematischer Bildung sehr weit gesteckt. Die bei PISA untersuchte „Mathematical Literacy“[17] (frei übersetzt als mathematische Grundbildung) – die Fähigkeit, die Rolle von Mathematik in der Welt zu erkennen und zu verstehen, begründet zu argumentieren und sich so mit der Mathematik zu befassen, dass man den individuellen Lebensanforderungen als kritischer, engagierter und reflektierender Bürger gerecht werden kann – ist bei den Bildungsstandards ein Teilziel. Komplettiert wird das Zielsystem der Bildungsstandards in Mathematik durch innermathematische Kompetenzen, die weiterhin nicht an Bedeutung verlieren. Der Unterricht in Mathematik soll sich nicht allein an der Fachsystematik der mathematischen Inhalte orientieren, sondern Wege für individuelles Lernen ermöglichen, damit mathematisches Wissen funktional und mit Einsicht situativ genutzt werden kann. Desweiteren soll der Unterricht in Mathematik selbstständiges Lernen, die Entwicklung von kommunikativen Fähigkeiten und kooperativem Verhalten fördern und zielt somit gemeinsam mit anderen Fächern in höchstem Maße auf Persönlichkeitsentwicklung und Wertorientierung.[18]

2.2. Allgemeine mathematische Kompetenzen

In Abbildung 2.1 sind die allgemeinen mathematischen Kompetenzen der KMK zu sehen. Diese sind an die Kompetenzen 2 bis 7 der Rahmenkonzeption der PISA-Studie angelehnt[19] und spielen eine große Rolle bei der Anlage eines allgemeinbildenden Mathematikunterrichts. Diese Kompetenzen sind für alle Tätigkeiten des mathematischen Arbeitens relevant, d. h. sie werden in der Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten benötigt. Dabei werden die sechs Kompetenzen jeweils in Kombination mit den anderen erworben bzw. angewendet, sie können demzufolge nicht einzeln für sich trainiert werden.[20]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.1: Allgemeine mathematische Kompetenzen im Fach Mathematik[21]

In den folgenden Abschnitten werden zwar die allgemeinen mathematischen Kompetenzen einzeln erläutert und konkretisiert, dennoch sollte klar sein, dass sie nicht präzise voneinander abzugrenzen bzw. teils sogar eng miteinander verzahnt sind.

2.2.1. Mathematisch argumentieren (K 1)

Argumentieren ist eine Fähigkeit, die tief im Bewusstsein der Gesellschaft verankert ist.[22] Redewendungen wie „die Regelung wurde aus gutem Grund getroffen“, „alle Argumente sprachen dafür“ oder „die Behauptungen konnten der Überprüfung nicht standhalten“ weisen auf die Gegenwärtigkeit ihrer Verwendung hin. Weder Kommunikation, noch Kooperation oder die Entscheidungsfindung eines Menschen bzw. einer Gruppe sind ohne Argumentation denkbar, und dafür sind vor allem zwei Aspekte verantwortlich: Der Wunsch nach Stimmigkeit und die Orientierung an rationalem Verhalten.[23] Die Kompetenz mathematischen Argumentierens zeigt sich besonders in der Entwicklung von Argumentationen, die unterschiedlicher Strenge sein können, angefangen bei einfachen Erläuterungen bis hin zu formalen Beweisen. Dazu zählt auch, Lösungswege schlüssig zu beschreiben und zu erklären sowie Fragen nach dem Warum zu stellen und begründete Vermutungen zu äußern.[24]

Indem das Argumentieren im Mathematikunterricht gepflegt wird, trägt der Unterricht zur Allgemeinbildung bei, da eine Haltung gefördert wird, die sich gedanklicher Klarheit und kritischer Rationalität bedient.[25]

2.2.2. Probleme mathematisch lösen (K 2)

Die Kompetenz, Probleme mathematisch zu lösen, ist auf unterstem Anforderungsniveau vorhanden, wenn sich Schüler beim Lösen von Routineaufgaben zu helfen wissen.[26] Routineaufgaben sind hierbei Aufgaben, deren Lösungswege klar vorgegeben sind und die nach einem bekanntem Schema gelöst werden können. Nun kann ein Problem auch derart beschaffen sein, dass nicht offensichtlich ist, wie und mit welchen Regeln es gelöst werden kann. Die Schüler sollen in diesem Fall in der Lage sein, aus bekannten Verfahren ein geeignetes auszuwählen, es ggf. abzuändern, mit anderen zu verknüpfen oder gar neue Ansätze zu entwickeln. Sie sollen folglich geeignete Heurismen – d. h. heuristische Hilfsmittel, Strategien und Prinzipien – heraussuchen und anwenden.[27] Zu den heuristischen Hilfsmitteln gehören informative Figuren, z. B. Skizzen und Grafiken, Tabellen und Gleichungen.[28] Heuristische Strategien sind bspw. das Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten sowie das systematische Probieren.[29] Vorwärtsarbeiten bedeutet, dass man von dem ausgeht, was gegeben ist, sich überlegt, was man über das Gegebene weiß und von dort aus die Lösung sucht. Beim Rückwärtsrechnen dagegen fängt man beim Gesuchten an und überlegt sich, was benötigt wird, um dieses Gesuchte zu ermitteln. Als heuristische Strategien seien hier beispielhaft das Analogie- und das Extremalprinzip genannt. Beim Analogieprinzip[30] geht es darum, Lösungsideen anhand von Ähnlichkeiten zu bereits gelösten Aufgaben zu finden. Beim Extremalprinzip[31] hingegen sucht man extreme Fälle unter mehreren möglichen Alternativen. Eine weitere Konkretion der Kompetenz „Probleme mathematisch lösen“ stellt die Plausibilitätsüberprüfung der Resultate sowie die Reflexion der Lösungswege dar.[32]

2.2.3. Mathematisch modellieren (K 3)

Mathematisches Modellieren findet immer dann statt, wenn Mathematik in Beziehung zur Realität bzw. zur Umwelt gesetzt wird.[33] Beim Modellieren werden i. d. R. mehrere Schritte durchlaufen. In einem ersten Schritt wird ein bestimmtes Problem zu einem Realmodell strukturiert. Dies kann bspw. durch das Anfertigen einer Skizze geschehen. Das Realmodell wird anschließend mathematisiert, d. h. in ein mathematisches Modell („in mathematische Begriffe, Strukturen und Relationen“[34] ) übersetzt. Dieses Modell wird im Laufe des Lösungsprozesses weiter bearbeitet, z. B. durch Berechnen einer Lösung, grafisches Arbeiten oder begriffliches Argumentieren. Die daraus resultierenden Ergebnisse werden interpretiert, das bedeutet auf die Ausgangssituation transferiert, und anschließend validiert, um zu prüfen, wie plausibel die Ergebnisse für die Ausgangssituation sind bzw. ob das Modell für diese Situation Gültigkeit besitzt. Kommt man dadurch zu dem Schluss, dass die Ergebnisse oder das Modell unbrauchbar sind, so beginnt der Prozess von neuem.[35] Die folgende Grafik soll nochmals die einzelnen Schritte veranschaulichen, die mit dem Prozess des mathematischen Modellierens verbunden sind.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.2: Modellierungskreislauf[36]

Im einfachsten Fall bzw. auf niedrigem Niveau, z. B. wenn bereits ein mathematischer Gegenstand betrachtet wird, kann unter Modellieren auch nur ein Teilprozess des oben geschilderten Modellierungskreislauf verstanden werden. Dabei werden dann nur ein einziger oder wenige Modellierungsschritte durchlaufen.

2.2.4. Mathematische Darstellungen verwenden (K 4)

Die Kompetenz „mathematische Darstellungen verwenden“ ist je nach Intensität, d. h. in welchem Maße Darstellungen genutzt oder eigenständig erstellt werden müssen, differenzierbar. Auf niedrigstem Niveau müssen Schüler dazu fähig sein, Informationen aus vorhandenen Darstellungen wie Tabellen, Graphen oder Diagrammen zu entnehmen und mit Hilfe gegebener Informationen vertraute und geübte Darstellungen von mathematischen Objekten anzufertigen bzw. zu vervollständigen.[37] Darüber hinaus sollen die Schüler die Verbindungen zwischen den verschiedenen Darstellungsformen erkennen, beliebig zwischen diesen wechseln können[38] und, wenn verschiedene Darstellungen miteinander in Beziehung gesetzt werden, diese hinsichtlich ihrer Wahl, ihrer Übereinstimmungen und Divergenzen untersuchen können. In höchstem Maße ist die Kompetenz K 4 erfüllt, wenn eigene Darstellungen entwickelt bzw. bekannte oder unbekannte Darstellungen entsprechend ihrem Zweck oder ihrer Aussagekraft bewertet und reflektiert werden.[39]

2.2.5. Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K 5)

Zu dieser Kompetenz gehört die Benutzung von Variablen, Termen und Formeln, das Lösen von Gleichungen, das Vornehmen von Berechnungen sowie das Arbeiten mit Funktionen, Diagrammen und Tabellen. Zudem sollen die Schüler im Stande sein, symbolische und formale Sprache zu entschlüsseln, sie zu interpretieren, ihre Beziehung zur natürlichen Sprache zu verstehen, sie in diese zu transformieren und umgekehrt.[40] Sie sollen Hilfsmittel wie Formelsammlungen, Software und Taschenrechner mit Verstand auswählen und sinngemäß einsetzen und sich deren Grenzen bewusst sein. Um ausgeführte Lösungswege überprüfen zu können, sollen Kontrollverfahren genutzt und hinsichtlich ihrer Effizienz eingeschätzt werden.[41]

2.2.6. Kommunizieren (K 6)

Viele behaupten, dass sprachliche und mathematische Fähigkeiten natürliche Gegensätze seien; in den letzten Jahren findet aber immer mehr die Bedeutung sprachlicher Aktivität für das verstehensorientierte Mathematiklernen Anerkennung.[42] Leuders geht sogar soweit, Mathematik ohne Sprache als „sinnentleerte Mathematik“[43] zu bezeichnen. Im Vergleich zu K 1 zeigt sich die Kompetenz des Kommunizierens nicht nur bei Begründungen, sondern in jeglicher Art der Mitteilung. Sie beinhaltet, mathematische Sachverhalte mündlich und schriftlich auszudrücken, d. h. auch Lösungswege, Überlegungen und Resultate zu dokumentieren und zu präsentieren.[44] Dies sollte in einer Form geschehen, die den rezeptiven und fachlichen Fähigkeiten des Adressaten angepasst ist und somit der Verständigung dienlich ist. Umgekehrt sollten Empfänger von Mitteilungen Aussagen von anderen nachvollziehen sowie Informationen aus mathematischen Texten, Graphiken und Abbildungen erfassen können. Weitere Komponenten des Kommunizierens sind, mit Fehlern konstruktiv umzugehen und Äußerungen von anderen zu überprüfen und zu beurteilen.[45]

2.3. Leitideen und inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen

Die oben beschriebenen allgemeinen mathematischen Kompetenzen können nur in Verbindung mit mathematischen Inhalten erlangt werden. Diese sind gewissen Leitideen zugeordnet:

- Zahl (L 1),
- Messen (L 2),
- Raum und Form (L 3),
- Funktionaler Zusammenhang (L 4),
- Daten und Zufall (L 5).[46]

Bevor diese Leitideen genauer betrachtet bzw. zugehörige inhaltsbezogene Kompetenzen genannt werden, soll zunächst auf den theoretischen Hintergrund von Leitideen eingegangen werden.

Das Konzept der Leitideen geht auf Bruners fundamentale Ideen zurück. Heymann begründet die Diskussion um fundamentale oder auch zentrale Ideen damit, dass der Stoffisolation entgegengewirkt, ein angemessenes Mathematikbild vermittelt werden soll und Anwendungs- und Lebensbezüge hergestellt werden sollen.[47] Fundamentale Ideen stehen für die zentralen Gedanken eines Faches, vermitteln Grundstrukturen und lassen sich durch folgende vier Kriterien charakterisieren:[48]

- Sie sind in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft vielfältig anwendbar oder erkennbar (Horizontalkriterium).
- Sie können auf jedem intellektuellen Niveau aufgezeigt und vermittelt werden (Vertikalkriterium).
- Sie müssen einen Bezug zu Sprache und Denken des Alltags und der Lebenswelt besitzen (Sinnkriterium).
- Sie sind in der historischen Entwicklung der Wissenschaft deutlich wahrnehmbar und bleiben längerfristig relevant (Zeitkriterium).
Von der Orientierung an fundamentalen Ideen erhofft sich Bruner insbesondere vier positive Folgen für den Unterricht:[49]
- Der Lehrgegenstand wird fasslicher, wenn man seine grundlegenden Prinzipien versteht.
- Einzelheiten werden nicht so schnell wieder vergessen, wenn sie nach Ideen strukturiert wurden.
- Der Transfereffekt wird ermöglicht.
- Übergänge von der Grundschule zu höheren Bildungseinrichtungen werden erleichtert, weil bei der Wissensaneignung Niveau- und keine prinzipiellen Unterschiede vorliegen.

Damit jedem Schüler „auf jeder Entwicklungsstufe jeder Lehrgegenstand in einer intellektuell ehrlichen Form erfolgreich gelehrt werden“[50] kann, müssen die fundamentalen Ideen in mehr oder weniger regelmäßiger Wiederkehr behandelt werden, und zwar auf einem jeweils höheren Niveau, in einer anderen, umfassenderen Sichtweise und mit anderen Schwerpunkten. Diese Ausrichtung des Unterrichts wird von der KMK entsprechend für Leitideen formuliert: „Eine Leitidee vereinigt Inhalte verschiedener mathematischer Sachgebiete und durchzieht ein mathematisches Curriculum spiralförmig.“[51] Aus dem Spiralprinzip lassen sich für die unterrichtliche Tätigkeit das Prinzip des Vorwegnehmens und das Prinzip der Fortsetzbarkeit ableiten, die besagen, dass die Behandlung eines Wissensgebietes möglichst früh in einfacher Form einzuleiten ist und ein Thema so behandelt werden soll, dass später für die Lernenden kein Umdenken nötig ist.[52]

Im Folgenden werden exemplarisch für die Leitidee 4 „Funktionaler Zusammenhang“ einige inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen aufgezählt, da diese in der durchgeführten Unterrichtsreihe die größte Rolle gespielt hat. Für weitere inhaltsbezogene Kompetenzen auch bezüglich der anderen Leitideen sei an dieser Stelle auf die Ausführungen der Kultusministerkonferenz[53] verwiesen.

Beispiele für inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen der Leitidee 4:[54]

Die Schüler

- verwenden Funktionen, um quantitative Zusammenhänge zu beschreiben,
- erfassen funktionale Zusammenhänge und stellen diese in geeigneter Form dar,
- lösen realitätsnahe Probleme mittels Zuordnungen,
- bestimmen charakteristische Merkmale von Funktionen und stellen Beziehungen zwischen ihren Darstellungsformen her.

2.4. Anforderungsbereiche der allgemeinen mathematischen Kompetenzen

Um die Intensität der Ausprägung einer allgemeinen mathematischen Kompetenz differenziert erfassen zu können bzw. um feststellen zu können, in welchem Maße diese Kompetenz beim Lösen von Aufgaben und Problemen in Anspruch genommen wird, hat die KMK in Anlehnung an die PISA-Kompetenzklassen[55] sowie die Einheitlichen Prüfungsanforderungen in der Abiturprüfung (EPA) drei Anforderungsbereiche definiert: „Reproduzieren, Zusammenhänge herstellen sowie Verallgemeinern und Reflektieren.“[56]

Die zur Operationalisierung der sechs allgemeinen mathematischen Kompetenzen notwendigen Anforderungsbereiche werden wie folgt charakterisiert:[57]

- Anforderungsbereich I: Reproduzieren

Dieser Anforderungsbereich schließt insbesondere Routine- bzw. Wiederholungstätigkeiten mit ein. Dazu gehören die Wiedergabe und unmittelbare Anwendung von elementaren Begriffen, Definitionen, Sätzen und Formeln in einem abgegrenzten Gebiet sowie die Beschreibung und Verwendung gelernter und geübter Verfahrensweisen.

- Anforderungsbereich II: Zusammenhänge herstellen

Dem zweiten Anforderungsbereich sind Tätigkeiten zuzuordnen, die über die Reproduktion in einem abgesteckten Gebiet hinausgehen, indem beim Bearbeiten von bekannten Sachverhalten Verknüpfungen zwischen Kenntnissen, Fertigkeiten und Fähigkeiten hergestellt werden, die beim Betreiben von Mathematik erworben wurden, und auf diese Weise neues Wissen generiert wird.

- Anforderungsbereich III: Verallgemeinern und reflektieren

Die Anforderungen dieses Bereichs mit der höchsten Kompetenzausprägung werden erfüllt, wenn die Schüler komplexe Situationen bearbeiten, die ihnen abverlangen, selbstständig eigene Lösungswege, Folgerungen, Deutungen und Beurteilungen zu entwickeln.

Um die Beanspruchung der allgemeinen mathematischen Kompetenzen besser analysieren zu können, hat die Kultusministerkonferenz eine tabellarische Übersicht erstellt, aus der die Ausdifferenzierung der Kompetenzen in den drei Anforderungsbereichen ersichtlich wird.[58]

3. Planung der Unterrichtsreihe

Die oben beschriebenen Bildungsstandards finden in meiner Planung der Unterrichtsreihe zu linearen Funktionen besondere Berücksichtigung. Doch bevor die eigentliche Planung der Reihe didaktisch-methodisch begründet wird, sollen die Lehr- und Lernbedingungen der Klasse geschildert werden, welche die Grundlage für meine Unterrichtskonzeption bilden. Der Verlauf der Unterrichtsreihe ist im Anhang tabellarisch dargestellt.

3.1. Lehr- und Lernbedingungen

Die Unterrichtsreihe zu linearen Funktionen wird vom 15. Mai bis zum 27. Juni 2006 in der Berufsfachschule der Fachrichtung Wirtschaft und Verwaltung in der Klasse 10 BF E durchgeführt. Seit Beginn des Schuljahres 2005/2006 bin ich pro Woche drei Stunden bedarfsdeckend in dieser Klasse im Fach Mathematik eingesetzt.

Rahmenbedingungen der Klasse: Die Klasse 10 BF E setzt sich aus elf Schülerinnen und acht Schülern zusammen. Das Alter der Schüler liegt zwischen 15 und 19 Jahren, eine für eine zehnte Berufsfachschulklasse relativ normale Altersstruktur. Die formale Vorbildung der Schüler ist zwar bei allen gleich – alle haben einen Hauptschulabschluss – dennoch zeigen sich deutliche Unterschiede in den Leistungen. Vier Schülerinnen und drei Schüler wiederholen die zehnte Klasse der Berufsfachschule und verfügen daher bereits über gewisse Vorkenntnisse.

Die Schüler unterscheiden sich stark bzgl. ihrer Herkunft bzw. ihres kulturellen Hintergrunds, z. B. haben drei Schüler einen islamischen Hintergrund und fünf Schüler sind so genannte Russlanddeutsche. Aus diesem Grund haben einige Schüler Probleme beim Lesen bzw. Verstehen von Texten, was die Bearbeitung von Textaufgaben erschwert, aber auch bei der Formulierung und Verbalisierung von Gedanken, Erklärungen und Begründungen.

Das soziale Klima innerhalb der Klasse ist recht gut und entspannt. Zwar necken sich die Schüler viel und gerne, dies geschieht allerdings – soweit ich das beurteilen kann – niemals böswillig. Man kann folglich von einer intakten Klassengemeinschaft sprechen. Ein Schüler nimmt jedoch eine Sonderstellung ein. Rein äußerlich ist dies daran zu erkennen, dass er in der Regel weit weg von seinen Mitschülerinnen und Mitschülern direkt vor dem Lehrerpult sitzt. Die Ursache für dieses Verhalten ist eine Augenkrankheit des Schülers, aufgrund derer der Schüler trotz Brille den Tafelschrieb wie auch projezierte Folien nur schlecht erkennen kann. Vermutlich – da er diese Krankheit schon seit klein auf hat – zieht er sich im Allgemeinen sehr von seinen Mitschülern zurück, meidet weitestgehend soziale Kontakte, ist dadurch in der Entwicklung seinen Mitschülern ein wenig hinterher und nimmt eine Außenseiterrolle ein. Ihm kommt daher besonders die Arbeit in Teams zugute.

Auch aufgrund vieler Feiertage im Mai fallen im Zeitraum der Durchführung der Unterrichtsreihe viele Unterrichtsstunden aus, sodass die zeitlichen Abstände zweier aufeinander folgender Unterrichtsstunden teils beträchtlich groß sind. Ich denke, dass die Lernenden aus diesem Grund von einer Mathestunde auf die andere Mathestunde viel Gelerntes vergessen werden, sodass ich gerade zu Beginn von Unterrichtsstunden größeren Spielraum für Wiederholung bzw. Auffrischung zulassen werde, indem z. B. Hausaufgaben ausführlicher besprochen werden.

Lernbereitschaft und -fähigkeit: Im Allgemeinen bin ich mit den Leistungen der Klasse zufrieden. Von Arbeit zu Arbeit haben sich die Schüler gesteigert, die letzte Arbeit hatte sogar einen äußerst erfreulichen Notenschnitt von etwa 2,7. Immer wieder gebe ich den Schülern Aufgaben mit Lösungshinweisen, die sie neben den Hausaufgaben auf freiwilliger Basis bearbeiten können. Einige Schüler nutzen diese Möglichkeit des Trainings und steigern dadurch selbstständig ihre mathematischen Fähigkeiten. Trotz dieser zusätzlichen Übmöglichkeiten und obwohl ich zu Beginn des Schuljahres eine lange Kompensationsphase eingerichtet hatte, scheinen zwei Schülerinnen und ein Schüler langsam den Anschluss zu verlieren. Ich denke allerdings, dass diese noch lange nicht an den Grenzen ihrer Leistungsfähigkeit angelangt sind, sondern sie sich zum einen oft hinter den Leistungen anderer verstecken oder einfach unkonzentriert und abgelenkt sind. Aus diesem Grund versuche ich, sie überwiegend durch Gruppenarbeit in relativ kleinen Teams mit drei Mitgliedern in die Pflicht zu nehmen, damit sie mehr gefordert werden, selber zu arbeiten und sich eigenständige Gedanken zu machen.

Aus den Leistungsunterschieden resultiert das unterschiedliche Lerntempo der Schüler. Die Schwächeren bedürfen einer starken Hilfestellung, die sie teils durch Mitschüler, teils durch intensive Einzelbetreuung von mir bekommen. Für die guten bzw. sehr guten Schüler besteht immer wieder die Gefahr, dass sie unterfordert werden und sich langweilen. Als Konsequenz daraus habe ich teils Zusatzaufgaben für diese Schüler, gebe ihnen komplexere Aufgabenstellungen oder setze sie sozusagen als meine Assistenten ein, um andere beim Lernen zu unterstützen.

Grundsätzlich ist die Klasse sehr lebhaft und aufgeweckt. Einige Schüler melden sich sehr viel, zeigen gerne ihre Lösungen an der Tafel und wollen sehr schnelle und direkte Bestätigungen von mir, wenn sie ihre Arbeitsaufträge erledigt haben. Einerseits freut mich dieser Ehrgeiz, problematisch ist allerdings die dabei entstehende Unruhe. Diese tritt insbesondere beim lehrerzentrierten Unterricht auf, wenn Aufgaben zum Vergleichen oder zur Ergebnissicherung an die Tafel geschrieben werden oder wenn Wartezeiten entstehen. Die Arbeitshaltung der Schüler im Gesamten ist aber in Ordnung. Nur in Einzelfällen muss ich eine Schülerin oder einen Schüler ermahnen mitzuarbeiten bzw. mitzuschreiben.

Die Lernenden neigen dazu, immer wieder zu fragen, wozu sie den Stoff aus dem Mathematikunterricht überhaupt gebrauchen können. Ihnen ist folglich unklar, welche Verbindungen die Mathematik mit der Realität hat. Ich versuche deshalb sehr oft, anwendungsbezogene Aufgaben in den Unterricht zu integrieren, an denen die Schüler i. d. R. motivierter und gewissenhafter arbeiten.

Methodische und thematische Vorkenntnisse: Lineare Funktionen sollten laut Lehrplan bereits in der 8. Jahrgangsstufe behandelt worden sein. Wie mein Eingangstest Anfang des Schuljahres zeigte, können nur wenige Schüler der Klasse (quantitative) Zusammenhänge erfassen oder geeignet darstellen, geschweige denn Funktionen zeichnen, Funktionsgleichungen aufstellen und mit ihr Berechnungen durchführen. Auch aus diesem Grund steht in der Unterrichtsreihe die Leitidee „funktionaler Zusammenhang“ im Vordergrund.

Mit der Methode der Gruppenarbeit sind die Schüler bestens vertraut. Sie beherrschen es, miteinander zu kommunizieren, haben allerdings Schwierigkeiten bei der Kooperation mit anderen Teammitgliedern, und es fällt ihnen somit schwerer, die Gruppenarbeit für das eigene Lernen zu nutzen. Auch das Präsentieren bereitet den Lernenden unheimlich viel Mühe, nicht weil sie sich nicht trauen, sondern weil es ihnen schwer fällt, ihre eigenen Darstellungen zu erklären, und weil sie notwendige Präsentationstechniken außer Acht lassen. Um die Schüler allerdings nicht ängstlich zu machen und ihnen nicht das vorhandene Selbstbewusstsein zu nehmen, wirke ich darauf hin, dass die Schüler ihre Präsentationen nicht überkritisch auseinander nehmen, sondern erkennen, was sie gut gemacht haben, und peu a peu Vorschläge erarbeiten, wie sie ihre Vorträge weiter verbessern können.

3.2. Didaktische Begründung des Unterrichtsinhaltes

Für den Mathematikunterricht in der Berufsfachschule der Peter-Paul-Cahensly-Schule gibt es einen schulinternen Stoffverteilungsplan. Dieser gibt vor, welche Unterrichtsinhalte in den Jahrgangsstufen 10 und 11 bearbeitet werden sollen, damit die Schüler am Ende der Klasse 10 den Mittleren Abschluss erlangen können. Da alle Berufsfachschüler dieser Schule am Ende der 11. Klasse dieselbe Abschlussarbeit schreiben und das schuleigene Curriculum diesbezüglich gleiche Voraussetzungen schaffen soll, orientiere ich mich an ihm. Dem Curriculum zufolge dient das erste Halbjahr der 10. Klasse dazu, die Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division aufzufrischen und das Rechnen mit Summen und Differenzen, mit Quadratwurzeln sowie Potenzregeln und binomischen Formeln zu üben. Für den Beginn des zweiten Halbjahres sind lineare Gleichungen und Ungleichungen vorgesehen. In der geplanten Unterrichtsreihe im Anschluss daran wird es um lineare Funktionen gehen. Dieser Inhalt wird im Stoffverteilungsplan weiter untergliedert in Funktionsbegriff, Darstellung im Achsenkreuz, Berechnung der linearen Funktionsgleichung, Berechnung des Schnittpunktes zweier Geraden sowie Textaufgaben.

[...]


[1] Um einen besseren Lesefluss zu ermöglichen, wird im Folgenden auf eine geschlechterspezifische sprachliche Differenzierung verzichtet.

[2] Vgl. Leuders 2001, S. 63.

[3] Vgl. Leuders 2001, S. 63.

[4] Vgl. Klieme u. a. 2003, S. 11-12.

[5] Klieme u. a. 2003, S. 12.

[6] Klieme u. a. 2003, S. 12.

[7] Vgl. Leuders 2001, S. 63.

[8] Vgl. Kultusministerkonferenz 2004.

[9] Vgl. Kultusministerkonferenz 2004, S. 3.

[10] Vgl. Kultusministerkonferenz 2004, S. 3.

[11] Kultusministerkonferenz 2004, S. 3.

[12] Vgl. Huber u. a. 2006, S. 14.

[13] Kultusministerkonferenz 2004, S. 3.

[14] Vgl. Kultusministerkonferenz 2004, S. 3-4.

[15] Vgl. z. B. Winter 1996, S. 37.

[16] Kultusministerkonferenz 2004, S. 6.

[17] OECD 2003, p. 24.

[18] Vgl. Kultusministerkonferenz 2004, S. 6.

[19] Vgl. z. B. Golecki 2004, S. 4.

[20] Vgl. Kultusministerkonferenz 2004, S. 7.

[21] Kultusministerkonferenz 2004, S. 7.

[22] Vgl. Hefendehl-Hebeker; Hußmann 2003, S. 94.

[23] Vgl. Büchter; Leuders 2005, S. 44.

[24] Vgl. Kultusministerkonferenz 2004, S. 8.

[25] Vgl. Hefendehl-Hebeker; Hußmann 2003, S. 95.

[26] Vgl. Kultusministerkonferenz 2004, S. 14.

[27] Vgl. Kultusministerkonferenz 2004, S. 8.

[28] Vgl. Abels 2002, S. 27-32.

[29] Vgl. Abels 2002, S. 33-35.

[30] Vgl. Bruder; Müller 1990, S. 877-878.

[31] Vgl. Bruder 2000, S. 75-77.

[32] Vgl. Kultusministerkonferenz 2004, S. 8.

[33] Vgl. Büchter; Leuders 2005, S. 18.

[34] Kultusministerkonferenz 2004, S. 8.

[35] Vgl. Deutsches PISA-Konsortium 2001, S. 143-145.

[36] Blum u. a. 2004, S. 202.

[37] Vgl. Kultusministerkonferenz 2004, S. 8 und S. 15.

[38] Vgl. Kultusministerkonferenz 2004, S. 8.

[39] Vgl. Kultusministerkonferenz 2004, S. 15.

[40] Vgl. Kultusministerkonferenz 2004, S. 8.

[41] Vgl. Kultusministerkonferenz 2004, S. 15.

[42] Vgl. Leuders 2003b, S. 59.

[43] Leuders 2003b, S. 59.

[44] Vgl. Kultusministerkonferenz 2004, S. 9.

[45] Vgl. Kultusministerkonferenz 2004, S. 16.

[46] Vgl. Kultusministerkonferenz 2004, S. 9.

[47] Vgl. Heymann 1996, S. 168.

[48] Vgl. Humenberger; Reichel 1995, S. 12.

[49] Vgl. Bruner 1973, S. 35-38.

[50] Bruner 1973, S. 44.

[51] Kultusministerkonferenz 2004, S. 9.

[52] Vgl. Wittmann 2002, S. 86.

[53] Vgl. Kultusministerkonferenz 2004, S. 10-12.

[54] Vgl. Kultusministerkonferenz 2004, S. 11-12.

[55] Vgl. z. B. Golecki 2004, S. 4.

[56] Kultusministerkonferenz 2004, S. 13.

[57] Vgl. Kultusministerkonferenz 2004, S. 13.

[58] Vgl. hierzu Kultusministerkonferenz 2004, S. 13-16.

Ende der Leseprobe aus 79 Seiten

Details

Titel
Lineare Funktionen in der Berufsfachschule. Planung und Durchführung einer Unterrichtsreihe
Untertitel
Unter besonderer Berücksichtigung der Bildungsstandards für Mittlere Abschlüsse
Veranstaltung
Examensarbeit zur 2. Staatsprüfung im Rahmen des Studienreferendariats
Note
1,0
Autor
Jahr
2006
Seiten
79
Katalognummer
V60922
ISBN (eBook)
9783638544863
ISBN (Buch)
9783640203918
Dateigröße
2196 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Lineare, Funktionen, Berufsfachschule, Planung, Durchführung, Unterrichtsreihe, Berücksichtigung, Bildungsstandards, Mittlere, Abschlüsse, Examensarbeit, Staatsprüfung, Rahmen, Studienreferendariats
Arbeit zitieren
Andreas Wolf (Autor), 2006, Lineare Funktionen in der Berufsfachschule. Planung und Durchführung einer Unterrichtsreihe, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/60922

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