Der Seminarvortrag gliedert sich in zwei Teile:
In einem ersten Kapitel werden im Sinne der kommutativen Algebra Derivationen allgemein auf Moduln definiert und alle notwendigen Rechenregeln aufgezeigt und bewiesen. Außerdem werden noch einige grundlegende Sätze bewiesen.
Im zweiten Kapitel geht es ausschließlich um den Beweis eines wichtigen Satzes über das Bild von Derivationen auf Körpern. Da der Beweis etwas aufwendiger war, mussten hierzu erst eine Reihe von Hilfssätzen bewiesen werden.
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Seminarvortrag: Derivationen
Ein Ring R sei immer assoziativ, kommutativ mit Eins. R 0 sei ein Ring, R sei stets eine kommutative R 0 -Algebra und M ein R-Modul. (M kann ber den Strukturhomomorphismus: R 0 ;! R auch als R 0 -Modul betrachtet werden.)
1.1. Deenitionen:
Eine Derivation von R=R 0 nach M ist eine Abbildung d : R ;! M mit folgenden Eigenschaften: (i) d ist R 0 -linear
(ii) 8aa b 2 R : d ( ab) = a d(b) + b d(a) (Produktformel)
Solche Derivationen nennt man auch R 0 -Derivationen. F r R 0 = Z heiien Derivationen von R=Z einfach Derivationen von R (absolute Derivationen!). Da R selbst ein R-Modul ist, kann man auch R 0 -Derivation d : R ;! R betrachten.
FFr eine Algebra R=R 0 und einen R-Modul M bezeichne Der R 0 (RRM) die Menge aller R 0 -Derivationen d : R ;! M.
Behauptung: Der R 0 (RRM) ist ein R-Modul: z.z. 8 d d 0 2 Der R 0 (RRM) und 8r 2 R : (i) d + d 0 2 Der R 0 (RRM) (ii) r d 2 Der R 0 (RRM) Beweis: Seien 1 2 2 R 0 r 1 r 2 2 R : (i) Linearittt:
(d + d 0 )( 1 r 1 + 2 r 2 ) = d ( 1 r 1 + 2 r 2 )+d 0 ( 1 r 1 + 2 r 2 ) = 1 d r 1 + 2 d r 2 + 1 d 0 r 1 + 2 d 0 r 2 = = 1 (d + d 0 )(r 1 ) + 2 ( d + d 0 )(r 2 ) Produktregel:
(d + d 0 )(r 1 r 2 ) = d ( r 1 r 2 ) + d 0 (r 1 r 2 ) = r 1 d r 2 + r 2 d r 1 + r 1 d 0 r 2 + r 2 d 0 r 1 = = r 1 (d + d 0 )(r 2 ) + r 2 ( d + d 0 )r 1
(ii) Linearittt: ~ d : = r d ~ d( 1 r 1 + 2 r 2 ) = r (d( 1 r 1 + 2 r 2 )) = r ( 1 d r 1 + 2 d r 2 ) = 1 r d r 1 + 2 r d r 2 = = 1 ~ dr 1 + 2 ~ dr 2 Produktregel:
~ d(r 2 ) + r 2 ~ d(r 1 r 2 ) = r (d(r 1 r 2 )) = r (r 1 d r 2 + r 2 d r 1 ) = r 1 r d r 2 + r 2 r d r 1 = r 1 ~ d(r 1 )
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1.2. Regeln ffr Derivationen:
Ist R 0 eine Algebra ber einem Ring R 0 0 , dann ist jede R 0 -Algebra (jeder R 0 -Modul) auch
eine
R
0
0
-Algebra (ein
R
0
0
-Modul). Insbesondere ist jede
R
0
-Derivation eine
Z-Derivation.
1.3. Beispiele aus der Analysis:
(a) Sei U R n ooen, U 6 =
R := E(U) die R-Algebra der C 1 -Funktionen f : U ;! R. @X i : E(U) ;! E (U)) f 7 ;! @f Dann ist der Partialdiierentialoperator: @
@X i
jeweils eine R-Derivation von E(U)=R @ Beweis: klar nach Analysis I: (f) 0 = f 0 etc. R i , ! E (U) ;! E (U) @ X i
(b) FFr P 2 U sei R := E p die R-Algebra von Keimen der C 1 -Funktionen.
Dann ist anschaulich auch klar, daa die induzierte Abbildung:
@X i : E P ;! E P f] 7 ;! @f @
(c) R kann vermmge des Homom.: E P ;! R f] 7 ;! f(P) als E P -Modulbetrachtet werden.
Dann ist i : E P ;! R i f] : = @f @X i (P ) auch eine R-Derivation.
(d) Analog erhhlt man ber C eine Derivation von R ;! R, wenn R := O(U) die C -Algebra der holomorphen Funktionen von U C nach C bezeichnet.
1.4. Die triviale Derivation:
FFr beliebige Ringe R und R-Moduln M existiert stets die triviale Derivation: d : R ;! M 8r 2 R : d r := 0.
Es ist ooensichtlich, daa man hierdurch eine Derivation erhhlt, da die triviale Derivation das Nullelement d e s R-Moduls Der R 0 (RRM) ist (1.1).
1.5. Formale partielle Ableitung in Polynom- und Potenzreihen-Algebren:
R := R 0 X 1 : : : X n ]] bezeichne die R 0 -Algebra der formalen Potenzreihen in den Unbestimmten X 1 : : : X n . Notationen: := ( 1 : : : n ) 2 N n 0 X := X 1 1 : : : X n n jj := 1 + + n X
R 3 F = % X mit % 2 R 0 2N n 0
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Sei fdX 1 : : : d X n g eine Menge von Unbestimmten und M := RdX 1 RdX n der freie R-Modul ber der Basis fdX 1 : : : d X n g, der Modul der formalen Diierentialee. Dann wird durch d : R ;! M d F := @F @X 1 dX 1 + + @F @X n dX n eine R 0 -Derivation von R nach M gegeben. d F heiit das formale Diierential von F.
Analog erhhlt man ffr F 2 R 0 X 1 : : : X n ] :
M
n
@X i 2 R 0 X 1 : : : X n ] und d F 2 @F R 0 X 1 : : : X n ] d X i i=1
D.h. @ @X i und d induzieren also R 0 -Derivationen in der Polynomalgebra.
Bemerkung: FFr n = 1 schreibt man F 0 anstelle von @F @X ffr alle F 2 R 0 X]]
ACHTUNG: Formelle Integration in R 0 X]] ist nur im Falle Q R 0 mmglich:
X X
% i
1 1 i+1 2 R 0 . i + 1 X i+1 dabei ist % i % i X i und F := Sei f := i=0 i=0
Dann ist F 0 = f wegen Q R 0 X
Gegenbeispiel: Sei
f
:=
X
p;1
2
F
p
X] und
F
:=
Annahme: f = F 0 =
1.6. Die Euler-Derivation eines graduierten Rings:
M X
R
n
sei ein graduierter Ring und ffr
r
2
R
sei
r
=
R
=
r
n
die Zerlegung in
n2Z homogene Elemente. Weiterhin sei d : R ;! R d(r) : =
Behauptung: d 2 Der R 0 (R)
Beweis: Die R 0 -Linearittt ist klar. X X !! X !
X
r i s j r i j s j + i r i s j = r d(s) + s d(r) d(rs) = d = i+j=n i+j=n n2Z n2Z
Bemerkung: Sei f = P % i X i 2 RX] ein Polynom.
Dann ergibt die Euler-Derivation fr f:
P % n X n 6 = f 0
d(f) = Beachte: X @ @X 2 Der R 0 (RRR) (1.1)
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Deenitionen, Beispiele, Regeln: 5
1.7. Rechenregeln ffr Derivationen:
d : R ;! M sei eine R 0 -Derivation von einem Ring R in einen R-Modul M.
8n 2 Z : d ( n 1) = 0 (a) d(1) = 0
Beweis: d(1) = d(1 1) = 1 d(1) + 1 d(1) =) d(1) = 0 d(n 1) = n d(1) = 0 8n 2 Z, d a d Z-linear.
X
n
(b) d(x 1 : : : x n ) = x i : : : x n d(x i ) 8x i 2 R x 1 : : : ^ i=1
speziell: d(x n ) = nx n;1 d(x) 8x 2 R Beweis: Induktion mit Produktformel bzw. x 1 = : : : = x n =: x (c) P := ker(d) ist ein Untering von R und d ist eine Derivation von R=P. Das Bild von R 0 in R ist in P enthalten.
Beweis: P ist Untergruppe von (RR+). Die Produktregel zeigt, daa P Unterring und d P-linear ist.
8r 0 2 R 0 : d(r 0 1) = r 0 d(1) = 0 =) %(R 0 ) P % : R 0 ;! R bezeichne den Strukturhomomorphismus! (d) I sei bel. Ideal von R, n > 0 Dann gilt: d(I n ) I n;1 M Beweis: Die Elemente von I n sind endliche Summen von Produkten der Form: x 1 : : : x n x i 2 I. Behauptung folgt aus (b) (e) (Quotientenformel):
Falls s 2 R eine Einheit ist, gilt: 8r 2 R : d ( rs ;1 ) = ( s ;1 ) 2 (s d r ; r d s) speziell: d s ;1 = ;(s ;1 ) 2 d s Beweis: 0 = d(1) = d(ss ;1 ) = s d s ;1 + s ;1 d s =) Beh.
(f) N R 0 sei multiplikativ abgeschlossen und % : R 0 ;! R induziere einen Ringho-momorphismus: : ( R 0 ) N ;! R. d ist in diesem Fall auch Derivation von R=(R 0 ) N Beweis: Nach (e) ist im() ker(d), also kann (c) angewendet werden. (g) Derivation von Polynomen:
Sei f 2 R 0 X 1 : : : X n ] ein Polynom, x 1 : : : x n 2 R. Dann gilt: X
n @f
d(f(x 1 : : : x n )) = (x 1 : : : x n ) d x i
@X i
i=1
Wenn g 1 : : : g n 2 R 0 Y 1 : : : Y m ]] Potenzreihen in Y 1 : : : Y m sind und h := f(g 1 : : : g n ). Dann gilt:
X
n @h @f (g 1 : : : g n ) @g i
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Oder noch allgemeiner: FFr f 1 : : : f t 2 R 0 X 1 : : : X n ] und h i := f i (g 1 : : : g n ) (i = 1 : : : t ) gilt die Kettenregel ffr Jakobi-Matrizen:
@(h 1 : : : h t ) @(Y 1 : : : Y m ) = @(f 1 : : : f t ) @(X 1 : : : X n ) (g 1 : : : g n ) @(g 1 : : : g n ) @(Y 1 : : : Y m )
Beweis: Sei f = P % X (% 2 R 0 ) P % d(x 1
1 : : : x n n ) Da d R 0 -linear ist, gilt: d f(x 1 : : : x n ) =
1 : : : x n n ) = P n i=1 i x 1
1 : : : x i ;1 : : : x n n d x i Nach (b) gilt: d(x 1
i
X i % x 1 d x i X
n
Diese Regel kann ooensichtlich n i c ht generell ffr Potenzreihen f i 2 R 0 X 1 : : : X n ]] gelten (Sinn!). Allerdings lllt sie sich,falls h i := f i (g 1 : : : g n ) einen Sinn ergibt auf komplizierterem Wege beweisen, d.h. sie stimmt solange Sinnvolles dastehtt! Begrrndung: Seien g = 1 und f = P X k Potenzreihen in R 0 X]] P 1 bedeuten?
Was soll dann f(g) ? =
(h) Derivation von Determinanten:
Sei : = det(a ik ) die Determinante einer nn-Matrix (a ik ) mit Koeezienten a ik 2 R.
X
n
ik d a ik wobei ik := (;1) i+k A ik und A ik den Minor von (a ik ) Dann gilt: d d = iik=1
bezeichnet, den man durch Streichen der i;ten Zeile und k;ten Spalte erhhlt. Beweis: FFr = det(X ik ) mit Unbestimmten als Koeezienten gilt: @ @X ik = ik ,
nach Entwicklung bzgl. der i;ten Zeile. Beh. folgt dann aus (g)!
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Deenitionen, Beispiele, Regeln: 7
Beispiele ffr Algebren mit nur trivialen Derivationen folgen in den nnchsten beiden SStzen.
Beweis:
Sei x 2 K 0 bel. und f 2 K 0 X] das Minimalpolynom von x ber K 0 . Da f separabel ist gilt f 0 (x) 6 = 0 (Algebravorlesung!) =) 0 = d(0) = d(f(x)) = f 0 (x) d x =) d x = 0 = ) x 2 ker(d)
1.9.
Satz:
Sei R ein Ring von Primzahlcharakteristik p. Behauptung: 8 d 2 Der Z (RRM) : R p ker(d)
Speziell: Falls K ein vollkommener KKrper der Char(K) = p > 0 ist, so ist jede Derivation d : K ;! M trivial.
Beweis:
Sei r 2 R bel. =) d r p = pr p;1 d r = 0
Falls K ein vollkommener KKrper mit Char(K) = p > 0 ist, gilt K = K p (Algebra!)
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2. ber das Bild von Derivationen:
In diesem Abschnitt geht es um Derivationen auf KKrpern!
Motivation:
Beweis: L ist endlichdim. K-VR und es gilt:
(Dimensionsformel) dim K (L) = d i m K ker(d) + dim K im(d) Da d K-Derivation gilt nach 1.7.c) K ker(d) 2 =) dim K (L) > dim K (im(d)) =) Beh.
Es stellt sich daher die Frage, unter welchen Bedingungen es surjektive K-Derivationen von LjK gibt. Zur Beantwortung dieser Frage beschrrnke ich mich a u f d e n F all Char(K) = 0
Zum Beweis dieses Theorems benntigen wir noch einige Hilfssstze:
2.3.
Lemma:
L sei ein KKrper, d : L ;! L eine Derivation. a 2 L := a d Behauptung: d(L) = L () (L) = L
Beweis: ist Derivation nach 1.1 und der Rest ist trivial!
Nun zu einem Spezialfall von Theorem 2.2:
2.4. Satz:
Sei M := K(X 1 : : : X n ) der KKrper der rationalen Funktionen ber einem KKrper K, LjM eine endliche KKrpererweiterung und d 2 Der K (L)
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ber das Bild von Derivationen: 9
Beweis:
Bezeichne s := dim K (L) ; 1 R := KX 1 : : : X n ] Nach (Alg 8.14) dem Satz vom primitiven Element gilt: 9 2 L : L = M] einfache algebraische KKrpererweiterung.
Mt] 3 f = t s+1 + a s t s + : : : + a 1 t + a 0 sei das Minimalpolynom von ber M.
o.E. f 2 Rt]:
Begrrndung: Sei q := HNfa 0 : : : a s g 2 R
=) 0 = q s+1 f() = ( qq) s+1 + b s (qq) s + : : : + b 1 (qq) + b 0 mit b i 2 R. Auuerdem gilt: Mqq] = M]
Damit ist zugleich gezeigt, daa S := fb 0 + b 1 + : : : + b s s jb i 2 Rg ein Unterring von L ( n )
X
b i i b i 2 RRn 2 N ist (f 2 Rt]). ist, da S (i) = i=0 Annahme: d(L) = L
Falls 8i = 1 : : : n : d ( X i ) = 0 ist, gilt sogar d 2 Der M (L)
=) d 0 = ) L = d ( L) = 0 Widerspruch! (da LjM separabel) 1:8 =) 9 i 2 1 : : : n : d ( X i ) 6 = 0o.E. i = 1 Der K (L) 3 d 1 := d(X 1 ) ;1 d (1.1)
=) d 1 (L) = L (2:3)
Da L = M] gilt:
d 1 (X 1 ) = 1
mit geeigneten Elementen A ij B j 2 M.
A := HNfA ij B j ji = 2 : : : n j = 0 : : : s g 6 = 0
Der K (L) 3 := A d 1
(X 1 ) = A
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X
s
mit geeigneten Elementen P ij Q j 2 R.
Auuerdem gilt nach Lemma 2.3: (L) = L, sowie (S) S wegen (i)
Char(K) = 0 = ) j Kj = 1 =) 9 a 2 K : ( X 1 ; a) - A in R y := X 1 ; a
b
z }| {
2S
((w)b ; (b)w) = y (c 0 + c 1 + : : : + c s s ) mit c i 2 R =) y j b 2
=) y j b da R faktorieller Ring und y irreduzibel f a k t : =) y Primelement.
Sei
b
=
y
m
b
1
, mit
b
1
2
R y
-
b
1
m
2
N
+
Dann gilt:
= y ((w)y m b 1 ; (y m b 1 )w) =
=) 9 v 2 S : yv= mAb 1 w
Sei v = v 0 + v 1 + : : : + v s s v i 2 R.
Dann gilt:
(yv 0 ) + ( yv 1 ) + : : : + ( yv s ) s = ( mAb 1 w 0 ) + ( mAb 1 w 1 ) + : : : + ( mAb 1 w s ) s
=) Wegen Eindeutigkeit der Darstellung (Koeezientenvergleich!): 8i 2 f 0 : : : s g : y j mAb 1 w i
Da y - A ^ y - b 1 ^ m 2 E(R) gilt:
8i 2 f 0 : : : s g : y j w i und y j b
Widerspruch zu ggTfw 0 : : : w s b g = 1
=) (L) 6 = L 2
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ber das Bild von Derivationen: 11
2.5.
Lemma:
Sei LjF eine algebraische KKrpererweiterung d : L ;! L eine Derivation mit d(F ) F := d j F
Behauptung: (F) 6 = F =) d(L) 6 = L
Beweis:
Sei u 2 F n (F), e s gengt zu zeigen u 6 = d ( L) Annahme: 9 2 L : d ( ) = u
Da alg. ber F: 9a 0 : : : a s;1 2 F : s + a s;1 s;1 + : : : + a 0 = 0s min!
=) 0 = d(0) =
= d ( s + a s;1 s;1 + : : : + a 0 ) =
=) f = 0da s min.
=) (s u + (a s;1 )) = 0 ; a s;1 2 (F) Widerspruch! 2
s Beweis von Theorem 2.2:
Sei fX 1 : : : X n g eine Transzendenzbasis von LjK
M := K(X 1 : : : X n ) F := M (d(X 1 ) : : : d(X n )) =) K M F L wobei FjM endlich u n d LjF algebraisch!
8w 2 M : d ( w) = @w @X n d(X n ) 2 F @X 1 d(X 1 ) + : : : + @w =) d(M) F
Da FjM endlich: 9 2 F : F = M] einfache algebraische KKrpererweiterung. (Satz vom primitiven Element Alg. 8.14)
Sei f := t s + a s;1 t s;1 + : : : + a 0 2 Mt] Minimalpolynom von ber M.
()
wobei f D := d(a s;1 )t s;1 +: : : +d(a 1 )t+d(a 0 ) 2 Mt] und f 0 die Ableitung von f bezeichnet.
klar: f 0 () 6 = 0 (Algebravorlesung) und f 0 () 2 F ^ f D () 2 F (da d(M) F)
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=) d() = ; f D ()
f 0 () 2 F =) d(F ) F ()
Setze := d j F
=) (F) 6 = F 2:4
=) d(L) 6 = L 2 2:5
2.6.
Satz:
Sei LjK eine KKrpererweiterung und B = fX g 2 eine Transzendenzbasis. Behauptung: Ist jKj j j Bj, so gibt es eine surjektive K-Derivation d : L ;! L.
Beweis:
Man zeigt jLj = jK(B)j, da LjK(B) algebraisch ist und jK(B)j = jBj, da jKj jBj. Wegen jLj = jBj knnen wir L = fa g 2 schreiben.
Sppter wird gezeigt, daa durch d(X ) : = a eine K-Derivation d : L ;! L deeniert wird. Sie ist ooensichtlich surjektiv. 2
2.7.
Korollar:
Sei K ein algebraischer Zahlkrper (d.h. Zwischenkrper von Q j Q ) LjK ein Erweiterungskrper
Behauptung: 9 d 2 Der K (L) : d ( L) = L () trdeg(LjK) = 1
Beweis:
=) : indirekt mit Hilfe von Theorem 2.2 2 (= : K ist abzzhlbar (Vorl.) Behauptung folgt dann nach Satz 2.6
verwendete Literatur:
Kapitel I: Auszzge von: Prof. Dr. E. Kunz: Kommutative Algebra Kapitel II: Bericht von Kazuo Kishimoto/Andrzjei Nowicki: On the image of derivationss Communications in Algebra 23 (1995) page 4557-4562
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- Arbeit zitieren
- Stephan Otto (Autor:in), 1999, Anwendung von Derivationen auf Körper. Definitionen, Rechenregeln, Beispiele und Sätze, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/632
