Anwendung von Derivationen auf Körper. Definitionen, Rechenregeln, Beispiele und Sätze


Seminararbeit, 1999

12 Seiten, Note: 1


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Seminarvortrag: Derivationen

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Ein Ring R sei immer assoziativ, kommutativ mit Eins. R 0 sei ein Ring, R sei stets eine kommutative R 0 -Algebra und M ein R-Modul. (M kann ber den Strukturhomomorphismus: R 0 ;! R auch als R 0 -Modul betrachtet werden.)

1.1. Deenitionen:

Eine Derivation von R=R 0 nach M ist eine Abbildung d : R ;! M mit folgenden Eigenschaften: (i) d ist R 0 -linear

(ii) 8aa b 2 R : d ( ab) = a d(b) + b d(a) (Produktformel)

Solche Derivationen nennt man auch R 0 -Derivationen. F r R 0 = Z heiien Derivationen von R=Z einfach Derivationen von R (absolute Derivationen!). Da R selbst ein R-Modul ist, kann man auch R 0 -Derivation d : R ;! R betrachten.

FFr eine Algebra R=R 0 und einen R-Modul M bezeichne Der R 0 (RRM) die Menge aller R 0 -Derivationen d : R ;! M.

Behauptung: Der R 0 (RRM) ist ein R-Modul: z.z. 8 d d 0 2 Der R 0 (RRM) und 8r 2 R : (i) d + d 0 2 Der R 0 (RRM) (ii) r d 2 Der R 0 (RRM) Beweis: Seien 1 2 2 R 0 r 1 r 2 2 R : (i) Linearittt:

(d + d 0 )( 1 r 1 + 2 r 2 ) = d ( 1 r 1 + 2 r 2 )+d 0 ( 1 r 1 + 2 r 2 ) = 1 d r 1 + 2 d r 2 + 1 d 0 r 1 + 2 d 0 r 2 = = 1 (d + d 0 )(r 1 ) + 2 ( d + d 0 )(r 2 ) Produktregel:

(d + d 0 )(r 1 r 2 ) = d ( r 1 r 2 ) + d 0 (r 1 r 2 ) = r 1 d r 2 + r 2 d r 1 + r 1 d 0 r 2 + r 2 d 0 r 1 = = r 1 (d + d 0 )(r 2 ) + r 2 ( d + d 0 )r 1

(ii) Linearittt: ~ d : = r d ~ d( 1 r 1 + 2 r 2 ) = r (d( 1 r 1 + 2 r 2 )) = r ( 1 d r 1 + 2 d r 2 ) = 1 r d r 1 + 2 r d r 2 = = 1 ~ dr 1 + 2 ~ dr 2 Produktregel:

~ d(r 2 ) + r 2 ~ d(r 1 r 2 ) = r (d(r 1 r 2 )) = r (r 1 d r 2 + r 2 d r 1 ) = r 1 r d r 2 + r 2 r d r 1 = r 1 ~ d(r 1 )

Seminarvortrag von Stephan Otto

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1.2. Regeln ffr Derivationen:

Ist R 0 eine Algebra ber einem Ring R 0 0 , dann ist jede R 0 -Algebra (jeder R 0 -Modul) auch

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eine R 0 0 -Algebra (ein R 0 0 -Modul). Insbesondere ist jede R 0 -Derivation eine Z-Derivation.

1.3. Beispiele aus der Analysis:

(a) Sei U R n ooen, U 6 =

R := E(U) die R-Algebra der C 1 -Funktionen f : U ;! R. @X i : E(U) ;! E (U)) f 7 ;! @f Dann ist der Partialdiierentialoperator: @

@X i

jeweils eine R-Derivation von E(U)=R @ Beweis: klar nach Analysis I: (f) 0 = f 0 etc. R i , ! E (U) ;! E (U) @ X i

(b) FFr P 2 U sei R := E p die R-Algebra von Keimen der C 1 -Funktionen.

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Dann ist anschaulich auch klar, daa die induzierte Abbildung:

@X i : E P ;! E P f] 7 ;! @f @

(c) R kann vermmge des Homom.: E P ;! R f] 7 ;! f(P) als E P -Modulbetrachtet werden.

Dann ist i : E P ;! R i f] : = @f @X i (P ) auch eine R-Derivation.

(d) Analog erhhlt man ber C eine Derivation von R ;! R, wenn R := O(U) die C -Algebra der holomorphen Funktionen von U C nach C bezeichnet.

1.4. Die triviale Derivation:

FFr beliebige Ringe R und R-Moduln M existiert stets die triviale Derivation: d : R ;! M 8r 2 R : d r := 0.

Es ist ooensichtlich, daa man hierdurch eine Derivation erhhlt, da die triviale Derivation das Nullelement d e s R-Moduls Der R 0 (RRM) ist (1.1).

1.5. Formale partielle Ableitung in Polynom- und Potenzreihen-Algebren:

R := R 0 X 1 : : : X n ]] bezeichne die R 0 -Algebra der formalen Potenzreihen in den Unbestimmten X 1 : : : X n . Notationen: := ( 1 : : : n ) 2 N n 0 X := X 1 1 : : : X n n jj := 1 + + n X

R 3 F = % X mit % 2 R 0 2N n 0

Seminarvortrag von Stephan Otto

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Sei fdX 1 : : : d X n g eine Menge von Unbestimmten und M := RdX 1 RdX n der freie R-Modul ber der Basis fdX 1 : : : d X n g, der Modul der formalen Diierentialee. Dann wird durch d : R ;! M d F := @F @X 1 dX 1 + + @F @X n dX n eine R 0 -Derivation von R nach M gegeben. d F heiit das formale Diierential von F.

Analog erhhlt man ffr F 2 R 0 X 1 : : : X n ] :

M

n

@X i 2 R 0 X 1 : : : X n ] und d F 2 @F R 0 X 1 : : : X n ] d X i i=1

D.h. @ @X i und d induzieren also R 0 -Derivationen in der Polynomalgebra.

Bemerkung: FFr n = 1 schreibt man F 0 anstelle von @F @X ffr alle F 2 R 0 X]]

ACHTUNG: Formelle Integration in R 0 X]] ist nur im Falle Q R 0 mmglich:

X X

% i

1 1 i+1 2 R 0 . i + 1 X i+1 dabei ist % i % i X i und F := Sei f := i=0 i=0

Dann ist F 0 = f wegen Q R 0 X

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Gegenbeispiel: Sei f := X p;1 2 F p X] und F :=

Annahme: f = F 0 =

1.6. Die Euler-Derivation eines graduierten Rings:

M X

R n sei ein graduierter Ring und ffr r 2 R sei r = R = r n die Zerlegung in image 765ee96db2f2c34f441c12b8ee2cc29b

n2Z homogene Elemente. Weiterhin sei d : R ;! R d(r) : =

Behauptung: d 2 Der R 0 (R)

Beweis: Die R 0 -Linearittt ist klar. X X !! X !

X

r i s j r i j s j + i r i s j = r d(s) + s d(r) d(rs) = d = i+j=n i+j=n n2Z n2Z

Bemerkung: Sei f = P % i X i 2 RX] ein Polynom.

Dann ergibt die Euler-Derivation fr f:

P % n X n 6 = f 0

d(f) = Beachte: X @ @X 2 Der R 0 (RRR) (1.1)

Seminarvortrag von Stephan Otto

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Deenitionen, Beispiele, Regeln: 5

1.7. Rechenregeln ffr Derivationen:

d : R ;! M sei eine R 0 -Derivation von einem Ring R in einen R-Modul M.

8n 2 Z : d ( n 1) = 0 (a) d(1) = 0

Beweis: d(1) = d(1 1) = 1 d(1) + 1 d(1) =) d(1) = 0 d(n 1) = n d(1) = 0 8n 2 Z, d a d Z-linear.

X

n

(b) d(x 1 : : : x n ) = x i : : : x n d(x i ) 8x i 2 R x 1 : : : ^ i=1

speziell: d(x n ) = nx n;1 d(x) 8x 2 R Beweis: Induktion mit Produktformel bzw. x 1 = : : : = x n =: x (c) P := ker(d) ist ein Untering von R und d ist eine Derivation von R=P. Das Bild von R 0 in R ist in P enthalten.

Beweis: P ist Untergruppe von (RR+). Die Produktregel zeigt, daa P Unterring und d P-linear ist.

8r 0 2 R 0 : d(r 0 1) = r 0 d(1) = 0 =) %(R 0 ) P % : R 0 ;! R bezeichne den Strukturhomomorphismus! (d) I sei bel. Ideal von R, n > 0 Dann gilt: d(I n ) I n;1 M Beweis: Die Elemente von I n sind endliche Summen von Produkten der Form: x 1 : : : x n x i 2 I. Behauptung folgt aus (b) (e) (Quotientenformel):

Falls s 2 R eine Einheit ist, gilt: 8r 2 R : d ( rs ;1 ) = ( s ;1 ) 2 (s d r ; r d s) speziell: d s ;1 = ;(s ;1 ) 2 d s Beweis: 0 = d(1) = d(ss ;1 ) = s d s ;1 + s ;1 d s =) Beh.

(f) N R 0 sei multiplikativ abgeschlossen und % : R 0 ;! R induziere einen Ringho-momorphismus: : ( R 0 ) N ;! R. d ist in diesem Fall auch Derivation von R=(R 0 ) N Beweis: Nach (e) ist im() ker(d), also kann (c) angewendet werden. (g) Derivation von Polynomen:

Sei f 2 R 0 X 1 : : : X n ] ein Polynom, x 1 : : : x n 2 R. Dann gilt: X

n @f

d(f(x 1 : : : x n )) = (x 1 : : : x n ) d x i

@X i

i=1

Wenn g 1 : : : g n 2 R 0 Y 1 : : : Y m ]] Potenzreihen in Y 1 : : : Y m sind und h := f(g 1 : : : g n ). Dann gilt:

X

n @h @f (g 1 : : : g n ) @g i

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Oder noch allgemeiner: FFr f 1 : : : f t 2 R 0 X 1 : : : X n ] und h i := f i (g 1 : : : g n ) (i = 1 : : : t ) gilt die Kettenregel ffr Jakobi-Matrizen:

@(h 1 : : : h t ) @(Y 1 : : : Y m ) = @(f 1 : : : f t ) @(X 1 : : : X n ) (g 1 : : : g n ) @(g 1 : : : g n ) @(Y 1 : : : Y m )

Beweis: Sei f = P % X (% 2 R 0 ) P % d(x 1

1 : : : x n n ) Da d R 0 -linear ist, gilt: d f(x 1 : : : x n ) =

1 : : : x n n ) = P n i=1 i x 1

1 : : : x i ;1 : : : x n n d x i Nach (b) gilt: d(x 1

i

X i % x 1 d x i X

n

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Diese Regel kann ooensichtlich n i c ht generell ffr Potenzreihen f i 2 R 0 X 1 : : : X n ]] gelten (Sinn!). Allerdings lllt sie sich,falls h i := f i (g 1 : : : g n ) einen Sinn ergibt auf komplizierterem Wege beweisen, d.h. sie stimmt solange Sinnvolles dastehtt! Begrrndung: Seien g = 1 und f = P X k Potenzreihen in R 0 X]] P 1 bedeuten?

Was soll dann f(g) ? =

(h) Derivation von Determinanten:

Sei : = det(a ik ) die Determinante einer nn-Matrix (a ik ) mit Koeezienten a ik 2 R.

X

n

ik d a ik wobei ik := (;1) i+k A ik und A ik den Minor von (a ik ) Dann gilt: d d = iik=1

bezeichnet, den man durch Streichen der i;ten Zeile und k;ten Spalte erhhlt. Beweis: FFr = det(X ik ) mit Unbestimmten als Koeezienten gilt: @ @X ik = ik ,

nach Entwicklung bzgl. der i;ten Zeile. Beh. folgt dann aus (g)!

Seminarvortrag von Stephan Otto

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Deenitionen, Beispiele, Regeln: 7

Beispiele ffr Algebren mit nur trivialen Derivationen folgen in den nnchsten beiden SStzen.

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Beweis:

Sei x 2 K 0 bel. und f 2 K 0 X] das Minimalpolynom von x ber K 0 . Da f separabel ist gilt f 0 (x) 6 = 0 (Algebravorlesung!) =) 0 = d(0) = d(f(x)) = f 0 (x) d x =) d x = 0 = ) x 2 ker(d)

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1.9. Satz:

Sei R ein Ring von Primzahlcharakteristik p. Behauptung: 8 d 2 Der Z (RRM) : R p ker(d)

Speziell: Falls K ein vollkommener KKrper der Char(K) = p > 0 ist, so ist jede Derivation d : K ;! M trivial.

Beweis:

Sei r 2 R bel. =) d r p = pr p;1 d r = 0

Falls K ein vollkommener KKrper mit Char(K) = p > 0 ist, gilt K = K p (Algebra!)

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2. ber das Bild von Derivationen:

In diesem Abschnitt geht es um Derivationen auf KKrpern!

Motivation:

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Beweis: L ist endlichdim. K-VR und es gilt:

(Dimensionsformel) dim K (L) = d i m K ker(d) + dim K im(d) Da d K-Derivation gilt nach 1.7.c) K ker(d) 2 =) dim K (L) > dim K (im(d)) =) Beh.

Es stellt sich daher die Frage, unter welchen Bedingungen es surjektive K-Derivationen von LjK gibt. Zur Beantwortung dieser Frage beschrrnke ich mich a u f d e n F all Char(K) = 0

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Zum Beweis dieses Theorems benntigen wir noch einige Hilfssstze:

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2.3. Lemma:

L sei ein KKrper, d : L ;! L eine Derivation. a 2 L := a d Behauptung: d(L) = L () (L) = L

Beweis: ist Derivation nach 1.1 und der Rest ist trivial!

Nun zu einem Spezialfall von Theorem 2.2:

2.4. Satz:

Sei M := K(X 1 : : : X n ) der KKrper der rationalen Funktionen ber einem KKrper K, LjM eine endliche KKrpererweiterung und d 2 Der K (L)

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Seminarvortrag von Stephan Otto

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ber das Bild von Derivationen: 9

Beweis:

Bezeichne s := dim K (L) ; 1 R := KX 1 : : : X n ] Nach (Alg 8.14) dem Satz vom primitiven Element gilt: 9 2 L : L = M] einfache algebraische KKrpererweiterung.

Mt] 3 f = t s+1 + a s t s + : : : + a 1 t + a 0 sei das Minimalpolynom von ber M.

o.E. f 2 Rt]:

Begrrndung: Sei q := HNfa 0 : : : a s g 2 R

=) 0 = q s+1 f() = ( qq) s+1 + b s (qq) s + : : : + b 1 (qq) + b 0 mit b i 2 R. Auuerdem gilt: Mqq] = M]

Damit ist zugleich gezeigt, daa S := fb 0 + b 1 + : : : + b s s jb i 2 Rg ein Unterring von L ( n )

X

b i i b i 2 RRn 2 N ist (f 2 Rt]). ist, da S (i) = i=0 Annahme: d(L) = L

Falls 8i = 1 : : : n : d ( X i ) = 0 ist, gilt sogar d 2 Der M (L)

=) d 0 = ) L = d ( L) = 0 Widerspruch! (da LjM separabel) 1:8 =) 9 i 2 1 : : : n : d ( X i ) 6 = 0o.E. i = 1 Der K (L) 3 d 1 := d(X 1 ) ;1 d (1.1)

=) d 1 (L) = L (2:3)

Da L = M] gilt:

d 1 (X 1 ) = 1

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mit geeigneten Elementen A ij B j 2 M.

A := HNfA ij B j ji = 2 : : : n j = 0 : : : s g 6 = 0

Der K (L) 3 := A d 1

(X 1 ) = A

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X

s

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mit geeigneten Elementen P ij Q j 2 R.

Auuerdem gilt nach Lemma 2.3: (L) = L, sowie (S) S wegen (i)

Char(K) = 0 = ) j Kj = 1 =) 9 a 2 K : ( X 1 ; a) - A in R y := X 1 ; a

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b

z }| {

2S

((w)b ; (b)w) = y (c 0 + c 1 + : : : + c s s ) mit c i 2 R =) y j b 2

=) y j b da R faktorieller Ring und y irreduzibel f a k t : =) y Primelement.

Sei b = y m b 1 , mit b 1 2 R y - b 1 m 2 N + Dann gilt: image aaf9051568a24d3d735fdb2448b48f62

= y ((w)y m b 1 ; (y m b 1 )w) =

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=) 9 v 2 S : yv= mAb 1 w

Sei v = v 0 + v 1 + : : : + v s s v i 2 R.

Dann gilt:

(yv 0 ) + ( yv 1 ) + : : : + ( yv s ) s = ( mAb 1 w 0 ) + ( mAb 1 w 1 ) + : : : + ( mAb 1 w s ) s

=) Wegen Eindeutigkeit der Darstellung (Koeezientenvergleich!): 8i 2 f 0 : : : s g : y j mAb 1 w i

Da y - A ^ y - b 1 ^ m 2 E(R) gilt:

8i 2 f 0 : : : s g : y j w i und y j b

Widerspruch zu ggTfw 0 : : : w s b g = 1

=) (L) 6 = L 2

Seminarvortrag von Stephan Otto

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ber das Bild von Derivationen: 11

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2.5. Lemma:

Sei LjF eine algebraische KKrpererweiterung d : L ;! L eine Derivation mit d(F ) F := d j F

Behauptung: (F) 6 = F =) d(L) 6 = L

Beweis:

Sei u 2 F n (F), e s gengt zu zeigen u 6 = d ( L) Annahme: 9 2 L : d ( ) = u

Da alg. ber F: 9a 0 : : : a s;1 2 F : s + a s;1 s;1 + : : : + a 0 = 0s min!

=) 0 = d(0) =

= d ( s + a s;1 s;1 + : : : + a 0 ) =

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=) f = 0da s min.

=) (s u + (a s;1 )) = 0 ; a s;1 2 (F) Widerspruch! 2

s Beweis von Theorem 2.2:

Sei fX 1 : : : X n g eine Transzendenzbasis von LjK

M := K(X 1 : : : X n ) F := M (d(X 1 ) : : : d(X n )) =) K M F L wobei FjM endlich u n d LjF algebraisch!

8w 2 M : d ( w) = @w @X n d(X n ) 2 F @X 1 d(X 1 ) + : : : + @w =) d(M) F

Da FjM endlich: 9 2 F : F = M] einfache algebraische KKrpererweiterung. (Satz vom primitiven Element Alg. 8.14)

Sei f := t s + a s;1 t s;1 + : : : + a 0 2 Mt] Minimalpolynom von ber M.

()

wobei f D := d(a s;1 )t s;1 +: : : +d(a 1 )t+d(a 0 ) 2 Mt] und f 0 die Ableitung von f bezeichnet.

klar: f 0 () 6 = 0 (Algebravorlesung) und f 0 () 2 F ^ f D () 2 F (da d(M) F)

Seminarvortrag von Stephan Otto

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=) d() = ; f D ()

f 0 () 2 F =) d(F ) F ()

Setze := d j F

=) (F) 6 = F 2:4

=) d(L) 6 = L 2 2:5

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2.6. Satz:

Sei LjK eine KKrpererweiterung und B = fX g 2 eine Transzendenzbasis. Behauptung: Ist jKj j j Bj, so gibt es eine surjektive K-Derivation d : L ;! L.

Beweis:

Man zeigt jLj = jK(B)j, da LjK(B) algebraisch ist und jK(B)j = jBj, da jKj jBj. Wegen jLj = jBj knnen wir L = fa g 2 schreiben.

Sppter wird gezeigt, daa durch d(X ) : = a eine K-Derivation d : L ;! L deeniert wird. Sie ist ooensichtlich surjektiv. 2

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2.7. Korollar:

Sei K ein algebraischer Zahlkrper (d.h. Zwischenkrper von Q j Q ) LjK ein Erweiterungskrper

Behauptung: 9 d 2 Der K (L) : d ( L) = L () trdeg(LjK) = 1

Beweis:

=) : indirekt mit Hilfe von Theorem 2.2 2 (= : K ist abzzhlbar (Vorl.) Behauptung folgt dann nach Satz 2.6

verwendete Literatur:

Kapitel I: Auszzge von: Prof. Dr. E. Kunz: Kommutative Algebra Kapitel II: Bericht von Kazuo Kishimoto/Andrzjei Nowicki: On the image of derivationss Communications in Algebra 23 (1995) page 4557-4562

Seminarvortrag von Stephan Otto

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Details

Titel
Anwendung von Derivationen auf Körper. Definitionen, Rechenregeln, Beispiele und Sätze
Hochschule
Universität Regensburg  (Naturwissenschaftliche Fakultät I - Mathematik)
Veranstaltung
Kähler-Differentiale
Note
1
Autor
Jahr
1999
Seiten
12
Katalognummer
V632
ISBN (eBook)
9783638104173
Dateigröße
506 KB
Sprache
Deutsch
Anmerkungen
Dieser erste Vortrag im Seminar beschäftigt sich mit Definitionen Rechenregeln und Beispielen sowie einiger erster Sätze über die Anwendung von Derivationen auf Körpern (Derivationen sind mit Ableitungen vergleichbar!) Die Arbeit enthält viele Formeln, für die evtl. spezielle Schriftarten nachinstalliert werden müssen!
Schlagworte
Definitionen Rechenregeln Anwendung auf Körper
Arbeit zitieren
Stephan Otto (Autor:in), 1999, Anwendung von Derivationen auf Körper. Definitionen, Rechenregeln, Beispiele und Sätze, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/632

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