Das Ziel dieser Arbeit ist der Beweis des Satzes von Schönflies, der zunächst vorgestellt wird. Dieser Beweis ist sehr komplex und umfasst zwei - schon an sich sehr wichtige - Sätze, nämlich den Jordanschen Kurvensatz und den Satz über die Charakterisierung der geschlossenen Flächen.
Hierüber entsteht im Laufe der Arbeit der Beweis des Satzes von Schönflies, welcher abschließend noch einmal zusammengefasst wird.
Zuletzt wird ein Ansatz zur Verallgemeinerung des Satzes bzw. ähnliche Formulierung betrachtet und kurz erläutert.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Der Satz von Schönflies
- Jordanscher Kurvensatz
- Ankleben einer D² an das Innere
- Klassifizierung einfach geschlossener Flächen vom Geschlecht 0
- Konstruktion einer geeigneten Morsefunktion
- Ausweitung der Einbettung zum Diffeomorphismus
- Verallgemeinerung und verwandte Probleme
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die vorliegende Arbeit zielt darauf ab, den Satz von Schönflies zu beweisen. Dieser Beweis beinhaltet zwei zentrale Sätze: den Jordanschen Kurvensatz und den Satz über die Charakterisierung der geschlossenen Flächen. Der Beweis des Satzes von Schönflies wird im Laufe der Arbeit entwickelt und in Kapitel 7 zusammengefasst. Abschließend betrachtet das achte Kapitel mögliche Verallgemeinerungen des Satzes.
- Beweis des Satzes von Schönflies
- Jordanscher Kurvensatz und seine Anwendung
- Klassifizierung geschlossener Flächen
- Konstruktion von Morsefunktionen
- Verallgemeinerungen und verwandte Probleme
Zusammenfassung der Kapitel
- Kapitel 1: Einleitung
Dieses Kapitel führt in die Thematik der Arbeit ein und stellt den Satz von Schönflies vor. Es werden die wichtigsten Voraussetzungen für den Beweis des Satzes erläutert, darunter grundlegende Kenntnisse der Analysis und der Differentialgeometrie. - Kapitel 2: Der Satz von Schönflies
Dieses Kapitel präsentiert den Satz von Schönflies in seiner formalen Formulierung und erklärt die Bedeutung des Satzes in Bezug auf Einbettungen der S¹ in den R². Der Satz besagt, dass jede glatte Einbettung der S¹ in den R² zu einem Diffeomorphismus des R² erweitert werden kann. - Kapitel 3: Jordanscher Kurvensatz
Dieses Kapitel behandelt den Jordanschen Kurvensatz, der ein grundlegender Satz in der Betrachtung von Einbettungen der S¹ in den R² ist. Der Satz besagt, dass jede Jordankurve die Ebene in genau zwei disjunkte Gebiete trennt. - Kapitel 4: Ankleben einer D² an das Innere
Dieses Kapitel befasst sich mit dem Ankleben einer D² an das Innere einer Einbettung der S¹ in den R². - Kapitel 5: Klassifizierung einfach geschlossener Flächen vom Geschlecht 0
Dieses Kapitel untersucht die Klassifizierung einfach geschlossener Flächen vom Geschlecht 0. - Kapitel 6: Konstruktion einer geeigneten Morsefunktion
Dieses Kapitel befasst sich mit der Konstruktion einer geeigneten Morsefunktion für die Einbettung der S¹ in den R².
Schlüsselwörter
Der Satz von Schönflies, Jordanscher Kurvensatz, Einbettungen, Diffeomorphismen, glatte Mannigfaltigkeiten, geschlossene Flächen, Morsefunktionen, Verallgemeinerungen.
- Arbeit zitieren
- B.Sc. Achim Beckers (Autor:in), 2006, Der Satz von Schönflies, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/83473
