Rechnen mit ANNA-Zahlen. Unterrichtsentwurf im Fach Mathematik

Inhaltsverzeichnis

1. Begründung der Relevanz des Lerngegenstandes

2. Bezug zum Bildungsplan / zu den Bildungsstandards

3. Sachanalyse

4. Verlaufsplanung
4.1 Unterrichtseinheit
4.2 Fachliche Voraussetzungen
4.3 Didaktisch-methodische Vorüberlegungen
4.4 Strukturskizze

5. Literaturverzeichnis

6. Internetquellenverzeichnis

7. Abbildungsverzeichnis

8. Anhang
8.1 Material
8.2 Tippkarten
8.3 Arbeitsblätter

1. Begründung der Relevanz des Lerngegenstandes

Mithilfe der Thematisierung von ANNA-Zahlen wird die inhaltsbezogene Kompetenz „Muster und Strukturen“ gefördert. Das Muster und die Strukturen in den Zahlen haben einen Aufforderungscharakter, der durch einen spielerischen und kreativen Umgang damit vor allem Denkprozesse fördern, die das Bearbeiten von Routineaufgaben nicht leisten können¹.

Durch das Erkennen der Muster und Strukturen werden Schülerinnen und Schüler dazu angeregt über Mathematik nachzudenken. Sie müssen versuchen die Muster zu nutzen, sie zu beschreiben und Erklärungen abzugeben, warum das so ist². Dadurch werden auch inhaltsbezogene Kompetenzen, wie Problemlösen, Kommunizieren und Argumentieren gefördert. Je nach Aufgabe kann auch die Kompetenz des Darstellens gefördert werden, wenn ein Muster in Sprache oder eine andere Darstellungsform übersetzt wird³. Dies ist bei den ANNA-Zahlen möglich, wenn die Schülerinnen und Schüler versuchen, mithilfe einer Stellenwerttafel und dem Verschieben von Plättchen darzustellen, dass das Ergebnis immer ein Vielfaches von 891 ist⁴.

Des Weiteren wird deutlich, dass nicht das Produkt eines Lösungsprozesses im Vordergrund steht, sondern die Struktur des Musters. Wittmann und Müller besagen, dass unser Denken und das „kognitive System auf Muster ausgerichtet ist“⁵.

Außerdem können Schülerinnen und Schüler „auf einer Art Metaebene über der rein arithmetischen Betrachtung und Lösung von Prozeduren“ agieren⁶. Sie müssen das Muster erkennen, die Strukturen beschreiben und dies mathematisch begründen können⁷.

Auch das aktiv-entdeckende Lernen ist ein Unterrichtsprinzip, was in allen Klassenstufen angewandt werden soll⁸. Die Schülerinnen und Schüler können individuell Lösungsansätze finden und Strategien zum Lösen nutzen. Bei der Behandlung der ANNA-Zahlen können die Schülerinnen und Schüler mathematische Strukturen und Gesetzmäßigkeiten selbständig entdecken und untersuchen⁹. Außerdem können die Schülerinnen und Schüler durch das aktiv-entdeckende Lernen in ihrem Tempo und auf ihrem Leistungsniveau arbeiten. Vor allem dies könnte zu einer positiven Einstellung zum mathematischen Arbeiten führen¹⁰. Rechenschwache Kinder, die Probleme bei prozeduraler und arithmetischer Auseinandersetzung haben, könnten durch die Bearbeitung mit Mustern Begeisterung entwickeln und Muster und Strukturen selbst entdecken und untersuchen¹¹. Dadurch wird auch die Handlungsorientierung gefördert, da jedes Kind auf seinem Niveau arbeiten kann und unterschiedliche Hilfen nutzen kann, um Aufgaben und Erkenntnisse darzustellen und zu begründen¹². Eine Unterforderung eines mathematisch begabten Kindes kann somit fast genauso vermieden werden, wie eine Überforderung eines rechenschwachen Kindes. Jedes Kind kann nach seinen Fähigkeiten und Fertigkeiten Kenntnisse und Entdeckungen in der Struktur der ANNA-Zahlen gewinnen. Somit ergibt sich eine qualitative und quantitative Differenzierung aus dem Gegenstand selbst¹³. Die Behandlung der ANNA-Zahlen kann als natürliche Differenzierung gewertet werden, da alle Kinder am gleichen Inhalt arbeiten, aber mit unterschiedlichen Anforderungen und Schwierigkeiten¹⁴.

Die Schülerinnen und Schüler lernen nicht nur individuell an den ANNA-Zahlen, sondern können gemeinsam Lösungsideen, Lösungswege oder auch Entdeckungen besprechen und reflektieren. Somit können die Kinder voneinander sowie miteinander lernen¹⁵.

Durch das Bearbeiten von musterhaltigen Rechenaufgaben, wie bspw. ANNA-Zahlen, können Kinder an die Konstanzgesetze der Summe und, wie in diesem Fall, der Differenz herangeführt werden. Die Konstanzgesetze treffen Aussagen darüber, unter welchen Bedingungen das Ergebnis einer Grundrechenaufgabe konstant bleibt. Die Summe bleibt konstant, wenn sich die Summanden gegensinnig um denselben Wert verändern. Bei der Differenz hingegen verändern sich Minuend und Subtrahend um denselben Wert gleichsinnig. Diese Rechengesetze sollen in der Grundschulzeit nicht explizit behandelt werden, aber eine formale Beschreibung der Struktur soll mit den Kindern erarbeitet werden¹⁶. Dies kann mithilfe der ANNA-Zahlen realisiert werden.

2. Bezug zum Bildungsplan / zu den Bildungsstandards

Bildungsplan Baden-Württemberg 2016

Prozessbezogene Kompetenzen:

2.1 Kommunizieren

(1) Die Schülerinnen und Schüler können eigene Denk- und Vorgehensweisen beschreiben.
(2) Die Schülerinnen und Schüler können Lösungswege anderer nachvollziehen und verstehen.
(5) Die Schülerinnen und Schüler können Aufgaben gemeinsam bearbeiten.

2.2 Argumentieren

(1) Die Schülerinnen und Schüler können Fragen stellen, Vermutungen äußern.
(2) Die Schülerinnen und Schüler können mathematische Zusammenhänge erkennen und beschreiben.
(3) Die Schülerinnen und Schüler können eigene Denk- und Lösungswege begründen.
(5) Die Schülerinnen und Schüler können mathematische Aussagen und Lösungswege hinterfragen, auf Korrektheit prüfen.

2.3 Problemlösen

(4) Die Schülerinnen und Schüler können Zusammenhänge erkennen und nutzen.

2.5 Darstellen

(2) Die Schülerinnen und Schüler können eine Darstellung in eine andere übertragen.

Inhaltsbezogene Kompetenzen:

2.6 Zahlen und Operationen – Rechenoperationen verstehen und beherrschen

(10) Die Schülerinnen und Schüler können das schriftliche Verfahren der Subtraktion ausführen und anwenden.
(12) Die Schülerinnen und Schüler können Gesetzmäßigkeiten in arithmetischen Mustern erkennen, beschreiben und fortsetzen.
(14) Die Schülerinnen und Schüler können arithmetische Muster selbst entwickeln, systematisch verändern und beschreiben.

3. Sachanalyse

ANNA-Zahlen sind vierstellige Zahlen, die sich durch die besondere Anordnung der Ziffern auszeichnen. Die gleichen Buchstaben werden durch gleiche Ziffern ersetzt, sodass die ANNA-Zahlen sogenannte „Palindrome“ der Form 7227, 4224 oder 8118 darstellen. Das Besondere an Palindrome ist, dass sie vorwärts und rückwärts gelesen dieselbe Zahl ergeben¹⁷. Für die Buchstaben A und N werden die Ziffern null bis neun eingesetzt, wobei nicht dieselbe Ziffer für beide Buchstaben verwendet werden darf.

Durch systematisches Aufschreiben der Anna-Zahlen, lassen sich insgesamt 90 ANNA-Zahlen finden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aus zwei verschiedenen Ziffern (bspw. 3 und 6) lassen sich zwei verschiedene ANNA-Zahlen bilden (3663, 6336)¹⁸. Es lässt sich jedoch auch ohne Tabelle berechnen, wie viele ANNA-Zahlen existieren. Da pro Anfangszahl neun ANNA-Zahlen gebildet werden können und man aus insgesamt zehn Ziffern wählen kann ergibt sich für die Anzahl der ANNA-Zahlen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wenn man die Ziffern der entstehenden Zahlen vertauscht (4114, 1441) entstehen Zahlenpaare, welche subtrahiert werden können. Auf diese Weise entstehen 45 verschiedene Subtraktionsaufgaben¹⁹.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Beweis, dass das Ergebnis immer ein Vielfaches von 891 ist, lautet wie folgt.²⁰

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten²¹

Beispiele hierfür:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten²²

Dies hängt mit dem Gesetz der Konstanz der Differenz zusammen²³.

Es besagt, dass der Wert der Differenz gleichbleibt, wenn der Minuend und der Subtrahend um eine bestimmte Zahl verändert wird. Dies wird auch als „gleichsinniges Verändern“ bezeichnet²⁴.

Die Ergebnisse der ANNA-Zahlen zeigen besondere Strukturen und eine Vielfalt an Regelmäßigkeiten auf. Diese können die Kinder untersuchen, entdecken und beschreiben.

- „Die Einerziffer ist stets um 1 größer als die Tausenderziffer und die Zehnerziffer ist um 1 größer als die Hunderterziffer.
- Einer- und Hunderterziffer ergeben zusammen 9, ebenso wie die Zehner- und Tausenderziffer.
- Die Quersumme aller Ergebnisse ist 18.
- Die Ziffern im kleinsten und im größten Ergebnis bzw. im zweitkleinsten und zweitgrößten Ergebnis usw. sind jeweils verdreht (0891 – 8019, 1782 – 7128).
- Alle Ergebnisse sind Vielfache des kleinsten Ergebnisses 891.“²⁵

Diese Strukturen lassen sich mithilfe einer Stellenwerttafel begründen. Es veranschaulicht das Zustandekommen des Vielfachen von 891 in den Ergebnissen durch das Verschieben von Plättchen²⁶.

In dieser Stellenwerttafel beträgt die Zifferndifferenz eins.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Zahlen bei einer Zifferndifferenz von eins werden jeweils um 1000 - 100 - 10 + 1 = 891 verändert.

In dem Beispiel wird die Zahl 3443 um +1000 – 100 – 10 + 1 = 891 größer. Die neue Zahl lautet 4334.

In dieser Stellenwerttafel beträgt die Zifferndifferenz zwei.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Zahlen bei einer Zifferndifferenz von zwei werden jeweils um 2000 - 200 - 20 + 2 = 1782 verändert.

In dem Beispiel wird die Zahl 2442 um +2000 – 200 – 20 + 2 = 1782 größer. Die neue Zahl lautet 4224.

4. Verlaufsplanung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]

¹ Steinweg, 2013, S.25.

² Ebd.

³ Ebd.

⁴ Verboom, 2001, S.78f.

⁵ Wittmann und Müller, zitiert nach Steinweg, 2013, S.25.

⁶ Steinweg, 2013, S.25.

⁷ Ebd.

⁸ http://www.bildungsplaene-bw.de/,Lde/LS/BP2016BW/ALLG/GS/M/LG abgerufen am 17.01.20 um 10:37 Uhr

⁹ http://www.bildungsplaene-bw.de/,Lde/LS/BP2016BW/ALLG/GS/M/LG abgerufen am 17.01.20 um 10:39 Uhr

¹⁰ Hoppius, 2006, S.4.

¹¹ Steinweg, 2013, S.26.

¹² http://www.bildungsplaene-bw.de/,Lde/LS/BP2016BW/ALLG/GS/M/LG abgerufen am 17.01.20 um 10:47 Uhr

¹³ http://www.bildungsplaene-bw.de/,Lde/LS/BP2016BW/ALLG/GS/M/LG abgerufen am 17.01.20 um 10:57 Uhr

¹⁴ http://www.bildungsplaene-bw.de/,Lde/LS/BP2016BW/ALLG/GS/M/LG abgerufen am 17.01.20 um 10:59 Uhr

¹⁵ http://www.bildungsplaene-bw.de/,Lde/LS/BP2016BW/ALLG/GS/M/LG abgerufen am 17.01.20 um 10:49 Uhr

¹⁶ Link, 2011, S.11.

¹⁷ Hoppius, 2006, S.5.

¹⁸ Ebd.

¹⁹ Ebd.

²⁰ Ebd.

²¹ Hoppius, 2006, S.5.

²² Ebd.

²³ Ebd.

²⁴ https://adi.dzlm.de/rechengesetze/konstanz-der-differenz abgerufen am 15.01.2020 um 12:47 Uhr

²⁵ Hoppius, 2006, S.6.

²⁶ Verboom, 2001, S.78f.