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1. Ziel des Versuchs:
1.1 Für zwei Metallstäbe ist der Torsionswinkel bei unterschiedlichen Drehmomenten zu messen.
Der Zusammenhang ist grafisch darzustellen, der Torsionsmodul G ist zu berechnen! 1.2 Für zwei Metalldrähte aus den gleichen Materialien wie in 1.1 ist der Torsionsmodul aus Drehschwingungen zu bestimmen!
2. Grundlagen:
Unter dem Einfluß äußerer Kräfte wird ein fester Körper deformiert. Bei hinreichend kleiner Krafteinwirkung kann die Deformation wieder vollständig zurückgebildet werden, es handelt sich um einen elastischen Körper. Wird eine bestimmte Kraft überschritten, bleibt eine Formveränderung zurück und man nennt den Körper plastisch.
Das bedeutet innerhalb gewisser Elastizitätsgrenzen, die materialabhängig sind, kehrt der Körper wieder in seine Ausgangsform zurück. Hier gilt ein linearer Zusammenhang zwischen der wirkenden Kraft und der auftretenden Verformung - Hookesches Gesetz.
Überschreitet man die Elastizitätsgrenze wächst die Dehnung stärker an als die Zugspannung, das heißt nach Beendigung der Krafteinwirkung bleibt eine gewisse Deformation zurück.
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Das elastische Verhalten homogener, isotroper fester Körper wird durch vier Materialgrößen charakterisiert:
τ (2)
⋅ =
Es muss aber auch noch das Drehmoment = dM
Jetzt integriert man über alle Hohlzylinder:
(3)
Um besser messen zu können, befestigt man am unteren Ende des Stabes eine ebenfalls zylindrische Scheibe mit dem Radius R S , an der die tangential wirkende Gewichtskraft F G das ⋅ = Drehmoment G R F M erzeugt. Für den Stab lässt sich das Torsionsmodul G berechnen:
S
⋅ ⋅
(4)
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Um bei dünnen Stäben (z.B. Draht) den Torsionsmodul zu bestimmen, wendet man oft die dynamische Methode an. In unserem Experiment bedeutet das:
Man verdreht die Scheibe um den Winkel ϕ aus der Ruhelage und lässt das System zur Zeit
0 = t 0 frei. Unter Einwirkung der elastischen Kräfte führt der Draht, die durch die Verdrillung
verursachten Torsionsschwingungen aus. Der Draht übt so ein rückstellendes Drehmoment aus, das dem Winkel ϕ proportional ist. Das Drehmoment besitzt den gleichen Betrag wie in
(3), ist nur entegegengesetzt.
ϕ M R − = (5) D
Die Proportionalitätskonstante D wird Torsionskonstante oder Winkelrichtgröße genannt.
(6) D
Hängt man an das untere Ende des Drahtes einen Körper mit dem Trägheitsmoment J bezüglich der Drahtachse, so führt dieses Drehpendel bei Verdrillung des Drahtes Drehschwingungen mit der Schwingungsdauer T aus.
(7)
Das Trägheitsmoment des schwingenden Systems soll im Experiment nicht bekannt sein. Um J an die es zu eliminieren, bringen wir eine Zusatzmasse mit bekanntem Trägheitsmoment 1
vorhandene Scheibe an. Daraus folgt:
(8)
Man stellt beide Gleichungen nach J um und erhält für D:
(9) D
Dies Gleichung setzt man jetzt in Gleichung (3) ein und man erhält:
Der Torsionsmodul G berechnet sich dann aus:
(10)
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3. Messwerte:
3.1 statische Methode
Der Durchmesser der 3 verschiedenen Stäbe (Stahl, Kupfer, Messing) wurde an 10
verschiedenen Stellen gemessen. Man bildet das arithmetische Mittel D , um einen Durchschnittswert zu erhalten, mit dem man in den noch folgenden Rechnungen arbeiten kann. Die Länge l der Stäbe wurde mit einem Lineal gemessen.
Eine Schnur wird am Umfang der Kreisscheibe mit dem Radius R S = (88±1) mm befestigt. Mit Hilfe von angehängten Massestücken wirkt die Tangentialkraft F G = mg und damit wird ⋅ ⋅ = an der Kreisscheibe erzeugt. das Drehmoment g m R M
S
Der Torsionswinkel ϕ wird an der Winkelskala an der Kreisscheibe abgelesen. ϕ wurde für
10 verschiedene Massen bestimmt.
Wegen der Gefahr der Abscherung darf die maximale Auslenkung 40° nicht übersteigen.
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(ϕ m -Diagramm
- Torsionsmodul für Stahl:
- Torsionsmodul für Kupfer:
- Torsionsmodul für Messing:
Wenn man diese Werte mit Tabellenwerten (aus „Physikalisches Praktikum“ von Dieter Geschke, 11. Auflage)
Torsionsmodul für Werkzeugstahl: 77 ... 81 GPa
Torsionsmodul für Kupfer: 38 ... 47 GPa
Torsionsmodul für Messing (62% Cu, 38% Zn): 26 ... 41 GPa
vergleicht, stellt man fest, das die rechnerisch ermittelten Werte in einem engen Toleranzbereich bzw. sogar innerhalb des angegebenen Wertebereichs liegen.
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3.2 dynamische Methode
Auch bei der dynamischen Methode ist zunächst der Durchmesser der 3 verschiedenen
Materialien an 10 verschiedenen Stellen zu messen. Man bildet das arithmetische Mittel D , um einen Durchschnittswert zu erhalten, mit dem man in den noch folgenden Rechnungen arbeiten kann. Die Länge l der Drähte wurde mit einem Lineal gemessen. Es ist notwendig, diese Messungen sehr sorgfältig durchzuführen, da der Radius der Drähte mit der 4. Potenz eingeht.
Da es sich bei diesem Versuchsaufbau um ein Torsionspendel handelt, muss wie schon in den Grundlagen beschrieben, das Trägheitsmoment berücksichtigt werden. Da das Trägheitsmoment des schwingenden Systems nicht bekannt ist, bringt man eine Zusatzmasse mit bekanntem Trägheitsmoment ins System, um die Unbekannte zu eliminieren. Man führt für die Materialien die Messung der Schwingungsdauer je einmal mit und einmal ohne Zusatzmasse durch.
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Von den jeweilig errechneten Schwingungsdauern ermitteln wir auch hier das arithmetische
MittelT , um in den noch folgenden Rechnungen damit zu arbeiten.
Die Berechnung der Torsionsmodule erfolgt nach Gleichung (10). Das Trägheitsmoment der ⋅ = ⋅ ± = 2 2 Zusatzmasse beträgt 0096 , 0 ) 2 96 ( . m kg cm kg J
1
• Torsionsmodul für Stahl:
• Torsionsmodul für Kupfer:
• Torsionsmodul für Messing:
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Man kann erkennen, das sich die Werte, in guter Näherung, etwa an denen für die statische Methode anlehnen - wenn auch 5 Gigapascal ein großer Wert ist (siehe Kupfer). Die Werte für die Torsionsmodule liegen auch hier in etwa im angegebenen Wertebereich der Tabellenwerte (siehe statische Methode).
Grundsätzlich bleibt erhalten, daß Stahl den größten Torsionsmodul und Messing den kleinsten Torsionsmodul hat.
4. Fehlerrechnung:
4.1 statische Methode
Wie schon beschrieben müssen die Durchmesser sehr sorgfältig bestimmt werden, da die Radien mit der 4. Potenz eingehen.
Zunächst berechnen wir die empirische Standardabweichung der Radien
± = ∆ Stahl 00823273 , 0 mm R Stahl
± = ∆ Kupfer 00737865 , 0 mm R Kupfer
± = ∆ Messing 00567646 , 0 mm R
g Mes sin
∆m für Stahl beträgt:
Das arithmetische Mittel des Anstiegs ϕ 2,61161445
∆
Die emp. Standardabweichung für diesen Wert ist:
Das arithmetische Mittel des Anstiegs ϕ
Die emp. Standardabweichung für diesen Wert ist:
Das arithmetische Mittel des Anstiegs ϕ
Die emp. Standardabweichung für diesen Wert ist:
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Die Unsicherheit einer Funktion q, die von (x,...,z) Meßgrößen mit den Messunsicherheiten δ ,..., z abhängt lässt sich folgendermaßen darstellen:
Für die statische Methode bedeutet das:
δ ≅ G
daraus folgt dann:
δ ± = ⋅ ± = 9 GPa Pa G Stahl 42425 , 3 10 42452 , 3
δ ± = ⋅ ± = 9 GPa Pa G Kupfer 31779 , 1 10 31779 , 1
δ ± = ⋅ ± = 8 GPa Pa G 860515 , 0 10 60515 , 8
sin g Mes
Es ergeben sich folgende Werte für die Torsionsmodule:
± - Torsionsmodul für Stahl: GPa ) 425 , 3 3 , 82 ( ± - Torsionsmodul für Kupfer: GPa ) 318 , 1 4 , 40 ( ± - Torsionsmodul für Messing: GPa ) 861 , 0 5 , 32 (
4.2 dynamische Methode
Der Einfluss der Reibung spielt eine nicht unerhebliche Rolle. Natürlich entstehen während der Schwingungen Reibungskräfte. Das System schwingt gegenüber der theoretischen Annahme mit einer kleineren Kreisfrequenz. Energieverluste durch Reibung bewirken eine kontinuierliche Abnahme der Schwingungsamplitude. Die Reibung tritt in den Umlenkrollen und in den Lagern der Drehapparatur auf. Man sollte auch hier wieder bei der Zeitmessung die Reaktionszeit des Stopuhr-Benutzers beachten. Dieser zufällige Fehler ist statistisch schwer zu erfassen, geht aber in das Ergebnis mit ein.
Zunächst berechnen wir die empirischen Standardabweichungen der Radien der Drähte.
∆ R
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± = ∆ Stahl : mm R Stahl 01092906 , 0
± = ∆ Kupfer : mm R Kupfer 00527046 , 0
± = ∆ Messing : mm R 00707107 , 0
g Mes sin
Die allgemeine Formel für die Fehlerrechnung ist genauso wie bei der statischen Methode. Für die dynamische Methode bedeutet das:
δ ≅ G
daraus folgt dann:
δ ± = ⋅ ± = 9 GPa Pa G Stahl 07238 , 5 10 07238 , 5 δ ± = ⋅ ± = 9 GPa Pa G Kupfer 75983 , 2 10 75983 , 2
δ ± = ⋅ ± = 9 GPa Pa G 38539 , 2 10 38539 , 2
sin g Mes
Es ergeben sich folgende Werte für die Torsionsmodule:
± - Torsionsmodul für Stahl: GPa ) 072 , 5 4 , 79 ( ± - Torsionsmodul für Kupfer: GPa ) 760 , 2 6 , 35 ( ± - Torsionsmodul für Messing: GPa ) 385 , 2 3 , 35 (
- Arbeit zitieren
- Stefan Habicht (Autor:in), 2000, Torsionsmodul, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/99946
