a) Der Unterrichtsinhalt sollte dem Schüler auf verschiedenen Stufen (bzw. Ebenen) nacheinander angeboten werden um die Schüler vom wirklichen Tun über verschiedene Zwischenstufen allmählich zur Abstraktion zu führen.

Bei der Planung des Unterrichts sollten daher folgende Stufen der Darstellung berücksichtigt werden:

- Handlungsebene: Alle Lernprozesse müssen von der Handlungsebene ausgehen. Hier sollten möglichst Handlungen konkret durchgeführt werden.

- Enaktive Repräsentation: Die erste Stufe der Abstraktion besteht darin, die Handlung mit Gegenstandsvertretern zu wiederholen. Vom Gebrauch der Gegenstandsvertreter geht man dann schrittweise zur rein grafischen Darstellung über.

- Grafische Ebene: Handlungen und Vorgänge werden zeichnerisch, aber auch durch mathematische Symbole wie Zahlen und Zeichen festgehalten

- Vorstellungsebene: Die Kinder stellen sich Handlungen und Sachverhalte vor.

b) Im Mathematikunterricht müssen zunächst grundlegende Lernvoraussetzungen (Informationsaufnahme und -verarbeitung) sichergestellt werden, bevor mit dem zahligen Rechnen begonnen werden kann.

2. LERNVORAUSSETZUNGEN (Informationsaufnahme undverarbeitung)

Das anschauliche, mathematische Denken baut auf Handlungen der Sensomotorischen Phase auf. Deshalb muss der Lehrer die Periode der sensomotorischen Entwicklung entzerren und Fähigkeiten der Informationsaufnahme und -verarbeitung bewußt anbahnen und ausbauen um die Denkentwicklung und den Begriffserwerb zu fördern. Da es für die Denkentwicklung der Schüler wichtig ist in diesen Bereichen ausreichend Erfahrungen zu sammeln, beginnt die Handreichung für Sonderpädagogische Förder- und Diagnoseklassen mit dem Kapitel „Körperschema als Grundlage der räumlichen Orientierung überprüfen und festigen“. Hierbei werden folgende Wahrnehmungsbereiche berücksichtigt:

- Taktil-kinästhetisch-vestibulärer Wahrnehmung

- Visuelle Wahrnehmung

- Taktile Wahrnehmung

- Auditive Wahrnehmung und verbale Orientierung Im folgenden werden Spiele aufgeführt mit deren Hilfe die Schüler Erfahrungen mit dem ganzen Körper bzw. mit einzelnen Körperteilen

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machen können. Dabei soll der Lehrer auf die Fähigkeiten der Schüler achten und Dysfunktionen einzelner Bereich aufdecken (kann das Kind einbeinig Hüpfen; kann das Kind unterscheiden an welchem Finger es berührt wurde; bei verschränkten Fingern denjenigen bewegen, auf den gezeigt wurde...)

Durch sorgfältige Planung der Lernsequenzen sowie geeignete Methoden kann so manchen Störungen vorgebeugt werden. Wo sich dennoch Störungen zeigen muss der Lehrer durch Variation der Aufgabenstellung nach fördernden und / oder nach kompensatorischen Hilfen suchen, um die Schüler im Rahmen ihrer individuellen Leistungsfähigkeit zu unterstützen.

Je umfassender und genauer die Kenntnis des Körperschemas ist, desto leichter gewinnt das Kind Raumbegriffe wie: vorne, hinten, oben, unten, rechts, links, auf, unter, neben...

Ein schönes Beispiel hierzu habe ich im Internet ¹ gefunden. Die Unterstufenklasse hat ein eigenes Mathebuch erstellt und zum Thema „Begriffe zur räumlichen Orientierung“ folgendes festgehalten: Hier einige Beispiele:

¹ aus: http://home.t-online.de/home/stephanusschule/rechnen_in_der_unterstufe.htm

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Es entstand ein Bilderbuch mit dem Titel: 'Unterstufe wo bist du?'. In diesem Bilderbuch wurden die Fotos von den Schülern zusammen mit einem Piktogrammen abgebildet, dass den räumlichen Begriff symbolisierte.

3. ANBAHNUNG DES ZAHLBEGRIFFS

Parallel kann der Lehrer beginnen den Zahlbegriff anzubahnen. Dazu muss er die notwendigen Stadien in der Denkentwicklung als Voraussetzung für das zahlige Rechnen berücksichtigen. Die Zahl ist ein logischer Begriff, der sich aus dem Zusammenwirken von verschiedenen Vorzahlvorstellungen aufbaut. Ein ganzes System von Handlungen, Umkehrhandlungen und deren Verinnerlichung, eingebettet in das Gesamtgeschehen der Denkentwicklung, ist als Basis für die Zahlbegriffsentwicklung erforderlich.

Ein wirkliches Zahlenverständnis ist zunächst von der Entwicklung zweier Vorstellungen abhängig:

- Klassifikation (Gruppenbildungsfähigkeit)

- Seriation (Reihenbildungsfähigkeit)

3.1 Gruppenbildungsfähigkeit

Die Gruppenbildung fällt den Schülern leichter als die Reihenbildung. Um Gruppen bilden zu können müssen die Schüler in der Lage sein Gleichheiten, Ähnlichkeiten und Verschiedenheiten zwischen Gegenständen zu erkennen und sie entsprechend zu ordnen. Bedeutung für die Entwicklung des Zahlbegriffs und der Operationen: Dieser Schritt begründet die spätere Unterscheidungsfähigkeit bei der Bildung von Mächtigkeitsklassen. Alle Mengen der gleichen Mächtigkeit gehören zur selben Kardinalzahl. Beispiele:

- Paare bilden

- Gegenstände nach Farben sortieren

- Gegenstände nach Formen sortieren

3.2 Reihenbildungsfähigkeit

Meistens fällt den Kindern die Seriation schwerer als die Klassifikation, da sie hier die Gegenstände gemäß einer spezifischen Regel in eine Reihenfolge bringen müssen (z.B. der Größe nach). Wichtig ist, dass die Reihenbildung räumliche Orientierung voraussetzt. Bedeutung für die Entwicklung des Zahlbegriffs und der Operationen: Durch Erfahrungen in der Reihenbildung wird das spätere Verständnis

- der Zahl als aufsteigende Zahlenreihe,

- der Beziehung der Zahlen als Größen zueinander sowie

- ihrer Stellung in der Reihe.

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Gelingt die Seriation nicht, so ist ein echtes Zahlenverständnis unmöglich.

Die Reihenbildung soll den Schülern auf unterschiedlichen Stufen angeboten werden:

Piaget unterscheidet folgende Stufen der Reihenbildung:

- Einfache Seriation (drei verschieden große Gegenstände zeigen)

- Seriation mit zwei und mehreren Variablen

- Einordnen eines Gegenstandes in eine schon vollständige Reihe

- Lösung einer doppelten Seriationsmatrix

- Erreichen der Transitivität ⇒ wenn a > b > c dann muss a > c sein Die letzten zwei Stufen gehören jedoch bereits zum operativen Denken. Daher reicht es zunächst, wenn der Lehrer mit den Schülern einfache Reihen mit gleichartigen Gliedern bildet und dann Merkmalsreihen von zunehmendem Schwierigkeitsgrad behandelt. Beispiele:

- Erkennen und darstellen einfacher Reihen um zu lernen, wie man beim Ordnen verstreuter Gegenstände systematisch vorgeht

- Darstellen und Verstehen von Merkmalsreihen (Voraussetzung für das Begreifen der Zahl als aufsteigende Zahlenreihe) (1. Stufe bei Piaget)

- Nach Größe

- Nach Gewicht (Montessori - Gewichtsbretter)

- Nach Farbe (Herbstblätter; Montessori-Farb-Täfelchen)

- Reihung nach zwei Merkmalen

- Größe und Zugehörigkeit

3.3 Stück-für-Stück-Zuordnung

Neben der Klassifikation und Seriation ist die Stück-für-Stück-Zuordnung eine weitere wichtige vorzahlige Fähigkeit. Sie bildet einen Baustein im Aufbau eines Verständnisses von Gleichungen und bereitet den Zahlenbegriff als Beziehungsbegriff vor. Mit ihr läßt sich ohne zu zählen feststellen, ob zwei Mengen die gleiche Anzahl an Gegenständen beinhalten oder nicht.

Zählen gibt dem Kind meistens wenig Hilfe um festzustellen, ob zwei Gruppen gleich viele Dinge enthalten. Das übliche Verfahren zur Feststellung einer Anzahl ist zwar das Zählen. Das beherrschen des Zählens ist aber nicht ausreichend für den Besitz des Zahlenbegriffs, da Zahlennamen in der richtigen Reihenfolge aufsagen zu können solange sinnlos ist, solange nicht die notwendigen Vorzahlbegriffe entwickelt sind. Denn auch um sinnvoll zählen zu können (z.B. beim Auszählen) reicht es nicht die Zahlennamen aufzusagen. Zunächst muss jedem Gegenstand genau ein Zahlwort zugeordnet werden (die Einsicht in die Eins-zu-eins-Zuordnung muss vorhanden sein). Um die Anzahl angeben zu können (Kardinalzahlaspekt) muss zusätzlich die Einsicht vorliegen, dass das zuletzt ausgesprochene Zahlwort die Gesamtzahl der Objekte angibt. In der „Handreichung für Sonderpädagogische Diagnose und Förderklassen“ 2 wird sogar darauf hingewiesen, dass „ein zu frühes Zählen gering umstellfähige Kinder zu einer einseitigen Fixierung eines Zahlwortes an eine bestimmte Stelle verführt. Damit ist die große Gefahr verbunden, ans Zählen gebunden zu sein und sich nicht mehr davon lösen zu können. Insgesamt behindert erfahrungsgemäß eine zu frühe Überbetonung des Zählens an vielen Stellen einen Zugang zur Zahlenwelt. Es ist keine hinreichende Voraussetzung für ein einigermaßen bewegliches Denken mit Zahlen.“

Um die Stück-für-Stück-Zuordnung einzuüben kann der Lehrer gut Situationen aus dem Alltag aufgreifen:

- gib jedem Kind eine Pausenmilch

- „ „ „ einen Ball etc.

3.4 Grundsatz der Mengenerhaltung (Invarianz)

Den Grundsatz der Mengenerhaltung (Invarianz) erkennt das Kind durch viele eigene Handlungserfahrungen und Umkehrvorgänge. Die Mengenerhaltung ist die Fähigkeit zu erkennen, dass sich die Mächtigkeit einer Menge durch räumliches Umordnen der einzelnen Elemente nicht

² aus: ISB, „Erstrechnen Teil 1“, S.120f

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ändert. Dieser Leistung liegt die Erfahrung zugrunde, dass Mengen hinsichtlich der Anordnung veränderbar sind und dass trotz aller Veränderung die Mächtigkeit erhalten bleibt. Ohne dieses Verständnis würde der Schüler die Operationen nicht verstehen können, die mit Zahlen als unabänderliche Größe durchgeführt werden.

a) Zunächst sollen die Schüler Erfahrungen sammeln, dass Mengen auch beim Aufheben der Stück für Stück Zuordnung erhalten bleiben: Durch Stück-für-Stück-Zuordnung stellen die Schüler zunächst die Beziehung gleich viele her. Danach heben sie die sichtbare Stück-für-Stück-Zuordnung auf und beurteilen von neuem die Mächtigkeit (gleich viele / nicht gleich viele?) Abschließend wird die getroffene Aussage durch Stück-für-Stück-Zuordnung überprüft.

b) Mengenerhaltung bei Schüttmengen

Mengenverhältnisse von Flüssigkeiten, Perlen oder Reis sollen vor und nach Umschüttvorgängen beurteilt werden. Dabei soll der Grundsatz der Mengenerhaltung durch Umkehrung des Vorgangs immer wieder erfahren werden.

c) Mengenveränderung durch wegnehmen und hinzufügen Hier sollen die Schüler Erfahrungen sammeln über Möglichkeiten der Mengenveränderung.

Ein schöner anderer Vorschlag aus der Praxis:

Lehrgangsabschnitt: Mengenvergleiche

In diesem Abschnitt wurden die Schüler in Übungen daraufhingewiesen, vorhandene Mengen zu vergleichen und in Beziehung zu setzen. Hier half das Krokodil Joe und die Ameise Klaus. Das Krokodil als ausgesprochener Vielfraß wurde der größeren Menge zugeordnet, während die Ameise bereits mit der kleinen Menge zufrieden war.

Lehrgangsabschnitt: Der Begriff 'mehr'

In diesem Abschnitt wurde der Begriff 'mehr' zur Spezifizierung von Mengen eingeführt. Auch hier war das Krokodil Joe wieder in Aktion. Es gab Joe in zweifacher Ausführung: mit weit aufgerissenem Maul einmal Blickrichtung links einmal Blickrichtung rechts. Die Schüler wählten den Joe aus, der die größere Menge fressen konnte. Aus dem weit aufgerissenen Maul des Krokodils wurde im Laufe des Lehrganges das

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korrekte mathematische Zeichen für 'größer als' und 'kleiner als' entwickelt.

Nachdem wir zunächst mit Realmedien gearbeitet hatten wurde dann direkt in das Mathe-Buch gearbeitet. Dabei veränderte sich das Anforderungsniveau zunehmend. Links sehen wir eine Aufgabe, bei der schon die

Im weiteren Verlauf der Arbeit, blieb dann nur noch das mathematische Zeichen übrig.

Lehrgangsabschnitt: Der Begriff 'gleich'

Als nächste Aufgabenstellung ergab sich für die Schüler der Begriff 'gleich'. Symbolisiert wurde er zunächst durch zwei Krokodile, die mit geschlossenem Maul parallel zueinander abgebildet war. Die Logik hinter dieser Karte: die Krokodile sind ratlos, welche Menge zu fressen ist, da beide Mengen gleichgroß sind. Das klingt zwar recht schwierig, die Schüler erfassten die Bedeutung der Karte jedoch unmittelbar. Bei den ersten Fotos ist zu erkennen, wie auch nichtsprechende Schüler in der Lage sind solch anspruchsvolle Aufgaben zu bewältigen. Hier noch ein Beispiel für einen möglichen Lösungsweg: Aufgabe ist zwei gleichgroße Türme zu bauen.

Der Lösung auf der Spur: wenn ein Turm zu groß ist, machen wir den anderen eben noch ein Stück größer

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3.5 Gebrauch von Gegenstandsvertretern

Mengen werden nun bewußt durch gleichviele, merkmalsärmere Vertreter (Scheibchen, Perlen, Steckwürfel, Zählmaschinenelemente...) dargestellt. Dabei sollen die Kinder langsam von der anfänglich direkten Zuordnung (drauflegen, berühren) zur entfernteren visuellen Zuordnung gelangen. Bei der Lösung dieser Aufgaben kann, je nach Verständnis erstes Zählen durchaus miteingeschaltet werden. Es wird aber nur einem Teil der Kinder bei der Problemlösung dienen. Liegt sinnvolles zählen vor, so können 1:1 Zuordnung und zählen sich gegenseitig stützen. Bsp. sind:

- Hirten haben immer so viele Steine in der Tasche, wie sie Schafe in ihrer Herde haben

- Gleichviele Punkte, Kringel oder Striche malen wie z.B. Fenster im Raum sind; Kinder in Klasse sind etc.

- Zu Vertretern gleichviele Dinge zuordnen bzw. Handlungen ausführen: z.B.: Gleichviele Hüpfballsprünge, Trampolinsprünge, Paukenschläge.... wie der Würfel Augen anzeigt.

⇒ Wenn das Kind vielfältige Erfahrungen in diesen ⇒

Bereichen (Klassifikation, Seriation, Stück-für-Stück-Zuordnung, Grundsatz der Mengenerhaltung und Gebrauch von Gegenstandsvertretern) gemacht hat können die Zahlen eingeführt werden.

Schmitz und Scharlau geben an dieser Stelle aber zu bedenken ³ , dass viele Schüler der Schule für Geistigbehinderte „...nie in Begriffen, wie z.B. dem Zahlbegriff, denken lernen, sondern auf der Stufe der figurativen Wahrnehmung verhaftet bleiben und die operationale Strukturierung ihrer Umwelt nicht ohne Hilfe schaffen. Vielleicht sollten wir ihnen vorsichtig ein paar Hilfen, eventuell formalisiert, anbieten. Es könnte sein, daß wir sie mit dieser Form von Unterricht an das Stadium der konkreten Operationen heranführen oder - wenn das nicht gelingtihnen wenigstens einige Techniken an die Hand geben, Umwelt zu strukturieren und die Handlungen ihrer Mitmenschen besser zu verstehen.“

³ aus: Schmitz/Scharlau: „Mathematik als Welterfahrung“ S. 33

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5. EINFÜHRUNG DER ZAHLEN

Die Erarbeitung der Zahlbegriffe sollte in folgender Art und Weise geschehen:

1. Die zu lernenden Zahlbegriffe am eigenen Körper erfassen (nicht immer möglich)

2. Die Zahlbegriffe im kindlichen Erfahrungsbereich auffinden, bilden und darstellen

3. Die Zahlzeichen als Symbole verwenden

4. Die Zahlzeichen schreibmotorisch sichern

- Formbetrachtung

- Lokomotorisches Abgehen, Abfahren der Zahl auf dem Boden, mit Anfangs und Zielmarkierung

- Grobmotorisches nachfahren

- Zahlzeichen formen, biegen und ertasten

- Nachfahren kleiner Zahlzeichen auf dem Arbeitsblatt und selbständiges Schreiben der Zahlzeichen

5. Mit der Zahl umgehen, sie zerlegen, ergänzen...

Dabei ist immer auf eine enge Verflechtung von Handlung, Sprache und Symbol zu achten!

Die Zahlreihe wird langsam aufsteigend eingeübt. Parallel zur Einführung der Zahlen werden auch Rechenoperationen mit den bekannten Zahlen durchgeführt, so dass das Kind die Einsicht gewinnt, dass Zahlen sich aus anderen zusammensetzen, aus anderen herstellbar sind, Strukturen haben und zerlegbar sind und so die Zahlen als aufsteigende Zahlenreihe begreift.

Deshalb wird bei Erarbeitung aller Zahlen besonderer Wert auf die Durchgliederung gelegt. Jede Struktur soll dazu einzeln und ausführlich erarbeitet werden (Die Zahl 5):

die nächste (z.B. 5 = 3 + 2) angegangen.

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5.1 Die Erarbeitung der Zahlenbegriffe am Beispiel der Zahlen 2,1,0

- Die Zahlbegriffe am eigenen Körper erfassen z.B.: Farbabdrücke von beiden Händen und Füßen Zeige eine Hand, zwei Hände, einen Finger, zwei Daumen, hüpf auf einem Bein...

Dem Partner gleichfarbige Klebepunkte auf alle Körperteile die zweimal vorhanden sind setzen.

Wovon haben wir nichts also null? (Reifen, Fenster, Rüssel...)

- Die Zahlbegriffe im kindlichen Erfahrungsbereich auffinden, bilden und darstellen

- Tastspiel (sind zwei, eins oder null Gegenstände im Sack)

- In Katalogen o.ä. nach zweier, einser und nuller Anordnungen suchen und diese ausschneiden und auf Karten kleben, die dann in Kästen mit entsprechenden Gegenstandsvertretern sortiert werden

- Arbeitsblatt

- Die Zahlzeichen als Symbole verwenden

- Hier wird der Aufbau eines Parcours vorgeschlagen

- Aus den Beispielen der Handlungsebene können dann Arbeitsblätter entwickelt werden: Bsp.: Obst

Zunächst soll das passende Zahlzeichen nachgespurt werden dann soll es mit der Menge verbunden werden:

- Die Zahlzeichen schreibmotorisch sichern Bei der schreibmotorischen Sicherung der Zahlen sollten möglichst mehrere Stufen durchlaufen werden:

1. Formbetrachtung (1 ist wie ein i ohne den Bogen und Punkt)

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2. Lokomotorisches Abgehen, Abfahren der Zahl auf dem Boden, mit Anfangs und Zielmarkierung Dabei Handlungsbegleitendes Sprechen

3. Grobmotorisches nachfahren S.o. Auf Tapeten, an der Tafel etc. mit vielen Farben

4. Formen, biegen und ertasten der Zahlzeichen (Knetmasse, Draht, Salzteig..., Sandpapier, Holz, auf den Rücken gemalte Zahlen erraten...)

5. Nachfahren kleiner Zahlzeichen auf dem Arbeitsblatt und selbständiges Schreiben der Zahlzeichen Dabei ist zu beachten: dass die Schreibübungen wiederholt nebenbei eingeflochten werden sollten und niemals ein sinnentleertes Vollschreiben von Reihen stattfinden sollte. Bsp.: Wo ist die Zahl versteckt?

- Mit der Zahl umgehen, sie zerlegen, ergänzen... Neben der schreibmotorischen Sicherung sollte der Schüler auch lernen Rechenoperationen durchzuführen! Die Schüler sollen mit den ihnen bekannten Mengen umgehen, sie zerlegen und ergänzen (Bausteine...), sowie Anzahlen kontrollieren und unter Verwendung der Operationszeichen berichtigen.

Dadurch sollen sie u.a. erkennen, dass jede Zahl einen größeren und einen kleineren Nachbarn hat.

Vorschläge: (Schüler stellen sich mit Ziffernkarten auf einer Treppe auf und benennen ihren Nachbarn.)

Spiele mit Ziffernkarten (der große Nachbar der drei soll wie eine Schlange zur Tür kriechen)...

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Zum Schluss noch ein kurzes Beispiel aus der Praxis „Matheprojekt: Spielerisch mit Zahlen bis zehn umgehen(Stations-Verfahren)“ ⁴ . Hier sollen Zahlen bzw. Mengen über verschiedene Sinneskanäle erfahrbar gemacht werden.

- Die Zahlentreppe: Aus Bausteinen werden die Stufen der Zahlentreppe aufgebaut. Die unterschiedlichen Höhen der Stufen werden beim Besteigen der Treppe erfahren.

- Das Ballspiel: Zählend werden Bälle in eine Röhre geworfen und dabei Mengen-/Zahlenvorstellungen gefestigt. Das Spiel eignet sich auch zur Addition von Zahlen bis 10. In die 3 passt ein Ball mehr als in die 2.

- Die Sandkiste: Verschieden große Röhren werden mit Sand gefüllt, Mengen durch Umschütten verglichen oder mit dem Sandrad veranschaulicht.

Bei der Röhre mit der 10 läuft mein Sandrad ganz lange

⁴ aus: http://home.t-online.de/home/stephanusschule.htm

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