Die Zahl Pi

Inhaltsverzeichnis

1  Einleitung  3

1.1  Vorwort  3

1.2  Geschichtliches  3

2  Berechnungsmethoden  5

2.1  Das Wallissche Produkt  5

2.2  Verfahren nach Nikolaus Cusanus  8

  A Literaturverzeichnis  11

  B Erkl arung  12

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1 Einleitung

1.1 Vorwort

Ich habe die Zahl π als Thema meiner Facharbeit gew¨ ahlt, weil ich einmal wissen wollte, wie man ¨ uberhaupt auf verschiedenen Wegen zur Bestimmung dieser kommen kann. Jeder kennt diese Zahl vom Taschenrechner: Sie ist einfach da, aber wo kommt sie her?

Mit diesem Thema m¨ ochte ich mich daher im folgenden in meiner Facharbeit besch¨ aftigen. Zun¨ achst werde ich einige relevante geschichtliche Informationen anf¨ uhren und mich daraufhin mit der Herleitung und Erl¨ auterung zweier Verfahren f¨ ur die Bestimmung von π besch¨ aftigen. In meiner Zeit der Recherche nach Informationen und der Umsetzung dieser bin ich auf einige Probleme des Verst¨ andnisses der an einigen Stellen doch schon komplexen Iterationsverfahren gestoßen. Dies hat mir hinsichtlich des mathematischen Umfangs doch sehr die Augen ge¨ offnet, aber ich hoffe es geschafft zu haben, diese Probleme weitestgehend zu beseitigen und somit eine angemessene Darstellung der Verfahren erzielt zu haben.

1.2 Geschichtliches

Die Zahl π ist seit nunmehr ca. 4000 Jahren Gegenstand eines immens großen Bereiches der Mathematik; seit jeher hat sie die hellen K¨ opfe der mathematisch versierten Kulturen fasziniert und sie dazu bewegt, diese außergew¨ ohnliche Zahl zu bestimmen. Immer mehr Mathematiker befaßten sich mit ihr und entwickelten Methoden, auf denen die heutigen modernen Verfahren immer noch basieren. Waren es fr¨ uher gerade mal eine Handvoll bekannter Nachkommastellen, so liegt der Rekord nach riesigem Rechenauf-wand mit Supercomputern bei mittlerweile mehr als 68 Milliarden! uberlieferten Werte von π sind 3, 3 + ¹ und 3 + ¹ Die ersten schriftlich ¨ .

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Der letzte Wert wurde 1936 auf einer ca. 4000 Jahre alten babylonischen Keilschrifttafel entdeckt; er wurde wohl anhand einer Absch¨ atzung zwischen dem Umfang eines Kreises mit dem Radius 1 und einem ihm einbeschriebenen Sechseck n¨ aherungsweise angegeben. Die ¨ Agypter halten auf ihrem Papyrus “Rhind”, der etwa auf das Jahr 1650 v. Chr. zur¨ uckdatiert werden kann, eine interessante Methode fest: “Man subtrahiere ¹ vom Durchmesser eines Kreises und quadriere die ¨ ubrig geblie- ⁹ benen ⁸ ”. Somit lag der Wert f¨ ur “ ihr π” bei ungef¨ ahr 3,1604... Wie sie

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aber auf diese Formel gekommen sind, bleibt bis heute ein R¨ atsel. Die aber wohl bekannteste Formel stammt von Archimedes von Syrakus (287-212 v. Chr.), die ihn letztendlich in seiner Arbeit “ ¨ Uber Kreismessung” zu der bemerkenswerten Ungleichung 3+ ¹⁰ < π < 3+ ¹ gef¨ uhrt hat. Er n¨ aherte

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einem gegebenen Kreis jeweils einbeschriebene und umschriebene Polygone an und hatte somit eine ansteigende Folge von Umf¨ angen der Inkreise und eine abnehmende Folge von dem Umf¨ angen der Umkreise, die er benutzte, um π einzuschachteln.

Im Laufe der Zeit haben sich noch sehr viele Mathematiker mit der Berechnung von π besch¨ aftigt, unter ihnen auch Gr¨ oßen wie Leonhard Euler oder Isaac Newton, aber darauf m¨ ochte ich nicht im einzelnen eingehen, um den Rahmen der geschichtlichen Betrachtungen nur auf einige wichtige Informationen zu beschr¨ anken.

Das Verh¨ altnis zwischen dem Umfang und dem Durchmesser eines Kreises wurde erstaunlicherweise erst 1647 von Newtons Lehrer William Oughtred mit dem griechischen Buchstaben π bezeichnet. Diese Zahl wird auch weitl¨ aufig nach Ludolph van Ceulen “Ludolphsche Zahl” genannt; dieser war ein fanatischer Stellenj¨ ager und stellte 1609 unter Verwendung einer verbesserten Formel von Archimedes einen neuen Rekord auf, woraufhin diese Zahl ehrenhalber nach ihm benannt wurde.

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2 Berechnungsmethoden

2.1 Das Wallissche Produkt

Der englische Mathematiker John Wallis (1616 -1703) hat eine Produktdarstellung von ^π gefunden, die zun¨ achst darauf basiert, daß im Intervall 0 ≤

² x < ^π stets 0 ≤ sinx < 1 ist und f¨ ur nat¨ urliche Zahlen k ≥ 1 die Unglei-

² chung

sin ^2k+1 x ≤ sin ^2k x ≤ sin ^2k−1 x (1)

gilt. Somit ging er wie folgt vor: Er betrachtete zun¨ achst das nachstehende Integral und formte es entsprechend um

Diese Umformung des Integrals erh¨ alt man durch die sogenannte partielle Integration. Ist n¨ amlich der Integrand ein Produkt zweier Funktionen, in diesem fall x und sinx, so gibt es zum Unterschied der Produktregel in der Differenzialrechnung keine allgemein g¨ ultige Regel, um die Berechnung des Integrals eines Produktes auf die Berechnung der Integrale seiner Faktoren zur¨ uckzuf¨ uhren. Man kann sich hier aber helfen, denn es gibt eine M¨ oglichkeit, ein schwierig zu l¨ osendes Integral auf ein einfacheres zur¨ uckzuf¨ uhren:

Satz: Seien u(x) und v(x) zwei im Intervall ] a; b [ differenzierbare Funktionen, dann gilt nach der Produktregel der Differenzialrechnung (u(x) · (x) · v(x) + u(x) · v = u (x). Ist u(x) · v (x) integrierbar, so folgt v(x)) hieraus

= u(x) · v(x) −

u (x) · v(x) dx, so daß auch u Andwendung des Satzes am oberen Integral: Der gegebene Integrand wird (x) · v(x) integrierbar ist. in das Produkt sin x · sin ⁿ⁻¹ x zerlegt, d.h. man setzt u = sin ⁿ⁻¹ x, v

u

oder

− cos x · sin ⁿ⁻¹ x + (n − 1) ·

(1 + n − 1)

· Dividiert man beide Seiten durch n, so ergibt sich gerade (2). Somit ist dieses

Integral nachgewiesen. Nun kann man die Grenzen 0 und ^π einsetzen und es

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ergibt sich

Integriert man das rechts stehende Integral nun immer wieder (mehrfache

partielle Integration), so erh¨ alt man unter Ber¨ ucksichtigung der Fallunter-scheidung zwischen geraden Zahlen (n = 2k) und ungeraden Zahlen (n =

2k + 1) die folgende Darstellung

^{π π}

^{π π}

0

und nach dem Au߬ osen des Integrals ergibt sich

Nun kommt (1) ins Spiel: Die eben gefundenen Produkte lassen sich nach

der Fallunterscheidung nun mit (1) als Ungleichung darstellen:

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Betrachtet man den Grenzwert

so muß ebenfalls

sein; keine andere Zahl außer 1 k¨ onnte gleichzeitig die Eigenschaft 1 ≤ x ≤ 1 haben. Wallis hat also mit (1) die Absch¨ atzung der Integrale unter Bildung der Grenzwerte dergestalt erlangt, daß man diese sogenannte rekursive Formel (d.h. nach mehrmaligem partiellen Integrieren) schließlich nach π

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au߬ osen und umschreiben kann:

Dieses meiner Meinung nach sehr interessante Verfahren zur Bestimmung von ^π als unendliches Produkt nennt man das Wallissche Produkt (auch

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das Wallissche Integral). Es unterscheidet sich so, wie es ist, von jeglichen anderen Verfahren und ist somit etwas Einzigartiges, was gerade mein Interesse hieran geweckt hat. Ferner sind der Aufbau und die Herleitung dieses Produktes sehr ¨ ubersichtlich und und in sich anhand der klar gegliederten Struktur logisch gut nachvollziehbar.

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2.2 Verfahren nach Nikolaus Cusanus

Nikolaus von Kues (1401-1464), lateinisiert Nicolaus Cusanus, war eigentlich Theologe, doch er besch¨ aftigte sich dar¨ uberhinaus auch mit der Mathematik, den Naturwissenschaften und der Philosophie. Sein Name leitet sich von seiner Geburtstadt Kues (heute: Bernkastel-Kues) ab. Er entwickelte um etwa 1450 ebenfalls eine Methode zur Berechnung von π, die eigentlich genauso wie die von Archimedes war, nur ganz anders. Anstatt einem Kreis regelm¨ aßige n-Ecke ein- und umzuschreiben, schrieb er einem n-Eck mit 2 ⁿ (n ∈ N) Seiten einen Kreis ein und um. Den Umfang der Polygone setzte er gleich 2. Somit n¨ aherte er durch Erh¨ ohung der Seitenanzahl die beiden Kreise an die Polygone an und berechnete dann den Umfang der Kreise (r = Radius des einbeschriebenen Kreises, R = Radius des umschriebenen Kreises, n = Iterationsschritt).

In dieser Konstellation ist es leicht ersichtlich, daß

2 · π · r n < 2 < 2 · π · R n (6)

gelten muß. Nach dem K¨ urzen und Umkehren erh¨ alt man

Mit der Festsetzung n = 2 hat man ein Quadrat der Seitenl¨ ange ¹ , r 2 = ¹ √ √ ^{4 4} 2 = ¹ und R 2 = a · · 2.

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Der Winkel zwischen R n und r n ist 180 ^◦ 2 n (in diesem Fall also 180 ^◦ 2 2 = 45 ^◦ ) und

es folgt die nachstehende Beziehung unter Betrachtung der Konstruktion:

tan

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Diese einfachen Zusammenh¨ ange sind die elementaren Bausteine auf dem Weg zu den Iterationsvorschriften. Um nun den Weg dorthin zu beschreiten, werden R n und r n zun¨ achst addiert:

=

Der hier entstandene Term l¨ aßt sich in dieser Gestalt allerdings noch nicht vereinfachen. Hierzu muß noch ein weiterer Schritt in der Umformung gemacht werden, der im Ergebnis so aussieht:

=

2 n+1

(13) 1 = sin ² α + cos ² α (14) den Term weiter vereinfachen zu k¨ onnen. Gerdade diese Umformung stellt den entscheidenden Schritt f¨ ur die weiterfolgenden Rechnungen dar, denn

sonst k¨ onnte man mit dem Ausgangsterm nie ans Ziel (Iterationsvorschriften)

1 + cos 2 180

= 2 · u

2 n+1

2 ⁿ⁺² · tan ¹⁸⁰ Betrachtet man (16) und vergleicht den Term mit (9), so erkennt man, daß

(16)

(16) gerade 2 · r n+1 ist. Damit ist eine Iterationsvorschrift aufgestellt:

Nun zur zweiten: Da (17) die Iterationsvorschrift f¨ ur den Inkreisradius ist, muß nun diejenige f¨ ur den Umkreisradius aufgestellt werden. Nachdem die ganze Vorarbeit getan ist, erfolgt dies jetzt nach nur wenigen Schritten. Zun¨ achst werden r n+1 und R n miteinander multipliziert und es folgt damit

· u 1 u u 1 r n+1 · R n

= (18) Nun muß der Term nur noch ver¨ andert werden (genauso wie oben), woraus

2 ⁿ⁺¹ = R 2 2

n+1

R n · r n+1 (20)

Damit ist auch die zweite Iterationsvorschrift gefunden; π kann auf diesem

√ r n+1 · R n (21) Mit diesen Iterationsvorschriften hat Cusanus sicherlich ebenfalls ein interessantes Verfahren entwickelt; es basiert im wesentlichen vollst¨ andig auf trigonometrischen ¨

Uberlegungen und unterscheidet sich somit sehr vom Wal-

A Literaturverzeichnis

1. Jean-Paul Delahaye: Pi - Die Story, Birkh¨ auser Verlag 1999

2. R. Rothe: H¨ ohere Mathematik Teil II, B.G. Teubner Verlag 1960

3. Liedl/Kuhnert: Analysis in einer Variablen, B.I. Wissenschaftsverlag 1992

4. Mathematische Bibliothek, J. Lindauer Verlag

5. Sieber: Mathematische Formeln (E), Klett Verlag 1980

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B Erkl¨ arung

Hirmit erkl¨ are ich, daß ich diese Facharbeit selbst¨ andig und nur unter Verwendung der im Literaturverzeichnis angegebenen Quellen verfaßt habe.

................................................................. Remscheid, den 3.4.2001 (Sascha Lambeck)

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