Formel der Gemischten Zinsrechnung nach Köhler:

( ) ( ) ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = N 1 1 t p q t p K K

2 1 0 n

K n : Wert des Kapitals zum Zeitpunkt n, Endkapital

K 0 : Wert des Kapitals am Anfang der Rechnung, Anfangskapital

q : Aufzinsfaktor ( q = 1 + p )

p : Zinssatz in %

n : Gesamte Laufzeit des Kapitals, setzt sich zusammen aus: t 1 , N, t 2

n = t 1 + N + t 2

t 1 : gebrochene Periode im 1. Jahr der Laufzeit. ( Zeitraum vom Einzahlungsdatum bis

zum Ende des 1. Jahres )

N : Anzahl der ganzen Jahre in der Anlagezeit

t 2 : Zeitraum vom Ende des letzten ganzen Jahres bis zum Auszahlungsdatum

Formel der Gemischten Zinsrechnung nach Kurschwitz:

( ) ( )

⋅ + ⋅ + ⋅ = n 1 1 n p p K K 1

2 0 n

K n : s. o.

K 0 : s. o.

p : s. o.

n : Gesamte Laufzeit der Anlage ( n = n 1 + n 2 )

n 1 : Anzahl der ganzen Jahre einer Laufzeit

n 2 : Restlicher ( gebrochener ) Zeitraum der Anlage

( n 2 = n - n 1 )

3

Inhaltsverzeichnis

Verzeichnis  der angewandten Zeichen und Symbole  

1  Einleitung  1

1.1  Einführung in das Thema  1

1.2  Eingrenzung des Themas  1

1.3  Vorgehensweise  1

2  Herleitung der Formel nach Köhler  2

3  Berechnung der gesuchten Größen  4

3.1  Umstellung der Formel nach den einzelnen Variablen  4

3.1.1  Berechnung des Startkapitals  4

3.1.2  Berechnung des Zinssatzes  5

3.1.3  Berechnung der Laufzeit  6

3.2  Berechnung der gesuchten Größen mit dem Tabellenkalkulations-  

programm  EXCEL  7

4.  Beweis für die optimale Verzinsung durch die Gemischte Zinsrechnung  7

5  Konditionsänderungen  10

6  Herleitung der gemischten Zinsformel nach Kurschwitz  11

6.1  Beschreibung der Formel  11

6.2  Berechnung der gesuchten Größen mit dem Tabellenkalkulations-  

programm  EXCEL  12

6.3  Kritik an der Formel  12

7  Mögliche Kritik an der Formel nach Köhler  14

7.1  Kritik laut Tietze  14

7.2  Eigene Beurteilung der Kritik  15

8  Zusammenfassung  15

9  Literaturverzeichnis  16

Anhang   

Anhang I:  Umstellung der Formel laut Kurschwitz nach den einzelnen  

Variablen   

Anhang II:  Datenträger für die Anwendung in EXCEL  

4

2 Einleitung

2.1 Einführung in das Thema

Die Zins- und Zinseszinsrechnung ist bekannt. Nun ergibt sich aber das Problem, dass Geldbeträge nicht immer am 01.01. eines Jahres eingezahlt und am 31.12. eines Jahres wieder ausgezahlt werden. Das Kapital wird nicht immer für ein ganzes Jahr angelegt, da es auch innerhalb eines Jahres benötigt wird; zudem möchte man eventuell im Laufe des Jahres eine Summe einzahlen. Wenn ein Geldbetrag irgendwann in einem Jahr ein-oder ausgezahlt wird, entstehen so genannte gebrochene Perioden. Das Kapital wird natürlich genau für den entsprechenden Zeitraum verzinst. Um dies zu gewährleisten, kombiniert man die Einfache Zinsrechnung und die Zinseszinsrechnung in der so genannten Gemischten Zinsrechnung, um so die höchstmögliche Verzinsung des Kapi-tals zu erreichen. 1

2.2 Eingrenzung des Themas

Mit dem Thema der Gemischten Zinsrechnung haben sich zahlreiche Autoren

beschäftigt. In dieser Arbeit wird sowohl Harald Köhler 2 als auch Lutz Kurschwitz 3 zitiert, wobei der Schwerpunkt auf der Formel nach Harald Köhler liegt. Die Zins- und Zinseszinsrechnung, auf denen die Gemischte Zinsrechnung basiert, werden vorausgesetzt und daher nicht weiter erläutert.

Weiterhin wird das Thema auf die jährliche Verzinsung des Kapitals beschränkt. Die gemischte Verzinsung lässt sich außerdem bei der unterjährlichen Verzinsung anwenden. Das Thema „Unterjährliche Verzinsung“ ist Bestandteil einer weiteren Facharbeit.

1.3 Vorgehensweise

In der Arbeit wird ausführlich auf die Formel nach Köhler, zur Ermittlung der gemischten Zinsen eingegangen. Zunächst wird die Herleitung dieser Formel dargestellt und später die Gleichung nach den verschiedenen Variablen umgewandelt. Anschließend wird gezeigt, wann die Gemischte Zinsrechnung dem Anbieter gegenüber der Einfachen Zinseszinsrechnung den größten Vorteil bringt und was passiert, wenn sich die Konditionen dieser Rechenweise verändern. Fortlaufend ist eine weitere, etwas vereinfachte Formel nach Kurschwitz aufgeführt, die ebenfalls nach den weiteren variablen Größen umgestellt wird. Außerdem wird der Unterschied beider Formeln gezeigt.

¹ Vgl.: Ihrig, Holger/Pflaumer, Peter: Finanzmathematik. 7. Auflage, Oldenbourg: München, Wien 1999, S. 27.

² Vgl.: Köhler, Harald: Finanzmathematik. 4. Auflage, Hasser: München, Wien 1997, Abschnitt 2.2.

³ Vgl.: Kurschwitz, Lutz: Finanzmathematik. 2. Auflage, Vahlen: München 1995, Abschnitt 1.3.3.

5

2 Herleitung der Formel nach Köhler

Wie bereits erwähnt, setzt sich die Gemischte Zinsrechnung aus der Einfachen Zins-rechnung und der Zinseszinsrechnung zusammen. 4

Die Einfache Zinsrechnung verzinst immer wieder das Ausgangskapital, demnach verläuft diese Art der Verzinsung linear und wird für die Berechnung der gebrochenen Perioden verwendet. Die Zinseszinsrechnung hingegen verzinst die am Jahresende ent-standenen Zinsen in dem folgenden Jahr mit. Aus diesem Grund verläuft diese Art der

Verzinsung exponentiell und wird für die Berechnung der ganzen Perioden benötigt. ^{5 ; 6} Die verschiedenen Arten der Zinsrechnung verdeutlicht die nachstehende Grafik: 7

3,0 DM

2,5 DM

2,0 DM

1,5 DM

1,0 DM

0,5 DM

0,0 DM

Die gebrochenen Perioden stehen am Anfang und am Ende der Laufzeit eines Kapitals und sind immer kleiner als eins, also kürzer als ein Jahr. In der nachfolgenden Grafik

wird noch einmal verdeutlicht, wo sich die Perioden einordnen lassen: 8

Perioden:

gebrochene ( t 1 ) ganze ( N ) gebrochene ( t 2 )

|___________|___________________________________|___________| 01.05.´98 31.12.´98 31.12.´02 01.03.´03 Einzahlung Auszahlung

Beispiel:

Oma Herta legt im September des Jahres 1963 ein Kapital von 2000 DM an. Die Bank zahlt es ihr im Mai des Jahres 1967 wieder aus, weil sie ihrem Enkel den Führerschein finanzieren will.

Das Startkapital wird nun von September ´63 bis Ende Dezember ´63 einfach verzinst, da in diesem Abschnitt eine gebrochene Periode vorliegt. Das bis dato

⁴ Vgl.: Locarek-Junge, Hermann: Finanzmathematik, Lehr- und Übungsbuch. 3. Auflage, Oldenbourg: München, Wien 1997, S. 63.

⁵ Vgl.: Kurschwitz, L., 1995, S. 18.

⁶ Auf den Grund der Gemischten Zinsrechnung wird im Laufe der Arbeit weiter eingegangen.

⁷ Vgl.: Hanxleden, Eberhard von/Hentze, Rudolf: Lehrbuch der Mathematik. 9. Auflage, Vieweg: Braunschweig, Berlin 1960, S. 33, Abb. 11.

⁸ Vgl.: Köhler, H., 1997, S. 52 Abb. 2.1.

6

verzinste Kapital wird nun im zweiten Abschnitt von Anfang Januar ´64 bis Ende Dezember ´66 mit Zinseszinsen verzinst. In diesem Zeitraum befinden sich drei ganze Jahre. Den Rest der Laufzeit wird der entstandene Betrag wieder einfach

verzinst, der Zeitraum verläuft vom 01.01.´67 bis zum Auszahlungsdatum. ⁹ Um nicht jeden Zeitraum einzeln berechnen zu müssen, wurde eine Formel entwickelt, die das Endkapital bei vorgegebenem Anfangskapital, Zinssatz und Laufzeit berechnet. Da sich die Gemischte Zinsrechnung aus der Einfachen Zinsrechnung und der Zinseszinsrechnung zusammensetzt, werden also in der kombinierten Form auch beide Formeln verwendet:

Einfache Zinsformel:

Zinseszinsformel:

Da am Anfang einer Anlagezeit eine gebrochene Periode vorliegt (s.o.), wird mit der Formel der einfachen Verzinsung begonnen. Lediglich für die Laufzeit n wird die Variable t 1 eingesetzt, um die gebrochene Periode am Anfang der Anlagezeit zu verdeutlichen:

Es folgen die ganzen Perioden. Um sie zu berechnen wird die Formel für die

Zinseszinsrechnung eingefügt:

ersetzt, um die ganzen Perioden zu verdeutlichen.

Da diese Formel von dem Endkapital der ersten Gleichung ausgeht und direkt an sie anschließt, wird bei der Zinseszinsformel die Variable K 0 entfernt. Es entsteht die Gleichung:

Nun fehlt noch die gebrochene Periode, deren Zeitraum sich vom Ende der letzten ganzen Periode bis zum Auszahlungsdatum erstreckt. Es werden zu dem vorhandenen Kapital abermals einfache Zinsen addiert. Dieses geschieht mit der schon

( )

verwendeten Formel:

fernt werden, da wiederum die vorigen Berechnungen K 0 ersetzen. Aber auch in dieser Gleichung wird n durch Variable t 2 ersetzt, um den Zeitraum kenntlich zu machen. Für die Variablen t 1 und t 2 wird die Laufzeit vorläufig in Tagen angegeben, jedoch eine Division durch 360 führt dazu, dass im Endeffekt eine Angabe in Jahren vorliegt, wie es bei der Variablen N ebenfalls der Fall ist. Die

endgültige Formel lautet nun: 12

⁹ Vgl.: Köhler, H., 1997, S. 52.

^{10 Vgl.: Kurschwitz, L., 1995, S. 6. Im Folgenden wird auf die Quellenangabe verzichtet. 11} Vgl.: Kurschwitz, L., 1995, S. 10. Im Folgenden wird auf die Quellenangabe verzichtet.

¹² Vgl.: Köhler, H., 1997, S. 52.

¹³ Vgl.: Köhler, H., 1997, S. 52. Im Folgenden wird auf die Quellenangabe verzichtet.

7

Beispiel:

Um sich im Oktober 1995 eine neue Küche zu kaufen, möchte Karl wissen, auf welchen Betrag sein Kapital von K 0 = 5000 DM anwächst, wenn es bei einem Zinssatz von p = 4 % vom 20.05.91 bis 29.09.95 angelegt wird.

Zunächst wird die Laufzeit in die drei bereits beschriebenen Abschnitte eingeteilt:

20.05.91 - 31.12.91 220 Tage (t 1 )

31.12.91 - 31.12.94 31.12.94 - 29.09.95 269 Tage (t 2 )

Nun sind alle Werte gegeben, die zur Berechnung des Endkapitals K n benötigt werden. Diese Werte werden in die bereits genannte Formel eingesetzt:

Das Kapital wächst durch die Gemischte Zinsrechnung im vorgeschriebenen Zeit-

raum auf 5934,02 DM an. 14

Wenn jedoch die Anlagezeit exakt vom 01.01. eines Jahres bis zum 31.12. eines anderen Jahres verläuft, also nur ganze Jahre beinhaltet, sind t 1 und t 2 gleich Null und es genügt eine Berechnung der Zinsen mit der Zinseszinsformel. In diesem Fall sind beide Formeln gleich. Daraus lässt sich schließen: „Gemischte Zinsrechnung und reine Zinseszinsrechnung unterscheiden sich nur dann voneinander, wenn gebrochene Laufzeiten auftreten, wenn also die Laufzeit kein ganzzahliges Vielfaches der Zinsperiode ist, oder

noch anders gesagt: wenn n keine natürliche Zahl ist.“ 15

3 Berechnung der gesuchten Größen

Da nun nicht immer nach dem Endkapital gefragt ist, folgt die Umstellung der Formel nach dem Startkapital und der Laufzeit. Der Zinssatz wird in diesem Abschnitt nicht berechnet, da hierfür ein Näherungsverfahren angewendet werden muss. Auf dieses Verfahren wird jedoch in dieser Arbeit nicht weiter eingegangen.

3.1 Umstellung der Formel nach den einzelnen Variablen

3.1.1 Berechnung des Startkapitals

Im Folgenden ist das Endkapital gegeben, das Startkapital wird gesucht. Hierzu muss die bis jetzt verwendete Gleichung nach der veränderlichen Größe K 0 umgestellt werden. Der mathematische Satz

¹⁴ Vgl.: Köhler, H., 1997, S. 52. Im Folgenden wird auf die Quellenangabe verzichtet.

¹⁵ Kurschwitz, L., 1995, S.17.

wird durch mehrere Divisionen umgeformt, so dass die Formel am Ende wie folgt lautet:

Beispiel:

Karl ist ein wenig vergesslich. Bevor er nun seine Küche kauft, möchte er gern wissen, wie viel Kapital er damals zum Kauf der Küche angelegt hat. Nun wird also das Startkapital gesucht. Das ausgezahlte Kapital beträgt 5934,02 DM, der Zinssatz 4 % und die drei Zeitperioden verliefen wie folgt: t 1 = 220 Tage

Karl hat damals ein Kapital von 5000 DM angelegt.

3.1.2 Berechnung des Zinssatzes

„Die Ermittlung des Zinssatzes bei gegebenem Anfangskapital, gegebenem Endkapital

und gegebener Laufzeit ist methodisch ungleich schwieriger.“ ¹⁷ Die bereits bekannte Formel lässt sich nicht direkt nach p umstellen. Um trotzdem ein

Ergebnis zu erhalten, verwendet man das Newton´sche Näherungsverfahren. ¹⁸ Mit dieser Methode erhält man einen Näherungswert, der sich vom Ergebnis kaum unterscheidet. Um sich an den Umfang der Arbeit zu halten, wird hier auf das eben genannte Verfahren nicht weiter eingegangen. In der Bankpraxis ist die Berechnung des Zinssatzes relativ unbedeutend, da er von der Bank nach Marktlage vorgegeben wird und nur bedingt verhandelbar ist. Die Ermittlung des Zinssatzes lässt sich mit dem Tabellenkalkulationsprogramm Excel ohne viel Aufwand durchführen. Hier wird mit so genannten Zielversuchen gearbeitet. Auf das Programm Excel wird im Laufe der Arbeit und im Anhang II weiter eingegangen.

¹⁶ Vgl.: Locarek- Junge, H., 1997, S. 66.

¹⁷ Kurschwitz, L., 1995, S. 20.

¹⁸ Vgl.: Locarek- Junge, H., 1997, S. 66.

9

3.1.3 Berechnung der Laufzeit

Die Ermittlung der Laufzeit erfolgt anhand eines Beispiels schrittweise, gemäß der drei Perioden. Beispiel:

Erika hat sich am 01.06.1987 entschlossen für ein eigenes Auto zu sparen. Um es sich leisten zu können, muss sich ihr jetziger Kontostand bei einem Zinssatz von 5 % verdreifachen. An welchem Tag kann Erika frühestens ihr Auto kaufen? Die erste gebrochene Periode lässt sich der Aufgabenstellung entnehmen. Sie = ⋅ = 210 30 7 t verläuft vom Einzahlungsdatum bis zum Jahresende: Tage.

1

In die herkömmliche Formel werden die bekannten Werte eingesetzt:

Zunächst werden mit Hilfe der Zinseszinsformel die ganzen Perioden berechnet. Die bekannten Beträge werden eingesetzt und man ermittelt für N = 22,52 Jahre.

Hiervon wird die schon bekannte Laufzeit von

lautet: 21,937 Jahre. Da die Zinseszinsformel nur bei ganzen Perioden exakt rechnet, beschränken wir uns auf die vollendeten 21 Jahre. Dieser Wert wird ebenfalls in die Gleichung eingesetzt, außerdem fällt K 0 nach einer Division aus der Formel.

Nach einer Umstellung des mathematischen Satzes nach t 2 lautet die Gleichung folgendermaßen:

Im Jahr 2009 beträgt die Laufzeit noch 11 Monate und 4 Tage. Die Laufzeit des Kapitals beträgt ab dem 01.01.1988 21 Jahre, also bis zum 31.12.2008. Im folgenden Jahr kann Erika das Auto frühestens am 4. Dezember erwerben. Die zuvor durchgeführte Rechnung eignet sich bei einem entsprechenden Fall auch für die Ermittlung der gebrochenen Periode zu Beginn der Laufzeit (t 1 ). Hierbei ist das Auszahlungsdatum gegeben und entsprechend das Einzahlungsdatum gesucht. Auf die Darstellung dieser Berechnung wird hier verzichtet, da ein großer Teil bereits erwähnt wurde.

Formeln zur Ermittlung der Laufzeit lassen sich ohne Beispiel nur dann erstellen, wenn zwei der drei Variablen der Anlagezeit gegeben sind. Ist die Laufzeit völlig unbekannt, so unterscheidet man lediglich die ganzen Jahre von den addierten

gebrochenen Perioden. 19

¹⁹ Vgl.: Locarek-Junge, H., 1997, S. 65/66.

10

3.2 Berechnung der gesuchten Größen mit dem Tabellenkalkulationsprogramm EXCEL

Im Folgenden wird dargestellt, wie sich die einzelnen Variablen mit Excel errechnen lassen.

Zuerst werden die bekannten Größen in der orangen Tabelle aufgeführt, so dass sich die Daten später durch die entsprechende Zellenbezeichnung (B3 oder B7) in eine Formel einsetzen lassen. Als nächstes wird die Laufzeit in die schon bekannten drei Zeiträume aufgeteilt (grünes Feld). Den größten Teil dieser Aufteilung übernimmt das Programm. Es errechnet die Anzahl der Tage zwischen zwei Daten. Nun sind auch die einzelnen Variablen der Zeit gegeben um mit der Berechnung einer beliebigen Größe zu beginnen. In der gelb unterlegten Spalte erscheinen nun die gesuchten Werte. Dies ist durch die zuvor eingegebenen Formeln in die Spalte „gesucht“ möglich. Einzige Ausnahme ist die Ermittlung des Zinssatzes, hier führt Excel die Berechnung mit Hilfe der so genannten „Zielwertsuche“ durch, es entsteht ein Näherungswert. In dem orangen Feld ist für das Ende und den Anfang des Jahres jeweils der 30.12. angegeben, da der Computer für ein

Zinsjahr mit 360 Tagen kalkuliert. 20 ; 21

4 Beweis für die optimale Verzinsung durch die Gemischte Zinsrechnung

Wir wissen, dass die Gemischte Zinsrechnung angewandt wird, um dem Kapital- eigentümereine höchstmögliche Verzinsung zu bieten. Der finanzielle Unterschied, welcher entsteht, wenn das Kapital einmal mit Zinseszinsen und das andere Mal mit gemischten Zinsen verzinst wird, ist jedoch gering. Der Unterschied fällt um so größer aus, desto höher der Zinssatz und das Startkapital sind. Ferner fällt der Unterschied

²⁰ Vgl.: Locarek-Junge, H., 1997, S. 64, Bsp. 2.4.1. Im Folgenden wird auf die Quellenangabe verzichtet.

^{21 Vgl.: Nicol, Natascha/Albrecht, Ralf: Das Excel 97 Einmaleins, 3. Auflage, In: Rabbitsoft} Haselier, R. G./Fahnenstich, K. (Hg.), Econ: Düsseldorf 1998, S. 204. Im Folgenden wird auf die Quellenangabe verzichtet.

11

größer aus, je weiter der Anlagezeitpunkt in der Jahresmitte liegt. ²² Ist exakt ein Jahr vergangen, besteht kein Unterschied mehr.

Aus diesen Fakten stellt sich nun die Frage, warum die einfache Verzinsung bei gebrochenen Perioden mehr Zinsen ausschüttet, als die Zinseszinsrechnung. Um die Erklärung zu erleichtern, werden die Zins- und Zinseszinsformeln ein weiteres Mal aufgeführt:

Einfache Zinsrechnung:

Zinseszinsrechnung:

Die gebrochenen Perioden beinhalten alle positiven Zahlen, die kleiner sind als eins

( 0< n >1 ) ²³ . Hier liegt in diesem Moment der Nachteil der Zinseszinsrechnung, da dort die Variable der Laufzeit (n) im Exponenten steht. Wenn n größer eins ist, bringt die Zinseszinsrechnung einen klaren Vorteil. Der Exponent hat einen viel größeren Einfluss auf eine Zahl, als ein normaler Multiplikator.

Das Beispiel zeigt die Tatsache deutlich. Dieses Phänomen wirkt sich ebenso auf die verschiedenen Zinsrechnungen aus. Setzt man nun in die Formeln der zwei Zinsrechnungen einen Wert kleiner eins ein, so drehen sich die Verhältnisse. Nun wirkt sich die einfache Zinsrechnung vorteilig aus:

Beispiel:

n = 0,5 Jahre p = 15 % K 0 = 5000 DM

( ) 5375 = ⋅ + ⋅ = Einfache Zinsrechnung: 15 , 0 5 , 0 1 5000 K

5 , 0

( )

= + ⋅ = ^{5 , 0} Zinseszinsrechnung: 90 , 5361 15 , 0 1 5000 K

5 , 0

Noch ist der Unterschied zwischen den beiden Varianten nicht groß, doch wie schon erwähnt, wird bei steigendem Zinssatz und größerem Startkapital der Unterschied immer deutlicher. Die Differenz, die innerhalb eines Jahres entsteht wird in der nachfolgenden Grafik noch einmal verdeutlicht: 24

²² Vgl.: Kurschwitz, L., 1995, S. 19.

²³ Vgl.: Kurschwitz, L., 1995, S. 24.

²⁴ Vgl.: Kurschwitz, L., 1995, S. 19.

12

4,5

^Millionen 4 3,5 3 ^Kapital 2,5 2 1,5 1 0,5 0

Es bleibt noch offen, bei welchem Anlagezeitpunkt sich der größte Vorteil der gemischten Verzinsung ergibt. Die nachstehende Rechnung liefert die Lösung:

Man geht zunächst von einer Anlagezeit über genau ein Jahr aus. Das Kapital wird an einem beliebigen Tag eines Jahres eingezahlt und exakt am gleichen Tag des folgenden wieder ausgezahlt. Hieraus ergibt sich, dass N gleich Null ist. Unter den restlichen zwei Variablen wird das Jahr aufgeteilt ( t 2 = 360 - t 1 ). Dadurch, dass N und damit die Zinseszinsrechnung aus der Formel fällt, vereinfacht sie sich:

Um den Extrempunkt zu erhalten, der den größten Unterschied zwischen Zins und Zinseszins zeigt, wird die 1. Ableitung nach t 1 durchgeführt, diese anschließend gleich Null gesetzt:

Da K 0 und p ungleich Null sind, kann nur die Klammer Null sein. Während des Auflösens nach t 1 wird p weggekürzt und so erhält man 180 Tage. Da 180 die Hälfte von 360 ist, weiß man auch, dass t 2 ebenfalls 180 Tage ergibt.

13

Die Rechnung hat ergeben, dass der größte Unterschied zwischen Zins- und Gemischter Zinsrechnung exakt in der Mitte, demzufolge am 01.07. eines Jahres

liegt. 25

5 Konditionsänderungen

Das Geschäft der Banken gestaltet sich nicht immer so einfach wie in den oben formulierten Beispielen. Es ist durchaus möglich, dass sich die Konditionen während der geplanten Laufzeit ändern. Beispielsweise könnte sich nach einem Jahr der Zinssatz oder aber auch das vorhandene Kapital unabhängig von den Zinsen ändern. Bei einer Änderung des Zinssatzes wird das Jahr in zwei Abschnitte unterteilt. Der erste Zeitraum liegt vor und der andere nach der Konditionsänderung. Diese Zeitspannen werden folgerichtig einfach verzinst, da sie kein ganzes Jahr mehr beinhalten. Der erste Abschnitt verläuft vom Jahresbeginn bis zur Unterbrechung, die durch die Konditionsänderung bedingt ist. Hier wird das Kapital zu den alten Bedingungen einfach verzinst. Der zweite Abschnitt erstreckt sich vom Unterbrechungszeitpunkt bis zum Jahresende. Auch hier wird das Kapital einfach (mit dem neuen Zinssatz) verzinst.

Beispiel:

Torsten hat sein verfügbares Geld (K 0 = 3000 DM) für ein Jahr angelegt. Innerhalb des Jahres, genauer ab 01.07., handelt er eine Zinssatzerhöhung von 5,5 % auf 6 % aus. Wie hoch ist sein Endkapital? 1. Zeitabschnitt: 01.01. - 30.06. = 180 Tage 2. Zeitabschnitt: 01.07. - 31.12. = 180 Tage

Das Endkapital beträgt 3174,98 DM. 26

Eine weitere Bedingungsänderung könnte vom Kapital ausgehen. Der Kunde vergrößert oder verringert das zu verzinsende Kapital. In solchen Fällen wird folgendermaßen verfahren:

Der Betrag, der von der Kapitalveränderung nicht betroffen ist, wird weiterhin mit Zinseszinsen verzinst, soweit es sich um eine ganze Periode handelt. Wird ein Betrag zu dem bestehenden Kapital hinzugeführt, so wird dieser vom Einzahlungsdatum bis zum jeweiligen Jahresende einfach verzinst, ehe er dann am kommenden Jahresanfang zusammen mit dem restlichen Betrag per Zinseszinsen verzinst wird.

²⁵ Vgl.: Locarek-Junge, H., 1997, S. 65.

²⁶ Vgl.: Caprano, Eugen/Wimmer, Konrad: Finanzmathematik. 6. Auflage, Vahlen: München 1999, S. 20.

14

6 Herleitung der gemischten Zinsformel nach Kurschwitz

6.1 Beschreibung der Formel

Außer der herkömmlichen Formel erscheint in der Literatur eine weitere, die ebenfalls zur Ermittlung der gemischten Zinsen gebraucht wird. Diese Formel basiert auf folgenden Überlegungen:

Wie oben dargestellt, werden die ganzen Jahre per Zinseszins verzinst. An dieser Stelle benötigt man wiederum die Zinseszinsformel. Mit ihr berechnet man das Endkapital nach den vollendeten Jahren. In dieser Gleichung wird ebenfalls für die Kennzeichnung der verschiedenen Laufzeitabschnitte eine veränderte Variable (n 1 ) in die Gleichung eingesetzt. Es bleiben unverändert die gebrochenen Perioden übrig, die mit Hilfe der einfachen Verzinsung berechnet werden. Neu ist hierbei, dass die zwei gebrochenen Perioden am Anfang und am Ende der Anlagezeit addiert werden, so dass hierfür nur noch eine Variable (n 2 ) benötigt wird. Die Formel schließt an die Zinseszinsformel an

und so erhält man auf einem anderen Weg das Ergebnis: 27

Beispiel:

Anja legt am 01.09.01 ein Kapital von K 0 =10000 DM auf ihrem Sparbuch mit p = 5 % p. a. an. Auf welchen Betrag ist ihr Kapital am 17.02.06 angewachsen, um sich ein Pferd zu leisten, wenn die Zinsen am Ende eines Jahres dem Konto gutgeschrieben werden?

Einteilung der Laufzeit:

01.09.01 - 31.12.01 = 122 Tage (n 2 )

01.01.02 - 31.12.05 = 4 Jahre (n 1 ) 01.01.06 - 17.02.06 = 47 Tage (n 2 ) n 2 = 122 + 47 = 169 Tage

Zum Kauf eines Pferdes hat Anja 12440,37 DM zur Verfügung. 29

Natürlich lässt sich auch diese Formel zur Ermittlung der übrigen veränderlichen Größen umformen. Durch die zuvor genannte Zusammenfassung der unvollständigen Perioden und verbunden mit dem Wegfall einer variablen Größe, ist die Umstellung der Variablen sogar etwas einfacher geworden. Dadurch lässt sich allerdings nur errechnen, wie lange das Kapital insgesamt in gebrochenen Zeiträumen angelegt ist. Im Anhang I sind die umgeformten Gleichungen aufgelistet.

^{27 Vgl.: Kurschwitz, L., 1995, S. 18. 28} Vgl.: Kurschwitz, L., 1995, S. 18.

²⁹ Vgl.: Salomon, Ehrenfried/Poguntke, Werner: Wirtschaftsmathematik. In: Albrecht, A./Pulte, P./... (Hg.). Fortis: Köln 1999, S. 66.

15

6.2 Berechnung der gesuchten Größen mit dem Tabellenkalkulationsprogramm EXCEL

Die Problemlösung mit Excel gestaltet sich hier genauso wie bei der Formel nach Köhler. Auch bei dieser Gleichung werden die gegebenen Größen in das orange Feld eingetragen. Die Aufteilung der Laufzeit findet man in dem grünen Feld. Da diese Formel bei der Teilung der Laufzeit nur zwischen ganzen und gebrochenen Perioden unterscheidet, lässt sich die Zeit mit der Funktion „Ganzzahl“ teilen. Die gesuchten Ergebnisse findet man in der gelb unterlegten Spalte wieder, auch hier sind die Formeln für die Berechnung der Größen vorhanden. Bei der Ermittlung der gesamten Laufzeit (n) und des Zinssatzes (p) lassen sich keine eindeutigen Formeln errechnen. Hier wird mit Zielversuchen gearbeitet, um sich dem Ergebnis zu nähern.

6.3 Kritik an der Formel

Die Veränderung gegenüber der herkömmlichen Formel ist gleichzeitig der Fehler dieser Formel. Das Manko der Gleichung liegt dort, wo die Tage der zwei gebrochenen Perioden addiert werden und dadurch ein Teil der Rechnung zusammengefasst wird. Es ist falsch die gebrochenen Laufzeiten vor und nach den ganzen Perioden zu addieren, denn beide Zeitabschnitte gehen von einem anderen Startkapital aus. Bei der gebrochenen Periode am Anfang der Laufzeit wird das gegebene Startkapital verrechnet. Die Zinsen für die gebrochene Periode nach den kompletten Jahren werden mit dem bis dato verzinsten Kapital ermittelt. Einmal wird von dem Startkapital ausgegangen, das andere Mal rechnet man mit dem schon verzinsten Geld. In dem folgenden Beispiel wird noch einmal deutlich, worin der Unterschied zwischen den zwei Formeln der Gemischten Zinsrechnung liegt:

Beispiel:

Lena legt am 10.10.01 bei ihrer Bank K 0 = 20000 DM zu p = 5,75 % Zinsen an. Auf welchen Betrag wird ihr Kapital angewachsen sein, wenn sie ihr Bankguthaben am

20.04.08 auflöst? 30

10.10.01 - 31.12.01 = 80 Tage

01.01.02 - 31.12.07 = 6 Jahre 01.01.08 - 20.04.08 = 110 Tage

³⁰ Vgl.: Caprano, E./Wimmer, K., 1999, S. 20.

16

Unter Verwendung der korrekten Formel erhalten wir nachstehendes Ergebnis:

K (

Das Kapital wuchs auf 28826,40 DM an. 31

Die Verwendung der abgewandelten Gleichung ergibt folgendes Resultat: Bevor man die Größen in die Formel setzt, muss man zunächst die gebrochenen Perioden addieren: 80+110=190 Tage (n 2 )

Das Endkapital bei Verwendung dieser Formel beträgt 28820,12 DM. 32

Würden die 80 und 110 Tage in der Gleichung getrennt betrachtet und das Kapital für den entsprechenden Zeitraum getrennt verzinst, so würde sie der herkömmlichen Formel entsprechen. Der Unterschied zwischen den zwei Formeln beträgt 6,28 DM. Es ist keine große Differenz, aber bei steigendem Zinssatz und größerem Startkapital wächst sie weiter an.

Die eben genannte Gleichung ist jedoch nicht ganz ohne Bedeutung. Tritt ein bestimmter Fall ein, so ist diese Formel ebenso richtig wie die vorher genannte, zudem

lässt sie sich etwas einfacher handhaben. ³³ In drei Fällen ist die Gleichung anzuwenden: Fall 1: Das Kapital wird am 01.01. eines Jahres eingezahlt und frühestens am 01.01 des folgenden Jahres wieder ausgezahlt, ansonsten ist es unerheblich, zu welchem Zeitpunkt das Geld ausgezahlt wird.

Fall 2: Das Geld wird irgendwann in einem beliebigen Jahr eingezahlt, aber genau am 31.12. eines Jahres abgehoben.

Fall 3: Das Vermögen wird jährlich am Einzahlungstermin verzinst. Hierbei ist es auch nicht entscheidend, wann das Kapital ausgezahlt wird. Bei den Ein- und Auszahlungsvorgängen ist es entscheidend, dass lediglich eine gebrochene Periode entsteht. Diese kann am Anfang oder am Ende der gesamten Laufzeit stehen. In diesen Situationen findet keine Addition der gebrochen Perioden statt, da,

wie oben bereits erwähnt, nur eine vorliegt. 34

In diesen Fällen sind beide Formeln zur Ermittlung der gemischten Zinsen gleich, denn bei der ausführlichen Formel erhält man aus einem Teil der Gleichung das Ergebnis eins. Da eins bei der Multiplikation ohne Bedeutung ist, könnte man den Teil der Formel herausfallen lassen.

Beispiel: Der Wert der Klammer ( ) p ⋅ + 1 t beträgt eins, wenn für die Zeitvariable (t 1 )

1

Null eingesetzt wird. Das gleiche gilt für den Zeitabschnitt (t 2 ).

³¹ Vgl.: Köhler, H., 1997, S. 52.

³² Vgl.: Kurschwitz, L., 1995, S. 18.

³³ Vgl.: Köhler, H., 1997, S. 51.

³⁴ Vgl.: Köhler, H., 1997, S. 51.

17

Beispiel zur Anwendung:

Um sich einen Fernseher leisten zu können, muss Frank sein Guthaben von K 0 = 400 DM für vier Jahre und sechs Monate zu einem Zinssatz von p = 10 % p. a. angelegen. Welchen Betrag erhält Frank am Ende der Laufzeit?

( )

= ⋅ + ⋅ ⋅ = 400 ⁴ 92 , 614 1 , 0 5 , 0 1 1 , 1 K

5 , 4

Das Endkapital beträgt 614,92 DM. 35

7 Mögliche Kritik an der Formel nach Köhler

7.1 Kritik laut Tietze

Anhand des folgenden Falls macht der Autor deutlich, welche Nachteile die Gemischte Zinsrechnung aufweist. Situation:

Zwei Zahlungen zu je 10000 DM, fällig im Abstand von 6 Monaten, sollten auf einen Stichtag aufgezinst werden, der ein Jahr nach der zweiten Zahlung liegt.

Gesucht wird der Endwert K 1,5 bei gemischter Verzinsung in drei Fällen:

a) Die vollständige Zinsperiode beginnt mit der Zahlung der ersten Rate und endet ein halbes Jahr vor dem Stichtag: Endwert: K a .

b) Die ganze Zinsperiode beginnt mit der zweiten Rate und endet am Stichtag: Endwert: K b .

c) Die Zinseszinsperiode liegt in der Mitte des 1,5-Jahres-Zeitraums; vor und nach der Periode liegen jeweils 3 Monate: Endwert: K c .

Bei gemischter Verzinsung ergeben sich nun 3 verschiedene Endwerte ( p = 12 % p.a. ):

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = DM K 231080 06 , 1 06 , 1 100000 06 , 1 12 , 1 100000

a

= ⋅ + ⋅ ⋅ = DM K 2307220 12 , 1 100000 12 , 1 06 , 1 100000

b

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = DM K 80 , 231090 03 , 1 09 , 1 100000 03 , 1 12 , 1 03 , 1 100000

c

Wie man nicht anders erwarten konnte liefert die gemischte Verzinsung in diesen 3 Fällen jeweils ein anderes Ergebnis, die unterjährliche Verzinsung liefert in

diesen 3 Fällen jedoch exakt das gleiche Ergebnis. 36 ; 37

³⁵ Vgl: Kurschwitz, L., 1995, S. 18

^{36 Auf dieses Thema wird nicht weiter eingegangen, da es Thema einer weiteren Facharbeit ist. 37} Tietze, Jürgen: Einführung in die Finanzmathematik. 3. Auflage, Vieweg: Braunschweig, Wiesbaden 2000, S. 86/87.

18

7.2 Eigene Beurteilung der Kritik

Die Kritik, die Tietze an der Gemischten Zinsrechnung übt, ist meines Erachtens unbegründet, da das zu verzinsende Kapital jeweils am 31.12. eines jeden Jahres aufgezinst wird. Hier gibt es nicht die Möglichkeit die vollständigen Zinsperioden im Anlagezeitraum frei zu variieren. Wenn ein Kapital zum Beispiel im Einzahlungsjahr keine ganze Periode durchläuft so wird es im ersten Jahr einfach verzinst. Ist es jedoch für eine ganze Periode angelegt, werden Zinseszinsen aufgeschlagen. Die Zinsgutschrift erfolgt hier immer am 31.12. eines jeden Jahres. Aus diesen Gründen ist die Kritik des Autors meines Erachtens nach nicht gerechtfertigt. Ist in einem Vertrag oder ähnlichem ein zu variierender Zinszuschlagstermin festgelegt, so ist die eben genannte Beanstandung nicht gerechtfertigt. In den meisten Fällen ist jedoch von den Banken als Zinszuschlagstermin der 31.12. festgelegt .

8 Zusammenfassung

In der Arbeit wurde beschrieben, wie sich die Formel der Gemischten Zinsrechnung bildet und aus der Einfachen und der Zinseszinsrechnung herleiten lässt. Die entstandene Formel ist nach den verschieden Variablen umgeformt worden, jedoch gibt es hier eine Ausnahme: Der Zinssatz kann nur mit einem Näherungsverfahren ermittelt werden, auf das hier nicht weiter eingegangen wird. Die Ermittlung der einzelnen Werte wurde außerdem mit dem Programm Excel durchgeführt, wobei bei der Berechnung des Zinssatzes Zielversuche durchgeführt wurden, um sich dem Ergebnis zu nähern. Die Vorteilhaftigkeit der Gemischten Zinsrechnung liegt bei der Verzinsung der gebrochenen Perioden. Daher ist sie nur anzuwenden, wenn in einer Laufzeit ganze und gebrochene Perioden zusammen auftreten. Liegen nur ganze Perioden vor, so genügt eine Berechnung der Zinsen mit der Zinseszinsformel.

Auch Konditionsänderungen während der Laufzeit eines Vertrages lassen sich mit der Gemischten Zinsrechnung berücksichtigen.

Nach der Formel Köhlers existiert außerdem eine weitere Formel zur Berechnung der gemischten Zinsen. Durch eine andere Aufteilung der Laufzeit eines Vertrages kommt diese jedoch generell zu einer niedrigeren Verzinsung als die Formel für die gemischten Zinsen nach Köhler.

Allerdings wird auch an der gemischten Verzinsung nach Köhler Kritik geübt, die Ergebnisse bei verschiedenen Rechenweisen seien nicht gleich. Diese Kritik erscheint jedoch in dem realistischen Fall eines Aufzinstermins am 31.12. als unbegründet. Die Materie „Gemischte Zinsrechnung“ ist ein spannendes, aber auch ein sehr umfangreiches Thema, das die Bank täglich beschäftigt. Heutzutage beinhalten jedoch nur noch die Bankrechner diese Formeln, so dass ein Bankangestellter nur noch die fehlenden Größen kundenbedingt einsetzen muss, um das richtige Ergebnis abrufen zu können.

Umstellung der Formel laut Kurschwitz nach den einzelnen Variablen

Wie in der Arbeit schon erwähnt, lässt sich die Formel der gemischten Zinsen nach den einzelnen Variablen umformen. Es gibt jedoch eine Ausnahme: den Zinssatz (p), wie bereits erwähnt lässt dieser sich mit Hilfe des Newton´schen Näherungsverfahrens errechnen, worauf nicht weiter eingegangen wird. Nachfolgend sind die umgewandelten

Formeln aufgelistet: 38

³⁸ Vgl.: Kurschwitz, L., 1995, S. 19, 25 und 26.

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9 Literaturverzeichnis

Caprano, Eugen/Wimmer, Konrad: Finanzmathematik. 6. Auflage, Vahlen: München

1999.

Hanxleden, Eberhard von/Hentze, Rudolf: Lehrbuch der Mathematik. 9. Auflage,

Vieweg: Braunschweig, Berlin 1960.

Ihrig, Holger/Pflaumer, Peter: Finanzmathematik. 7. Auflage, Oldenbourg: München,

Wien 1999.

Köhler, Harald: Finanzmathematik. 4. Auflage, Hasser: München, Wien 1997.

Kurschwitz, Lutz: Finanzmathematik. 2. Auflage, Vahlen: München 1995.

Locarek - Junge, Hermann: Finanzmathematik, Lehr- und Übungsbuch. 3. Auflage,

Oldenbourg: München, Wien 1997.

Nicol, Natascha/Albrecht, Ralf: Das Excel 97 Einmaleins. 3. Auflage, In: Rabbitsoft

Haselier, R. G./Fahnenstich, K. (Hg.), Econ: Düsseldorf 1998.

Salomon, Ehrenfried/Poguntke, Werner: Wirtschaftsmathematik. In: Albrecht,

A./Pulte, P./Mensler, S. (Hg.), Fortis: Köln 1999.

Tietze, Jürgen: Einführung in die Finanzmathematik. 3. Auflage, Vieweg: Wiesbaden,

Braunschweig 2000.