Statistik A - Internationales Management
1
4. Regressions- und Korrelationsanalyse
Betrachtung von Zusammenhängen, also von Ursache Wirkung
Regression: Besteht überhaupt ein Zusammenhang (positiv oder negativ)?
Korrelation: Wie stark ist der Zusammenhang?
Problem: Quantifizierung des kausalen Zusammenhangs (Differenzierung von Variablen)
Beispiele: Werbung Umsatz
Investition
Gewinn
Zinsen
Investition
Bsp. 1:
Umsatz
Werbung
Zielgröße
Instrumentvariable
(abhängige Variable)
(unabhängige Variable)
Bsp. 2:
Investition
Gewinn, Zinssatz, Nachfrage
Zielgröße
Instrumentvariable
(abhängige Variable)
(unabhängige Variable)
Modell:
I = f(x) = f(Z, G, N)
Problem der Multikolliniarität, d.h. keine Abhängigkeit unter den
unabhängigen Variablen sollte gegeben sein
a) einfache Regression: y = f(x)
b) multiple Regression: y = f(x
1
, x
2
, x
3
, ... x
n
)
c) partielle Regression: y = f(x
1
| x
2
, x
3
, x
4
)
d.h. x
1
wird zuerst auf y getestet, der Rest bleibt konstant
dann wird x
2
auf y getestet, der Rest bleibt konstant, usw... bis x
4
Einfaches lineares Regressionsmodell
y
i
= a + bx
i
Umsatz
W0
W1
U1
U0
Werbung
positive
Regression
Investition
Z0
Z1
I0
I1
Zinssatz
negative
Regression
x-Achse, Achse der unabhängigen
Variablen, Ausnahme: bei Märkten
Statistik A - Internationales Management
2
Empirische Regressionsfunktion
15.11.00
Beispiel: Einkommen = y, Alter = x
y = f(x)
y
i
= a + bx
i
Die Summe der Abweichungen (von der Geraden) muß gleich 0 sein
d
i
= Abweichung; a = absolutes Glied; b = Steigung
Verteilung über jedem Alter = interne Streuung
gesamte Verteilung = externe Streuung
Berechnung der Regressionsgeraden
Methode der kleinsten Quadrate
y
i
= a + bx
i
a und b sind (unbekannte) Regressionskoeffizienten
Summe der quadratischen Abweichungen
=
Die Minimierung von S bezüglich der Regressionskoeffizienten a und b
erfolgt durch partielle Ableitung von S nach a und b und Nullsetzen der
1. Ableitung, d.h. erst nach a ableiten, dann einsetzen und nach b ableiten.
Regressionsgerade:
Jahre
20
30
40
50
60
a
Einkommen
Es entsteht eine Punkteschar
von links unten nach rechts oben
Regressionsgerade
Regressionsfunktion
d
i
y
i
=
=
-
-
=
-
=
n
i
i
i
n
i
i
Minimum
bx
a
y
y
y
S
1
2
1
2
)
(
)
(
x
b
y
a
bx
a
y
i
i
-
=
?
+
=
Varianz
Varianz
Ko
x
x
x
x
y
y
b
Formel
x
n
x
x
y
n
y
x
b
i
i
i
i
i
i
-
=
-
-
=
?
-
-
=
2
2
2
)
(
)
(
)
(
.
2
/
.
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
x
s
Varianz
sxy
Varianz
Ko
x
x
x
x
y
y
b
i
i
i
-
=
-
-
=
Statistik A - Internationales Management
3
Regressionsgerade:
Bsp.: 6 Personen werden zu ihrem Alter und ihrem Einkommen befragt:
Nettoeinkommen y
i
500
600
1100
1500
2200
3100
Alter
x
i
20
21
25
28
36
44
Arbeitstabelle zur Berechnung der Regressionskoeffizienten
Arbeiter
y
i
(in HDM?)
x
i
y
i
- y
x
i
- x
(y
i
- y) · (x
i
- x)
(x
i
- x)
2
(y
i
- y)
2
1
5
20
-10
-9
90
81
100
2
6
21
-9
-8
72
64
81
3
11
25
-4
-4
16
16
16
4
15
28
0
-1
0
1
0
5
22
36
7
7
49
49
49
6
31
44
16
15
240
225
256
90
(y = 15)
174
(x = 29)
0
0
467
436
502
Arbeitsschritte:
1)
y
bestimmen (
der Befragten) = Summe y
i
/n = 90/6 =
15
2)
x
bestimmen (Durchschnitt) = Summe x
i
/n = 174/6 =
29
3)
b
bestimmen
pro Jahr älter
= im
107,10 DM mehr
4)
a
bestimmen
Int.:
Nimmt das Alter um 1 Jahr zu, steigt das
-liche Nettoeinkommen um
-lich 107,10
Bei einem Alter von 0 Jahren hat man Schulden von 1.606 DM !?, also gibt der a-Wert
keinen Sinn
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
0
10
20
30
40
50
60
071
,
1
436
467
)
(
)
(
)
(
2
=
=
-
-
=
x
x
x
x
y
y
b
i
i
i
06
,
16
29
071
,
1
15
-
=
-
=
-
=
x
b
y
a
P
1
Statistik A - Internationales Management
4
Die Regressionsfunktion lautet:
y = -1.606 + 107,1x
für die Zeichnung:
x = 0, also y = -1.606
x = 40, also y = 2.678
y = 0, also x = 15 (
ab 15 Jahren kommt man ins plus
)
P (29 | 1500) als ( x y - Punkt)
2. Beispiel: Eine Firma hat ein neues Reinigungsmittel entwickelt. Bevor es auf
den Markt kommt, wird auf 15 Testmärkten geprüft, wie der
Verkaufspreis den Absatz des Produktes beeinflusst.
Zielgröße: Absatzquote in % = y
Instrumentvariable: Verkaufspreis / Packung = x
Absatzquote = f (Verkaufspreis)
Gesucht ist, wie stark der Verkaufspreis die Absatzquote beeinflusst!
Arbeitstabelle zur Berechnung der Regressionskoeffizienten
Test-
Nr:.
Verkaufs
preis x (x
i
)
Absatzquote
in % (y
i
)
xi
2
xi · yi
xi -x
yi -y
Summe
1
170
62
28900
10540
-50
2500
20
-1000
2
170
65
28900
11050
-50
2500
23
-1150
3
180
46
32400
8280
-40
1600
4
-160
4
180
42
32400
7560
-40
1600
0
0
5
180
55
32400
9900
-40
1600
13
-520
6
190
55
36100
10450
-30
900
13
-390
7
190
50
36100
9500
-30
900
8
-240
8
190
57
36100
10830
-30
900
15
-450
9
220
50
48400
11000
0
0
8
0
10
230
44
52900
10120
+10
100
2
+20
11
250
45
62500
11250
+30
900
3
+90
12
270
12
72900
3240
+50
2500
-30
-1500
13
280
20
78400
5600
+60
3600
-22
-1320
14
290
13
84100
3770
+70
4900
-29
-2030
15
310
14
96100
4340
+90
8100
-28
-2520
n = 15
3300
630
758.600
127.430
0
32600
0
-11170
= 220 Pf.
= 42
Arbeitsschritte:
1)
y
bestimmen
(
Absatzquote)
= Summe %/n
=
42%
2)
x
bestimmen
(
Verkaufspreis)
= Summe x/n
= 3300/15 =
220
3)
b
bestimmen
4)
a
bestimmen
5) Die Regressionsgerade/-funktion lautet: y = 117,38 - 0,34264x
34264
,
0
000
.
726
600
.
758
42
220
15
430
.
127
)
(
2
2
-
=
-
-
=
-
-
=
x
n
x
x
y
n
y
x
b
i
i
i
38
,
117
)
220
34264
,
0
(
42
=
-
-
=
-
=
x
b
y
a
Statistik A - Internationales Management
5
Frage:
Wie hoch ist die Absatzquote bei einem Verkaufspreis von
a) 2 DM und b) 2,50 DM
bei der Funktion:
y = 117,38 - 0,34264x
f(200) = 48,852%, f(250) = 31,72%
Ausssage über die Verteilung der Abweichungen
Korrelationsanalyse
4.2 Der Korrelationskoeffizient
Frage:
Wie "stark" ist der Zusammenhang zwischen den beobachteten
Variablen ausgeprägt? Also die Intensität des Zusammenhangs?
Diesen Zusammenhang drückt der Korrelationskoeffizient
r
aus
0
r
+1 bzw. -1
r
0 mit den verschiedenen Möglichkeiten:
42,00
0,00
117,38
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
320
340
360
negative Regression
Ordinate; Absatzquote
Abzisse
Preis in Pf.
größere Abweichungen
zur Gerade als im Bsp. 1
Regressionsgerade berührt alle Punkte,
es gibt keine Abweichungen,
r = +1
(positive Steigung)
Es gibt keinen Zusammenhang zwischen
den Variablen, je stärker r gegen +/- 1,
desto stärker der Zusammenhang,
r = 0
Statistik A - Internationales Management
6
Varianten
Zwei Streuungen (Abweichungen) sind zu betrachten:
1) interne Streuung (in der vertikalen Richtung), sollte möglichst klein sein
2) externe Streuung (in der horizontalen Richtung), möglichst groß
es gibt nur geringe Abweichungen,
z.B.: r = +0,85
(positive Steigung)
Abweichungen im unteren Bereich gleich
der Abweichung im oberen Bereich,
z.B.
r = +0,45
(=Homoskedastizität)
Abweichungen im oberen Bereich größer
als die Abweichung im unteren Bereich,
z.B.
r = +0,45
(=Heteroskedastizität)
weder positive noch negative Regressions-
gerade erkennbar, kleine externe und
ebenso kleine interne Streuung.
r = 0
Statistik A - Internationales Management
7
4.2.1 Bravair - Pearson´scher Korrelationskoeffizient
Bsp.: Arbeitstabelle zur Berechnung der Regressions-/Korrelationskoeffizienten
Arbeiter
y
i
x
i
y
i
- y
x
i
- x
(y
i
- y) · (x
i
- x)
(x
i
- x)
2
(y
i
- y)
2
1
5
20
-10
-9
90
81
100
2
6
21
-9
-8
72
64
81
3
11
25
-4
-4
16
16
16
4
15
28
0
-1
0
1
0
5
22
36
7
7
49
49
49
6
31
44
16
15
240
225
256
90
(y = 15)
174
(x = 29)
0
0
467
436
502
Interpretation:
Zwischen dem Nettoeinkommen und dem Alter besteht ein
sehr hoher korrelativer Zusammenhang (r ist signifikant von
Null verschieden).
Die Signifikanz hängt von der Art der Untersuchung ab; von
den Anforderungen an das Modell. Es gibt eine Vorgabe
eines kritischen Wertes, der erreicht werden muß.
Bestimmungsmaß: ist ein relatives Maß für die Güte der Analyse. Es mißt die
Stärke des Anteils der Streuung der abhängigen Variablen an
der Gesamtstreuung.
B = r
2
= 0,99821
2
= 0,9964 = 99,64%
Interpretation:
99,64% der Streuung der Nettoeinkommen der befragten Arbeiter ist
durch die lineare Streuung der Regression mit dem Alter zu erklären.
0,4% der Streuung ist durch das Modell nicht geklärt (kann andere
Zusammenhänge haben)
2. Beispiel:
vergl. Tabelle "Reinigungsmittel"
Frage:
Wie stark beeinflußt der Verkaufspreis die Absatzquote der
Reinigungsmittel?
Interpretation:
Zwischen der Absatzquote und dem Verkaufspreis besteht ein
relativ enger (negativer) Zusammenhang.
99821
,
0
502
436
467
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
2
2
1
=
=
-
-
-
-
=
=
=
=
n
i
n
i
i
i
n
i
i
i
y
y
x
x
y
y
x
x
r
906
,
0
658
.
4
600
.
32
170
.
11
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
2
2
1
-
=
-
=
-
-
-
-
=
=
=
=
n
i
n
i
i
i
n
i
i
i
y
y
x
x
y
y
x
x
r
Statistik A - Internationales Management
8
Arbeitstabelle
Test-
Nr:.
Verkaufs
preis x (x
i
)
Absatzquote
in % (y
i
)
xi
2
xi · yi
xi -x (xi -x)
2
yi -y
(yi -y)
2
Summe
1
170
62
28900
10540
-50
2500
20
400
-1000
2
170
65
28900
11050
-50
2500
23
-1150
3
180
46
32400
8280
-40
1600
4
-160
4
180
42
32400
7560
-40
1600
0
0
5
180
55
32400
9900
-40
1600
13
-520
6
190
55
36100
10450
-30
900
13
-390
7
190
50
36100
9500
-30
900
8
-240
8
190
57
36100
10830
-30
900
15
-450
9
220
50
48400
11000
0
0
8
0
10
230
44
52900
10120
+10
100
2
+20
11
250
45
62500
11250
+30
900
3
+90
12
270
12
72900
3240
+50
2500
-30
-1500
13
280
20
78400
5600
+60
3600
-22
-1320
14
290
13
84100
3770
+70
4900
-29
-2030
15
310
14
96100
4340
+90
8100
-28
84
-2520
n = 15
3300
630
758.600
127.430
0
32600
0
4.658
-11170
= 220 Pf.
= 42
Interpretation: 82% der Absatzquote sind durch den Preis erklärt. Zwischen der
Absatzquote und dem Verkaufspreis besteht ein relativ enger
negativer Zusammenhang
Rangkorrelation:
Man ersetzt die Beobachtungen (x
i
, y
i
) durch Paare von Rang-
ahlen (x
i
*, y
i
*), die man durch fortlaufende Nummerierung der x
bzw. y-Werte ihrer Größe nach erhält und errechnet für diese
Rangpaare den Korrelationskoeffizient.
821
,
0
906
,
0
658
.
4
600
.
32
170
.
11
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
1
2
2
1
=
?
-
=
-
=
-
-
-
-
=
=
=
=
r
y
y
x
x
y
y
x
x
r
n
i
n
i
i
i
n
i
i
i
Statistik A - Internationales Management
9
1. Beispiel:
Studenten veranstalten am Ende ihres Skiurlaubs ein Wettrennen
als Abfahrtslauf und als Slalom und erreichen dabei folgende
Platzierungen:
Studenten
A
B
C
D
E
F
Abfahrt (x)
2
1
3
4
5
6
Slalom (y)
2
3
1
5
4
6
y von x
abhängig
Gegeben sind die Rangzahlen R (x
i
) = x
i
* und R (y
i
) = x
i
*
der Beobachtungen und die Rangdifferenzen d
i
= x
i
* - y
i
*, so gilt:
heißt Rangkorrelationskoeffizient
(nach Pearson)
und ist ein Maß für die Ausgeprägtheit des
Zusammenhangs
Studenten
Abfahrt
R (x
i
) = x
i
*
Slalom
R (y
i
) = y
i
*
d
i
d
i
2
A
2
2
0
0
B
1
3
-2
4
C
3
1
2
4
D
4
5
-1
1
E
5
4
1
1
F
6
6
0
0
Summe:
-
-
10
Interpretation:
Es besteht ein relativ starker korrelativer (positiver)
Zusammenhang
)
1
(
6
1
2
2
-
-
=
n
n
d
s
r
i
714286
,
0
35
6
60
1
)
1
6
(
6
10
6
1
)
1
(
6
1
2
2
2
=
-
=
-
-
=
-
-
=
n
n
d
s
r
i
Statistik A - Internationales Management
10
2. Beispiel:
Beim Eiskunstlauf werden für 9 Läufer A und B - Noten
festgehalten. Es ergeben sich dafür folgende Werte:
Läufer
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A-Note (x) 5,3
5,6
5,0
5,3
4,9
4,6
5,3
5,0
5,2
B-Note (y) 5,4
5,4
5,1
5,2
5,0
4,5
5,5
4,8
5,1
Arbeitstabelle zur Berechnung der Rangkorrelationskoeffizienten
Läufer
A-Note
x
i
B-Note
y
i
R (x
i
) =
x
i
*
R (y
i
) =
y
i
*
d
i
d
i
2
1
5,3
5,4
3
2,5
0,5
0,25
2
5,6
5,4
1
2,5
-1,5
2,25
3
5,0
5,1
6,5
5,5
1
1
4
5,3
5,2
3
4
-1
1
5
4,9
5,0
8
7
1
1
6
4,6
4,5
9
9
0
0
7
5,3
5,5
3
1
2
4
8
5,0
4,8
6,5
8
-1,5
2,25
9
5,2
5,1
5
5,5
-0,5
0,25
Summe:
lt. Rangfolge
1 bis 9 bzw. Mitte
0
12
Interpretation:
Zwischen den Bewertungen der Läufer in der A-Note und in
der B-Note besteht ein relativ hohe (positive) Korrelation,
d.h. derjenige, der eine hohe A-Note erhält, erreicht i.d.R.
auch eine hohe Bewertung in der B-Note.
90
,
0
80
9
72
1
)
1
9
(
9
12
6
1
)
1
(
6
1
2
2
2
=
-
=
-
-
=
-
-
=
n
n
d
s
r
i
Statistik A - Internationales Management
11
5 Analyse von Zeitreihen
Zeitreihenanalyse
a) Querschnittsanalyse
b) Längsschnittanalyse
zu a)
Analyse der Struktur ökonomischer Zusammenhänge, bezogen auf
den Zeitpunkt. Sie liefert Zustandsbilder zu bestimmten
Zeitpunkten und ist nicht für Prognosezwecke geeignet.
zu b)
Beschreibung der Merkmale innerhalb eines Zeitraums. Sie ist für
Prognosezwecke geeignet. (
Analyse von Zeitreihen
)
Modell:
y = f(t)
y =
Umsatz / Lohn / Produktionsentwicklung,
f(t) = Periode, Tage, Wochen, Monate, Jahre,...
Definition Zeitreihen: Unter einer Zeitreihe versteht man die Entwicklung
eines bestimmten Merkmals, dessen Werte im Zeitablauf zu bestimmten
Zeitpunkten erfaßt und dargestellt werden.
Komponenten einer Zeitreihe:
y = f (T, Z, S, R)
1) Trend (
T
), langfristig
2) Konjunktur (
Z
), mittelfristig
3) saisonale Einflüsse (
S
), kurzfristig
4) Restkomponente (
R
), zufällig
Für bestimmte Zwecke werden nur die Trendkomponente und die Saisonkomponente erfaßt
und berechnet. S(t) und R(t) werden aus dem Vergleich der Daten ermittelt.
x
y
T (t) = Trend
x
y
Z (t) = Konjunktur-
zyklus
x
y
S (t) = saisonale
Einflüsse
x
y
R (t) = Restkom-
ponente
Statistik A - Internationales Management
12
Die additive Verknüpfung der Komponenten
y = T(t) + Z(t) + S(t) + R(t)
y = T +/- S
Die multiplikative Verknüpfung der Komponenten
y = T(t)
·
Z(t)
·
S(t)
·
R(t)
y = T
·
s / 100 (in Prozent)
5.2 Berechnung der Trendgeraden
1) Die Methode der gleitenden Durchschnitte
mathematisches Ausgleichsverfahren, das alle Schwankungen der Zeitreihe ausschaltet
1970
1975
1980
1985
1990
1995
2000
T
1
= Summe 1970 - 1974 / 5
T
2
= Summe 1975 - 1979 / 5, ...
Berechnung nach Formel:
x
y
d1
d2
d3
d4
|d1| = |d2| = |d3| = |d4| ,... es liegen gleiche
Abweichungen (in den Beträgen) vor
x
y
d1
d2
d3
d4
|d1|
<
|d2|
<
|d3|
<
|d4| ,... es liegen gleiche
Abweichungen (prozentual) vor. Die
Beträge der Abweichungen sind jedoch
immer größer werdend
T1
T2
T3
n
y
y
y
y
T
n
y
y
y
y
T
n
n
1
3
3
2
2
3
2
1
1
...
...
+
+
+
+
=
+
+
+
=
Statistik A - Internationales Management
13
Beispiel:
Der Umsatz entwickelte sich in den letzten 9 Jahren wie folgt:
Umsatz in Mio
y
5-Jahres-Werte
Trendwerte
1
4,8
-
2
5,2
-
3
5,6
26,7 / 5 =
5,34
= T
1
5,34
4
4,9
x = T
2
=
5,50
5,50
5
6,2
x = T
3
=
5,62
5,62
6
5,6
x = T
4
=
5,78
5,78
7
5,8
x = T
5
=
5,98
5,98
8
6,4
-
9
5,9
-
50,4
immer ungerade Jahre
gilt für die Mitte der
Periode
Graphische Darstellung
Nachteile:
1) Die ersten und letzten beiden Jahre der Zeitreihe werden in der
Trendkomponente nicht berücksichtigt
(= Informationsverlust)
2) eine völlige Ausschaltung der Schwankungen ist nicht möglich
3) Da die Trendwerte schon vor dem Ende der Zeitreihe abbrechen ist die
Methode für Prognosezwecke ungünstig
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Umsatz
Trendwerte
Statistik A - Internationales Management
14
2) Die Methode der kleinsten Quadrate (
vergl. Seite 2, Regressionsgerade
)
Beispiel: Umsatzzahlen, quartalsweise
Quartale 1996 1997 1998 1999 2000
1
168
179
185
191
201
2
210
223
231
233
245
3
190
195
210
220
?
4
298
315
340
356
?
866
912
966 1000
1)
Berechnung der Trendfunktion
T = a + bt
T = y, t = x
T
1
= 1. Quartal des 1. Jahres, T
2
= 2. Quartal des 1. Jahres,...
Arbeitstabelle
Quartal
T(x
i
)
Umsatz
y
i
x
i
* y
i
x
i
2
Trendwerte
201,48+(T(x
i
)*bx)
Saisonindex
y
ij
/ T
ij
Quar-
tale
1
168
168
1
204,767718
0,82040176
I
2
210
420
4
208,061835
1,00926682
II
3
190
570
9
211,355953
0,89891488
III
4
298
1192
16
214,650071
1,38824141
IV
5
179
895
25
217,944189
0,8212735
I
6
223
1338
36
221,238306
1,00791732
II
7
195
1365
49
224,532424
0,86843277
III
8
315
2520
64
227,826542
1,38257014
IV
9
185
1665
81
231,120659
0,80041307
I
10
231
2310
100
234,414777
0,98539072
II
11
210
2310
121
237,708895
0,88339633
III
12
340
4080
144
241,003012
1,41071221
IV
13
191
2483
169
244,29713
0,78180281
I
14
233
3262
196
247,591248
0,94102918
II
15
220
3300
225
250,885366
0,87685956
III
16
356
5696
256
254,179483
1,40053001
IV
17
201
3417
289
257,473601
0,78063224
I
18
245
4410
324
260,767719
0,93949744
II
171
= 9,5
4190
= 232,777
41401
2109
9,5 nicht zu interpretieren, da nur
der Quartale
x
b
y
a
Formel
x
n
x
x
y
n
y
x
b
i
i
i
-
=
?
-
-
=
.
1
2
2
Statistik A - Internationales Management
15
Arbeitsschritte:
1)
y
bestimmen
(
Umsatz)
= Summe Quartale / n
=
232,777
2)
x
bestimmen
(
Quartal)
= Summe x / n
= 171/18 =
9,5
3)
b
bestimmen
4)
a
bestimmen
5) Die Regressionsgerade/-funktion lautet: y = 3,2941177 x + 201,4836
Berechnung der Umsatztrendwerte (
vergl. Tabelle S. 14
in rot
)
mit
I / 1996
x = 1
Trendwert = 201,4836 +(1 * 3,2941) = 204,77
II / 1996
x = 2
Trendwert = 201,4836 +(2 * 3,2941) = 208,06
II / 2000
x = 18
Trendwert = 201,4836 +(18 * 3,2941) = 260,77
Erstellen von Trendprognosen
III / 2000
x = 19
Trendwert = 201,4836 +(19 * 3,2941) = 264,072
IV / 2000
x = 20
Trendwert = 201,4836 +(20 * 3,2941) = 267,366
IV / 2001
x = 24
Trendwert = 201,4836 +(24 * 3,2941) = 280,542
(ist nur der Trend ohne Saisonkomponente)
Interpretation:
Wenn die ökonomischen Bedingungen gleich bleiben und die
Komponenten der Zeitreihe dieselbe Wirkung auf die
Entwicklung ausüben wie bisher, so kann das Unternehmen
im 4. Quartal 2001 einen Umsatz von 280,542 Mio. DM
erwarten.
2941177
,
3
)
5
,
9
18
(
109
.
2
5
,
9
777
,
232
18
401
.
41
)
(
2
2
2
+
=
-
-
=
-
-
=
x
n
x
x
y
n
y
x
b
i
i
i
4836
,
201
)
5
,
9
2941177
,
3
(
777
,
232
=
+
-
=
-
=
x
b
y
a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Umsatz
y = 3,2941177x + 201,4836
Statistik A - Internationales Management
16
Die Ermittlung des Saisoneinfluß
Der Saisonindex (
Saisonquotient, ist die prozentuale Abweichung der ursprünglichen,
saisonbeeinflussten Werte einer Reihe von der saisonal unbeeinflussten Reihe
)
Berechnungsschritte:
1) Ermittlung einer Vergleichsreihe
Zeitreihen
Reihe der Ursprungswerte
Reihe der Trendwerte
(mit Saisoneinflüssen)
(ohne Saisoneinflüsse)
Beispiel: Quartalsumsätze
Trendwert (T
1
)
= 201,4836 +(1 * 3,2941) = 204,77
Trendwert (T
2
)
= 201,4836 +(2 * 3,2941) = 208,06
= Vergleichs-
...
zeitreihe
Trendwert (T
18
)
= 201,4836 +(18 * 3,2941) = 260,77
2) Vergleich von saisonbeeinflusster Zeitreihe (Ursprungszeitreihe) und
saisonfreier Zeitreihe (Trendwerte)
vergl. Arbeitstabelle (
in blau
)
Saisonindex (S
1,1
) = 168 / 204,77
= 0,8204
Saisonindex (S
2,1
) = 210 / 208,07
= 1,0093
= Saisonindizes
Saisonindex (S
3,1
) = 190 / 211,366 = 0,8989
für das 1. Jahr
Saisonindex (S
4,1
) = 298 / 214,66
= 1,38824
(1 = kein saisonaler Einfluß)
Interpretation (S
1
):Der tatsächlich eingetretene Wert (Ursprungswert) ist
gegenüber dem saisonfreien Trendwert um 18% (1-0,82) abgeschwächt, d.h. im
1. Quartal 1996 liegt ein saison-schwächender Einfluß mit einer Wirkung von
18% vor.
oder: Wenn es keine saisonalen Schwankungen gegeben hätte, wäre der Umsatz
in diesem Quartal um 21,89% höher gewesen (
verminderte Basis von 0,82 !
)
Interpretation (S
4
):Im 4. Quartal 1996 liegt ein saisonverstärkender Einfluß von
ca. 39% vor
oder: Wenn keine saisonalen Einflüsse zur Wirkung gekommen wären, hätte der
Umsatz im 4 Quartal 1996 um ____ % niedriger gelegen
)
(
Jahr
ten
j
im
Quartals
ten
i
des
x
Saisoninde
Trendwerte
sätze
Quartalsum
T
y
S
ij
ij
ij
-
-
=
=
=
Statistik A - Internationales Management
17
3) Ermittlung des Saisoneinfluß
bedeutet: im Durchschnitt wurde der Umsatz in den ersten Quartalen saisonbedingt
jeweils um 20% gemindert
801
,
0
5
781
,
0
782
,
0
800
,
0
821
,
0
820
,
0
.
1
=
+
+
+
+
=
=
n
sätze
Quartalsum
S
I
977
,
0
5
940
,
0
941
,
0
985
,
0
008
,
1
009
,
1
.
2
=
+
+
+
+
=
=
n
sätze
Quartalsum
S
II
893
,
0
4
877
,
0
883
,
0
868
,
0
944
,
0
.
3
=
+
+
+
=
=
n
sätze
Quartalsum
S
III
396
,
1
4
401
,
1
411
,
1
383
,
1
388
,
1
.
4
=
+
+
+
=
=
n
sätze
Quartalsum
S
IV
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
0
1
2
3
4
5
150
170
190
210
230
250
270
290
310
330
350
370
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Statistik A - Internationales Management
18
Prognose über die Entwicklung des Umsatzes
Der erwartete Umsatz
y^
(
y Dach = Schätzwerte
) setzt sich aus den beiden
Komponenten "Trend" und "Saisoneinfluß" zusammen.
y^
= Trendwert (
Trendfunktion
)
·
Saisoneinfluß (
im Durchschnitt
)
6) Bsp.: Quartalsumsätze
y^
(
III, 2000
)
= 201,48 +(19
·
3,2941)
·
0,893 = 235,813
Interpretation: Im 3. Quartal 2000 ist zu erwarten, dass der Umsatz
saisonbedingt ca. 235,813 Mio. DM beträgt.
y^
(
IV, 2000
)
= 201,48 +(19
·
3,2941)
·
_______ 2,7443 = 373,24
y^
(
IV, 2001
)
= 201,48 +(24
·
3,2941)
·
1,396 = 391,63
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