3.2 Die allgemeinen Eigenschaften von y = x² + px + q (Normalform) a) Bezüglich des Definitionsbereiches (Db) und des Wertebereiches (Wb) :

Db: x Element von R ( immer, denn bei allen Funktionen wird grundsätzlich jedem x ein y zugeordnet) Wb: y Element von R, y > -D ( also ist y > dem y - Wert des Scheitelpunktes derb Par abel)

b) Bezüglich des Graphs:

Er ist immer eine Normalparabel da immer x² in der Funktionsgleichung vorkommt. ( Die Formel zur Berechnung der Scheitelpunktskoordinaten steht bei 3. ) c) Bezüglich der Monotonie des Graphen: Der Graph fällt bis zum x -Wert des Scheitelpunktes. ( also x < -(p/2), dann ist der Monoton fallend) Der Graph steigt nach dem x - Wert des Scheitelpunktes wieder an. ( also x > - (p/2), dann ist der Monoton steigend) d) Bezüglich der Symmetrie des Graphen:

Die Achse der Par abel ist immer pa rallel z ur y - Achse und sie verläuft immer durch den x - Wert des Scheitelpunktes.

Also verläuft die Achse der Parabel immer durch x = - (p/2) 3.3 Beispiel

Die allgemeinen Eigenschaften der Normalform angewendet auf die Gleichung: y = x² + 2x - 4 Db: x R Wb: y R, y > -5 Scheitelpunkt: S ( -1 , -5 ) Monotonie des Graphen: monoton fallend bis x < -1 monoton steigend bis x > -1

Symmetrie des Graphen: Achse der Parabel parallel zur y-Achse Achse der Parabel verläuft durch x = -1

4. Sonderfälle:

a) Die Form der quadratischen Funktion y = x² :

Diese Form ist die einfachste denn der Scheitelpunkt der Parabel ist stets der Koordinatenursprung, also S ( 0 ; 0 )

b) Die Form der quadratischen Funktion y = x² + e:

e verschiebt den Scheitelpunkt der Parabel dieser Funktion auf der y-Achse, d. h. S ( 0 ; e )

c) Die Form der quadratischen Funktion y = ( x + d )²:

d verschiebt den Scheitelpunkt der Parabel dieser Funktion auf der x-Achse d. h. S ( -d ; 0 )

d) Die Form der quadratischen Funktion y = ( x + d)² + e (Scheitelpunktsform) : die Scheitelpunktskoordinaten setzten sich aus dem umgekehrten Wert von d, für den x-Wert , und dem Wert e, für den y-Wert, zusammen, d. h. S ( -d ; e )