Trigonometrie - 2 -

Wollenwir den, der Seite a gegenüberliegenden Winkel Alpha betrachten, so stellt die Seite a die Gegenkathete dar, da sie dem Winkel Alpha gegenüberliegt. Die Seite b liegt bei Winkel Alpha an, heißt somit Ankathete. Die Seite c, welche dem rechten Winkel gegenüberliegt, behält, gleich welchen Winkel man betrachtet, ihren neuen Namen, nämlich Hypotenuse. Zusammenfassend:

Ankathete = die dem zu betrachtenden Winkel anliegende Seite Gegenkathete = die dem zu betrachtenden Winkel gegenüberliegende Seite Hypotenuse = die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite

Sind nur diese Seiten im Spiel und man kennt den Großteil, so ist die jeweils verbleibende unbekannte Seite mit dem Lehrsatz von Pythagoras zu ermitteln. Sind es nun aber die Winkel, die uns interessieren, dann kommen die drei Winkelfunktionen ins Spiel.

Der Sinus eines Winkels ergibt sich, wenn man die jeweilige Gegenkathete durch die Hypotenuse dividiert.

Den Cosinus ermittelt man aus einer Division aus Ankathete und Hypotenuse Tangens: Die letzte Winkelfunktion ergibt sich, wenn man die Gegenkathete durch die Ankathete dividiert. Zusammenfassend

Somit hat man alles, um fehlende Komponenten in einem rechtwinkligen Dreieck zu berechnen. Beispiel:

Von einem rechtwinkligen Dreieck kennt man die Seite c mit 178cm, und den Winkel α mit 64, 39°. Ermittle die Länge der beiden anderen Seiten und den Winkel β.

Hinweis:

Eine Skizze anlegen und die bekannten Komponenten eintragen. Die Summe aller Winkel in einem Dreieck beträgt immer 180°

2.2 Der Höhensatz

Um dem Höhensatz einfach zu folgen, kann man ihn anhand eines Dreiecks einfach herleiten:

Trigonometrie - 3 -

Nimmtman nämlich die Höhe vom Punkt C zu Seite c, so steht sie auf die Seite C normal. Wie aus der unten gezeigten Skizze ersichtlich, ergeben sich daraus wiederum zwei rechtwinklige Dreiecke, wobei die Hypotenuse in zwei Teile geteilt ist. Im Höhensatz gilt, dass das Quadrat der Höhe dem Produkt aus den beiden Teilen der Hypotenuse entspricht. d. h.: h² = p.q

In diesem Fall stellt p den Abschnitt links von h, und q den Abschnitt rechts von h dar.

Nun stellen in den jeweiligen kleinen Dreiecke die Seiten a, bzw. b die Hypotenusen dar.

Nun stellt sich die Frage, wie man die Länge der A bschnitte p und q ermitteln kann: Ganz einfach:

Man nimmt zum Beispiel den Cosinus von α, welcher aus der Division von Ankathete

durch Hypotenuse ermittelt wird, und multipliziert die Hypotenuse auf die andere Seite. Das würde in unserem Fall so aussehen:

cosα = q / b cosα * b= q

Und schon hat man einen der Abschnitte. Die Ermittlung des zweiten Abschnittes würde nun auf der anderen Seite genau so funktionieren, oder man nimmt ganz einfach die Hypotenuse c her, und zieht q ab. 2.2 Der Kathetensatz

Der Kathetensatz sagt aus, dass jede Kathete zum Quadrat dem Produkt aus der Hypotenuse und dem jeweiligen Abschnitt entspricht.

Trigonometrie - 4 -

Daswürde heißen:

a² = q * c b² = p * c

Das war auch schon der Kathetensatz.

Um zum Abschluss die drei Winkelfunktionen in ein vorstellbares Bild zu rücken, so kann man sie in dem sogenannten Einheitskreis darstellen:

Trigonometrie - 5 -

3.Das allgemeine dreieck

Leider sind nicht alle Dreiecke rechtwinklig, also brauchen wir auch Berechnugsmethoden um in allgemeinen Dreiecken fehlende Komponenten ermitteln zu können. Diesbezüglich gibt es zwei Sätze: 3.1 Der Sinussatz

Zum Glück können wir zur Hilfe innerhalb eines allg. Dreiecks rechtwinklige Dreiecke basteln. Das ist wichtig, um den Sinussatz verstehen zu können. Wie wir wissen stellt die Höhe in einem Dreieck immer die Normale einer Seite zu ihrem jeweils gegenüber liegendem Punkt dar. So können wir auch in einem allg. Dreieck zu einem rechten Winkel kommen.

Nehmen wir an, wir kennen von diesem Dreieck a = 10, α = 48° und β = 63°, b müsste

errechnet werden. Das heißt: Hier würde man b ermitteln indem man:

SINUSSATZ

a / sinα = b / sinβ = c / sinχ

SWW- Fall: Gegeben sind eine Seite und zwei Winkel.

SSW- Fall: Gegeben sind zwei Seiten und ein Winkel, der einer der beiden Seiten gegenüber liegt.

Im ersten Fall, dem SWW Fall, können wir durch die Winkelsumme 180° leicht den dritten Winkel errechnen, und somit den Sinussatz anwenden. Im SSW Fall ist auch der Sinussatz anzuwenden.

3.2 Der Cosinussatz

Es gibt, durch die Angabe bedingt, mehrere Möglichkeiten: SWS- Fall: Gegeben sind zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel.

Trigonometrie - 6 -

SSS-Fall: Gegeben sind die drei Seiten.

Was aber ist mit den beiden letzten Fällen? In beiden Fällen, kann man mit dem Sinussatz zu keiner Lösung kommen, also muss es da noch einen anderen Weg geben.

Anhand von diesem Dreieck werden wir uns eine Möglichkeit suchen: Angenommen wir kennen von diesem Dreieck b = 5, c = 4 und α = 60°. Zunächst

wollen wir hier herausfinden, wie wir zu a kommen: Durch zerlegen des Dreiecks mittels der Höhe bekommen wir wieder zwei rechtwinklige Dreiecke. Somit können wir beginnen:

sinα = h/b h = b * sinα cosα =x/b x = b * cosα y = c - x = c - b * cosα

Nach Pythagoras würde das dann heißen : a² = h² + y²

setzen wir nun oben ermitteltes ein, dann haben wir:

a² = h² + y² = b² * sin²α + (c - b * cosα)² a² = b² * sin²α + c² - 2bc * cosα + b² * cos²α a² = b² * (sin²α + cos²α) + c² - 2bc * cosα a² = b² + c² - 2bc * cosα

Es gilt also der Cosinussatz mit:

a² = b² + c² - 2bc * cosα

b² = c² + a² - 2ca * cosβ c² = a² + b² - 2ab * cosχ

3.3 Flächeninhalt eines Dreiecks

Um den Flächeninhalt eines allg. Dreiecks zu bekommen ist es wieder einmal notwendig das Dreieck durch die Höhenlinie in zwei rechtw. Dreiecke zu teilen.

Trigonometrie - 7 -

Vondiesem Dreieck kennen wir bereits a, b, und χ. Nun wollen wir die Fläche ermitteln, wozu wir erst h errechnen müssen: sinχ = h / a h = a * sinχ Jetzt setzen wir in die Flächenformel ein:

Selbstverständlich kann man das auch auf die anderen drei Seiten (Winkel) umsetzen.

Trigonometrie - 8 -

4.Bogenmass und Kurven

Es gibt, abgesehen von der üblichen Form Winkel zu messen, nämlich in Grad, auch noch andere Möglichkeiten. Die eine ist, in Neugrad zu messen. In dieser Einheit hat man die üblichen 360° eines Kreises auf 100° geändert.

Die dritte Form ist das Bogenmaß. Bei dieser Form wird, wie der Name schon sagt, die Länge des jeweiligen Kreisbogens gemessen. Dadurch ist das Bogenmaß auch vom Radius abhängig.

Um die Sache zu vereinfachen, werden wir uns mit dem schon kurz angesprochenen Einheitskreis beschäftigen, der den Radius 1 hat.

Die Berechnungen im Einheitskreis haben den Vorteil, dass es bei besonderen Winkeln festgelegte Faktoren gibt. So entsprechen z.B.: 180° gleich π.

90° = π / 2

270° = 3π / 2 360° = 2π

Das Bogenmaß wird auch in der graphischen Darstellung der Winkelfunktionen verwendet.

Es handelt sich hierbei um die Sinus- Cosinus- und Tangenskurve. Wie man in unten stehenden Graphiken erkennen kann, stellt der Tangens eine Ausnahme dar, da er, wie bereits in der Darstellung im Einheitskreis oben erkennbar, immer wieder ins unendliche geht, und auch wieder aus dem unendlichen wieder auftaucht.

Trigonometrie - 9 -

Nunaber zu den Graphiken: Die Sinuskurve:

Die Cosinuskurve:

Die Tangenskurve: