ABBILDUNGSVERZEICHNIS  

  ABBILDUNG 1: METHODEN DER STANDORTPLANUNG.  3

  ABBILDUNG 2: NETZWERKDARSTELLUNG DER STRUKTUR EINES DISTRIBUTIONSSYSTEMS4  

  ABBILDUNG 3: STEINER-WEBER-PROBLEM  7

  ABBILDUNG 4: GEOMETRISCHE BESTIMMUNG DES OPT. STANDORTES IM  

  STANDORTDREIECK.  9

  ABBILDUNG 5: VARIGNON'SCHER APPARAT.  10

  ABBILDUNG 6: STANDORTE DER KUNDEN DER JOTKEA GMBH.  18

  ABBILDUNG 8: OPTIMALE LAGERSTANDORTE UND EINZUGSGEBIETE  23

  TABELLENVERZEICHNIS  

TABELLE 1:  STANDORTE UND UMSÄTZE DER KUNDEN DER JOTKEA GMBH  18

TABELLE 2:  INTERVALLFIXE LAGERKOSTEN  18

TABELLE 3:  MÖGLICHE KOMBINATIONEN DER EINZUGSBEREICHE.  19

TABELLE 4:  SCHWERPUNKTKOORDINATEN  20

TABELLE 5:  ERGEBNISSE DER SIEBTEN ITERATION.  21

TABELLE 6:  TRANSPORTKOSTEN : LAGER à EINZUGSBEREICHE  21

TABELLE 7:  TRANSPORTKOSTEN : PRODUKTION à LAGER.  22

TABELLE 8:  LAGERKOSTEN  22

TABELLE 9:  GESAMTKOSTEN  23

1. Einführung

Standortentscheidungen sind auf Grund ihres langfristigen Charakters (>20Jahre) Entscheidungsprobleme im Sinne der strategischen Unternehmensplanung ¹ . Die Wahl eines Standortes ist zum einen, wenn die Entscheidung einmal umgesetzt wurde, wegen der hohen Kostenintensität und Kapitalbindung von Lagern und Produktionsstätten, kaum revidierbar. Zum anderen beeinflusst die Entscheidung für Produktions- und Lagerstandorte die internationale Wettbewerbspolitik der Unternehmung und bildet die strukturellen Rahmenbedingungen für das Entstehen eines Logistiksystems ² . Des weiteren hilft ein Standortvorteil die Wettbewerbsfähigkeit des Unternehmens zu sichern, wenn es dem Unternehmen gelingt, sich durch eine optimale Standortwahl gegenüber sonst unter gleichen Bedingungen arbeitenden Konkurrenzunternehmen eine „Bequemlichkeitsrente“ ³ zu schaffen ⁴ . Die Tragweite des Problems der Standortwahl und die vielen verschiedenen Faktoren, die diese Entscheidung beeinflussen, machen eine sorgfältige und fundierte Planung unabdingbar. Im folgenden werden zunächst verschiedene Einflussgrößen und daraus resultierende unterschiedliche Bewertungsmethoden kurz voneinander abgegrenzt und der Zusammenhang zwischen Optimierung der Standortplanung und logistischen Netzwerken herausgestellt. Im Anschluss daran werden drei Verfahren vorgestellt, die auf verschiedene Weise die Problematik der Bestimmung eines Standortes in der Ebene lösen. An Hand eines rechnerischen Beispiels wird abschließend die Problematik der Standort-Einzugs-Bereichsplanung dargestellt und ein exemplarischer Lösungsweg beschrieben.

2. Standortplanung

2.1 Einflussgrößen und Methoden der Standortplanung

Wissenschaftliche Ansätze, die sich mit dem Problem der Standortplanung auseinander setzen gibt es schon seit langem und können in drei Kategorien unterteilt werden:

¹ vgl. Klose, SS 2000, S. 1

² vgl. Tempelmeier, 1994, S. 40

³ Siehe Schill, 1990, S. 1 nach Nauer, Standortplanung, 3/1968

⁴ vgl. ebenda, S. 1

1

Der weitere Verlauf dieser Arbeit wird sich auf Problemstellungen konzentrieren, die im Zusammenhang mit der betrieblichen Standortplanung und ihrer Theorien zu sehen sind. Die betriebliche Planung von Standorten, ob für Lager- oder Produktionsstätten, wird von den unterschiedlichsten Einflussfaktoren bestimmt. Häufig sind diese qualitativen Ursprungs, wie z. B. der Bildungsstand des ansässigen Arbeitskräfte-potentials oder persönliche Präferenzen der Betriebsleitung, und daher nur schwer oder gar nicht messbar. Auf qualitativen Faktoren gründende Methoden dienen also der Aufnahme nichtquantifizierbarer Kriterien in den Entscheidungsprozess, durch Erfassung und B ewertung der Einflussgrößen, z. B. über Kriterienkataloge oder Scoring-Analysen ⁶ . Diese Analysen sind zwar intersubjektiv nachvollziehbar, jedoch auf Grund der vielen subjektiv festzulegenden Teilkriterien nicht objektiv. 7

Das Unternehmen muss schwerpunktmäßig festlegen, an welcher Zielgröße sich der Planungsprozess orientieren soll. Generell kann zwischen transportkosten- und produktionskostenorientierter Standortwahl unterschieden werden. Je nach Zielkriterium der Firma lässt diese sich bei ihrer Entscheidung von logistischen Grundsätzen oder aber dem Arbeitskräftepotential und Lohnkriterien leiten ⁸ .

Für eine objektive Planung der Standortwahl bieten sich Verfahren der quantitativen Standortplanung, wie Simulation und Optimierung an. Auf Grund der Komplexität einer Standortentscheidung, die aus den vielen zu berücksichtigenden Faktoren resultiert, ist eine Reduktion der ökonomischen Wirklichkeit durch Abbildung in e inem zielgrößenrelevanten Modell nötig ⁹ . Quantitative Optimierungsmodelle bilden das zugrunde liegende Entscheidungssystem formal-mathematisch ab und erfüllen die Aufgabe „eine oder

⁵ vgl. Geldermann/Wietschel, Uni Karlsruhe, SS 2000, S. 81

⁶ vgl. Isermann, 1998, S. 217

⁷ vgl. Rosenberg, SS 1999, S. 23-24

⁸ vgl. Geldermann/Wietschel, Uni Karlsruhe, SS 2000, S. 82

⁹ vgl. Klose, SS 200, S.4

2

mehrere Zielfunktionen unter gegebenen Nebenbedingungen zu minimieren oder zu maximieren.“ ¹⁰ Über geeignete Lösungsverfahren gelingt es so, optimale oder suboptimale Lösungen zu ermitteln.

Allgemein lassen sich zwei verschiedene Ansätze der quantitativen Standortplanung herausstellen.

1. Standortmodelle in der Ebene (kontinuierliche bzw. stetige Standortplanung),

¹⁰ siehe Gabler Lexikon, Logistik, 2000, S. 434

¹¹ vgl. Feige, WS 00/01, S. 3 und Gabler Lexikon, Logistik, 2000, S.435

¹² vgl. Feige, WS 00/01, S. 3

3

2.2 Logistische Netzwerke

Der Zusammenhang zwischen Optimierung der Standortwahl und logistischen Netzwerken wird klar, bedenkt man, dass die Standortstruktur den räumlichen Rahmen des wirtschaftlichen Handelns der Unternehmung bestimmt. Um auf den heutigen Märkten langfristig wettbewerbsfähig zu bleiben, ist die Gestaltung eines prozessorientierten Managements integrativer Logistiksysteme über die gesamte Wertschöpfungskette hinweg notwendig geworden. Neuartige Ansätze, wie das Supply Chain Management, sollen zur Optimierung der wertschöpfenden Logistikkette beitragen, indem Material- und Informationsflüsse vom Rohstoff bis zum Kundenservice integriert werden. So werden die Märkte heute und in Zukunft verstärkt durch unternehmensübergreifende Logistiknetzwerke umspannt. 13

Im Gabler Lexikon „Logistik“ wird der Begriff „Logistiknetzwerk“ wie folgt definiert: „Das Logistiknetzwerk ist ein Modell zur Abbildung der Grundstruktur von Logistiksystemen. Es kann grafisch als Geflecht von Quelle-Senke-Beziehungen dargestellt werden, in welchem die Transport-, Umschlags- und Lagerprozesse zur Raum- und Zeitüberbrückung sowie die damit verbundenen Informationsprozesse ablaufen. Jedes Unternehmen bzw. jeder Wertschöpfungsverbund von Unternehmen ist prinzipiell als Logistiknetzwerk darstellbar.“ 15

¹³ vgl. Plöger/Schmeling, WS 00/01, S. 4-6

¹⁴ vgl. Isermann, 1998, S. 215

¹⁵ siehe Gabler Lexikon, Logistik, 2000, S. 340

4

Demnach ist jedes Unternehmen zugleich Teil eines globalen weltumspannenden Logistiksystems sowie eigenständiges Teilsystem des Netzwerks, innerhalb dessen das U nternehmen seine Ziele nur verwirklichen kann, wenn seine Standortstruktur entsprechend geplant und optimiert ist. 16

2.3 Standortmodelle in der Ebene

Modelle der Standortplanung in der Ebene gehen von den folgenden drei Annahmen aus:

2.3.1 Distanzmessung

Wie schon in Kapitel 2.1 erwähnt, sind die Transportkosten eine maßgebliche Einflussgröße zur Standortbestimmung durch quantitative Modelle. Geht man nun zusätzlich von der Annahme aus, dass die Transportkosten proportional sind zur transportierten Menge und dem zurückgelegten Weg, dann wird die Distanz zwischen Standort und Bedarfsort zum ausschlaggebenden Standortfaktor. In der Realität werden Entfernungen durch Nutzung von Straßen, Schienen, Wasserwegen oder Flugverkehrswegen überwunden. Modelle der Standortplanung in der Ebene reduzieren diese, dem Menschen zugängliche Verkehrsmöglichkeiten, durch die drei oben genannten Annahmen so, dass Entfernungen mit Hilfe passender Funktionen und Beschreibung der Lage der Orte durch Verwenden von Koordinaten im zweidimensionalen euklidischen Raums abgebildet und bestimmt werden können ¹⁸ . Eine Funktion d(x,y), die die Distanz zweier Punkte x und y in einem definierte Raumsystem bezeichnet, wird als „Metrik“ bezeichnet, wenn sie folgenden Axiomen genügt:

¹⁶ vgl. Plöger/Schmeling, WS 00/01, S. 6 nach Gudehus, Logistik 2 - Netzwerke, Systeme und Lieferket- 2000 S. 5

¹⁷ siehe Domschke/Drexl, 1990, S.115

¹⁸ vgl. Klose, SS 2000, S. 11-12

5

1. Distanzen können nie negativ sein (Nichtnegativitätsbedingung),

Eine Klasse von Metriken zur Messung der Distanz zwischen zwei Punkten A und B mit den Koordinaten (x a, y a )und(x b, y b ) in der Ebene ist die l p Norm, die definiert wird durch:

Die zur Distanzmessung am häufigsten verwandten Spezialfälle der l p -Metrik sind die Rechtwinklige Entfernung 20 , für die gilt, p = 1:

und die Euklidische Distanz 21 , für die gilt, p = 2

² − + − y x

a b a b

¹⁹ vgl. Feige, WS 00/01, S. 23 und Klose, SS 2000, S. 12

²⁰ Der Abstand zweier Punkte ist in diesem Fall als Summe aus den Differenzen der Koordinaten der

beiden Punkte definiert (vgl. Kleibohm, 1995, S. 5)

²¹ Der Abstand zweier Punkte wird in diesem Fall durch Anwendung des Satzes des Pythagoras bestimmt,

wobei die direkte Verbindungslinie der beiden Punkte die Hypothenuse und die Koordinatendistanzen

2 b der beiden Punkte die Katheten darstellen. So ergibt sich: c ² = a ² + b ² => c = a + (vgl. Hansmann, 1999, S. 96-97)

6

  Die rechtwinklige, oder auch Manhattan-Entfernung, ist in erster Linie bei der innerbe-  

  trieblichen Standortplanung von großer Relevanz, da in Betrieben oft rechtwinklige  

  Wegesysteme gegeben sind. Die euklidische oder auch Luftlinienentfernung dient hin-  

  gegen der Bestimmung betrieblicher Standorte 22 Für Werte von p, für die gilt 1 p 2,  

  ergeben sich Entfernungsmaße, die zwischen der kurzen Luftliniendistanz und der lan-  

  gen rechtwinkligen Entfernung liegen. Dies ermöglicht eine Annäherung an topologi-  

  sche Gegebenheiten, z. B. die Darstellung der Verbindungen an ein Straßennetz 23 Die  

  Ausführungen der folgenden Problemstellungen werden sich allein auf die euklidische  

  Entfernungsmessung beziehen.  

1.  EINFÜHRUNG  1

2.  STANDORTPLANUNG.  1

2.1  EINFLUSSGRÖßEN UND METHODEN DER STANDORTPLANUNG  1

2.2  LOGISTISCHE NETZWERKE.  4

2.3  STANDORTMODELLE IN DER EBENE  5

2.3.1  Distanzmessung.  5

2.3.2  Bestimmung eines neuen Standortes  8

2.3.2.1  Geometrisch: Standortbestimmung im Dreieck.  9

2.3.2.2  Physikalisch: Varignon’scher Apparat  11

2.3.2.3  Analytisch: Iteratives Verfahren nach Miehle  11

2.3.2.4  Kritische Würdigung des Steiner-Weber-Ansatzes.  13

3.  LOCATION-ALLOCATIO-NMODELLE ALS VERFAHREN ZUR  

  LÖSUNG KOMPLEXER STANDORTPROBLEME  15

3.1  THEORIE DER STANDORT-EINZUGSBEREICH-PLANUNG  15

3.2  DAS STANDORT-EINZUGSBEREICH-PROBLEM AM BEISPIEL  18

3.2.1  Problemstellung der Fallstudie.  18

3.2.2  Bestimmung der optimalen Lagerstandorte.  20

3.2.2.1  Beschreibung der Vorgehensweise zur Lösungsermittlung.  20

3.2.2.2  Ergebnis und abschließende Betrachtungen zur Fallstudie.  24

4.  VERZEICHNIS DER VARIABLEN UND ABKÜRZUNGEN  26

5.  LITERATURVERZEICHNIS.  27

6.  ANHANG.  29

22  vgl. Domschke/Drexl, 1990,  116

23  vgl. Domschke/Drexl, S. 116 1990 und Kleibohm, 1995,  7

7

2.3.2 Bestimmung eines neuen Standortes

Das Problem der Bestimmung eines neuen Standorts in der Ebene, auch Steiner-Weber-Problem oder verallgemeinertes Weberproblem genannt, lässt sich, wie in Abb. 3 dargestellt, graphisch veranschaulichen.

Es geht also darum, den Standort eines Lagers oder Betriebes so zu bestimmen, dass die „Summe der mit der Kundennachfrage gewichteten Entfernungen zu den Kunden ein Minimum annimmt.“ ²⁵ Hierbei seien die Transportkosten proportional zur transportierten Menge und zur zurückgelegten Entfernung. Sie betragen c GE je ME und LE. Der Transportkostensatz ist auf Grund dieser Verhältnisgleichheit unabhängig von Menge und Entfernung, so dass c=1 gesetzt werden kann, ohne dass sich die Lage des gesuchten Standortes verändert ²⁶ . Formal-mathematisch lässt sich das Problem also wie folgt beschreiben:

²⁴ vgl. wisu kompakt 6/87, S. 291

²⁵ siehe Feige, WS 00/01, S. 24

²⁶ vgl. Domschke/Drexl, 1990, S. 117

8

Die Mathematik beschäftigt sich schon seit mehreren hundert Jahren mit dem Problem der Standortbestimmung in Polygonen. Benannt wurde das Problem nach dem Mathematiker J. Steiner (1835) und dem Ökonom A. Weber (1909), die sich schon zu ihrer Zeit mit der Thematik auseinander setzten. Eine ökonomische Auslegung erfuhr die Problematik bereits gegen Ende des 19. Jahrhunderts durch W. Launhardt. 27

Im Folgenden werde ich zur Lösung dieses Problems drei Verfahren theoretisch erläutern.

2.3.2.1 Geometrisch: Standortbestimmung im Dreieck

Eine geometrische Lösung für die Standortbestimmung im Polygon ist nur für das Dreieck relativ einfach graphisch zu bestimmen. Nach dem Verfahren von Launhardt ²⁸ beschreibt sich das Problem wie folgt:

Es existieren n=3 Kundenstandorte P j , deren Koordinaten in der Ebene ein Dreieck aufspannen. Gesucht ist der transportkostenminimale Standort, also der Standort, der bei Verwendung des Einheitstransportkostensatzes die Summe der durch die Nachfragemenge b j gewichteten Distanzen der drei Kundenorte zu dem neu zu platzierenden Standort S minimiert.

²⁷ vgl. wisu kompakt, 6/87, S. 291

²⁸ vgl. Danglmaier, WS 97/98, S. 26

9

Zur Ermittlung des Punktes S, zieht man zunächst aus dem Punkt P 1 einen Kreisbogen mit dem Radius r 1 aus dem Verhältnis der Nachfragemenge von b 3 und b 2 multipliziert mit L 3 (Abstand P 1 ;P 3 ). Aus dem Punkt P3 zieht man einen Bogen mit dem Radius r 3 = b ∗ . Der Schnittpunkt der beiden Kreisbögen Q 1 spannt mit den Punkten P 1 und P 3

¹ L

³ b

2

ein neues Dreieck auf, dessen Seiten das Verhältnis der mit der Kundennachfrage gewichteten Entfernungen widerspiegeln.

Den Punkt Q 2 erhält man auf die gleiche Weise, nur dass der Kreisbogen aus P 3 mit r 4 = b ∗ und der Bogen aus P 2 mit r 5 = b ∗ gezogen wird. Verbindet man nun die

^{2 3} L L

^{2 2} b b

1 1

Punkte Q 1 mit P 2 sowie Q 2 mit P 1 , dann schneiden sich diese beiden Geraden in dem Punkt minimaler Transportkosten, dem gesuchten Standort S. 30

²⁹ vgl. Klose, 2000, S. 1 aus http://130.82.147.62/klose/teaching/planeloc.htm

³⁰ vgl. Klose, 2000, S. 1 aus http://130.82.147.62/klose/teaching/planeloc.htm und Danglmaier, WS

97/98, S. 26

10

2.3.2.2 Physikalisch: Varignon’scher Apparat

Da geometrische Modelle, wie oben beschrieben, nur für n=3 Kunden eine einfache graphische Lösung besitzt, werden auch physikalische Modelle, wie der Varignon’sche Apparat ³¹ eingesetzt.

Die n Kundenorte werden maßstabsgetreu auf eine Platte übertragen. In den Projektionspunkten werden Löcher gebohrt, durch die für jeden Kunden ein Faden gezogen wird. An diesen werden unterhalb der Platte Gewichte angebracht, die proportional zur Nachfragemenge der Kunden sind. Auf der Platte werden die Fäden miteinander verknüpft. Der Knotenpunkt im Kräftegleichgewicht markiert schließlich den gesuchten Standort. 33

2.3.2.3 Analytisch: Iteratives Verfahren nach Miehle

Das algebraische Modell zur Lösung des Problems der Bestimmung eines Standortes in der Ebene besteht in der Minimierung der folgenden Funktion ³⁴ .

³¹ Abbé Pierre Varignon (1654-1722), französischer Mathematiker

³² vgl. Klose, 2000, S. 1 aus http://130.82.147.62/klose/teaching/planeloc.htm

³³ vgl. Domschke/Drexl, 1990, S. 120 und Feige, WS 00/01, S. 24

³⁴ unter Vernachlässigung der Einheitstransportkosten

11

Die Zielfunktion Z(x,y) ist eine stetige, konvexe Funktion ³⁵ , d. h. sie besitzt ein globales Minimum, dass sich mit H ilfe der Differentialrechnung ermitteln lässt. In einem ersten Schritt müssen also die partiellen Ableitungen der Funktion ermittelt und deren Nullstellen bestimmt werden ³⁶ .

Partielle Ableitung nach x:

Partielle Ableitung nach y:

Versucht man nun, entsprechend der notwendigen Bedingung für ein Extremum, die beiden Ausdrücke nach Null aufzulösen, so stellt man fest, dass dies nur teilweise möglich ist. Nach Umformen erhält man für x und y die Gleichungen

Die Variablen x und y lassen sich nicht vollständig auf der linken Seite der Gleichung isolieren, was eine analytische Lösung des Gleichungssystems unmöglich macht. Ein Näherungsverfahren, das über mehrere Iterationsschritte eine hinreichend genaue L ösung des Problems liefert, ist das Verfahren von Miehle (1958) ³⁷ . Das Verfahren beginnt mit dem Einsetzen vorgegebener Startwerte für x und y in die rechte Seite der

³⁵ „Die Konvexität der Funktion folgt aus der Konvexität euklidischen Norm[...]“ siehe Klose SS 2000, S.

14

³⁶ Notwendige Bedingung für ein Minimum: 1. Ableitung = 0 und 2. Ableitung > 0. (Die zweite Ablei- kann entfallen, da die Funktion streng konvex ist und es darum bei einem Extremum definitionsge- um ein Minimum handeln muss.)

³⁷ vgl. Domschke/Drexl, 1990, S. 122-123

12

³⁸ Gleichung. Dies sind zumeist die Schwerpunktkoordinaten x s uns y s . Auf diese Weise

erhält man auf der linken Seite neue Koordinatenwerte (x 1 ,y 1 ), die im nächsten Iterationsschritt wiederum als Ausgangskoordinaten in die rechte Seite der Gleichung eingesetzt werden. Das Verfahren wird fortgesetzt, bis eine gegebene Abbruchschranke ³⁹ unterschritten wird, d. h. wenn die Differenz der letzten Iteration zu der unmittelbar vorangegangenen Iteration eine vorgegebene Zahl unterschreitet. Es ist zu beachten, dass das Verfahren nur durchführbar ist, wenn im Laufe der q Iterationen keiner der gefundenen Punkte (x q ,y q ) mit einem der gegebenen Kundenorte (u j ,v j ) zusammenfällt ⁴⁰ . Andernfalls wären die Ableitungen nicht definiert ⁴¹ . Um dieses Problem zu umgehen und das Verfahren für jeden Fall anwendbar zu m achen, wird die Zielfunktion ein wenig geändert, in dem nun, statt der bekannten euklidischen Distanz ein modifiziertes euklidisches Entfernungsmaß eingesetzt wird, welches um die beliebig kleine, additive Konstante ε ⁴² erweitert wird.

Auf diese Weise sind im modifizierten Miehle-Verfahren ⁴³ die Ableitungen auch in den Problemfällen des Itertionsverfahrens definiert.

2.3.2.4 Kritische Würdigung des Steiner-Weber-Ansatzes

Die größte Schwierigkeit bei Anwendung k ontinuierlicher Ansätze zur Lösung realer Problemstellungen stellt sicher deren hohe Abstraktion von den tatsächlichen Gegebenheiten dar. Durch die Annahme, dass jeder Punkt in der Ebene potentieller Standort ist,

³⁹ z.B. α=10 -3

⁴⁰ vgl. Domschke/Drexl,1990 und wisu kompakt, 6/87 S. 292

⁴¹ da in diesem Fall der Term im Nenner den Wert Null annehmen würde; eine Division durch Null ist

mathematisch nicht definiert!

⁴² z. B. ε = 10 -4

⁴³ Das modifizierte Miehle-Verfahren wird in der Literatur auch häufig als „Hyperboloid-Approximationsverfahren“ bezeichnet, vgl. Domschke/Drexl, 1990, S. 123

13

werden geographische und infrastrukturelle Gegebenheiten völlig außer acht gelassen, so dass der errechnete, optimale Standort im Extremfall auf einer Bergspitze oder in einem See liegen könnte. Weiterhin wird durch die Anwendung der euklidischen Distanz unterstellt, dass jede Lieferung zum Kunden auf kürzestem Wege (Luftlinie) e rfolgt. Auch modifizierte, gewichtete Distanzen nach der l p -Norm (s. Kap. 2.3.1) können reale Verkehrswege ⁴⁴ nur unzureichend abbilden ⁴⁵ .

Zudem wird durch die strikte Ausrichtung auf die Transportkosten nicht der kostenminimale sondern der transportkostenminimale Standort bestimmt. Andere Faktoren, wie z. B. die Grundstücksgröße, die Arbeitsmarktsituation oder Standortsubventionen durch die öffentliche Hand, werden in der Zielfunktion gar nicht erfasst ⁴⁶ . Solche Restriktionen lassen sich jedoch teilweise durch Formulieren von Nebenbedingungen in die Problemstellung einbeziehen ⁴⁷ . Eine weitere Möglichkeit wäre die Ermittlung von Isokostenlinien zur Bestimmung zulässiger Lösungen gleichen Kostenniveaus. Diese haben den Vorteil, dass Abweichungen vom Optimum, die sich aus der Nichtberücksichtigung relevanter Faktoren in der Zielfunktion ergeben, kostenmäßig relativ leicht überblickt werden können ⁴⁸ .

Die oben aufgeführten Verfahren stellen auf einen Einproduktfall bei proportionalen Transportkosten ab. Fixkosten werden in diesem Modell als von der Wahl des Standortes unabhängig angesehen und beeinflussen die Standortentscheidung somit nicht. Die Lagerstruktur ist einstufig und die Lagerkapazität unbeschränkt, so dass in dem Modell von einer direkten Belieferung der Kunden ausgegangen wird. Beziehungen von der Produktionsstätte zum Lager bleiben unberücksichtigt. Diese Annahmen können die Standortwahl verfälschen, da in der Realität Transportkostendegressionseffekte auftreten ⁴⁹ . Je größer die transportierte Menge je Transportweg ist, desto niedriger werden die Transportkosten je Gewichtseinheit. Die Transportmenge der ersten Teilstrecke (vom Produktions- zum Lagerort) ist viel größer als die Liefermenge des zweiten Teilstücks (vom Lager zum Kunden), da diese von der Nachfrage der Kunden abhängt. Somit ist die Transportkostenintensität auf dem ersten Teilstück wesentlich geringer als auf dem zweiten Teilstück. Das aus diesem Zusammenhang resultierende Bestreben, das erste

⁴⁴ Man denke hier z. B. an Passstrassen mit Serpentinen, oder innerstädtische Einbahnstrassenverkehrs-

⁴⁵ vgl. Kontny/Rösler, 1997; S. 49

⁴⁶ Hansmann, 1999, S. 99

⁴⁷ wisu kompakt, 6/87, S. 292

⁴⁸ vgl. Domschke/Drexl, 1990, S 118

⁴⁹ vgl. Kontny/Rösler, 1997S, S. 50

14

Teilstück möglichst lang zu halten und viele kleine Lager in Kundennähe zu platzieren ⁵⁰ löst ein Anzahlproblem aus, da sich Transportkosten und die Kosten für das in den Lagern gebundene Kapital gegenläufig entwickeln. Die optimale Lageranzahl entspräche also dem Minimum der Summe aus Transport- und Kapitalbindungskosten. Festzuhalten ist jedoch, dass die transportkostenminimale Bestimmung eines Standortes der G eschäftsleitung durchaus als sinnvoller Anhaltspunkt dienen kann, in welcher Region Angebote über geeigneten Grundstücken eingeholt werden können. Die in Kapitel 2.3.1 beschriebenen Verfahren sind jedoch lediglich zur Planung nur eines Standortes einsetzbar. Zur Festlegung der Lageranzahl, deren Einzugsbereiche und ihrer optimalen Standorte müssen demnach andere, komplexere Verfahren zur Problemlösung herangezogen werden. Mit einem dieser Verfahren, dem Standort-Einzugsbereichs-Problem, bzw. dem Location-Allocation-Verfahren, beschäftigt sich das folgende Kapitel.

3. Location-Allocation-Modelle als Verfahren zur Lösung komplexer Standortprobleme

3.1 Theorie der Standort-Einzugsbereich-Planung

Im Rahmen der Standort-Einzugsbereich-Planung gilt es, für eine zuvor unbestimmte Anzahl Lager die optimalen Standorte und deren entsprechende Einzugsbereiche zu ermitteln. Genauer lässt sich dieses Problem verbal und mathematisch wie folgt formulieren:

Für n Kunden in einer homogenen Ebene mit den Koordinaten (u j ;v j ) und dem Bedarf b j sind Auslieferungslager zu errichten, deren Anzahl m sowie deren Koordinaten (x i ,y i ) durch ein geeignetes Verfahren zu bestimmen sind. Die Transportmengen je Periode werden mit w ij , die entsprechenden Transportkosten mit c ij und die Maximalkapazität der Lager mit a i bezeichnet. Jeder Kundenort darf jeweils von nur einem Lagerort versorgt werden, so dass sich die Lieferstruktur sternförmig darstellen lässt. ⁵¹ Hierbei legt

⁵⁰ vgl. Danglmaier, WS 97/98, S. 22-23

⁵¹ vgl. Domschke/Drexl, 1990, S. 131-132

15

die Bestimmung der Transportvariable w ij den zugehörigen Einzugsbereich der Standorte fest. 52

Es gilt also folgendes Gleichungssystem zu lösen:

Es zeigt sich, dass sich das Gesamtproblem im Prinzip aus zwei Teilproblemen zusammensetzt. Zum einen aus der Zerlegung des Gebietes in m Teilgebiete (die Einzugsbereiche) und zum anderen aus der Ermittlung des jeweils optimalen Standortes innerhalb des beigeordneten Teilgebietes ⁵³ , welcher ü ber die Lösung von m einzelnen Steiner-Weber-Problemen nach dem Miehle-Verfahren erfolgt.

Auf diesen Überlegungen basierend, lässt sich ein von Cooper entwickeltes Location-Allocation-Verfahren (1972) in vier Schritten zusammenfassen:

1. Bestimme m Ausgangsorte!

^{52 für alle Fälle, für die gilt: w} ij = 0, wird der entsprechende Summand in der Zielfunktion auch Null, so

dass der Kundenort, zu dem keine Ware transportiert wird, gar nicht in die Berechnung der Standortpla- für diesen Einzugsbereich mit eingeht.

⁵³ vgl. Klose, SS 2000, S. 16-18

⁵⁴ vgl. Feige, WS 00/01, S. 27 sowie Domschke/Drexl, 1990, S. 133

16

An dieser Stelle sei festgehalten, dass die Anzahl der Möglichkeiten, eine Menge von n Kunden in m Einzugsbereiche zu zerlegen, enorm groß ist und mit der Anzahl von Kunden exponentiell wächst.

Die Kombinationsmöglichkeiten ergeben sich aus der Stirlingschen Zahl

Für n=10 Kunden und m=2 Lager ergeben sich 511 Kombinationsmöglichkeiten, bei n=30 Kunden würde sich die Anzahl der Kombinationen auf 563.870.911 erhöhen. Ein Rechner, der pro Steiner-Weber-Problem eine Sekunde benötigt, würde demnach für die Berechnung der Gesamtlösung eine Zeit von knapp 18 Jahren beanspruchen. ⁵⁵ Eine vollständige Enumeration ist demnach praktisch nicht durchführbar. Stattdessen kommen zur Festlegung der Teilgebiete Heuristiken in Frage, wie z. B. die Zulässigkeitsmatrix ⁵⁶ , in der Kundenorte zunächst so zu möglichen Einzugsgebieten zusammengefasst werden, dass diese einen technisch sinnvollen Zusammenhang darstellen. In einem zweiten Schritt kann die Anzahl dieser Einzugsgebiete noch weiter verringert werden, indem nicht sinnvolle Kombinationen, bei denen Bedarfsorte, die am Weg liegen aber nicht mitbeliefert werden, ausgeklammert werden. ⁵⁷ Sinnlos ist ein Einzugsbereich i mmer dann, wenn „das kleinste, achsenparallele Rechteck, das sich um die Bedarfsorte dieses Einzugsgebietes legen lässt, Bedarfsorte enthält, die nicht zu dem vorgegebenen Einzugsgebiet g ehören.“ ⁵⁸ Mit anderen Worten, dürfen sich, um eine optimale Lösung zu erhalten, die konvexen Hüllen der Einzugsgebiete nicht überschneiden. ⁵⁹ Diese Tatsache kann man sich zur heuristischen Bestimmung der Teilgebiete von sehr kleinen Problemstellungen (m=2) zunutze machen, in dem man die Kundenorte durch ziehen einer Geraden in zwei disjunkte Teilmengen gliedert, so oft, bis sämtliche Aufteilungen miteinander kombiniert worden sind, für die dann die entsprechenden Steiner-Weber-Probleme gelöst werden können.

⁵⁵ vgl. Klose, 2000, S. 18

⁵⁶ vgl. Danglmaier WS 97/98, S. 31

⁵⁷ vgl. Danglmaier WS 97/98, S. 31-32

⁵⁸ siehe ebenda S. 31-32

⁵⁹ vgl. Klose, 2000, S. 19

17

3.2 Das Standort-Einzugsbereich-Problem am Beispiel

Im Folgenden handelt es sich um ein einfaches Beispiel mit n=5 Kunden und m=2 zu planenden Auslieferungslagern. Die Fallstudie stellt in gewisser Weise einen Spezialfall des Location-Allocation-Problems dar, da folgende Annahmen zusätzlich getroffen werden:

Der betrachtete Zeitraum beträgt ein Jahr.

3.2.1 Problemstellung der Fallstudie

Die JotKea GmbH ist ein mittelständiges Unternehmen der Möbelbranche mit Zentralsitz und Produktion in Freiburg. Bisher wurde der gesamte Verkauf für ganz Deutschland über das Hauptwerk in Freiburg abgewickelt. Die Kunden wurden jeweils nach Bestellung vom firmeneigenen Fuhrpark von Freiburg aus in Touren beliefert. Dies hat relativ lange Lieferfristen für die Kunden im nördlichen Teil der Republik zur Folge und ist zusätzlich mit hohen Kilometerleistungen und Fahrtzeiten verbunden. Aus diesen Gründen überlegt die Unternehmensleitung, zwei Auslieferungslager in der Nähe ihrer Kunden in Nord- und Mitteldeutschland zu lokalisieren. Es gilt die transportkostenoptimalen Standorte mit Hilfe eines analytischen Verfahrens zu bestimmen. Die L age der Absatzorte im kartesischen Koordinatensystem, der Umsatz der Kunden und die sich daraus ergebenden Transportmengen und Bedarfsverhältnisse sind, ebenso wie die intervallfixen Lagerkosten in Abhängigkeit von der durchschnittlich eingelagerten Menge, den nachstehenden Tabellen zu entnehmen.

18

Tabelle 1: Standorte und Umsätze der Kunden der JotKEA GmbH

Die obenstehende Abbildung soll die Problemstellung anhand einer Visualisierung der Lage der gegebenen Standorte von Kunden und Produktionsstätte verdeutlichen. Es gilt, zwei Lager zu errichten, die derart optimal zu platzieren sind, dass die Summe aus Transportkosten (TK 1 und TK 2 ) und Lagerkosten minimiert wird.

19

Auf Grundlage der gegebenen Informationen kann im folgenden Kapitel mit der Lösung der Problemstellung begonnen werden.

3.2.2 Bestimmung der optimalen Lagerstandorte

Die zur Bestimmung der Lösung der Fallstudie aus Kapitel 3.2.1 zur Anwendung kommende Theorie und die getroffenen Annahmen wurden in den vorangegangenen Kapiteln dieser Arbeit bereits erläutert, so dass auf dahingehende Erklärungen bei der Beschreibung des Lösungsweges verzichtet werden kann. Die folgenden Berechnungen zur Lösung der Problemstellung sollen lediglich die Anwendung der Theorie auf ein konkretes Beispiel verdeutlichen Sie sind deshalb stark vereinfacht ⁶⁰ und erheben keinen Anspruch auf Vollständigkeit.

3.2.2.1 Beschreibung der Vorgehensweise zur Lösungsermittlung

Bestimmung möglicher und sinnvoller Einzugsbereiche (Allocation-Phase) Unter Ausnutzung der Feststellung (s. Kap. 3.1), dass sich zum Erhalt einer optimalen Lösung die konvexen Hüllen der Teilgebiete nicht überschneiden dürfen, wurden die fünf Kundenorte in sieben sinnvolle, disjunkte Einzugsbereichskombinationen eingeteilt, die sich folgendermaßen zusammensetzen:

⁶⁰ z. B. wird die Fragestellung vernachlässigt, wie oft im Monat das Lager von der Produktion beschickt

werden muss, oder in welchem Maße die Kunden beliefert werden sollen. Auch die Anzahl der zu pla- Lager ist von der Aufgabenstellung vorgegeben und wird nicht extra berechnet.

20

Bestimmung der Schwerpunktkoordinaten Die Schwerpunktkoordinaten x s und y s wurden mit den Formeln n n

für sämtliche Kombinationen aus Tab. 3 ermittelt und ergeben sich zu:

Lösen der einzelnen Steiner-Weber-Probleme nach dem Verfahren von Miehle (Location-Phase)

In diesem Schritt werden die zugehörigen einfachen Steiner-Weber-Probleme gelöst. Die Berechnungen wurden nach insgesamt sieben Iterationen terminiert, da mit den an dieser Stelle gewonnenen Koordinaten bereits hinreichend genaue Aussagen bezüglich der räumlichen Festsetzung der Lagerstandorte getroffen werden können. Die letztlich gewonnenen Koordinaten der optimalen Einzugsbereichskombination können der Jot-KEA GmbH ohnehin nur als Anhaltspunkte dienen. Die Geschäftsleitung muss dann, aufbauend auf den Ergebnissen der Berechnung, in der Umgebung, der als optimal ermittelten Standorte, Grundstücke finden, die bezüglich qualitativer Kriterien ⁶¹ ihren Ansprüchen genügen. Anzumerken sei an dieser Stelle noch, dass aus eben genannten Gründen die Berechnungen mit auf zwei Dezimalen gerundeten Werten durchgeführt wurden.

Die Ergebnisse der letzten Iteration lassen sich der untenstehenden Tabelle entnehmen ⁶² .

⁶¹ Als Beispiele seien Größe, Grundstückspreise, Bebauungsmöglichkeiten, Infrastruktur, Verkehrsanbin- staatliche Auflagen, Subventionen und Steuern genannt.

⁶² Die Ergebnisse der vorangegangenen Iterationen finden sich im Anhang.

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Bestimmen der Zielwerte (TK2)

Die Zielwerte, die die Transportkostenrelationen ⁶³ für die Versorgung der verschiedenen Einzugsbereiche von den gefundenen Standorten aus widerspiegeln, wurden über die Formel der Steiner-Weber-Zielfunktion berechnet und ergeben sich zu:

Bestimmen der Transportkostenrelationen TK1

Die Transportkosten, die sich aus den Versorgungslieferungen von der Produktionsstätte zu den Lagern ergeben, lassen sich ebenfalls durch Anwendung der Zielfunktion des Steiner-Weber-Problems bestimmen und ergeben sich zu:

^{63 „Relation“ deshalb, weil sämtlichen Ergebnisse durch einsetzen des Wertes b} j berechnet wurden, um

unübersichtlich große Zahlen zu vermeiden. Dieser Wert entspricht dem Nachfrageverhältnis der Kunden.

Das Ergebnis ändert sich durch dieses Vorgehen nicht, außer dass die Bezeichnung DM durch GE ersetzt

wird.

22

Bestimmung der intervallfixen Lagerkosten

Zur Bestimmung der Kosten der Lagerung berechnet man zunächst die im Jahresdurchschnitt eingelagerte Menge, die sich für jedes Kundengebiet aus dem entsprechenden Bedarf ableitet und entnimmt dann den zugehörigen Kostenwert der Tabelle 2 in Kap. 3.2.1. So ergeben sich folgende Werte:

Bestimmen der Gesamtkosten Kges

Die Gesamtkosten berechnen sich aus der Summe von den Transportkosten zur Versorgung der Lagerstandorte durch die Produktion, den Transportkosten zur Versorgung der Kundenorte durch die Lager und den zugehörigen Lagerkosten. Für die sieben Einzugsbereichskombinationen ergeben sich auf diese Weise Gesamtkosten in Höhe von:

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Tabelle 9: Gesamtkosten

3.2.2.2 Ergebnis und abschließende Betrachtungen zur Fallstudie

Minimal sind die Gesamtkosten für die Einzugsbereichskombination 4. Die optimalen Lagerstandorte sind also für Lager 1 mit den Koordinaten (0,98 / 4,49) und dem zugehörigen Einzugsbereich {BN / H / HH}und für das Lager 2 mit (5,99 / 6,59) und {HAL / B} gegeben. Für die JotKEA GmbH wäre es also transportkostenoptimal ein Lager in der Umgebung des Kunden in Bonn und ein zweites Lager in der Umgebung nördlich von Berlin zu errichten, was die folgende Abbildung verdeutlicht.

Abschießend sei noch einmal hervorgehoben, dass die analytische Bestimmung optimaler Standorte, trotz ihrer Abstraktion von realen Problemstellungen, durchaus der Entscheidungsunterstützung bei der Suche nach einer optimalen Standortstruktur dienlich sein kann. Die Geschäftsleitung der JotKEA GmbH sollte sich an den Ergebnissen der Berechnung orientieren und unter Einbeziehung qualitativer Ansprüche, wie Berücksichtigung von Infrastruktur, Verkehrsanbindung, Grundstückspreise und -größe, U mweltauflagen, Steuern, Subventionen usw., die für das Unternehmen günstigsten Standorte in den berechneten Regionen ermitteln.

Der in der Fallstudie gesetzte Rahmen zur Standortoptimierung der JotKea GmbH zeigt eine stark vereinfachte Darstellung der Problematik. In der Praxis kommen zur Lösung komplizierter Standort-Einzugsbereichs-Probleme transportorientierter Unternehmen computerbasierte Entscheidungsunterstützungssysteme ⁶⁴ zum tragen. Diese sind in der Lage, Distributionsstrukturen von Unternehmen zu optimieren. Eingabedaten der Kundenorte (Land, Ort, PLZ und nachgefragte Menge) sowie der Depotstandorte (Anzahl, Kapazität und jeweiliger Einzugsbereichsradius) werden in kurzer Zeit analytisch nach-Location-Allocation-Verfahren verarbeitet. Das Optimierungsprogramm verknüpft a bschließend die Lage des theoretisch optimalen Standortes mit den geographischen G egebenheiten, beispielsweise in Bezug auf die Verkehrsanbindungen oder topologische Grenzen, und findet so den real günstigsten Standort.

Auf diese Weise können internationale Distributionszonen organisiert, bestehende L agerstrukturen überprüft oder Verlade- bzw. Umschlagszentren zur Erschließung neuer Märkte geplant werden. 65

⁶⁴ vgl. Feige WS 00/01, S. 28

⁶⁵ vgl. ebenda

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4. Verzeichnis der Variablen und Abkürzungen

(u j ;v j ): Koordinaten des Kunden j (x i /y i ): Koordinaten des Standortes i a i: Kapazität des Lagers i b j : Nachfrage des Kunden j c: Transportkosten cij: Transportkosten von Lager i zu Kunde j [ME/Periode] GE: Geldeinheiten J 1: Einzugsbereich des 1. Lagerstandortes J 2: Einzugsbereich des 2. Lagerstandortes Kges: Gesamtkosten als Summe aus TK 1 , TK 2 und LK LE: Längeneinheit LK: Lagerkosten m: Anzahl der Lager ME: Mengeneinheit n: Anzahl der Kunden TK1: Transportkosten des 1. Teilstücks (von Produktion zum Lager) TK2: wij:

Transportvariable [ME/LE] 26

5. Literaturverzeichnis

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DOMSCHKE, W./DREXL, A.: Logistik: Standorte, 3. Auflage, München, 1990

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Isermann, H.(Hrsg.): Logistik, 2. Auflage, Landsberg/Lech, 1998

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GÜNTHER, H.-O./TEMPELMEIER, H.: Produktion und Logistik, 3. Auflage, Berlin,

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27

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SCHILL, C.O.: Industrielle Standortplanung: Eine theoretische Konzeption und deren

praktische Anwendung, Frankfurt am Main, 1990

28

6. Anhang

29

Berechnung der Schwerpunktkoordinaten

1 BN

2 H

3 HH

4 HAL

5 B

Berechnung von x,y 11 für J1

Berechnung von x,y 12 für J2

Berechnung von x,y21 für J1

Berechnung von x,y22 für J2

Berechnung von x,y31 für J1

Berechnung von x,y32 für J2

Berechnung von x,y41 für J1

Berechnung von x,y42 Schwerpunktkoordinaten für J2

Berechnung von x,y51 für J1

Berechnung von x,y52 Schwerpunktkoordinaten für J2

Berechnung von x61 für J1

Berechnung von x62 Schwerpunktkoordinaten für J2

Berechnung von x71 für J1

Berechnung von x72 Schwerpunktkoordinaten für J2

38

Berechnung der Lagermenge und -kosten

39