Remerciements

Ce projet a été réalisé dans les locaux du CEA au Laboratoire d'Electronique, de Technologie et d'Instrumentation ( LETI ), dirigé par Monsieur Denis Randet dans le département DMITEC sous la direction de Monsieur Guy Labrunie, à qui j'exprime mes sincères remerciements pour m'avoir accueilli. Je remercie également Monsieur Gilles Delapierre pour m'avoir permis d'effectuer ce stage dans le service SCPI, dont il est responsable. Une partie importante du travail a été effectuée au LEG, le Laboratoire d'Electrotechnique de Grenoble.

Monsieur Jacques Deportes, professeur à l'ENSPG, a été le tuteur de ce projet depuis l'école. Mes remerciements vont vers lui.

Monsieur E.Dormann, professeur à l'université de Karlsruhe, a accepté d'être le corapporteur de ce sujet. Je le remercie beaucoup.

J'exprime ma profonde gratitude à Monsieur Engelhardt, professeur à l'université de Karlsruhe, et Monsieur Longequeue, directeur de l'ENSPG, pour la création de ce formidable programme d'échange qui a rendu possible ma venue en France.

Je tiens à remercier le personel du groupe Composants Magnétiques et Enregistrement, dont Monsieur Pierre Gaud est le responsable, pour m'avoir intégré dans l'équipe et pour avoir supporté mon petit accent.

J'adresse mes plus vifs remerciements aux personnes qui ont le plus contribué à la réalisation de ce travail, pour leur soutien et leurs encouragements:

_ Monsieur Jean-Baptiste Albertini, docteur-ingénieur au LETI et responsable du projet vidéo, pour son exceptionnel effort d'organisation de l'ensemble du projet et de m'avoir proposé ce sujet. _ Madame Florence Ossart, chargée de recherche au LEG, pour avoir encadré sérieusement ce travail. Ses compétences scientifiques et sa connaissance de Flux3D ont contribué de façon decisive à la réussite du projet. Je lui exprime ma sincère reconnaissance. _ Monsieur Marc Aïd, docteur-ingénieur au LETI et responsable Simulation, pour avoir été mon responsable CEA. Ses remarques encourageantes et son encadrement sérieux m'ont beaucoup aidé dans mon travail.

Je remercie également Patrice Labie du LEG pour ses informations sur Flux3D ainsi que Olivier Delamare du CEA pour ses conseils.

Enfin, que soit aussi remercié l'ensemble du personnel du laboratoire qui a fait en sorte que ce stage se déroule dans les meilleures conditions.

Sommaire

  REMERCIEMENTS.  1

1.  NOTIONS DU MAGNETISME  5

1.1  LES MATERIAUX MAGNETIQUES  5

1.1.1  Théorie atomique  5

1.1.2  Échelle microscopique  5

1.1.3  Étude macroscopique.  6

1.2  LE CYCLE D’HYSTERESIS D’UN MATERIAU  7

1.3  LE CHAMP DEMAGNETISANT  9

2.  L’ENREGISTREMENT MAGNETIQUE NUMERIQUE  10

2.1  FONCTIONNEMENT EN ECRITURE  10

2.2  FONCTIONNEMENT EN LECTURE  11

2.3  MODES D'ENREGISTREMENT  12

2.4  PERFORMANCES DU DISPOSITIF D'ENREGISTREMENT.  13

2.4.1  Le champ d'écriture  13

2.4.1.1  Modèle de Karlqvist  13

2.5  CARACTERISTIQUES DU MEDIUM D’ENREGISTREMENT.  14

3.  MODELISATION DE L’HYSTERESIS MAGNETIQUE  15

3.1  POSITION DU PROBLEME  15

3.2  LE BESOIN D’UNE MODELISATION DU PHENOMENE  15

3.3  LE MODELE DE PREISACH  16

3.3.1  Présentation du modèle.  16

3.3.2  Interprétation géométrique  17

3.3.3  Formulation alternative du modèle.  19

3.3.4  Accès expérimental à la fonction d’Everett.  21

3.3.5  Modélisation de la distribution de Preisach  21

4.  CARACTERISATION DE L’HYSTERESIS POUR L’ENREGISTREMENT MAGNETIQUE.  22

4.1  DESCRIPTION DU VSM SCALAIRE DU LETI  22

4.2  MESURES REALISEES  23

4.2.1  Préparation des échantillons  23

4.2.2  Bande SONY Master DV  24

4.2.3  Bande TDK DVM 60  25

4.2.4  Disque dur FUJI  27

4.2.5  Comparaison modèle/mesure pour la bande TDK.  28

5.  MODELISATION DE L'ENREGISTREMENT MAGNETIQUE  29

5.1  MISE EN EQUATION DU PROBLEME.  29

5.1.1  Approximation 2D.  29

5.1.2  Modélisation des matériaux  29

5.1.3  Formulation en potentiel scalaire.  30

5.2  GEOMETRIE DU PROBLEME  30

5.3  METHODE DE RESOLUTION  31

5.4  CALCUL DU SIGNAL DE LECTURE.  33

5.5  SIMULATION DE L'ENREGISTREMENT MAGNETIQUE SUR BANDE ME TDK  35

5.5.1  Champ d'écriture.  35

5.5.2  Simulation d'une écriture  36

5.6  CONCLUSION  41

6.  MODELISATION VECTORIELLE DE L'ENREGISTREMENT MAGNETIQUE.  42

6.1  NECESSITE D'UNE MODELISATION VECTORIELLE  42

6.2  LE MODELE VECTORIEL D'HYSTERESIS UTILISE.  42

6.2.1  La particule de Stoner-Wohlfarth 24  42

6  2 2 Le modèle mixte 3D  44

6.2.2.1  Distribution de Preisach.  44

6.2.2.2  Distribution spatiale des opérateurs.  45

6.2.2.3  Calcul de l'aimantation  46

6.2.2.4  Identification du modèle  46

6.3  SIMULATION VECTORIELLE DE L'ENREGISTREMENT MAGNETIQUE SUR BANDE SONY ME.  48

6.3.1  Paramètres du modèle  48

6.3.2  Simulation d'une écriture  48

6.3.3  Calcul du signal de lecture  50

6.4  COUT DU CALCUL  50

  CONCLUSION ET PERSPECTIVES.  52

  REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES  53

ANNEXE 1:  IDENTIFICATION DES PARAMETRES  54

ANNEXE 2:  EXEMPLE DE TETE D’ENREGISTREMENT DEVELOPPEE AU LETI.  59

ANNEXE 3:  L'IMPLEMENTATION DU MODELE VECTORIEL DANS FLUX3D.  60

ANNEXE 4:  PUBLICATION A PRESENTER A L'INTERMAG 98.  63

7.  DEUTSCHSPRACHIGE ZUSAMMENFASSUNG  67

Introduction

L'enregistrement magnétique est toujours une des technologies les plus performantes pour stocker de l'information. La croissance massive de l'utilisation d'ordinateurs en milieu professionnel et personnel avec des logiciels de plus en plus complexes, entraîne une demande croissante de stockage d'informations.

Mais dans d'autres domaines aussi, les techniques de stockage tendent vers le numérique afin de devenir compatible avec les systèmes informatiques. Dans quelques années, les systèmes d'enregistrement vidéo par exemple seront complètement digitalisés, comme le Compact Disk en enregistrement audio. Le stockage des images exige cependant des capacités de stockage très élevées. Ce passage vers des hautes densités de stockage s'effectue grâce à la miniaturisation continue des dispositifs d'enregistrement, dont la tête d'écriture/lecture représente une composante-clé.

Dans ce contexte, le LETI travaille depuis plusieurs années sur le développement de têtes destinées à l'enregistrement magnétique à haute densité. Grâce à son savoir-faire en Microtechnologies, le LETI vient de réaliser une nouvelle génération de têtes entièrement intégrées, en technologie couches minces, dotée d’excellentes performances.

Afin d'améliorer les caractéristiques de ces dispositifs, les outils de simulation numérique s'avèrent particulièrement puissants car ils permettent d'étudier au préalable l'impact de la géométrie et du choix des matériaux sur les résultats. L'état de l'art est depuis quelques années l'utilisation de la méthode des éléments finis. Elle permet la résolution de systèmes d'équations à dérivées partielles, pour une géométrie quelconque. Néanmoins, le comportement des matériaux doit être simulé par des modèles convenables.

L'objectif de notre travail était d'élaborer une nouvelle simulation de l'enregistrement magnétique utilisant un modèle classique et très général. Les étapes principales de ce travail ont été: _ L'étude des différents modèles existants _ Choix d'un modèle ( Preisach ),

_ L'implémentation informatique du modèle, création des outils utilisateurs, _ L'identification du modèle pour différents matériaux, comparaison modèle/mesure, _ L'implantation du modèle dans un logiciel éléments finis,

_ Réalisation de différentes simulations du processus d’enregistrement avec le nouvel outil.

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1. Notions du magnétisme

1.1 Les matériaux magnétiques

1.1.1 Théorie atomique

L’atome représente le système le plus fondamental qui intervient dans l’étude du magnétisme. Il est constitué d'un noyau portant un certain nombre de charges élémentaires positives, entouré par un nuage du même nombre d’électrons plongé dans le potentiel engendré par le noyau. Le mouvement des électrons est régi par les lois de la mécanique quantique [3]. Les électrons dans ce système quantique ont deux mouvements : le mouvement orbital, qui se traduit par le moment cinétique de l’électron et le spin , notion purement quantique souvent figurée par une rotation de l’électron sur lui-même. Spin et moment cinétique d’une particule chargée lui attribuent un moment magnétique qui est donné par l’expression: r r

⋅ = L g m 1-1

ou g est appelé facteur gyromagnétique du spin et du mouvement orbital. On peut montrer que le facteur gyromagnétique du spin est le double de celui du mouvement orbital.

Ainsi, chaque atome porte un certain moment magnétique qui dépend de sa configuration électronique. Notamment, des atomes avec des couches complètes ont un moment magnétique nul, car la somme de tous les moments cinétiques s’annule. Cependant, certains atomes sont caractérisés par des couches électroniques incomplètes contenant des électrons non-appariés. Il en résulte un moment magnétique permanent non nul. C’est par exemple le cas pour les éléments de transition comme le fer.

1.1.2 Échelle microscopique

A ce niveau un matériau magnétique apparaît comme un ensemble de moments magnétiques élémentaires ( les atomes ) interagissant entre eux et organisés en un réseau cristallin. Selon le comportement de cet ensemble, on distingue différents types de magnétisme:

Ferromagnétisme: Les moments élémentaires ont tendance à s’aligner parallèlement entre eux et ils le restent même en l'absence du champ appliqué. Un tel corps est caractérisé par une forte susceptibilité et une grande aimantation rémanente. Ce phénomène est dû à une grande énergie d’échange entre des moments voisins de sorte que l’état de moindre énergie soit l’alignement parallèle des dipôles.

Antiferromagnétisme: Dans un corps anti-ferromagnétique l’énergie d’échange est forte mais négative de telle sorte que l’état de plus basse énergie est l’alignement antiparallèle. Il en résulte un regroupement des moments en deux sous-réseaux ayant des moments opposés. Ceci veut dire que le matériau ne montre aucune aimantation spontanée et son moment magnétique reste très faible ou nul.

Ferrimagnétisme: Un tel corps peut être vu comme un anti-ferromagnétique dont les sous-réseaux portent des moments inégaux. Il en résulte un moment magnétique non nul. Ces matériaux montrent un champ de saturation relativement faible et une susceptibilité élevée.

A l’origine des différentes formes de magnétisme se trouve le comportement collectif des moments magnétiques élémentaires dû à l’interaction d’échange [1]. Plus précisément, lorsque deux atomes sont rapprochés de sorte que leurs fonctions d’ondes se recouvrent, un terme supplémentaire apparaît dans l’expression de l’énergie totale du système en plus de l’interaction de Coulomb. Cette énergie est appelée énergie d’échange et peut être écrite sous la forme: ⋅ − = 2 s J w 1-2

j i k

¹ Ou J k représente l’intégrale d’échange entre les deux systèmes . Notons que cette intégrale peut avoir

des valeurs aussi bien positives que négatives. Si J k est négatif, l’énergie d’échange minimale est obtenue avec des moments antiparallèles alors que si J k est positif l’alignement parallèle est favorisé. Tel est le cas pour les éléments ferromagnétiques Fe, Co, Ni et Gd, on peut donc ramener leur aimantation spontanée à une intégrale d’échange positive.

A cette échelle intervient également l’énergie d’anisotropie magnéto-cristalline qui traduit le fait que les moments magnétiques suivent des directions préférentielles dans le réseau cristallin du matériau, appelées axes d’anisotropie ou axes faciles. Lorsqu’un cristal ne possède qu’un axe d’anisotropie on parle d’anisotropie uniaxiale. Par exemple, dans le cas du fer les axes faciles sont ceux du réseau cubique. D’autres directions, appelés axes difficiles, sont difficilement accessibles par les moments magnétiques.

Le comportement d’un matériau magnétique est aussi une fonction de sa température: lorsqu’on augmente la température l’énergie d’échange des atomes sera rattrapée par l’énergie thermique qui suit la statistique de Maxwell-Boltzmann. Au-dessus de la température de Curie cette énergie devient prépondérante ce qui fait que les moments magnétiques se retrouvent dans une répartition aléatoire et l’aimantation du corps est nulle. Cependant, les moments vont s’aligner avec un champ extérieur appliqué, la susceptibilité d’un tel corps est donnée par la loi de Curie: const χ = 1-3

− T

c

L’aimantation d’un corps est par définition le moment magnétique par unité de volume. Cette grandeur ³ dans le système CGS et en vectorielle est donnée en A/m dans le système d’unités international , en emu/cm Gauss (G) pour la polarisation 4πM.

1.1.3 Étude macroscopique

Un échantillon uniformément aimanté crée un champ démagnétisant opposé à l’aimantation et qui dépend de la forme du corps. On peut donc introduire une énergie démagnétisante qui est interprétée comme une anisotropie de forme.

On peut se demander, pourquoi un corps ferromagnétique ne s’aimante pas spontanément jusqu’à la saturation puisque, comme on a vu au paragraphe précédent, les moments dans un tel corps ont tendance à s’aligner parallèlement. Nous rencontrons ici la théorie de Weiss qui a proposé une solution pour ce problème: il ^{17 21} atomes, qui sont aimantés à la saturation. Ces a postulé l’existence de domaines, chacun regroupant 10 -10

domaines sont orientés aléatoirement afin de respecter la condition d’aimantation nulle en absence de champ extérieur. Deux domaines adjacents sont séparés par une région de transition, appelée paroi magnétique, dans laquelle les moments changent de direction. La subdivision en domaines résulte d’un compromis des différents termes d'énergie mis en jeu:

_ l’énergie d’anisotropie qui cherche à aligner les moments élémentaires avec un des axes faciles du cristal _ l’énergie d’échange qui empêche tout basculement brutal de l’aimantation, _ l’énergie démagnétisante qui tend à rendre l’aimantation tangente à ses bords.

Prenons comme exemple un monocristal de fer en forme de parallélépipède rectangle, taillé parallèlement aux axes du cristal. L’énergie d’échange et l’énergie d’anisotropie cherchent à aligner les moments magnétiques avec l’axe Oz. L’énergie démagnétisante qui en résulte est minimale lorsque les domaines sont désorientés afin de compenser les champs démagnétisants dans les domaines. Le cristal atteint une structure stable par la création de domaines parallèles à l’axe facile et de domaines de fermeture perpendiculaires à cet axe, pour que le flux reste dans le corps.

¹ En fait, l'intégrale d'échange n'est rien d'autre que l'élément de matrice du potentiel d'échange dans l'espace d'états commun des deux atomes [3].

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une aimantation totale non nulle en direction du champ appliqué.

Dans un matériau polycristallin, chaque grain est structuré en domaines et possède une direction privilégiée suivant laquelle l’aimantation s’oriente spontanément. Sous champ très faible, la structuration en domaines d’un tel matériau évolue peu et l’aimantation varie de façon réversible. Sous un champ plus élevé les parois commencent à se déplacer, induisant des variations irréversibles.

Les matériaux utilisés comme support d’information sont principalement composés de fines particules ferromagnétiques isolées, de forme allongée, favorisant ainsi une certaine direction de l’aimantation. Leur longueur peut varier d’une dizaine à quelques centaines de nanomètres pour les média d’enregistrement. Ils sont donc supposés être monodomaines. La forte anisotropie de forme qui les caractérise force l’aimantation à être alignée avec l’axe facile de chacune d’elles. L’aimantation d’une particule possède donc deux états très stables et passe de l’un à l’autre sous un champ fort appliqué, par un basculement irréversible. Il en résulte un fort hystérésis. De tels matériaux sont dits durs et possèdent une forte aimantation après retrait du champ.

1.2 Le cycle d’hystérésis d’un matériau

A une échelle macroscopique, l’aimantation apparaît comme une grandeur moyenne qui varie en module et direction sous un champ appliqué. Les mécanismes exposés précédemment sont à l’origine de l’hystérésis du matériau: l’aimantation d’un corps ferromagnétique en fonction du champ appliqué décrit une courbe multiplement branchée, limitée par le cycle majeur. Ce cycle est obtenu en faisant varier le champ magnétique d’une valeur suffisamment élevée pour que le matériau soit saturé jusqu’à la saturation opposée du matériau. Tout point ( H,M ) à l’intérieur du cycle majeur est un état possible du matériau. Le comportement d’un matériau dépend ainsi non seulement de la valeur courante de H mais aussi de l’histoire du matériau, c’est à dire de toutes ² . L’aire du cycle majeur correspond à l’énergie qui est dissipée dans les valeurs de H qu’il a vu depuis sa création

le corps pendant chaque cycle. Un matériau magnétique se présente alors comme un système non-linéaire et hystérétique, avec la grandeur H comme champ d’entrée et M ( ou B ) comme champ de sortie. Le cycle majeur suivant l’axe facile est caractérisé par un certain nombre de grandeurs caractéristiques:

² Plus précisemment: depuis le dernier état parfaitement defini, par exemple désaimanté, positivement ou negativement saturé.

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particules individuelles.

Figure 1-4: Cycle majeur selon l'axe difficile

L’hystérésis apparaît donc comme un phénomène

très complexe, lié à des mécanismes irréversibles, dont l’étude semble très délicate.

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1.3 Le champ démagnétisant

Considérons un corps ferromagnétique ayant une forme donnée qui est plongé dans un champ magnétique uniforme H. Selon les phénomènes précédemment décrits, celui-ci va prendre une aimantation M en fonction de ce champ. L’induction magnétique dans le matériau a donc la valeur B= µ 0 ( H + M(H)) alors que le

champ extérieur demeure d’abord inchangé. Puisque divB=0, l'aimantation est source d'un autre champ magnétique qui se superpose au champ extérieur appliqué. Il modifie à sont tour l'aimantation M(H) du matériau. Il va s'établir un équilibre entre les grandeurs B, H et M qui est régi par les équations suivantes et les conditions aux limites: r

( )

Le résultat est un champ H int dans le matériau qui est diminué par rapport au champ appliqué. Afin de modéliser cette modification, on introduit la notion du champ démagnétisant H d comme étant la différence entre le champ H en absence du corps magnétique et le champ H int présent à l’intérieur du matériau. Il s’avère que ce champ démagnétisant est proportionnel à l’aimantation ce qui permet d’écrire: ⋅ et H int = H - H d

1-8 avec N d étant le facteur démagnétisant du corps qui dépend uniquement de sa géométrie et qui peut avoir des = ³ Pour une sphère par exemple on trouve ¹ valeurs entre 0 et 1. . N

d 3

Pour des géométries plus compliquées, comme c'est le cas en enregistrement magnétique, un calcul analytique pour H d n’est plus possible. C’est là qu'apparaît le besoin de simulations numériques très précises.

³ En général, ils existent trois facteurs démagnétisants différents qui correspondent aux axes Ox, Oy et Oz du corps. La somme de ces trois facteurs est égale à 1.

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2. L’enregistrement magnétique numérique

[2] Comme nous l'avons vu lors de l’étude de l’hystérésis des milieux d'enregistrement magnétique, l’aimantation du matériau possède deux états particulièrement stables: il faut une certaine valeur du champ magnétique, H c , pour passer d’un état saturé à l’autre ou de +M r à -M r après retrait du champ. Un tel matériau peut donc servir comme support d’information: les deux états peuvent représenter des bits à 1 ou 0. C’est l’idée fondamentale de l’enregistrement magnétique.

La Figure 2-1 montre les principaux éléments d’un dispositif d’enregistrement magnétique: la tête qui est en principe un circuit magnétique avec une perméabilité très élevée, coupé d’un entrefer très fin, appelé gap , muni d’un bobinage. En-dessous de la tête défile le milieu d’enregistrement, le media, étant à une certaine distance du gap, la hauteur de vol h v .

Ce dispositif peut servir à la fois à l’écriture et à la lecture de l’information.

La différence entre enregistrement numérique et analogique réside dans la façon dont est aimanté le médium: En analogique, on travaille en régime linéaire, c'est-à-dire l'aimantation rémanente après retrait du champ lui est proportionnelle. Par contre en numérique, on travaille avec des champ suffisamment forts pour basculer uniquement entre les deux états de saturation du matériau.

2.1 Fonctionnement en écriture

Le bobinage de la tête est alimenté par un courant afin de créer un flux magnétique qui circule dans le circuit magnétique. Au niveau de l’entrefer, ce flux ne demeure pas entièrement dans ce circuit, il se produit le phénomène du flux de fuite: les lignes de champ sortent latéralement de l’entrefer et forment ainsi le champ d’écriture. Le médium d’enregistrement sera aimanté en fonction de la valeur et de la direction du champ d'écriture. Puisque le médium défile dans ce champ à vitesse constante, un bit d’information sera écrit jusqu’à ce qu’on change la direction du courant et par conséquent la direction du champ d’écriture. Le résultat est une suite de domaines dans le médium , ayant une aimantation dans l’un ou l’autre sens, séparés par des transitions où l’aimantation change de direction. L’information est contenue dans les bits ou dans les transitions. Par ailleurs, la tête va écrire sur une certaine largeur de piste qui est définie par la largeur du circuit magnétique.

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Figure 2-2: Influence du champ démagnétisant sur les transitions

2.2 Fonctionnement en lecture

Le fonctionnement du dispositif en lecture est l’inverse: le médium qui a été écrit précédemment défile sous la tête et le bobinage n’est pas alimenté. Le circuit magnétique capte une partie du flux de fuite issu des bits d’information qui se trouvent près de l’entrefer. Lorsque la tête voit passer une transition, ce flux varie très vite et induit ainsi une tension dans le bobinage qui vaut:

Φ

dt

L’allure de ce signal est représenté sur la Figure 2-3, c'est une suite d’impulsions soit négatives soit positives qui correspondent au passage des transitions. Elles sont caractérisées par leur largeur à mi-hauteur appelée PW 50 qui est souvent exprimée en microns. Ceci est possible car échelle temporelle est liée par la vitesse de défilement à une échelle de longeur. PW 50 dépend avant tout de la largeur du gap g et de la transition.

Le signal de lecture peut être calculé par le théorème de réciprocité.

Soit Φ ab le flux traversant le circuit b quand le circuit a est alimenté par un courant I a et Φ ba le flux qui traverse le

circuit a lorsqu’on alimente b avec un courant I b . Le théorème de réciprocité permet d’écrire: Φ

= bab 2-10

I

b a

C’est-à-dire que l’inductance du circuit b par rapport à a est la même que celle de a par rapport de b. Pour calculer le courant de lecture, nous identifions le circuit a avec la bobine de la tête et le circuit b avec un circuit imaginaire qui a le même moment magnétique qu’un élément du médium. Soit dV ce volume élémentaire du médium. Il comporte une aimantation M x donc un moment magnétique M x dV. Nous le remplaçons par une boucle de courant ayant la surface S portant le courant dI b . Ainsi, on peut écrire: ⋅ = ⇔ ⋅ = ⋅ 2-11 dx M dI dI S dV M

x b x

Le flux Φ ab envoyé de la tête à travers cet élément de média vaut:

11

Nous pouvons donc calculer le flux dΦ ba engendré par un élément du médium de longueur dx si le médium se trouve à la position x 0 :

µ ⋅

Pour obtenir le flux traversant la bobine pour une position donnée de la bande, il faut intégrer le long du médium: µ ^+∞ ⋅

^{∞ −} Afin d’obtenir la tension induite, il faut dériver cette expression par rapport du temps. Temps et position de la d d ⋅ ≅ . D’où le résultat final: v bande sont couplés par la vitesse: x=vt on peut donc déduire:

dt dx µ ^+∞ ⋅

En partant de ce résultat, il est facile à comprendre pourquoi la transition doit être la plus étroite possible: Plus elle est raide, plus sa dérivée s’approche d'un dirac. L’expression 2-15 fournit donc un signal de lecture qui correspond exactement au courant d’écriture. Il permet également de comprendre le rôle prépondérant de certains paramètres pour les performances du dispositif. Ce sont la longueur de l'entrefer, la hauteur et la largeur du pic ⁴ . du champ d'écriture ainsi que le gradient de l'aimantation et la largeur des transitions inscrites

Pour que le calcul précédent soit valable, il faut que des certaines conditions soient vérifiées:

§ comportement linéaire de la tête en écriture

§ effets dynamiques négligeables

2.3 Modes d'enregistrement

Nous avons abordé jusqu'à maintenant l'enregistrement magnétique en mode longitudinal, c'est-à-dire que l'axe facile du médium suit la direction de défilement. On peut, aussi bien imaginer un enregistrement transversal avec des bits qui sont inscrits perpendiculairement à la surface du médium. Ceci est devenu possible depuis que l'on sait fabriquer des média ayant un axe facile vertical. L'aimantation répond alors essentiellement à la composante verticale du champ d'écriture.

Ce mode d'enregistrement offre l'avantage que les champs démagnétisants stabilisent les transitions entre les bits au lieu de les effacer. Il a donc été un espoir pour le passage aux hautes densités d'enregistrement. Cependant de nombreux problèmes pratiques ( réalisation des têtes )retardent le développement de ce type d’enregistrement.

⁴ Le calcul précedant peut aussi se faire en trois dimensions. M x est à considérer comme fonction de (x, y, z ) et il faut remplacer le volume élémentaire dV=dS dx par dV=dx dy dz.

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2.4 Performances du dispositif d'enregistrement

Les têtes d'enregistrement sont caractérisées par un certain nombre de paramètres qui donnent une idée de leurs performances d’écriture et de lecture. Ils dépendent essentiellement de la géométrie de la tête et des matériaux utilisés.

L'efficacité en écriture de la tête est définie comme le rapport entre la force magnétomotrice dans l'entrefer et la force magnétomotrice injectée dans le circuit . Soient H c et H g les champs dans le circuit et dans le gap, g et l les longeurs du gap et du circuit. La force magnétomotrice étant définie par: r r

La force magnétomotrice injectée vaut alors: r r

ò ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ 2-17 I N g H l H l d H

g c

La force magnétomotrice dans l'entrefer est donnée par: H g ⋅

L’efficacité vaut alors:

Si nous notons A c et A g les sections du circuit magnétique dans le noyau et au niveau de l'entrefer, la conservation du flux s'écrit:

On peut donc éliminer les valeurs des champs H g et H c dans la formule 2-19 et on obtient une expression pour l'efficacité qui ne dépend que de la géométrie de la tête: g

Pour rendre la tête plus efficace il y a donc les possibilités suivantes: _ fabriquer le circuit magnétique avec un matériau ayant une perméabilité élevée, _ augmenter la section du circuit, réduire sa longueur _ diminuer la section du circuit au niveau du gap.

Le champ dans l'entrefer se calcule à partir de l'efficacité et vaut: NI η ⋅ = H g 2-22

g

Le champ maximal qui peut être atteint dans l'entrefer lorsque le matériau qui forme le circuit est saturé, vaut:

µ ≈ M H 2-23

sat max 0

2.4.1 Le champ d'écriture

L’efficacité de la tête indique en fait la valeur de la force magnétomotrice disponible dans l’entrefer. Par contre, la forme du champ de fuite en-dessous de la tête est déterminée par des propriétés purement locales.

2.4.1.1 Modèle de Karlqvist [13] La perméabilité intrinsèque du circuit étant très élevée par rapport à l’air et le gap très petit, on peut faire l’approximation suivante: la perméabilité du circuit étant infinie, chaque pôle de part et d’autre de l’entrefer porte un certain potentiel scalaire constant le long du pôle. Ceci est possible, parce qu'aucune source de courant n’intervient au niveau du gap et on peut écrire: r

Le problème revient ainsi à résoudre l’équation de Laplace, avec des conditions de Dirichlet à la surface des ⁵ pôles.

Pour la géométrie la plus simple ce calcul a été fait par Karlqvist. Il fournit une expression analytique pour le champ H x (x,y) et H y (x,y) qui donne une bonne approximation du champ d’écriture. Toutefois, la pratique exige aujourd’hui des calculs beaucoup plus exacts qui tiennent compte de la géométrie complexe de la tête ainsi que de la variété des matériaux qui peuvent être utilisés. La méthode des éléments finis s’impose alors comme méthode plus robuste et plus générale, fournissant des résultats très exacts pour une géométrie quelconque. La Figure 5-8 montre le champ d’écriture d’une des têtes réalisées au LETI, simulé à l’aide de Flux3D.

2.5 Caractéristiques du médium d’enregistrement

Pour le bon fonctionnement d’un dispositif d’enregistrement, certaines propriétés sont requises par le médium. Les objectifs visés sont toujours une petite largeur de transition et les champs démagnétisants faibles.

_ L’aimantation doit être modérée puisque d’une part le signal de lecture, souhaité le plus élevé possible lui est

proportionnel, mais d’autre part, elle est source du champ démagnétisant. Par contre la rectangularité du cycle = r majeur S( ) doit être le plus proche de l’unité.

M

s

_ Le champ coercitif, probablement la propriété la plus importante, résulte d’un compromis: d’abord il doit être

assez élevé pour éviter l’effacement de l’information par des champs parasites, mais il doit aussi permettre à la tête d’écrire avec un champ supérieur à H c . Le champ d’écriture doit être même plus élevé pour assurer la fermeture du cycle majeur.

_ Les particules magnétiques doivent être bien orientées afin de bien définir l’axe facile de médium. _ Le cycle d’hystérésis doit présenter une forte pente au champ coercitif pour assurer la stabilité des transitions

écrites et avoir un champ de fermeture le plus proche possible de H c ( ce qui est en fait lié à la rectangularité du cycle ).

A titre indicatif, on peut retenir quelques valeurs typiques que nous avons mesurées avec des bandes de métal évaporé: le champ coercitif vaut environ 1000 Oe, l’aimantation rémanente est de l’ordre de 320 kA/m et le matériau sature à un champ de 4000 Oe environ.

⁵ Ici, il se révèle l’équivalence entre magnéto- et électrostatique dans le cas où il n’y a pas de source de courant. Le problème est en fait le même que celui avec deux pôles parfaitements conducteurs auquels on impose une différence de potentiel V.

14

3. Modélisation de l’hystérésis magnétique

3.1 Position du problème

Comme nous l'avons vu au chapitre précédent, l’hystérésis est un phénomène lié à des processus irréversibles et sa modélisation apparaît donc très délicate. Le fond du problème est que le comportement du matériau ne dépend pas seulement de ses propriétés intrinsèques et des conditions de départ, mais aussi de son « histoire », c’est-àdire de toutes les valeurs du champ H vues depuis sa création. Ceci est dû à la structuration du matériau en domaines dont il existe un grand nombre de combinaisons possibles pour une valeur d’aimantation donnée.

( Micromagnétisme ).

3.2 Le besoin d’une modélisation du phénomène

Comme nous venons de le voir, l’approche physique du problème est rapidement limitée par sa complexité. Avec le nombre de calculs que nous rencontrerions en simulation numérique, une telle solution demanderait des moyens informatiques irréalistes. En plus, un tel calcul apporterait beaucoup d’informations inutiles sur l’état des particules élémentaires alors qu’on ne s’intéresse qu’à l’effet moyen des microstructures.

Pour cette raison, de nombreux modèles phénoménologiques ont été proposés afin de reproduire le phénomène sans tenir compte de son origine. Ce sont souvent des modèles dits analytiques qui expriment par exemple le cycle majeur du matériau par une expression analytique convenable. Les plus sophistiqués parmi eux expriment aussi les cycles mineurs en fonction du dernier point de rebroussement. Une telle approche ne peut pas être satisfaisante pour le physicien, car elle ne tient nullement compte de la nature du phénomène.

Nous voulons donc centrer nos considérations sur un autre modèle, proposé par le physicien allemand Preisach pendant les années 30. Ce modèle est séduisant par l’élégance de son formalisme et sa précision. En plus, il peut être implémenté de façon suffisamment rapide pour qu’il puisse aboutir à des simulations numériques.

15

3.3 Le modèle de Preisach

[9] [10] Un des modèles les plus utilisés pour représenter l’hystérésis d’un matériau magnétique, mais aussi de n’importe quel autre système hystérétique, est basé sur les travaux de F.Preisach qui ont été publiés en 1935. Son travail a été repris par d’autres chercheurs, notamment de Mayergoyz [8].

3.3.1 Présentation du modèle

^. db particules élémentaires. trouvons donc p(a,b) da

L’aimantation du matériau s’écrit ensuite simplement comme somme sur toutes les particules élémentaires dont l’état est défini par le champ H appliqué:

) ( ) γ Ici

3.3.2 Interprétation géométrique

Nous avons vu que le matériau est caractérisé par la densité de Preisach p(a,b). Ainsi, à chaque hystéron γ ab du

modèle est associé un point du plan (a,b) est une valeur de p(a,b). Des propriétés très générales du cycle d’hystérésis nous pouvons déjà déduire les propriétés suivantes de la densité de Preisach:

_ Elle est définie dans le demi-plan a≥b,

_ Le matériau étant saturé pour les valeurs ±H sat du champ magnétique, il ne peut pas y avoir d’hystérons γ ab avec a>H sat et b<-H sat , p(a,b) est donc

limitée

{

= a S (

_ Le cycle majeur étant symétrique, il doit y avoir symétrie de p(a,b) par rapport à la droite a= -b [10]

S représente un triangle dans le plan (a,b) appelé plan de Preisach ( voir Figure 3-4).

S est subdivisé en deux domaines S + et S - , comportant tous les opérateurs

Figure 3-4: le plan de Preisach

dans les états +1 et -1 respectivement, pour un état donné du matériau. Avec ceci, l’équation 3-25 définissant le modèle de Preisach peut s’écrire sous la forme alternative: òòò ⋅ − ⋅ = dadb a p dadb a p t M ) , ( ) , ( : ) ( 3-26 t S t S ^{) ( ) (} − +

Il devient clair que la valeur de M(t) dépend uniquement de la subdivision de S en les deux domaines S + et S - , donc de l’allure de la frontière de Preisach L(t) entre ces deux domaines. Effectivement, c’est cette frontière qui contient l’histoire du matériau. Par la suite, nous allons analyser comment cette frontière évolue en fonction des valeurs de champ H appliqué.

17

≥

Remarquons que l’application de tout champ H inférieur à -H s restera sans effet

puisque S - remplit déjà tout le plan de Preisach. Ceci représente bien la saturation

du matériau.

Appliquons ensuite un champ H 1 >-H s . L'opération suivante donne la

nouvelle frontière de Preisach: pour chaque point du plan de Preisach, donc pour

chaque hystéron γ ab , si a 1 , alors cet opérateur doit par définition basculer à +1

et il devient partie du domaine S + . Donc, tous les opérateurs tels que a ¹ appartiennent à S + et les autres demeurent inchangés. Autrement dit, S + et S - sont séparés par la droite a=H 1 .

Appliquons ensuite un champ H 2 < H 1 . De la même façon qu'au paragraphe précédant, tous les opérateurs tels que b>H 2 doivent basculer à l’état

-1, laissant les autres inchangés. Le résultat est qu’un segment vertical va

apparaître dans la frontière de Preisach qui correspond à la droite b=H 2 . En généralisant ces résultats on peut dire que la frontière de Preisach

évolue comme suit:

_ En champ H(t) ascendant, la droite horizontale a=H(t) balaie le plan de Preisach et fait basculer tous les opérateurs γ ab à +1 dont a

Figure 3-5: Evolution de la _ En champ H(t) descendant, la droite verticale b=H(t) balaie le plan de

frontière de Preisach

Preisach et fait basculer tous les opérateurs γ ab à -1 dont b>H(t).

Suivant ces règles la frontière de Preisach a toujours une forme en escalier dont les segments horizontaux correspondent aux points de rebroussement positifs, c’est-à-dire les valeurs de H maximum et les segments verticaux représentent des points de rebroussement négatifs, soient les points de H minimum. Les sommets de cette frontière contiennent l’histoire du matériau. Le premier dans cette série de sommets est toujours le point ( a=+H s , b=-H s ) restant fixe, alors que le dernier se trouve toujours sur la droite a=b avec a=b=H(t).

⁶ Cette relation peut servir comme condition de normalisation de la densité de Preisach.

18

Deux propriétés peuvent se déduire immédiatement de l’étude:

_ La propriété de l’effacement partiel: l’application d’un champ H élimine tous les états antérieurs ( a i , b i ) tels que a i ≤ H ou b i ≥ H. En particulier, un champ H supérieur à H s ou inférieur à -H s effacera toute l’histoire

du matériau.

_ La propriété de congruence des cycles mineurs: un champ H oscillant entre deux valeurs H 1 et H 2 va ⁷ . En d’autres termes, la variation de toujours produire des cycles mineurs congruents au sens géométrique

l’aimantation en fonction du champ ne dépend que du dernier point de rebroussement, contrairement à la ⁸ valeur absolue qui dépend de toute l’histoire du matériau.

Ces deux dernières propriétés constituent des conditions nécessaires et suffisantes pour qu’un système hystérétique puisse être représenté par le modèle de Preisach.

3.3.3 Formulation alternative du modèle

Nous présentons ensuite une autre formulation du modèle de Preisach qui est moins intuitive car elle s’éloigne du concept des opérateurs élémentaires, mais qui offre l’avantage de contourner les intégrations dans la formule 3-25 et qui amène donc à des temps de calcul nettement plus courts.

cette décomposition.

⁷ Ceci veut dire que les figures sont identiques, à une translation près.

⁸ Nous verrons plus loin que cette propriété est due à l’interprétation géométrique du modèle et donnera lieu à une autre formulation uniquement basée sur des variations de l’aimantation.

19

Ainsi, la fonction d’Everett gagne une autre signification physique outre sa définition purement mathématique. Soit H i un point de rebroussement quelconque. Si l’on applique une valeur du champ H sans qu’il y ait effacement d’un autre point de rebroussement, la variation de l’aimantation est donnée par: ⋅ ± = ∆ H E H M ) , ( 2 ) , ( 3-29

i

L’aimantation totale est donc la somme de toutes les variations de l’aimantation ∆M entre les différents points de

rebroussement:

å ⋅ − ⋅ + − = i H E M t M ) , ( ) 1 ( 2 ) ( 3-30 − i s 1

i

Il en découle immédiatement la propriété de la congruence des cycles mineurs: deux cycles mineurs engendrés par les mêmes points de rebroussement doivent forcement comporter la même variation de l’aimantation M ce qui entraîne qu’ils sont congruents.

Dans cette formulation, la valeur de l’aimantation peut alors se calculer comme somme sur les points de rebroussement et plus comme intégrale sur le plan de Preisach ce qui réduit considérablement le coût de calcul.

Le passage de la fonction d’Everett à la distribution de Preisach se fait par double dérivation de la formule 3-28: ∂ ² b a E ) , ( − = b a p ) , ( 3-31

∂ b a

A partir de la symétrie de la densité de Preisach, on peut en déduire également une relation de symétrie de la fonction d’Everett: − = ) , ( ) , ( a b E b a E 3-32

Cette relation n’est pas seulement de valeur purement mathématique. Elle permet en pratique d’accélérer la mesure de la fonction d’Everett en divisant le nombre de points nécessaires par deux.

20

3.3.4 Accès expérimental à la fonction d’Everett

La fonction d’Everett est liée à la variation de l’aimantation entre deux points. Elle est par conséquent directement accessible par la mesure. Supposons qu’on veuille mesurer par exemple E(a=H, b=H..-H s ). Pour faire ceci, il suffit d’amener le matériau au point de rebroussement H et après de redescendre avec le champ H jusqu’à la valeur H s tout en mesurant la valeur de l’aimantation M(H) sur ce chemin. D’après la formule 3-29 la fonction d’Everett sur ce chemin et donnée par la relation:

( ) − ⋅ − = ¹ ) ( ) ( ) , ( b M H M b H E 3-33

2

Les courbes ainsi mesurées s’appellent courbes de renversement de premier ordre ce qui indique que l’histoire des états magnétiques sur ces courbes ne comprend qu’un seul point de rebroussement. L’acquisition de la fonction d’Everett consiste à mesurer un grand nombre de ces courbes afin de mailler suffisamment le plan (a,b). Les données ainsi obtenues sont ensuite interpolées ce qui permet d’accéder à la fonction d’Everett en n’importe quel point du plan (a,b).

3.3.5 Modélisation de la distribution de Preisach

Figure 3-9: Nouvelles coordonnées du plan de Preisach ce qui permet de factoriser la densité de Preisach sous la forme suivante:

où f 1 et f 2 sont des distributions supposées gaussiennes [11], dont les paramètres sont à déterminer pour chaque matériau.

Nous proposerons en annexe une méthode originale qui permet d’accéder de façon simple au jeu de paramètres de la distribution en effectuant un certain nombre de mesures bien choisies.

21

4. Caractérisation de l’hystérésis pour l’enregistrement magnétique

Les matériaux dont nous souhaitons modéliser le comportement hystérétique sont des média d’enregistrement, notamment la nouvelle génération de bandes à métal évaporé et des disques durs. Comme nous venons de le voir, cette modélisation est basée sur des données expérimentales qui sont définies en fonction du modèle utilisé. Dans le cas du modèle de Preisach, ce sont le cycle majeur et les courbes de renversement de premier ordre. Il est donc incontournable d’effectuer ces mesures avec la plus grande précision possible car elles représentent pour ainsi dire le noyau de toute la simulation.

Il existe différents types d’appareils capables de fournir les mesures dont nous avons besoin. Du point de vue pratique, les magnétomètres à échantillon vibrant ( angl. Vibrating Sample Magnetometer, VSM ) s’imposent par leurs performances et le fait qu’ils sont programmables. Leurs caractéristiques principales sont: _ Sensibilité élevée allant jusqu’à 10 ^-9 Am ² ( 10 ^-6 emu ), _ Mesures quasi-statiques, _ Mesures sous des champs forts supérieur à 10kOe, _ Acquisitions assez rapides

Le LETI dispose d’un VSM scalaire qui vérifie ces caractéristiques et dont nous voulons d’abord étudier le fonctionnement.

4.1 Description du VSM scalaire du LETI

Figure 4-1: Schéma de principe du VSM scalaire

L’appareillage est piloté par un ordinateur par le biais d’une interface GPIB ce qui permet d’appliquer des champs magnétiques programmés, et ainsi de récolter les données fournies par le VSM et de les stocker dans un fichier.

22

4.2 Mesures réalisées

On cherche à modéliser les media utilisés en enregistrement magnétique ou qui sont susceptibles de l’être. Le modèle choisi étant le modèle de Preisach scalaire, un très grand nombre de mesures doit être réalisé pour chaque médium en question afin d'obtenir sa fonction d’Everett ou, par la suite, sa densité de Preisach. Ce point s’est révélé délicat. Effectivement, la gestion correcte des données fournies par le VSM et leur exploitation par le modèle de Preisach n’était supporté jusqu’à maintenant par aucun logiciel connu. Dans la première partie du travail en été 1996, une bibliothèque de routines a été programmée, fournissant toutes les fonctions nécessaires pour le modèle de Preisach. Pour la gestion des données, une nouvelle structure de fichier a été créée qui contient toutes les informations sur le matériau y compris la fonction d’Everett. La portabilité est assurée par la programmation en ANSI-C, toutes les routines ont déjà été transférées du LETI au LEG sans aucun problème de compatibilité. Une partie des fonctions a été traduite en Fortran afin de les implémenter dans le logiciel de calcul d’éléments finis Flux3d.

Par la suite du stage en 1997, une banque de matériaux avait été créée, basée sur le type de fichier décrit précédemment. Ces travaux sont toujours en cours, toutefois nous disposons maintenant d’une base de données solide qui permet d’effectuer des simulations sur un type de bande récemment apparu sur le marché. Il s’agit des média en couche très mince (« thin films »), obtenus par des techniques d’évaporation ou de pulvérisation de particules extrêmement fines. Il sont utilisés essentiellement pour les bandes de métal évaporé et pour les nouveaux disques durs. L’épaisseur de ces couches magnétiques est de l’ordre de 100nm.

4.2.1 Préparation des échantillons

La couche magnétique des bandes ME étant très mince, un seul morceau de bande fournirait un moment magnétique à peine détectable par le VSM ou au moins il serait très bruité. Pour avoir un volume magnétique plus important nous avons donc superposé cinq morceaux de bandes identiques à l’aide d’une colle polymérisante. Nous avons ensuite découpé des échantillons de dimension 5mm x 10mm dans la structure ainsi obtenue.

23

4.2.2 Bande SONY Master DV

Le cycle majeur longitudinal représenté sur la figure a été tracé avec un champ maximum de 5000 Oe. En plus, il est visualisé une série de courbes de renversement. L’épaisseur de la couche magnétique a été estimée à 0.2 µm

avec une précision de 20%. Faute de temps, cette épaisseur n’a pas été mesurée lors du stage. Les propriétés de cette bande, récapitulées dans la table ci-dessous, sont donc susceptibles d’être trop élevées.

4.2.3 Bande TDK DVM 60

Le cycle majeur longitudinal représenté sur la figure a été tracé avec un champ maximum de 5000 Oe. En plus, il est visualisé une série de courbes de renversement. L’épaisseur de la couche magnétique a été estimée à 0.15 µm. Les propriétés de cette bande sont récapitulées dans la table ci dessous.

De plus, nous avons calculé la densité de Preisach p(a,b) pour ce type de bande par double dérivation de la fonction d'Everett selon la formule 3-31. Le résultat de cette opération est visualisé en dégradées sur la Figure 4-4.

Figure 4-4: Densité de Preisach de la bande TDK

25

L'étude de la densité de Preisach se révèle comme particulièrement intéressante. Tout d'abord, il devient clair que la modélisation de la densité de Preisach par deux distributions normales est bien justifié par la réalité. Deuxièmement, on découvre une autre propriété de la densité de Preisach que nous n'avons pas encore mentionnée jusqu'à maintenant: Elle est centrée sur le point (h i = 0; h c = H c ) du plan de Preisach. Ceci veut dire qu'il ne reste que deux paramètres à déterminer soient σ i et σ c qui caractérisent l’écart type des distributions

normales vers h i et h c .

En outre, on remarque la présence d'une certaine densité d'opérateurs qui est située sur la droite a=b. Ceci est un résultat remarquable car il témoigne de la présence de renversements réversibles dans le matériau.

26

4.2.4 Disque dur FUJI

Le cycle majeur longitudinal représenté sur la figure a été tracé avec un champ maximum de 5000 Oe. En plus, il est visualisé une série de courbes de renversement. L’épaisseur de la couche magnétique a été estimée à 0.2 µm.

Les propriétés de ce médium sont récapitulées dans le tableau ci dessous. On notera la rectangularité exceptionnelle du cycle majeur.

8000 8000

6000 6000 4000 4000

^{aimantation(G)} 2000 2000

0

-2000 -2000 -4000 -4000 -6000 -6000

-8000 -8000

Ensuite, nous avons calculé la densité de Preisach pour ce matériau en partant de la fonction d'Everett et la formule 3-31. Le résultat de cette opération est visualisé sur la Figure 4-6 en vue tridimensionnelle. Dans cette représentation se dévoile l'origine de la forme différente du cycle majeur du disque FUJI, dans le sens du modèle: La densité de Preisach est confinée dans un pic très étroit autour le point (h i = 0, h c =H c ), ayant ainsi un σ c et σ i

assez petit. Ceci explique bien la rectangularité du cycle: Plus σ c et σ i sont

faibles, plus le comportement du matériau s'approche à celui d'un seul hystéron.

4.2.5 Comparaison modèle/mesure pour la bande TDK

Afin de vérifier les performances du modèle il convient de faire une comparaison entre un cycle mineur du matériau mesuré et celui prédit par le modèle. Un tel cycle est visualisé sur la Figure 4-7 . Ce cycle mineur a été obtenu en appliquant la séquence de champs:

H i= ( -H s , +3000, -3000, +2000, -3000 ). La correspondance du cycle modélisé avec le cycle mesuré est très bonne.

D’autres cycles mineurs ont été mesurés et comparés avec le modèle. Il apparaît que la prédiction du modèle est d’autant meilleure qu’on reste proche du cycle majeur. En tout cas, la qualité de la modélisation convient tout à fait à nos besoins.

Aimantation

Figure 4-7: Cycle mineur obtenu par application de la séquence:Hi= ( -Hs, +3000, -3000, +2000, -3000 )

28

5. Modélisation de l'enregistrement magnétique

Travaux antérieurs

Ce travail s'inscrit en fait dans la continuité de projets qui se sont déroulés au LETI et au LEG. Il est basé essentiellement sur les travaux antérieurs de F.Ossart [4] et F.Cortial [5]. Dans leurs thèses, des modèles analytiques ont été implémentés dans une version prototype 2D de Flux3D afin de réaliser des simulations numériques [12]. Entretemps, la puissance de calcul des ordinateurs n'a pas cessé d'augmenter. L'utilisation d'un modèle plus performant et plus coûteux en mémoire tel que le modèle de Preisach est donc devenue envisageable [21]. Il promet avant tout une simulation plus précise du processus de sur-écriture et des transitions dans le médium.

5.1 Mise en équation du problème

5.1.1 Approximation 2D

Le dispositif d'enregistrement étant homogène dans son épaisseur, on peut supposer que le problème est invariant suivant Oz. Or, on néglige les fuites de flux latérales qui déterminent la largeur de piste écrite. Ceci est localement correct car le gap est beaucoup plus petit que la largeur de la tête. Cette approche convient beaucoup mieux à nos besoins, car on s'intéresse essentiellement à l'allure de l'aimantation dans la longueur et la profondeur du médium.

5.1.2 Modélisation des matériaux

Comme nous avons vu au premier chapitre, le comportement magnétique de la matière peut être étudié à des échelles différentes. A l'échelle macroscopique on observe le résultat moyen de tous les phénomènes microscopiques, c'est la courbe M(H) du matériau. C'est en fait ici qu’intervient le besoin d'un modèle à la fois précis et efficace afin de disposer de cette fonction lors du calcul éléments finis.

Dans le milieu d'enregistrement, on utilise la loi de comportement sous sa forme fondamentale, associé à un modèle M(H):

= µ + ⋅ ) ( avec M= M(H) 5-36 M H B

0

_ Dans les milieux sans hystérésis, le circuit magnétique par exemple, le matériau est caractérisé par son tenseur

de susceptibilité magnétique: r

[ ] [ ]H avec [ ] [ ] [ ] µ χ χ µ = + = 1 Þ 5-37 B H M

r r 0

_ La relation constitutive du médium est le point essentiel de notre problème: en effet, celle-ci contient la

description de l'hystérésis du milieu, représenté par le modèle de notre choix.

C'est ici que le bon choix d'un modèle d'hystérésis devient important. La très faible épaisseur du médium impose en fait à l'aimantation de se retourner dans le plan de la bande. Ceci est vrai, tant que l'axe facile du médium ne pointe pas trop en dehors du plan. Pour modéliser ceci en 2D, on suppose que l'aimantation du matériau ne répond qu'à la composante H x du champ magnétique, permettant ainsi d'utiliser un modèle scalaire. Nos travaux ont eu pour but d'utiliser ici le modèle de Preisach scalaire. Ce modèle a été programmé en Fortran et ensuite implanté dans le logiciel éléments finis Flux2D.

29

5.1.3 Formulation en potentiel scalaire

Remarquons d'abord qu'il s'agit d'un problème magnétostatique, c’est-à-dire que les phénomènes de couplage entre le champ magnétique et électrique n'interviennent pas. Dans ce cas, les équations de Maxwell s'écrivent: r r r

= 0 5-39 B div

B et H sont couplés par la relation constitutive du matériau.

Dans notre problème, les sources de courant j interviennent au niveau du bobinage de la tête d'écriture. Néanmoins, il est possible de traiter le problème comme s'il n'y avait pas de source de courant et de tenir compte du flux injecté dans l'entrefer par le biais de conditions aux limites. En absence de sources de courant, l'équation 5-38 devient: r r

= 0 5-40 H ot r

Un champ à rotationnel nul dérive d'un potentiel scalaire, car rot( grad ϕ(r) ) = 0 quelle que soit la fonction ϕ. Exprimons donc le champ H comme étant le gradient d'un potentiel:

r − r

ϕ = 5-41 rad g H

De cette manière, l'équation 5-40 est satisfaite automatiquement.

En reportant 5-41 dans la loi de comportement 5-36 et puis dans l'équation 5-39, on obtient: r ( ) ( ) 0 r

ϕ µ = − + − ⋅ =

( ) Dans l'air, cette équation se réduit à l'équation de Laplace, alors que dans le médium d'enregistrement le terme non-linéaire de l'aimantation apparaît.

5.2 Géométrie du problème

Afin de réduire au maximum le coût de calcul de la simulation, nous avons simplifié la géométrie du dispositif d'enregistrement, comme visualisé sur la Figure 5-1 Toutefois, la simulation ne devient pas moins précise. En effet, une simulation préalable en 3D de la tête seule est réalisée et la répartition spatiale du champ d'écriture est relevée. Dans la modélisation 2D le flux dans l'entrefer est créé par la différence de potentiel scalaire entre les deux pôles. Cette différence est ajustée de façon que le champ d'écriture de la géométrie simplifiée corresponde au champ réel créé par la tête.

La tête étudiée comporte un entrefer de 0.26µm. La distance qui sépare les pôles du disque, appellée la hauteur de vol, vaut 45nm. L'amplitude maximale du champ d'écriture suivant Ox, évaluée au milieu du médium est de 300 kA/m.

5.3 Méthode de résolution

Une méthode classique utilisée pour résoudre l’équation d’un problème comportant un élément nonlinéaire est la méthode du point fixe. Elle consiste à rechercher la solution du système à une itération donnée à partir d’une estimation de l’aimantation basée sur les résultats de l’itération précédante. Lorsqu’il y a convergence, on met à jour l’histoire du matériau.

Figure 5-4 montre un schéma de cet algorithme. Afin de faire face à des problèmes de convergence souvent rencontrés en présence d’hystérésis, la méthode a été reprise par certains chercheurs et a été adaptée pour le calcul des champs magnétiques dans des milieux hystérétiques [14].

31

Cette méthode du point fixe modifiée remplace la perméabilité du matériau par le paramètre µ pf pour forcer la

convergence du calcul. Il est démontré que celle-ci est obtenue si

( ) µ + ≥ 1

pf min max 2

où µ max et µ min sont les perméabilités maximales et minimales du matériau.

Avec la nouvelle méthode, les problèmes de non-linéarité du modèle sont résolus et la convergence est obtenue rapidement.

32

5.4 Calcul du signal de lecture

Comme nous l'avons vu au chapitre 2.2, il est possible de remonter au signal de lecture en partant des résultats de simulation et en utilisant l'équation 2-15. Cela revient à faire la convolution de l'aimantation M dans le médium avec la dérivée spatiale du champ d'écriture calculé en absence du médium. La Figure 5-5 montre l'allure typique du champ d'écriture aux alentours du gap pour x compris entre -1µm et +1µm, à des profondeurs différentes.

12 5 10

0

12 -5 10 -1,5 10

nous avons programmé un post-processeur qui fait

la dérivation et la convolution des données à partir de deux fichiers d'impression de Flux3D (*.PRT). Ces fichiers

33

doivent contenir les valeurs de l'aimantation et du champ d'écriture sur une grille ayant le même pas de discrétisation. Le programme saisit les noms de ces fichiers, fait le traitement nécessaire et stocke le résultat dans un fichier de sortie (*.conv). Ce fichier contient colonne par colonne l'abscisse et la fonction de convolution. Ensuite, les données ainsi obtenues peuvent être exploitées avec un logiciel comme KaleidaGraph.

Sur la Figure 5-7 il est visualisé un exemple de signal de lecture que nous avons obtenu par cette manière.

La longueur de bit dans cet exemple est de 1.08 µm. Le gap de la tête utilisée pour l'écriture mesure 0.27 µm. La simulation donne une largeur à mi-hauteur du signal de lecture qui est de 0.5 µm.

34

5.5 Simulation de l'enregistrement magnétique sur bande ME TDK

Nous allons appliquer les principes et méthodes développés jusqu'ici à la modélisation de l'écriture d'une séquence de bits sur une bande magnétique de type métal évaporé ( TDK DVM 60 ). L'épaisseur de la couche magnétique est approximativement de 0.2 µm et consiste en un alliage de cobalt et nickel ( 80 % Co, 20% Ni ).

La faible épaisseur du médium justifie l'application du modèle scalaire: les champs démagnétisants forcent l'aimantation à se retourner dans le plan de la couche. Ainsi, nous avons pu tester le fonctionnement du modèle de Preisach qui a été implémenté dans Flux2D, avec les données précédemment montrées au chapitre 4.

5.5.1 Champ d'écriture

Avant de simuler l'écriture, nous avons réalisé un calcul du champ d'écriture seul, tel qu'il est créé par une des têtes réalisées au LETI.

Nous avons visualisé les isovaleurs du champ d'écriture pour des valeurs autour du champ coercitif du médium

puisque c'est cette gamme qui détermine la largeur des transitions écrites.

Il est aussi intéressant de savoir que les isovaleurs du champ H sont toujours des cercles dans la géométrie de la Figure 5-8.

35

5.5.2 Simulation d'une écriture

^nd ordre dans l'épaisseur du matériau, et Le maillage utilisé pour ce calcul est assez fin: 8 éléments du 2

10 dans l'entrefer. A chaque pas de temps, l'induction magnétique B, le champ magnétique H et l'aimantation du matériau sont calculés en utilisant la méthode du point fixe modifiée. Grâce à cette méthode, le calcul converge assez rapidement. Bien que le modèle utilisé soit plus précis que le modèle analytique antérieur, le temps CPU reste raisonnable. Ceci est dû à la formulation en termes de la fonction d'Everett qui ramène le calcul de l'aimantation à un calcul de sommes et différences ( equ. 3-30 ). La longueur de bit est de 1.04 µm. Les densités

d'enregistrement sont données en "flux changes per inch", fci, c'est-à-dire en nombre de transitions par pouce. Ainsi, notre simulation correspond à une densité de 24.4 kfci. Les résultats de cette simulation sont représentés ci-dessous, par des courbes sur la Figure 5-9 et Figure 5-10 et en dégradés sur la Figure 5-11.

36

3 4 10

3 2 10

3 -2 10 Mx(G) -4 10 3

3 -6 10

3 -8 10

3 10 4 10

3 4 10

3 2 10

3 -2 10

3 -4 10

3 -6 10

3 -8 10 -6 0 -6 -6 -6 -6 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10

Après retrait du champ d'écriture, le champ magnétique H qui reste correspond au champ démagnétisant. Pour une longueur de bit de 1.04 µm, les champs démagnétisants ne sont pas encore gênants car ils ne modifient

guère l'allure des transitions. Le tracé en dégradés montre que le matériau a été saturé dans presque toute son épaisseur.

De plus, on remarquera que les bits inscrits dans le médium ne sont pas symétriques. Effectivement, la bande qui défile sous la tête de gauche à droite "voit" le passage de deux transitions du champ d'écriture ( Figure 5-8 ): c'est la deuxième, donc la droite, qui détermine la forme des transitions dans le matériau.

Ensuite, nous avons effectué une simulation pour une longueur de bit de 0.52 µm ce qui correspond à

une densité d'enregistrement de 48.8 kfci. Les résultats sont visualisés ci-dessous.

38

Lorsque la densité d'écriture augmente, les effets du champ démagnétisant deviennent importants: ils diminuent la raideur des transitions et l'amplitude de l'aimantation dans le matériau et, par conséquent, l'amplitude du signal de lecture.

En comparaison avec les modèles analytiques utilisés antérieurement, le modèle de Preisach représente très bien l'allure de l'aimantation dans la profondeur du matériau. Ici, les prédictions des modèles analytiques n’ont pas été fiables, faute de précision quant aux cycles mineurs.

40

5.6 Conclusion

Dans ce chapitre, il a été montré que le modèle de Preisach convient à la simulation de l'enregistrement magnétique parce qu'il représente avec une précision suffisante le comportement du matériau. Les résultats obtenus sont très satisfaisants. Les transitions dans le médium ainsi que l'allure de l'aimantation dans sa profondeur correspondent à la réalité. Cependant, il faut vérifier la fiabilité de ces résultats en comparaison avec des données expérimentales.

L'étape suivante sera l'implantation d'un modèle vectoriel dans Flux3D. En fait, l'approximation scalaire ne convient plus pour certains types de média utilisés en enregistrement à haute densité. Ces médias présentent un axe d'anisotropie qui pointe hors du plan de la couche ce qui rend incontournable la prise en compte du caractère vectoriel de l'aimantation. Cette implémentation, bien que lourde et coûteuse en calcul, devient envisageable grâce aux performances croissantes des ordinateurs.

41

6. Modélisation vectorielle de l'enregistrement magnétique

6.1 Nécessité d'une modélisation vectorielle

Les modèles d'hystérésis scalaires ont longtemps permis de représenter le processus d'aimantation des milieux d'enregistrement. Comme nous l'avons vu dans le chapitre 5, le modèle de Preisach a été largement utilisé, faisant l'objet de nombreuses publications. Cependant, le comportement des matériaux magnétiques est régi par des mécanismes vectoriels qu'il convient de représenter pour une modélisation plus précise du procédé d'écriture. Cette prise en compte du caractère vectoriel de l'aimantation devient d'autant plus important que les bandes magnétiques de type métal évaporé utilisées pour l'enregistrement vidéo numérique montrent un axe d'anisotropie hors du plan de la couche magnétique. L'hypothèse que l'aimantation reste toujours dans ce plan n'est plus applicable dans ce cas. Il faut tenir compte de la composante My de l'aimantation. Il est donc nécessaire de rechercher et d'étudier un modèle vectoriel d'hystérésis.

6.2 Le modèle vectoriel d'hystérésis utilisé

Il s'agit du modèle mixte de Preisach et de Stoner-Wohlfarth développé au DSSC par l'équipe du professeur Charap [16][17]. Ce modèle allie les performances du formalisme de Preisach précédemment discutées avec un nouveau type de particule élémentaire qui traite l'aimantation comme vecteur et non pas comme grandeur scalaire. Ce concept a conduit aux meilleurs résultats trouvés dans la littérature [20][23].

6.2.1 La particule de Stoner-Wohlfarth [24]

Il s'agit de particules élémentaires supposées avoir une anisotropie uniaxiale et être monodomaines. Le vecteur d'aimantation varie par rotation cohérente, c'est-à-dire qu'il change de direction en gardant un module constant. De plus, il tourne dans le plan de définition de la particule, engendré par son axe facile et son axe difficile. Les grandeurs H et M sont définies par leurs angles avec l'axe facile: l'application d'un champ H faisant un angle α avec l'axe facile entraîne la rotation de l'aimantation M d'un angle θ, correspondant à l'état de moindre

énergie de la particule. L'énergie totale de la particule est la somme de l'énergie de Zeeman et de l'énergie d'anisotropie au premier ordre, avec k a la constante d'anisotropie : r

θ ⋅ + ⋅ − = ² sin 6-44 k M H E

a tot

L'état de moindre énergie vérifie les équations:

∂E

Energie extrémale: Minimum:

∂θ

L'équation conduit à un polynôme de degré 4 en sinθ . Elle admet quatre solutions θ en fonction de la

valeur du champ, soit un ou deux minima. Le plan de définition ( Hx, Hy ) se divise ainsi en deux parties: l'une, dite stable, contient les valeurs du champ qui conduisent à une solution unique, l'autre, dite métastable, à deux solutions. La frontière qui sépare ces deux régions vérifie l'équation: ∂ E

Sur la Figure 6-2 il est visualisé un faisceau de vecteurs

M correspondant à un champ H appliqué à 45° de l'axe facile et variant entre -H sat et +H sat . Elle permet d'étudier la nature du mécanisme qui régit l'évolution de l'aimantation: tant que le champ appliqué reste à l'intérieur ou à l'extérieur de l'astroïde, l'aimantation tourne de façon réversible. Par contre, lorsque le champ traverse la frontière de l'astroïde, l'aimantation bascule de manière irréversible pour s'aligner au fur et à mesure avec le champ H. Ainsi, la particule de Stoner-Wohlfarth représente les mécanismes principaux de renversement: la rotation ( réversible ) et le basculement ( irréversible ).

Direc tion de H

Figure 6-2: Evolution du vecteur d'aimantation pour un champ H appliqué à 45°

Par la suite, nous allons présenter un modèle 3D, basé sur ce type de particules: pour nos besoins nous l'avons légèrement amélioré afin de l'introduire dans le logiciel de calcul par éléments finis Flux3D.

43

6.2.2 Le modèle mixte 3D

Nous allons reprendre le concept des opérateurs élémentaires, déjà rencontré lors de la description du modèle de Preisach. Les hystérons, possédant un cycle élémentaire rectangulaire, sont remplacés par des opérateurs Stoner-Wohlfarth. Chaque opérateur est paramétré par:

• son champ coercitif h c , la taille de l'astroïde

• son champ d'interaction h i , le décalage de l'astroïde sur l'axe facile

• son poids, donné par sa densité de Preisach ρ( h c, h i )

• son état, correspondant à l'une ou l'autre solution donnée par l'astroïde

• un vecteur unitaire n, indiquant l'orientation spatiale de l'axe facile de l'opérateur

Les quatre premiers paramètres nous sont connus par le modèle de Preisach alors que le cinquième est nouveau. Il permet de répartir les opérateurs dans l'espace et non seulement dans le plan de Preisach ce qui fait du modèle une description tridimensionnelle de l'aimantation.

6.2.2.1 Distribution de Preisach

La fonction densité de Preisach ρ(h c ,h i ) est le produit de deux densités de probabilité statistiquement

indépendantes, l'une étant fonction du champ coercitif h c , l'autre du champ d'interaction h i . Deux gaussiennes sont choisies pour représenter ces fonctions ( cf. 3.3.5 ), chacune étant caractérisée par sa valeur moyenne et son écart-type :( h c_moyen , σ hc ) pour la distribution de champ coercitif et ( h i_moyen =0, σ hi ) pour la distribution

de champ d'interaction. La densité de Preisach exprimée par la relation 6-49 comporte donc trois paramètres à définir.

Figure 6-4: Exemple de distribution des opérateurs dans le plan de Preisach 6.2.2.2 Distribution spatiale des opérateurs

Le caractère vectoriel du modèle est basé sur la possibilité de distribuer les orientations des opérateurs dans l'espace. Les axes faciles des opérateurs sont orientés autour l'axe d'orientation du modèle, chacun étant dirigé par un vecteur unitaire n. Dans des travaux antérieurs [5], cette distribution a souvent été paramétrée par les angles de rotation de n par rapport à l'axe d'orientation du modèle. Dans notre implémentation, nous stockons directement le vecteur directeur n ce qui permet d'une part de réaliser des distributions quelconques et d'autre part de simplifier considérablement la transformation du champ appliqué dans le repère de chaque opérateur.

La Figure 6-5 montre le principe de cette transformation: le champ longitudinal de

l'opérateur h x est obtenu en projetant le champ magnétique H appliqué au modèle sur le vecteur directeur de l'opérateur. La composante transversale est donnée par la différence vectorielle entre le champ appliqué et h x .

r

h

x r

h y

Cette formulation vectorielle évite de calculer

à chaque fois la matrice de rotation entre le repère global et le repère de l'opérateur. Le

résultat est une implémentation moins lourde et légèrement accélérée.

{ } sont négligées.

45

Nous avons expérimenté avec différents types de distributions. Pour la

modélisation des bandes magnétiques, la

distribution gaussiene autour de l'axe d'orientation du modèle s'est avérée la plus appropriée. Il est aussi possible de tenir compte

quelconque: dans ce cas, la distribution des vecteurs directeurs se fait autour de l'axe d'anisotropie et non autour de l'axe d'orientation.

6.2.2.3 Calcul de l'aimantation

Lorsqu'un champ magnétique est appliqué au modèle, le champ est transformé dans le repère de chaque opérateur selon les équations 6-50, c'est-à-dire on le décompose en une composante longitudinale et transversale ( h x et h y ). Ensuite, la solution de l'astroïde de Stoner-Wohlfarth est recherchée pour chaque opérateur en fonction de son état. L'état est mis à jour lors de cette opération. Ces solutions étant les mêmes pour chaque astroïde sont stockées au préalable dans un tableau bidimensionnel afin d'accélérer le calcul. Le vecteur d'aimantation ainsi obtenu pour chaque opérateur est pondéré par la densité de Preisach et est retransformé dans le repère global. La somme vectorielle de tous ces vecteurs donne l'aimantation totale du matériau.

Pour avoir un calcul fiable, un nombre suffisant d'opérateurs est nécessaire. En travaillant avec le modèle seul, le nombre d'opérateurs varie entre 5000 et 10000. Lors de l'implémentation du modèle dans le logiciel de calcul éléments finis, nous avons réduit ce nombre à 1000 opérateurs. Une étude a montré que 1000 opérateurs était un nombre suffisant pour conserver une bonne précision. Les détails de cette implémentation qui n'avait jamais été faite jusqu'à ce jour sont donnés dans l'annexe 3.

6.2.2.4 Identification du modèle

Le modèle vectoriel est caractérisé par des différents paramètres qu'il faut ajuster pour un matériau magnétique donné de sorte que les courbes prédites par le modèle s'ajustent le mieux possible aux données expérimentales. Le tableau ci-dessous récapitule le jeu de paramètres du modèle Stoner-Wohlfarth mixte :

Tableau 4: Paramètres du modèle vectoriel

Trouver un bon jeu de paramètres s'appelle l'identification du modèle. L'identification du modèle vectoriel est délicat, contrairement au modèle de Preisach où ce processus peut-être rigoureusement défini. Si l'on joue sur les valeurs des paramètres il s'avère très vite que les paramètres ne sont guère indépendants entre eux. L'identification du modèle vectoriel peut se faire par différentes manières: soit on n'ajuste que sur le cycle majeur, soit on tient d'autres données expérimentales ( cycles mineurs, courbes δM [20]) en considération.

Suivant le volume de ces mesures, le jeu de paramètres est plus ou moins fiable, c'est-à-dire le modèle est capable de prédire d'autres courbes que celles qui sont données par la mesure.

46

Dans notre identification du modèle, nous avons utilisé le cycle majeur longitudinal, la courbe δM

longitudinale et la valeur de l'aimantation à saturation du cycle majeur transversal. Les paramètres ont été ajustés de manière intuitive de sorte qu'ils reproduisent le mieux possible ces données expérimentales. Ensuite, d'autres courbes prédites par le modèle ont été comparées avec la mesure, en particulier des mesures sous champ tournant afin de valider le modèle. Figure 6-7 montre le cycle majeur longitudinal et transversal d'une bande ME et Figure 6-8 la prédiction du modèle sous champ tournant en comparaison avec les mesures.

6.3 Simulation vectorielle de l'enregistrement magnétique sur bande SONY ME

Nous allons appliquer le nouvel outil de simulation qui a été créé avec l'introduction du modèle vectoriel dans FLUX3D à la simulation de l'écriture d'une séquence de bits sur une bande magnétique du type SONY ME. Les bandes de ce type sont couramment utilisées dans des nouveaux dispositifs d'enregistrement vidéo digital [22]. Les bandes du genre métal évaporé sont difficilement modélisables par un modèle scalaire car leur couche magnétique montre une forte anisotropie hors du plan de la bande d'environ 30 degrés. Par conséquent, l'aimantation ne se retourne plus dans ce plan après retrait du champ d'écriture et le vecteur de l'aimantation pointe en dehors de la couche magnétique. Comme résultat, l'aimantation a au moins deux composantes, M x et M y , ce qui rend nécessaire l'application du modèle vectoriel. Le modèle a été identifié pour ce type de bande. Ensuite, la lecture des bits inscrits sera simulée, en tenant compte de la composante M y . Nous verrons que le modèle vectoriel ajoute une correction au signal de lecture qui rapproche la simulation à l'expérience.

6.3.1 Paramètres du modèle

D'abord, le modèle a du être identifié pour le milieu magnétique utilisé. Dans ce domaine, des travaux importants ont été faits lors de la thèse de F.Cortial [5]. Les paramètres du modèle ont été identifiés pour une large gamme de matériaux et une très bonne correspondance entre modèle et mesure a été atteinte. Cortial a utilisé la courbe du cycle majeur longitudinal et la courbe δM longitudinale pour identifier le modèle. Vu le fait

qu'un VSM vectoriel n'était pas disponible dans notre laboratoire, nous avons décidé de reprendre le jeu de paramètres trouvé dans [5]. Figure 6-7 compare le cycle majeur mesuré et modélisé. Le tableau ci-dessous récapitule les paramètres du modèle utilisés.

6.3.2 Simulation d'une écriture

Wohlfarth. En total, la géométrie comporte 8×165=1320 éléments

média, ayant quatre points de Gauss chacun, soit 5280000 opérateurs pour toute la simulation. A chaque itération, l'état de ces opérateurs est calculé et l'angle d'aimantation doit être déterminé. Toutefois, le coût de calcul reste raisonnable: l'écriture d'un bit de 0.25 µm par exemple prend 2 heures sur une station de travail Sun

Sparc20 du LETI.

48

Sur la Figure 6-10 il est visualisé M(x,y) en flèches dans le médium. La hauteur de vol dans cet exemple est de 50 nm et l'épaisseur du médium vaut 0.2 µm.

L'inscription des bits dans le médium est clairement visible. L'allure de l'aimantation dans le matériau magnétique correspond à la situation réelle: en-dessous de la tête le médium est aimanté jusqu'à sa saturation; en défilant à droite, l'aimantation descend au fur et à mesure à la valeur rémanente. Ensuite, le champ d'écriture change de direction et il commence l'inscription du bit suivant. Entre les deux, il s'établit une transition qui épouse la forme du champ d'écriture. Comme nous l'avions prévu pour ce type de médium, le vecteur d'aimantation pointe en dehors du plan de la couche magnétique après le passage au-dessous de la tête. En effet, il existe un fort champ démagnétisant vertical dû à la faible épaisseur du médium. Dans un matériau sans anisotropie (β aniso = 0), ceci retournerait le vecteur d'aimantation dans le plan de la couche. Mais dans le cas de la bande ME, ayant un angle d'anisotropie de β aniso = 22°, il s'établit un équilibre entre l'anisotropie de forme et

l'anisotropie magnétique. Ceci est un résultat important car il justifie a posteriori l'application du modèle vectoriel. L'approximation scalaire, basée sur l'hypothèse que l'aimantation reste dans le plan, n'est donc plus en vigueur pour ce type de médium.

Figure 6-11 montre un agrandissement de la zone de transition dans le médium. En plus de l'aimantation, nous avons visualisé en dégradés le champ d'écriture de la tête aux environs du champ coercitif qui est d'environ 1300 Oe ( 104000 A/m ). On voit bien comment l'aimantation commence à tourner sur l'isovaleur du champ coercitif. Toute la transition s'étend jusqu'au double de cette valeur. Puisque le champ présent dans le médium est la somme entre le champ créé par la tête et le champ démagnétisant, le champ d'écriture est nettement déformé

dans la direction longitudinale. D'après notre étude, la zone de transition, c.a.d. là où le champ d'écriture dépasse la valeur du champ coercitif du médium, se trouve à une distance qui correspond à quatre fois la longueur du gap.

6.3.3 Calcul du signal de lecture

La valeur d'un modèle vectoriel, aussi performant soit-il, n'est pas encore justifiée tant qu'il n'y ait pas de comparaison avec des données expérimentales. Les moyens expérimentaux de notre laboratoire ne nous permettent pas de relever l'allure de l'aimantation à l'intérieur du médium. Néanmoins, il est possible de vérifier la précision du modèle en passant par le calcul du signal de lecture à partir des données de simulation. Ceci est possible, comme nous l'avons vu au chapitre 2.2, en faisant la convolution de l'aimantation dans le médium avec la dérivée spatiale du champ d'écriture, calculé en absence du médium.

En plus du modèle scalaire, nous devons traiter les deux composantes de l'aimantation ( M x et M y ) ainsi que les deux composantes du champ d'écriture ( H x et H y ). Heureusement, les deux composantes ne mélangent pas dans la formule xx . Ainsi, on peut d'abord convoluer M x avec dH x /dx, soit V x , et ensuite M y avec dH y /dx donnant V y . La somme de V x et V y fournit le signal de lecture. V x correspond en gros au signal de lecture tel qu'il serait obtenu par un modèle scalaire seul alors que V y contient la correction apportée par la prise en compte du caractère vectoriel de l'aimantation.

Nous avons comparé les résultats ainsi obtenus avec un signal de lecture mesuré sur un équipement de test dans notre laboratoire. Figure 6-12 montre les signaux V x , V y et leur somme en comparaison avec le signal mesuré, après normalisation des amplitudes.

Le signal de lecture est très bien modélisé par la simulation. Entre 0.7 µm et 2.2 µm il y a presque

recouvrement entre la courbe calculée et mesurée. En plus, il est bien visible que la composante V y , fournie par le modèle vectoriel, ajoute justement la correction qui rapproche les deux courbes. Ce résultat valide particulièrement l'application du modèle vectoriel.

6.4 Coût du calcul

Pour comparer le coût de calcul des différents modèles, il convient de résoudre un problème de test identique pour chaque modèle et de mesurer le temps CPU. Les données ci-dessous ont été obtenues en résolvant une géométrie simple, comportant 100 éléments media.

Le résultat était prévisible: le modèle vectoriel étant le plus complexe, consomme le plus de temps CPU. Néanmoins, en simulation de l'enregistrement cette différence est moindre car ici les éléments media n'occupent qu'une petite partie de la géométrie du problème.

CONCLUSION ET PERSPECTIVES

Le travail présenté est dans la continuité des travaux effectués précédemment au LETI et au LEG, notamment par F.Ossart et F.Cortial. Il a été montré que la simulation de l'enregistrement magnétique utilisant un modèle précis car phénoménologique est réalisable sans mettre en jeu des outils informatiques colossaux. Le coût de calcul reste comparable à celui des modèles analytiques pour le modèle de Preisach et ne dépasse pas le double pour le modèle vectoriel. Avec le nouvel outil, une large gamme de simulations peut-être réalisée: lecture, écriture, et sur-écriture. De plus, le modèle vectoriel peut s'adapter à des matériaux magnétiques ayant un axe d'anisotropie quelconque. Il sera également possible de mieux étudier l'impact des propriétés du support d'information sur la qualité du stockage. Ce travail contribuera donc à l'amélioration des dispositifs de l'enregistrement magnétique.

Cependant, l'identification du modèle demande un travail expérimental important qui doit être effectué le plus soigneusement possible. Dans le cas du modèle de Preisach, cette procédure est rigoureusement définie. Elle pourrait être complètement automatisée en utilisant la possibilité de contrôler le VSM par un microordinateur. Avec moins de précision, il est possible de modéliser la densité de Preisach par des distributions connues pour réduire ainsi le nombre de paramètres du modèle. Un procédé pour identifier ces paramètres est donné dans l'annexe.

Par contre, la démarche à suivre pour identifier le modèle vectoriel ne peut pas être automatisée complètement car elle demande une certaine intuition à l'utilisateur. Récemment, des progrès ont été faits dans ce domaine, moyennant des algorithmes génétiques ou des réseaux neuronaux [19]. Dans le but de simplifier cette phase, nous avons créé des outils utilisateurs qui permettent de voir rapidement l'influence des paramètres sur la forme des cycles. Une fois identifié, le modèle vectoriel offre des performances qu'on peut difficilement espérer meilleures. Il promet d'aboutir à des simulations très précises.

L'implémentation du modèle vectoriel étant sur le point d'être terminée lors de la remise de ce rapport, il ne nous était pas encore possible d'exploiter toutes ses possibilités et d'en donner les résultats. Le modèle vectoriel a été utilisé afin de modéliser le comportement d'une bande ME et le processus d'écriture et de lecture sur la bande a été simulé [18]. Ceci a abouti à des très bons résultats. Il a pu être montré que la prise en compte du caractère vectoriel de l'hystérésis est indispensable pour la modélisation précise de ce type de bande. D'autres simulations devraient être effectuées pour confirmer ces premiers bons résultats.

52

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

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53

ANNEXE 1:

Le modèle d’hystérésis de Preisach est basé sur la connaissance d'une fonction de deux variables, appelée densité de Preisach. Celle-ci est accessible à partir des données expérimentales par une double dérivation de la fonction d'Everett qui est en principe l’intégrale de la densité de Preisach sur une triangle dans le plan de Preisach. Ce procédé demande un très grand nombre de points de mesures car il faut tracer une série de courbes de renversement de premier ordre. On cherche donc à approximer la densité de Preisach par des fonctions connues afin de réduire le nombre de paramètres. Une approche prometteuse a été la représentation par le produit de deux gaussiennes [11]:

( ) ï þ ï î ï þ ï î

Avec: β α − β α +

Ainsi, le nombre de paramètres est réduit à 3, soient σ i , σ c et center.

Alors que center est facile à déterminer parce que il est égal au champ coercitif, l'ajustage des deux autres se révèle délicat. Nous proposons ici une méthode qui découple complètement la modélisation du cycle majeur du reste du problème et qui permet donc soit de se limiter à l'approximation du cycle majeur du système soit de tenir aussi compte d’un certain nombre de cycles mineurs.

On peut simplifier les calculs suivants en introduisant des nouvelles variables:

( ) ( ) 1 1 = α = β − + center a : e t center b : (3)

2 2

Avec ceci (1) devient:

( ) ( )

þ î þ î Notre objectif sera de mettre (4) sous la forme de deux gaussiennes en fonction de a et b. Si l'on développe les arguments des exponentielles en (4) on obtient:

þ î

Posons:

Dans cette expression il est gênant d’avoir un terme qui mélange a et b. Formulons donc:

54

ï þ ï î

Posons:

σ − ² σ ^σ σ 2 ² = − = + = ⇔ − = ² H ¹ : K et 2 : (9) c i 1 1

^σ σ + H s ^{2 2 4} i c 2 Hc H 1 2 s i

avec ceci:

þ î þ î

par ailleurs, on a: = σ = σ = σ 2 − ⋅ 2 + ⋅ − ⋅ ² K 2 et K 2 et 1 K

s i s c s 1

Ce résultat veut dire que la densité de Preisach est une juxtaposition de gaussiennes suivant a, chacune décalée par K*b par rapport à l'autre et tout ceci enveloppée par une gaussienne suivant b. De la connaissance de K et σ s découlent donc σ i , σ c .

Ensuite, nous développons une méthode pour accéder à K et σ s . On verra que σ s est uniquement lié au cycle

majeur alors que K influence la forme des cycles mineurs.

L'accès expérimentale à σ s

Tant qu’on se déplace sur un cycle majeur, la frontière d’Everett évolue comme suit:

• En champ croissant, elle consiste à un seul segment horizontal qui s’étend de (a=H, b=-H sat ) à (a=H, b=H)

• En champ décroissant, elle consiste à un seul ségment vertical qui s’étend de (a=H sat , b=H ) à (a=H, b=H )

On peut donc dire que sur un cycle majeur: ( )

Par définition on a: ′ Þ H E

, ( sat

Pour simplifier, on peut exploiter le fait que la premier intégrale ( suivant a ) traverse tout le plan de Preisach donc le support de p(a,b). Nous pouvons donc, sans commettre d’erreur significative, remplacer les bornes de l’intégrale par ± .

Pour la même raison, la deuxième intégrale peut aller jusqu’à , en bonne approximation.

Moyennant ces simplifications, (12) devient:

+∞ +∞

Avec les nouvelles variables a et b , on obtient: +∞ +∞

Lors de l’intégration sur a le terme de décalage Kb n’est pas important car il ne modifie pas la valeur de l’intégrale de + à - . On peut donc calculer la première intégrale:

∂ ( H E Þ sat

∂β þ î

M en fonction de H sur un cycle majeur est donc, à des constantes près, égal à l’intégrale d’une gaussienne de variance 2σ s . Ceci entraîne que 90% de sa variation se trouvent dans un rayon de 1.68σ s . La mesure du cycle majeur fournit donc aisément le paramètre σ s .

L'accès expérimental à K

Tandis que σ s fixe la forme du cycle majeur, la valeur de K est essentielle pour l'allure des cycles mineurs, dont

on n'a pas encore tenu compte jusqu'à maintenant. Nous donnons ici une méthode qui permet d'obtenir une bonne estimation de ce paramètre. Nous cherchons les points d’inflexion, c'est-à-dire des points de plus forte susceptibilité sur une courbe de renversement. Ceux-ci sont faciles à extraire car il suffit d'effectuer une dérivation des données qui décrivent la courbe et d'appliquer un fit gaussien. On cherche donc des points qui β α ∂χ ) , ( ^! = remplissent la condition: 0

∂β

^{∂ β α ∂} χ ⋅ = b a E ^{) , ( ) , (} avec b a 2 : ) , ( la susceptibilité sur une courbe de renversement de 1er ordre, commençant au

∂β b

point de rebroussement H= α.

Par définition, la variation de l'aimantation entre un point de rebroussement H 1 et un point quelconque s'exprime M = ∆ par la fonction d'Everett: ) , ( 1 H E . On peut donc écrire:

2

56

En remplaçant p(α,b) par l'expression (1) , ceci devient: α

α χ + − ⋅ = ò ¹ )) ( ), ( 2 ) , ( center center p d

² ∞ −

χ (

β α χ = ) , (

Par la suite, on obtient:

∂χ ∂χ ∂ β α ∂χ ) , ( ∂β

Rappelons que Avec σ s déterminé précédemment et a et b mesurés, on peut ainsi calculer K, en utilisant des méthodes

numériques classiques. Théoriquement, une seule courbe de renversement est suffisante. Afin d'obtenir une meilleure précision, on peut effectuer cette procédure pour plusieurs courbes différentes et moyenner les valeurs obtenues pour K. De toute façon, le nombre de mesures reste limité.

La correction réversible

Le modèle de Preisach considère un matériau magnétique comme un ensemble de particules élémentaires irréversibles qui sont réparties statistiquement dans le plan de Preisach. Par conséquent, il n'est pas capable de tenir compte de certains effet réversibles qui se produisent lors de mesures réelles. Afin de faire face à cet inconvénient, une extension du modèle a été proposée, appelée Modèle de Preisach Généralisé ( GPM ) [6][7]. Celle-ci ajoute à l'aimantation une composante réversible qui ne dépend que de la valeur courante du champ H. Mathématiquement, ceci peut se mettre sous la forme: +∞

∞ −

Avec γ aa (H) l'opérateur complètement réversible qui a la valeur +1 pour aH.

L'expression (2.1) peut donc s'écrire comme intégrale sur deux domaines disjoints, comportant l'état +1 et -1 respectivement.

∞ −

Les opérateurs γ aa (H) sont en effet des opérateurs γ ab (H) pour a=b. On peut donc se poser la question s'il n'est

possible de formuler le GPM tel qu'il soit implicite au modèle de Preisach classique. La difficulté de cet idée

57

consiste au fait que la densité de Preisach devrait être infiniment confinée sur la droite a=b car les opérateurs reversibles se situent exclusivement sur ce domaine. Nous proposons ici une formulation du modèle basée sur la fonction d'Everett qui permet de contourner ce problème. En fait, l'ensemble des points définissant la frontière d'Everett ne définit pas seulement une décomposition du plan de Preisach en triangles mais aussi une segmentation de la droite a=b. L'intégrale (2.2) peut ainsi se décomposer en une somme d'intégrales sur ces segments. Il est facile de voir que cette somme adopte exactement la même forme que l'expression pour la partie irréversible de l'aimantation qui est une somme d'intégrales sur les triangles dans le plan de Preisach. Il suffit donc d'ajouter un terme supplémentaire à la fonction d'Everett qui est de la forme: a

Ainsi, le calcul de l'aimantation à partir de la frontière d'Everett n'est pas modifié et la composante réversible de l'aimantation est contenue naturellement dans le fait que nous avons étendu la fonction d'Everett du plan a>b à la droite a=b.

Quelle forme pour la fonction p rev (z) ?

A partir des mesures effectuées sur des bandes magnétiques, il s'est révélé qu'on peut approximer la densité des opérateurs réversibles par une gaussienne. Par conséquent, un nouveau paramètre est introduit dans le modèle: σ rev . Celui-ci est relativement simple à estimer: on réalise d'abord l’ajustage de σ s comme on décrit

précédemment. La différence entre le cycle majeur ainsi calculé et le cycle mesuré en fonction du champ est la base pour l'estimation de σ rev. En pratique, il suffit d'appliquer un fit gaussien à la dérivée de cette différence pour extraire σ rev.

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Annexe 2: Exemple de tête d’enregistrement développée au LETI

Annexe 3: L'implémentation du modèle vectoriel dans FLUX3D

¹⁰ est un développement du Laboratoire Le logiciel de calcul par éléments finis Flux3D

d'Electrotechnique de Grenoble, LEG, qui travaille continuellement sur son amélioration. Afin de simuler l'enregistrement magnétique, une version prototype 2D de ce logiciel a été devéloppée en coopération avec le LETI. La structure ouverte de Flux3D et surtout la disponibilité entière de ses sources de compilation, en font un point de départ idéal pour l'introduction de notre modèle d'hystérésis. Basé sur les travaux antérieurs de Florence Ossart, chargée de recherche au LEG, nous avons d'abord implémenté le modèle de Preisach et ensuite le modèle Stoner-Wohlfarth mixte dans Flux3D. Les principes et quelques détails de cette implémentation sont exposés dans cette section.

La structure de Flux3D

Flux3D, logiciel de CAO destiné à l'électrotechnique, permet de modéliser des phénomènes électromagnétiques tridimensionnels par la méthode des éléments finis. Il est structuré en:

• un descripteur géométrique

• un descripteur de propriétés physiques

• un mailleur automatique tridimensionnel

• un solveur

• un module d'exploitation des résultats

La gestion des données se fait de façon dynamique. Des routines propres à FLUX3D servent à la définition de types de données structurés, appelés entités, qui sont composées des types élémentaires, les attributs. Le programmeur peut définir de nouvelles entités selon ses besoins. Les existences physiques des entités dans la mémoire, dites occurrences, sont créées et supprimées lors de l'exécution du programme de manière dynamique. Enfin, il est prévu de définir des liens entre ces occurrences, les relations, ce qui permet de construire la base de données d'un problème comme une arborescence: une occurrence de l'entité VOLUME dans FLUX3D est liée aux occurrences de l'entité FACE formant la surface du volume, qui sont à leur tour liées aux lignes constituant leur contour. Pour en finir, les lignes sont définies par deux occurrences de l'entité POINT. Les commandes du descripteur géométrique et physique de FLUX3D ne sont en fait rien d'autre que des opérations sur cette base de données.

Ce concept permet de gérer de manière relativement facile les données introduites par le modèle d'hystérésis.

La gestion des données liées au modèle d'hystérésis

Deux types de données interviennent dans notre implémentation:

• les données globales, propres au matériau: les tableaux contenant h i , h c , la densité de Preisach et les trois composantes du vecteur directeur de chaque opérateur ainsi que les divers paramètres du modèle: H sat , M sat , etc...

• les données propres à chaque point de Gauss: le tableau d'états pour le modèle vectoriel ou les sommets de la frontière de Preisach pour le modèle scalaire.

Cette distinction est essentielle: les données globales ne sont à stocker qu'une seule fois alors que les autres doivent être gérées séparément car elles évoluent différemment pour chaque point de Gauss. Autrement dit, à chaque point de Gauss du médium est associé un modèle d'hystérésis ayant tous les mêmes paramètres mais des histoires différentes.

Pour la gestion des données globales, nous avons utilisé une entité déjà existante, BH_FLUXLAB. Un de ses attributs est un tableau décrivant la caractéristique B_H du matériau. Pour que les données du modèle tiennent dans ce tableau, il était nécessaire d'en augmenter sa cardinalité. Ceci est fait lors de l'initialisation de FLUX3D. Les données des modèles y sont rangées de façon séquentielle. D'abord le tableau des h i puis h c et ainsi

¹⁰ Commercialisé par Cedrat, ZIRST, 38246 Meylan Cedex

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de suite. L'interactivité pour initialiser ces données se trouve dans le module PHYSIQUE CREER MATERIAU. L'utilisateur a la possibilité de créer un matériau hystérétique à partir d'un fichier de paramètres. FLUX3D ouvre ce fichier, lit les paramètres du modèle qui sont donnés par une syntaxe de variable et initialise les tableaux.

La gestion des données de chaque point de Gauss est plus délicate: elle exige la création d'une nouvelle entité, appelée ELE_MED, dont l'attribut ETAT contient les états des opérateurs ( +1 ou -1 ). A chaque élément surfacique du médium est associé une occurrence de ELE_MED. La création de ces occurrences est faite dans la commande RESOLUTION GERE_MEDIA. Pour chaque élément surfacique du médium, FLUX3D génère une occurrence de ELE_MED et fait le lien entre les deux. Les tableaux d'états sont initialisés de façon qu'ils représentent l'état désaimanté du matériau.

La résolution

La résolution du problème se fait de manière itérative. FLUX3D reconnaît la présence de régions ayant une caractéristique non-linéaire et choisit la méthode de résolution appropriée. Pour les problèmes d'hystérésis, c'est la méthode du point fixe modifiée. A chaque itération, FLUX3D boucle sur tous les éléments média et applique aux modèles associés la valeur du champ H calculée. Avec l'aimantation ainsi obtenue, un nouveau calcul est fait, donnant une nouvelle valeur pour H. Lorsqu'il y a convergence, le champ H est appliqué une dernière fois au modèle afin de mettre à jour les états des opérateurs. Le tableau d'états est ensuite enregistré dans ELE_MED.

Après chaque résolution, les données des ELE_MED sont décalées à droite afin de simuler le défilement du médium. Pour cette raison, les régions contenant un médium en déplacement doivent être maillées régulièrement. La nouvelle version de FLUX3D comprend un tel mailleur régulier.

La programmation

Le codage de FLUX3D est fait en FORTRAN77 avec un concept de transparence qui permet au programmateur de comprendre le fonctionnement des différentes routines et d'intervenir où il est nécessaire. D'abord, l'implémentation du modèle de Preisach a été faite au LEG par Florence Ossart. Ensuite, nous avons rapatrié les sources de FLUX3D au LETI afin de réaliser l'introduction du modèle vectoriel. La portabilité de FORTRAN77 assure le bon fonctionnement de FLUX3D sur une large gamme de plates-formes.

L'organigramme ci-après donne un aperçu de notre implémentation.

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Organigramme des interventions relatives au modèle vectoriel

Le schéma ci-dessous récapitule les modifications qui ont été faites pour implémenter le modèle vectoriel dans FLUX3D. Il n'a pas la prétention d'être complet. En effet, certaines modifications étant ponctuelles, on ne les a pas prises en considération ici.

Abstract A vector Preisach hysteresis model, taking into account the out-of-plane anisotropy of metal evaporated recording tapes was developped and implemented in a 2D finite

element software, so as to model the writing process on these media. The shape of the computed transition is clearly modified by anisotropy. Computed and experimental readback voltages were compared and a very close agreement was found, which can not be achieved by using only a scalar model. The design of high density recording devices requires an accurate numerical simulation of the writing and reading processes. The finite element method is widely used to compute the writing field; it can also be used to compute the pattern recorded on a given medium, provided that an accurate hysteresis model is available. In the case of Metal Evaporated (ME) tapes it means a vector model, accounting for the out-of-plane anisotropy axis of this peculiar material. For some years now the Preisach and the Stoner-Wohlfarth models [1] were combined to build a phenomenological vector hysteresis model which gave excellent results in the case of metal particle and barium ferrite tapes [2]-[4] This model was used for magnetic recording and side effect

simulation [5].

In the present work, a general moving vector model has been implemented into a finite element software. Then, the model was adapted to the peculiar anisotropy of metal evaporated tapes, so as to model a DVC recording device. The computed results are compared to experimental data, and a very good agreement is found. II. APPLICATION OF THE VECTOR PREISACH MODEL TO METAL

The moving vector model, suitable for both oriented and unoriented media, is a combination of Preisach and Stoner-Wohlfarth models. The two-state scalar hysteresis operator of

the Preisach model is replaced by a vector hysteresis operator

with uniaxial anisotropy and whose behavior includes both rotation and switching of the magnetization according to the

truncated Stoner-Wohlfarth model. The size and position of the astroid are given by the coercive and interaction fields, h ^c and h i , h i being assumed to act along the easy axis.

In addition to the Preisach distribution p(h c ,h i ), the easy Manuscript received October 15, 1997

Alexander Werling & Jean-Baptiste Albertini, (33) 4-76-88-5714, fax (33) 4-76-88-5169, Alexander.Werling@cea.fr, Jean-Baptiste.Albertini@cea.fr Florence.Ossart@lmt.ens-cachan.fr Marc.Aid@cea.fr axes of the Stoner-Wohlfarth operators are distributed around

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100

50

My 0 -50

-100 -100

Fig. 2. Magnetization tip trajectory for a rotating applied field ( no units ) The Preisach density function is assumed to be the product

of two Gaussians [6], characterized by their mean deviation σ i

and σ c and centered on the point ( h c = h cm , h i = 0 ) :

The angular dispersion g(β) is also a Gaussian given by its

width σ β and centered around the anisotropy direction β ani . The model was applied to the SONY DVC ME tape used in

our DVC device [7], [8]. For this material a good set of

parameters is : q = 0.03, k = 1.25, β ani = 22°, σ β = 14°,

h cm = 1645 Oe, σ c = 755 Oe, σ i =820 Oe. Those parameters

were found by matching the major loop and the δM curve in the longitudinal direction.

For a smooth fit of the material behavior a large number of

operators is needed. We used about 5000 operators for the

identification but only 1000 were used when the model was

implemented in the finite element software. In plane measures were carried out to test the model. The longitudinal direction is called x and the transverse one is called y. Fig.1 left and right compare the modelled and measured major loops in both directions.

Fig. 2 shows the magnetization tip trajectory for rotating

applied fields of various magnitudes. The medium was initially saturated in the x-direction. The fit between experiments and the model is still very good, except for a

field equal to the coercive field. Considering the complexity of the coercivity mechanisms, this discrepency was expected to be much more pronounced and the performance is very ϕ = ϕ ^left ∂ϕ

∂n

( )

max min FP 2

Fig. 3. 2D local model of the head and boundary conditions

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-2000 2000 Magnetization (Gauss)

Fig. 4. Magnetization pattern in the ME tape

for a magnetic material with a permeability in the range [µ min , µ max ]. IV. RESULTS AND DISCUSSION We used a relative permeability between 4 and 6 and

convergence was reached after 5 to 12 iterations, with a ^-4 . relative variation of the potential less than 10

At each time step, after convergence is achieved, the final

field is applied to the model, the local history of each

computation point is updated and a new time step can be

calculated.

component improves the accuracy of the computation. More simulations for various bit lenghts and patterns are to be done to confirm this first good result.

REFERENCES

[1] E.C. Stoner, E.P. Wohlfarth, Trans. Roy. Soc. London, 240, p.599, 1948. [2] H.A.J. Cramer, « A moving Preisach vector hysteresis model for magnetic recording media », J. Magn. Mat., vol.88, pp.194-204, 1990.

F. Ossart, R. Davidson, S.H. Charap, « A 3D moving vector [3]

Preisach hysteresis model », IEEE Trans. Magn., vol. 31, N°3, pp. 1785-1788, 1995. [4] F. Ossart, R. Davidson, S.H. Charap, « Moving vector Preisach

hysteresis model and δM curves », IEEE Trans. Magn., vol.30, N°6 , pp. 4260-4262, 1994. [5] R. Davidson and S.H. Charap, « Combined vector hysteresis models and applications » , IEEE Trans. Magn., vol. 32, N°5, pp. 4198-4203, 1996. [6] E. Della Torre, « Effect of interaction on the magnetization of single domain particles », IEEE Trans. Audio Electroac., vol. 14, 1966. [7] J. Kaaden, J.-B. Albertini, « Thin film heads for helical scan recording », IEEE Trans. on Consumer Electronics, vol. 43, N° 3, pp. 366-369, August 1997. [8] P. Gaud, J.-B. Albertini, A. Werling, J. Kaaden, « A solenoid magnetic integrated head for digital video recording », presented at PMRC, October 1997, unpublished. [9] F. Ossart, F. Cortial, « The moving vector Preisach model applied to metal evaporated tapes » , submitted to IOS Press, 1997.

[10] F. Ossart, V. Ionita, «Etude de la convergence de la méthode du point fixe pour calculer le champ magnétique dans les matériaux hystérétiques », submitted to Journal de Physique, France, 1997. [11] F. Cortial, F. Ossart, J.B. Albertini, M. Aïd « An improved analytical hysteresis model and its implementation in magnetic recording modeling by the finite element method » IEEE Trans. Magn., vol. 33, N° 2, pp. 1592-1595, March 1997. [12] J.-B. Albertini, H. Sibuet, Ph. Renaux, P. Gaud, « A new solenoid magnetic integrated head for digital video recording », presented at Intermag, April 1997, IEEE Trans. Magn., in press.

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7. Deutschsprachige Zusammenfassung

Die magnetische Aufzeichnung von Daten ist auch heute noch eine der leistungsfähigsten Techniken zur Speicherung von Informationen. Der massive Einsatz von Computern im wissenschaftlichen und professionnellen wie im personnellen Bereich, zusammen mit immer komplexeren Software-Systemen, bewirkt eine ständig steigende Nachfrage nach großen Speicherkapazitäten.

Aber auch in anderen Bereichen besteht eine starke Tendenz zur Digitalisierung, besonders aus zwei Gründen: einmal ist diese Art der Speicherung erheblich störunanfälliger als die analoge und außerdem ist sie der Schlüssel zur Vereinheitlichung und Vernetzung der Informationsverarbeitung in bisher getrennten Gebieten ( "Multimedia" ). In einigen Jahren werden zum Beispiel die Bildverarbeitungstechniken vollständig numerisiert sein, so wie in den 80er Jahren die Tonaufzeichnung durch die Einführung der CompactDisc. Allerdings erfordert die numerische Speicherung von Bildern sehr hohe Speicherdichten. Dank der zunehmenden Miniaturisierung der Speichersysteme wurden in den letzten Jahren gewaltige Fortschritte auf diesem Terrain erzielt.

In diesem Kontext arbeitet das LETI ( Laboratoire d'Electronique, de Technologie et d'Instrumentation ) seit einigen Jahren an der Entwicklung von miniaturisierten Schreib/Lese-Köpfen, bestimmt für die Speicherung ² . Es profitiert dabei von seiner enormen Erfahrung auf dem höchster Informationsdichten bis zu 10 Gigabit/inch

Gebiet der Mikrotechnologien. Kürzlich ist es der Gruppe SCPI/CME gelungen, eine neue Generation von vollintegrierten Schreib/Lese-Köpfen in Dünnschichttechnik auf Silizium herzustellen [22], mit idealen Eigenschaften für die digitale Video-Aufzeichnung. Diese kostengünstige Art der Fabrikation erlaubt es, bis zu 800 Einheiten auf einem Silizium-Wafer unterzubringen.

Zur weiteren Verbesserung dieser Technik ist ein genaues Verständnis der physikalischen Vorgänge beim Schreibprozess unumgänglich. Besonders wichtig ist die Vorhersage der Auswirkung bestimmter Parameter auf die Qualität der Speicherung. Hier hat sich das Werkzeug der numerischen Simulation als besonders leistungsfähig erwiesen. Stand der Technik ist heute die Lösung der physikalischen Gleichungen mit Hilfe der Methode der Finiten Elemente. Diese kann jedoch nicht die intrinsischen Materialeigenschaften vorhersagen. Diese müssen entweder tabelliert vorliegen oder mit Hilfe von geeigneten Modellen simuliert werden.

Hier ist der Anknüpfungspunkt für das Thema dieser Diplomarbeit. Das Ziel war die Modellisierung des magnetischen Verhaltens der verwendeten Informationsträger und die Einbindung der Modelle in eine komplexe Finite Elemente Software. Zwei Modelle wurden implementiert: das klassische skalare Preisach-Modell und, als Konsequenz der anisotropen Materialeigenschaften, ein vektorielles Modell, das auf den Stoner-Wohlfarth Partikeln aufgebaut ist. Die Modelle wurden in experimenteller Arbeit identifiziert und getestet. Schliesslich wurde der Schreib/Lese-Prozess auf einem der untersuchten Materialien simuliert und mit experimentellen Daten verglichen. Dabei wurde eine sehr gute Übereinstimmung zwischen Modell und Experiment festgestellt.

Die vorliegende Arbeit ist im Rahmen eines deutsch-französischen Studienganges der Universität Karlsruhe und des Institut National Polytechnique de Grenoble entstanden. Dieses Programm sieht ein alternierendes Studieren an beiden Universitäten mit Erhalt beider Diplome (Doppeldiplom) vor. Da sich das französische "projet de fin d'études" und die deutsche Diplomarbeit in Dauer und Anspruch erheblich unterscheiden, war es zunächst schwierig, ein geeignetes Thema zu finden, das den Ansprüchen beider Seiten gerecht wird. Das Thema dieser Arbeit, Numerische Simulation der magnetischen Speicherung unter Berücksichtigung des vektoriellen Charakters der Hysteresis des magnetischen Materials, versprach diese Erwartungen zu erfüllen. Es stellt gewissermassen den Abschluss einer längeren Serie von Arbeiten dar, die in den vergangenen Jahren im LETI durchgeführt wurden [4],[5]. Jede dieser Arbeiten brachte Verbesserungen in die Simulation der magnetischen Speicherung ein, in direkter Beziehung mit der steigenden Leistung moderner Rechenanlagen: Angefangen vom einfachen Wiliam-Comstock-Model der Transition, über verschiedene analytische Modele, bis zum Preisach-Model. Der letzte Schritt wurde in der vorliegenden Arbeit getan: Die stets angenommene skalare Hypothese wurde aufgegeben und stattdessen durch ein voll vektorielles Modell ersetzt, dessen Leistungsfähigkeit in verschiedenen experimentellen Arbeiten demonstriert wurde [20], [23]. Es handelt sich um die erste Realisierung dieser Art überhaupt und die ersten Ergebnisse sind vielversprechend.

Die Arbeit ist in verschiedene Kapitel gegliedert, von denen ich im Folgenden eine Zusammenfassung geben möchte.

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Kapitel 1, Notions du magnetisme, stellt den physikalischen Grundlagenteil der Arbeit dar. Es werden verschiedene elementare Begriffe des Magnetismus besprochen, die als Grundlage für die weiteren Betrachtungen dienen. Dies geschieht auf unterschiedlichen Massstäben: auf atomarer Ebene stellt sich das magnetische Material als Ensemble einer sehr grossen Zahl von Elementarmagneten dar, die vom Drehimpuls der Elektronenhülle der Atome herrühren. Die Wechselwirkungen dieser elementaren Momente untereinander dienen als Erklärung für die verschiedenen Phänomene des Magnetismus. Auf dem nächsthöheren Niveau, der mikroskopischen Ebene, rückt der Begriff der Weißschen Bezirke in den Mittelpunkt. Es handelt sich um Bereiche mit konstanter Magnetisierung im Material. Die Variation der gemessenen Magnetisierung nach Anlegen eines magnetischen Feldes wird als Verschiebung der Bezirksgrenzen interpretiert. Die höchste Ebene, die makroskopische Ebene, reflektiert direkt die Beobachtung des Experimentators: Er mißt die Magnetisierung einer Probe in Abhängigkeit des angelegten Feldes und stellt dabei einen besonderen, nicht-linearen Zusammenhang beider Grössen fest. Die Magnetisierung der Probe hängt offenbar nicht nur vom aktüllen Wert des magnetischen Feldes ab, sondern auch von der Gesamtheit der vorher angelegten Feldstärken, die Geschichte des Materials. Dies führt zum Begriff der Hysteresis, der der zentrale Ausgangspunkt für die magnetischen Speichertechniken ist.

In Kapitel 2 werden die Prinzipien der magnetischen Speicherung vorgestellt. Der Aufbau eines digitalen magnetischen Speichersystems wird erklärt und es wird dabei ersichtlich, wie die Hysteresis des Speichermediums zur Aufnahme von Informationen dient. Verschiedene, in der Industrie gebräuchliche Parameter werden vorgestellt und ihr Zusammenhang mit physikalischen Größen erläutert. Gleichzeitig wird dabei die Bedeutung numerischer Simulationen zur Weiterentwicklung dieser Technik deutlich.

Kapitel 3 dient dem vertieften Studium der magnetischen Hysteresis. Der rein physikalische Ansatz, im Prinzip möglich, da der quantenmechanische Ursprung des Magnetismus bekannt ist, erweist sich für unsere Zwecke als ungeeignet, aus zweierlei Gründen: Erstens würde eine solche Lösung viel unnötige, da experimentell unzugängliche, Information enthalten, und zweitens wäre der Rechenaufwand für eine spätere Einbindung in eine numerische Simulation viel zu groß. Die führt zur Einsicht der Notwendigkeit einer Modellisation des Phänomens. Ich habe im Rahmen dieser Arbeit auf ein Studium der Vielfältigkeit analytischer Hysteresis-Modelle verzichtet, da sie mir für den Physiker als zu unbefriedigend erscheinen. Stattdessen gehe ich direkt zum Preisach-Modell über, das sich durch seinen eleganten Formalismus und seine Präzision aufdrängt. Zwei verschiedene mögliche Formulierungen des Modells werden besprochen. Das ursprüngliche Preisach-Modell, in dem das magnetische Material als Ensemble von elementaren Hysteresis-Partikeln verstanden wird, deren statistische Verteilung durch die Preisach'sche Dichtefunktion bestimmt ist, und die Everett'sche Formulierung, die numerisch effizienter zu implementieren ist und dazu auch in direkter Beziehung mit experimentellen Daten steht. Der mathematische Zusammenhang zwischen beiden Formulierungen wird herausgearbeitet und eine experimentelle Prozedur zur Identifizierung des Preisach-Modells definiert.

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Kapitel 4 beinhaltet den experimentellen Teil der Arbeit. Das Preisach-Modell wird aufbauend auf den Erkenntnissen von Kapitel 3 für verschiedene Speichermedien identifiziert. Die hierfür verwendete Apparatur ist ein Vibrations-Magnetometer, engl. VSM. Ausgehend von den experimentellen Rohdaten, wird die Preisach'sche Dichtefunktion der Materialien gewonnen. Hierfür wurde eine spezielle Programmbibliothek entwickelt, die dem Benutzer die Verarbeitung der Daten erleichtert und alle nötigen Funktionen für das Preisach-Modell bereitstellt. Die Qualität des Modells wird durch Vergleich der simulierten Minor-Zyklen mit experimentellen Daten überprüft.

Beim näheren Studium der Preisach-Dichte konnten wir feststellen, das diese durch das Produkt zweier Gauss-Funktionen, definiert durch ihre Standardabweichungen, angenähert werden kann. Im Anhang 1 wird eine experimentelle Prozedur zur Bestimmung dieser Parameter aufgestellt.

In Kapitel 5 werden die bis dahin aufgestellten Methoden und Erkenntnisse auf die Simulation der magnetischen Speicherung angewandt. Das Preisach-Modell wurde in die Finite Elemente Software FLUX3D implementiert, die am Laboratoire d'Electrotechnique de Grenoble entwickelt wurde. Hierdurch wird das Hysteresis-Modell für eine grosse Bandbreite numerischer Simulationen nutzbar. Das somit entstandene Software-Werkzeug wird für die Modellisierung eines typischen Magnetspeichersystems verwendet. Es besteht aus einem der am LETI entwickelten Schreib/Lese-Köpfe und einem Dünnschicht DVC Band, für das das Preisach-Modell identifiziert wurde. Dabei wird in der skalaren Näherung gearbeitet: Da die magnetische Schicht des Bandmaterials sehr dünn ist (ca. 0.2 µm) besteht eine

starke horizontale Formanisotropie, die den Magnetisierungsvektor in die Bandebene zwingt. Daher wird die Magnetisierung als skalare Größe angenommen, die einzig auf die longitudinale, also in Bandrichtung liegende Komponente des Schreib-Feldes reagiert. Somit wird das skalare Preisach-Modell für diese Art von Simulation nutzbar. Eine mögliche transversale Komponente wird dabei vernachlässigt. Tatsächlich aber zeigen experimentelle Befunde, dass die Anisotropie bestimmter Bandmaterialien, insbesondere der neueren metal evaporated ( ME ) tapes, ausserhalb der Ebene der magnetischen Beschichtung liegt. Daher muss vermutet werden, dass in diesem Fall die Magnetisierung nach Anlegen des Schreibfeldes nicht in dieser Ebene bleibt, sondern einen bestimmten Winkel zu der Ebene bildet. Folglich muß die skalare Hypothese aufgegeben werden und durch ein Vektormodell ersetzt werden.

In Kapitel 6 wird ein solches Vektormodell vorgestellt. Es handelt sich um eine neuere Entwicklung des Teams um Prof. Stanley Charap am Data Storage Research Center. Dieses Modell wurde in einer PhD Arbeit am LETI [5] eingehend untersucht und es wurde eine exzellente Übereinstimmung mit experimentellen Daten gefunden. Das Modell beschreibt gleichermassen gut den Mechanismus der koheränten Rotation, sowie des irreversiblen Umklappens der Magnetisierung. Dieses Modell wurde im Laufe der Arbeit völlig neu implementiert, dabei wurde besonders auf schnelle, effiziente Programmierung Wert gelegt. Die entstanden Software-Module wurden in die Finite Elemente Software FLUX3D, entwickelt am LETI und am LEG, eingebunden. Der Schreib/Lese-Prozess auf einem ME Band wird simuliert und die Resultate diskutiert.

Dem eigentlichen Text folgen verschiedene Anhänge:

Anhang 1 enthält den Vorschlag einer Prozedur zur Identifikation der Parameter σ i und σ c der

Dichtefunktion des Preisach Modells.

Anhang 2 soll als Beispiel der am LETI entwickelten Technologie dienen. Anhang 3 gibt einige Details der Implementation der Hysteresis-Modelle in die Finite Elemente Software FLUX3D.

Anhang 4 enthält unsere Publikation der Resultate, eingereicht bei der INTERMAG'98

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