Das Doppelspaltexperiment in der Quantenmechanik

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Doppelspaltexperiment und die daraus resultierenden Erkenntnisse über Photonen und Elektronen beziehen.

Das Doppelspaltexperiment mit Teilchen

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Streuung auf den Doppelspalt. 3) Die

Geschosse, die durch die Barriere hindurchgelangen, werden von Detektorbüchsen aufgefangen und nach einer hinreichenden Anzahl an insgesamt abgeschossenen Projektilen (denn nur das gibt aussagekräftige Werte für Statistiken) ausgezählt. So ergibt sich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Auftreffen der Projektile in den einzelnen Detektorbüchsen. An den äußeren Rändern der Detektorreihe kommen statistisch gesehen weniger Geschosse an als in der Mitte, da die Mitte durch beide Spalte am günstigsten getroffen werden kann, die Ränder im Regelfall jedoch nur durch den ihnen am nächsten gelegenen Spalt getroffen werden. Zu vergleichen ist dieses Teilchenverhalten auch mit Billardkugeln, die von der Bande (hier der Spalt) abprallen und dabei ständig gerade Bahnen zurücklegen. Die Projektile des imaginären Maschinengewehrs können ebenso wie die Billardkugeln von den Innenkante der Spalte abprallen und so abgelenkt werden. Wegen des Winkels ist es nun wahrscheinlicher, dass das Projektil in Richtung der Mitte der Reihe mit Detektorbüchsen abgelenkt wird. Das Doppelspaltexperiment mit Teilchen ist also mit der klassischen Mechanik lückenlos zu erklären. Deshalb ist dieses Beispiel sehr geeignet, um die Eigenschaften eines deterministischen Systems zu beschreiben. Bei Wissen um den Abschusswinkel kann man den

2 Hey, Tony: Das Quantenuniversum, 2. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag,

Heidelberg 1998

3 Feynman, Richard: Lectures on Physics, Vol. 3. Englische Originalausgabe, Addison-

Wesley Publishing Company, Menlo Park, California, USA 1965

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weiteren Verlauf des Teilchens voraussagen. Newtons Theorie gerät also hier noch nicht ins Wanken.

Das Doppelspaltexperiment mit Wellen

Kreiswellen erzeugt (vgl. Huygenssches Prinzip). Hinter der Doppelspaltbarriere sind dieses Mal keine Auffangbüchsen installiert, sondern Bojen, die auf der Wasseroberfläche schwimmen und so immer die jeweilige Wasserhöhe an einer Stelle angeben. Auf dem Weg von der Doppelspaltbarriere zu den Bojen haben die beiden Kreiswellen Gelegenheit miteinander zu interferieren. Dabei gilt aus der klassischen Mechanik: die Amplituden der Wellen addieren sich in jedem Punkt. So wird aus zwei Wellenbergen ein doppelt so hoher Wellenberg, bei zwei Wellentälern ein doppelt so tiefes Wellental. Ebenso gilt auch, dass sich Wellental und Wellenberg ausgleichen. Die Überlagerung der Wellen bildet also ein aus der klassischen Mechanik wohlbekanntes Interferenz- muster (siehe Abb. 5).

Dieses erhält man, indem man die Bewegung der Bojen in einem Moment maximaler Amplitude „einfriert“ und frontal betrachtet. Wellental und Wellenberg wechseln einander ab, das Interferenz- muster ist typisch für Wasserwellen. Der Unterschied zwischen dem Versuch mit Teilchen und dem mit Wasserwellen ist also, dass es bei Teilchen zu keiner Interferenz kommen kann, da sie immer einzeln

4 / 5 Hey, Tony: Das Quantenuniversum, 2. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag,

Heidelberg 1998

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abgeschossen werden. Wellen jedoch können durchaus miteinander interferieren.

Das Doppelspaltexperiment im Schulexperiment

Da kein Doppelspalt zur Verfügung steht, um die Beugung von Elektronen experimentell nachzuweisen, geschieht selbiges mit einer polykristallinen Graphitfolie als Beugungsgitter, also praktisch mit einem „Vielspalt“.

Versuchsaufbau

In einem luftleeren Glaskolben befinden sich die Hauptbestandteile der Elektronenbeugungsröhre: die Glühkathode als Elektronenquelle, die Anode mit Beugungsgitter als „Vielspalt“ und die auf die Innenseite des Glaskolbens aufgebrachte Fluoreszenzschicht. Als Heizspannung werden 6 Volt Gleichstrom verwendet, während man für die Anode Spannungen im Bereich von 5 kV und mehr benutzt, um den Elektronenstrahl verschieden stark beschleunigen zu können. Experimente mit mehr als 5 kV sind praktisch möglich, vom Hersteller der Beugungsröhre aber ausdrücklich untersagt. Zur Überprüfung der Ausgangsspannung des Hochspannungsnetzgerätes schließt man noch ein Voltmeter an, das für diesen Spannungsbereich ausgelegt ist, um bei der Spannungsmessung einen wirklich exakten Wert zu bekommen.

6 der Anleitung zur Elektronenbeugungsröhre entnommen; Hersteller: Leybold-

Heraeus, Köln 1971

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Des Weiteren ist zu empfehlen, die Stelle an der Fluoreszenzschicht, an der der ungebeugte Elektronenstrahl (Primärstrahl) auftrifft, mit Klebeband abzukleben. Durch seine Helligkeit könnte er die Sichtbarkeit der Beugungsringe beeinträchtigen. Das Innere der Elektronen- beugungsröhre möchte ich anhand einer weiteren Grafik erläutern: 7)

Der in der Grafik gekennzeichnete Punkt S ist der Punkt, an dem der ungebeugte Elektronenstrahl auftrifft. U A ist die Hochspannung zum Beschleunigen der Elektronen. U A liegt an den beiden Anoden A 1 und A 2 an. Zusammen mit den Kathoden K 1 und K 2 wird der Elektronenstrahl gebündelt und passiert fokussiert das polykristalline Graphitgitter. Die Elektronen gelangen von der mit U f beheizten Kathode K 1 kommend in die Beugungsröhre. Hier liegen, wie oben schon erklärt, 6 V Gleichstrom an.

Beobachtung

Interessant wird es natürlich erst, wenn man die beiden Spannungen tatsächlich anlegt. Legt man zuerst die Heizspannung (U f ) an, so erscheint ein grün leuchtender Punkt auf der Fluoreszenzschicht. Schaltet man nun die Hochspannung dazu und regelt sie in einen Bereich von mehreren Kilovolt, so erscheinen auf der Fluoreszenzschicht konzentrische Ringe, die sich mit steigender Spannung zusammenziehen. Bei 5 kV Beschleunigungsspannung 7 der Anleitung zur Elektronenbeugungsröhre entnommen; Hersteller: Leybold-

Heraeus, Köln 1971

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beispielsweise erhält man für die beiden dem Mittelpunkt am nächsten stehenden Ringe die Radien R 1 = 1,1 cm und R 2 = 1,9 cm.

Probleme bei den Messungen traten jedoch auch auf. Darauf will ich im Folgenden eingehen.

Zum einen war die Leuchterscheinung nur hell genug, wenn ein großer Strom floss. Dieser Strom jedoch überblendete jegliche Beugungs- erscheinungen. Regelte man den Strom nun auf ein Minimum herunter, dann erschienen klare Beugungsringe um den Mittelpunkt herum, aber der Strom war zu gering, um eine ausreichende Anzahl von Elektronen durch die Glühkathode zu verschießen. Wenige Sekunden nach Herunterregeln des Stroms verschwanden die Beugungsringe, was eine Messung äußerst schwierig machte. Ebenso erschwerte die fehlende Präzision des Hochspannungstransformators das Einstellen einer konkreten Beschleunigungsspannung. Oft schwankte die Spannung um mehrere hundert Volt, und da die Spannung durch das Herunterregeln des Stroms ohnehin anstieg, waren genaue Messungen schwer möglich. Dennoch ergaben die Messungen einige Werte, die man unter Umständen noch auswerten kann. Damit gelange ich zur Deutung.

Deutung

Die ringförmigen Leuchterscheinungen müssen durch Beugung am polykristallinen Gitter durch Reflexion entstehen, da bei einem einfachen Elektronenstrahl keine Interferenz und damit keine Beugung auftreten kann. Eine Grafik veranschaulicht den Sachverhalt:

8 Bergmann, Martin: Duden Physik. 4., völlig neu bearbeitete Auflage, Dudenverlag,

Mannheim 2001

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vereinfachen, betrachte ich nur zwei Strahlen des Bündels, die unter dem Winkel α eintreffen. Die beiden Strahlen werden an zwei parallelen Gitterebenen reflektiert und verlaufen nach der Reflexion parallel weiter, jedoch mit einer Phasenverschiebung von ∆s = 2 . d . sin α , wie man auf obiger Grafik erkennen kann. Die Strecke, um die die beiden reflektier- ten Strahlen nun phasenverschoben sind, ist also abhängig von dem Reflexionswinkel und von dem Abstand der beiden Ebenen in dem Gitter d . Das Elektronenstrahlbündel teilt sich folglich in mindestens zwei parallele Strahlen auf, die jedoch phasenverschoben sind. Die beiden Elektronenstrahlen sind ganz offensichtlich in der Lage, miteinander zu interferieren, was auf eine Wellennatur schließen lässt. Gerade diese Beugungsbilder, die man nun auf dem Fluoreszenzschirm beobachten kann, sind typisch für Wellen (wie in dem Versuch mit Wasserwellen zu sehen war). Das Bild auf dem Fluoreszenzschirm ist der Schnitt des Beugungskegels, der durch die Reflexion und Interferenz am Gitter entsteht.

Zu einer Interferenz kommt es, wenn die Braggsche Reflexions- bedingung erfüllt ist. Sie lautet:

2 . d . sin α = n . λ

, wobei d der Gitterabstand (Netzebenenabstand), α der Reflexionswinkel und λ die Wellenlänge des Elektronenstrahls ist. n steht für eine beliebige natürliche Zahl, bei der aufgrund der Wiederholung bei der Phasenverschiebung ebenso Interferenz auftritt.

Auf eine weitere Gleichung kommt man mit Näherung. 9)

gilt. Für kleine Winkel, wie sie bei diesem Experiment auftreten, gilt näherungsweise 2 . sin α = R / L . Wenn man diese Gleichung in die Braggsche Bedingung einsetzt, dann erhält man:

9 der Anleitung zur Elektronenbeugungsröhre entnommen; Hersteller: Leybold-

Heraeus, Köln 1971

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Ich will nun durch diese Gleichungen und meine Messergebnisse auf die Struktur des verwendeten Gitters schließen. Um auf die Werte für die Abmaße des Gitters zu kommen, muss ich obige Gleichung nach d umformen. Sie sieht dann so aus:

Die Entfernung L von dem Gitter bis zur Fluoreszenzschicht ist vom Hersteller der Elektronenbeugungsröhre mit 13,5 cm ( = 0,135 m ) angegeben. Die Radien der Beugungslinien R 1 = 1,1 cm und R 2 = 1,9 cm wurden bei dem Experiment gemessen. Da mir die generelle Beschaffenheit einer Graphitschicht bekannt ist, definiere ich zwei

ebenenabstände.

Der Physiker De Broglie bekam im Jahre 1929 den Nobelpreis für seinen Beweis der Wellennatur von Elektronen. Er hatte folgende Gleichung aufgestellt:

h ist hier das Plancksche Wirkungsquantum, eine Konstante. m ist die Masse des Teilchens, also hier des Elektrons, und v ist dessen Geschwindigkeit. Da die Geschwindigkeit v von der Spannung abhängt, brauchen wir die Energiegleichung für Elektronen, in der sowohl die Spannung als auch die Geschwindigkeit Variablen sind. Die Energiegleichung lautet:

Wenn man diese Gleichung nach m . v auflöst und in die Gleichung von

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De Broglie einsetzt, so erhält man eine Gleichung für die Wellenlänge der Elektronenstrahlung:

Setzt man nun die Werte der einzelnen Konstanten in die Gleichung ein, so erhält man eine Formel zum Berechnen der Wellenlänge bei einer beliebigen Beschleunigungsspannung – genau das, was zur Berechnung der Gitterabmessungen fehlte. Da die Spannung natürlich nicht ausreichend genau bestimmt werden kann, ist die Formel nur ein Näherungsversuch, welcher die Werte jedoch hinreichend beschreibt.

Bei der Beschleunigungsspannung von 5 kV, für welche mir auch die Messwerte der Radien vorliegen, ergibt sich durch Einsetzen der Spannung in die obige Gleichung eine Wellenlänge von

Da nur allein dieser Wert fehlte, um die Symmetrieebenenabstände zu bestimmen, ist man jetzt in der Lage, konkrete Werte für d 1 und d 2 auszurechnen. Für die Abstände d 1 und d 2 ergeben sich durch Einsetzen der Werte für λ, L und R folgende Werte:

Die Bestimmung der Symmetrieebenenabstände hat einen wichtigen Nutzen in der Physik wie auch in der Chemie. Mit ihrer Hilfe können die Strukturen von Kristallen näher erforscht werden.

Die wichtigste Erkenntnis dieses Versuches ist schließlich und endlich, dass Elektronen eine Wellennatur besitzen, was mit ihrer Fähigkeit zur Interferenz und ihrem Gehorchen der De-Broglie-Gleichung bewiesen

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wurde. Doch wie reagieren Elektronen im Doppelspaltexperiment? Weisen sie dort ähnliche Eigenschaften auf?

Das Doppelspaltexperiment mit Photonen / Elektronen

Anders als bei den vorausgehenden Doppelspaltexperimenten mit Teilchen und Wasserwellen ist der Versuch mit Photonen bzw. Elektronen nicht mehr mit dem Verstand nachzuvollziehen. Alles, was man hier leisten kann, ist, eine möglichst exakte Beschreibung des Versuchs zu geben und die Beobachtungen zu notieren – erklären kann man sie hingegen nicht. Ob der Versuch mit Photonen (Lichtteilchen) oder Elektronen gemacht wird, spielt für das Ergebnis keine Rolle. Young beobachtete, wie beim Einsatz von Licht an einem Doppelspalt Interferenz auftrat. Das Experiment vollziehe ich in Gedanken nun mit Elektronen. Die Versuchsanordnung sieht wie folgt aus:

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Wahrscheinlichkeit für den Ort

des Auftreffens ist dieselbe wie bei dem Versuch mit dem Maschinen- gewehr aus dem Doppelspaltversuch mit Teilchen, wenn auch hier nur ein Spalt geöffnet ist. Wird Spalt 2 geöffnet und Spalt 1 geschlossen, so

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ergibt sich die analoge Wahrscheinlichkeitskurve, selbstverständlich um die Horizontale gespiegelt.

Wenn aber beide Spalte geöffnet sind, wie sieht dann die Wahrschein- lichkeitskurve aus? Nach den Erfahrungen aus dem Versuch mit Teilchen könnte man annehmen, dass sich die Auftreffwahr- scheinlichkeiten der einzelnen Teilchen wieder einmal zu einer Gesamtkurve addieren, zumal die Elektronen sich bei geschlossenen Spalten durchaus wie Teilchen verhalten. Das ist jedoch ein Trugschluss. Die beiden Wahrscheinlichkeitskurven addieren sich nicht etwa, sondern es bildet sich dieselbe Interferenzerscheinung wie bei Wasserwellen, wie in der Abbildung deutlich wird:

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Daraus kann man folgern, dass sich Elektronen manchmal wie Teilchen verhalten (hier beispielsweise, wenn einer der Spalte verschlossen ist), manchmal aber auch wie Wellen (wenn beide Spalte geöffnet sind). Die Elektronen in der Grafik sind deshalb halb weiß, halb schwarz gezeichnet, da man nicht genau feststellen kann, durch welchen Spalt ein Elektron nun gekommen ist. Theoretisch müsste es ja durch beide gekommen sein, denn es tritt Interferenz auf. Aber dass sich ein Elektron in zwei Teile teilt, die dann separat durch zwei Spalte fliegen, ist ausgeschlossen, da ein Elektron immer als Ganzes betrachtet wird. Es hat den Anschein, dass ein Elektron als Teilchen aus der Elektronenkanone abgeschossen wird und als Teilchen im Detektor ankommt. Die Verteilung, also die Wahrscheinlichkeitskurve, deutet jedoch darauf hin, dass es sich als Welle fortpflanzt. Man kann mit Fug und Recht behaupten, dass dieses Dilemma für die Quantenmechanik typisch ist. Man kann das Verhalten sehr wohl beschreiben, aber erklären kann man es nicht. Jedoch spricht das Ergebnis des Doppelspaltexperiments mit Elektronen ganz klar dafür,

12 Hey, Tony: Das Quantenuniversum, 2. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag,

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dass sich Elektronen manchmal wie Teilchen, manchmal aber wie Wellen verhalten. Das liefert den Grundstein für das Fazit dieser Facharbeit, auf welches ich im letzten Teil der Facharbeit eingehen werde: der Welle-Teilchen-Dualismus von Photonen und Elektronen.

Der Welle-Teilchen-Dualismus

Als also Anfang des 20. Jahrhunderts die Meinung vorherrschte, Licht sei eine Wellenbewegung, zeigten Albert Einstein und Max Planck, dass man Beobachtungen in der Physik weniger aufwändig erklären konnte, wenn man vom Teilchencharakter des Lichts ausging. Bragg, welcher schon im Vorfeld angesprochen wurde, beschrieb die missliche Lage der Physiker treffend, als er sagte, er lehre an einigen Tagen der Woche die Teilchennatur von Licht, an anderen Tagen jedoch die Wellennatur. De Broglie vermutete auch, dass jegliche Materie Welleneigenschaften besitze, also selbst die Projektile des Maschinengewehrs aus dem Doppelspaltexperiment mit Teilchen, das man intuitiv gerne der klassischen Mechanik zuordnet. Nachdem seine Theorie von Einstein gegengelesen und als interessant empfunden worden war, bekam De Broglie für diese Vermutung 1929, wie oben schon berichtet, den Nobelpreis für Physik. Wenige Jahre später wurde tatsächlich bewiesen, dass Elektronen, die bis dahin als Teilchen verstanden worden waren, eine Wellennatur besitzen. Warum aber lassen sich die Welleneigenschaften dann nicht bei klassischen Teilchen wie beispielsweise Gewehrkugeln beobachten?

Nach De Broglie ist die Gleichung für die Wellenlänge folgende:

Setzt man nun Werte für makroskopische Objekte wie Gewehrkugeln in die Gleichung ein, so ergibt sich ein verschwindend kleiner Wert für die Wellenlänge der Gewehrkugel. Wie man an dem Doppelspaltexperiment mit Wellen gesehen hat, muss der Abstand der beiden Spalte ungefähr in der gleichen Größenordnung sein wie die Wellenlänge der zu untersuchenden Objekte. Da aber die Wellenlänge der Gewehrkugeln noch unterhalb atomarer Größenordnung anzusiedeln ist, ist es schier

Heidelberg 1998

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unmöglich, sich ein Experiment auszudenken, bei dem man eine

Interferenz von Gewehrkugeln beobachten könnte. Man kann also

behaupten, dass die Plancksche Konstante unsere Alltagswelt von der

Welt der Quanten trennt, indem sie die Wellenlängen makroskopischer

Objekte unmessbar klein werden lässt.

Literaturverzeichnis

BERGMANN, MARTIN: Duden Physik. 4., völlig neu bearbeitete Auflage, Dudenverlag, Mannheim 2001

CRAWFORD, FRANK S. : Berkeley Physics Course Vol. 3– Waves. 3. Auflage im Original, McGraw & Hill, Berkeley, 1968

FEYNMAN, RICHARD: Lectures on Physics. Vol. 3. Englische Originalausgabe, Addison-Wesley Publishing Company, Menlo Park, California, USA 1965

HÄNSEL, HORST; NEUMANN, WERNER: Physik –- Atome – Atomkerne - Elementarteilchen. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1995

HÄNSEL, HORST; NEUMANN, WERNER: Physik –- Elektrizität – Optik – Raum und Zeit. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1993

HÄNSEL, HORST; NEUMANN, WERNER: Physik – Mechanik und Wärmelehre. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1993

HEY, TONY: Das Quantenuniversum. 2. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1998

MESCHEDE, D. : Gerthsen Physik, 17., völlig neu bearbeitete Auflage, Heidelberg 1995

TIPLER, PAUL: Physik. 3. korrigierte Auflage. Übersetzt aus dem Englischen. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1994

WICHMANN, EYVIND H. : Berkeley Physics Course Vol. 4– Quantum Physics.

2. Auflage im Original, McGraw & Hill, Berkeley, 1971

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Zur Erstellung der Facharbeit habe ich keine Internetseiten hinzugezogen. Ich habe die Schriftart Arial, Schriftgröße 12 (Schriftgröße

14 für Überschriften) verwendet.

Anhang

Anbei befindet sich eine CD-ROM mit folgenden Inhalten zur weiterführenden Beschäftigung mit dem Thema „Das Doppelspaltexperiment in der Quantenmechanik“:

- Links zu interessanten Seiten rund um das Thema der Quantenmechanik

- Ein Programm zur Simulation des Doppelspaltexperiments

- Mehrere PDF-Dateien mit Aufsätzen zur Quantenmechanik, darunter Richard Feynmans „QED“.

- HTML-Seiten mit Informationen zur Quantenmechanik

- Bilder meines Schulversuchs mit der Elektronenbeugungsröhre

- Meine Facharbeit als HTML-Seite

Anleitung:

Zum HTML-Inhaltsverzeichnis kommen Sie, indem Sie sich den Inhalt Ihres CD-ROM-Laufwerkes zeigen lassen und die „index.html“ mit einem Doppelklick starten. Viel Vergnügen.

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Selbstständigkeitserklärung

Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Facharbeit selbstständig und ohne fremde Hilfe verfasst und keine anderen als die angegebenen Hilfsmittel verwendet habe. Insbesondere versichere ich, dass ich alle wörtlichen und sinngemäßen Übernahmen aus anderen Werken als solche kenntlich gemacht habe.

Dortmund, den _____________ ____________________ Unterschrift