Die Zahl e

  Spezialgebiet Mathematik 2 Die Zahl e  

Inhalt:

1.  Was für eine Zahl ist e  

2.  Grenzwert  

3.  Funktionen mit e  

  e  x

  e θ  

  (e x e - x )/2  

  e i  x

  e x i y  

4.  Wachstums- und Zerfallsprozesse  

5.  Quellen  

  Bettina Schinninger 2001 /2002  

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W a s f ü r e i n e Z a h l i s t e

Die Geschichte von e umfasst nur etwa vier Jahrhunderte. Die historischen Wurzeln von e sind nicht klar umrissen. Sie scheinen ins sechzehnte Jahrhundert zurückzugehen, als man zum ersten Mal bemerkte, dass der in der Formeln für den Zinseszins auftretende Ausdruck (1 + 1/n) ⁿ mit wachsendem n gegen einen gewissen Grenzwert strebt, der bei ungefähr 2,7128 liegt. Damit ist e die erste Zahl, die durch einen Grenzwertprozess definiert worden ist: e = lim (1+ 1/n) ⁿ für n → ∞. Einige Zeit hindurch wurde die neue Zahl als eine Art Kuriosität angesehen. Dann aber brachte die Erfolgreiche Quadratur der Hyperbel die Logarithmusfunktion und die Zahl e an die vorderste Front der Mathematik. Der entscheidende Schritt kam mit der Erfindung der Infinitesimalrechung, als sich herausstellt, dass die Umkehrfunktion der Logarithmusfunktion mit ihrer eigenen Ableitung übereinstimmt. Um 1750 ließ Euler für die Variable x sogar komplexe Werte zu und ebnete damit den Weg zur Theorie der Funktionen einer komplexen Variable mit ihren bemerkenswerten Eigenschaften. Doch was für eine Zahl ist e eigentlich? Eine irrationale, transzendente Zahl! Ich möchte nun kurz beschreiben wie die Mathematiker nach und nach zu dieser Erkenntnis kamen.

Die Griechen glaubten alles durch rationale Zahlen, also durch Brüche, ausdrücken zu können. Eine Eigenschaft, durch die sich die rationalen Zahlen von den ganzen Zahlen unterscheiden, ist, dass sie eine dichte Zahlenmenge bilden. Das bedeutet, dass sich zwischen zwei beliebig nahe nebeneinander liegende Brüche stets ein weitere Bruch schieben lässt. Eines der folgenschwersten Ereignisse in der Geschichte der Mathematik war die Entdeckung, dass die rationalen Zahlen trotz ihrer Dichte „Löcher“ auf der Zahlengerade lassen - Punkte denen keine rationale Zahl zugeordnet ist. Die Entdeckung der Löcher hat mit der Diagonale eines Einheitsquadrates zu tun. Bezeichnet man die Länge der Diagonale mit x, dann gilt nach dem Satz von Pythagoreas x ² = 1 ² + 1 ² , so dass x = √2 ist. Man versuchte diese Zahl durch eine Bruch darzustellen, doch es gelang nicht. Die irrationalen Zahlen waren entdeckt.

Vereinigt man die Menge der rationalen Zahlen mit derjenigen der irrationalen Zahlen, dann erhält man die umfassendere Menge der reellen Zahlen. Eine reelle Zahl ist eine

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Zahl, die sich als Dezimalbruch schreiben lässt. Er gibt drei Arten von Dezimalbrüchen: abbrechende, wie 1,4; nichtabbrechende und periodische, wie 0,272727... (0,27) und nichtabrechende nichtperiodische, wie 0,1010010001... Die ersten beiden Arten stellen stets rationale Zahlen, die Dezimalbrüche der dritten Art immer irrationale Zahlen dar. Weiters kann eine Einteilung der Zahlen in algebraisch und transzendent erfolgen. Eine reelle Zahl, die Lösung einer Polynominalgleichung mit ganzzahleigen Koeffizienten ist wird algebraisch genannt. Zum Beispiel sind die Zahlen -1, 2/3 und √2 Lösungen der Polynominalgleichungen x + 1 = 0, 3x - 2 = 0 beziehungsweise x ² + 1 = 0. Eine reelle Zahl, die nicht algebraisch ist, wird transzendent genannt (lateinisch tranzscendere = überschreiten). Diese Art von Zahlen wurde 1850 entdeckt.

Grenzwert

Das sonderbare Verhalten des Ausdrucks (1+1/n) ⁿ für große Werte von n muss zunächst wirklich rätselhaft erscheinen. Betrachten wir einmal nur den in den Klammern stehenden Ausdruck 1+1/n. Mit wachsendem n nähert sich 1/n der 0 und damit nähert sich 1+1/n der 1, bleibt dabei immer größer als 1. Man könnte also der Versuchung erliegen und schlussfolgern, dass für „wirklich große“ n (was auch immer „wirklich groß“ bedeutet) der Ausdruck (1+1/n) durch 1 ersetzt werden kann. Nun ist aber jede Potenz von 1 immer gleich 1 und so hat es den Anschein, dass sich (1+1/n) ⁿ für große n der Zahl 1 nähert. Wäre das wirklich der Fall, dann bräuchten wir hierüber keine weiteren Worte mehr zu verlieren.

Geht man etwas anders an die Sache heran und bildet höhere Potenzen einer Zahl, die größer als 1 ist, so erhält man bekanntlich immer größere Zahlen. Da aber 1+1/n stets größer als 1 ist, könnte man den Schluss ziehen, dass (1+1/n) ⁿ mit wachsendem n ebenfalls unbeschränkt wächst, dass heißt gegen unendlich strebt. Damit wäre man wieder am Ende der Geschichte.

Das Bedenkliche dieser Schlussfolgerungen erkennt man bereits an der Tatsache, dassin Abhängigkeit von der Herangehensweise - zwei verschiedene Ergebnisse herausgekommen sind: 1 im ersten Fall und Unendlich im zweiten. In der Mathematik muss das Endergebnis einer gültigen numerischen Operation immer ein und dasselbe Bettina Schinninger 2001/2002

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sein, unabhängig davon, wie man zu diesem Ergebnis gekommen ist. Warum also sind dann für (1+1/n) ⁿ zwei verschiedene Ergebnisse herausgekommen? Die Antwort auf diese Frage verbirgt sich hinter dem Wort gültig. Als Beispiel einer ungültigen Operation: √9+16 = 3+4 = 7. Der Grund für diesen Fehler liegt darin, dass das Ziehen der Quadratwurzel keine distributive Operation bezüglich der Addition ist. Unser Umgang mit dem Ausdruck (1+1/n) ⁿ beruhte gleichfalls auf ungültigen Operationen, da wir einen der grundlegendsten Begriffe der mathematischen Analysis, den Begriff des Grenzwertes fehlerhaft behandelten.

Mit der Redeweise, dass eine Zahlenfolge a 1 , a 2 , a 3 , ...., a n ,...für n gegen unendlich gegen einen Grenzwert L strebt, meint man, dass die Glieder der Folge mit wachsendem n der Zahl L immer näher kommt. Mit anderen Worten: Der absolute Betrag der Differenz von a n und L kann beliebig klein gemacht werden, wenn wir nur in unserer Folge hinreichend weit nach „draußen“ gehen - dass heißt, wenn wir n hinreichend groß wählen. Man betrachte zum Beispiel die Folge 1, 1/2, 1/3, 1/4,..., deren allgemeines Glied a n = 1/n ist. Mit wachsendem n geht dieser Ausdruck gegen 0. Das bedeutet, dass die Differenz zwischen 1/n und dem Grenzwert 0 (diese Differenz beträgt gerade 1/n) beliebig klein gemacht werden kann, wenn nur n groß genug gewählt wird. Wenn etwa 1/n kleiner als 1/1000 gemacht werden soll, dann muss einfach nur n größer als 1000 gewählt werden. Man sagt, dass 1/n gegen 0 strebt, falls n über alle Schranken wächst und schreibt 1/n → 0 für n → ∞. Hierfür wird auch die abgekürzte Schreibweise

lim 1/n = 0

^n→∞ verwendet.

Der Ausdruck lim n→∞ 1/n = 0 besagt nur, dass der Grenzwert von 1/n für n→∞ gleich 0 ist. Das bedeutet nicht, dass 1/n selbst jemals gleich 0 ist. Genau hierin liegt das Wesen der Grenzwertebegriffes: Eine Zahlenfolge kann einem Grenzwert beliebig nahe kommen, ohne ihn jemals wirklich zu erreichen.

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In dieser Tabelle kann man sehen, dass sich der Ausdruck (1+1/n)n für sehr große Werte von n dem Grenzwert 2,71828 zu nähern scheint. Um aber diesen Grenzwert exakt zu bestimmen - oder erst einmal zu beweisen, dass er überhaupt existiert - müssen wir zu anderen Methoden greifen, als lediglich individuelle Werte auszurechnen. Eine solche Methode stützt sich auf die binomische Formel.

(a+b) ⁰ = (a+b) ¹ = (a+b) ² = (a+b) ³ = (a+b) ⁴

⁼ Die Koeffizienten der einzelnen Summanden heißen Binominalkoeffizienten. Man kann sie in einem dreieckigen Schema anordnen. Pascalsches Dreieck.

Die Verwendung des Pascalschen Dreiecks zum Auffinden der Binominalkoeffizienten hat einen Nachteil: Um die uns interessierende Zeile zu erhalten, müssen wir alle darüber liegenden Zeilen berechnen. Es gibt aber eine vom Pascalschen Dreieck unabhängige Formel, mit deren Hilfe diese Koeffizienten ausgerechnet werden können. Bezeichnet man den Koeffizienten des Summanden a ^n-k b ^k C n k , dann gilt

Das Symbol n! steht für das Produkt 1*2*3*...x n .

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Wenn man nun die binomische Formel auf den Ausdruck (1+1/n) ⁿ anwendet und für a =1 und b = 1/n annimmt erhält man so:

Da wir den Grenzwert von (1+1/n) ⁿ für n→ ∞ suchen, müssen wir n über alle Schranken wachsen lassen. Unsere Entwicklung umfasst dann immer mehr Summanden. Gleichzeitig streben die Ausdrücke innerhalb eines jeden Paares von Klammern gegen 1, dann die Grenzwerte von 1/n, 2/n, ... für n→ ∞ sind alle gleich 0. Somit ergibt sich

„Die natürliche Exponentialfunktion ist mit ihrer eigenen Ableitung identisch. Dies ist die eigentliche Quelle aller Eigenschaften der Exponentialfunktion und die wahre Ursache ihrer Bedeutung für die Anwendung.“ (Richard Courant und Herbert Robbins,

Wird die Zahl e als Basis gewählt, dann stimmt die Exponentialfunktion mit ihrer eigenen Ableitung überein. Die Funktion e ^x stimmt aber nicht nur mit ihrer eigenen Ableitung überein, sonder ist auch die einzige Funktion mit dieser Eigenschaft. Anders ausgedrückt: Löst man die Gleichung dy/dx = y nach der Funktion y auf , dann ergibt sich y= Ce ^x mit einer beliebigen Konstanten C. Diese Lösung stellt eine Familie von Exponentialkurven dar, von denen jede einem anderen Wert von C entspricht.

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Es gib noch einen weiteren Aspekt der Exponentialfunktion. Die meisten Funktionen y = f(x) besitzen, falls sie in einem geeigneten Bereich definiert werden, eine inverse Funktion. Es lässt sich also nicht nur jedem Wert von x im Definitionsbereich ein eindeutiger Wert von y zuordnen, sondern man kann auch zu jedem zulässigen y ein eindeutig bestimmtes y finden. Die Vorschrift definiert die zu f(x) inverse Funktion, die mit f ^-1 (x) bezeichnet wird. Zum Beispiel ordnet die Funktion y = f(x) = x ² jeder reellen Zahl y ein eindeutiges y > 0 zu: das Quadrat von x. Schränkt man den Definitionsbereich von f(x) auf positive Zahlen ein, dann lässt sich dieser Prozess umkehren und man kann jedem y > 0 ein eindeutige bestimmtes x zuordnen, nämlich die Quadratwurzel x = √y von y. Die Bilder der Kurven f(x) und f-1(x) liegen in Bezug auf die Gerade y = x spiegelbildlich zueinander.

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Auch die Gleichungen y = e ^x und y = ln y stellen zueinander inverse Funktionen dar.

Des wegen bin ich das angegangen, was ich bislang noch nicht versucht hatte [das Problem der Kettenlinie] und mit meinem Schlüssel [der Differentialrechnung] habe ich ihr Geheimnis glücklich geöffnet. (Gottfried Wilhelm Leibniz, 1690) Bereits Galilei interessierte die Funktion einer Kurve, die von einer an zwei festen Punkten frei hängenden Kette angenommen wird. Er dachte, dass die gesuchte Kurve eine Parabel sei. Eine Kettenlinie sieht auf den ersten Blick tatsächlich wie eine Parabel aus. Christiaan Huygens (1629-1695), der überaus produktive holländische Wissenschaftler hatte jedoch bewiesen, dass sie keine Parabel sein kann. Im Juni 1691 wurden die drei richtigen Lösungen veröffentlicht. Sie stammten von Huygens, Leibniz und Johann Bernoulli. Jeder hatte das Problem auf seine Weise attackiert, aber alle drei kamen zu demselben Ergebnis.

Die Kettenlinie erwies sich als eine Kurve, deren Gleichung sich in moderner Schreibweise durch y = (e ^ax + e ^-ax )/2a

wiedergeben lässt, wobei a eine Konstante ist, deren Wert von den physikalischen Parametern der Kette abhängt. In unserem Jahrhundert ist die Kettenline in einem der großartigsten architektonischen Monumente, dem Gateway Arch in St. Louis, Missouri, verewigt worden.

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Fasst man die Gleichungen y = (e ^x + e ^-x )/2 und y = (e ^x - e ^-x )/2 als Funktionen von x auf, dann stellt sich heraus, dass sie den von der Trigonometrie her bekannten Kreisfunktionen cos x und sin x verblüffend ähnlich sind. Der italienische Jesuit Vincenzo Riccati (1757-1775) war der Erste, dem diese Ähnlichkeit auffiel.

Spira Miralis

W a c h s t u m s - u n d Z e r f a l l s p r o ze s s e

Die Eulersche Zahl, liegt vielen Wachstumsprozessen in der Natur zugrunde, deshalb wird sie auch »Basis des natürlichen Logarithmus« genannt. Wenn eine Bakterienkolonie sich vermehrt, wächst sie gemäß e, und auch die Geschwindigkeit, mit der Bäume Biomasse zulegen, lässt sich auf der Basis von e berechnen. Wo immer etwas lebt, ist e im Spiel.

Sogar der radioaktive Zerfall folgt der Logik dieser Zahl. „Wer hat, dem wird gegeben“, so könnte die Botschaft der Zahl e heißen, denn sie bedeutet, dass ein um das Doppelte gewachsener Organismus auch doppelt so schnell weiterwuchert. Und dreifache Größe bedeutet dreifaches Wachstum und so weiter. So wie Computer mit der Leibnizschen Basis von Zwei laufen, so läuft die Zellteilung gemäß der Eulerschen Basis von 2,718... Das lässt sich auch auf den Geldmarkt übertragen: Mit e können wir berechnen, wie ein Vermögen wächst, wenn die Zinsen der Zinseszinsen verzinst werden. Hat sich das Vermögen verdoppelt, wächst es bei gleicher Verzinsung auch doppelt so schnell weiter. Dazu möchte ich nun einige Beispiele anführen:

Zinseszinsen:

Im Mittelpunkt aller Finanzangelegenheiten steht der Begriff des Zinses. Im Bankgewerbe findet man alle möglichen Arten von Zinseszinsformen - jährliche, halbjährliche, vierteljährliche, wöchentliche und sogar tägliche. Angenommen, der Bettina Schinninger 2001/2002

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Zinseszins wird n mal pro Jahr berechnet. Für jeden Konvertierungszeitraum verwendet die Bank die durch n geteilte jährliche Zinsrate, das heißt r/n. Da es in t Jahren n*t Konvertierungszeiträume gibt, erzielt das Kapital P nach t Jahren den Betrag

S = P(1+r/n) n*t

Nimmt man etwa als Beispiel P = 100 Euro und r = 5 Prozent = 0,05 kann man die Beträge für die verschiedenen Konvertierungszeiträume vergleichen.

Konvertierungszeitraum n r/n € Jährlich 1 0,05 105 Halbjährlich 2 0,025 105,06 Vierteljährlich 4 0,0125 105,09 Monatlich 12 0,004166667 105,12 Wöchentlich 52 0,000961538 105,12 Täglich 365 0,000136986 105,13

Ein Spezialfall dieser Gleichung tritt dann auf wenn r = 1 ist. Die Gleichung wird dann zu

S = P(1+1/n) n

Ihr Grenzwert ist wiederum 2,71828... Man weiß nicht genau, wer das seltsame Verhalten des Ausdrucks (1+1/n) ⁿ für n gegen Unendlich als Erster bemerkt hat.

Radioaktivenzerfall:

Die Atomkerne einiger Elemente wie Uran, Radium, Plutonium usw. Sind instabil, dass heißt, sie zerfallen spontan. Die Zeit τ, in der von einer vorhandenen Stoffmenge die Hälfte zerfällt, heißt Halbwertszeit. Sie liegt zwischen Bruchteilen einer Sekunde (z.B. 3x10 ^-7 sec beim Poloniumisotop 212) und etlichen Milliarden Jahren (z.B. 4,5x10 ⁹ Jahre beim Uran 238). Obwohl für keinen einzigen instabilen Atomkern der Zeitpunkt seines Zerfalls vorausgesagt werden kann, gilt für eine genügend große Anzahl solcher Kerne

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ein exponentielles Zerfallsgesetz, das sich von den Wachstumsgesetzen durch das Vorzeichen des Exponenten unterscheiden („Minuswachstum“): N t die Anzahl der zum Zeitpunkt t noch vorhandenen Kerne des Elements, N 0 die Anzahl der ursprünglich vorhandenen Kerne und λ die Zerfallskonstante N t = N 0 e - ^λ t

a) Drücke die Halbwertszeit τ durch λ aus N τ = N 0 e - ^{λ τ} e - ^λ∗τ = 0,5 | ln

- λ∗τ*ln e = ln 0,5 | (ln e = 1) N τ = N 0 x 0,5

- λ∗τ = -0,693..

b) Berechne λ für das Poloniumisotop 212

λ = 0,693/τ = 0,693/(3*10 ^-7 ) = 2*10 ⁶ , dass heißt pro Sekunde finden durchschnittlich 2*10 ⁶ Zerfälle statt.

c) Berechne nach welcher Zeit t nur noch 10% der ursprünglichen Masse vorhanden ist. N t = N 0* e - ^{λ∗ t} = N 0 * 0,1 N t = 10% * N 0 = 0,1 * N 0 →

- λ∗t = ln 0,1

Antwort: Nach 1,5 * 10 ¹⁰ Jahre.

Quellen

„Die Zahl e - Geschichte und Geschichten“ von Eli Maor

Internet Lehrbuch der Mathematik 6

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