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Inhaltsverzeichnis

1.  Einleitung  3

2.  Grundlagen  4

3.  Qualitative Abhängigkeit der Reibungskraft  5

3.1.  von der Geschwindigkeit  6

3.2.  von der Art der Flüssigkeit  7

3.3.  von der Form des Körpers  8

3.4.  Zusammenfassung.  9

4.  Das Stokessche Gesetz.  10

4.1.  Versuch der Bestätigung des Stokesschen Gesetzes durch  

  Geschwindigkeitsmessung  11

4.2.  Anwendungen  16

4.2.1.  Kugelfallmethode / Viskositätsbestimmung.  16

4.2.2.  Milikan-Versuch.  17

4.2.3.  Sedimentation (Blutsenkung)  19

5.  Quellen  20

Ein in Bewegung gesetzter Körper verliert allmählich seine kinetische Energie und befindet sich nach einer bestimmten Zeit in Ruhe. Doch wohin ist seine Energie „verschwunden“?

In der Mechanik wird sie normalerweise durch Reibung in Wärmeenergie umgewandelt. Im Physikunterricht wird aber aufgrund des einfacheren Rechnens bei solchen Betrachtungen oft von einem Modell ausgegangen, welches keine Reibung erfährt oder bei welchem Reibungseffekte zu vernachlässigen sind - Das Modell ist also ideal.

Wie schon die Bezeichnung „ideal“ vermuten lässt, stimmt es mit der Wirklichkeit, dem Realen, nicht überein; denn es treten überall da, wo eine Bewegung abläuft, auch Reibungskräfte auf: sowohl im normalen Alltag, wenn man seine Hände aneinander reibt und sie dadurch warm werden, als auch in der Forschung, wenn beispielsweise das Space Shuttle der NASA wieder in die Erdatmosphäre eindringt und durch die enorme Wärme teilweise zu glühen beginnt.

Analog zu den eben genannten Beispielen entsteht auch bei einer Bewegung in einer (realen) Flüssigkeit Reibung, die im Folgenden im Mittelpunkt stehen soll.

Hervorgerufen wird Reibung und die daraus resultierende Reibungskraft durch die Wechselwirkung einzelner Moleküle miteinander. Taucht ein fester Körper in ein fluides Medium ein, so bildet sich an seiner Oberfläche auf-grund von Adhäsion eine dünne Grenzschicht von Flüssigkeitsmolekülen. Da sich der Körper und mit ihm auch die Grenzschicht in Bewegung befinden und somit eine Geschwindigkeitsdifferenz zu den restlichen Flüssigkeitsmolekülen auftritt, reibt Flüssigkeitsschicht an Flüssigkeitsschicht und aufgrund dieser Wechselwirkung entsteht die innere Reibung. Diese wird also zwischen Flüssigkeitsschichten verschiedener Geschwindigkeiten beobachtet, während die äußere Reibung zwischen den Grenzflächen zweier Körper auftritt.

Bei der Bewegung eines festen Körpers kann man zwei unterschiedliche Strömungsformen erkennen. Zum einen handelt es sich um die laminare Strömung, bei der sich die Flüssigkeitsschichten parallel geordnet nebenein-ander bewegen.

Das Gegenstück hierzu bildet die turbulente Strömung, bei der die Stromlinien ein wirbelförmiges Muster bilden. Hervorgerufen wird dies meist durch eine hohe Geschwindigkeit.

Aufgrund der Verwirblungen entsteht eine weitere Kraft, der Strömungswi-derstand, welcher der Bewegung entgegenwirkt. Deshalb wird im folgenden, vor allem aber bei den Berechnungen mit dem Stokesschen Gesetzes, da- von ausgegangen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt.

Versuchsaufbau:

In einem mit einer Flüssigkeit gefülltem Gefäß wird in der Mitte ein Körper an einem Kraftmesser innerhalb der Flüssigkeit mit konstanter Geschwindigkeit um die Strecke Ds nach oben gezogen und die Kraft gemessen.

Annahme: Kräftegleichgewicht (à konstante Geschwindigkeit)

Der Kraftmesser wird, wenn der Körper noch in der Flüssigkeit schwebt, so justiert, dass er den Betrag 0 anzeigt; er gleicht somit die Differenz aus Auf-

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triebskraft und Gewichtskraft durch die Kraft F Schwebe aus, die den Körper im Schwebezustand lässt. Dadurch kann bei der Bewegung, nachdem sich das Kräftegleichgewicht wieder eingestellt, welches durch die Beschleunigung kurzzeitig nicht vorhanden war, sofort der Betrag der Reibungskraft F r abgelesen werden.

3.1. Abhängigkeit der Reibungskraft von der Geschwindigkeit

Versuchsdurchführung:

In diesem Versuch wird ein Würfel mit unterschiedlichen, jedoch immer konstanten Geschwindigkeiten in Olivenöl um Ds nach oben gezogen und die angezeigte Kraft abgelesen. Durch die Strecke Ds und die dafür benötigte Zeit wird die Geschwindigkeit des Körpers berechnet.

Alle Werte liegen ungefähr auf einer Ursprungsgeraden.

à F ~ v

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3.2. Abhängigkeit der Reibungskraft von der Art der Flüssigkeit

Versuchsdurchführung:

Ein Körper wird in verschiedenen Flüssigkeiten mit jeweils gleicher Geschwindigkeit gezogen. Als charakteristische Größe der Flüssigkeit wird ihre Viskosität h (=Zähigkeit der Flüssigkeit) verwendet:

Da auch hier die Trendlinie die y-Achse annähernd im Ursprung schneidet, kann annähernd festgestellt werden, dass gilt: F r ~ h

¢

Bei dieser Meßreihe erweist es sich als Problem, dass die meisten Flüssigkeiten eine sehr kleine Viskosität besitzen, im Bereich von 1 mPa · s, was eine exakte Messung mit den vorhandenen Mitteln sehr schwer, zum Teil auch unmöglich macht.

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3.3. Abhängigkeit der Reibungskraft von der Form des Körpers

Versuchsdurchführung:

Um diese herauszufinden, werden hier Körper verschiedener Formen und mit gleicher Geschwindigkeit in Olivenöl nach oben gezogen.

Vermutung: F ~ A

Diese Vermutung wird bestärkt durch folgendes Diagramm, bei dem die eingefügte Trendlinie fast durch den Ursprung des Koordinatensystems geht.

Aus den Ergebnissen aus 3.1. bis 3.3. ergibt sich:

Die Größe der Reibungskraft in Flüssigkeiten ist im Wesentlichen abhängig von der Zähigkeit der Flüssigkeit, der Berührungsfläche und der Geschwindigkeit des Körpers.

Diese Abhängigkeit der Reibungskraft in Flüssigkeiten wurde von Sir Isaac Newton (1643 - 1727) herausgefunden, der diese allgemein im sogenannten Newtonschen Reibungsgesetz formulierte:

wobei d der Abstand der Begrenzungsflächen voneinander, also der Abstand des Körpers zur Gefäßwand ist und A die Berührungsfläche zwischen den einzelnen Flüssigkeitsschichten (vgl. Kap.2: Grundlagen: Entstehung der Reibung). Dies erklärt sich dadurch, dass es sich hier um laminare Strömungen handelt, wodurch die Berührungsfläche in guter Näherung der Oberfläche des Körpers entspricht.

Dieses Gesetz gilt auch für Zwischenschichten mit Dd wenn eine Relativ- Dv

geschwindigkeit Dv eingesetzt wird. Ist

konstant, so tritt an diese Stelle der Geschwindigkeitsgradient

Einen Sonderfall des allgemeinen Gesetzes für die Reibungskraft in Flüssigkeiten leitete der irische Mathematiker und Physiker George Gabriel Stokes (1819-1903) durch komplizierte Umformungen und Näherungen her. Dieser gilt nur für kugelförmige Körper, welche sich mit konstanter Geschwindigkeit in einer Flüssigkeit bewegen oder die sich selbst in Ruhe befinden und von einer Flüssigkeit laminar umströmt werden. Es gilt:

Aufgrund der verwendeten Näherungen während der Herleitung gilt das Stokessche Gesetz nur, wenn sowohl der Radius der Kugel als auch die Geschwindigkeit genügend klein sind. Als Maßstab zur Gültigkeit dieser Formel fungieren die sogenannten Reynoldschen Zahlen, welche normalerweise bei der Berechnung von Strömungswiderstand und Widerstandsbeiwert bei turbulenten Strömungen verwendet werden: ^r Fl · v · r

Nimmt diese einen sehr kleinen Wert an, so kann das Stokessche Gesetz ohne weiteres angewandt werden, da für diese Werte eine laminare Strömung vorliegt. Da für größere Reynoldszahlen Abweichungen zwischen theoretischem und gemessenem Wert auftraten, wurde die einfache Struktur des Stokesschen Gesetzes durch Korrekturfaktoren erweitert. Eine grobe Annäherung an die experimentellen Werte liefert die von Oseen korrigierte Gleichung:

Da aber auch diese Form für (sehr) große Reynoldszahlen eine systematische Abweichung liefert, erweiterte Goldstein den Korrekturfaktor von Oseen um 19

320 · Re ² . -

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Im folgenden Diagramm werden die Abweichungen der Berechnungen (hier des Wiederstandsbeiwertes c w des Körpers; es gilt F ~ c w ) in Abhängigkeit von 2 · Re graphisch deutlich.

4.1. Versuch der Bestätigung des Stokesschen Gesetzes durch

Geschwindigkeitsmessung

Versuchsaufbau:

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Versuchsbeschreibung:

In einem mit Olivenöl gefüllten, zylindrischen Gefäß werden Kugeln verschiedener Größe und Dichte fallengelassen. Da das Stokessche Gesetz nur unter der Voraussetzung gilt, dass sich der kugelförmige Körper mit konstanter Geschwindigkeit in der Flüssigkeit bewegt, die Kräfte sich somit im Gleichgewicht befinden, kann man durch Messung der Strecke ,s und der Zeit ,t, die die Kugel benötigt, um die Strecke ,s nach unten zu fallen, die Geschwindigkeit

der Kugel bestimmen ( v =

Zur Bestätigung des Stokesschen Gesetzes wird der experimentell bestimmte Wert der Geschwindigkeit v e mit dem berechneten Wert v b verglichen. Die Gleichung hierfür wird unter der Annahme des Kräftegleichgewichts hergeleitet: [5;7]

à m · g = 6 · p · h· r · v + ^r Fl · g · V k

à v =

à v = g · m ·

à v =

h : Viskosität der Flüssigkeit g : Ortsfaktor r : Radius des kugelförmigen Körpers (Messwert)

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Versuchsauswertung:

,s = 7cm = 7 · 10 ^-2 m; ^r Fl = 910

k wird nur zum Vergleich der Dichte der Kugel gegenüber der Dichte des Olivenöls

als gerundeter Wert angegeben; bei der Geschwindigkeitsberechnung wird der exakte Wert eingesetzt

Kugel 1 : r = 0,7 · 10 ^-2 m ; m = 2,4 · 10 ^-3 kg è ^r k = 1670

v b =

v e =

è v b » 10 · v e

Kugel 2 : r = 1,32 · 10 ^-2 m ; m = 8,9 · 10 ^-3 kg è ^r k = 924

v b =

v e =

è v b » 4,1 · v e

Kugel 3 : r = 1,82 · 10 ^-2 m ; m = 23,1 · 10 ^-3 kg è ^r k = 915

v b =

v e =

è v b » 4,3 · v e

Reynoldszahlen der verwendeten Kugeln:

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è Das Stokesche Gesetz kann in seiner ursprünglichen Form

§

(F ri = 6·r·v·p·r Fl ) nur für die Kugeln 2 und 3 angewandt werden, da hier die Reynoldschen Zahlen relativ klein sind. Bei Kugel 1 muss man aufgrund von Re = 7,88 die von Oseen korrigierte Form

verwenden.

è v’ Kugel 1 =

Nachweis : F r ~ v · r

è F r ~ v · r

è F r = k · v · r k: Proportionalitätskonstante

6 · p · h = konstant = k

è F r = 6 · p · h · r · v

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Versuchsergebnis:

Obgleich die berechneten Werte von den experimentell bestimmten Geschwindigkeiten abweichen, wird das Stokessche Gesetz dennoch in sofern bestätigt, dass die Reibungskraft in direkter Proportionalität zum Produkt aus Geschwindigkeit und Kugelradius steht. Die direkte Proportionalität von der Reibungskraft und der Viskosität der Flüssigkeit konnte nicht nachgewiesen werden, da die vorhandenen Kugeln entweder eine zu große Dichte hatten, was eine sehr hohe Fallgeschwindigkeit zur Folge hatte, was eine Messung unmöglich machte, oder eine zu geringe Dichte besaßen und somit an der Oberfläche der Flüssigkeit schwammen.

Eine Ursache für die Abweichungen, die sich außer bei Kugel 1 immer im gleichen Bereich befinden, ist vermutlich die Nichtberücksichtigung der Korrekturfaktoren nach Oseen respektive Goldstein. Weitere mögliche Fehlerquellen, die diese Abweichung vermutlich bedingen, sind die manuelle Zeitmessung(vgl. Kugel 1) und die Bestimmung der

Kugelradien, die in die Dichtebestimmung mit r ³ und in die Geschwindigkeitsberechnung mit r ² eingehen und somit schon geringe Ungenauigkeiten, die sich aber bei Messungen im 0,1mm-Bereich nur schwer vermeiden lassen, vorallem nicht bei wie hier verwendeten elastischen Kugeln, große Unterschiede hervorrufen. Um einen weiteren Fehlerfaktor könnte es sich beim Olivenöl handeln, dessen Viskosität nicht exakt den Literaturangaben entsprechen könnte.

Versuch:

Versuchsaufbau und Durchführung entsprechen dem verwendeten Versuchsaufbau und der Durchführung zur Bestätigung des Stokesschen Gesetzes. Es werden lediglich andere Kugeln verwendet. Ziel des Versuchs ist die Bestimmung der Viskosität von Honig: ^{h Honig} Aus dem zuvor hergeleiteten Zusammenhang von Viskosität und Geschwindigkeit ergibt sich:

Messwerte: r, v, ^r Fl

Versuchsergebnis:

Ds = 0,1m

Dichtebestimmung von Honig: m = 0,5 kg ; V = 350,7ml = 0,3507 · 10 ^-3 m 3

Kugel 4: r = 0,955 · 10 ^-2 m ; ^r k = 7860

^Dt 1 = 1,31 s ; ^Dt 2 = 1,22 s ; ^Dt 3 = 1,53 s

è Dt¯ =

è ^h 1 =

Kugel 5: r = 0,74 · 10 ^-2 m ; ^r k = 7860

^Dt 1 = 1,97 s ; ^Dt 2 = 2,10 s ; ^Dt 3 = 2,02 s

è Dt¯ =

è ^h 2 =

Kugel 6: r = 1,20 · 10 ^-2 m ; ^r k » 2500

^Dt 1 = 5,39 s ; ^Dt 2 = 5,52 s ; ^Dt 3 = 5,54 s

è Dt¯ =

è ^h 3 =

è ^h Honig =

Zum Vergleich: Literaturwert für ^h Honig » 10 Pa · s

4.2.2. Milikan-Versuch

Der 1916 von Milikan (1868-1953) entwickelte Versuch hat als Versuchsziele den Nachweis des quantisierten Charakters der elektrischen Ladung und die Bestimmung der Elementarladung e. Hierzu wird die Ladung sehr kleiner Öltröpfchen gemessen, welche durch Zerstäubung zum Teil geladen sind und sich in einem elektrischen Feld eines Plattenkondensators (Plattenabstand d) befinden.

Aufgrund ihrer Ladung erfahren die Öltröpfchen im elektrischen Feld eine Kraftwirkung, die sie je nach Vorzeichen ihrer Ladung aufsteigen oder absinken lässt. Das Stokessche Gesetz kommt im Milikan-Versuch bei der sogenannten Gleichfeldmethode zur Ladungsbestimmung bei der Bewegung im Kondensatorfeld zur Anwendung. Bei der Gleichfeldmethode wird die Richtung des elektrischen Feldes so gewählt, dass das beobachtete Öltröpfchen erst im Feld sinkt, bis es einen bestimmten zuvor festgelegten Punkt erreicht hat, und dann wieder die gleiche Strecke steigt, wozu eine Umpolung des Kondensatorfeldes notwendig ist, wobei der Betrag Spannung gleich bleibt. Da sich das Teilchen während der Bewegung in dem zähen Medium Luft befindet, stellt sich aufgrund er geschwindigkeitsabhängigen Reibungskraft jeweils ein Kräftegleichgewicht ein, aus dem eine konstante Geschwindigkeit des Öltröpfchens resultiert (Sinkgeschwindigkeit: v 1 ; Steiggeschwindigkeit: v 2 ).

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Schematische Darstellung:

F r = G + F e

6 · p · h · r · v 1 = m· g + q · E (1) q · E = m· g + 6 · p · h · r · v 2 (2)

E =

Da aber der Radius der Teilchen dieselbe Größenordnung besitzt wie der mittlere Abstand der Luftmoleküle, wodurch die Bedingung eines homogenen Mediums nicht mehr gegeben ist, kann das Stokessche Gesetz nur bedingt eingesetzt werden.

Für diesen Fall hat Cunningham eine Korrektur zum Stokesschen Gesetz eingeführt, welche auch Milikan bei seinen Berechnungen verwendete: h

wobei l die freie Weglänge in Luft ist. [3]

Bei der Blutsenkung findet des Stokessche Gesetz eine medizinische Anwendung. Die scheibenförmigen Erythrozyten mit ca. 7,5 µm Durchmesser und 1,5 µm Dicke, lassen sich bei einer groben Abschätzung durch isochore Kugeln mit Radius r » 2,5 µm annähern. Durch diese Annahme lässt sich die Fallgeschwindigkeit der Erythrozyten bei der Blutsenkung bestimmen:

Durch Einsetzen von den für den Menschen typische Werten ^r Ery » 1,1

1,2

Fallgeschwindig-keit folgeden Wert:

v =

Bei Blut von gesunden Menschen wird eine Blutsenkungsgeschwindigkeit

(BSG) von bis zu 8

von bis zu 10

Diese Werte dienen nun als Vergleichswerte, um Infektionen aufzuspüren, bei denen die Sinkgeschwindigkeit aufgrund einer durch auftretende Plasmaeiweiße hervorgerufenen Agglomeration der Erythrozyten erhöht wird. Möglich ist dies allerdings nur mit ungerinnbar gemachtem Blut außerhalb des Körpers(in vitro). [5;9]

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5. Quellen:

[1] Höfling, Oskar: Physik: Lehrbuch für Unterricht u. Selbststudium. -12. Aufl. - Bonn, Dümmler 1979, S. 295-298

[2] Kuchling, Horst: Taschenbuch der Physik. - 13., durchges. Aufl. -Fachbuchverlag Leipzig 1991, S. 161f., 588 [3] Müller,Leitner,Mráz: Physik: Elektrische und magnetische Felder - 10.Aufl. - München, Ehrenwirth, 1990, S. 85-89, 209-211 [4] Wien/Harms: Handbuch der Experimentalphysik, Band IV/2 - Leipzig, Akademische Verlagsgesellschaft, 1929, S. 340ff. [5] http://iva.uni-ulm.de/PHYSIK/VORLESUNG/fluidemedien/ [6] http://www.physik.uni-marburg.de/praktikum/physik/reibung [7] http://www.physik.tu-muenchen.de/~kressier/Versuche/ver1480.html [8] http://i115.srv.vu-wien.ac.at/physik/ws95/w9570dir/w9575000.htm [9] http://www.m-ww.de/gesund leben/vorsorge/Blutuntersuchung/Blutsenkung

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