Irrationale Zahlen

1.a.) Diese Facharbeit gibt einen Einblick in einen großen und wichtigen Bereich in der Mathematik, in den Bereich der irrationalen Zahlen. Diese sind jene reellen Zahlen, die nicht rational sind, d.h. die sich nicht als Bruch ''ganze Zahl / ganze Zahl'' schreiben lassen. Es sind reelle Zahlen, deren Dezimaldarstellung weder abbricht noch periodisch ist. Die Menge aller irrationalen Zahlen ist so ''groß'', dass sie sich nicht ''durchnumerieren'' lässt. Sie ist (im Gegensatz zur Menge der rationalen Zahlen) überabzählbar, eine Menge mit unendlich vielen Elementen. Die rationalen Zahlen, mit denen man es in der Praxis so oft zu tun hat, und die in so vielen Rechenaufgaben vorkommen, bilden genau genommen nur eine verschwindende Minderheit! Jedoch ergeben die rationalen und die irrationalen Zahlen zusammen die Menge der reellen Zahlen. Der Begriff irrationale Zahl ist eng verbunden mit dem Wurzelbegriff. Neben irrationalen Wurzelausdrücken gibt es weitere irrationale Zahlen wie z. B. , e, Logarithmen und trigonometrische Funktionen, um nur die Wesentlichen zu nennen. Zur Betrachtung von irrationalen Zahlen dient besonders die Zahlengrade, die komplett durch die reellen Zahlen abgedeckt ist.

Um zu Beweis, dass es irrationale Zahlen gibt, braucht man Pythagoras: Wir nehmen ein rechteckiges Dreieck mit gleich langen Katheten, deren Länge z.B. gleich eins gewählt ist. Die Frage ist: Wie lang ist die Hypotenuse? Als Ergebnis wollen wir etwas "Harmonisches" bekommen, nämlich

C= m / n, c² = m² / n² = 2

so dass m und n ganze Zahlen wären. Wir können den gemeinsamen Faktor, falls es den gibt, ausdividieren. Also sind m und n fremd. m muss eine gerade Zahl sein, und deswegen n eine ungerade. Schreiben wir dann m = 2p, und bekommen dann n² = 2p², also ist nun n² und deswegen n eine gerade Zahl, im Gegensatz zu der Hypothese. Also, per Definitionem, c = √2, haben wir bewiesen, mit Pythagoras, dass es irrationale Zahlen gibt. {http://www.camtp.uni-mb.si/camtp/robnik/novacella2001/quantenchaos/node2.html}

1.b.) Zu der Betrachtung von irrationalen Zahlen werden Quadrate von Zahlen sowie Quadratwurzeln behandelt. Die Quadratzahlen können mit Hilfe des Flächeninhaltes von einem Quadrat repräsentiert werden, die Quadratwurzel als Kantenlänge eines Quadrates. Zur Herleitung der irrationalen Zahlen wird die Existenz einer derartigen Zahl nachgewiesen. Als Repräsentation bietet sich die Länge einer Strecke an, da diese besonders

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gut an einer Zahlengerade deutlich gemacht werden kann und Punkte (in einem bestimmten Abstand links bzw. rechts zur Null) als Zahlen identifiziert werden können.

Beispiel:

Es wird das folgende Ausgangsproblem behandelt:

Wie lang ist die Diagonale eines Quadrates mit einer Kantenlänge von 1 cm ?

Zur Bestimmung von d kann auch der Satz des Pythagoras angewendet werden, doch es kann auch anders vorgegangen werden. Es können nämlich andere geometrische Begründungen herangezogen werden. Das große Quadrat ist doppelt so groß wie das kleine Quadrat. Es ergibt sich:

Damit ist eine Strecke von √2 cm konstruiert worden. Demnach muss es auch eine Zahl geben. Der nächste Schritt ist, diese Zahl genauer zu beschreiben. Der Taschenrechner liefert 1,414... was die Position auf der Zahlengerade erahnen lässt. Da √2 keine ganze Zahl ist, bleibt die Vermutung, dass √2 ein Bruch ist, den man genauer bestimmen kann. Der Irrationalitätsbeweis { siehe oben} von √2 lässt sich für alle Quadratwurzeln von Primzahlen verallgemeinern. Außerdem folgt, dass das wiederholte Ziehen der Quadratwurzel von einer Primzahl wieder eine irrationale Zahl liefert. Man erhält also beliebig viele neue Zahlen, die nicht in Q liegen. Weitere Möglichkeiten der Bestimmung von irrationalen Zahlen sind z. B. das Heronverfahren oder die Intervallschachtelung {Siehe Anhang [S. 26]}.

1.c.) Ein Sonderfall der irrationalen Zahlen sind die transzendenten Zahlen wie zum Beispiel Pi und e. Diese Transzendent ist noch um einiges Umfangreicher als die „normale“ Irrationalität, wie zum Beispiel bei √2. Transzendenz drückt aus, dass Zahlen, komplexe

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Zahlen, keiner polynomialen Gleichung mit rationalen Koeffizienten genügen. Das Gegenteil von transzendenten Zahlen sind algebraische Zahlen, diese haben Nullstellen der Gestalt:

mit

{Zur Transzendenz siehe auch transzendente Zahl e}

1.d.) Es gibt einen überraschenden Zusammenhang zwischen den irrationalen Zahlen Pi und e, und auch noch drei andern für die Mathematik fundamentalen Zahlen. So ergibt sich aus den Zahlen Null, das neutrale Element der Addition, Eins, das neutrale Element der Multiplikation, i, die imaginäre Einheit, e, die eulersche Zahl und natürlich Pi, die Kreiszahl, folgender Term: 0 = 1 + e ∏ i

Um den Zusammenhang zu verstehen, muss man wissen, dass die Exponentialfunktion e z auch für komplexe Zahlen z anwendbar ist. Das ist sinnvoll, denn auch für komplexe Zahlen sind Summe, Produkt und Grenzwert definiert.

Hier wird dies nur für den Spezialfall benötigt, in dem z ein reelles Vielfaches der imaginären Einheit ist: z = i * x mit einer reellen Zahl x. In diesem Fall kann e i * x durch die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus ausgedrückt werden:

e i·x =cos x + i·sin x.

Betrachtet man nun die Reihenentwicklung von Sinus und Kosinus kommt man zu dem Beweis: Der Sinus ist bei gleich 0, der Kosinus hat dort den Wert -1, und das heißt:

e hoch (i mal ) =-1+0 = -1.

Diese Formel geht zurück auf Leonard Euler.

1.d.) Irrationale Zahlen kann man überall anfinden, so auch schon bei den einfachsten Aufgaben, wo man es kaum erwarten würde.

Wenn man nun zum Beispiel behauptet 3 ^1/5 ist irrational, dann kann man dies beweisen, indem man erstmal annimmt, dass es Zahlen gibt, m, n Є Ν (wobei m, n teilerfremd sind) mit:

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Daraus folgt, dass 3 Primfaktor von m 5 und damit auch Primfaktor von m, d.h.

was ein Widerspruch zu „m, n sind teilerfremd“ ist.

1.f.) Wie man sehen kann sind die irrationalen Zahlen sehr wichtig für die Mathematik, besonders dadurch, dass sie zusammen mit den rationalen Zahlen die komplette Zahlengrade abdecken und die reellen Zahlen ausfüllen. Weiterhin kann man, besonders an Pi und e, feststellen, dass die irrationalen Zahlen nicht nur in der Mathematik oder der Schule ein tragende Rolle spielen sondern auch im Alltag zum Vorschein kommen. Ohne dass wir es wissen, hatten wir häufig schon Strecken gezeichnet, deren Länge eine irrationale Zahl war. So zum Beispiel auch x ² = 2 (Über der Menge der rationalen zahlen ist diese Lösungsmenge leer).

Die Menge der rationalen Zahlen ist unvollständig: es gibt nicht für jede Länge eine rationale Maßzahl, deshalb sind hier auch schon die irrationalen Zahlen von Nöten. Vor allem in der Geometrie sind diese Zahlen besonders stark vertreten, was auch durch den Satz des Pythagoras deutlich gemacht wurde.

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2. Die Zahl Pi

2.a.) Will man sich über die Zahl Pi im klaren sein, so kommt man nicht daran vorbei, sich zunächst einmal einen Kreis genauer zu betrachten. Als Kreis wird grundsätzlich die Menge aller Punkte bezeichnet, die von einem Punkt M, dem Mittelpunkt, aus den gleichen Abstand r, den Radius, besitzen. Sie bilden eine geschlossene Linie, die an allen Stellen die gleiche Krümmung aufweist, wodurch der Kreis nach allen Seiten hin vollkommen symmetrisch wird. Trotz dieser vollkommenen Symmetrie, war es nie einfach, die Fläche eines Kreises zu bestimmen. Es hat sich sogar erwiesen, dass die flächengleiche Verwandlung eines Kreises in ein Quadrat mit den klassischen Hilfsmitteln, Zirkel und Lineal, unmöglich ist. Dieses Problem geisterte jahrhundertelang unter dem Namen „Quadratur des Kreises“ durch die Mathematikergehirne. Erst 1882 konnte F. Lindemann die Transzendenz von Pi beweisen und somit den Versuch der Quadratur des Kreises beenden. (Schüler Duden Mathematik I S.34 ff.)

Ein einfaches Gedankenexperiment führt uns jedoch weiter. Zerteilt man einen Kreis (Radius r = 1), wie einen Kuchen, z.B. in 16 gleiche Stücke, so lassen sich diese, in Form eines „Monstergebisses“ aneinander gereiht darstellen. Nun kann man noch ein Stück halbieren und jeweils ein Teilstück an ein Ende legen. So ergibt sich eine Fläche von fast rechteckiger Form.

Je feiner man den Kreis segmentiert, um so eher ähnelt diese Fläche einem Rechteck. Die Breite dieser Fläche ist der Radius des Kreises und die Länge ist die Hälfte des Kreisumfangs. Für den Einheitskreis, dem Kreis mit Radius r = 1, hat man daher aus praktischen Gründen, der Länge des Rechteckes, bzw. der Hälfte des Kreisumfangs den Namen Pi gegeben. Also ist Pi das Verhältnis zwischen dem Umfang U und dem Durchmesser d. D.h. der Umfang des Kreises ist stets das Pi - fache des Durchmessers: U = Pi * d bzw. U = 2 * Pi * r

Bemerkenswerterweise hängt das überhaupt nicht davon ab, an welchem Kreis wir diese Rechnungen vornehmen: Das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser ist stets gleich. Außerdem gilt: Der Quotient aus Flächeninhalt und dem Quadrat des Radius ist konstant und für jeden Kreis gleich groß. Diese Konstante ist ebenfalls Pi. D.h. A = Pi * r² Für den Einheitskreis ergibt sich: A = Pi * 1² = Pi

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2.b.) Auch schon früher war die Zahl Pi bekannt. In einer weniger bekannten Bibelstelle (Siehe hierzu Teil 3.b.iv.) wird für Pi der Wert 3 verwendet. Dies war nicht sehr genau, denn im klassischen Altertum waren bereits gute Näherungen der Zahl Pi bekannt. In Ägypten verwendet man um 1500 v. Chr. den Wert (1 7/9)^2 = 3.16049.... Archimedes von Syrakus (287 - 212 v. Chr.) verwendete den auch noch heute geläufigen Näherungswert 22/7 = 3.14285... (auf diese Methode wird in Teil 3.c der Facharbeit noch genauer eingegangen). In China gelang Tsu Ch´ung Chi (430 - 510 n.Chr.), der Archimedes´ Arbeit vermutlich nicht kannte, eine wichtige Verbesserung für die Zahl Pi. Er stellte fest: Pi = 355/113 = 3.141593. Danach herrschte ein Jahrtausend des Schweigens. Um 1430 errechnete Al'Kashi 14 Stellen, Vieta erlangte 1579 durch Betrachtung eines eingeschriebenen 2^16-Ecks neun Stellen, Ludolph van Ceulen 1610 durch ein 2^62-Eck 35 Dezimalen. Dank der Ausarbeitung der Analysis durch Pioniere wie Isaac Newton und Leonhard Euler wurden bessere Näherungswerte von Pi gefunden, die freilich immer in mühsamer Handarbeit errechnet werden mussten. Euler (1707 - 1783), der erstmals den griechischen Buchstaben Pi verwendete (von perimetros, dt. Umfang), schaffte so mittels Bleistift und Papier in einer Stunde 20 Dezimalen von Pi. 1853 veröffentlichte William Shanks 707 Stellen der Zahl Pi. Erst 1945 fand ein F.D. Ferguson mittels einer Tischrechenmaschine heraus, dass sich Shanks gründlich verrechnet hatte: von den 707 Stellen waren nur die ersten 527 richtig. Zynische Geister munkeln, dass Shanks seine Berechnung noch verschönen wollte und einfach einige hundert fingierte Dezimalen willkürlich anhängte.(Klaus Fitzsche, Mathematik für Einsteiger S.166 ff.) Im Jahre 1948, also vor nicht einmal 50 Jahren, kannte die Welt immer noch nicht mehr als 808 Stellen. Die weitere Geschichte zur Berechnung der Zahl Pi ist von der Entwicklung und vom Einsatz elektronischer Rechenanlagen geprägt. 1949 berechnete eine Maschine namens ENIAC über 2000 Dezimalen und benötigte dafür 70 Stunden; 1959: 10 000 Stellen; 1961: 100 265 (IBM 7090, 8 Stunden Rechenzeit); 1967: 500 000; 1983: 8 388 608 Stellen (HITAC M280H in 6.8 Stunden); 1986: 29 000 000 mit einer Cray; 1987: 133 554 000; 1989 wurde die Milliardengrenze überschritten: 1 073 740 000 Dezimalen; 1997 segnete uns Yasumasa Kanada mit 51 539 600 000 Nachkommastellen (Rechendauer: 29 Stunden). (David Blatner, Pi, die Magie einer Zahl)

Doch was bedeuten schon Milliarden angesichts der Unendlichkeit ...

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2.c Bestimmung der Konstanten Pi:

Liegt ein n-Eck zugrunde, so erhält man durch Intervallschachtelung: F(n,innen) < F(k) < F(n,außen) [Als F wird im weiteren Verlauf immer der Flächeninhalt bezeichnet]

Das n-Eck ist ein regelmäßiges Vieleck. Daher kann zur Berechnung der Fläche das Bestimmungsdreieck herangezogen werden. Um die Berechnung einfacher zu gestalten, wird der Einheitskreis (r = 1) verwendet. Die Fläche des inneren und des äußeren Dreiecks ist: F(i,n) = n * ½ * s(i) * h(i) und F(a,n) = n * ½ * s(a) * h(a)

Dabei gilt, h(a) = r = 1, da die Seite s(a) eine Tangente zu dem Kreis ist. Nach dem Strahlensatz gilt: s(a) / s(i) = h(a) / h(i) = r / h(i) = 1 / h(i) Durch Umformung erhält man: s(a) = 1 / h(i) *s(i) und h(a) = r Damit kann das äußere Dreieck umgerechnet werden zu: F(a,n) = n * ½ * 1 / h(i) * s(i) * r = n * ½ *1 / h(i) * s(i) ( r = 1 )

Die Strecken s(i) und h(i) sind nur abhängig von der Zahl n des n-Ecks. Da die Größen des äußeren Dreiecks nicht mehr auftreten wird s(i) in s(n) und h(i) in h(n) umbenannt. F(i,n) = n * ½ *s(n) * h(n) und F(a,n) = n * ½ *s(n) * 1 / h(n)

Jetzt wird das n-Eck so geteilt, dass jedes Bestimmungsdreieck in zwei getrennt wir. Dadurch entsteht dann ein 2n-Eck.

F(MAF) = ½ * MF * AE = ½ * 1 * ( ½ * s(n)) = ¼ s(n) Damit ergibt sich die Fläche des inneren n-Ecks zu: F(i,2n) = 2 * n * F(MAF) = ½ * n * s(n)

Das äußere n-Eck kann durch den Strahlensatz bestimmt werden. Da alle Seiten um den Faktor k gestreckt werden und zur Flächenberechnung der Dreiecke zwei Strecken gebraucht werden, ergibt sich der Streckungsfaktor k² für Flächen. Der Faktor k ergibt sich aus der Streckung h(2n) zu r = 1. Also k = r / h(2n) = 1 / h(2n) F(a,2n) = k² * F(I,2n) = [1 / h(2n)]² * n * ½ *s(n) = ½ * n *s(n) / [h(2n)]² Aus dem Dreieck MAG ergibt sich nach dem Satz des Pythagoras: (1) [h(2n)]² + [s(2n) / 2]² = 1² oder [h(2n)]² = 1² - [s(2n) / 2]² Aus dem Dreieck AFE ergibt sich nach Pythagoras: (s(2n)]² = [s(n) / 2]² + [1 - h(n)]² Aus dem Dreieck MAE ergibt sich nach Pythagoras: (3) [s(n) / 2]² = 1 - [h(n)]² (4) in (2) : [s(2n)]² = 1 - [h(n)]² + [1 - h(n)]² = 2 * [1 - h(n)] (4) (2) in (1) : [h(2n)]² = 1² - 2 * [1 - h(n)] / 4 = ½ * [1 + h(n)] Die Fläche F(a,2n) ergibt sich somit zu:

F(a,2n) = ½ * n *s(n) / [h(2n)]² = ½ * n *s(n) / ½ / [1 + h(n)] = n * s(n) / [1 + h(n)] Insgesamt gelten jetzt folgende Flächen: F(i,n) = n * ½ *s(n) * h(n) F(a,n) = n * ½ *s(n) * 1 / h(n) F(i,2n) = ½ * n * s(n) F(a,2n) = n * s(n) / [1 + h(n)]

Wie leicht nach gerechnet werden kann, gilt die folgende Gleichung: [F(i,2n)]² = F(i,n) * F(a,n) = n * ½ *s(n) * h(n) * n * ½ *s(n) * 1 / h(n) = n² * ½ ² * [s(n)]² Außerdem findet man:

F(a,2n) = 2 * F(i,2n) / [1 + h(n)] und h(n) = F(i,2n) / F(a,n) F(a,2n) = 2 * F(i,2n) / [1 + F(i,2n) / F(a,n)] = 2 / [ 1 / F(I,2n) + 1 / F(a,n)] Damit gelten die beiden Gleichungen:

Diese beiden Gleichungen geben an, wie der Flächeninhalt eines inneren und des zugehörigen äußeren 2n-Ecks aus dem Flächeninhalt eines n-Ecks berechnet werden kann. Ist also beispielsweise die Fläche des Vierecks, das in einem Kreis liegt bekannt, so kann daraus die Fläche des 8-Ecks berechnet werden, aus diesem die Fläche des 16-Ecks, aus diesen wiederum die Fläche des 32-Ecks usw.

Da der Flächenunterschied des inneren und des äußeren Vielecks bei steigendem n immer kleiner wird, kann damit an die Fläche des Kreises angenähert werden. Über die Ungleichung F(i,n) < F(K) < F(a,n) und mit steigendem n wird die Fläche des Kreises immer genauer. Ist das erste Vieleck ein Quadrat, so gilt:

Die Fläche des Quadrats wird berechnet durch F(Q) = a². Daraus folgen die Startwerte: F(i,4) = 2 F(a,4) = 4 Also: 2 < Pi < 4

Jetzt wird nach der obigen Gleichung der Flächeninhalt für die 8-Ecke berechnet: F(i,8) = [F(i,4) * F(a,4)] ^1/2 = ( 2 * 4 ) ^1/2 = 2 * 2 ^1/2 ~ 2,828... F(a,8) = 2 / [1/ F(i,8) + 1 / F(a,4)] = 2 / [1 / (2 * 2 ^1/2 )+ 1 / 4] ~ 3,314... Nun wird Pi immer genauer eingeschränkt. Die folgenden Schritte können leicht nachgerechnet werden:

Für das 16-Eck ergibt sich: F(i,16) ~ 3,06... < Pi < F(a,16) ~ 3,18... Für das 32-Eck ergibt sich: F(i,32) ~ 3,12... < Pi < F(a,326) ~ 3,15... Für das 64-Eck ergibt sich: F(i,64) ~ 3,136... < Pi < F(a,64) ~ 3,144... Nach mehreren Rechenschritten ändern sich die ersten 7 Nachkommastellen nicht mehr und die Zahl Pi kann bis auf diese Genauigkeit angegeben werden. Pi ~ 3,141592... Nach diesem Verfahren kann die Zahl Pi auf beliebig viele Stellen nach dem Komma bestimmt werden. Es stellt sich jedoch heraus, dass sie nicht ab einer bestimmten Stelle aufhört, sondern unendlich viele Nachkommastellen hat. Da sich die Reihenfolge nie wiederholt und Pi nicht durch einen Bruch dargestellt werden kann, ist die Zahl Pi eine irrationale Zahl.

2.d.) Für den nachfolgend beschriebenen Versuch benötigt man zwei gleiche Kreise mit dem Radius r = 1 (z.B. aus Kartonage). Diese werden wie dargestellt zerteilt, indem das maximal einzubeschreibende Quadrat herausgeschnitten wird.

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Daraus ergibt sich für den Flächeninhalt des Kreis: A ~ A(Quadrat) + 4 * A(x) ~ 2 + 1 1/7 ~ 3 1/7 Da gilt: A = Pi * r^2 ergibt sich: 3 1/7 ~ Pi * 1^2 Also Pi ~ 3 1/7

2.f.) Im Laufe der Facharbeit ist deutlich klar geworden, dass die Kreiszahl Pi in der Mathematik und im alltäglichen Leben eine große Bedeutung hat und uns immer wieder begegnet. Besonders in der Geometrie spielt die Zahl Pi eine wichtige Rolle und es ist großen Mathematikern wie Archimedes, Euler u.a. zu verdanken, dass wir heute sehr genau über die Kreiszahl Pi bescheid wissen.

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3. Die Historie von Pi:

3.a.) Auf Grund ihrer Bedeutung in der Mathematik hat Pi auch eine lange Geschichte. Im Folgenden wird dargestellt, wie sich die Entwicklung, eine immer genauere Näherung für Pi zu erhalten, vollzogen hat. Die berühmtesten und wichtigsten Berechnungsarten und Ideen zur exakteren Bestimmung von Pi werden hier erläutert. {David Blatner; , Die Magie einer Zahl / Paul K.; Du und der Zauber der Zahlen}

Schon die ältesten Dokumente in der Mathematik erhalten verschiedenste Aussagen und Theorien darüber, wie man den Kreisumfang, bzw. die Kreisfläche durch andere Größen ausdrücken kann.

Vor 4000 Jahren war Pi aufgrund von Beobachtungen auf den Wert 3 festgelegt. Diese Näherung war zwar schlecht, aber für die damaligen Aufgaben, wie z.B. das Vermessen von Feldern, oder verschiedene architektonische Berechnungen, ausreichend. Nachdem es nun im Laufe der Zeit immer mehr Aufgabenbereiche gab, in denen man einen genaueren Wert für Pi benötigte, begann man im Übergang vom 3. zum 2. Jh. v .Chr. in verschiedenen Kulturen und damit auch an unterschiedlichen Orten, eine genauere Näherung als Pi = 3 zu finden.

3.b.i.) Babylon

Die wahrscheinlich älteste uns bekannte Pi Näherung ist von den Babyloniern ca. 1900-1600 v. Chr. überliefert. Eine 1936 ausgegrabene Tontafel beschreibt wie folgt einen Berechnungsversuch der Unbekannten.

Der Umfang eines einbeschriebenen 6-Ecks ist 0,5736 mal so groß, wie der Umfang des umschriebenen Kreises. ( Basis 60, d.h. 96/100 mal). Daraus ergibt sich folgende Rechnung: U (6-Eck) = 3*d = 24/25 * U (Kreis) = 24/25*Pi*d

Damit hat Pi in den Augen der Babylonier den Wert 3,125 und ist damit um 0,0165... zu klein bemessen.

3.b.ii.) Ägypten

Da man in der Antike zwar Kreisumfänge abmessen konnte, aber nicht in der Lage war, deren Flächeninhalt genauer anzugeben, versuchten auch die Ägypter, eine geeignete Näherung für PI zu erhalten. So war dieses Problem als Nr. 50 im Rhind Papyrus aufgeführt, welches alle damaligen mathematisch wichtigen Probleme beinhaltete. Dieses Papyrus stammt aus der Zeit um 1850 v. Chr. und wurde nach einem Schotten Namens A.H. Rind 1858 in Luxor gekauft. Die Formulierung dieses Problems lautet wie folgt: "Beispiel eines Kreises mit Durchmesser 9. Wie groß ist seine Fläche?

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Nimm 1/9 vom Durchmesser weg; übrig bleibt 8. Multipliziere 8*8; Dies macht 64. Daher ist die Fläche 64." Also benutze der Autor dieses Schriftstückes folgende Formel:

F = (d-d/9)² = ( 8d/9)²

Das Zustandekommen dieses Wertes ist im Problem Nr. 48 des Rhind Papyrus erläutert. Der Autor hat wahrscheinlich gesehen, dass das 8-Eck, das aus dem umgebenden Quadrat durch Abschneiden von Drittel-Ecken entsteht, und das 81-4*3²/2 = 63 Einheiten groß ist, etwas kleiner ist, als die Kreisfläche, und hat daher zusätzlich eine kleine Korrektur angebracht.

Ein Vergleich mit der Flächenformel F = PI * d²/4 ergibt also die Näherung PI = (16/9)².

Damit hat das Pi der Ägypter den Wert 3,16049... und ist damit um 0,0189... zu klein bemessen.

3.b.iii.) Indien

Auch die Inder versuchten spätestens 600 v. Chr. eine geeignete Näherung der Zahl PI zu erhalten. Dies ist durch den Indischen Sulvasutras überliefert, der ebenfalls versucht, eine Kreisflächenberechnung zu beschreiben um so die Zahl PI zu identifizieren. Hier heißt es:

"Wenn du eine Kreis in ein Quadrat verwandeln willst, dann teile den Durchmesser in 8 Teile und dann eines dieser 8 Teilen 29 Teile; nimm von den 29 Teile 38 und außerdem den 6. Teil des übrig gebliebenen Teils minus dem achten Teil dieses 6. weg." Hieraus ergibt sich dann die Seitenlänge des gesuchten Quadrats:

Aus diesem Text ergibt sich folgende Formel zur Berechnung:

s = d 1/8 ( 7+ 1/29 ( 1- 1/6 ( 1- 1/8 ) ) )

s= d 9785/11136

Somit ist PI = 4s²/d² = ( 9785/5568 )²

Das PI der Inder hat folglich den Wert 3,08832... und liegt damit um 0,0532... unter dem heutigen.

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Eine weitere Näherung der Inder für PI, die aber ansonsten den Chinesen zugeschrieben wird ist Pi = Wurzel 10.

Dieser Wert wäre im Vergleich nur um 0,02068 zu gering bemessen.

Ob er wirklich von den Indern oder den Chinesen stammt, ist nicht genau festzumachen. Sicher ist nur, dass Tropfke eine Quelle zitiert, wonach sich diese Näherung schon 150 v. Chr. bei dem indischen Gelehrten Umasvati befand. Der Autor war sogar der Meinung, diesen Wert auf 500 v. Chr. in Indien zurückdatieren zu können.

3.b.iv.) Bibel

Ein Zitat aus der Bibel belegt, dass auch im heiligen Buch der Versuch gewagt wurde, eine Näherung für Pi zu finden.

" Und er machte das Meer, gegossen, von einem Rand zum anderen zehn Ellen weit..., und eine Schnur von dreißig Ellen war das Maß ringsherum.

Dieses Zitat stammt aus dem ersten Buch der Könige, 7.23 und aus dem 2. Buch der Chronik, 4.2. Es ging in dieser Szene darum, dass der Architekt Hiram von Tyros im Auftrag des Königs Salomon ein rundes Wasserreservoir aus Erz bauen sollte. Aus dieser Beschreibung erfolgt folgende Rechnung:

30 Ellen ringsherum und 10 Ellen weit ergibt für Pi = U/d = 3.

Dieser Wert war für damalige Verhältnisse eher schlecht, da 550.v.Chr. und früher schon wesentlich genauere Werte für Pi bekannt waren.

Daher untersuchten einige Forscher die Bibel auf exaktere Definitionen für Pi. So wurde z. B. im achtzehnten Jh. eine Erklärung abgegeben, die besagte, dass das Wasserreservoir nicht rund, sondern 6-Eckig gewesen sein müsse. Da es aber wesentliche Unterschiede zwischen aufgeschriebener und gesprochener Bibelstellen gibt, muss man diese unterschiedlichen werte dividieren, um einen mittleren Wert zu erhalten. Hieraus ergibt sich:

Pi = 333/106

So hat ist der Wert der Bibel auf 3,141509 bemessen und liegt somit um 0,000083 unter dem Pi Wert der heutigen Zeit.

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3.b.v.) Klassisches Griechenland

Wie generell bekannt ist, sind die Griechen das Volk, das in Verbindung mit der Mathematik des Altertums am populärsten ist. So haben sich dort alle großen Griechischen Mathematiker von 5. bis zum 3. Jh. v. Chr. mit Kreisproblemen beschäftigt. Eine sehr wichtige Berechnungsmethode war die Exhaustitions- Methode, die von Antiphon (um 430 v. Chr.) oder Eudoxos (408-355 v. Chr.) ins Leben gerufen wurde. Hier wird die gesuchte Fläche einer ebenen Figur, etwa eines Kreises, durch gedankliches " Ausschöpfen" mittels bekannter Figuren, etwa der Polgonen, erreicht, die immer weiter verfeinert werden. Mit diesem Satz bewies z.B. Euklid, dass sich Kreisflächen wie die Quadrate ihrer Durchmesser verhalten.

Vom Philosoph Platon (427-348 v. Chr.) ist ein für seine Zeit guter Wert für Pi überliefert. Er soll ihn durch ein arithmetisches Mittel aus den halben Umfängen des einbeschrieben 4-Ecks ( 2 * Wurzel 2) und des umbeschriebenen Sechsecks (2*Wurzel 3) erhalten haben. Diese Ausgangswerte sind zwar dürftig ( 3,464... und 2,828 ), das Endergebnis von Pi = Wurzel 2 + Wurzel 3 ist aber für die damalige Zeit gut. Hieraus ergibt sich nämlich für Pi der Wert 3,1462... und dieser liegt nur um 0,0046...über dem heutigen.

3.c.) Archimedes

Ein weiterer Grieche, der sich auch mit den Problemen des Kreises beschäftigt hat, war Archimedes. Zur Bestimmung von Pi ging Archimedes mit viel tiefer reichenden Mitteln zu Werke. Er ahnte, dass Pi nicht rational bestimmbar sei. So begann er eine regelrechte Treibjagd auf die Zahl Pi. Zuerst bestimmte er Ihre untere Grenze. Er konstruierte einen Kreis mit eingeschlossenem gleichseitigem Dreieck. Nun teilte er jeden Kreisbogen in zwei gleiche Teile, verbindet die Endpunkte und erhält somit ein regelmäßiges 6-Eck; sein Umfang beträgt 6r, weil die 6-seitige Gerade gleich dem Radius r des Kreises beträgt. Durch mehrfache Bogenhalbierung erhält er schließlich ein 96-Eck. Nun ist Archimedes bewusst, dass der Kreisumfang sicherlich größer sein wird, als der Umfang des 96-Ecks, denn zwischen je 2 Eckpunkten ist die gerade Linie kürzer als der Kreisbogen. Daraufhin berechnet er sich den Umfang des 96-Ecks und findet, dass dieser Umfang größer ist als 3 10/71 * d

Um so sicherer muss also auch der Kreisumfang P größer sein als 3 10/71 * d. Nach unten hin ist Pi also schon mal festgelegt.

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Zur Bestimmung der oberen Grenze konstruiert Archimedes eine ähnliche Folge von Vielecken um den Kreis, die ebenfalls mit dem 96-Eck enden. Jedes dieser Vielecke besitzt einen Umfang, der größer ist, als der des Kreises. Die Zahlenrechnung führt zu dem Ergebnis, dass

der Umfang des 96-Ecks kleiner als 3 1/7 * d sein muss.

Somit ergibt sich für den Wert Pi ein Mittelding zwischen den beiden Grenzen 3 1/7 und 3 10/71.

Errechnet man den Wert, so ergibt sich für Pi = 3,1415...

Somit hatte Archimedes auf seine Weise eine sehr gute Näherung für Pi gefunden, die mit Abstand der realitätsnaheste Wert für Pi zu dieser Zeit war.

3.d.) Im Laufe der Jahre vollzog sich eine merkliche Verbesserung der Genauigkeit des Wertes von Pi, der von den verschiedenen Kulturen meist unabhängig voneinander entdeckt wurde.

Durch diese Vielfalt an Berechnungsmethoden für die Zahl Pi auch schon in den frühen Jahren bestätigt sich, dass diese Zahl eine besonders große Rolle in der Mathematik spielt.

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4.) Die Zahl e:

4.a) Dieser Teil der Facharbeit befasst sich mit einer, der wohl wichtigsten Zahlen der Mathematik, nämlich der eulerschen Zahl e. Die Bedeutsamkeit der Zahl hängt überwiegend mit ihrer Bedeutung für Wachstumsprozesse, besonders der natürlichen Wachstumsprozesse, zusammen, deshalb wird sie auch als „Basis des natürlichen Logarithmus“ bezeichnet. Wie auch die Zahl gehört die Zahl e in der Hierarchie der Zahlen zu den Kompliziertesten. Dass sie irrational ist, kann vergleichsweise leicht eingesehen werden. Dass sie sogar transzendent, nicht algebraisch, ist, nach dem Satz des Hermite, ist viel schwieriger zu beweisen {Beweis: siehe Anhang [S. 26 ff.]}. Die Eulersche Zahl e ist die Basis des natürlichen Logarithmus und zeichnet sich besonders dadurch aus, dass sie die Basis der Exponentialfunktion ist. Gesucht sei die Basis b, für die gilt

Die Funktion log soll hier der Logarithmus zur gesuchten Basis b sein. Der obige Ausdruck hat die Eigenschaft, dass man mit ihm eine Summe aus einem Logarithmus herauslösen kann, was mit den herkömmlichen Umformungsregeln nicht möglich ist. Zur Bestimmung der Basis b müssen nun noch ein paar Umformungen vorgenommen werden {„Mathematik für Einsteiger“, S. 110}:

Es ist anstrebenswert nur eine einzige Basis b zu haben, die für möglichst viele Werte von n nahezu exakt ist. Dazu kann man die Konvergenz der Gleichung ausnutzen, die hier nur anhand eines Graphen gezeigt wird:

Man kann die Konvergenz auch formal beweisen. E ist der Grenzwert einer Folge:

Den Logarithmus zur Basis e bezeichnet man als natürlichen Logarithmus. Dieser Logarithmus wird durch die Funktion ln dargestellt.

Die Zahl e kann auch anders angenähert werden. Durch Anwendung des Satzes von Taylor stößt man auf die einfache Formel {„Mathematik für Ingeneure und Naturwissenschaftler Band 1“, S. 578}:

e = 1 + 1/1 + 1/(1*2) + 1/(1*2*3) + … =

4.b) Die eulersche Zahl hat ihren Namen durch einen, der produktivsten Mathematiker aller Zeiten und wohl der bedeutendste des 18. Jahrhunderts, nämlich Leonard Euler (1707 -1783). Er entwickelte die Grundlagen der modernen Zahlentheorie und Algebra, der Topologie, der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kombinatorik, der Integralrechnung, der Theorie der Diffenrentialgleichungen und der Differentialgeometrie, der

Variationsrechnung, entdeckte den Zusammenhang zwischen trigonometrischen Funktionen und Exponentialfunktionen. Leonard Euler entwickelte die Hydrodynamik und Strömungslehre, schuf die Grundlagen für die Theorie des Kreisels. Euler hinterließ etwa 900 wissenschaftliche Arbeiten, dazu gehörte eben auch die Schaffung der Zahl e im Jahre 1727 (Für Werke Eulers siehe Anhang [S. 31]) { „Geschichte der Mathematik“ }.

4.c) Die Eulersche Zahl wurde bis jetzt auf verschiedene Weise, die sich in Form und Genauigkeit unterscheiden, bestimmt oder erklärt. Eine einfache Möglichkeit die Zahl zu bestimmen ist, wenn man e als diejenige Zahl x definieren, für die die Fläche unter der Kurve 1/x zwischen den Abszissen 1 und x genau den Wert 1 hat, dass das wirklich so ist, folgt aus elementaren Integrationsregeln (das unbestimmte Integral der Funktion 1/x ist die Logarithmusfunktion, und die hat genau bei e den Wert 1 [ siehe Anhang]{S. 32} ). e ln x ( ln x ) ’ = 1 ( ln x) ’ = 1 / e ln x = 1 / x

Eine weitere Möglichkeit e zu bestimmen ergibt sich, wenn man annimmt, dass eine Bank 100 Prozent Zinsen gibt, wobei jährlich abgerechnet wird. Nach einem Jahr werden dann aus einem Euro zwei Euro. Wird jeweils nach einem halben Jahr abgerechnet und werden die Zinsen gleich wieder angelegt, so liefert die Zinseszinsrechnung ein Kapital von

( 1 + 1 / 2 ) 2

nach einem Jahr. Analog: Wird das Jahr in n gleiche Teile geteilt, so wird aus einem Euro unter Berücksichtigung der Zinseszinsen ein Kapital von

Euro. Vermutet wird so, dass auf diese Weise ein beliebig hoher Zinsertrag erwirtschaftet werden kann. Jedoch streben die Zahlen ( 1 + 1 / n ) n aber gegen einen Grenzwert, nämlich gegen die Zahl {Beispiel: „Schüler Duden „Mathematik 1“, S. 114}: 2.71828182845904...

4.d) Wie auch wir im Unterricht schon analysiert haben, ergibt die Ableitung der Exponentialfunktion e ^x die Funktion selbst, d.h. für f (x) = e x gilt: f ’ (x) = e x .

dies ist zu beweisen, dadurch dass man die Zahl e auf ganz natürliche Weise, zum Beispiel anhand eines Wachstumsprozesses, bestimmen kann. Somit stellt man sich irgendeine Population vor, bei der das Wachstum proportional zur gerade vorhandenen Bevölkerung und zur Beobachtungszeit ist: Gibt es zur Zeit t genau f ( t ) Individuen, so soll der Zuwachs in den nächsten s Zeiteinheiten genau a * ·s * ·f ( t ) sein (dabei ist a eine geeignete Konstante, die so etwas wie die Fruchtbarkeit misst). Das heißt gerade:

[ f ( t + s ) - f ( t ) ] / s = a * s * f ( t )

und das bedeutet im Grenzwert, wenn s gegen Null geht:

f ’ ( t ) = a * f ( t )

Nun untersucht man den Spezialfall a = 1, die allgemeine Situation lässt sich durch Skalierung darauf zurückführen und gelangt zu dem folgenden Problem: Es wird eine Funktion f, für die f ' = f ist (für die also die Ableitung der Funktion mit der Funktion übereinstimmt) und für die f ( 0 ) = 1 gilt, gesucht; letzteres ist lediglich eine praktische Normierung. Jetzt kann dann beweisen, dass es eine eindeutig bestimmte Funktion mit dieser Eigenschaft gibt, sie wird die Exponentialfunktion genannt, der Wert dieser Funktion bei einer Zahl x wird mit exp ( x ) bezeichnet. Die Zahl e ist dann gerade der Wert der Exponentialfunktion an der Stelle x = 1. Es gilt: exp ( x ) = e x für alle reellen Zahlen x.

4.e) Bei der Eulerschen Zahl handelt es sich nicht nur um eine rein mathematische Anwendung, sie kommt auch vermehrt in unserem Alltag vor, so zum Beispiel wenn einen Bakterienkolonie sich vermehrt, wächst sie gemäß e, und auch die Geschwindigkeit, mit der Bäume Biomasse zulegen, lässt sich auf der Basis von e berechnen. Wo immer etwas lebt, ist e im Spiel. Genauso folgt der radioaktive Zerfall der Logik dieser Zahl. Mit e können wir sogar berechnen, wie ein Vermögen wächst, wenn die Zinsen der Zinseszinsen verzinst werden (stetige Verzinsung). Oder man kann auch berechnen, wenn man n Briefe und n zugehörige Briefumschläge hat, so geht die Wahrscheinlichkeit, dass jeder Brief in einem

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falschen Umschlag steckt, für steigende n gegen e ^-1 , denn die Wahrscheinlichkeit, dass ein Brief falsch einsortiert wird, ist

Bei n Briefen, wobei n gegen unendlich laufe, wird daraus

Aber auch in der Mathematik ist die Eulersche Zahl eine wichtige Stütze, wie zum Beispiel bei den trigonometrischen Funktionen.

In einem rechtwinkligen Dreieck haben sich im Laufe der Zeit die geometrischen Definitionen erweitert und heute ist man dazu übergegangen, den geometrischen Aspekt der Definitionen nur noch nebensächlich zu erwähnen. Heute definiert man

Aber auch in der Definition der Laplace - Transformation spielt e eine Rolle:

Damit eine Funktion f Laplace-transformierbar ist, muss die Wachstumsbeschränkung

erfüllt sein.

So kann man noch viele Bereiche (Fourier - Transformation, Eulersche Gammafunktion {siehe Anhang [S. 33 ff.]}) aufführen, in denen die Zahl e eine wichtige Rolle spielt.

4.f.) Wenn man nun noch einmal alle Aspekte der eulerschen Zahl betrachtet stellt man fest, dass die Erfindung der Zahl einen deutlichen Fortschritt in vielen Bereichen des Lebens gebracht hat. Man kann aber auch sehen, dass es im Laufe der Zeit immer einfacher wurde e zu bestimmen und dass die Methoden zur Bestimmung immer verständlicher wurden. Sie wird in der heutigen Zeit sogar schon in der Schule berechnet.

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5.) Literaturverzeichnis:

• David Bladner , die Magie einer Zahl o

• Lothar Papula

Mathematik für Ingeneure und Naturwissenschaftler Band 1 o (S. (1 + 1/n), 578 Taylor) o

• Rudolf Taschner Das Unendliche o

• Klaus Fritsche Mathematik für Einsteiger o (S. 110 Beweis e, S. 265) o

(S. 96ff. irrationale Zahlen) o

• H. Stoppel Mathematik anschaulich o

• Hans Kaiser, Wilfried Nöbauer Geschichte der Mathematik o Euler o

• Courant Robbins Was ist Mathematik o

• Schüler Duden „Mathematik 1“ (S. 114 Bsp) o

• Duden „ Rechnen und Mathematik“ (Definition irrationale zahl) o

• Leonard Mlodinow Das Fenster zum Universum o

• Jean-Paul Delahaye

. Die Story o

• Kliness Burg, Herbert Haf, Friedrich Wille Höhere Mathematik für Ingeneure Band 1 o

(S. 4 ff. irrationale Zahlen) o

• Paul K. Du und der Zauber der Zahlen o

• Eli Maor

Die Zahl e. Geschichte und Geschichten. o

• http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Euler.html

• http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Pi_through_the_ages.html#124

21

• http://www.andreas-gym.de/projekt/www/bk99/s9/fromm1.htm

• http://math-www.uni-paderborn.de/~orlob/270e.pdf

• http://home.zhwin.ch/~maz/IT/Euler.pdf

• http://www.fo.fh-koeln.de/dozenten/dkunz/skripte/mathe/mathe13.pdf

• http://math-www.uni-paderborn.de/~orlob/EulerscheZahl.PDF

22

6.) Anhang:

Ersten 3000 Dezimalstellen der Zahl Pi:

3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989 3809525720 1065485863 2788659361 5338182796 8230301952 0353018529 6899577362 2599413891 2497217752 8347913151 5574857242 4541506959 5082953311 6861727855 8890750983 8175463746 4939319255 0604009277 0167113900 9848824012 8583616035 6370766010 4710181942 9555961989 4676783744 9448255379 7747268471 0404753464 6208046684 2590694912 9331367702 8989152104 7521620569 6602405803 8150193511 2533824300 3558764024 7496473263 9141992726 0426992279 6782354781 6360093417 2164121992 4586315030 2861829745 5570674983 8505494588 5869269956 9092721079 7509302955 3211653449 8720275596 0236480665 4991198818 3479775356 6369807426 5425278625 5181841757 4672890977 7727938000 8164706001 6145249192 1732172147 7235014144 1973568548 1613611573 5255213347 5741849468 4385233239 0739414333 4547762416 8625189835 6948556209 9219222184 2725502542 5688767179 0494601653 4668049886 2723279178 6085784383 8279679766 8145410095 3883786360 9506800642 2512520511 7392984896 0841284886 2694560424 1965285022 2106611863 0674427862 2039194945 0471237137 8696095636 4371917287 4677646575 7396241389 0865832645 9958133904 7802759009 9465764078 9512694683 9835259570 9825822620 5224894077 2671947826 8482601476 9909026401 3639443745 5305068203 4962524517 4939965143 1429809190 6592509372 2169646151 5709858387 4105978859 5977297549 8930161753 9284681382 6868386894 2774155991 8559252459 5395943104 9972524680 8459872736 4469584865 3836736222 6260991246 0805124388 4390451244 1365497627 8079771569 1435997700 1296160894 4169486855 5848406353 4220722258 2848864815 8456028506 0168427394 5226746767 8895252138 5225499546 6672782398

23

6456596116 3548862305 7745649803 5593634568 1743241125 1507606947 9451096596 0940252288 7971089314 5669136867 2287489405 6010150330 8617928680 9208747609 1782493858 9009714909 6759852613 6554978189 3129784821 6829989487 2265880485 7564014270 4775551323 7964145152 3746234364 5428584447 9526586782 1051141354 7357395231 1342716610 2135969536 2314429524 8493718711 0145765403 5902799344 0374200731 0578539062 1983874478 0847848968 3321445713 8687519435 0643021845 3191048481 0053706146 8067491927 8191197939 9520614196 6342875444 0643745123 7181921799 9839101591 9561814675 1426912397 4894090718 649423196

Ersten 3000 Dezimalstellen der Eulerschen Zahl e:

2. 71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093

69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 92069 55170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389 78442 50569 53696 77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312 77361 78215 42499 92295 76351 48220 82698 95193 66803 31825 28869 39849 64651 05820 93923 98294 88793 32036 25094 43117 30123 81970 68416 14039 70198 37679 32068 32823 76464 80429 53118 02328 78250 98194 55815 30175 67173 61332 06981 12509 96181 88159 30416 90351 59888 85193 45807 27386 67385 89422 87922 84998 92086 80582 57492 79610 48419 84443 63463 24496 84875 60233 62482 70419 78623 20900 21609 90235 30436 99418 49146 31409 34317 38143 64054 62531 52096 18369 08887 07016 76839 64243 78140 59271 45635 49061 30310 72085 10383 75051 01157 47704 17189 86106 87396 96552 12671 54688 95703 50354 02123 40784 98193 34321 06817 01210 05627 88023 51930 33224 74501 58539 04730 41995 77770 93503 66041 69973 29725 08868 76966 40355 57071 62268 44716 25607 98826 51787 13419 51246 65201 03059 21236 67719 43252 78675 39855 89448 96970 96409 75459 18569 56380 23637 01621 12047 74272 28364 89613 42251 64450 78182 44235 29486 36372 14174 02388 93441 24796 35743 70263 75529 44483 37998 01612 54922 78509 25778 25620 92622 64832 62779 33386 56648 16277 25164 01910 59004 91644 99828 93150 56604 72580 27786 31864 15519 56532 44258 69829 46959 30801 91529 87211 72556 34754 63964 47910 14590 40905 86298 49679 12874 06870 50489 58586 71747 98546 67757 57320 56812 88459 20541 33405 39220 00113 78630 09455 60688 16674 00169 84205 58040 33637 95376 45203 04024 32256 61352 78369 51177 88386 38744 39662 53224

24

98506  54995 88623 42818 99707 73327 61717 83928 03494 65014 34558 89707  19425

86398  77275 47109 62953 74152 11151 36835 06275 26023 26484 72870 39207  64310

05958  41166 12054 52970 30236 47254 92966 69381 15137 32275 36450 98889  03136

02057  24817 65851 18063 03644 28123 14965 50704 75102 54465 01172 72115  55194

86685  08003 68532 28183 15219 60037 35625 27944 95158 28418 82947 87610  85263

98139  55990 06737 64829 22443 75287 18462 45780 36192 98197 13991 47564  48826

26039  03381 44182 32625 15097 48279 87779 96437 30899 70388 86778 22713  83605

77297  88241 25611 90717 66394 65070 63304 52795 46618 55096 66618 56647  09711

34447  40160 70462 62033 01551 71863 69028 13085 22832 57424 60648 83096  22189

19597  65761 11059 10208 44601 27827 28316 86627 09496 78878 66463 23797  32273

20411  29918 21554 92477 88981 39867 96749 72461 72756 97258 15452 44969  18659

31151  70118 07519 90958 81927 84853 55312 47643 11198 28843 76721 65248  55995

78228  21338 60693 21185 31448 27922 46159 13416 66715 45236 69800 34304  35975

79831  08885 61233 15622 12458 45255 42741 25619 88320 25453 04749 47763  69337

30922  88460 45185 45744 65621 76813 00280 10291 61978 08635 99077 99569  82426

08618  63876 36645 81932 12980 96396 38624 62815 90844 94983 91849 87299  86899

59534  83534 46561 70943 03227 74754 39454 49975 23447 29472 68264 96549  98913

31427  09392 24676 40522 07975 26309 43763 74596 70047 45694 39018 50296  35230

57176  93613 46488 21330 59661 80267 83771 66225 68610 88788 93640 62250  13356

76566  50841 88608 34163 97069 72717 41619 19428 26826 09291 31506 90436  55501

05788  76089 34152 66249 27765  80695

25

Zeichenfindung von Pi:

So alt die Pi- Forschung auch ist, die Bezeichnung Pi ist jung. Der Griechische Buchstabe wurde erst im 18. Jh. n. Chr. für den Begriff festgelegt. Davor mussten verbale Umschreibungen herhalten. So etwa die Redewendung: quantitas, in quam cum multiplicetur dyameter, proveniet circumferenia. Übersetzt heisst dieser Satz: die Größe, durch deren Multiplikation mit dem Durchmesser sich der Umfang ergibt.

26

Als Erfinder des Symbol von Pi wird der Engländer William Jones ( 1675-1749 ) angenommen, der es 1706 mit seiner heutigen Bedeutung und seiner Synopsis Palmariarum Mathesos ( Zusammenstellung preiswürdiger mathematischer Aufgaben) eingesetzt hat. Ein zweiter möglicher " Erfinder " des Symbols könnte aber auch John Machin sein, der sich auch sonst noch um Pi verdient gemacht hat.

Wenige andere Autoren benutzten schon früher den Buchstaben Pi für andere Größen im Kreis. So findet sich bei William Ougthred ( 1574- 1660) bereits 1631 in Clavis Mathematicae das Symbol Pi für den Halbkreisumfang.

Ach andere Symbole wurden ausprobiert. Johann Bernoulli ( 1667-1748) benutzte z. B. den lateinischen Buchstaben c und Leonard Euler ( 1707-1783) verwendete 1734 zuerst p und 1736 dann auch c. Zum ersten mal erscheint Pi bei Euler in der 1737 verfassten Abhandlung Variae observationes circa series infinitas. "Von Euler nicht zum wenigsten infolge seines ausgedehnten Briefwechsels mit aller Welt ging das Symbol bald auf andere Mathematiker über." ( Tropfke )

Endgültig hatte es sich durchgesetzt, als es Euler 1748 in seinem großen Werk Introductio in Analysis infinitorum einsetzte. Er führte es darin mit den Worten ein: " Für diese Zahl wollen wir der Kürze wegen Pi schreiben, so dass also Pi gleich dem halben Umfang eines Kreises vom Halbmesser 1, oder gleich der Länge eines Bogens von 180 Graden ist."

Transzendenz der Zahl e:

Der erste Beweis der Transzendenz von e stammt von Hermite aus dem Jahre 1873. Der hier vorgestellte Beweis ist von David Hilbert 1893 und stellt eine Vereinfachung des Beweises von Hermite dar.

Die zentrale Idee des Beweises ist die Zerlegung der Zahl e in folgender Weise:

e

Teil 1 lässt sich als Bruch darstellen:

p

Daraus folgt:

Teil 2:

< 0

Aus diesen beiden Teilen folgt, dass e durch rationale Zahlen besonders gut angenähert werden kann. Allgemein kann jede Zahl x durch rationale Zahlen beliebig nahe

27

ε approximiert werden, wenn . Bei Zahlen, die schlecht

durch rationale Zahlen angenähert werden können, kann es notwendig werden, den Nenner 1 ).

von r sehr groß zu wählen (so groß wie ε

Für e benötigen wir jedoch keinen so großen Nenner, da z.B. schon eine Approximation mit 1 genau ist.

n = 5 schon auf 1000

Der Beweis der Transzendenz von e hängt ab von der Erweiterung der Idee, e kann durch Brüche besonders gut approximiert werden, dass auch die endlichen Potenzen von e durch Brüche angenähert werden können.

Für den indirekten Beweis nehmen wir an, dass e algebraisch ist. Das heißt wir gehen davon aus, dass die algebraische Gleichung ⁻ = + + + + 1 1 n n 0 ........ a x a x a x a für ganzzahlige Koeffizienten erfüllt wird.

− 0 1 1 n n

Um einen Widerspruch zu erlangen, ist es notwendig bestimmte „Ganzzahlen“ M, M 1 ,....,M n und „Kleinzahlen“ ∈ 1 ,.....,∈ n zu definieren, so dass ∈ + = ¹

e = ² e

= n e

Nun stellt sich die Frage, wie klein die ∈‘s sein müssen. Dazu setzen wir die Ausdrücke in die algebraische Gleichung ein: ∈ + ∈ + ∈ + M M M

= + + + + n n ^{1 1 2 2} 0 ........ a a a a multipliziert mit M

0 1 2 n M M M = + ∈ + + ∈ + + + ∈ + 0 ........ M a a M a a M a a M a erhalten wir:

0 1 1 1 1 2 2 2 2 n n n n [ ][ ]0

= ∈ + + ∈ + ∈ + + + + + ..... ..... a a a M a M a M a M a

2 2 1 1 2 2 1 1 0 n n n n

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Der erste Ausdruck ist eine ganze Zahl, und wir wählen die M’s so, dass dieser Ausdruck notwendigerweise eine ganze Zahl ungleich 0 wird (Nichtnullganzzahl).

Man kann die ∈‘s auch so wählen, dass

Dies wird uns zum Widerspruch führen, da die Summe einer Nichtnullganzzahl und 1 nicht 0 sein kann.

einer Zahl mit dem Absolutbetrag < 2

Für den Beweis benötigen wir die Γ-Funktion.

SATZ: e ist transzendent

BEWEIS:

Annahme: Es gibt Ganzzahlen a 0 ,.....,a n , wobei a 0 ≠ 0 ist, so dass

⁻ = + + + + 1 1 n n 0 ........ a e a e a e a

− 0 1 1 n n

Man definiere Zahlen M, M 1 ,....,M n und ∈ 1 ,.....,∈ n wie folgt

[ ] ( ) ( ) ∞

∫ = M 0

[ ] ( ) ( )

= e M

k

k

∫ = ∈ k e

k

0

Das p stellt eine Primzahl dar, die später noch näher erklärt und bestimmt wird.

Zuerst betrachten wir M:

[ ] Wenn wir nun die Ausdrücke in den eckigen Klammern ( ) ( ) − ⋅ ⋅ − ..... n x x 1

ausmultiplizieren, erhalten wir ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten ⁻ ± + + + 1 n n ! ..... n x b x b x .

− n ^{1 1} ( ) p .......... ± + np n x ! Gesteigert um die p-te Potenz entsteht folgendes Polynom:

Folglich kann M in der Form

29

= M

[ ] dx

=

=

=

( ) p ± = n C ! wobei C α bestimmte Ganzzahlen sind und ist.

0

Von der Γ-Funktion wissen wir, dass

( ) Γ

Daraus folgt dass

α = 0 1) Für erhalten wir den Term ( ) ( )

Wir betrachten nun Primzahlen p > n. Dann ist der Term eine ganze Zahl, welche nicht durch p teilbar ist. C 0 ist also nicht durch p teilbar.

α > 0 2) Für gilt: ( ) ( ) ( ) ( )

α > C ist teilbar durch p für 0 .

α

Aus 1 und 2 folgt, dass M eine Ganzzahl und nicht teilbar durch p ist.

Nun betrachten wir M k :

30

[ ] ( ) ( )

= k e M

k ∞

∫ = k

Durch Substitution x = k+u, du = dx erhalten wir den Ausdruck:

[ ] ( ) ( ) ( )

M

= ⇒ + = 0 u k u k Die untere Grenze des Integrals wurde von k auf 0 geändert, da .

Der signifikante Unterschied zwischen M und M k ist, dass im Ausdruck M k der Faktor u an der k-ten Stelle vorkommt. Folglich beinhaltet die p-te Potenz den Faktor u ^p . Das bedeutet, dass der gesamte Term

[ ] p ( ) ( ) ( ) − p ¹ − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − + + n k u u k u k u ... ... 1 ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten ist, das zumindest Grad p besitzt

Es folgt:

[ ] ( ) ( ) ( ) ∞

∫ = M

k

0

=

[ ]

=

=

=

np ∑ = = α 1

Da α mit 1 beginnt, ist der kleinstmögliche Term ( )

Also ist D 1 durch p teilbar.

Dies gilt auch für α > 1, woraus folgt, dass alle Terme durch p teilbar sind. Somit sind alle M k durch p teilbar.

Nun ist klar, dass

31

∈ +

Eingesetzt in die algebraische Gleichung und multipliziert mit M, erhalten wir: [ ][ ]0

= ∈ + + ∈ + ∈ + + + + + ..... ..... a a a M a M a M a M a

2 2 1 1 2 2 1 1 0 n n n n

p > a Zusätzlich zur Bedingung p > n vereinbaren wir, dass (p kann somit nicht

0

Teiler von a 0 sein. Das bedeutet, dass beide, M und a 0 , nicht durch p teilbar sind, also auch nicht das Produkt der beiden.

Obwohl jedes M k durch p teilbar ist (M aber nicht), folgt, dass

+ + + + n M a M a M a M a ..... nicht durch p teilbar ist. Dadurch ist der Ausdruck

n 2 2 1 1 0

eine Nichtnullganzzahl.

Um einen Widerspruch zu erhalten und so zu beweisen, dass e transzendent ist, ist es nur ∈ + + ∈ + ∈ a a a ..... mehr notwendig zu zeigen, dass so klein wie erforderlich

n n 2 2 1 1

gemacht werden kann, indem p groß genug gewählt wird.

∈ beliebig klein gemacht werden kann. Das erfordert Es reicht zu zeigen, dass jedes k

einfache Abschätzungen. Für die weitere Beweisführung ist es wichtig sich zu erinnern, dass n eine feste Zahl (Grad der algebraischen Gleichung) ist.

k ≤ ≤ n 1 Wenn , dann ist

[ ] A sei das Maximum von ( ) ( ) ∈ − ⋅ ⋅ − ..... n x x 1 n x , 0 für

Dann ist:

32

∈ kann beliebig klein gemacht werden, indem man p beliebig groß wählt.

Leonard Euler:

Leonard Euler hinterließ etwa 900 wissenschaftliche Arbeiten, darunter:

Mechanica 1736)

Über Kettenbrüche (1737) Tentamen novae musicae (1739) Theorie der Planetenbewegung (1744) Neue Grundsätze der Artillerie (1745) Nova theoria lucis et colorum (1746) Über die Schwingungen einer Saite (1748) Introductio in analysin infinitorum (1748)

33

Theorie des Schiffbaues (1749) Institutiones calculi differentialis (1755) Institutiones calculi integralis (1770) Vollständige Anleitung zur Algebra (1770)

Lettres · une princesse d'Allemagne sur quelques sujets de Phsique et Philosophie (1772) Dioptrica (1771)

Ableitung von ln x:

( ln x) ’ = 1 / x

Beweis: Man betrachtet g ( x ) = e ln x = x => g ’ (x) = e ln x *( ln x ) ’

{ Zur Hilfe die Kettenregel: e ln x *( ln x ) ’ = 1 ( ln ) ’ = 1 / e ln x = 1 / x }

g’ ( x ) = 1

Eulersche Gammafunktion:

Weierstraßsche Produktdarstellung: Die Gammafunktion wird allgemein durch die folgende Formel definiert, die man als Weierstraßsche Produktdarstellung bezeichnet. Dabei ist C die Eulersche Konstante, sie ist ungefähr 0.57721566490153.

Eulersche Integraldarstellung: Die Gammafunktion ist für reelle x > 0 außerdem durch die Eulersche Integraldarstellung definiert. Diese lautet

34

Man beweist die Identität der Definitionen durch mehrfaches partielles Integrieren.

Verallgemeinerter Fakultätsbegriff: Die Eulersche Gammafunktion stellt die Verallgemeinerung des Fakultätsbegriffes in Bezug auf die Menge der komplexen Zahlen dar. Alle Gesetze für Fakultäten gelten auch für die Gammafunktion. Es gilt

Alle negativen Ganzzahlen bilden die Polstellen der Funktion. Es gibt keine Nullstellen. Der folgende Graph zeigt die verschobene Funktion G(z+1), wobei die Schnittpunkte mit der Fakultät rot markiert sind.

Fourier -Transformation einer Funktion: Die Fourier -Transformation wird durch die Formeln

und

35

beschrieben. Unglücklicherweise bezeichnet man auch leichte Abwandlungen dieser Formeln als Fourier -Transformation. Deswegen sollte man, wenn man in Transformationstabellen nachschlägt, die aus unterschiedlichen Quellen stammen, immer prüfen, ob die Quellen von den gleichen Grundformeln ausgehen. Man bezeichnet F als Fourier -Transformierte von f.

Unterrichtsbeweis:

Im Unterricht behandelter Beweis für lim h -> 0 e h - 1 / h = 1:

Behauptung: Für f ( x ) = e x gilt f ’ ( 0 ) = 1 und f ’ ( x ) = e x

Beweis: Differenzenquotient: f ( x ) - f ( x 0 ) / ( x - x 0 )

( h = x - x 0 ) f ( x 0 + h ) - f ( x 0 ) / h

speziell für x 0 = 0: f ( 0 + h ) - f ( 0 ) / h = e h - 1 / h

zu zeigen ist also noch: lim h -> 0 e h - 1 / h = 1

f ( x ) = e x hat als Graph eine Linkskurve => G f verläuft h Є ] -1 ; 1 [ „oberhalb“ der Geraden zu y = x + 1 =>1.) e h > h + 1

und 2.) e -h > - h + 1 = 1 - h e h < 1/ ( 1 - h )

1.) und 2.) => h + 1 < e h < 1/ ( 1 - h )

h + 1 < e h < 1 + 1 / ( 1 - h ) h < e h - 1 < 1 / ( 1 - h )

für h > 0: 1 < e h - ( 1 / h ) < 1 / ( 1 - h )

bzw. für h < 0: 1 < e h - ( 1 / h ) > 1 / ( 1 - h )

=> lim h -> 0 e h - 1 / h = 1

Anekdote:

36

Treffen sich zwei Funktionen im Unendlichen, sagt die eine: „Verschwinde aus meinem Definitionsbereich oder ich leite dich ab!“ Sagt die andere: „Mach doch! Ich bin die e -Funktion“.

Eigenständigkeitserklärung:

„ Wir erklären, dass wir die Facharbeit ohne fremde Hilfe angefertigt und nur die im Literaturverzeichnis angeführten Quellen und Hilfsmittel benutzt haben.“

37