INHALTSVERZEICHNIS

1.  Einleitung 1  2

2.  Biographie 2  3

3.  Die Eulersche Zahl  

3.1.  Die Eulersche Zahl lässt sich mit Hilfe der  

  Exponentialfunktion definieren  3

3.2.  Darstellung der Exponentialreihe 4  5

3.3.  Darstellung der Reihe für den Logarithmus 5  6

  e  

3.4.  Vereinfachung der 6 7 Funktion  

  e  

3.5.  Der Graph der 7 Funktion  

3.6.  Anwendungsbeispiel der Eulerschen Zahl 7  8

4.  Der Eulersche Polyedersatz  

4.1.  Allgemeines zu Polyedern  9

4.2.  Was ist die vollständige Induktion? 9  11

4.3.  Beweis des Eulerschen Polyedersatzes 12  13

4.4.  Zusammenhang zwischen K und E, sowie zwischen K und F  13

4.5.  Die regulären Polyeder 13  15

4.6.  Der Handball als Polyeder (Anwendungsbeispiel) 15  16

  5 Schluss  16

  Jens Meyer  

6.  Anhang 17  18

7.  Quellen  19

8.  Versicherung der selbständigen Erarbeitung  20

  Jens Meyer  

1. Einleitung

Wenn man heute Mitmenschen zur Person Leonhard Euler befragt, bekommt man oft nur Gegenfragen zurück, wie: „Hat der nicht etwas mit der Eulerschen Zahl zu tun?“ oder „Gibt es da nicht eine Taste auf dem Taschenrechner?“ Doch für die Mathematiker ist Leonhard Euler brandaktuell. Denn mit Hilfe der Eulerschen Knickformel werden zahlreiche Simulationen des am 11.September 2001 durch Terroranschläge eingestürzte World Trade Center berechnet. Aber auch im alltäglichen Leben ist Leonhard Euler in der Mathematik nicht mehr wegzudenken. Hier kennt man neben der Eulerschen Zahl, dem Eulerschen Polyedersatz, der Differentialrechnung, viele weitere Errungenschaften von ihm. Er schrieb über 900 wissenschaftliche Arbeiten, darunter waren:

1736 Mechanica

1737 Über Kettenbrüche 1739 Tentamen novae musicae 1744 Theorie der Planetenbewegung 1745 Neue Grundsätze der Artillerie 1746 Nova theoria lucis et colorum 1748 Über die Schwingungen einer Saite 1748 Introductio in analysin infinitorum 1749 Theorie des Schiffbaues 1755 Institutiones calculi differentialis 1770 Institutiones calculi integralis 1770 Vollständige Anleitung zur Algebra 1771 Dioptrica [vgl. Wussing, Arnold,1985 und Bell, 1967]

Nebenbei hat er die Ehre auf dem aktuellen 10 Franken Banknote der Schweiz abgebildet zu sein:

Da ich mich mehr auf die Schulmathematik beziehen möchte, werde ich mich auf die Eulersche Zahl und dem Eulerschen Polyedersatz beschränken. Die Eulersche Zahl werde ich mit Hilfe der Reihen für die Exponentialfunktion (3.2) und der Logarithmusfunktionen (3.3) darstellen. In 3.6 beziehe ich die Eulersche Zahl auf das alltägliche Leben.

Den Eulerschen Polyedersatz werde ich anhand der vollständigen Induktion beweisen (4.3), wobei ich dieses Beweisverfahren in 4.2 kurz erläutern werde. In 4.5 werde ich mit Hilfe des Eulerschen Polyedersatzes zeigen, dass es nur fünf regelmäßige Polyeder gibt. Anhand eines Anwendungsbeispiels (4.6) werde ich das Thema des Eulerschen Polyedersatzes abschließen.

2. Biographie Leonhard Eulers

Leonhard Euler war einer der bedeutensten Mathematiker des Aufklärungszeitalters. Er wurde am 15. April 1707 in Basel geboren. Sein Vater, Paul Euler war als Pfarrer tätig und seine Mutter war Hausfrau. Paul Euler war ein gebildeter Mann, der sich neben der Theologie auch mit der Mathematik beschäftigte. Durch eine Freundschaft mit den Mathematikern Johann ⁽¹⁾ und Jakob ⁽²⁾ Bernoulli erkannte man das Talent Leonhard Eulers für die Mathematik. So unterrichtete Johann Bernoulli „Leonhard Euler zusammen mit seinen eigenen Söhnen Nikolaus ⁽³⁾ und Daniel ⁽⁴⁾ in Mathematik“[Wussing, Arnld, S. 248]. 1724 bekam Euler den Magistertitel. Mit 19 erhielt Euler eine Einladung von der russischen Zarin Katharina I ⁽⁵⁾ um an der Petersburger Akademie der Wissenschaft Karriere zu machen. 1730 bekam er die Physikprofessur und 1733 die Mathematikprofessur. In diesem Jahr heiratete Euler Katharina Gsell mit der er dreizehn Kinder zeugte, wobei nur fünf Kinder überlebten. Leonhard Eulers erste fruchtbare Schaffensperiode war in den Jahren 1727 bis 1741. Er entwickelte sich in dieser Zeit „zu einer Forscherpersönlichkeit, die an Vielseitigkeit, Produktivität und Wirksamkeit aus der Geschichte der Wissenschaft herausragte“[Wussing, Arnold, S. 248]. Seine Anwendungen bezogen sich auf technologische Probleme, wie dem Schiffsbau, der Astronomie oder der Mechanik. 1741 wechselte Euler zur Berliner Akademie, wo er die zweite 26 jährige Periode erarbeitete. Hierbei betrieb er Forschungsarbeiten für Preußen unter Friedrich I ⁽⁶⁾ . Euler schrieb viele seiner Werke in Berlin, die der Mathematik des 18. Jahrhundertes ihr Gepräge gaben. Darunter war das für die damalige Mathematik bedeutenste Buch

2

„Introductio in analysin infinitorem“ das 1748 in zwei Bänden erschienen ist. Die Bände enthalten Einführungen über die algebraische Analysis, die Theorie der Zahlenreihen, die analytische Geometrie und Kurvendiskussionen. Auch stellt Euler die Regeln rationaler und irrationaler Funktionen dar. Er führte hierbei das Funktionssymbol „f(x)“ ein!

Um 1755 versuchte Euler aus den preußischen Diensten entlassen zu werden, da es große „charakterliche und weltanschauliche“[Wussing, Arnold, S. 254] Differenzen zwischen ihm und Friedrich II gab. Dieser ließ ihn aber dreimal abprallen bis Euler schließlich 1766 nach Wunsch von Katharina II ⁽⁷⁾ mit seiner Familie nach St. Petersburg an die Akademie zurückkehrte. Noch im gleichen Jahr verlor Euler sein Augenlicht und 1773 seine Frau. Doch durch sein gutes Gedächnis, der Unterstützung von seinem Sohn Johann Albrecht ⁽⁸⁾ und weiteren Schülern schaffte es Euler erfolgreich weiter zu arbeiten. Ein gutes Drittel seines Lebenswerkes entstand noch unter diesen schwierigen Bedingungen, womit auch die dritte und letzte Schaffensperiode eingeleitet wurde.

1770 erschien in deutscher Sprache das Buch mit dem Titel „Vollständige Anleitung zur Algebra“. Euler diktierte es seinem Gehilfen, der die Schreinerei erlernt hatte. Hierbei veränderte Euler den Inhalt so lange bis der Gehilfe dieses auch verstand. In den letzten Jahren seines Lebens beschäftiget sich Euler mit der Überarbeitung einiger seiner fast 900 Arbeiten, in denen er Lücken festgestellt hatte. Am 18.September 1783 starb Leonhard Euler an den Folgen eines Schlaganfalls in St. Petersburg.

[vgl. Wussing, Arnold,1985 und Bell, 1967]

3. Die Eulersche Zahl e

3.1. Die Eulersche Zahl e lässt sich mit Hilfe der Exponentialreihe definieren:

^∞ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∑ + + + + + = + + + + + = = ... 1 1 ... e

24 3 2 ! 4 ! 3 ! 2 ! 1 ! 0 ! i = 0 i

Dabei steht n! (n Fakultät) für das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen. Man setzt 0 = . hierbei 1 !

[vgl. Duden, 2000; 110]

3

3.2. Darstellung der Exponentialreihe

= Ψ unendlich klein. Es sei

= →  ⁰ Euler folgert aus der Gleichung 1 a

χ ^Ψ + = 1 a

Hierbei sei auch χ eine unendlich kleine Zahl.

χ Ψ = k Euler setzt nun um eine Beziehung zu der Basis a herzustellen

und gelangt zu:

^Ψ Ψ + = k a 1

Somit ist Ψ der Logarithmus von Ψ + k zur Basis a . 1

Durch Anwendung der logarithmischen Regel

ε ε ε ^{+ +} Ο = ⇔ = 〉 〈 c ; ; ; 1 c b b a ) ( log R c R b R a

a

erhält man:

Ψ + = Ψ ) 1 log( k

Euler will nun durch ein Beispiel verdeutlichen, dass die Zahl k von der Basis a

abhängt:

^Ψ −

= Mit und 25 a

= für . Somit ist „ k eine endliche Zahl, die vom Wert der Basis a 221888 , 3 k

abhängt“.

^Ψ Ψ + = Euler potenziert die Gleichung auf beiden Seiten mit i und erhält: k a 1

^Ψ Ψ + = i i ) 1 ( k a

Mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes ⁽⁹⁾ wird nun die rechte Seite entwickelt:

− − − ) 2 )( 1 ( ) 1 ( i i i i i i

^Ψ + = a i 1

Für i kann man eine beliebige Zahl setzen, die auch unendlich groß sein darf. Denn

z

= Euler setzt . Hierbei ist z eine beliebige endliche Zahl. i

Ψ

12 z Da Ψ unendlich klein ist, wird i unendlich groß (Bsp.:

z

= Ψ Ψ = i Da , bzw. führt das zu folgender Gleichung: z

i

− − −

= z a

Nun hat man eine Gleichung, wo auf der einen Seite eine endliche Potenz z a steht,

und auf der anderen Seite aber die unendlich großen Zahlen i .

Euler bemerkt, dass für unendlich große Zahlen i

− − − 3 2 1 i i i

− − − 1 1 i 1 2 1 3 i i

= = =

, , , ........ [2]

2 2 i 3 3 4 4 i i

Unter Berücksichtigung dieser beiden Formeln lässt sich die obige Gleichung [1]

vereinfachen:

+ = a z 1

Den schon oben angesprochenen Zusammenhang zwischen a und k kann man hier

= nun verdeutlichen, wenn man setzt: 1 z

+ = 1 a

[vgl. Wuschkowski, 1990; S.107ff / Duden, 2000; S. 110ff / Netz, 1977]

3.3. Darstellung der Reihe für den Logarithmus

^Ψ + = a i Um nun eine Reihe für den Logarithmus herzuleiten, setzt Euler: . x 1

^{Ψ Ψ} + = Ψ + = a i i i Setzt man nun und die schon oben verwendete Gleichung ) 1 ( x 1 k a

gleich:

Ψ + = + i ) 1 ( 1 k x

1

− + = Ψ erhält man durch umformen erst und dann 1 ) 1 ( x k i

= Ψ i

5

Durch Entwicklung der rechten Seite in eine Binominalreihe gewinnt man damit eine

Reihe für

⁽¹⁰⁾ ⇔ ^Ψ Ψ = + + = a i i x ) 1 ( log ) 1 ( x

a

− − − − − −   i i i i i i i ) 1 3 )( 1 2 )( 1 ( 1 ) 1 2 )( 1 ( 1 ) 1 ( 1 1

+ x ) 1 log(

Wie schon in [2] belegt, folgt daraus:

  ^{4 3 2} 1 x x x x + x

) 1 ( log a

x = + Mit dieser Reihe kann man nun k aus a berechnen, indem man wählt. Also a 1

= ist wieder . Und so wird aus: 1 z

= = + 1 ) ( log ) 1 ( log a x

a a

Daraus folgt aus der obigen Reihe [5]:

= 1

⇔

[vgl. Wuschkowski, 1990; S.107ff / Duden, 2000; S. 110ff / Netz, 1977]

3.4. Vereinfachung der Reihen

Die Reihen für den Logarithmus und die der Exponentialfunktion werden besonders

= einfach, wenn man setzt. 1 k

= Euler bezeichnet die zu dem Wert gehörende Basis mit dem Buchstaben e . 1 k

= Für ergibt sich aus der Gleichung [2]: 1 k

1 1 1 1

+ = 1 e

6

Abschließend gibt Euler noch eine bedeutende Formel an:

i  

+ = 1 z  e



Nach der heutigen Schreibweise wird aus dem unendlich großen i

n

∞ →  = ^lim z n e

[vgl. Wuschkowski, 1990; S.107ff / Duden, 2000; S. 110ff]

e − 3.5. Der Graph der : Funktion

y = x Für positive Zahlen x für die Gleichung geht der Graph durch die Punkte e

und . ) 1 / 0 ( A ) / 1 ( e B

−∞ →  ^lim Für schmiegt sich der Graph immer stärker an die x - Achse an. x

3.6. Anwendungsbeispiel der Eulerschen Zahl im täglichen Leben

Die Eulersche Zahl e wird heutzutage für alle Wachstumsprozesse verwendet. Als

Beispiel wähle ich die Zinsrechnung:

Die Zinseszinzformel lautet:

7

n 



 = 1 K K

n ⁰ 





n -Teile eines Jahres ist.

Wenn man nun als Anfangskapital 1€ und als Prozentsatz 100% setzt erhält man für

ein Jahr:



+ =  K 1 1

¹ 

Aus einem Euro werden logischerweise nach einem Jahr zwei Euro!

= Rechnet man nun nach einem halben Jahr ( ) ab, wobei die Zinsen gleich wieder 2 n

angelegt werden, erhält man nach einem Jahr



+ =  1 1 K

² 

Durch eine Zinsesverzinsung pro Tag erhält man am Ende des Jahres 2,71€:

= 1 K => 360

Das letzte Ergebnis lässt vermuten, je höher man das Jahr in n -gleiche Teile aufteilt,

desto höher wird das Endkapital nach einem Jahr. Diese Vermutung ist falsch. Denn

das Endkapital strebt immer dichter an einen Grenzwert, der Zahl e !

[vgl. www.mathematik.de]

8

4. Der Eulersche Polyedersatz

4.1. Allgemeines zu Polyedern

Polyeder sind Körper, die von Ebenen begrenzt sind. Ein geschlossener Polyeder heißt konvex und ein Polyeder, indem Löcher durch einspringende Ecken entstehen, heißt konkav.

Für konkave Polyeder stellt Leonhard Euler eine Beziehung zwischen den Anzahlen der Kanten K, den Eckpunkten E, und der Flächen F her. Es gilt der Eulersche Polyedersatz: = + − 2 F K E

Die Zahlen E und F kann man genauer darstellen, indem man n E bzw. m F schreibt.

Hierbei treffen n Kanten auf die Anzahl E der Polyederecken (Abb.1) bzw. m Kanten begrenzen die Anzahl F der Flächen (Abb.2).

„Für die Gesamtzahl der Ecken bzw. der Flächen gilt“ [fh-regensburg, S. 1] : + + + + = ... E E E E E

6 5 4 3

+ + + + = ... F F F F F

6 5 4 3

Um den Eulerschen Polyedersatz zu beweisen, werde ich das Beweisprinzip der vollständigen Induktion nach der Flächenzahl F benutzen: [vgl. fh-regensburg, 2002]

4.2. Was ist die vollständige Induktion?

Die vollständige Induktion ist eine Folge aus einer Behauptung für ) 0 ( A

(Induktionsanfang), einer Aussageform (Induktionsvoraussetzung), einer ) (n A

9

weitern Aussageform für (Induktionsbehauptung) und einem Beweis ) 1 n A

(Induktionsbeschreibung).

Als Beispiel befassen wir uns mit der Reihe

= S n

Wir berechnen nun für die oben genannte Reihe die einzelnen Summenwerte:

= S

1

2 1 1 1

= + = + = S S

² ⋅ 3 6 2 3 2

3 1 2 1

= + = + = S S

^{2 3} ⋅ 4 12 3 4 3

4 1 3 1

= + = + = S S

^{3 4} ⋅ 5 20 4 5 4

5 1 4 1

= + = + = S usw. S

^{4 5} ⋅ 6 30 5 6 5

Man kann erkennen, dass die Nenner der Summen um 1 größer sind, als der mit

dem Index übereinstimmenden Zähler.

Das lässt vermuten, dass

n

= n ist S n

+ 1

und somit die Aussageform

1 1 1 1 n mit ∈ n N gilt. = + + + + ... : ) ( n A

+ + ⋅ ⋅ ⋅ 1 ) 1 ( 4 3 3 2 2 1 n n n

= Mit ergibt sich: ) (n A 1 n

1 1

= A : ) 1 (

+ ⋅ 1 1 2 1

Somit ist eine wahre Aussage. ) (n A

10

Nun ist für die vollständige Induktion ein weiterer entscheidender Schritt notwendig.

( + Aus der Gültigkeit in der obigen Reihe soll dies auch für erschlossen ) (n A ) 1 n A

werden.

Dazu überlegt wir:

Falls A : ) (n

Summennachfolger so schreiben:

+ = S S

⁺ 1 n n

1 n

+ = S n

+ ¹ + + + ) 2 )( 1 ( 1 n n n

Durch addieren beider Summanden erhalten wir:

= S n

+ 1

+ n 1 n

Das heißt: Aus

Beide Aussageformen sind identisch, da man in die Variable n durch n+1 ) (n A

ersetzen kann.

für ein n ∈ n Ν gilt, dann gilt auch ( + Damit ist gezeigt, dass wenn . ) (n A ) 1 n A

Um dies noch deutlicher zu machen ergibt sich jetzt die Schusskette:

( + Falls gilt, so gilt auch . ) (n A ) 1 n A

Weil A wahr ist, ist auch A wahr; ) 1 ( ) 2 (

Weil A wahr ist, ist auch A wahr; ) 2 ( ) 3 (

Weil A wahr ist, ist auch A wahr; ) 3 ( ) 4 (

usw.

Die Gültigkeit von für alle natürlichen Zahlen ist hiermit bewiesen! ) (n A

[vgl.Keil u.a., 1991; S. 336f]

11

4.3. Beweis des Eulerschen Polyedersatzes

Entfernt man aus einem geschlossenen Polyeder eine beliebige Fläche, entsteht ein

geöffnetes Polyeder. Hierbei bleibt die Anzahl der Kanten K und der Ecken E

′ F − = erhalten. Jedoch die Anzahl der Flächen F verringert sich um . 1 F

Zu zeigen bleibt also jetzt:

′ = + − 1 F K E

Um eine „Wenn / Dann“ Behauptung aufzustellen, setzt man:

′ ′ ′ ′ ′ gilt, dann gilt dieses auch für F ′ . = + − ≤ Wenn die Beziehung für alle 1 F K E F F

Für den Beweis zerschneidet man das neue Polyeder längs einiger Kanten in die

Teile A und B (Abb3-A/B).

′ ′ ≤ ≤ Da und gilt, erfüllen beide Teile nun die Bedingung: F F A F F B

= + − = + − und 1 F K E 1 F K E

A A A B B B

Durch eine Addition der beiden Gleichungen ergibt sich:

( ) ( ) ( ) 2 = + + + − + F F K K E E

B A B A B A

Für die Summanden dieser Gleichungen setzt man nun genauere Werte ein:

′ = + - zunächst für F F F

B A

- Wenn man davon ausgeht, dass entlang p Kanten geschnitten wurde und das

man berücksichtigen muss, dass die zerschnittenen Kanten jetzt doppelt (bei

+ = + A und B) zählen, gilt für p K K K

B A

- Das gleiche gilt für die Ecken. Hierbei ist sogar an einer Schnittlinie eine

+ + = + zusätzliche Ecke entstanden (Abb.3-B). Also ist 1 p E E E

B A

Durch umformen der obigen Gleichungen erhält man nun:

′ = + + − + + 2 ) ( ) 1 ( F p K p E

12

Durch Auflösen dieser Gleichung kommt man auf das, was zu zeigen war:

′ = + − 1 F K E

Somit gilt der Eulersche Polyedersatz! [vgl. fh-regensburg, 2002]

4.4. Zusammenhang zwischen K und E , sowie zwischen K und F .

Abb.1 zeigt eine Ecke, von der n Kanten ausgehen. Um eine Gesamtzahl der Kanten

K des Polyeders zu erhalten, ermittelt man für jede Ecke die Anzahl n ihrer Kanten

und addiert diese. Hierbei muß man beachten, dass jede Kante zweimal

berücksichtigt werden muß, da sie in zwei Ecken endet (s. Abb.5).

+ + + + = Nach der in 3.1 definierten Zahlen n E erhält man: ... 6 5 4 3 2 E E E E K

6 5 4 3

In Abb.2 begrenzen m Kanten eine Fläche. Hier addiert man die Kantenzahlen m

aller einzelnen Flächen. Auch hier müssen die Kanten zweimal berücksichtigt

werden, „da jede Kante zu zwei Flächen gehört“ fh-regensburg, S. 2]

(s. Abb.6).

+ + + = Nach der in 3.1 definierten Zahlen m F erhält man: 6 5 4 3 2 F F F F K

6 5 4 3

[vgl. fh-regensburg, 2002]

4.5. Die regulären Polyeder

Die „Regulären Polyeder haben kongruente reguläre“ [fh-regensburg, S.3]

13

Seitenflächen als Begrenzungsflächen. „Sie sind alle einer Kugel einschreibbar“ [fhregensburg, S. 3]. Der Würfel ist mit seinen sechs

quadratischen Seitenflächen das beste Bespiel (Abb.7):

Bei einem regulären Polyeder gibt es immer die feste Anzahl der Kanten n pro Ecke E = F = bzw. die Kanten m pro Fläche. Hierbei gilt also: und bzw. das in 3.3 E F

n m K = K = festgestelten Gleichnisse und . E 2 mF 2

n m K 2 K 2 = Für F

m 2 2 K K

Die Formel [2] gilt nur, wenn n und m nicht beide gleichzeitig größer als 3 werden. = = m Wenn man z.B. setzt 4 n

entsteht ein Wiederspruch zum eulerschen Polyedersatz.

= Der Eulersche Polyedersatz lautet für : 3 n

m muss man jetzt m<6 wählen, da K sonst null oder negativ wird und es somit wieder zu dem besagten Wiederspruch kommt.

Unter Berücksichtigung dieser Regeln bleiben nur fünf Wertepaare übrig, aus denen sich dann die fünf regulären Polyeder ergeben: (Abb.7-11) Die Wertepaare (m/n) lauten: (3,3); (4,3); (5,3); (3,4) und (3,5).

14

= Mit K

die Flächen, Kanten und Ecken errechnen.

[vgl. fh-regensburg, 2002]

[Abb. 7-12:vgl. platonkp]

4.6. Der Handball als Polyeder (Anwendungsbeispiel)

Die Oberfläche eines Handballs (Abb.13) besteht aus regelmäßigen Fünf- und

Sechsecken. Er zählt somit zu den Polyedern.

Um den Eulerschen Polyedersatz bei einem Handball anzuwenden, muss man als

erstes wissen, wie viele Fünf- bzw. Sechsecke er hat. Durch abzählen erhält man:

15

Anzahl der Fünfecke: 12 Anzahl der Sechsecke: 20

Anzahl der Flächen insgesamt: 32

Um nun die Anzahl der Ecken zu bestimmen, schaut man sich den Handball genau an. Hierbei erkennt man, dass jede Ecke des Handballs an einer Ecke eines Fünfecks angehängt ist. Also ergibt sich die Gesamtzahl der Ecken aus der Anzahl der Fünfecke mal 5. 12 = ⋅ = 60 5 E

Bei der Anzahl der Kanten muss man wie in 3.2 berücksichtigen, dass sie doppelt gezählt werden. Denn jede Kante begrenzt auch beim Handball zwei Flächen. Durch die Folgerung, dass ein Fünfeck 5 Kanten bzw. ein Sechseck 6 Kanten hat, ergibt sich für die Gesamtzahl der Kanten: ⋅ + ⋅ ) 6 20 5 12 (

= = 90 K 2

Durch einsetzen der Werte der Ecken E , der Flächen F und der Kanten K in die in 3.1 genannte Formel = + − 2 32 90 60

bestätigt sich auch für den Handball der Eulersche Polyedersatz!!

5. Schluss

Nach der Erarbeitung der Facharbeit kann ich sagen, das ich nicht mehr zu den Menschen gehöre, die auf die Frage „Wer ist Leonhard Euler?“ nichts antworten kann!

Die beiden Themen, die Eulersche Zahl und der Eulersche Polyedersatz haben mich hierbei sehr interessiert. Es war sehr interessant nachzuforschen, wie Leonhard Euler die von mir dargestellten Gleichungen konstruiert hat. Die Eulersche Zahl hat mir in der Hinsicht gefallen, da sie mir aus dem Unterricht bekannt war. Der Eulersche Polyedersatz war für mich noch unbekannt, wodurch es sehr ansprechend war.

Ich hoffe, dass ich mit dem dargestellten Inhalt die Anforderungen gut erfüllt habe!

16

6. Anhang

(1): Johann Bernoulli (1667 bis 1748) war schweizer Mathematiker in Genf, Paris, Groningen und Basel. Er ist der jüngste Sohn von Jakob Bernoulli.

(2): Jakob Bernoulli (1655 bis 1705) war schweizer Mathematiker und Physiker in Basel.

(3): Nikolaus Bernoulli (1695 bis 1726) war schweizer Mathematiker und Sohn von Johann Bernoulli

(4): Daniel Bernoulli (1700 bis1782) war schweizer Mathematiker und Physiker in St. Petersburg und Basel. Er war Sohn von Johann Bernoulli.

(5): Katharina I lebte von 1684 bis 1727 und war von 1724 bis 1727 russische Kaiserin.

(6): Friedrich I lebte von 1688 bis 1740 und war preußischer König von 1713 bis 1740.

(7): Katharina II lebte von 1729 bis 1796 und war von 1762 bis 1796 russische Kaiserin.

(8) Johann Albert Euler (1734 bis 1800) war schweizer Mathematiker in St Petersburg und Sohn von Leonhard Euler.

(9) Der Binomische Lehrsatz: Der Binomische Lehrsastz lautet für ganzzahlige > Zahlen : 0 n   n

+ n b a ) (

In einer ausführlichen Schreibweise sieht das so aus:

        n n n n

+ n b a ) (

  n

  sind hier die Binomialkoeffizienten, die sich aus dem Schema des  

  k

Paskalischen Dreiecks ergeben. Hierbei stellt jede Zahl die Summe der

beiden schräg darüberstehenden Zahlen dar:

(10): Hier die wichtigsten Potenzreihen in Form von Binomischen Reihen:

     

± 1. 1 (

< Konvergenzbereich 1 x

¹ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ± 2.

1 ( ≤ Konvergenzbereich 1 x

¹ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

3. 1 (

≤ Konvergenzbereich 1 x

[vgl. Netz, S. 296]

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7. Quellen

Wussing, Arnold: Wussing, Hans; Alnold, Wolfgang; Biographien bedeutender Mathematiker;Aulis Verlag Deubner&co KG; Köln, 1985

Wuschkowski: Wuschkowski, Herbert; Denkweisen großer Mathematiker; Ein Weg zur Geschichte der Mathematik; Vieweg Verlagg; Braunschweig; 1990; 3.Aufl.

Duden: Schülerduden Mathematik II; Ein Lexikon zur Schulmathematik für das 11. bis 13. Schuljahr; F.A. Brockhaus AG; Mannheim; 2000

Keil u.a.: Keil, Karl-August; Kratz, Johannes; Müller, Hans; Wörle, Karl; Die Infinitesimalrechnung; Bayrischer Buch Verlag; München;1991; 2.Aufl.

Netz: Arnold, G.; Netz, H.; Formeln der Mathematik; Carl Hanser Verlag; München; 1977; 3.Aufl.

www.mathematik.de: http://www.mathematik.de/04information/s4_2/zahlen/lk_e.htm Datum: 24.01.2002

Fh-regensburg: http://homepages.fh-regensburg.de/~wah39067/I4T/etc/Allerlei/Polyeder.pdf Datum: 24.01.2002

Platonkp: http://www.heiligegeometrie.de/platonkp.jpg

Datum: 24.01.2002

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Neuenhaus, den 07.03.2002 ............................................