1. Einleitung

In dieser Facharbeit werde ich mich mit dem Thema „Differentialgleichungen“ beschäftigen. Hierbei werde ich auf Berechnungs-, sowie Näherungsmethoden eingehen, die zur Lösung einer Differentialgleichung führen. Des Weiteren werde ich deren praktischen Nutzen mit Anwendungen aus den Naturwissenschaften aufzeigen. „Differentialgleichungen gehören zu unseren mächtigsten Mitteln, Natur- und Kunstvorgänge zu beschreiben und zu beherrschen.“ (1) Differentialgleichungen ermöglichen es, Vorgänge kontinuierlich darzustellen. So konnten Abnahme- oder Wachstumsprozesse, bzw. Schwingungen (z.B. Pendel), sonst nur mit Hilfe von Folgen diskret gelöst werden. Da solche Vorgänge dauerhaft und nicht nur zu bestimmten Zeitpunkten ablaufen, benötigt man eine Methode um den Prozess vollständig darzustellen. Bei kontinuierlichen Lösungsansätzen werden die Differentialgleichungen bevorzugt verwendet, welche ich im Folgendem erläutern werde. Dabei werde ich zuerst die Begriffsdefinition und die verschiedenen Typen der Differentialgleichungen einführen. Nach der Typdefinition werden unterschiedliche Darstellungsweisen und Einordnungsmöglichkeiten aufgeführt. Danach werde ich diese auf einige Beispiele übertragen. Ich werde verschiedene Lösungsverfahren von Differentialgleichungen 1. und 2. Ordnung aufzeigen und erläutern. Auf die Methoden Näherungsverfahren, direkte Integration und Seperation werde ich verstärkt eingehen. Abschließend werde ich die Differentialgleichungen auf den naturwissenschaftlichen Bereich übertragen und deren Anwendungen anhand des Bevölkerungswachstums und der Pendelschwingung aufzeigen.

Durch diesen Aufbau soll verdeutlicht werden, wie sich Lösungen von Differential- gleichungen bestimmen lassen. Um dies zu erreichen, müssen die Entwicklungen zu allgemeinen Formeln, die zum Lösen von Differentialgleichungen 1. bzw. 2. Ordnung erforderlich sind, veranschaulicht werden.

(1) Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Einführung in Lehre und Gebrauch, B.G.

Teubner, Stuttgart, 1989, S.17

- 1 -

2. Begriffsdefinition „Differentialgleichungen“

Eine Gleichung, in der wenigstens eine Ableitung einer unbekannten Funktion

f =

bis zur n-ten Ordnung auftritt, heißt eine gewöhnliche Differentialgleichung

n-ter Ordnung.

Einfache Typen der Differentialgleichungen sind bereits aus der Integralrechnung

+ = x

2

=

5 3 ) ´( x f

bekannt. Bei diesen Typen waren beispielsweise zu

x f ) ´(

3

ergeben sich folgende Lösungen:

+ =

3

x x f 5 ) (

1

Etwas kompliziertere Typen von Differentialgleichungen enthalten auf der rechten Seite

+ = nochmals die gesuchte Funktion, z.B. . Diese Art von Funktionen

3 ) ( ) ´( x f x f

sieht auf den ersten Blick völlig neuartig aus. Im Folgenden werde ich versuchen

aufzuzeigen, wie man derartige Gleichungen mit bereits bekannten Mitteln aus der

Analysis lösen kann.

Folgende Gleichungen sind Differentialgleichungen. Es wird jeweils die Funktion f

gesucht, deren Ableitung die Differentialgleichung identisch erfüllt.

ℜ ∈ f´(x) =

a)

b)

) ´( x f

´( x f

c)

d)

f´(x)

´( x f

e)

2.1 Unterschiedliche „Lösungen“ einer Differentialgleichung

f =

Eine Funktion

Ableitung die Differentialgleichung identisch erfüllt.

Wir unterscheiden zwischen drei verschiedenen Arten einer Lösung:

1. Die allgemeine Lösung enthält n voneinander unabhängige Parameter

3. Die singuläre Lösung ist eine Lösung der Differentialgleichung, die sich

2.2 Einteilung von Differentialgleichungen

Primär ordnet man Differentialgleichungen anhand ihrer Ordnung. Unter der Ordnung einer Differentialgleichung versteht man die Ordnung nach der höchsten auftretenden Ableitung der unbekannten Funktion in der Differential- gleichung. (2) So ist beispielsweise = + +

3.Ordnung und Neben der Ordnung kann man Differentialgleichungen nach ihrer Linearität beurteilen. Werden alle Teile der Gleichung, die f(x) beinhalten, auf eine Seite gebracht und die Konstanten auf die Andere und die enthaltenen Ausdrücke nur in f´´(x),... f´(x), f(x),

erster Potenz vorkommen, d.h.

gleichung. Eine Differentialgleichung 1.Ordnung ist linear, wenn sie in der Form = ⋅ +

f´(x) der Form Anhand der Inhomogenität kann man lineare Differentialgleichungen in homogen und inhomogen einteilen. Eine Differentialgleichung heißt homogen, wenn ihre Inhomo- genität identisch 0 ist. Andernfalls wird sie als inhomogen bezeichnet.

Beispiele für die Einteilung von Differentialgleichungen:

Differentialgleichung c) ist nicht linear, da die Funktion f(x) auf der rechten Seite den Exponenten –1 besitzt. Deshalb kann c) auch nicht auf Homogenität untersucht werden.

Des Weiteren können Differentialgleichung auch in implizite und explizite Differential- gleichungen eingeteilt werden. Differentialgleichungen, die nach der höchsten vorkom- menden Ableitung auflösbar sind, heißen explizite Differentialgleichungen. Sollten sie diese Bedingung nicht erfüllen, so heißen sie implizite Differentialgleichungen.

(2) vgl.: Weber/Zillmer: Mathematik, Leistungskurs, Paetec GmbH Berlin, 2000, S.214 ff

- 3 -

3. Lösungsverfahren von linearen Differentialgleichungen

Man kann die unterschiedlichen Lösungsverfahren im Wesentlichen in zwei Gruppen

zusammenfassen. Zum Einen gibt es die numerischen Lösungsverfahren, mit welchen

man die gesuchte Gleichung durch Näherungen erhält und zum Anderen gibt es die

exakten Lösungsverfahren, die durch diverse Integrationsmethoden die unbekannte

Gleichung liefern.

3.1 Exakte Lösungsverfahren für eine Differentialgleichung 1.Ordnung

Es gibt kein allgemeines exaktes Lösungsverfahren für Differentialgleichungen

1.Ordnung, sondern nur einzelne Lösungsverfahren, die sich für spezielle Typen von

Differentialgleichungen eignen.

3.1.1 Lösen durch direktes Integrieren

+ = x

3

, c∈ ℜ lassen sich durch

3 4 ) ´( x f

Einfache Differentialgleichungen wie z.B.

direktes Integrieren lösen. Aus dem Beispiel ∫

Funktionenschar

+ =

4

x x f 3 ) (

ist. Da sich die Methode des direkten Integrierens nur bei Differentialgleichungen

= 1.Ordnung der Form f

es uns erlauben, eine Lösung für andere Differentialgleichungen zu finden.

Eine mögliche Methode wäre die Seperation.

3.1.2 Lösen durch Seperation (Trennen der Variablen) (3)

Dieser Lösungsweg bedingt, dass eine explitite Differentialgleichung 1.Ordnung

trennbare Variablen besitzt. Die allgemeine Form für Differentialgleichungen mit

) ( x g ) ( x g

trennbaren Variablen lautet:

Das Charakteristika dieses Gleichungstyps ist, „(...) dass sich eine der Seiten ihrer

Gleichung (hier die rechte) als Quotient zweier Funktionen schreiben lässt, wobei die

Zählerfunktion nur die unabhängige Variable und die Nennerfunktion nur die abhängige

Variable enthält – oder umgekehrt.“ (4) Beispiele für diese Art von Differential-

x

(3), (4) vgl.: Weber/Zillmer: Mathematik, Leistungskurs, Paetec GmbH Berlin, 2000, S.219 ff

- 4 -

Die Methode des Trennens der Variablen ist in drei aufeinander folgenden Schritten

ausführbar. Diese drei Schritte werde ich nun verdeutlichen.

) ( x g

Gebrauch: Wir suchen eine Funktion

werden.

Beispiel: Man sucht die Lösung einer linearen Differentialgleichung mit konstanten

= + ℜ ∈ Koeffizienten ( f

Ist q = 0, so kann man die Differentialgleichung direkt intergieren und erhält

, k∈ ℜ .

+ =

die Lösung

Für den häufigeren Fall, dass q ≠ 0 sein sollte, löst man die Gleichung nach

f´(x) auf und kommt zu

Diese Gleichung ist eine Differentialgleichung mit trennbaren Variablen, mit

1

g(x) = 1 und

Die konstante Funktion

Lösung der Differentialgleichung. Für den Fall, dass

obigen Schritte angewandt.

dy dy

dy 1

Folgernd kann man die allgemeine Lösung einer linearen Differentialgleichung

1.Ordnung mit konstanten Koeffizienten aufstellen: (5)

= + ℜ ∈

Eine Differentialgleichung der Form

Lösung

Der Scharparameter k∈ ℜ R kann durch eine Anfangsbestimmung ermittelt werden.

(5) vgl.: Weber/Zillmer: Mathematik, Leistungskurs, Paetec GmbH Berlin, 2000, S.221

- 6 -

Beispiel:

y = = + x

Gesucht sei die Funktion

Zu beachten sei die Anfangsbedingung

a) Berechnung der allgemeinen Lösung:

=

Laut Aufgabenstellung hat die Differentialgleichung die Koeffizienten

s

y

b) Berechnung der partikulären Lösung unter Beachtung der Anfangsbedingung:

Man setzt die Anfangsbedingung in die allgemeine Lösung ein und erhält

+ = =

⋅ + = =

0

k f y 5 ) 0 (

5 ) 0 ( e k f y

bzw. . Diese Gleichung wird nach k

0

aufgelöst und man erhält aus

Die Gleichung

Anfangsbedingung erfüllt.

Die nebenstehende Abbildung zeigt

die Partikulärlösung (rot dargestellt),

sowie andere Lösungsfuntionen mit

variierendem k. Man kann erkennen,

dass sich die Funktionen mit

wachsendem k der konstanten

Funktion

asymptotisch nähern.

3.2 Numerische Lösungsverfahren für eine Differentialgleichung 1.Ordnung

Es gibt einige Differentialgleichungen, deren allgemeine Lösung nur schwer auf

analytischem Wege erhalten werden kann oder sie überhaupt keine allgemeine Lösung

+ =

(6)

2 2

´ y x y

besitzten, so z.B.

gelöst werden, indem einfach eine möglichst hohe Anzahl an Näherungs-schritten mit

möglichst hoher Genauigkeit ausgeführt werden. Dabei ist zu beachten, dass grund-

sätzlich nur Anfangswertprobleme numerisch gelöst werden können.

(6) vgl.: Wenzel H., Gewöhnliche Differentialgleichungen, Mathematik für Ingenieure,

Naturwissenschaftler, Ökonomen und sonstige anwendungsorientierte Berufe, Band 7/1, hrsg. V.

G. Zeidler, Thun, Frankfurt / Main, 1981, S.38

- 7 -

Voraussetzung: Für die numerischen Verfahren wird das Richtungsfeld der jeweiligen Differentialgleichung zu Grunde gelegt. Das Richtungsfeld dient der

3.2.1 Das Richtungsfeld

=

In der Differentialgleichung Wert y der Funktion Jetzt lässt sich für jeden Punkt P(x;y) (für den die Berechnung von die Steigung der Lösungsfunktion Zeichnet man nun kurze Strecken, mit dem Mittelpunkt P und der Steigung ein Koordinatensystem ein, erhält man ein Richtungsfeld der Differentialgleichung.

x x

Beispiel: (7) Gesucht sei die Lösung der Differentialgleichung

3.2.2 Das Euler-Cauchy- oder Polygonzugverfahren

Zu Anfang wird das Richtungsfeld der Differentialgleichung erstellt. Im Bezug auf das obige Beispiel entspräche es Abbildung 2.

Man zeichnet an den Punkt P 0 (x 0 ;y 0 ) , der durch die Anfangsbedingungen gegeben ist, = eine kurze Strecke mit der aus f gezeichneten Strecke liegt der Punkt P 1 , von dem aus man wieder dem Richtungsfeld mit einer kurzen Strecke folgt und so weiter.

Voraussetzung für dieses Verfahren ist, dass sich für den Punkt P 0 eindeutig die Steigung berechnen lässt. Um so kürzer man die Länge der einzelnen Strecken wählt,

(7) vgl.: Weber/Zillmer: Mathematik, Leistungskurs, Paetec GmbH Berlin, 2000, S.218

(8) vgl.: Weber/Zillmer: Mathematik, Leistungskurs, Paetec GmbH Berlin, 2000, S.218, Fig. F 56

- 8 -

( = desto genauer wird das Ergebnis. Für das Beispiel mit der Anfangsbedingung f

d.h. der Graph muss durch den Punkt P(0;2) gehen, ist der exakte Lösungsgraph in

Abbildung 2 abgebildet.

3.2.3 Einschub

Neben diesem Verfahren existieren natürlich weitere, wesentlich genauere Verfahren

zur numerischen Lösung von Differentialgleichungen, wie beispielsweise das Runge-

Kutta-Verfahren oder das Adams-Verfahren. Da diese Verfahren jedoch den Rahmen

dieser Arbeit sprengen würden, seien sie hier nur namentlich erwähnt.

3.2.4 Mathematische Weiterführung der numerischen Verfahren

Die Basis der meisten numerischen Verfahren ist das Polygonzugverfahren (siehe

3.2.2). Bei sehr kleinen h kann man den Differentialquotienten

− +

=

x f lim ) ´(

→ h 0

Differenzenquotienten

x f x G )) ( ; (

h

Ersetzt man das „ungefähr gleich“ durch ein „ist gleich“, erhält man nach erneutem

Umstellen der Gleichung eine Näherung für f, geschrieben f :

⋅ + = +

Je kleiner das h, desto genauer die Näherung. Für

Näherung errechnen. Hier erhalten wir

können eine rekursive Bildungsvorschrift aufstellen um eine Folge von

Näherungswerten zu erhalten:

+

3.3 Lösungsverfahren für eine Differentialgleichung 2.Ordnung (9)

Die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung 2.Ordnung setzt sich aus zwei

Partikulärlösungen zusammen.

= = ⋅ + ⋅ + =

(9) vgl.: Weber/Zillmer: Mathematik, Leistungskurs, Paetec GmbH Berlin, 2000, S.222 ff

- 9 -

erfüllen und somit partikuläre Lösungen sind. Diese beiden Lösungen können zu einer

allgemeinen Lösung zusammengeschlossen werden. Es ergibt sich:

⋅ + ⋅ = ℜ ∈ mit ) cos( ) sin( ) ( x c x c x f 1 , c c

1

Für die Differentialgleichung

ergibt sich f

1

das Argument der Funktion gestellt, erhält man folgende partikuläre Lösungen:

⋅ = ω ⋅ = ω und , denn ) sin( ) ( x x f ) cos( ) ( x x f

1

− = ω

) ´´( x f

1

= cos( ) ( x f

2

⋅ = sin( ) ( c x f

1

Wird die Variable x durch die Zeitvariable t ersetzt, dann beschreibt die Funktion

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ω ω eine osszillierende Größe, wie z.B. die Schwingung ) cos( ) sin( ) ( x c x c x f

1

eines Pendels. Aus diesem Grunde wird die Differentialgleichung

auch als Schwingungsgleichung bezeichnet.

Die Differentialgleichung

f ´´(

denn

zweite benötigt um eine allgemeine Lösung angeben zu können. Die Funktion

−

=

x

e x f ) (

eignet sich ebenfalls als partikuläre Lösung, denn

Jetzt sind drei Fälle zu unterscheiden:

2

q

> − r

0

1.Fall: : Es existieren zwei partikuläre Lösungen:

x f ) (

1

Als allgemeine Lösung ergibt sich:

⋅ + ⋅ =

x k x k

ℜ ∈

e c e c x f ) (

mit

1 , c c

2.Fall:

partikuläre Lösung

Durch Einsetzen erhält man

Als allgemeine Lösung ergibt sich

2

q

< − r

3.Fall:

0

:

4

„Die charakteristische Gleichung besitzt in diesem Falle keine reellen Lösungen.

Durch Betrachtungen im Bereich der komplexen Zahlen, die hier nicht geführt

werden können, lassen sich dennoch (...) partikuläre Lösungen finden“ (10) , die

q q − −

x x

folgende allgemeine Lösung ergeben:

bzw.

f

Folgernd kann man die allgemeine Lösung einer linearen Differentialgleichung

2.Ordnung mit konstanten Koeffizienten aufstellen: (11)

(10) vgl.: Weber/Zillmer: Mathematik, Leistungskurs, Paetec GmbH Berlin, 2000, S.223 (11) vgl.: Weber/Zillmer: Mathematik, Leistungskurs, Paetec GmbH Berlin, 2000, S.224

- 11 -

4. Praktische Anwendungen aus dem Naturwissenschaften

Die Differentialgleichungen erster Ordnung beschreiben häufig nätürliche Vorgänge,

bei denen die Änderungsgeschwindigkeit bestimmter Größen eine Rolle spielt, z.B. bei

Wachstumsfunktionen. Differentialgleichungen zweiter Ordnung existieren ebenso

häufig. Sie werden verwendet, wenn es um Bewegungen unter Einfluß von Kräften

geht, wie beispielsweise bei Schwingungen.

4.1 Schwingungsvorgänge (12)

Angenommen wird, dass keine äußeren Kraft einwirken, deshalb ist die Summe der

= ⋅ + ⋅ + ⋅ β oberen Kräfte = 0. Also:

m

Wird die erhaltene Gleichung durch die Masse m dividiert, so erhält man

β β

+

) ´´( t y

allgemeine Gleichung

lässt sich die Gleichung

m m

lösen und es ergibt sich folgende Gleichung:

β β

(12) vgl.: Mathematik heute, Einführung in die Analysis 2 Leistungskurs, Schroedel-Verlag GmbH,

Hannover, 1991, S.224 ff

- 12 -

β

Radikant wird negativ. Weil

allgemeine Lösung

ω

allgemein gültige Formel für gedämpfte Schwingungen:

( y

Beispiel: Es gilt:

gesuchten Differentialgleichung.

4.2 Wachstumsprozesse (13)

Es gibt Wachstumsprozesse verschiedener Arten. Zum Einen gibt es das kontinuierliche Wachstum, wie z.B. bei Bakterienkulturen und zum Anderen gibt es das logistische Wachstum, beispielsweise das Bevölkerungswachstum mit Geburten- und Sterberate. Außerdem kann es sein, dass das Wachstum beschränkt ist, durch eine natürliche Grenze, wie etwa ein begrenztes Vorkommen an Nahrungsmitteln in einem Land. In diesem Fall wird sich die Populationszahl der Obergrenze G annähern und die Wachstumsrate strebt gegen 0.

4.2.1 Unbeschränktes und logistisches Wachstum

∆

Zum Zeitpunk t 0 bestehe die Bevölkerung aus N 0 Individuen. Nach einem Zeitraum t ( t erkennen. Das Wachstum N Für das Wachstum ergibt sich, um so mehr Individuen vorhanden sind, desto höher ist ⋅ = ∆ 1 die Anzahl an Nackommen, d.h. mit der Vermehrungsrate g.

N g N Zugleich gilt auch, je mehr Individuen vorhanden sind, desto höher ist auch die Anzahl ⋅ = ∆ 2 an Sterbefällen, also mit der Sterberate s.

N s N

Als allgemeine Formel ergibt sich somit:

4.2.2 Beschränktes und logistisches Wachstum

Das beschränkte und logistische Wachstum wird einfach als ’logistisches Wachstum’ bezeichnet, weil es überwiegend vorkommt. Diese Art von Wachstum verhält sich ähnlich, wie das unbeschränkte Wachstum (siehe 4.2.1), mit dem Unterschied, dass die Wachstumsrate k etwas verändert auftritt. Da die Wachstumsrate gleich 0 sein wird, sobald die Bevölkerungsanzahl N die

N

Obergrenze G erreicht hat, lautet die Formel für die Wachstumsrate hier

Als allgemeine Formel ergibt sich somit:

G

Die allgemeinen Formel aus 4.2.1 und 4.2.2 werden nun in Differentialgleichungen übertragen. (14) Für das unbeschränkte Wachstum bedeutet dies: ∆ , desto kleiner ist k.

⋅ = − ∆ + = ∆

(13) vgl.: Weber/Zillmer: Mathematik, Leistungskurs, Paetec GmbH Berlin, 2000, S.225 ff

(14) vgl.: Weber/Zillmer: Mathematik, Leistungskurs, Paetec GmbH Berlin, 2000, S.225ff

- 14 -

∆ ( ≠ ∆t

Die Gleichung wird durch t

= ∆

N

∆ ∆

t t

Nun lässt man t gegen 0 konvergieren und erhält die Differentialgleichung

k k

r ∆

) ´( t N

∆

t t

→ ∆ 0 t

Das Vorgehen für das (beschränkte) logistische Wachstum verläuft artgemäß und man

) ( t N k

erhält die Differentialgleichung

≈

r ∆

gilt

t

ist eine lineare Differentialgleichung 1.Ordnung. Gemäß 3.1.2 lautet ihre allgemeine

⋅

⋅ =

t r

e c t N ) (

Lösung . Die Lösung für das Anfangswertproblem N 0 ist daher

⋅ = 0

e N t N ) (

G

Wachstums ist nicht linear, kann aber dennoch durch Separation gelöst werden.

Notwendig ist dafür die Methode der Partialbruchzerlegung, welche aber nicht zu dem

Aufgabenfeld dieser Facharbeit gehört. Als allgemeine Lösung für das logistische

⋅ ⋅ ⋅ t r e N G

radioaktiven Zerfall eines Stoffes im Laufe der Zeit.

(15) vgl.: Weber/Zillmer: Mathematik, Leistungskurs, Paetec GmbH Berlin, 2000, S.226

- 15 -

5. Schlussteil

Die hier behandelten Differentialgleichungen eignen sich hervorragend zum Lösen von Wachstums- oder Abnahmeprozessen. Im Gegensatz zu Folgen, die eine diskrete Lösung liefern, ist es mit Differentialgleichungen möglich, eine kontinuierliche Lösung zu finden. Solche Prozesse bedingen einer kontinuierliche Lösung, damit sie an allen Stellen und Zeitpunkten nachvollzogen und berechnet werden können. Die exakten Lösungsverfahren, wie etwa Seperation oder direkte Integration, ermöglichen es, schnell zu einer Lösung zu gelangen. In einigen Fällen, in denen es mittels exakter Lösungs- verfahren unmöglich oder sehr arbeitsaufwändig ist eine Lösung zu erlangen, ist es wichtig alternative Lösungsverfahren zu kennen. Die alternativen Lösungsverfahren, die numerischen Lösungsverfahren, wie etwa das Euler-Cauchy-Polygonzugverfahren, ermöglichen eine geometrische Betrachtung der Lösungsfunktionen. Darüber hinaus ist es durch eine Annäherung möglich, diejenige Lösungsfunktion zu erreichen, welche der gegebenen Differentialgleichung genügt.

Differentialgleichungen spielen in unserem alltäglichem Leben eine große Rolle. Geht es um Wachstums- oder Abnahmeprozesse, wie z.B. dem Abbau eines Medikaments oder die Ausbreitung einer Bakterienkultur, so verwendet man mit Vorliebe die Differentialgleichungen erster Ordnung.

Handelt es sich um mechanische Vorgänge, bei denen es um Bewegungen unter Einfluß von Kräften geht, beispielsweise der freie Fall oder elektromagnetische Schwingungen, so verwendet man Differentialgleichungen zweiter Ordnung, dank derer es möglich ist, Geschwindigkeiten oder Amplituden (maximale Ausschläge) zu berechnen. Im Verlauf dieser Facharbeit wollte ich eigentlich die exakten Differentialgleichungen erwähnen und erläutern, konnte sie aus Platzgründen aber nicht einbringen. Ebenso musste ich auf weitere Ausführungen und Anwendungen der Differentialgleichung zweiter Ordnung verzichten.

Da das Thema Differentialgleichungen für eine 15 seitige Facharbeit zu umfassend war, musste ich leider darauf verzichten, die einzelnen Methoden an weiteren Beispielen aufzuzeigen und ins Detail zu gehen.

- 16 -

6. Quellenangaben

- Amann Herbert: de Gruyter Lehrbuch, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Walter de Gruyter, Berlin-New York, 1983, S.154/155 ff

- Ayres Frank: Differentialgleichungen, Schaum`s Outline, Überblicke/Aufgaben, McGraw-Hill Book Company GmbH, 1975, Nachdruck 1985, S.137/138 ff

- Boyce W. E., DiPrima R. C.: Elementary differential equations and boundary value problems, New York, 1997, S.469 ff

- Brochhagen H. J.: Differentialgleichungen im Leistungskurs, In: Der Mathematikunterricht Jahrgang 41/2 (März 1995), S.5 ff

- Bronstein I. N., Semendjajew K. A., Musiol, G. Mühlig, H.: Taschenbuch der Mathematik, Frankfurt/Main, Thun, 1999, S.482 ff

- Courant R.: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, Bd. 1, Funktionen einer Veränderlichen, Berlin, Heidelberg, New York 1971, S.427 ff

- Dorn-Bader: Physik, Oberstufe Gesamtband 12/13,Schroedel-Verlag GmbH, Hannover, 1986, S.170 ff.

- Formelsammlung für Gymnasien, Mathematik Physik Chemie, Schroedel-Verlag GmbH, Hannover, 1997, S.37, S.44 ff.

- Hammer A., Hammer H., Hammer K.: Physikalische Formeln und Tabellen, München, 1997, S.80 ff

- Heuser Harro: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Einführung in Lehre und Gebrauch, B.G. Teubner, Stuttgart, 1989, S.17 ff

- Luther W., Niederdrenk K., Reutter F., Yserentant H.: Gewöhnliche Differentia- lgleichungen. Analytische und numerische Behandlung. Braunschweig 1987, S.2 ff

- Mathematik heute, Einführung in die Analysis 2 Leistungskurs, Schroedel-Verlag GmbH, Hannover, 1991, S.212 ff.

- Microsoft® Encarta® Enzyklopädie 2001, „Differential- und Integralrechnung“, „Differentialgleichung“, © 1993-2000 Microsoft Corporation

- Seifert Hans-Jürgen: Grundkurs Physik Band 1, Mathematische Methoden Teil 2, Steinkopff Verlag GmbH & Co. KG., Darmstadt, 1979, S.116 ff., S.148 ff.

- Weber/Zillmer: Mathematik, Leistungskurs, Paetec GmbH Berlin, 2000, S.213 ff

- Weise K.H.: Gewöhnliche Differentialgleichunge,. Bücher der Mathematik und Naturwissenschaften, hrsg. v. H. Poltz. Wolfenbüttel, Hannover 1948, S.23 ff

- Wenzel H.: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Ökonomen und sonstige anwendungsorientierte Berufe, Band 7/1, hrsg. V. G. Zeidler, Thun, Frankfurt / Main, 1981, S.38

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  Verwendete Hilfsmittel:  

  Microsoft Paint Windows 98 Copyright 1981 1998 Microsoft Corp  

  WinFunktion Mathematik Version 8 0 1993 1997 Steffen Polsterer  

  TurboPlot Version 1 8c 1992 2002 G H J Dreher Shareware  

  AniGra 1 3a 2002 G H J Dreher Shareware  

  A b b i l d u n g s v e r z e i c h n i s  

  Abbildung 1: Lösungsgraphen zu f (x) f(x) 5  7

  Abbildung 2: Richtungsfeld  8

  Abbildung 3: Versuchsaufbau eines Federpendels  12

  Abbildung 4: Lösungsgraph zur gedämpften Schwingung  13

  Abbildung 5: Darstellung des Bevölkerungswachstums  15