Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis   II

Abk  ürzungsverzeichnis.  III

Abbildungsverzeichnis.   IV

Tabellenverzeichnis   V

Symbolverzeichnis.   VI

1  Einführung in die Problemstellung  1

2  Power Optionen im Überblick  3

2.1  Asymmetrische Power Optionen  3

2.2  Symmetrische Power Optionen.  5

  (max 2.2.1 Auszahlungsfunktionstyp 1 S 2 ) 0 X  5

2.2.1.1  Darstellung.  6

2.2.1.2  Bewertung.  7

max  2.2.2 Auszahlungsfunktionstyp 2 S 2 2 0 X  8

2.2.2.1  Darstellung.  9

2.2.2.2  Bewertung.  10

max  ( 2.2.3 Auszahlungstyp 3 S 2 0 ) X  10

2.2.3.1  Darstellung.  11

2.2.3.2  Bewertung.  12

3  Vergleich Standardoption - Power Option  13

3.1  Sensitivitätskennzahl Delta  13

3.1.1  Delta Calloption.  14

3.1.2  Delta Power-Call  15

3.1.3  Delta Powerstraddle.  16

3.1.4  Delta-Hedging Power Option  17

3.2  Sensitivitätskennzahl Gamma  19

3.2.1  Gamma Calloption.  21

3.2.2  Gamma Power-Call  21

3.2.3  Gamma Powerstraddle.  22

3.2.4  Gamma-Hedging Power Option  24

3.3  Sensitivitätskennzahl Vega  25

3.3.1  Vega Calloption.  27

3.3.2  Vega Power-Option  27

3.3.3  Vega Powerstraddle.  28

3.3.4  Vega-Hedging Power-Option  29

4  Zusammenfassung.  30

A  Annahmen des Black/Scholes-Modells  32

B  Formelübersicht  33

C  Detaillierte Lösung für Beispiele  37

Literaturverzeichnis   40

II

Abkürzungsverzeichnis

AAPO x Auszahlungsfunktion einer asymmetrischen Power Option x Ausz. x Auszahlung eines Finanzinstrumentes x am Fälligkeitszeitpunkt B&S Black/Scholes bzw. beziehungsweise d.h. das heißt DAX Deutscher Aktien Index OTC Over-the-Counter P(AAPO) Preis einer asymmetrischen Auszahlungsfunktion P(ASPO x ) Preis einer asymmetrischen Power Option x P(PS) Preis eines Powerstraddle P(STOP) Preis einer Standardoption PC 1 Power Call der Auszahlungsfunktion 1 PC 2 Power Call der Auszahlungsfunktion 2 PP 1 Power Put der Auszahlungsfunktion 1 PP 2 Power Put der Auszahlungsfunktion 2 PS Powerstraddle V-Dax Dax-Volatilitätsindex W(ASPO x ) Wert einer asymmetrischen Power Option x W(PS) Wert eines Powerstraddle

III

Abbildungsverzeichnis   

Abb.  1 Gewinn- und Verlust-Profil von PC 1 gegenüber Standard Call.  

Abb.  2 Gewinn- und Verlust-Profil von PP 1 gegenüber Standard Put  

Abb.  3 Gewinn- und Verlust-Profil von PC 2 gegenüber Standard Call.  

Abb.  4 Gewinn- und Verlust-Profil von PS gegenüber Standardstraddle  

Abb.  5 Verlauf der unterschiedlichen (Power) Options-Delta  

Abb.  6 Verlauf der unterschiedlichen (Power) Options-Gamma  

Abb.  7 Verlauf der unterschiedlichen (Power) Options-Vega.  

IV

Tabellenverzeichnis   

Tab.  1: Vergleich der Auszahlung von PC 1 und Standard Call  5

Tab.  2: Vergleich der Auszahlung von PP 1 und Standard Put  6

Tab.  3: Vergleich der Auszahlung von PC 2 und Standard Call  9

Tab.  4: Vergleich der Auszahlung von Powerstraddle und Standardoptionen  11

Tab.  5: Formeln für die Berechnung von Delta  14

Tab.  6: Preis und Kennzahlen von PC 1 aus Beispiel, Restlaufzeit 6 Monate  18

Tab.  7: Preis und Kennzahlen von PC 1 aus Beispiel, Restlaufzeit 1 Monat  19

Tab.  8: Formeln für die Berechnung von Gamma  20

Tab.  9: Formeln für die Berechnung von Vega.  26

V

Symbolverzeichnis

C Callpreis C(S t , t) Wert eines Call im Zeitpunkt t bei Aktienkurs S t (für gegebenen Basispreis X und Fälligkeitstermin T) Cap Zeichen für die Berücksichtigung des Cap - Wertes als Basispreis in der Berechnung d Faktor für den Kursrückgang d 0 , d 1 , d 2 Hilfsparameter zur Optionsbewertung im Black/Scholes-Modell (s. Anhang B3) Delta(x) Kennzahl der Sensitivitätsanalyse bei Optionen in B&S-Umgebung e Eulersche Konstante Gamma(x) Kennzahl der Sensitivitätsanalyse bei Optionen in B&S-Umgebung N(x) Standardnormalverteilung von x N ^’ (x) Funktionswert der Standardnormalverteilung an der Stelle x P Putpreis P(S t , t) Wert eines Put im Zeitpunkt t bei Aktienkurs S t (für gegebenen Basispreis X und Fälligkeitstermin T)

PC x (X, T, X ^cap ) Wert eines beliebigen Power Call x unter Berücksichtigung des Basisprei-ses, der Laufzeit und des Cappreises

PC x (X, T) Wert eines Power Call zum Basispreis X mit Laufzeit T

PP x (X, T, X ^cap ) Wert eines beliebigen Power Put x unter Berücksichtigung des Basispreises,

der Laufzeit und des Cappreises

PP x (X,T) Wert eines Power Put zum Basispreis X mit Laufzeit T r stetiger risikoloser Zinssatz S Aktienkurs T Gesamtlaufzeit t Zeitpunkt der Betrachtung Vega(x) Kennzahl der Sensitivitätsanalyse bei Optionen in B&S-Umgebung X Basispreis X ^cap Cappreis ^cap X C Preis des Callcap ^cap X P Preis des Putcap # x Anzahl x eines Finanzinstrumentes (z.B. Option)

VI

Griechische Symbole:

Γ Optionsgamma gemäß B&S-Modell ∆ Optionsdelta gemäß B&S-Modell δ Zeichen für die partielle Ableitung Λ Optionsvega gemäß B&S-Modell σ momentane Volatilität der Aktienrendite τ = T-t Restlaufzeit der Option ω binärer Optionsoperator П(t,S t ,σ) Portfoliowert zum Zeitpunkt t mit Aktienkurs S t und Volatilität σ

VII

1 Einführung in die Problemstellung

In jüngster Vergangenheit sind erhöhte Preisschwankungen und ein Anstieg der Volatilität der Finanzinstrumente an den Kapitalmärkten zu beobachten. Ein Indikator für eine steigende Volatilität stellt dabei der Dax-Volatilitätsindex (V-Dax) dar, welcher im Verlauf dieses Jahres von 20% auf über 57% am 07.10.2002 angestiegen ist. Im Zuge dieser Entwicklung wuchs die Nachfrage nach alternativen Absicherungsinstrumenten. Die neuen Risiken können nur unzureichend oder sehr teuer mit herkömmlichen Strategien gehedged werden. Damit einhergehend, war ein Boom an Emissionen von so genannten „exotischen Optionen“ an Börsen und insbesondere an OTC-Märkten (over-the-counter) erkennbar. Die Idee hinter „exotischen Optionen“ ist eine präzisere Umsetzung von individuellen Markterwartungen des Investors, durch eigens für seine Bedürfnisse aufgelegte Finanzinstrumente. „Solche exotischen, strukturierten und maßgeschneiderten Optionsscheine sind oftmals lediglich komplexe Kombinationen der einfachen Grundbausteine (Calls, Puts)“ [HSBC2000, S.54].

Nach Adam-Müller, Schäfer (1998) versteht man unter dem Begriff „exotische Optionen“ alle Optionen, die nicht die vier wesentlichen Eigenschaften klassischer Optionen beinhalten. Die 4 Merkmale klassischer Optionen sind:

(1) Für die Ausübung der Option ist nur der Kurs des Basisinstruments von Interesse.

(2) Der Optionserwerber unterliegt bei Erhalt der Zahlung einer linearen Auszahlungsfunktion bezogen auf den Kassakurs des Basisinstruments.

(3) Die Zahlung bemisst sich lediglich, nach dem Kurs des Basisinstruments im Auszahlungszeitpunkt.

(4) Bis auf den Ausübungszeitpunkt existieren bei klassischen Optionen keinerlei Beschränkungen [Vgl. AdSc1998, S.559].

Ein großer Anteil am stark wachsenden außerbörslichen (OTC-) Markt für „exotische Optionen“ fällt auf Power Optionen [Vgl. ScZi2001, S.1586]. Im Vergleich zu klassischen Optionen widersprechen sie dem gerade erwähnten Merkmal (2) einer linearen Auszahlungsfunktion. Der Wert von Power Optionen berechnet sich am Fälligkeitszeitpunkt aus einer exponentiellen Funktion (engl. power function) des Basispreises, wobei sich diese Arbeit auf quadratische Auszahlungsfunktionen beschränkt. In Deutschland haben sich Power Optionen insbesondere im Devisenhandel durchgesetzt [Vgl. ScZi2001, S.1586].

1

Ziel dieser Arbeit ist die Schaffung von Transparenz für das Verständnis und die Bewertung von Power Optionen im Unterschied zu Standardoptionen. Basis für die Bewertung bildet dabei das klassische Black/Scholes-Modell (B&S-Modell) mit seinen Annahmen ¹ . Die Abbildungen und Ergebnisse basieren auf ein speziell entwickeltes Excel-Sheet ² und beschränken sich auf europäische Optionsscheintypen.

Die Einführung gibt bereits einen ersten Einblick in die jüngste Entwicklung an den Finanzmärkten. Darin enthalten ist eine kurze Begründung für die Emission von exotischen Finanzderivaten im Allgemeinen und von Power Optionen im Besonderen.

Kapitel 2 bietet einen Überblick von Power Optionen mit unterschiedlichen Auszahlungsfunktionen, angefangen von asymmetrischen Power Optionen bis hin zu symmetrischen Power Optionen. Es werden drei Arten von symmetrischen Power Optionen im Detail vorgestellt und beschrieben.

Kapitel 3 ist der Schwerpunkt dieser Arbeit und zeigt grundlegende Unterschiede von Power Optionen zu Standardoptionen auf. Der Power-Warrant mag einen sehr aggressiven Eindruck erwecken, jedoch handelt es sich „um eine ausgesprochen vielschichtige Optionsscheinvariante, deren Risikoprofil sich zudem im Zeitablauf ändert“ [HSBC2000, S.58]. Anhand der Sensitivitätskennzahlen Delta, Gamma und Vega wird das Verhalten von Power Optionen und Standardoptionen aufgezeigt und mit Abbildungen unterlegt. Gleichzeitig werden zu jeder Kennzahl dynamische Hedging-Strategien erörtert und an einem kapitelübergreifenden Beispiel verdeutlicht.

Kapitel 4 enthält schließlich eine kurze Kommentierung der wichtigsten Aussagen dieser Arbeit.

¹ Die Annahmen des Black/Scholes-Modells sind im Anhang A ersichtlich.

² Das Excel-Sheet steht zum Download auf der Homepage: http://www.andreas-eberhardt.info zur

Verfügung.

2

2 Power Optionen im Überblick

Wie bereits erwähnt, zeichnen sich Power Optionen im Unterschied zu Standardoptionen durch eine exponentielle Auszahlungsfunktion des unterstellten Basispreises am Fälligkeitszeitpunkt aus. Die Ergebnisse asymmetrischer Power Optionen basieren auf Peter Zhang [Vgl. Zhan1998], wohingegen für symmetrische Power Optionen Robert Tompkins [Vgl. Tomp1999] die Grundlage liefert. Dividendenzahlungen oder sonstige Zahlungen an die Investoren finden dabei generell keine Berücksichtigung.

2.1 Asymmetrische Power Optionen

Nach Zhang kennzeichnet eine asymmetrische Power Option, dass lediglich der Kurs des zu Grunde liegenden Basisinstrumentes ³ quadriert wird, nicht aber der Basispreis [Vgl. Zhan1998, S.595]. Die Auszahlungsfunktion der asymmetrischen Power Option (AAPO) am Laufzeitende kann daher wie folgt dargestellt werden: ω τ ω ² − )] = } 0 , ( [( max{ X S AAPO (2.1)

ω spiegelt hier den binären Optionsoperator wieder, das heißt, bei = 1 handelt es ω ω − = sich um eine Call-(Power) Option, bei um eine Put-(Power) Option. Der ein- 1

zige Unterschied zu der Auszahlungsfunktion für Standardoptionen ist der Exponent des Aktienkurses S des zu Grunde liegenden Finanzinstrumentes. Wäre dieser Exponent gleich eins, würde die AAPO der einer sonst identischen Standardoption entsprechen.

Der erwartete Preis der asymmetrischen Power Option (P(AAPO)) lässt sich in der B&S-Umgebung allgemein darstellen ⁴ als:

^{2 τ σ} ω τ σ ω ⁻ − + = ) 1 ( 5 , 0 ) 1 (( r p r p (2.2) ) ( ) ( ) ( d N Xe p d N e S AAPO P

p

Würde man auch bei der Preisberechnung der Power Option den Exponent p = 1 setzen, erhielte man exakt die Formel des B&S-Modells für die Bepreisung klassischer Optionen (siehe 2.5).

Zur Berechnung des Preises der quadratischen Auszahlungsfunktion aus (2.1) ergibt sich demzufolge die Formel:

^{2 τ σ} ω τ σ ω ^{− +} − + = ) ( 2 r (2.3) ) ( ) 2 ( ) ( d N Xe d N e S AAPO P

2

³ Im Verlauf dieser Arbeit wird zur Vereinfachung nur noch vom Aktienkurs die Rede sein.

⁴ Diese Formel gilt aus Arbitrageüberlegungen nur unter der Annahme, dass für alle Finanzin-

strumente der gleiche risikolose Zinssatz zur Diskontierung der Auszahlungen verwendet wird

[Vgl. Zhan1998, S.597].

3

mit

d

2

Im Vergleich dazu wird die Preisermittlung einer sonst identischen Standardoption (P(STOP)) gegenübergestellt: ^τ ω τ ωσ ω ⁻ − + = r ) ( ) ( ) 5 , 0 , 100 ( d N Xe d SN C (2.5)

2

mit

d

2

Grundsätzlich hat die P(ASPO) die gleiche Struktur wie die der Standardoption, es wird im Prinzip der Basispreis im zweiten Term vom Aktienkurs im ersten Term abgezogen. Bei genauerer Betrachtung entdeckt man aber konkrete Unterschiede, die letztlich eine erhebliche Auswirkung auf den Preis einer asymmetrischen Power Option haben. Die P(ASPO) quadriert den Aktienkurs und multipliziert diesen, mit der im Exponenten modifizierten Eulerschen Konstanten. Der Hilfsparameter d 2 wird sowohl selbst im Zähler um den halben logarithmierten Basispreis erhöht, als auch bei der Berechnung der Standardabweichung in Gleichung (2.2) im Zuge der Annualisierung um den Faktor 2 erweitert.

Die Auswirkungen der genannten Veränderungen, resultierend aus der Modifizierung der Preisfunktion, sind enorm und werden kurz beispielhaft skizziert. Alle Beispiele in dieser Arbeit sind im Anhang C ausführlich dargestellt.

Beispiel 1: Es soll der Preis einer asymmetrischen Power Option mit 6-monatiger Restlaufzeit und einer Volatilität von 0,127 ermittelt werden. Der stetige Zinssatz beträgt dabei 5,9%, der Basiskurs wurde auf 100 festgelegt, der aktuelle Aktienkurs ist 105. Jeder Call (Put) berechtigt zum Kauf (Verkauf) einer Aktie. Damit ergibt sich ein rechnerischer Preis für den Standard Call von: ⁻ = − = ^{) 5 , 0 * 059 , 0 (} 86 , 8 ) ( 100 ) ( 105 ) ( d N e d N STOP (B1)

2 1

Demgegenüber errechnet sich ein Preis für die asymmetrischen Power Option von:

^{2 − +} = − = ^{) 5 , 0 * 059 , 0 ( 5 , 0 * ) 127 , 059 , 0 ( 2} (B2) 93 , 11349 ) ( 100 ) ( 105 ) ( d N e d N e AAPO P

2 1

Das Ergebnis zeigt sehr schnell die Grenzen des sinnvollen Einsatzes von (asymmetrischen) Power Optionen auf. Um die Attraktivität dieser Produkte im Börsenhandel aufrecht zu erhalten, müsste die Auszahlung mit Hilfe eines Höchstpreises, dem so genannten Cap begrenzt werden. Allerdings werden solche Finanzderivate in der Regel nicht für den standardisierten Börsenhandel emittiert, sie eignen sich fast aus-

4

schließlich zur Absicherung spezieller Risiken und sind so individuell konzipiert, dass ein Handel damit kaum möglich ist [Vgl. ScZi2001, S.1586].

2.2 Symmetrische Power Optionen

Symmetrische Power Optionen sind dadurch gekennzeichnet, dass bei der Auszahlungsfunktion beide Parameter, also der Aktienkurs und der Basispreis, auf eine beliebige Art und Weise quadriert werden. Drei solcher Power Optionen werden in den Kapiteln 2.2.1 bis 2.2.3 vorgestellt und analysiert. Dabei kann die Anzahl der Terme bei der Berechnung des Preises symmetrischer Power Optionen bestimmt werden durch: Anzahl der Terme = Exponent + 1, also bei einer quadratischen Auszahlungsfunktion besteht die Gleichung der Preisermittlung aus 2 + 1 Termen [Vgl. Zhan1998, S.600].

S − ² }) 0 ; (max{ X 2.2.1 Auszahlungsfunktionstyp 1

Dieser Auszahlungstyp ist die einfachste symmetrische Power Option. Hierbei wird der gesamte Wert der Power Option quadriert. Tabelle 1 stellt den inneren Wert des Power Call am Verfallstag dem eines Standard Call und einem Bündel von 10 Standard Calls gegenüber. Der Power Call der Auszahlungsfunktion 1 wird mit PC 1 bezeichnet, der dazugehörige Power Put mit PP 1 .

Quelle: [Vgl. Tomp1999, S.809] 5

Tab. 1: ^{Vergleich der Auszahlung von PC} 1 und Standard Call

Der Wert von PC 1 wird quadriert und erreicht bei einem Aktienkurs von 20 genau den zehnfachen Wert eines Standard Call und den gleichen Wert wie das Bündel von 10 Standard Calls. Unter einem Aktienkurs von 20 fällt die Auszahlung von PC 1 geringer aus als die des Bündels, über dem Aktienkurs von 20 steigt der Wert von PC ¹ in quadratischen Stufen im Vergleich zu den linear ansteigenden Werten des Bündels.

^{5 Bei Topmkins hat sich ein Fehler bei der Berechnung der Auszahlung des PC} 1 bei einem Aktien-

kurs von 18 eingeschlichen. Die Auszahlung beläuft sich auf 64 anstatt auf 56.

5

PP 1 kann unter den gleichen Voraussetzungen mit Standard Puts verglichen werden, was in Tabelle 2 aufgeführt ist.

Tab. 2: ^{Vergleich der Auszahlung von PP} 1 und Standard Put

Der Aktienkurs wird jetzt auf eine Breite von 0 - 10 begrenzt. PP 1 ist am Fälligkeitszeitpunkt bei einem Kurs über dem Basispreis von 10 aus dem Geld und demnach wertlos. Bei sonst identischen Parametern hat PP 1 , am Laufzeitende bei einem Aktienkurs von 10, den zehnfachen Wert eines Standard Put und den gleichen Wert wie ein Bündel von 10 Standard Puts.

2.2.1.1 Darstellung

Abbildung 1 verdeutlicht den in Tabelle 1 beschriebenen Zusammenhang grafisch. Die Power Option und Standardoption beziehen sich dabei immer auf einen Basispreis von 10.

Abb. 1 ^{Gewinn- und Verlust-Profil von PC} 1 gegenüber Standard Call

Der Schnittpunkt von PC 1 und dem Bündel an Standard Calls befindet sich wie angedeutet bei einem Aktienkurs von 20. Bei jedem weiteren Anstieg des Aktienkurses wird der Abstand immer bedeutender und damit das Risiko eines Power Call Emittenten immer größer. Gleichzeitig verteuert sich der Erwerb von PC 1 für Investoren aufgrund des Preisanstieges. Die Power Option verliert in diesem Zusammenhang an Attraktivität und Flexibilität. Um das zu vermeiden ist an die Einführung einer Begrenzung für Wert- und Risikoentwicklung zu denken. Das Setzen eines Höchstpreises bietet dafür die geeignete Lösung.

6

Der Power Put, in Tabelle 2 beschrieben, lässt sich in ähnlicher Weise wie der Power Call abbilden.

Abb. 2 ^{Gewinn- und Verlust-Profil von PP} 1 gegenüber Standard Put

Man erkennt, dass der Wert von PP 1 in diesem Szenario immer höher als der Wert eines Standard Put ausfällt, den Wert des Bündels an Standard Puts aber nicht übersteigen kann.

Wird der Aktienkurs im Intervall von (0,20) festgesetzt, so lässt sich folgende Aussage treffen: Wert einer Standardoption ≤ Wert einer Power Option ≤ Wert eines Bündels von 10 Standardoptionen. Es ist daraus leicht abzulesen, dass bei einer so aggressiven Wertentwicklung der Power Option sich der Preis und damit auch das Risiko des Verkäufers in ähnlicher Weise verhalten.

2.2.1.2 Bewertung

Die Bewertungen der unterschiedlichen, hier vorgestellten Auszahlungstypen sind alle unter Berücksichtigung eines Cap aufgeführt. In Anhang B sind die Schritte für die verwendeten Formeln nachvollziehbar aufgelistet, auf deren Herleitung wird an dieser Stelle verzichtet. Es sei dabei auf Robert Tompkins [Vgl. Tomp1999] verwiesen.

Durch das Setzen eines Cap modifiziert sich die Auszahlungsfunktion für die besprochene Power Option: ω − = ² ) } ; 0 {max{ ; min( ) ( X S Cap ASPO W (2.7)

1

Man kann wiederum über den binären Optionsparameter ω ermitteln, ob es sich um einen Power Call oder Power Put handelt. Solange der quadrierte Wert dieser Power Option kleiner ist als der festgelegte Cap, liegt ein exponentieller Wertverlauf zu Grunde. Sobald der quadrierte Wert der Option den Cap übersteigt, ist die Power Option auf die Höhe des Cap begrenzt. Steigende Aktienkurse haben damit keinen

7

Einfluss mehr auf die weitere Entwicklung der Auszahlung der Power Option. Die Auswirkungen im Vergleich zu Standardoptionen werden in Kapitel 3 erläutert. Der Preis von PC 1 berechnet sich unter Berücksichtigung des Cap aus:

( ) ( ( ) ( ) ) ( ) − + − = cap cap cap cap T X C X T X PC T X PC X T X PC , 2 , (2.8)

1

X stellt den normalen Basispreis dar, X ^cap den begrenzenden Höchstpreis. C(X ^cap ,T) ist der Wert eines Standard Call mit dem Basispreis X ^cap . Diese Formel findet nur Anwendung, wenn gilt: X ^cap > X, andernfalls ist PC 1 wertlos. PC 1 (X,T) und PC 1 (X ^cap ,T) lassen sich als eigene Gleichungen aufführen, die aus jeweils drei Termen bestehen. PC 1 (X,T) ist dabei der Preis eines Power Call ohne Cap. ( ) ² τ σ ^{− +} + − = r ^{2 ) ( 2} (2.9) ) ( ) ( 2 ) ( , d N e X d XSN d N e S T X PC

2 1 0 1

( )

2 ² τ σ ^{− +} + − = ) ( 2 cap r cap cap cap cap r cap (2.10) ) ( ) ( 2 ) ( , d N e X d SN X d N e S T X PC

2 1 0 1

S ist der Aktienkurs, r beschreibt den risikoneutralen Zinssatz. Die Volatilität der Aktie kommt in der Variablen σ zum Ausdruck und τ stellt die Restlaufzeit der Power Option dar. Die Optionsparameter d 0 bis d 2 sind im Anhang B3 aufgeführt. N(d x ) entspricht der Standardnormalverteilung der entsprechenden Hilfsparameter. Die Bedeutung des Cap wird in Beispiel 2 erkennbar:

Beispiel 2: Es gelten weiterhin die bekannten Parameter aus Beispiel 1. X ^cap wird auf 104 festgesetzt. ( ) ⁻ = + − = ^{0295 , 0 2 0375 , 0 2} 679 , 148 ) ( * 100 ) ( * 105 * 200 ) ( 105 , d N e d N d N e T X PC (B3)

2 1 0 1

Ohne Berücksichtigung des Cap weist PC 1 einen Preis von 148,679 auf. Wenn allerdings der Cap wie angegeben in die Berechnung aufgenommen wird, verringert sich der Power Optionspreis erheblich:

( ) ( ) = − + − = cap 912 , 1043 , 6 * 104 100 * 2 419 , 89 679 , 148 , X T X PC (B4)

1

Vor diesem Hintergrund ist leicht zu erkennen, dass das Setzen eines Höchstpreises für die Power Option bedeutende Folgen hat, die in Kapitel 3 näher erläutert werden. Hier soll nur gezeigt werden, dass sich der Preis für die Power Option mit Cap in einem Rahmen bewegt, der den Handel für Käufer und Verkäufer der Option attraktiv gestaltet. Die Formeln für PP 1 sind im Anhang nachlesbar.

S − ² } 0 ; max{ X 2.2.2 Auszahlungsfunktionstyp 2

Der Auszahlungsfunktionstyp 2 ist dadurch gekennzeichnet, dass sowohl der Aktienkurs als auch der Basispreis einzeln quadriert werden. Wie schon zuvor wird die Power Option mit einem Bündel von Standardoptionen verglichen, betrachtet werden

8

diesmal jedoch lediglich Calloptionen. Tabelle 3 gibt einen Überblick über den Wert der Optionen am Fälligkeitszeitpunkt.

Tab. 3: ^{Vergleich der Auszahlung von PC} 2 und Standard Call

Anstatt PC 2 mit nur einem Standard Call in Beziehung zu setzen, wird versucht, die Auszahlung von PC 2 zwischen den Aktienkursen 10 und 11 nachzubilden. Dazu werden 21 Standard Calls benötigt. Der Aktienkurs wird wieder von 10 ab begrenzt, da der Basispreis 10 entspricht und PC 2 bei einem niedrigeren Aktienkurs am Laufzeitende zu keiner Auszahlung führt. Bei einem Aktienkurs von 20 erreicht der PC 2 den gleichen Wert wie ein Bündel von 30 Standard Calls.

2.2.2.1 Darstellung

Die Werte die in Tabelle 3 berechnet und gegenüber gestellt wurden, sind Grundlage von Abbildung 3.

Abb. 3 ^{Gewinn- und Verlust-Profil von PC} 2 gegenüber Standard Call

Wiederum ist der Schnittpunkt von PC 2 mit dem Optionsbündel bei einem Aktienkurs von 20. PC 2 weist aber im Gegensatz zu PC 1 einen viel engeren Verlauf an das vergleichbare Bündel Standardoptionen auf. Die Wertentwicklung vollzieht sich schneller als das bei PC 1 der Fall war. Dafür erzielt PC 1 ab einem Aktienkurs von 20 eine höhere Differenz zum vergleichbaren Bündel von Standardoptionen als PC 2 . Ceteris paribus obliegt PC 1 ein relativ größeres Performancepotential. Nehmen wir auch hier an, dass sich der Aktienkurs im Intervall (0,20) befindet. Der Wert von PC 2 kann damit abgeschätzt werden zu:

9

Wert von 21 Standard Calls ≤ Wert von PC 2 ≤ Wert von 30 Standard Calls.

2.2.2.2 Bewertung

Auch bei diesem Auszahlungstyp wird kurz auf die Bewertung eingegangen. Der Wertanstieg von PC 2 ist schneller als der von PC 1 . Die Auszahlungsfunktion lautet: ω − = ² }) ; 0 max{ ; min( ) 2 ( X S cap ASPO W (2.11)

Die Parameter bleiben in ihrer Bedeutung unverändert. Der Cap spielt bei diesem Auszahlungstyp wegen der rasanten Wertentwicklung eine bedeutendere Rolle. Die Preisberechnung für die Cap-Version ist: − = cap cap ) , ( ) , ( ) , ( T X PC T X PC K T X PC (2.12)

2

Der Term aus (2.11) lässt sich auch hier wieder einzeln berechnen, es ist möglich den Optionspreis von PC 2 mit Hilfe des Optionspreises von PC 1 zu ermitteln: + = (2.13) ) , ( 2 ) , ( ) , ( T XC T X PC T X PC

^{1 2} + = cap cap cap cap ) , ( 2 ) , ( ) , ( T X C X T X PC T X PC (2.14)

1 2

Wenden wir auf diesen Auszahlungstyp das Beispiel an, wird die getroffene Aussage über den Cap deutlich.

Beispiel 3: Es gelten weiterhin alle Parameter aus Beispiel 1.

= + = (B5) 67 , 1921 865 , 8 * 100 * 2 679 , 148 ) , ( T X PC

² = − = cap 23 , 575 44 , 13467 , 1921 ) , ( K T X PC (B6)

2

Die Preisentwicklung des Auszahlungstyps ist enorm und damit auch höchst spekulativ. Das Einsatzgebiet dieser Finanzderivate beschränkt sich hauptsächlich, wie bei asymmetrischen Power Optionen auch, auf die Befriedigung individueller Absicherungsbedürfnisse einzelner Investoren. Der OTC-Markt stellt dafür die richtige Platt-form dar.

S − ² } 0 ; ) max{( X 2.2.3 Auszahlungstyp 3

Der Halter dieser Power Option erhält bei Fälligkeit eine Auszahlung des quadrierten inneren Wertes und profitiert damit von jeder Aktienkursentwicklung, egal ob positiv oder negativ. Lediglich wenn der Aktienkurs und der Basispreis nahezu identisch bleiben, verfällt die Power Option wertlos. Hieraus resultiert, dass dieser Auszahlungstyp im Prinzip eine Kombination aus Power Call und Power Put darstellt und am ehesten mit einem üblichen europäischen Straddle vergleichbar ist. Deshalb wird

10

die Power Option im weiteren Verlauf als Powerstraddle (PS) bezeichnet. „Die Bildung von Straddle-Positionen erfolgt […] aus der Erwartung einer bestimmten Volatilitätsentwicklung des Basiswertes. Die Richtung der Marktentwicklung spielt dabei keine Rolle“ [StBr2000, S.525]. Diese Aussage lässt sich ohne weiteres auf den PS übertragen. Tabelle 4 zeigt die Auszahlungen des PS auf:

Tab. 4: Vergleich der Auszahlung von Powerstraddle und Standardoptionen

Bei einem Aktienkurs von 0 bis 10 ist die Auszahlung des PS der des PP 1 identisch. Im Bereich der Aktienkurse von 10 bis 20 spiegelt PS exakt die Auszahlung von PC ¹ bei Fälligkeit wieder. Wertlos ist der PS bei einem Aktienkurs von 10, da dieser dem Basispreis entspricht. An diesem Punkt weist weder PP 1 noch PC 1 Auszahlungen auf. Der PS profitiert gleichermaßen von einer positiven und einer negativen Aktienkursveränderung. Konstruieren lässt sich ein PS durch den Kauf eines PC 1 und den gleichzeitigen Kauf eines PP 1 mit dem gleichen Basispreis und identischer Laufzeit. Bei Fälligkeit verfällt eine dieser Power Optionen wertlos.

2.2.3.1 Darstellung

In Abbildung 4 wird die Kombination von PC 1 und PP 1 bei einem Powerstraddle noch einmal deutlich erkennbar. Standardstraddles und PS weisen in diesem Szenario ein unbegrenztes Gewinnpotential auf. Zeitgleich sind aber auch hohe Kosten für den Kauf eines PS aufzubringen, da sowohl ein PC 1 , als auch ein PP 1 gekauft werden müssen und mit sinkender Restlaufzeit ein Verlust des Zeitwertes einhergeht [Vgl. StBr2000, S.526].

11

Abb. 4 Gewinn- und Verlust-Profil von PS gegenüber Standardstraddle

Wie bei den vorhergehenden Auszahlungstypen auch, wird auf die sinnvolle Begrenzung des Risikos für Emittenten solcher Power Optionen durch die Einführung eines Cap verwiesen. Will man den Wert des PS im Aktienkursintervall (0,20) schätzen, lässt sich die Aussage treffen:

Wert eines europäischen Straddle ≤ Wert des Powerstraddle ≤ Wert eines Bündels von 10 europäischen Straddles.

2.2.3.2 Bewertung

Die Auszahlungsfunktion des PS modifiziert sich mit der Einführung eines Cap. − = ² ]} 0 ; ) max[( ; min{ ) ( X S cap PS W (2.15)

Im Gegensatz zu den zuvor vorgestellten Auszahlungsfunktionen kommt dem Cap hier eine besondere Bedeutung zu. Putcap und Callcap unterscheiden sich in ihren ^{cap cap cap} absoluten Werten. Es gilt: X P ≤ X ≤ X C , wobei X P die Höhe des Putcap und ^cap X C die Höhe des Callcap beschreiben. Ein Power Call ist bei einem Aktienkurs kleiner als der Basispreis X aus dem Geld und damit wertlos. Genauso ist ein Power Put bei einem Aktienkurs größer X aus dem Geld und wertlos. Der PS stellt, wie schon mehrfach erwähnt, nur eine Kombination aus PC 1 und PP 1 dar, was sich auch in der Preisberechnung niederschlägt: + = cap cap cap cap (2.16) ) , ( ) , ( ) , ( X T X PC X T X PP X T X PS

1 C P C

Auf ein Beispiel wird verzichtet, der PS wird in Kapitel 3 noch eine besondere Rolle spielen.

12

3 Vergleich Standardoption - Power Option

Änderungen von wertbestimmenden Determinanten haben selbstverständlich auch Einfluss auf ein bestehendes Portefeuille mit Power Optionen. Es entstehen Risikosituationen, zu deren Abschätzung alle Einflussgrößen einzeln betrachtet werden müssen. Ziel ist es, Reaktionen des bestehenden Portefeuille auf Parameteränderungen berechnen, und idealerweise auch absichern zu können. Die Sensitivitätskennzahlen aus dem B&S-Modell bieten dazu einen ersten Einblick. Der Fokus dieser Arbeit liegt insbesondere auf Delta, Gamma und Vega. „Unter den Annahmen des Modells gehen Optionspreisänderungen auf zwei Einflüsse zurück: die (deterministische) Verkürzung der Restlaufzeit und die (stochastische) Variation des Aktienkurses“ [Wall2002, S.21]. Alle anderen Parameter werden als konstant angenommen. Die Aussagen über Reaktionen der Sensitivitätskennzahlen resultierend aus Veränderungen der genannten Eingabeparameter, sind deskriptive Beobachtungen aus dem zu dieser Arbeit erstellten Excel-Sheet und werden im Folgenden deshalb auch nicht mit Quelldaten belegt. Die Analyse beschränkt sich auf die Betrachtung von Call (Power) Optionen. Put (Power) Optionen weisen die entsprechend gleichen Eigenschaften in umgekehrter Richtung auf.

3.1 Sensitivitätskennzahl Delta

Der Delta-Wert drückt die Sensitivität des Optionspreises hinsichtlich einer marginalen Änderung des Aktienkurses aus. Dazu sind, wie bei Standardoptionen auch, die oben beschriebenen Bewertungsansätze der einzelnen Power Optionen nach dem Aktienkurs partiell abzuleiten. Im Prinzip handelt es sich um den Quotienten der zugrunde liegenden Aktien- und Optionspreisveränderungen [Vgl. StBr2000, S.336]. „Der Delta-Wert gibt an, wie viele Aktien benötigt werden, um die Preisveränderung der Option genau zu neutralisieren“ [StBr2000, S.337], man spricht auch von der „Hedge Ratio“. Diese Eigenschaft spielt später, wenn das Hedging der Power Optionen im Mittelpunkt steht, eine sehr wichtige Rolle. Tabelle 5 enthält Formeln für das Delta der vorgestellten Power Optionen in einer B&S-Umgebung ⁶ . Alle Formeln basieren weiterhin auf der Annahme eines bestehenden Cap.

⁶ Die Herleitung der Formeln ist in Anhang B3 aufgeführt.

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Tab. 5: Formeln für die Berechnung von Delta

Abbildung 5 bringt die in Tabelle 5 errechneten Formeln in einem Schaubild zusammen. Das Standardbeispiel für dieses Kapitel, zur Darstellung der unterschiedlichen Eigenschaften, besteht aus den Parametern: ^{cap cap} X = 100; X C = 105; X P = 95; τ = 0,5; r = 0,06; σ = 0,2.

Abb. 5 Verlauf der unterschiedlichen (Power) Options-Delta

3.1.1 Delta Calloption

Der Verlauf des Standard Call-Deltas ist immer positiv und bewegt sich stets zwischen 0 und 1, da ein Call bei einer Aktienkurssteigerung immer an Wert gewinnt. Calloptionen weit im Geld weisen einen Delta-Wert von nahezu 1 auf, weit aus dem Geld befindliche Calloptionen dagegen einen Wert nahe 0 [Vgl. CoRu1995, S.222]. Ist der Call im Geld, verursacht eine steigende Volatilität ein Absinken der Delta-Werte und vice versa. Wie aus Abbildung 5 ersichtlich, ändern sich die Delta-Werte

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bei Aktienkursen in der Umgebung des Maximums am deutlichsten. „Bei einem Delta-Wert von ca. 0,5 beim Call bzw. ca. -0,5 beim Put entsprechen sich Basispreis und Aktienkurs ungefähr“ [StBr2000, S.337] ⁷ . Das Delta ist demnach auch eine Kennzahl für die Ausübungswahrscheinlichkeit der Option.

Untersucht man die Auswirkungen einer sich verkürzenden Restlaufzeit auf das Call-Delta, lassen sich folgende Aussagen treffen: Ist der Call weit im Geld, steigt das Call-Delta infinitesimal gegen 1 an, ist er dagegen weit aus dem Geld, sinkt die Option gegen 0 ab. Die intensivste Reaktion auf eine Verkürzung der Restlaufzeit findet auch hier wieder bei Optionen am Geld statt. Schon eine geringe Verkürzung der Restlaufzeit zieht dort eine spürbare Veränderung von Delta nach sich. Der Delta-Wert tendiert gegen 0,5, sobald der Aktienkurs identisch mit dem Basispreis ist. Eine Erhöhung (Reduzierung) des Basispreises führt zu einer Verschiebung von Delta nach rechts (links).

3.1.2 Delta Power Call

Demgegenüber weist das PC 1 -Delta augenscheinlich andere Eigenschaften auf. Der Verlauf ist parabolisch und die Werte sind nicht mehr zwischen 0 und 1 begrenzt ⁸ . Das Maximum bei sehr kurzen Restlaufzeiten findet sich am Cappreis wieder. Der Delta-Wert ist proportional von der Differenz des Cap und des Basispreises abhängig. Je größer diese Differenz, desto größer ist das PC 1 -Delta, und desto größer ist demnach auch die Preisentwicklung der Power Option bei marginalen Aktienkurssteigerungen. Dieses Ergebnis deckt sich mit der Vermutung aus Kapitel 2, dass man mit Power Optionen von geringen Kursschwankungen im Vergleich zu Standardoptionen überproportional profitieren kann. Aktienkurse weit im Geld haben im Gegensatz zu Standardoptionen, aufgrund des festgestellten Cap einen Delta-Wert von nahezu 0.

Vor diesem Hintergrund hat ein Anstieg der Volatilität nun andere Auswirkungen auf das PC 1 -Delta. Ist PC 1 weit im bzw. weit aus dem Geld nimmt der Delta-Wert zu. Dieses Verhalten lässt sich für Power Optionen, die weit aus dem Geld leicht interpretieren: Die Wahrscheinlichkeit, dass die weit vom Basispreis notierte Aktie ins Geld kommt, steigt mit zunehmender Kursschwankung an. Die gleiche Wertentwicklung läuft bei Power Optionen weit im Geld, sogar weitaus intensiver ab. Genau umgekehrt verhält sich das Delta bei einem PC 1 am Geld, also rund um das ⁷ Nach Wallmeier ergibt sich der genaue Übergang von Optionen ob sie im Geld, am Geld oder

^{aus dem Geld sind, aus der partiellen Ableitung der Funktion des Delta nach der Volatilität. Er-gebnis: Ist d} 2 ^{=0, dann ist N(d} 2 )=0,5. Es errechnet sich genau ein Punkt zur Abgrenzung der Op-

tionen [Wall2002, S.23].

⁸ Aussagen, die nicht direkt aus den Abbildungen erkannt werden sind, wie schon erwähnt, de-skriptive Erfahrungen aus der Anwendung des Excel-Sheets.

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gekehrt verhält sich das Delta bei einem PC 1 am Geld, also rund um das Maximum am Basispreis. Dort ist eine stetige Verringerung des Delta-Wertes zu verzeichnen. Im Vergleich dazu sei noch einmal auf das Standard-Delta verwiesen, welches bei einem Volatilitätsanstieg für Optionen im Geld sinkt und für Optionen aus dem Geld steigt.

Betrachtet man eine stetige Verkürzung der Restlaufzeit, strebt der Delta-Wert von PC 1 weit aus oder weit im Geld jeweils gegen null. Mit einer geringeren Restlaufzeit haben demnach Aktienkursveränderungen für den Optionspreis aller PC 1 , die sich weit entfernt vom Basispreis befinden, eine geringere Relevanz. Eine bemerkenswerte Entwicklung erleben dagegen Power Optionen, deren Aktienkurs rund um den Cappreis notiert. Kurz vor Fälligkeit der Option ist ein enormer Anstieg des PC 1 -Deltas zu verzeichnen. Im Gegensatz zu Standardoptionen ist dieser Anstieg dabei nicht auf 1 begrenzt, sondern nach oben hin offen. Daraus ist zu schließen, dass bei einer stetigen Verkürzung der Restlaufzeit der Einfluss des Aktienkurses für Optionen am Geld, abhängig von der Differenz zum Basispreis ist ⁹ . Fällt die angesprochene Differenz hoch aus, nimmt der Einfluss des Aktienkurses auf den Power Optionspreis ab und vice versa.

3.1.3 Delta Powerstraddle

Aus Tabelle 4 wissen wir, dass ein Straddle lediglich eine Kombination aus Put und Call darstellt. Der Standardstraddle weist nur Delta-Werte zwischen -1 und 1 auf, unabhängig von den restlichen Eingabeparametern. Die für das Call-Delta beschriebenen Eigenschaften und die entgegenläufigen Eigenschaften des Put-Deltas lassen sich ohne weiteres übertragen. Daraus folgt für den Standardstraddle, dass er bei Optionen, die weit aus dem Geld sind, Werte von -1 aufweist, bei Optionen, die weit im Geld notieren, entsprechend Werte von +1. Aktienpreis und Basispreis stimmen bei einem Delta von 0 annähernd ¹⁰ überein. Die Eigenschaften von Call und Put heben sich gegenseitig auf.

Der Delta-Wert des PS weist hingegen wieder einen völlig anderen Verlauf auf. Auch hier finden sich die beschriebenen Eigenschaften des PC 1 -Deltas teilweise wieder, allerdings treten Besonderheiten aufgrund der Verwendung unterschiedlicher Caps für Power Call und Power Put auf. Der Verlauf des PS-Deltas wird primär von den Differenzen zwischen den beiden Caps mit dem Basispreis beeinflusst. In Abbil- ⁹ Die „Richtung“ dieser Differenz, sprich ob das Ergebnis positiv oder negativ ausfällt spielt keine

Rolle, nur der absolute Betrag.

¹⁰ Annähernd bedeutet in diesem Zusammenhang, dass nur bei sehr kurzen Restlaufzeiten Aktien-kurs und Basispreis bei einem Straddle-Delta von 0 identisch sind.

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dung 5 liegt der Basispreis genau in der Mitte von Callcap und Putcap, deshalb weist der negative Wert von Delta den gleichen Ausschlag auf, wie der positive Wert. Fällt die Differenz zwischen Callcap und Basispreis größer aus, als die Differenz zwischen Basispreis und Putcap, überwiegt der Einfluss von PC 1 . Das PS-Delta hat dann vornehmlich einen positiven Werteverlauf und vice versa. Es ist aber immer zu berücksichtigen, dass der Einfluss von PP 1 durch den kleineren Cap früher zu Wertänderungen des PS führt. Damit nimmt das PS-Delta bei einem hinreichend großen Einfluss von PP 1 erst eine negative Entwicklung ein. Übertragen auf den Kapitalmarkt bedeutet der beschriebene Zusammenhang für den PS, das eine Aktienkurssteigerungen bei Kursen unterhalb des Basispreises eine Verringerung des PS-Wertes zur Folge hat, bei Kursen oberhalb des Basispreises dagegen einen Anstieg des PS-Wertes.

Steigt in diesem Szenario die Volatilität an, konvergiert das PS-Delta insgesamt gegen 0, da sich die Deltas von PP 1 und PC 1 in ihren absoluten Werten verkleinern und gegenseitig aufheben. Nichtsdestotrotz haben Kurse weit aus dem Geld bei Volatilitätssteigerungen eine marginal negative Entwicklung, Kurse weit im Geld eine marginal positive. Der Einfluss einer sinkenden Restlaufzeit leitet sich ähnlich her. Für Optionen aus dem Geld übt PP 1 den größeren Einfluss aus ¹¹ , die Delta-Werte steigen bei weit aus dem Geld liegenden Optionen an, bei Delta-Werten weit im Geld ist der Verlauf genau umgekehrt. Sehr kurze Restlaufzeiten lösen wiederum eine enorme Entwicklung für Aktienkurse am Basispreis aus. Kurse die knapp unter dem Basispreis notieren, weisen dabei hohe negative Werte auf, gegenteiliges gilt für Aktienkurse die sich leicht über dem Basispreis bewegen.

3.1.4 Delta-Hedging Power Option

„Bei kontinuierlichem Delta-Hedging einer Optionsposition wird unter den Black/Scholes-Bedingungen eine perfekte Absicherung erreicht“ [Wall2002, S.23]. Im weiteren Verlauf wird ersichtlich, dass diese Aussage auch auf Power Optionen übertragbar ist. Auf Basis der beschriebenen Unterschiede im Verhalten des Deltas einer Standardoption und dem, eines PC 1 -Deltas, werden im Folgenden dynamische Hedging-Strategien für Power Optionen aufgezeigt.

„Da mit sich veränderndem Aktienkurs auch der Deltawert variiert, bedarf es zur Durchführung des Delta-Hedgings einer theoretisch stetigen Positionsveränderung“ [StBr2000, S.537]. Je nach Aktienkurs muss ein Standard Call entweder überhaupt nicht gehedged werden, weil er weit aus dem Geld notiert, oder mit höchstens einer

¹¹ Immer unter der Annahme einer hinreichend großen Differenz von Basispreis und Putcap.

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Aktie ¹² bei weit im Geld befindlichen Calls. Entspricht der Aktienkurs dem Basispreis beträgt das benötigte Absicherungsverhältnis von Standardoption und zu Grunde liegender Aktie bei sehr kurzen Restlaufzeiten 2:1. Mit Hilfe eines kapitelübergreifenden Beispiels soll das dynamische Hedging für Power Optionen demonstriert werden.

Beispiel 4.1: Die bisher verwendeten Eingabeparameter aus den vorangegangenen Beispielen bleiben weiterhin gültig ¹³ . Ausschüttungen finden keine Berücksichtigung, der PC 1 wird wie bisher in einer B&S-Umgebung bepreist. Tabelle 6 listet die entsprechenden Werte auf:

Tab. 6: ^{Preis und Kennzahlen von PC} 1 aus Beispiel, Restlaufzeit 6 Monate

Der Aktienkurs des zu Grunde liegenden Basiswertes beläuft sich auf 100. Alle Aktienkurse die kleiner als der Basispreis notieren, weisen in diesem Szenario, bei Standard und Power Calls gleichermaßen, ein Delta von 0 auf, da sie aus dem Geld und damit wertlos sind. Der PC 1 hat nach Tabelle 6 einen Wert von 7,71. Ein Markteilnehmer emittiert zu diesem Kurs 1000 PC 1 und generiert damit einen Erlös von 7710. Das PC 1 -Delta beträgt 0,6865. Sobald der Aktienkurs um 1 steigt, hat das für den Power Optionswert demnach einen Anstieg um 0,6865 zur Folge. Im Vergleich dazu weist ein Standard Call, unter ansonst gleichen Bedingungen, eine Hedge Ratio von 0,6456 auf. Um ab dem Emissionszeitpunkt gegen Kursschwankungen abgesichert zu sein kauft der Händler 1000 * 0,6865 = 686,5 Aktien und finanziert diese mit der erhaltenen Optionsprämie und einer Kreditaufnahme in Höhe von 60940. Der Portefeuillewert und das Portefeuille-Delta belaufen sich damit auf:

Kommt es in der Folgezeit zu einer Aktienkursänderung hat das keinen Einfluss auf den Wert des Portefeuilles. Allerdings muss bei jeder minimalen Änderung des Akti-

¹² Im weiteren Verlauf wird eine Aktie als zu Grunde liegendes Finanzinstrument der (Power)

Option angenommen.

¹³ Die bisher verwendeten Werte belaufen sich auf:

^{cap = 95, X C cap} = 104, σ = 0,127, τ ^{= 0,5, r = 0,059. X = 100, X} P

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enkurses das neue PC 1 -Delta bestimmt und die Aktien im Portefeuille entsprechend angepasst werden. Steigt im Beispiel demzufolge der Aktienkurs von 100 auf 103, steigt der Preis von PC 1 auf 9,71 und das PC 1 -Delta sinkt auf 0,6336 ab. Der Händler muss also die Aktienanzahl seines Portefeuille auf 633,6 reduzieren (damit 52,9 Aktien verkaufen) um PC 1 auch gegen die kommende Preisschwankung abzusichern. Wie in Kapitel 3.1.2 angesprochen, ist das Delta abhängig von der Differenz zwischen Cappreis und Basispreis. Je höher diese Differenz ausfällt, desto höher ist auch der maximale Deltawert. Erst der Aktienkurs, der dem PC 1 -Cappreis entspricht, spiegelt die maximale Hedge Ratio wieder. Bei genauer Betrachtung fällt auf, dass sich die Delta-Werte von Standard und Power Optionen bei einer Restlaufzeit von 6 Monaten nur unwesentlich unterscheiden. PC 1 entwickelt sein Potential erst mit sehr kurzen Restlaufzeiten, was ein Hedging für den Händler unter Umständen sehr teuer macht. Tabelle 7 zeigt den Preis und die Sensitivitätskennzahlen für PC 1 bei einer Restlaufzeit von einem Monat auf.

Tab. 7: ^{Preis und Kennzahlen von PC} 1 aus Beispiel, Restlaufzeit 1 Monat

Steigt in diesem Szenario der Aktienkurs um 1 hat das einen Anstieg von PC 1 um 1,4145 zur Folge, ein Wert den ein Standardoptionsdelta nicht erreichen könnte. Außerdem ist erkennbar, dass das PC 1 -Delta im Gegensatz zu den Werten in Tabelle 6 ansteigt. Je kürzer die Restlaufzeit, desto näher rückt das Maximum von Delta gegen den Cappreis, was im Beispiel zu steigenden Delta-Werten führt.

3.2 Sensitivitätskennzahl Gamma

Das Gamma beschreibt die Reagibilität des Options-Deltas auf Änderungen des Aktienkurses. Mathematisch handelt es sich um das Verhältnis zwischen der Veränderung des Options-Deltas und der Veränderung des Kurses des Basisinstrumentes. Genau betrachtet stellt Gamma dabei die zweite partielle Ableitung der B&S-Funktion nach dem Aktienkurs dar [Vgl. StBr2000, S.338]. Im Gegensatz zum Delta-Wert, welcher das Ausmaß der Änderung des Optionspreises bei Aktienkursänderungen hervorhebt, beinhaltet der Gamma-Wert Informationen, unter welchen Bedingungen bei Aktienkursveränderungen Gewinne generiert werden [Vgl. Co-Ru1995, S.301]. Gamma spielt außerdem eine wichtige Rolle bei Absicherungsstra-

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tegien, es „ist ein Maß für den Delta-Hedgefehler“ [Sönk2002, S.17]. Tabelle 8 listet die Formeln der angesprochenen Power Optionen für das Gamma auf.

Tab. 8: Formeln für die Berechnung von Gamma

In Abbildung 6 wird der Wertverlauf der Optionen aus Tabelle 8 mit den identischen Eingabeparametern wie bei der Berechnung des Options-Deltas dargestellt.

Abb. 6 Verlauf der unterschiedlichen (Power) Options-Gamma

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3.2.1 Gamma Calloption

Der Gamma-Wert für gekaufte Optionen ist positiv, der für verkaufte Optionen entsprechend negativ [Vgl. CoRu1995, S.301]. Bei einem Gamma < 0 profitiert der Stillhalter dabei, wenn der Aktienkurs relativ stabil bleibt. Ist das Gamma > 0, generiert ein Käufer nur bei großen Kurssprüngen, egal in welche Richtung, Gewinne [Vgl. CoRu1995, S.301]. Der Verlauf von Call-Gamma in Abbildung 6 bestätigt die zuvor festgestellte hohe Elastizität des Call-Deltas von am Geld notierenden Optionen. Gamma erreicht sein Maximum, unter Annahme einer sehr kurzen Restlaufzeit, bei einem Delta-Wert von 0,5. Hier entspricht der Aktienkurs dem Basispreis. Verständlich wird diese Eigenheit von Gamma, wenn man das Delta in den angesprochenen Bereichen genauer betrachtet. Aktienkurse, deren Optionen weit aus dem Geld sind, weisen ein stärkeres Wachstumspotential auf, als Aktienkurse, deren Optionen weit im Geld notieren. Dementsprechend steigt das Gamma mit steigenden Aktienkursen bis hin zum Basispreis an und sinkt ab diesem Punkt wieder kontinuierlich gegen null.

Unter der Annahme eines stetigen Anstiegs der Volatilität ähnelt die Entwicklung des Call-Gammas der des PC 1 -Deltas. Bei Optionen im oder aus dem Geld steigt das Gamma an, wobei Optionen am Geld bei steigender Volatilität an Wert verlieren. Der Grund dieser Entwicklung liegt, in den abnehmenden Elastizitäten des Call. Typischerweise sinkt die Elastizität des Call, wenn die Volatilität, die Restlaufzeit oder der Aktienkurs ansteigen [Vgl. Wall2002, S.26].

Der genau gegenteilige Effekt lässt sich demzufolge bei einer sinkenden Restlaufzeit beobachten. Für Optionen, die aus dem Geld sind, ist ein Wertverlust zu beobachten, Aktienkurse in der Nähe des Gamma-Maximums ¹⁴ erleben einen deutlichen Wertanstieg, der Einfluss der Volatilität nimmt bei sich verkürzenden Restlaufzeiten ab. Das Maximum des Gammas strebt dabei, wie schon erwähnt gegen den Basispreis.

3.2.2 Gamma Power-Call

Wie der Abbildung 6 zu entnehmen ist, weist das PC 1 -Gamma im Maximum von Delta einen Wert von null auf. Dieser Aktienkurs stellt den Übergang von einem positiven zu einem negativen Gamma dar. Der Grund dafür ist der parabolische Funktionsverlauf von Delta. Der Power Optionspreis steigt bei Aktienkursen bis an- ¹⁴ Der Wert des Maximums kann bei konstanten Eingabeparameter mit dem Aktienkurs als einzi-

ger Variablen bestimmt werden durch:

nähernd ¹⁵ dem Basispreis zunehmend an, ab dem Basispreis ist ein geringerer Anstieg des Optionspreises bei einem marginalen Kursanstieg erkennbar. Dementsprechend ist auch das Gamma, welches die Sensitivität von Delta zum Aktienkurs reflektiert, bis zum Basispreis positiv. Übersteigt der Aktienkurs den Basispreis, sinkt das Delta wieder bis auf null ab, der Gamma-Wert fällt, je nach Verlauf von Delta, ins Negative und konvergiert für hohe Aktienkurse wieder gegen null. Solange das Gamma also einen Wert ungleich null aufweist, egal ob positiv oder negativ, steigt der Optionskurs mit jeder marginalen Aktienkursveränderung an. Bei einer steigenden Volatilität konnte man beim PC 1 -Delta feststellen, dass die Funktion in den äußeren Aktienkursbereichen an Wert gewinnt. Aktienkurse in der Nähe des Maximums zeigen dagegen einen Wertverlust auf. Das Delta-Maximum verschiebt sich durch den Volatilitätsanstieg nach links. Geringe Preisschwankungen verursachen damit im Bereich des Delta-Maximums deutliche Ausschläge von Gamma. Befindet sich PC 1 weit aus dem Geld, steigt der Delta-Wert und entsprechend auch der Gamma-Wert langsam an. Notiert die Aktie aber weit im Geld, steigt zwar Delta an, der Gamma-Wert ist trotzdem negativ, da die Wertentwicklung des Optionspreises an dieser Stelle bei einer marginalen Aktienkurssteigerung relativ geringer wird. Interessant ist die Reaktion von Gamma hinsichtlich des Volatilitätsanstiegs um das Delta-Maximum. Das Delta-Maximum verschiebt sich leicht nach links, was zur Folge hat, dass die Nullstelle von Gamma ebenfalls nach links verschoben wird. Werte von PC 1 , die aus dem Geld waren, kommen nun ins Geld und der anfangs positive Gamma-Wert wird negativ. Für Aktienkurse im Geld gilt Selbiges genau umgekehrt.

Eine stetig abnehmende Restlaufzeit weist die entgegengesetzte Entwicklung zu einer steigenden Volatilität auf. Der Gamma-Wert für Aktienkurse weit aus dem Geld sinkt, wohingegen der Gamma-Wert für Aktienkurse weit im Geld steigt. Das Delta-Maximum verschiebt sich in Richtung des Cappreises, damit auch die Nullstelle von Gamma. Gegen Ende der Restlaufzeit ist wieder die enorme Entwicklung der Power Option erkennbar. Für das Gamma bedeutet dieses Phänomen einen extremen positiven Ausschlag kurz vor dem Delta-Maximum und einen sofortigen, in gleichem Ausmaß extremen Abfall der Gamma-Werte ins Negative.

3.2.3 Gamma Powerstraddle

Für Standardoptionen gilt gemäß Tabelle 7, dass Put- und Call-Gamma identisch sind. Alle zuvor beschriebenen Eigenschaften können damit ohne weiteres auf

¹⁵ Der Anstieg ist wiederum abhängig von der Differenz von Basispreis und Cappreis, diese Aus-

sage hat nur bei einer geringen Differenz Gültigkeit.

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Straddles übertragen werden, nur weisen diese schlichtweg doppelt so hohe Gamma-Werte auf.

Für das PS-Gamma lässt sich diese Aussage nicht treffen. Dessen Verlauf wird abhängig von der Höhe der Differenz zwischen den einzelnen Caps und dem Basispreis bestimmt. Je höher dabei die Differenz, desto höher auch der Einfluss ¹⁶ der jeweiligen absoluten Gamma-Werte. Der Gamma-Verlauf in Abbildung 6 ist für den behandelten Powerstraddle charakteristisch, da die Werte von PP 1 aufgrund des kleineren Putcap bei geringeren Aktienkursen schneller an Wert gewinnen, als die von PC 1 . Der Verlauf von PS ist also zunächst kleiner null. Der zunehmende Einfluss von PC 1 bewirkt für weit im Geld notierende Aktien eine erneute negative Entwicklung, der Callcap hat hier die anhaltendere Wirkung.

Mit einer steigenden Volatilität konvergiert der Gamma-Wert gegen null und die gesamte Funktion verschiebt sich, in Richtung der aus dem Geld notierenden Aktienkurse. Eine sehr hohe Volatilität bedeutet für PP 1 bei kleinen Aktienkursen eine höhere Wahrscheinlichkeit wieder aus dem Geld zu kommen. Demzufolge steigt der Gamma-Wert früher an, damit verschiebt sich auch das Minimum des Delta-Wertes und der Power Optionspreis reagiert sensibler auf Aktienkursänderungen. Für größere Aktienkurse gilt selbiges, nur umgekehrt, da hier PC 1 den bedeutenderen Einfluss ausübt. Der beschriebene Verlauf verändert sich aber grundsätzlich nicht. Eine sich stetig verkürzende Restlaufzeit hat für Kurse weit aus dem Geld und weit im Geld generell einen Wertanstieg zur Folge. Aber je nachdem, ob der Einfluss von PP 1 oder PC 1 überwiegt, ist diese Entwicklung nicht stetig. Es kann für manche Aktienkurse dabei möglich sein, dass sie zuerst einen Wertverfall und anschließend eine Wertsteigerung erfahren. Bei einer sehr kurzen Restlaufzeit ist die schon mehrfach erwähnte enorme Entwicklung des Powerstraddles zu erkennen. Durch den kleineren Putcap strebt das PS-Gamma zuerst enorm ins Negative, wobei das Minimum dem des PP 1 entspricht. Unter steigendem Einfluss von PC 1 ist bei steigenden Aktienkursen eine große Aufwärtsbewegung ins Positive zu beobachten. Das PS-Maximum ist dabei bei identischen Differenzen von Cap und Basispreis in seinem absoluten Wert höher als das des PC 1 . Der Grund dafür liegt im positiven Verlauf von PP 1 an dieser Stelle. Steigt der Aktienkurs noch weiter an fällt der Wert des PS wieder enorm ins Negative und entspricht dabei in seinem absoluten Wert genau dem Minimum von PC 1 .

¹⁶ Die Entwicklung des Put-Delta ist der des Call-Delta genau entgegengesetzt, entsprechend ver-halten sich auch die Gamma-Werte.

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3.2.4 Gamma-Hedging Power Option

Im Hinblick auf die Anwendbarkeit dynamischen Delta-Hedgings in der Praxis seien zwei grundlegende Probleme genannt. Zum einen sind Umschichtungen des Duplika-tionsportefeuille nicht jederzeit möglich und mit sehr hohen Transaktionskosten ver-bunden, zum anderen werden aufgrund ungerade errechneter Delta-Werte Kontraktgrößen standardisiert, und es besteht keine Übereinstimmung zwischen Absicherungs- und Kontraktvolumen mehr [Vgl. StBr2000, S.537]. Es zeigt sich, „dass die Anwendung der B&S-Handelsstrategie bei Vorliegen proportionaler Transaktionskosten in den sicheren Ruin führt“ [Wall2002, S.112]. Stattdessen weicht man auf eine zeitdiskrete Handelsstrategie aus. Um dennoch eine adäquate Absicherung des Portefeuille zu garantieren, ohne bei jeder marginalen Kursschwankung Umschichtungen vornehmen zu müssen, sollte die Sensitivität des Portefeuille-Deltas relativ niedrig gehalten werden. Das absolute Ausmaß des Gamma-Wertes gibt Aufschluss darüber, wie schnell Veränderungen des Aktienkurses den Delta-Wert über ein festgelegtes kritisches Maß führen und Umschichtungen damit nötig machen [Vgl. CoRu1995, S.301]. Mittels Aufnahme weiterer Standard Optionen mit unterschiedlichen Gamma-Werten kann man ein Portefeuille Gamma-neutral gestalten und den Delta-Wert damit für Aktienkursschwankungen reduzieren. Das Gamma dient dabei als ein Maß für die Stabilität der Absicherungspositionen, die im Portefeuille gehalten werden [Seid2002]. Vor diesem Hintergrund wird im Folgenden das Gamma-Hedging für die bei der Beschreibung des Deltas eingeführte Power Option untersucht. Um Gamma-Neutralität zu erreichen, muss eine weitere Option mit unterschiedlichem Gamma-Wert aufgenommen werden. Die Option weist den identischen Basiswert auf, kann aber je nach individueller strategischer Ausrichtung des Emittenten eine unterschiedliche Restlaufzeit haben.

Beispiel 4.2: Der Händler aus Beispiel 4.1 will seine Power Option Gamma-neutral stellen. Er verwendet dazu einen Standard Call A mit derselben Aktie als Basiswert, einem Ausübungspreis von 102 und einer Restlaufzeit von 0,75 Jahren. Unter Berücksichtigung der Eingabeparameter erhält man in der B&S-Umgebung:

C ^(A) = 5,65, δ ^(A) = 0,6092; γ ^(A) = 0,0349; υ ^(A) = 0,3325.

PC 1 hat bei einem Aktienkurs von 100 und einer Restlaufzeit von 6 Monaten ein Gamma von -0,0062 (s. Tabelle 6). Um PC 1 Gamma-neutral zu stellen, müssen sich die Gamma-Werte von Standardoption und Power Option in ihren Vorzeichen unterscheiden. „Gekaufte Optionen weisen positive und verkaufte Optionen negative Gammas auf“ [Wall2002, S.25]. Das Power Options-Gamma ist negativ, demzufolge kann es nur durch den Kauf von Optionen abgesichert werden. Die Anzahl der benö-

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tigten C ^A beläuft sich auf 177,65 ¹⁷ . Der Händler investiert somit zusätzlich 177,65 * 5,65 = 1003,72 in sein Portefeuille.

Um weiterhin Delta-Neutralität zu erhalten, muss auch das Delta von C ^A berücksichtigt und gehedged werden. Dazu verkauft der Händler 177,65 * 0,6092 = 108,22 Aktien. Der Portefeuille-Wert beläuft sich somit auf:

0,127) 100, Π(0,

Wie auch vorher beim Delta-Hedging, sind bei sehr kurzen Restlaufzeiten unter Umständen noch große Umschichtungen nötig. Im Gegensatz zum Gamma-Hedging von Standardoptionen weist das PC 1 -Gamma sowohl positive, als auch negative Werte auf. Vor diesem Hintergrund sind Umschichtungen in einem Portefeuille mit Power Optionen dadurch gekennzeichnet, dass bei ungünstigen Eingabewerten, beispielsweise bei einer hohen Volatilität, Optionen oft gekauft, bei der nächsten Kursänderung aber gleich wieder verkauft und unter Umständen sogar leer verkauft werden. Beobachten lässt sich diese Tatsache, wenn man im Beispielportefeuille eine Verkürzung der Restlaufzeit auf einen Monat vornimmt. Der Gamma-Wert von PC 1 wird positiv und erlangt gemäß Tabelle 7 einen Wert von 0,2048. Will der Händler unter diesen Umständen sein Portefeuille Gamma-neutral stellen, sind jetzt 5868,19 C ^A nötig. Da das Vorzeichen des PC 1 -Gammas jetzt positiv ist, müssen diese Optionen verkauft und das Portefeuille anschließend mit zusätzlichen 3574,9 Aktien aufgefüllt werden. Andernfalls wird keine Delta-Neutralität sichergestellt. An diesem Beispiel ist sehr gut zu erkennen, dass die Absicherung einer Power Option am Ende der Laufzeit sehr aufwendig und kostspielig ist.

3.3 Sensitivitätskennzahl Vega

Die Auswirkungen von Fluktuationen der Volatilität stellt eines der wichtigsten Themen in der Optionsscheinbewertung dar. Obwohl die Volatilität in der B&S-Umgebung als konstant vorausgesetzt ist, wird diese Größe oftmals als Variable ver-standen. „Um die Wirkung einer Volatilitätsänderung auf den Preis einer ganz bestimmten Option zu analysieren, müsste man ein Bewertungsmodell heranziehen, das veränderliche Volatilitäten zulässt. Die Ableitung der Black/Scholes-Formel liefert dafür allenfalls eine Annäherung“ [Wall2002, S.21].

Vega, als letzte hier vorgestellte Kennzahl, zeigt die Reaktion des Optionspreises bei Volatilitätsveränderungen auf. Es handelt sich hierbei um die partielle Ableitung des Optionspreises nach der Volatilität. Vega besitzt, zumindest bei am Geld liegenden

¹⁷ Genaue Berechnungen sind im Anhang C aufgeführt.

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Optionen, neben dem Aktienkurs den größten Einfluss auf den Optionspreis [Vgl. StBr2000, S.345]. Tabelle 9 beschreibt diese Ableitungen für die behandelten (Power) Optionen.

Tab. 9: Formeln für die Berechnung von Vega

Wie bei den Kennzahlen zuvor, werden die gleichen Parameter zur Visualisierung der Formeln aus Tabelle 9 verwendet. Abbildung 7 gibt einen Einblick in den Verlauf der verschiedenen Vegas.

Abb. 7 Verlauf der unterschiedlichen (Power) Options-Vega

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3.3.1 Vega Calloption

Es überrascht nicht, wenn auch das Call-Vega die größten Werte bei am Geld notierenden Standardoptionen aufweist. Die Erhöhung (Reduzierung) des Basispreises führt, wie auch schon bei den anderen Kennzahlen gesehen, zu einer Verschiebung der gesamten Funktion nach rechts (links).

Unter der Annahme einer stetig steigenden Volatilität sind beim Call-Vega generell Wertzuwächse zu verzeichnen, nur bei Aktienkursen direkt am Basiskurs kommt es, wie auch beim Standard-Gamma, zu leichten Verlusten. Diese Verluste sind in einer Rechtsverschiebung der gesamten Vega-Funktion begründet.

„Mit einer Verringerung der Restlaufzeit geht ein Bedeutungsverlust der Volatilität für die Optionspreise einher“ [StBr2000, S.346], was in einem sinkenden Optionswert Berücksichtigung findet. Will man dieses Ergebnis interpretieren, so lässt sich sagen, dass Preisschwankungen mit einer abnehmenden Restlaufzeit für Aktienkurse aus dem Geld (im Geld) eine immer geringere Wahrscheinlichkeit für eine positive (negative) Entwicklung aufweisen. In Abbildung 7 ist das Options-Vega mit den gerade beschriebenen Eigenheiten dargestellt. Es werden nur prozentuale Werte berücksichtigt.

3.3.2 Vega Power-Option

Das PC 1 -Vega weist wie auch das PC 1 -Gamma einen (horizontalen) S-förmigen Verlauf auf. Die absolute Höhe des Maximums und Minimums ist wiederum direkt vom Cap abhängig. Je höher die Differenz zwischen Cap und Basispreis ist, desto größer sind auch die Werte des Maximums bzw. Minimums. Eine Veränderung des Basispreises führt zu einer Rechts- (Erhöhung des Basispreises) bzw. Linksverschiebung (Verringerung des Basispreises) der Vega-Funktion, ähnlich wie bei den anderen Kennzahlen auch. Das Vega weist, genau wie das Gamma, seine Nullstelle im Bereich des Maximums von Delta auf. Daraus ist zu folgern, dass sich Volatilitätsänderungen für Aktienkurse aus dem Geld positiv auf den Optionspreis auswirken, für Aktienkurse im Geld negativ. Die größten Bewegungen sind bei am Geld Optionen zu beobachten.

Eine zunehmende Volatilität geht demnach, wie schon mehrfach beschrieben, für Optionen weit aus dem Geld mit einer Steigerung des Power Optionspreises einher und für Optionen weit im Geld mit einem Wertverlust. Optionen am Geld haben unterschiedliche Verhaltensweisen bei einem stetigen Volatilitätsanstieg. Aufgrund der Linksverschiebung der Funktion kann einerseits ein Wertverlust entstehen. Andererseits weisen Power Optionen, in der Nähe des „neuen“ Maximums, zuerst positive Werte auf, sobald sie das Maximum dann aber überschritten haben, negative Werte.

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Eine sinkende Restlaufzeit zieht beim Vega der Power Optionen im Gegensatz zu Standardoptionen, einen weitaus geringeren Bedeutungsverlust der Volatilität nach sich. Zwar konvergiert das PC 1 -Vega im Bereich der Randaktienkurse bei einer Verkürzung der Restlaufzeiten gegen null. Zeitgleich steigt aber das Vega bei Optionen am Geld an. Erst sehr kurz vor Ende der Power Optionslaufzeit ist auch ein enormer Wertverlust von Vega am Maximum von am Geld Power Optionen ersichtlich. Das Vega von Standardoptionen sinkt dagegen kontinuierlich über den gesamten Wertebereich ab.

3.3.3 Vega Powerstraddle

Die Wertberechnung des Vegas eines Standardstraddle leitet sich ähnlich der Wertberechnung des Gammas eines Straddles her. Put und Call entsprechen sich bei der Ableitung nach der Volatilität (s. Tabelle 8), das Straddle-Vega weist demnach auf-grund der Addition doppelt so hohe Werte auf.

Der Powerstraddle ist weiterhin abhängig von PC 1 und PP 1 , wobei PP 1 den genau entgegengesetzten Verlauf wie PC 1 besitzt. Putcap und Callcap haben, wie bisher bei der Wertberechnung des Powerstraddles, den größten Einfluss auf die Sensitivitätskennzahl. Je größer die Differenz zwischen den einzelnen Caps und des Basispreises ist, desto größer sind auch deren absolute Werte und desto mehr Einfluss haben sie auf den Verlauf von Vega. In Abbildung 7 ist die Differenz zwischen Putcap und Basispreis gleich der Differenz zwischen Callcap und Basispreis. Der Powerstraddle verliert damit anfangs an Wert, da PP 1 zuerst den bedeutenderen Einfluss aufgrund des kleineren Cap aufweist. Bei Aktienkursen rund um den Basispreis ist die Wertentwicklung am intensivsten, bei größeren Aktienkursen kommt der Einfluss von PC 1 stärker zum Tragen.

Die Auswirkungen einer steigenden Volatilität lassen sich auch für den Powerstraddle leicht ableiten. Für sehr kleine und sehr große Aktienkurse hat eine ansteigende Volatilität, wegen des beschriebenen früheren Einflusses von PP 1 und des nachhaltigeren Einflusses von PC 1 , eine negative Wertentwicklung des PC 1 -Vegas zur Folge. Auch ist eine absolute Wertminderung am Maximum des Powerstraddles zu beobachten. Der Optionspreis um den Basispreis ist bei einem Volatilitätsanstieg dagegen nicht so leicht abzuschätzen. Direkt am Basispreis und in unmittelbarer Nähe kommt es zu einem Wertverlust aufgrund des Rückganges der absoluten Werte von PC 1 und PP 1 . Wohingegen bei etwas weiter entfernten Aktienkursen ein deutlicher Wertanstieg zu verzeichnen ist.

Die Verkürzung der Restlaufzeit hat den gegenteiligen Verlauf, was wiederum den Bedeutungsverlust der Volatilität auch für Powerstraddles zum Ausdruck bringt.

28

3.3.4 Vega-Hedging Power-Option

Ein zunehmend wichtigerer Bestandteil von Hedging-Strategien, ist die Absicherung von Finanzderivaten gegenüber Volatilitätsschwankungen. Das Hedge-Portefeuille aus Beispiel 4.1 steht Kursschwankungen zwar nahezu stabil gegenüber, aber Volatilitätsänderungen führen weiterhin zu substanziellen Verlusten. Ähnlich wie beim Gamma-Hedging benutzt man zur Erzielung von Vega-Neutralität zusätzliche Standardoptionen mit unterschiedlichen Vega-Werten. Die Standardoptionen beziehen sich dabei wieder auf den gleichen Basiswert und weisen je nach Bedarf unterschiedliche Restlaufzeiten auf.

Beispiel 4.3: Der Händler versucht abschließend sein Portefeuille auch gegen Volatilitätsschwankungen neutral zu stellen. Dazu bietet sich ein Call B mit einem Ausübungspreis von 100 und einer Restlaufzeit von 0,25 Jahren an. Unter Berücksichtigung des B&S-Modells erhält man für die Option folgende Werte:

C ^(B) = 3,31, δ ^(B) = 0,6412, γ ^(B) = 0,0607, υ ^(B) = 0,1926.

Das PC 1 -Vega aus Tabelle 6 beläuft sich auf -0,0391, es werden demnach 203 Optionen zur Erreichung der Vega-Neutralität zu 203 * 3,31 = 671,93 gekauft. Will der Händler sein Portefeuille auch weiterhin Delta-neutral stellen, muss er, ähnlich dem Vorgehen beim Gamma-Hedging, 203 * 0,6412 = 130,16 Aktien verkaufen. Der Wert des Portefeuille ist somit: + = 5,65 * 65 , 77 100 * 130,16) -108,22 -686,5 ( 7,71 * -1000,127) 100, Π(0,

= + (B 10) 0 38777,65 -3,31 * 203

Betragen die Sensitivitätskennzahlen Delta, Gamma und Vega Null, spricht man von einem Delta-Gamma-Vega-Hedging [Vgl. Wall2002, S.27]. Dem Händler bietet sich auch die alternative Möglichkeit, mit beiden Optionen gleichzeitig sein Portefeuille Delta-Gamma-Vega-neutral zu gestalten. Dazu sind lediglich die beiden Gleichungen zu lösen [Vgl. Tuck1997, S.20]: = + − 0 ) 0607 , 0 ( ) 0349 , 0 ( 1000 * 0062 , 0 (B 11) B A

= + − (B 12) 0 ) 1926 , 0 ( ) 3325 , 0 ( 1000 * 0391 , 0 B A

Die Gleichung (B 11) errechnet die Gamma-Neutralität von PC 1 , die Gleichung (B 12) die Vega-Neutralität. Um das Hedge-Portefeuille auf diese Weise Gamma-Vega-neutral zu formen, sind 87,60 C ^A und 51,77 C ^B nötig. Um auch Delta-Neutralität zu erreichen muss der Händler noch 86,54 Aktien verkaufen. Das Portefeuille hat damit folgende Struktur: + + = 3,31 * 51,77 100 * 86,5638) -686,5 ( 7,71 * -1000,127) 100, Π(0,

29

+ 0 52949,92 -5,65 * 87,60 (B 13)

Je nach den individuellen Bedürfnissen der Händlers sind die beiden aufgezeigten Strategien gleichwertig verwendbar. Wie bei der Beschreibung der Sensitivitätskennzahlen schon erwähnt wurde, ist das PC 1 -Vega in seinem grundsätzlichen Verlauf dem PC 1 -Gamma sehr ähnlich. Bei einer Verkürzung der Restlaufzeit kann es demnach auch zu einem Vorzeichenwechsel kommen, auf den entsprechend zu reagieren ist. Die Vorgehensweise ist identisch derjenigen beim Gamma-Hedging, es wird nicht mehr näher darauf eingegangen.

4 Zusammenfassung

Power Optionen modifizieren das Auszahlungsmuster von Standardoptionen und sind direkte Erweiterungen klassischer Optionen [Vgl. Zhan1998, S.605]. Der grundlegende Unterschied zu Standardoptionen, liegt dabei in der nichtlinearen Auszahlungsstruktur von Power Optionen. Sie eignen sich somit speziell zur Absicherung nichtlinearer Risiken, wie beispielsweise dem Hedging von Kundenpräferenzen. Zudem erfreuen sich Power Optionen, aufgrund ihrer größeren Sensitivität auf Parameteränderungen, als Spekulationsinstrument zunehmender Beliebtheit, auch im privaten Bereich [Vgl. ScZi2001, S.1594].

Es wurden zwei verschiedene Typen von Power Optionen vorgestellt, symmetrische und asymmetrische. Asymmetrische Power Optionen sind dadurch gekennzeichnet, dass bei der Ermittlung der Auszahlung lediglich der Aktienpreis potenziert wird, nicht aber der Basispreis. Bei einem Exponenten von eins entsprechen ihre Auszahlungsfunktionen exakt denjenigen klassischer Optionen. Ist dieser Exponent aber größer als eins, weisen asymmetrische Power Optionen eine weitaus aggressivere Wertentwicklung als Standardoptionen auf. Symmetrische Power Optionen zeichnen sich durch die Potenzierung beider Elemente der Wertberechnung bei Fälligkeit aus. Alle vorgestellten Funktionen dieses Auszahlungstypes sind kontinuierlich und lassen sich zweifach ableiten. Damit kann ein Duplikationsportfolio mit Standardoptionen erstellt werden, was eine Wertabschätzung der Power Optionen in gewissen Bandbreiten zulässt.

Um die Attraktivität und die Flexibilität von Power Optionen aufrecht zu erhalten, ist es sinnvoll einen Höchstpreis festzulegen. Dabei gibt es für Power Put und Power ^{cap cap} Call Optionen unterschiedliche Cappreise. Es gilt immer: X P ≤ X ≤ X C . Sind

diese Optionsscheinvarianten mit einem Höchstpreis versehen, ist der Wertverlauf unter Berücksichtigung langer Restlaufzeiten als defensiv zu bezeichnen. Allerdings ändert sich das Risikoprofil bei sehr kurzen Restlaufzeiten drastisch. Alle vorgestellten symmetrischen Power Optionsscheinvarianten weisen bei Aktienkursen rund um

30

den Cappreis dabei enorme Wertentwicklungen auf. Die Begrenzung der Auszahlungen hat auch signifikante Einflüsse auf die Sensitivitätskennzahlen des B&S-Modells. Delta und Gamma besitzen gegen Ende der Laufzeit der Power Option sehr hohe Elastizitäten rund um das Maximum. Delta ist dabei nicht auf eins begrenzt, sondern in seiner Wertentwicklung nach oben hin offen. Der Verlauf von Power Call-Delta ist im Gegensatz zu Standardoptionen parabolisch. Damit ergeben sich für Optionen weit im Geld andere charakteristische Wertentwicklungen als das bei Standard Calls der Fall ist. Der Cap hat auch großen Einfluss beim Powerstraddle im Vergleich zu einem Standardstraddle. Je nach Höhe der Differenz von Callcap mit Basispreis und Putcap mit Basispreis ergeben sich andere Wertverläufe und Eigenschaften. Die Gamma- und Vega-Werte sind, im Gegensatz zu Standardoptionen, nicht an ein Vorzeichen gebunden, sondern können je nach Parametereingaben variieren. Die Nullstelle von Gamma befindet sich bei sehr kurzen Restlaufzeiten im festgelegten Cappreis. Bei Vega geht dagegen mit abnehmender Restlaufzeit auch ein Bedeutungsverlust einher, der im Vergleich zu Standardoptionen aber weitaus geringer ausfällt.

Betrachtet man die vorgestellten dynamischen Hedging-Strategien der einzelnen Kennzahlen genauer, kann festgestellt werden, dass sich im grundlegenden Vorgehen zum Hedging von Standardoptionen wenig ändert. Das Portefeuille der Power Optionen muss, um neutral gestellt zu bleiben ständig angepasst werden. Es bestehen dabei die gleichen Probleme wie beim Hedging von Standardoptionen. Allerdings können gegen Ende der Laufzeit bei Power Optionen größere Umschichtungen aufgrund der beschriebenen Wertentwicklungen nötig sein. Transaktionskosten und Handelsbeschränkungen spielen damit eine wesentlich größere Rolle.

Diese Arbeit sollte Grundlagen im Verständnis zur Bewertung und dynamischen Hedging-Strategien für Power Optionen im Vergleich zu Standardoptionen vermitteln. Es sollte insbesondere aufgezeigt werden, dass Power Optionen nicht lediglich eine aggressive Optionsscheinvariante darstellen, wie oft proklamiert, sondern sich vornehmlich auch als Absicherungsinstrument nichtlinearer Risiken eignen.

31

A Annahmen des Black/Scholes-Modells

(1) Vorliegen eines vollkommenen Kapitalmarktes.

(2) Uneingeschränkte Möglichkeit von Leerverkäufen.

(3) Bestehen und Bekanntsein einer konstanten risikolosen Geldanlage und Geldaufnahme während der gesamten Optionslaufzeit.

(4) Ausschluss von Dividenden und sonstigen Zahlungen an die Aktieninhaber während der Optionslaufzeit.

(5) Betrachtung von europäischen Optionen.

(6) Annahme von einem stetigen Random Walk (geometrische Brown’sche Bewegung) der Aktienkurse, es gilt somit die Prämisse einer Normalverteilung

[Vgl. StBr2000, S.322].

Das B&S-Modell geht von einem kontinuierlichen Aktienhandel aus. Die Preisfindung basiert dabei auf der Idee eines risikolosen Arbitrageportefeuille, was bei kontinuierlichem Aktienhandel eine ständige Anpassung des Arbitrageportefeuille zur Folge hat.

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B Formelübersicht

B1 Auszahlungsfunktionstyp 1:

PC 1 :

d

0

cap d

0

< cap : X ung Voraussetz ( ) ² τ σ ^{− +} + − = 2 ) ( 2 r ) ( ) ( 2 ) ( , d N e X d XSN d N e S T X PC

2 1 0 1

( )

2 ² τ σ ^{− +} + − = ) ( 2 cap r cap cap cap cap r cap ) ( ) ( 2 ) ( , d N e X d SN X d N e S T X PC

2 1 0 1

( )

τ ⁻ − = cap r cap cap cap ) ( ) ( , d N e X d N S T X C

2 1 t

( ) ( ( ) ( ) ) ( ) − + − = cap cap cap cap T X C X T X PC T X PC X T X PC , 2 ,

1

PP 1 :

> cap : X ung Voraussetz

+ ² τ σ ⁻ − + − = 2 ) ( 2 r ) , ( 2 ) , ( T X PC e XS e S T X PP

1

² + ² σ ⁻ − + − = ) ( 2 cap rt cap cap t r cap ) , ( 2 ) , ( T X PC e X S X e S T X PP

1

( )

− ^τ − = cap cap r cap cap ) ( ) ( , d N S d N e X T X P

1 2 t − + − = cap cap cap cap ) , ( ) ( 2 ) , ( ) , ( ) , ( T X P X T X PP T X PP X T X PP

1

B2 Auszahlungsfunktionstyp 2:

< cap : X ung Voraussetz

τ ⁻ − = ^{) (} r ) ( ) ( ) , ( d N Xe d N S T X C

2 1 t + = ) , ( 2 ) , ( ) , ( T XC T X PC T X PC

^{1 2} + = cap cap cap cap ) , ( 2 ) , ( ) , ( T X C X T X PC T X PC

^{1 2} − = cap cap ) , ( ) , ( ) , ( T X PC T X PC K T X PC

2

33

> ung Voraussetz

= − ^τ − r ) ( ) ( ) , ( d SN d N Xe T X P

^{1 2} + − = ) , ( 2 ) , ( ) , ( T K XP T X PP T X PP

¹ + − = cap cap cap cap ) , ( 2 ) , ( ) , ( T K P X T X PP T X PP

^{1 2} − = cap cap ) , ( ) , ( ) , ( T X PP T X PP X T X PP

2

B3 Herleitung der Sensitivitätskennzahlen

Es wird generell die Herleitung nur für den Power Call dargestellt.

Delta

Es sind dazu die Bewertungsansätze der Power Optionen unter Berücksichtigung des Cap nach dem Aktienkurs S abzuleiten. ( ) ( ( ) ( )

) (

, T X PC

² τ σ τ σ ⁺ + − + = ' ) ( 2 ) ( r ¹ ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( 2 d XSN d XN d N e S d N Se

δ ^{1 0} S ⁻ + ^{' 2} X rτ ) ( d N e

2

( )

² τ ⁻ + − ' cap r cap cap cap ) ( ) ( 2 d N e X d SN X

2 1

( ) ( )

cap cap ) , ( ) , ( ) , ( T X PC T X PC X T X PC

− = 2

δ S

) , ( ) , ( T X PC T X PC ) , ( 2 T XC

+ ∆ = + = ^{1 2} ) ( 2 d XN

δ ¹ S

Gamma

Zur Bestimmung des Gamma-Wertes sind die entsprechenden Deltas nach dem Aktienkurs S abzuleiten.

∆

+

− cap 4 X

∆ δ

Vega

Zur Bestimmung des Vega-Wertes ist die partielle Ableitung der (Power) Options-preisformel nach der Volatilität notwendig. ( ) ( ( ) ( )

) (

, T X PC

^{2 τ σ τ σ} υ σ ⁺ + − + = r ^{' ) ( 2 ) ( 2 1} ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 d XSN d N e S d N e tS

δσ 1 0

^τ υ ⁻ + X r ^{' 2} ) ( ) ( d N e

2

( )

^{2 τ} υ cap ⁻ + cap r ^' ) ( ) ( d N e X

2

( ) ( )

cap cap ) , ( ) , ( ) , ( T X C P T X C P K T X C P

− = 2

δσ δσ δσ

) (

(

C Detaillierte Lösung für Beispiele

C1 Lösung zu Beispiel 1

Der stetige Zinssatz aus der Angabe errechnet sich durch Logarithmieren des diskre- r

ten risikolosen Zinssatzes:

spiel 1 hat einen Wert von 6,11, damit errechnet sich r s zu 0,0593.

Wert der Standardoption:

d

2

τ σ = + = + = 9167 , 0 5 , 0 127 , 0 8269 , 0 d

^{2 1} ( 1 = ( 2 = ; 8204 , 0 ) d N 7959 , 0 ) d N

⁻ = − = ^{) 5 , 0 * 059 , 0 (} e STOP W 86 , 8 7959 , 0 * 100 8204 , 0 * 105 ) (

Wert der Power Option:

1 1 105 S 1 1 =

d 2

τ σ = + = + = 647 , 26 5 , 0 127 , 0 * 2 467 , 26 2 d

^{2 1} ( 1 = ( 2 = ; 1 ) d N 1 ) d N

^{2 − +} = − = ^{) 5 , 0 * 059 , 0 ( 5 , 0 * ) 127 , 059 , 0 ( 2} 93 , 11349 1 * 100 1 * 105 ) ( e AAPO W

C2 Lösung zu Beispiel 2

= d

0

= d

1

( 2 = = − = 795854 , 0 ) d N ; 826902 , 0 5 , 0 127 , 0 916705 , 0 d

2

37

= cap d

0

= cap d

1

= − = cap ; 390158 , 0 5 , 0 127 , 0 479961 , 0 d ( 2 = cap 651790 , 0 ) d N

² ( ) ^{2 − +} + − = ^{5 , 0 * 059 , 0 5 , 0 ) 127 , 059 , 0 ( 2} * 820351 , 0 * 105 * 100 * 2 842914 , 0 105 , e T X PC

1

= ² 679344 , 148 795854 , 0 * 100 * ( )

^{2 +} + − = ^{5 , 0 ) 127 , 059 , 0 ( 2} PC cap 684372 , 0 * 105 * 104 * 2 715581 , 0 105 , e T X

1

⁻ = + ^{5 , 0 * 059 , 0 2} 41985 , 89 651790 , 0 * 104 e ( )

⁻ = − = ^{5 , 0 * 059 , 0} C cap 043384 , 651790 , 0 * 104 684372 , 0 * 105 , e T X

( ) ( )

= − + − = cap 912421 , 1043384 , 6 * 104 100 * 2 41985 , 89 679344 , 148 , X T X PC

1

C2 Lösung zu Beispiel 4.2

Anzahl der benötigten Optionen für das Gamma-Hedging, Restlaufzeit 6 Monate: 0062 , 0

= 65 , 177 1000 * #

Optionen 0349 , 0

Anzahl der benötigten Optionen für das Gamma-Hedging, Restlaufzeit 1 Monat: 2048 , 0

= 19 , 5868 1000 * #

Optionen 0349 , 0

Anzahl der benötigten Optionen für das Vega-Hedging, Restlaufzeit 6 Monate: 0391 , 0

= 203 1000 * #

Optionen 1926 , 0

Lösung des Gleichungssystems aus (B 11), (B 12):

+ − + − 0 ! ) 0607 , 0 ( ) 0349 , 0 ( 2 , 6 B A ; 0 ! ) 1926 , 0 ( ) 3325 , 0 ( 1 , 39 B A

−

A

B

Anzahl der zu verkaufenen Aktien:

= + = 54 , 86412 *, 77 , 51 6092 , 0 * 60 , 87 #

Aktien

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Literaturverzeichnis

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