Näherungsweise Berechnung von Nullstellen mit dem Iterationsverfahren von Newton (Newton Verfahren)

1. Herleitung

Die Lösung einer Gleichung f (x) = 0 gehört zu den wichtigsten mathematischen Aufgaben. Doch dies ist nicht ohne weiteres möglich, z.B. bei Polynomen höheren Grades. Um auch bei solchen Gleichungen die Lösungen (Nullstellen) zu erhalten, brauchen wir ein Näherungsverfahren.

• Halbierungsverfahren (Bisektion)

• Regula Falsi Eine weitere mögliche Methode entwickelte Isaac Newton, dass Newtonsche Näherungsverfahren.

Der Grundgedanke dabei ist, dass der Schnittpunkt einer Kurventangente mit der x-Achse eines beliebigen Startpunktes der gesuchten Nullstelle einen genaueren Näherungswert liefert als der Startwert.

Wiederholt man unter Anwendung einer bestimmten Rechenvorschrift diesen Vorgang, so erhält man unter bestimmten Voraussetzungen einen Wert der gegen die gesuchte Lösung konvergiert.

Ist x 0 ein geeigneter Startwert für die Nullstellenberechnung der Funktion y = f(x), so ersetzt P man den Funktionsgraph y = f(x) durch die im Kurvenpunkt mit der Funktionsgleichung.

2. Beschreibung des Newton Verfahrens

x erhält man den neuen (genaueren) Schnittpunkt mit Durch auflösen der Gleichung nach 1

der X-Achse.

y ⇒

Den so neu ermittelten Schnittpunkt mit der X-Achse betrachten wir nun als neuen Startwert

P für die Berechnung der Nullstelle der Kurventangente im Punkt

x wird nun die 2. Näherung für die gesuchte Nullstelle ermittelt. Startwert 1

( )

x als neuer Startwert betrachtet und das oben beschriebene Verfahren solange Nun wird 2

x erreicht ist. Die allgemeine

wiederholt, bis nach n-Schritten die n-te Näherung n

Iterationsvorschrift für diesen Vorgang lautet

( )

3. Hinweise auf das Newton Verfahren

Um beim Newton Verfahren möglichst schnell zum Erfolg zu kommen, müssen bestimmte

Voraussetzungen erfüllt sein.

• Die Funktion y = f(x) muss in dem Intervall der gesuchten Nullstelle, stetig und

mindestens zweimal differenzierbar sein.

( ) 0

• Die erste Ableitung f

• Desto näher der erste Startwert an der gesuchten Nullstelle liegt, desto schneller führt

in der Regel das Newtonsche Tangentenverfahren zum Erfolg. Geeignete Startwerte

können durch verschiedene Methoden ermittelt werden.

• In dem man den Funktionsgraphen zeichnet und daraus die ungefähre Position der

Nullstelle ermittelt.

• Eine Funktion f(x) hat nach dem Nullstellensatz mindestens eine Nullstelle in dem

( ) 0 ( ) 0 Intervall [A;B], wenn f

oder

• Dagegen als völlig ungeeignet sind Startwerte, in deren Umgebung Wendestellen oder

Extremstellen vorhanden sind. Da die Kurventangente in Ihrer Nähe nahezu parallel

zur x-Achse verläuft. Durch die nur wenig von Null verschiedene Steigung, ist der

Schnittpunkt mit der x-Achse in weiter Entfernung zum Startwert zu erwarten. Es

kann zu einem Versagen des Newton Verfahrens kommen.

x x x x ...... , , x-Wert gelten, so dass mit Sicherheit gewährleistet ist, dass sich die

Näherungswerte der gesuchten Nullstelle annähern.

Beispiel

( )

f(x) =

Der Startwert sollte so nah wie möglich an der gesuchten Nullstelle liegen, um ein Versagen des Verfahrens zu verhindern.

Startwert x 0 = -0,5

Die Konvergenzbedingung ist mit

Der Startwert wird nun in die Iterationsvorschrift

Nach 6 Iterationsschritten steht das Ergebnis fest.

x = 0,45339765

Beispiel

[ ]

f(x) = cosx + 2sinx f `(x) = 2cos x – sin x x

Wie aus dem Graphen ersichtlich liegt die gesuchte Nullstelle ca. bei x = 2,5

( )

Der Start wert wird nun in die Iterationsvorschrift

( ) ( )

− = 5 , 2 x

1

( ) ( )

= 2,67984732 x

2

= 67794504 , 2 x

3

Die gesuchte Nullstelle ist bereits nach der dritten Näherung bis auf die achte Stelle hinterm

Komma genau.

Schlechtes Beispiel

− ³ f(x) = 12 4 x

Nullstelle x = 0,37003948

Überprüfung mit der Konvergenzbedingung

x = 0,5 in die Formel der Konvergenzbedingung ein, so Setzt man dagegen den Startwert 0

erhält man

f(0,5) = 0,5 f´(0,5) = 3

x = 0,5 erfüllt. Startwert ist geeignet. Konvergenzbedingung ist für 0

Beispiel

Die Funktion f(x)=x³-2x-5 soll mit Hilfe des Newton Verfahren gelöst werden.

Suche nach geeignetem Startwert.

Durch den Nullstellensatz wissen wir dass im Intervall [2; 3] eine Nullstelle liegen muss.

0 = x Ersten Startwert

Die Konvergenzbedingung ist mit

− = x x

− 1 n n

Bereits nach dem vierten Iterationsschritt steht die Nullstelle bis auf die achte Stelle hinter

dem Komma fest. Würde der erste Startwert x=10 lauten bräuchte man 8 Iterationsschritte um

auf die gleiche Genauigkeit zu kommen.

Um auch ohne Zeichnung festzustellen, ob noch andere Nullstellen vorhanden sind, trennen

wir x - 2,09455148 mit Hilfe der Polynomdivision ab.

( ) ( )

Die neue Funktion lautet x² + 2,09455148x + 2,3871459 Keine weitere Nullstelle vorhanden, da diese Funktion nie null werden kann.

Das Newtonsche Tangentenverfahren

Beim Newtonschen Tangentenverfahren geht man von der Überlegung aus, dass die im Kurvenpunkt P 0 (y 0 /x 0 ) errichtete Kurventangente, einen Schnittpunkt mit der x-Achse besitzt, der im allgemeinen eine bessere Näherung für die gesuchte Nullstelle hat als der Startwert.

Durch Umstellung der Tangentengleichung nach x erhält man den Schnittpunkt mit der x-Achse

( )

Die errechneten Näherungswerte werden dann als Startwerte verwendet, bis das Verfahren nach n-Schritten zur n-ten Näherung x n führt.

( )

Iterationsvorschrift von Newton

Hinweise auf das Newton Verfahren

• Die hinreichende Konvergenzbedingung muss für den Startwert und jeden weiteren

x x x x ...... , , x-Wert

Näherungswerte der gesuchten Nullstelle annähern.

• Die Funktion y = f(x) muss in dem Intervall der gesuchten Nullstelle, stetig und

mindestens zweimal differenzierbar sein.

( ) 0

• Die erste Ableitung f

• Das Newtonsche Tangentenverfahren führt in der Regel umso schneller zum Erfolg,

je genauer die Startwerte sind. Geeignete Startwerte können durch den Nullstellensatz

( ) 0 ( ) 0

oder durch Zeichnen des Funktionsgraphen ermittelt werden.

• Dagegen ungeeignet, sind Startwerte in deren Umgebung Wendestellen oder

Extremstellen vorhanden sind.

6. Literaturverzeichnis

Verwendete Fachbücher

• „Einführung in die Höhere Mathematik“ von Karl Strubecker Oldenbourg Verlag

• „Mathematik 12 Analysis“ von H. Schneider und G. Stein Winklers Verlag

• „Mathematik für Ingenieure“ von Lothar Papula Vieweg Verlag

• „Mathematisch Formeln und Definitionen“ Bayerischer Schulbuch-Verlag

Verwendete Internetseiten

• http://www.hausarbeiten.de/rd/faecher/hausarbeit/mat/4058.html

• http://sites.inka.de/picasso/Dueser/page.htm

• http://www.mbfosbos.odn.de/fachbereiche/mathe/daten/referate/ref_newton.pdf