Mathematik GFS: Lineare Gleichungssysteme

1. Was sind lineare Gleichungssysteme?

Zunächst zur Wiederholung die Definition einer linearen bzw. nicht-linearen Gleichung.

a ∈

Eine Gleichung in der Variablen x mit den Parametern

a

heisst lineare Gleichung.

a ∈

Eine Gleichung in der Variablen x mit den Parametern

a n = ⋅

b x

mit n>1

heist nicht-lineare Gleichung

Definition:

Form:

= ⋅ + + ⋅ + ⋅

... b x a x a x a

1 1 2 12 1 11 n n

= ⋅ + + ⋅ + ⋅

... b x a x a x a

2 2 22 1 21 n n

…

= ⋅ + + ⋅ + ⋅

x a x a x a ...

n mn m m 2 2 1 1

b Elemente eines Körpers K. Man nennt ein solches Gleichungssys-

a und i

Dabei sind die Elemente ij

= = =

0 ... b b

tem homogen, falls ist und sonst inhomogen.

1 m

Lineares Gleichungssystem wird in der folgenden Arbeit mit LGS abgekürzt.

LGS haben viele wichtige Anwendungen:

Beispiel:

Aus der Geometrie

1. Es seien zwei Geraden g, h durch

− = − =

2 2 2 x x g x

( )

1

=

2 x h x

( )

gegeben. Um den Schnittpunkt der beiden Geraden zu finden, benötigen wir einen Punkt (x, y), der sowohl auf g als auch auf h liegt. Das bedeutet, dieser Punkte ist die Lösung des folgenden LGS:

− = − y

x

2 x

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2. Ein Dreieck mit drei Innenwinkeln a,ß,? sei gegeben, dabei ist a doppelt so groß wie ß und ß

um 20° größer als ?.

= + +

Aus den Denksportaufgaben:

1. Bestimme alle dreistelligen Zahlen mit folgenden Eigenschaften:

Die Quersumme ist 7 und die zweite Ziffer ist doppelt so groß wie die letzte.

= + +

2. Ein Vater und seine beiden Söhne sind zusammen 100 Jahre alt, der Vater ist doppelt so alt

wie sein ältester Sohn und 30 Jahre älter als sein jüngster.

= + +

2. Das Gauss-Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen

Theorie:

Körperelementen derart, dass gilt:

= ⋅ + + ⋅ + ⋅

... b k a k a k a

1 1 2 12 1 11 n n

= ⋅ + + ⋅ + ⋅

... b k a k a k a

2 2 22 1 21 n n

…

= ⋅ + + ⋅ + ⋅

k a k a k a ...

n mn m m 2 2 1 1

In der Praxis erkennt man, dass es sehr übersichtliche und damit leicht lösbare LGS gibt. Zum Bei-

spiel:

x + y + z = 6 oder 3x 1 + 4x 2 + 6x 3 = 5

- 4y – 8z = -28

- 5z = -15

So ein LGS ist in Stufenform, denn bei jeder Gleichung kommt mindestens eine ihrer Variablen in der

folgenden Gleichung nicht mehr vor. Um die Lösung zu bestimmen, löst man die letzte Gleichung,

setzt jeweils alle schon bestimmten Werte in die „nächsthöhere“ Gleichung ein, und löst nach der

nächsten Variablen auf.

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Der Der Mathematiker Gauss (1777 – 1855) macht sich diese Stufenform zu Nutze und sagt:

Was sind Äquivalenzumformungen?

(1) Vertauschen zweier Gleichungen (2) Multiplikation eine Gleichung mit einer Zahl ? 0 (3) Addition eines beliebigen skalaren Vielfachen einer Gleichung zu einer anderen (!) Gleichung

2.1 Verändern Äquivalenzumformungen den Lösungsraum?

Verändert sich der Lösungsraum bei elementaren Umformungen oder handelt es sich nur um eine „Schönheitsreparatur“?

Typ 1: Vertauschen zweier Zeilen

Typ 2: Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl ≠ 0

Typ 3: Addition eines beliebigen skalaren Vielfachen einer Zeile zu einer anderen (!) Zeile.

Beweis von Typ 1:

Vertauschung von Zeilen ändert die Lösungsmenge nicht, denn diese hängt nicht davon ab, in wel- cher Reihenfolge wir die zu lösenden Gleichungen hinschreiben.

Beweis von Typ 2:

Wenn man eine Zeile mit einer Zahl k multipliziert, ändert sich die Lösung nicht, denn man multipliziert ja auch das Ergebnis mit k.

Beweis von Typ 3:

Wenn man zu einer Zeile das Vielfache einer anderen addiert, ändert sich die Lösung nicht, denn man addiert auch das Vielfache zum Ergebnis.

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2.2 Matrizen und Diagonalform

Matrizen:

Eine vereinfachte Darstellungsform LGS ist die Darstellung in Matrizen. Hier schreibt man nicht:

= ⋅ + + ⋅ + ⋅

... b x a x a x a

1 1 2 12 1 11 n n

= ⋅ + + ⋅ + ⋅

... b x a x a x a

2 2 22 1 21 n n

…

= ⋅ + + ⋅ + ⋅

x a x a x a ...

n mn m m 2 2 1 1

sondern man notiert nur die Koeffizienten der Gleichung und die Zahl der rechten Seite (die Vorzei- chen der Koeffizienten werden mit übernommen):



a a a ...



n 1 12 11



a a a ...

2 22 21



...





a a a ...



mn m m 2 1

Diagonalform:

Die Diagonalform ist die idealisierte Form von Matrizen, da eine Matrix in der Diagonalform außerhalb ihrer Diagonalen nur Nullen enthält.

 

0 0 0 k

 

1

0 0 0 k

 

2

Diese Form ist die Idealform, weil man aus ihr die Ergebnisse ganz einfach ab-

 

0 0 0 k

 

3

 

0 0 0 k

 

4 lesen kann, außerdem lassen sich Matrizen dieser Form sehr einfach multiplizieren, auch wenn das hier keine Rolle spielt.

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2.3 Funktionsweise

Nun dazu, wie das Gauss’sche Verfahren funktioniert:

Ich werde dies am besten anhand eines Beispieles erklären:

Gegeben seien die Gleichungen:

= + +

x

= + +

13 3 2 x x x

= + + −

11 2 3 z y x

Gesucht sind die Lösungen:

Ι



1 1



ΙΙ



2 1



ΙΙΙ

−

3 1 



1 1



− − 

2 1



−

3 1 



1 1 1



− − 

2 1 0



3 4 0 



1 1 1



− − 

4 0



3 4 0 



1 1 1



− − 

4 0



−

0 0 

Nun errechnet man aus der dritten Zeile x 3 = 3.

Einsetzen in Zeile zwei ergibt: -4x 2 – 24 = -28 à x 2 =1

Einsetzen in Zeile eins ergibt: x 1 + 1 + 3 = 6 à x 1 =2

à Lösung ist der Tupel ( 2, 1, 3)

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Nun noch die theoretische Abhandlung:

b ∈

n

K

Gegeben sie die n x n Matrix A über dem Körper, sei .

Das Gleichungssystem heißt also: Ax = b. Bis zur Lösung benötigen wir n Schritte:

1. Schritt: Man beginnt mit der Matrix A | b. Durch Zeilenvertauschung erreicht man, dass in

der ersten Zeile in der ersten Spalte ein von 0 verschiedenes Element steht. Danach

addiert man ein geeignetes Vielfaches der ersten Zeile zu jeder anderen Zeile und

erreicht damit, dass alle Elemente in der erste Spalte, die unterhalb des ersten Ele-

mentes liegen, Null sind.

2. Schritt: Es wird die erste Zeile wird nicht mehr betrachtet.

Eventuell ist eine Zeilenvertauschung notwendig, dass in der zweiten Zeile in der

zweite Spalte ein günstiges, von Null verschiedenes Element steht. Danach addiert

man ein geeignetes Vielfaches der zweiten Zeile zu den darunter liegenden Zeilen.

Damit erreicht man, dass alle Elemente der zweiten Spalte, die unterhalb des Ele-

mentes liegen, Null sind.

k-ter Schritt: Alle Zeilen

k

Spalte ein günstiges, von Null verschiedenes Element steht. Danach addiert man

ein geeignetes Vielfaches der k-ten Zeile zu den darunter liegenden Zeilen. Damit

erreicht man, dass alle Elemente der k-ten Spalte unterhalb des Elementes, Null

sind.

n-ter Schritt: m Im n-ten Schritt hat die Matrix die Stufenform.

Durch analoge Äquivalenzumformungen kann man eine Matrix in Stufenform in eine Diagonalmatrix

umformen. Die Lösungen sind dann direkt ablesbar.

Ich zeige dies anhand des obigen Beispiels:



1 1 1



− −



4 0



−

0 0



Hier kann man das Ergebnis nun einfach ablesen. (2, 1, 3)

3. Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen

3.1 homogene LGS

Die Lösungen eines homogenen LGS bilden einen Vektorraum.

Grund: gegeben sei die Gleichung:

 

 

Die Menge dieser Paare bilden einen R-Vektorraum:

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Die Gesetze:

Assoziativität, Existenz des Nullvektors, Existenz negativer Vektoren, Kommutativität, Verknüpfung

von Skalaren und Vektoren sind erfüllt.

à ein homogenes LGS besitzt also immer mindestens eine Lösung, nämlich den Nullvektor

(x 1 =x 2 =…=x n =0). Das ist die triviale Lösung.

3.2 Kriterium für die Lösbarkeit eines LGS

A ist die zum LGS gehörige Matrix und die Matrix A | b entsteht dadurch aus A, dass als letzte Spalte

noch b angehängt wird.

Genau dann ist das LGS Ax=b lösbar, wenn der Rang (A) = Rang (A | b) ist.

Definition:

Der Rang einer Matrix M ist die Maximalzahl linear unabhängiger Zeilen von M.

Vektoren sind linear unabhängig, wenn keiner ein skalares Vielfaches des/der anderen ist.

Der Rang einer Matrix kann aus der umgeformten Stufenform abgelesen werden.

Beispiele zur Bestimmung des Rangs einer Matrix:

 

3 0 2

 

6 1 0

 

Die Matrix hat den Rang 3, da keine Zeile ein Linearkombination einer anderen ist.

 

−

17 4 8

 

 

2 0 2

 

1 1 0

 

Die Matrix hat den Rang 2, da die dritte Zeile eine Linearkombination ist

 

−

4 4 8

 

( ) ( ) ( ) ( )

− = ⋅ − ⋅

 

2 2 2

 

0 0 0

 

Die Matrix hat den Rang 1.

 

8 8 8

 

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3.3.1 Eindeutige Lösung eines LGS

− ×

n

Wenn A ein vom Rang n ist, hat das LGS Ax = b genau eine Lösung.

Beispiele:

Gegeben seien folgende Gleichungen:

x

1

x

1

x

1



1





0



0



Die Matrix A ist eine

Sie hat den Rang drei, da keine Zeile durch Linearkombination einer anderen darstellbar ist.

Also gilt nach obigem Satz, dass das LGS genau eine Lösung hat-

Auch das Kriterium der Lösbarkeit ist erfüllt, da Matrix (A | b) ebenfalls den Rang 3 hat.

Die eindeutige Lösung ist abzulesen: (1, 0, 1)

3.3.2 keine eindeutige Lösung eines LGS

Für ein beliebiges LGS mit m Gleichungen und n Unbekannten:

Führt man das Gauss’sche Verfahren durch wie wenn nichts Besonderes wäre, also solange bis es nicht mehr weitergeht. Das Verfahren stoppt, wenn wir bei einer Matrix folgender Gestalt angelangt sind:

Wenn ein Element b k+1 , … ,b m ? 0 ist, ist das LGS nicht lösbar Wenn b k+1 = … = b m = 0 ist, ist das LGS lösbar und hat unendlich viele Lösungen.

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Beispiel 1 für m ? n (m=4; n=3) ohne Lösung :

x

1

x

2

x

1

x

1

Wie man sieht, ist b k+1 = b 4 ? 0 und daher ist das LGS nach obigem Kriterium nicht lösbar. Betrachtet man die Aussagen der letzten beiden Zeilen, ist die Unlösbarkeit leicht einsehbar: -x 3 = 5 und x 3 = 6. Da es keine Zahl gibt, die diese Bedingungen erfüllt, ist die Lösungsmenge des LGS leer.

Wendet man das Kriterium für die Lösbarkeit eines LGS an, sieht man, dass: Rang (A) = 3 und Rang (A | b) = 4. (in Matrix A ist die vierte Zeile eine Linearkombination der dritten). Also haben die Matrizen unterschiedliche Ränge und damit ist das LGS nicht lösbar.

Beispiel 2 für m ? n (m=4; n=3) mit einer Lösung:

Wendet man das Kriterium der Lösbarkeit an, gilt Rang (A) = Rang (A | b) = 3 à lösbar. Das Kriterium der eindeutigen Lösbarkeit eines LGS ist ebenso erfüllt: bei n = 3 Unbekannten ist A eine 3x3 Matrix mit Rang 3 à eindeutige Lösung. Lösung = (3, 5, 7)

Beispiel 2 für m ? n (m=2; n=3) mit unendlich vielen Lösungen:

Das Kriterium der Lösbarkeit ist auch erfüllt Rang (A) = Rang (A | b) = 2.

Das Kriterium für unendlich viele Lösungen ist erfüllt: b m = b 2 = 0

Die Lösung lautet:

{ }

∈ − =

L

x 2 = 3 - 2t und x 1 = t à

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4. Lösen von lineare Gleichungssysteme mit Hilfe von Maple

Nun das Lösen von linearen Gleichungssystemen mit Hilfe von Maple.

Mein hier beschriebener Weg ist nur einer von vielen und funktioniert nachweislich mit Maple 8.

Beispiel:

= − +

5 3 6 2 x x x

3 2 1

= − +

23 4 6 x x x

3 2 1

Zuerst gibt man die Gleichungen ein, dies geschieht direkt in der Matrixform:

> A:=matrix( [[3,-3,1],[2,6,-3],[6,4,-1]]);

3 -3 1

 

dann gibt man die Gleichungsergebnisse als Vektor ein:

> b:=vector ([15,3,23]);

:= b [ ] , , 15 3 23

nun setzen wir beides in eine Matrix:

> A_b:=augment(A,b);

3 -3 1 15

 

nun haben wir zwei Möglichkeiten:

1. direkt auf die Lösung zu kommen:

> linsolve(A,b);

81 -7 21

 

2. wir bringen die Matrix erst in die Stufenform und lösen sie dann:

> gauss:=gausselim(A_b);

3 -3 1 15

 

:= gauss

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ein paar weitere nützliche Befehle:

um es als lineares Gleichunssystem darzustellen, brauchen wir folgenden Befehl:

> x:=array (1..3): ls:=evalm (A &* x): for i to 3 do ls[i] = b

[i] od;

= − +

3 x 1 3 x 2 x 3 15

wir können auch direkt aus ihr die Lösung bekommen:

> for i to 3 do x[i]:= evalf (linsolve (A,b) [i], 4);od;

:= x 1 4.316

5. Quellenangabe

- Manfred Baum, Detlef Lind, Hartmunt Schermuly, Ingo Weidig, Peter Zimmermann in: LS Ana-

lytishce Geometrie mit linearer Algebra, Ernst klett Verlag 1998

- Blumberg, Sven 03/2001 in: Lineare Gleichungssysteme – Einführung – http://home.t-

online.de/home/raddy/LGS.pdf

- Beutelspacher Albert 1994 in: Lineare Algebra, Eine einführung in die Wissenschaft der Vek-

toren, Abbildungen und Matrizen, Vieweg Verlag

- StD Endres, Eberhard in: Unterrichtsversuche Computeralgebrasysteme im Mathematikun-

terricht (CASiMU), http://www.lehrer.uni-karlsruhe.de/~za242/CAS/henke/

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