Inhaltsverzeichnis

Vorwort   4

1.  Allgemein  5

1.1.  Erweiterung des Zahlenbegriffes  5

1.2.  Definition komplexer Zahlen  6

1.2.1.  Die imaginäre Einheit  6

1.2.2.  Erste einfache Anwendungsbeispiele  7

1.3.  Darstellung komplexer Zahlen  7

1.3.1.  Die Gaußsche Zahlenebene  7

1.3.2.  Algebraische Form  8

1.3.3.  Trigonometrische Form  8

1.3.4.  Exponentialform  9

1.4.  Die vier Grundrechenarten in C  10

1.4.1.  Addition und Subtraktion  10

1.4.2.  Multiplikation und Division  11

1.5.  Potenzieren und Radizieren  13

1.5.1.  Potenzieren  14

1.5.2.  Radizieren  15

2.  Komplexe Zahlen in der Elektrotechnik  16

2.1.  Grundbegriffe des Wechselstroms  16

2.1.1.  Sinusförmige Wechselgrößen als komplexe Zeiger  16

2.1.2.  Komplexe Widerstandsoperatoren  17

2.2.  Anwendung bei einer experimentellen Wechselstromschaltung  19

2.2.1.  Berechnung des Gesamtwiderstandes  19

2.2.2.  Graphische Darstellung  20

3.  Differentialgleichungen  22

3.1.  Exkurs über Differentialgleichungen  22

3.2.  Lösung einer Beispielaufgabe  23

3.2.1.  Ermittlung der homogenen Lösung  23

3.2.2.  Ermittlung der partikulären Lösung  25

3.2.3.  Ermittlung der vollständigen allgemeinen Lösung  26

3.2.4.  Graphische Darstellung  27

4.  Schluss  28

A.  Anhang  29

A.1.  zu 2.2.2 : Kurvendiskussion mit dem Computeralgebra-System Maple  29

A.1.1.  Untersuchung auf Symmetrie und Bestimmung der Definitions-  

menge   29

A.1.2.  Untersuchung auf Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte  30

A.1.3.  Stetigkeit und Grenzwerte  31

A.2.  Das Satzsystem L A T E X  33

A.2.1.  Kurzbeschreibung von L A T E X  33

A.2.2.  L A T E X contra Textverarbeitungsprogramm  33

A.2.3.  Über dieses Dokument  33

A.2.4.  Quelltext dieser Seminararbeit  33

B  Erklärung  37

Vorwort

Als Seminararbeit - erste Vorbereitung auf ein angestrebtes Hochschulstudium - war für mich die Wahl eines technischen oder naturwissenschaftlichen Themas geboten. Folglich galt es mich der Mathematik zu stellen, einer Wissenschaft, der ich bisher stets sehr skeptisch gegenüberstand. Zuvor völlig unbedarft - ahnungslos ist wohl der passendere Ausdruck - bedeutete für mich die Auseinandersetzung mit den komplexen Zahlen eine Herausforderung, welche, rückwirkend betrachtet, zugleich spannend sowie für das eigene Wissen lohnend geblieben ist.

Als Erweiterung des reellen Zahlenraumes sind komplexe Zahlen insbesondere bei technischen und physikalischen Berechnungen mal eine nützliche Erleichterung, mal ein unverzichtbares Hilfsmittel.

Die für den zielgerichteten Einsatz komplexer Zahlen erforderlichen Grundlagen werden von mir im allgemeinen Teil behandelt und mit Beispielen und Zeichnungen veranschaulicht. Um dem Leser die Zusammenhänge leichter zu erschließen, habe ich bei der Auswahl und Zusammenstellung besonderen Wert auf eine möglichst einheitliche Form der Darstellung gelegt. Unter Berücksichtigung des begrenzten Rahmens dieser Seminararbeit werden einzelne Details nur dort vertieft, wo sie für das Verständnis des aktuellen bzw. eines folgenden Abschnittes erforderlich sind.

Die Anwendung komplexer Zahlen wird im Weiteren durch konkrete Beispiele aus der Elektrotechnik und bei der Lösung einer Differentialgleichung vorgeführt. Die Anwendungsbeispiele waren mir für diese Seminararbeit vorgegeben. Auf den technischen bzw. physikalischen Hintergrund kann leider nur begrenzt eingegangen werden. Dem vorliegenden Thema entsprechend steht der exemplarische Einsatz der komplexen Zahlen im Vordergrund.

Mit Blick auf eine professionelle Darstellung von Berechnungen und Graphiken sollte diese Seminararbeit mit all ihren Bestandteilen vollständig in dem Satzsystem L ^A T E X gesetzt werden. Zum Ergebnis hat diese Vorgabe nun dieses Dokument, welches gleichzeitig die umfangreichen Möglichkeiten von L ^A T E X demonstriert. Das Erlernen dieses Satzsystems und das Setzen dieser Arbeit bildeten den zweiten Gegenstand meiner Seminararbeit. Eine kurze Beschreibung von L ^A T E X und der Quelltext befinden sich im Anhang.

4

1. Allgemein

1.1. Erweiterung des Zahlenbegriffes

Die Menge der natürlichen Zahlen N = {0, 1, 2, . . .} sieht für seine Elemente uneingeschränkt nur die Addition und Multiplikation vor. Eine Subtraktion a − b scheitert bereits, wenn gilt a < b . In einer ersten Zahlenerweiterung Z = {. . . − 1, 0, 1, 2, . . .} wird auch die Subtraktion für den Fall a < b möglich. Die Division ist aber auch hier nicht durchführbar, solange b nicht ein Teiler von a ist. Erst die Menge der rationalen Zahlen Q = { ^a | a ∈ Z ∧ b ∈ Z, b = 0} gestattet mit der Zulassung von endlichen

b

und unendlichen periodischen Dezimalbrüchen alle Rechenoperationen der ersten und zweiten Stufe (diese sind Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division). Unbeschränktes Potenzieren und das Wurzelziehen aus sämtlichen positiven Radikanden kann jedoch erst in der Menge der reellen Zahlen R erfolgen, da auch nichtperiodi- √

sche Dezimalbrüche (z.B. 2) möglich sind. Weiterhin unlösbar bleibt die Gleichung

x ² + 1 = 0, da sowohl −1 als auch +1 quadriert positiv sind. Erst innerhalb der komplexen Zahlen C fällt auch diese Einschränkung weg, wodurch nun jede quadratische Gleichung gelöst werden kann.

Die verschiedenen Zahlenbereiche stehen in folgender Beziehung zueinander:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

(Die Mengensymbole basieren auf einem von Bourbaki ¹ angeregten Standard.)

[Duden] Stichwort „Bourbaki“, Bourbaki Nicolas ist ein Pseudonym für eine Gruppe von führenden 1

Mathematikern, die seit 1938 u.a. Vorschläge zu standardisierten Darstellungsweisen in allen

Teilgebieten der Mathematik entwickeln.

5

1.2. Definition komplexer Zahlen

Die Menge der komplexen Zahlen ist definiert als

√

C = {z = a + bi | a, b ∈ R, i = −1}

Als konjugiert komplexe Zahl bezeichnet man die Form ¯ z = a − bi, dabei wird die

komplexe Zahl mit entgegengesetzt gleichem Imaginärteil angegeben. Komplexe Zahlen setzen sich aus den beiden reellen Zahlen a und b sowie einer imaginären Einheit i zusammen. Somit besteht jede komplexe Zahl aus dem Realteil (z) = a und dem Imaginärteil (z) = b. Komplexe Zahlen mit Imaginärteil gleich 0 (also b = 0) sind die reellen Zahlen, wesegen in der Menge der komplexen Zahlen C auch alle reellen Zahlen R enthalten sind. Ist der reelle Teil a gleich 0, handelt es sich um eine rein imaginäre Zahl.

1.2.1. Die imaginäre Einheit

Die imaginäre Einheit ² i ist festgelegt mit

√

daraus folgt i ² = −1 i = −1

Für das Potenzieren von i gilt allgmein: 3

i ⁴ⁿ = 1 i ⁴ⁿ⁺¹ = i i ⁴ⁿ⁺² = −1 i ⁴ⁿ⁺³ = −i (n = 1, 2, 3, 4, 5 . . .)

somit sind z.B.

i ¹ = i i ³ = i ² i = −i i ⁵ = i ⁴ i = i i ⁷ = i ⁴ i = i i ² = −1 i ⁴ = i ² i ² = 1 i ⁶ = i ⁴ i ² = −1 i ⁸ = i ⁵ i ³ = 1 . . .

Erst durch die Verwendung von i ist das Rechnen mit Wurzeln aus negativen Radi-kanden möglich, wie folgendes Beispiel zeigt (a, b ∈ R): √ √ √

ohne Verwendung von i : falsch! −a · −b = (−a)(−b) = ab

√ √ √

mit Verwendung von i : −a · −b = (−1)a · (−1)b = i a · i b

= i 2 √ √

ab richtig! ab = (−1) ab = −

In der Mathematik wird für die imaginäre Einheit der Buchstabe i verwendet, in der Technik - insbesondere der Elektrotechnik - nimmt man den Buchstaben j, um Verwechslungen mit der Stromstärke i zu vermeiden. Da auf den folgenden Seiten auch Beispiele aus der Elektrotechnik vorkommen werden, soll die imaginäre Einheit i von nun an stets mit j bezeichnet sein.

Eingeführt von dem schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707-1783) 2

[Dittm] (2.3) Aufg. 1c, S.25 3

6

1.2.2. Erste einfache Anwendungsbeispiele

Wie bereits erwähnt sind mit Hilfe der reellen Zahlen nicht alle Gleichungen lösbar. Zur Veranschaulichung seien hierzu zwei Beispiele gegeben:

In beiden Fällen tritt ein negativer Radikand auf, womit die Gleichungen keine reellen Lösungen haben (x ^{1 /} 2 ∈ R)!

x ^{1 /} 2 = ± j ∈ C

Wird nun zur Kontrolle beispielsweise x 2 in die Ausgangsgleichung eingesetzt, folgt

(−j) ² + 1 = 0

−1 + 1 = 0

Es wird deutlich, dass mit Hilfe der komlexen Zahlen auch solche Gleichungen gelöst werden können, für die es im reellen Zahlenraum keine Lösung gibt.

1.3. Darstellung komplexer Zahlen

1.3.1. Die Gaußsche Zahlenebene

Alle reellen Zahlen lassen sich als Punkte auf einer reellen Zahlengerade (Abb. 1.1) darstellen. Zur Veranschaulichung von komplexen Zahlen ist sie jedoch nicht geeignet,

√

da sich auf ihr z.B. kein Punkt für −1 = j bestimmen lässt.

Abb. 1.1 ^{-1 0 1 2} e ³ π 4 5 6 7

7

Abhilfe schafft hier die Einführung einer imaginären Zahlengerade für j und ihre reellen Vielfachen (b · j). Vertikal durch den Punkt 0 angeordnet, wird mit dieser imaginären Achse die Darstellung zur sogenannten Gaußschen Zahlenebene ⁴ erweitert. Sie besteht aus einem kartesischen Koordinatensystem der Ebene mit der reellen Abszissenachse (z) und der imaginären Ordinatenachse (z). Auf der reellen Achse wird der Realteil a von z und auf der imaginären Achse der Imaginärteil b von z abgetragen (Abb. 1.2). Durch

Spiegelung von z = a + bj an der reellen Achse erhält man die konjugiert komplexe Zahl ¯ z = a − bj.

1.3.2. Algebraische Form

Die Darstellung einer komplexen Zahl als Summe aus Real- und Imaginärteil

wird als algebraische Form oder auch als arithmeti-

sche Form bezeichnet. Sie stellt die Normalform einer komplexen Zahl dar ⁵ . Die Veranschaulichung in der Gaußschen Zahlenebene erfolgt durch einen Punkt P z , der durch die kartesischen Koordinaten (a|b) aus Real- und Imaginärteil dargestellt wird (Abb. 1.3).

1.3.3. Trigonometrische Form

Die trigonometrische (oder auch goniometrische) Form einer komplexen Zahl lautet

(1.2) z = r(cos ϕ + j sin ϕ) .

Die Position in der Gaußschen Zahlenebene wird hier durch einen Zeiger ausgehend vom Punkt 0 beschrieben. Mit Angabe der Länge des Zeigers r und seiner Richtung ϕ (auch Argument, Winkel oder Phase von z genannt -> Schreibweise: ϕ = arg z ⁶ ) kann jede komplexe Zahl eindeutig bestimmt werden.

Benannt nach dem deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauß (1777-1855) 4

vgl. [Kreul] S. 16ff 5

[Duden] Stichwort „Argument„ 6

8

z = a + bj

von der Normalform in die trigonometrische Form umgewandelt werden (das kann im praktischen Umgang erforderlich sein), erhält man die Länge r über den Zusammenhang

r ² = a ² + b ² Satz des Pythagoras, siehe Abb. 1.5

√

Betrag von z, weil die Zeigerlänge auch bei a ² + b ² = |z| r =

Ist eine Rückumwandlung von der trigonometrischen Form in die algebraische Form notwendig, gelten die Formeln

a = r cos ϕ b = r sin ϕ .

Auf obiges Zahlenbeispiel angewendet, folgt

somit z = 4 + 3j .

1.3.4. Exponentialform

Die Exponentialform der komplexen Zahl

z = re ^jϕ (1.3)

In „arcus ϕ“ wird das Bogenmaß des Winkels ϕ angegeben. Einem Bogenmaß von z.B. π entspricht 7

ein Winkel von 180 ^◦ .

9

ergibt sich aus der trigonometrischen Form und der Anwendung der eulerschen Formel

e ^jϕ = cos ϕ + j sin ϕ | · r

⇔ re ^jϕ = r(cos ϕ + j sin ϕ) = z .

Die zugrunde liegende reelle Exponentialfunktion ⁸ e ^z ist definiert durch die Taylor-Reihe 9

e ^z = 1 +

Komplexifiziert wird sie, indem man z rein imaginär wählt, womit folgt z = jϕ und

e ^jϕ = 1 + j

Wegen der absoluten Konvergenz kann umgeformt werden zu

e ^jϕ = (1 −

wobei die reelle Reihe die Cosinus-Reihe und die imaginäre die Sinusreihe ist ¹⁰ . Über diesen Zusammenhang kann von der Exponentialform wieder auf die eulersche Formel e ^jϕ = cos ϕ + j sin ϕ und damit auf die trigonometrische Form geschlossen werden.

Exkurs über die Ableitung der Exponentialfunktion zur Basis e

Die Ableitung der sogenannten e-Funktion exp : x → e ^x (x ∈ R) wird in Kapitel 3 benötigt und soll daher kurz vorgestellt werden.

Es gilt (e ^x ) = e x

1.4. Die vier Grundrechenarten in C

1.4.1. Addition und Subtraktion

1.4.1.1. Addition

Die Addition zweier komplexer Zahlen lautet allgemein

[Duden] Stichwort „Exponentialfunktion“ 8

Potenzreihe, benannt nach B.Taylor (1685-1731) 9

vgl. [Demmi] S. 48ff 10

10

Wie im Reellen gilt auch hier das Kommutativ- und das Assoziativgesetz:

z 1 + z 2 = z 2 + z 1

(z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 )

Beispiel (Abb. 1.6): Ermittlung der Summe von

1.4.1.2. Subtraktion

Die Subtraktion zweier komplexer Zahlen kann als Addition einer komplexen Zahl mit einer anderen, negative komplexe Zahl ausgedrückt werden:

(1.5) ⇒ z 1 + (−z 2 ) = z 1 − z 2

bar, dass die Addition und Subtraktion komplexer Zahlen in der Ebene der von Vek-toren entspricht.

1.4.2. Multiplikation und Division

1.4.2.1. Multiplikation

Die Multiplikation hat allgemein die Form

Die Multiplikation komplexer Zahlen in algebraischer Form ist jedoch vergleichsweise umständlich und zudem in der Gaußschen Zahlenebene wenig anschaulich. Dagegen besonders vorteilhaft ist die Verwendung der Exponentialform. Mit ihr erhält man allgemein

Mit der eulerschen Formel kann jetzt auch sofort die trigonometrische Form abgelesen werden:

(1.8) r 1 r 2 (cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + j sin(ϕ 1 + ϕ 2 ))

Anschaulich ausgedrückt erfolgt die Multiplikation zweier komplexer Zahlen z 1 und z 2 , indem man r 1 mit r 2 multipliziert, d.h. um den Betrag von z 2 streckt, und ihn um den Winkel ϕ 2 = arg z 2 im mathematischen Sinn weiterdreht (gegen den Uhrzeigersinn).

Beispiel (Abb. 1.8):

Gesucht ist das Produkt von

z 1 = 3 + 2j und z 2 = 1 + 3j

É Normalform:

(3 + 2j) · (1 + 3j) = 3 + 9j + 2j − 6 = −3 + 11j

É trigonometrische Form (Umwandlung s. 1.3.3):

√

É Exponentialform

√

1.4.2.2. Division

Die Division zweier komplexer Zahlen folgt algebraisch der Form

Den Quotienten erhält man durch die Eliminierung der imaginären Einheit j im Nenner. Dazu erweitert man den Bruch um die konjugiert komplexe Zahl ¯ z 2 = a 2 − b 2 j

und wendet die dritte binomische Formel an:

Genau entgegengesetzt zur Multiplikation ist auch die Division komplexer Zahlen in der Exponentialschreibweise:

Somit wird der Quotient zweier komplexer Zahlen ermittelt, indem man die Beträge r 1 durch r 2 dividiert und die Argumente ϕ 1 und ϕ 2 subtrahiert. Die Division der Zahlen z 1 und z 2 aus dem Beispiel von 1.4.2.1 ergibt in der

É Normalform:

=

9 − 7j

=

10

É trigonometrische Form (Umwandlung s. 1.3.3):

√

13(cos 0, 58800 + j sin 0, 58800)

√

10(cos 1, 24904 + j sin 1, 24904) É Exponentialform

√

√

1.5. Potenzieren und Radizieren

Zur Vervollständigung der Rechenoperationen sei noch in aller gebotenen Kürze die dritte Stufe, das Potenzieren und Radizieren von komplexen Zahlen vorgestellt.

13

1.5.1. Potenzieren

Sofern ganzzahlige positive Potenzen gesucht sind, erhält man die n -te Potenz einer komplexen Zahl durch n-maliges Multiplizieren dieser Zahl mit sich selbst. Zur Vereinfachung kann hierzu die für die komplexe Zahl angepasste binomische Formel

(a + bj) ⁿ =

verwendet werden. Zu beachten sind auch hier die Grundlagen für das Potenzieren der imaginären Einheit j (-> 1.2.1).

Als Beispiel soll die 4. Potenz der komplexen Zahl z 1 = 3 + 2j in algebraischer Form angegeben werden. Dazu lassen sich über das Pascalsche Dreieck die Binomialkoeffizienten für die 4. Potenz ermitteln ¹¹ , sie lauten

4 4 4 4 4

= 4 und = 6 = 1 . = 1 = 4

2 3 4 0 1

Daraus folgt

(3 + 2j) ⁴ = 1 · 3 ⁴ + 4 · 3 ³ · 2j + 6 · 3 ² · 2 ² j ² + 4 · 3 · 2 ³ j ³ + 1 · 2 ⁴ j 4

= 81 + 4 · 27 · 2j + 6 · 9 · 4 · (−1) + 4 · 3 · 8 · (−j) + 1 · 16 · 1

= −119 + 120j .

Wie beim Multiplizieren bietet auch hier die Anwendung der exponentiellen Schreibweise Vereinfachungen, zudem fällt die Beschränkung auf nur positive und ganzzahlige Exponenten weg:

z ⁿ = (re ^jϕ ) ⁿ = r ⁿ (e ^jϕ ) ⁿ = r ⁿ (e ^jnϕ ) ⁿ (1.12) (n ∈ R) .

Aus dem Zusammenhang re ^jϕ = r(cos ϕ + j sin ϕ) folgt in trigonometrischer Schreibweise die sogenannte Moivre-Formel 12

z ⁿ = r ⁿ (cos ϕ + j sin ϕ) ⁿ = r ⁿ (cos nϕ + j sin nϕ) (1.13)

Beispiel: Aus dem Beispiel von 1.4.2.2 ist bekannt, dass

√

z 1 = 3 + 2j = 13(cos 0, 58800 + j sin 0, 58800)

√

somit (z 1 ) ⁴ = (( 13) ⁴ (cos 4 · 0, 58800 + j sin 4 · 0, 58800)

= 169(cos 2, 35201 + j sin 2, 35201) = −119 + 120j ¹³ .

¹¹ [Duden] Stichwort „Binomialkoeffizient“

¹² [Duden] Stichwort „Moivre-Formel“, benannt nach Abraham de Moivre (1667-1754)

Für die Berechnung mit dem Taschenrechner muss dieser auf den Radiant-Modus (RAD) für 13

Winkelmaße eingestellt werden

14

1.5.2. Radizieren

Da aus der algebraischen Form z = a+bj eine n-te Wurzel nicht zu ermitteln ist, muss hier im allgemeinen auf die trigonometrische bzw. exponentielle Form zurückgegriffen werden. Hier erlaubt die Moivre-Formel (auch Moivresche Lehrsatz genannt) das Potenzieren mit beliebigen n ∈ R, was auch das Radizieren einschließt, denn

√ √ √ √ √

^{1 1 1 1 1 2 2} , ^{3 3} , ^{4 4} , ^{5 5} , . . . ⁿ z = z z = z z = z z = z z = z ⁿ .

Beispiel: Gemäß dem Beispiel aus 1.4.2.2 ist

√

z = 1 + 3j = 10(cos 1, 24904 + j sin 1, 24904)

Sei die 4. Wurzel gesucht, folgt

√

Wegen der Periodizität der trigonometrischen Funktionen ist z = z 0 nur eine von n Lösungen, in diesem Fall die erste von insgesamt n = 4 Lösungen. Die primitive Periode ¹⁴ für sin x und cos x ist 2π = 360 ^◦ . Unter Berücksichtigung dieser Gesetzmäßigkeiten kann die Moivre Formel erweitert werden auf

√

z k = n

Auf das obige Beispiel angewendet erhält man

Wie Abb. 1.9 zeigt bewirkt die Periodizität, dass der

Ortsvektor von z 0 mit der Länge r 0 ≈ 1, 33352 und

dem Polarwinkel ϕ 0 ≈ 0, 31226 (entspricht ≈ 71, 56 ^◦ ) in jeder weiteren Lösung um ^2π , d.h. um 90 ^◦ weitergedreht wird.

4

[Duden] Stichwort „periodische Funktion“ 14

15

2. Komplexe Zahlen in der

Elektrotechnik

Wer sich für ein Studium der Elektrotechnik entschließt, bekommt es so schnell wie kaum ein anderer mit den komplexen Zahlen zu tun. Grund dafür sind die wesentlichen Vorteile, die komplexe Zahlen insbesondere bei der Rechnung mit Wechselstromgrößen bieten.

Diese Anwendung der komplexen Zahlen soll nun vorgestellt werden, ohne über das Nötigste hinaus auf physikalische und technische Zusammenhänge einzugehen.

2.1. Grundbegriffe des Wechselstroms

2.1.1. Sinusförmige Wechselgrößen als komplexe Zeiger

Wechselgrößen wie ein Wechselstrom oder eine Wechselspannung sind dadurch gekennzeichnet, dass sich ein beliebiger Augenblickswert periodisch wiederholt und der

zeitliche Mittelwert Null ist. Als Frequenz f bezeichnet man die Zahl der gleichartigen Perioden in einer Periodendauer T .

Eine sinusförmige Wechselspannung U kann erzeugt werden, indem eine Leiterschleife mit einer konstanter Winkelgeschwindigkeit ω in einem homogenen Magnetfeld gedreht wird (Abb. 2.1). Bei einer vollen 360 ^◦ -Drehung der Leiterschleife wird eine Wechselspannung induziert, deren zeitlicher Verlauf einer Sinusschwingung entspricht. Die Leiterschleife überstreicht dabei mit der Winkelgeschwindigkeit ω in der Periodendauer T einen Winkel α = 2π (Bogenmaß).

Die zugehörige Liniendarstellung (Abb. 2.2) erweist sich jedoch bei der Anwendung auf Wechselstromkreise als aufwendig. Der Vereinfachung dient hier die Zeigerdarstellung von Sinusgrößen.

Hierzu bedient man sich eines vom Nullpunkt ausgehenden Zeigers, den man gegen den Uhrzeigersinn in einem sogenannten Einheitskreis rotieren lässt.

16

Die Zeigerlänge wird beispielsweise bei der Wechselspannung u mit dem Maximalwert ˆ weggenommen sei, dass in dieser Darstellungsform ˆ als komplexe Größe anzusehen ist, weswegen sie üblicherweise mit einem Unterschrich als solche markiert wird ( ˆ

entspricht der Winkelgeschwindigkeit ω (daher auch

Kreisfrequenz genannt). Ein Augenblickswert wird über den zu einem Zeitpunkt t zurückgelegten Winkel bestimmt (Abb. 2.3).

Wird nun zusätzlich ein

Zeiger für eine Stromstärke i eingefügt, wird aus der Zeigerdarstellung ein Zeigerdiagramm. Wie Abb. 2.4 zeigt, verläuft die Stromstärke i in der Liniendarstellung nicht durch den Ursprung, sondern hat einen negativen Nullphasenwinkel ϕ i . In der Zeigerdarstellung ist der Zeiger für die Stromstärke i um diesen Winkel verschoben, man nennt den Winkel ϕ in diesem Zusammenhang allgemein Phasenverschiebungswinkel.

Der Schritt von der Zeigerdarstellung zur komplexen Darstellung in der Gaußschen Zahlenebene ist jetzt ein kleiner, wenn auch sehr praktischer. Muss z.B. in der Zeigerdarstellung die

Addition zweier Wechselgrößen noch durch ein aufwendiges graphisches Verfahren erfolgen, geschieht dies in der Gaußschen Zahlenebene einfach durch komplexe Rechnung. Es können sämtliche für komplexe Zahlen verfügbare Darstellungsweisen und Rechengesetze angewendet werden.

2.1.2. Komplexe Widerstandsoperatoren

Allgemein gilt für einen elektrischen Wechselstromwiderstand Z das Ohmsche Gesetz 1

Benannt nach dem deutschen Pysiker Simon Ohm (1789-1854) 1

17

für den komplexen Widerstand

Als komplexe Größe ist Z in der Exponentialform mit dem Phasenverschiebungswinkel ϕ Z darstellbar als

Z = Z · e ^{jϕ Z} . (2.3)

In kartesischer Form wird Z (auch Widerstandsoperator genannt) geschrieben

Es gilt

Einteilung konstant komplexer Widerstände Z

a) Ohmscher Widerstand

b) Kapazitiver Widerstand

c) Induktiver Widerstand (Spule)

Mit den Kirchhoffschen Regeln gilt für die Rechnung mit Widerstandsoperatoren ³ :

⇒ Zwei Widerstände Z 1 und Z 2 in Reihenschaltung ergeben einen Gesamt-widerstand Z = Z 1 + Z 2 ,

⇒ bei der Parallelschaltung zweier Widerstände Z 1 und Z 2 ist der Kehrwert des Gesamtwiderstandes ¹ gleich der Summe der Kehrwerte der Einzel- Z

widerstände

vgl. [Korie] S. 143 2

vgl. [Kreul] S. 54 3

18

2.2. Anwendung bei

einer experimentellen Wechselstromschaltung

2.2.1. Berechnung des Gesamtwiderstandes

Gegeben sei eine experimentelle Wechselstromschaltung (Abb. 2.5), es gilt den Ge-samtwiderstand Z des Wechselstromkreises zur errechnen. An eine Lösungsformel für Z gelangt man durch gliedweise Betrachtung der Schaltung. Sie setzt sich zusammen aus der Reihenschaltung R und C, welche wiederum mit der Induktivität L parallel geschaltet ist.

◦ ◦

Für die Reihenschaltung gilt

für die Parallelschaltung

Die Formel für diese Parallelschaltung lautet somit

tan ϕ Z =

ϕ Z = arctan

Zur Ermittlung des Betrages von Z folgt aus (F)

|Z| ² =

|Z| =

2.2.2. Graphische Darstellung

Mit dem Ergebnis aus dem vorigen Abschnitt lässt sich der Gesamtwiderstand |Z| für beliebige Werte von ω, R, C und L in der gegebenen Schaltung errechnen.

Um |Z| in Abhängigkeit von der Kreisfrequenz ω graphisch zu veranschaulichen, werden folgende Werte angenommen (auf die Angabe der pysikalischen Maßeinheiten wird verzichtet):

R = 1, C = 0, 005, L = 0, 01

Die Funktion lautet somit

|Z|(ω) =

Für die Funktion |Z|(ω) gilt unter der Bedingung

a) ω = 0 ⇒ |Z| = 0 die Spule wirkt alleine;

b) ω −→ ∞ ⇒ |Z| −→ 1 der Widerstand wirkt alleine;

c) ω ≈ 147, 91 hier besitzt |Z| ein Maximum.

Diese Schaltung lässt sich als Bandsperre einsetzen, da in der Umgebung des Maximums ω ≈ 147, 91 der Widerstand groß wird. Eine Kurvendiskussion zu dem Graphen dieser Funktion befindet sich im Anhang (A.1).

20

Der zugehörige Phasenwinkel

ϕ Z = arctan

= arctan

= arctan

gibt die Phasenverschiebung der Spannung gegen den durch den Gesamtwiderstand Z fließenden Strom an ⁴ (Abb. 2.7).

Für die Funktion ϕ Z (ω) gilt in den Grenzbereichen

a) ω −→ 0

b) ω −→ ∞ ⇒ ϕ Z −→ 0 .

vgl. [Korie] S. 143 4

21

3. Differentialgleichungen

3.1. Exkurs über Differentialgleichungen

Als Differentialgleichungen (Abkürzung: DGLn) werden Gleichungen bezeichnet, welche Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zu einer n-ten Ordnung enthalten.

Sehr viele Prozesse in Natur und Technik können durch Differentialgleichungen beschrieben werden. Hängt die gesuchte DGL nur von einer reellen Variablen ab (z.B. von der Zeit t oder von x), spricht man von einer gewönlichen DGL. Sie hat allgemein die Form

a n y ⁿ + a n−1 y ⁿ⁻¹ + . . . + a 1 y + a 0 y = f (x) .

Es gibt keinen allgemeingültigen Lösungsweg für DGLn, da sie ihren unterschiedlichen Strukturen angepasste individuelle Lösungsstrategien benötigen. Wesentliche Unterscheidungen zwischen DGLn sind neben der Ordnung (höchste Ableitung der abhängigen Variabel, z.B. y ⁿ ) auch die Einteilung in linear und nichtlinear (nichtlinear, wenn die abhängige Variable in einer Potenz > 1 z.B. y ² vorkommt) sowie in homogen und nicht homogen (homogen, wenn für die Stör- oder Steuerungsfunktion gilt f (x) = 0, sonst inhomogen). Bei der Auswahl des Lösungsweges muss auch berücksichtigt werden, ob eine DGL konstante oder nicht konstante Koeffizienten enthält, d.h. die Koeffizienten (z.B. a, b) von der unabhängigen Variablen (i.d.R. x oder t) abhängen oder nicht. Ein Beispiel für eine DGL mit konstanten Koeffizienten ist demnach y + ay = sin(x), ein Gegenbeispiel xy + 2y = 6x. Je nach Struktur der DGL wird ein geeigneter Lösungsansatz gewählt.

Die Abbildungen 3.1 zeigen praxisnahe Versuchsaufbauten, deren Schwingungsverhalten mit gewöhnlichen DGLn dargestellt werden können.

22

3.2. Lösung einer Beispielaufgabe

Nachfolgende lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten soll nun mit Hilfe der Verwendung von komplexen Zahlen gelöst werden:

y + 2y + 17y = cos x mit y(0) = 1 , y (0) = 0 (3.1)

Der dieser DGL zugrunde liegende konkrete Sachverhalt ist nicht bekannt, eine Herleitung wird nicht vorgenommen. Ihrer Form nach könnte diese DGL das Schwingungsverhalten eines gedämpften Federpendels beschreiben. Für diesen Fall lassen sich die gegebenen Anfangsbedingungen folgendermaßen interpretieren: Am Ausgangspunkt (Zeitpunkt x = 0) hat die Feder eine Auslenkung der Göße y = 1, ihre Geschwindigkeit (= y ) ist an dieser Stelle Null.

Komplex betrachtet kann man diese reelle DGL mit Hilfe der eulerschen Formel e ^jx = cos x + j sin x , cos x = (e ^jx ) so darstellen:

y + 2y + 17y = e ^jx (3.2)

Die vollständige allgemeine Lösung dieser wegen cos x = 0 inhomogenen DGL ergibt sich aus der Summe ihrer allgemeinen (oder auch homogenen) Lösung y h (x) und einer speziellen (oder auch partikulären) Lösung y p (x).

3.2.1. Ermittlung der homogenen Lösung

Analog ihrer 2. Ordnung hat die DGL (3.1) auch zwingend zwei linear unabhängige Lösungen y 1 (x) und y 2 (x) ¹ . Sie bilden in der Summe die homogene Lösung der DGL. Zur Ermittlung der homogenen Lösung von (3.1) wird die für ihre Inhomogenität verantwortliche Störfunktion cos x weggelassen, womit die nun homogene DGL lautet

y + 2y + 17y = 0 . (3.3)

Besonders geeignet ist bei dieser Struktur der komplexe Lösungsansatz

y(x) = e ^λx , λ ∈ C ² (3.4) y (x) = λe ^λx es folgt y (x) = λ ² e ^λx . und

[Me&Va II] Fundamentalsystem, (3.3), S.36 1

[Me&Va II] §3 (3.2), S.35 2

23

In einem ersten Schritt werden die Nullstellen von (3.3) bestimmt. (3.4) eingesetzt in (3.3) ergibt

λ ² e ^λx + 2λe ^λx + 17e ^λx = 0

(λ ² + 2λ + 17)e ^λx = 0 wegen e ^λx = 0 für alle x ∈ R folgt

Diese Zwischenergebnisse werden in dem nun folgenden zweiten Schritt zusammen mit zwei beliebig zu wählende Konstanten - sie seien hier A 1 und A 2 - in den Ansatz (3.4) eingesetzt. Man erhält

y h (x) = A 1 · e ^(−1+4j)x + A 2 · e ^(−1−4j)x (3.5)

h (x) = (−1 + 4j)A 1 · e ^(−1+4j)x + (−1 − 4j)A 2 · e ^(−1−4j)x . (3.6)

Zur Berechnung dieser beiden Konstanten werden die Anfangsbedingungen y h (0) = 1 h (0) = 0 benötigt, es folgt

mit (3.6) erhält man außerdem

Damit sind genügend Angaben vorhanden um A 1 und A 2 zu berechnen:

A 1 + A 2 = 1 | − A 1

h (0) = 0 folgt

Im dritten und letzten Schritt kann unter Einbeziehung der bisherigen Teilergebnisse die homogene Lösung von (3.1) bestimmt werden. A 1 und A 2 in (3.5) eingesetzt ergibt

mit der eulerschen Formel umgeformt

Die Verwendung des komplexen Lösungsansatzes ist hier bei der Überprüfung des Ergebnisses besonders vorteilhaft. Es steht fest, dass die reelle Differentialgleichung auch eine reelle Lösung haben muss. Folglich kann sofort auf einen Rechenfehler geschlossen werden, sollten sich die komplexen Teile bei der Rechnung nicht wegheben.

3.2.2. Ermittlung der partikulären Lösung

Es wird folgender Lösungsansatz verwendet:

y(x) = ce ^{jx 3} (3.7) y (x) = jce ^jx es folgt y (x) = −ce ^jx . und

[Me&Va II] §3 (3.2) Bsp.2, S.35 3

25

Eingesetzt in (3.2) ergibt sich

−ce ^jx + 2jce ^jx + 17ce ^jx = e jx

eingesetzt in (3.5) erhält man jetzt

y(x) =

=

=

Der Realteil von y(x) ergibt eine spezielle Lösung von (3.1)

y p (x)=

3.2.3. Ermittlung der vollständigen allgemeinen Lösung

„Die vollständige allgemeine Lösung der inhomogenen DGL [(3.1)] ist y(x) = y p (x) + y h (x) “ 4

Mit den Lösungen aus 3.2.1 und 3.2.2 eingesetzt erhält man

[Me&Va II] (3.4), S. 38 4

26

3.2.4. Graphische Darstellung

Die Partikuläre Lösung (Abb. 3.3) ist periodisch und zeigt - da ungedämpft - den Verlauf einer Sinuskurve. Sie wird in diesem Zusammenhang auch als stationäre Lösung bezeichnet. Der Graph der homogenen Lösung zeigt den Einschwingvorgang, welcher nach kurzer Zeit abklingt. In der vollständigen allgemeinen Lösung (Abb. 3.4) ist zunächst deutlich die gedämpfte Schwingung der homogenen Lösung erkennbar, sobald dieser abklingt (hier ungefähr bei x = 6) überwiegt die partikuläre Lösung. Der geringe Einfluss der partikulären Lösung auf den Graphen während des Einschwing-vorganges erklärt sich im vorliegenden Beispiel aus dem verhältnismäßig geringen maximalen Ausschlag (Amplitude) der Sinuskurve. Im Übergangsbereich bewirkt die Überlagerung (Addition) der beiden Schwingungen ein unregelmäßiges Zeitverhalten.

y

4. Schluss

Komplexe Zahlen stellen eine echte Erweiterung des reellen Zahlenraumes dar. Sie werden durch reelle Zahlen ausgedrückt, wobei lediglich der Imaginärteil durch den Buchstaben j (oder i) gekennzeichnet wird. Diese Eigenschaft und die anschauliche Darstellung in der Gaußschen Zahlenebene machen komplexe Zahlen auf einfache Weise begreifbar. Das Wissen um ihre Eigenschaften vorausgesetzt, ist der Umgang mit den komplexen Zahlen außerordentlich einfach.

Die wesentlichen Vorteile komplexer Zahlen bestehen in der Lösbarkeit aller quadratischen Gleichungen und in den mit ihnen begründeten Vereinfachungsmöglichkeiten bei bestimmten Berechnungen. Mit Beispielen aus der Wechselstrom- und Schwingungslehre (Berechnung der DGL) konnten zwei Anwendungsbereiche vorgestellt werden, welche wohl zu den wesentlichen zählen.

Ein weiteres Anwendungsgebiet für komplexe Zahlen ist die Fourier-Analyse ¹ . Ihr Ausgangspunkt ist, dass sich jede nichtsinusförmige periodische Funktion in einzelne sinusförmige Teilschwingungen zerlegen lässt (wertvoll z.B. in der Tontechnik). Die Fourier-Analyse lässt sich ebenfalls komplexifizieren und kann auch unter dem weitläufigen Begriff der Schwingungslehre eingereiht werden. Oftmals werden komplexe Zahlen lediglich für darstellerische Zwecke benötigt, wie z.B. für die Abbildung von Kursentwicklungen an den Börsen oder für die bekannten „Apfelmännchen“-Fraktale.

Nun liegt nahe anzunehmen, dass die Menge der komplexen Zahlen die höchste Erweiterung der Zahlenmengen darstellt. Dem ist aber nicht so. Dem Iren William Rowan Hamilton (1805-1865) gelang mit dem Körper der Quaternionen ² eine weitere Erweiterung (C ⊂ H). Was es nun aber mit den Quaternionen auf sich hat und warum sie es bisher nie zu einer mit den komplexen Zahlen vergleichbaren Popularität gebracht haben, das werde ich in meiner nächsten Seminararbeit behandeln. . .

[Duden] Stichwort „Fourier-Reihe“, benannt nach J.B.J. Fourier (1768-1830) 1

[Duden] Stichwort „Quaternionen“ 2

28

A. Anhang

A.1. zu 2.2.2 : Kurvendiskussion mit dem

Computeralgebra-System Maple

Mit Hilfe der komplexen Rechnung wurde in 2.2.1 die reelle Gleichung

|Z| =

ermittelt. Als Funktion in Abhängigkeit von ω aufgefasst soll sie nun unter Verwendung des Zahlenbeispieles aus 2.2.2 (R = 1, C = 0, 005, L = 0, 01) diskutiert werden. Während sämtliche Rechnungen in dieser Seminararbeit ausschließlich „von Hand“ gerechnet wurden, wird nun ausnahmsweise ein Computerprogramm herangezogen, da ein „händisches“ Rechnen hier den Rahmen weit sprengen würde. Im Übrigen geht es nur darum, die Richtigkeit eines komplex ermittelten Ergebnisses zu veranschaulichen.

A.1.1. Untersuchung auf Symmetrie und Bestimmung der

Definitionsmenge

Da ω in |Z|(ω) nur mit gerade Exponenten vorkommt, kann festgestellt werden, dass der Graph von |Z|(ω) symmetrisch zur Ordinatenachse verläuft.

In dem vorliegenden Beispiel wird mit ω die Kreisfrequenz bezeichnet, welche naturgemäß nicht kleiner Null sein kann. Pysikalisch nicht abgesichert aber der Anschaulichkeit dienlich soll aber die Obergrenze für ω nicht begrenzt sein. Damit ist

A.1.2. Untersuchung auf Nullstellen, Extrem- und

Wendepunkte

A.1.2.1. Nullstellen

Bedingung: |Z|(ω) = 0

Die Eingabe in Maple lautet

> BvZ:=sqrt((6.25*10ˆ(-18)*omegaˆ8+(0.01*omega-2.5*10ˆ(-7)*

> NSt:=solve(BvZ=0,omega);

N St := 0., 0., 200.I, −200.I

Entsprechend dem 4. Grad der Funktion errechnet Maple vier Ergebnisse, wobei nur die doppelte Nullstelle von Interesse ist. Die beiden anderen Ergebnisse sind komplexe Zahlen (I = j) und können im Rahmen dieser Kurvendiskussion nicht mit dem Graphen von |Z|(ω) in Verbindung gebracht werden, sie sind kein Element der Definitionsmenge ( ∈ D).

A.1.2.2. Untersuchung auf Extremstellen

Bedingung: |Z| (ω) = 0

> Z´:=diff(BvZ,omega);

> Extrema:=solve(Z´=0,omega);

Extrema := −147.9078309, 147.9078309, −102.2162169I, 102.2162169I

Die einfach Nullstelle 147.9078309 ist als einzige im Definitionsbereich enthalten, somit hat der der Graph G |Z| nur hier eine mögliche Extremstelle. Ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt, soll mit Hilfe der zweiten Ableitung ermittelt werden. > Z´´:=simplify(diff(Z´,omega));

Z´´: = 10000.

Bestimmt man nun den Funktionswert von |Z| (147.9078309) erhält man −0, 0008119222570. Da dieser Wert kleiner Null ist, kann man auf ein Maximum bei ω = 147.9078309 schließen und es ergibt sich mit |Z|(147.9078309) = 2, 46771777 einen Hochpunkt von G |Z| ≈ HOP (147.91|2.47). Zum Monotonieverhalten von |Z| können somit folgende Aussagen getroffen werden:

A.1.2.3. Untersuchung auf Wendepunkte

Bedingung: |Z| (ω) = 0

Unter Verwendung des Ergebnisses Z´´ aus dem vorherigen Abschnitt ergibt > WStellen:=solve(Z´´=0,omega);

WStellen: = −53.00095712 + 169.1901916I, 53.00095712 − 169.1901916I,

Als Elemente von D werden nur die Stellen ω = 106.4000899 und ω = 180.8104317 betrachtet. Ein Nachweis für Wendestellen ist erbracht, wenn gilt |Z| (ω) = 0. ¹ Maple errechnet für |Z| (106.4000899) = −0000.30457979 und für |Z| (180.8104317) = 0.00001065712,

womit für |Z| wegen |Z|(106.4000899) = 1, 755469325 und |Z|(180.8104317) = 2, 206726793 die beiden Wendepunkte ≈ W EP 1 (106.4|1.76) und ≈ W EP 2 (180.81|2.21) bestimmt werden können.

A.1.3. Stetigkeit und Grenzwerte

A.1.3.1. Stetigkeit

Ohne mathematischen Nachweis sei festgestellt, dass die gebrochen-rationale Wurzel-Funktion |Z| in ganz D stetig ist.

A.1.3.2. Grenzwerte

Das Verhalten von |Z| im Grenzbereich lässt sich durch Umstellen der allgemeinen Gleichung (A.1) ermitteln.

Zugunsten der Übersichtlichkeit unterbleibt an dieser Stelle der Abdruck der sehr umfangreichen 1

Maple-Ausgabe zur dritten Ableitung.

31

(A.1) kann auch geschrieben werden als

|Z| =

mit dem Maple-Befehl „simplify“ lässt sich weiter vereinfachen zu

|Z| =

Es soll nun untersucht werden wie sich der Gesamtwiderstand |Z| verhält, wenn die Kreisfrequenz ω gegen unendlich konvergiert. Da die höchste Potenz von ω in der Funktion im Zähler wie im Nenner gleich ist, kommt die Regel zur Anwendung, dass der Grenzwert ω −→ ∞ der Quotient der Koeffizienten dieser höchsten Potenz ist.

Somit ist lim

√

Auf das Zahlenbeispiel angewendet (siehe Abb. A.1) folgt für R = 1 auch R ² = 1

(ein ohmscher Widerstand kann nicht negativ sein). Maple stellt zur Ermittlung von Grenzwerten den limit-Befehl zur Verfügung. Der Grenzwert ω −→ ∞ wird ermittelt mit

> Gw1:=limit(simplify(sqrt(Rˆ2*((omega+L/R)ˆ2+(omegaˆ2*C*L)ˆ2)/

((omega*C*R)ˆ2+(1-omegaˆ2*C*L)ˆ2))),omega=infinity);

Ohne eine pysikalischen Interpretation zu versuchen sollen nachfolgend noch einige weitere Grenzwerte mit Maple ermittelt werden werden.

Allgemein: Lösungen nach dem Zahlenbeispiel:

lim

ω→0

lim

R→∞

lim

C→∞

lim

L→∞

32

A.2. Das Satzsystem L A T E X

A.2.1. Kurzbeschreibung von L A T E X

Das Satzsystem L ^A T E X gibt es nun seit über 20 Jahren und es wird immer noch weiterentwickelt. Es basiert auf dem aus den 70-er Jahren stammenden Satzsystem T E X und besteht aus einem Kernsystem mit den wesentlichen Grundfunktionen sowie diversen Zusatzpaketen für Tabellen, Grafiken und mathematische Formeln. Der seit 1994 aktuelle und somit auch diesem Dokument zugrundeliegende Standard ist L ^A T E Xε. L ^A T E X ist kostenlos, jeder kann es aus dem Internet herunterladen und je nach eigenen Anforderungen mit diversen Ergänzungspaketen ausstatten (http://www.dante.de).

A.2.2. L A T E X contra Textverarbeitungsprogramm

Im Gegensatz zu einem modernen Textverarbeitungsprogramm muss für ein L ^A T E X-Dokument der zugehörige Quelltext in einen beliebigen Texteditor geschrieben werden, welcher anschließend zum fertigen Dokument kompiliert wird. Am ehesten ist dieses Verfahren wohl mit der Programmierung von Web-Seiten in HTML zu vergleichen. Im Gegensatz zu dem populären HTML gibt es jedoch für L ^A T E X keine leistungsfähige Editiersoftware. In diesem Zusammenhang ist klar, dass das in Textverarbeitungsprogrammen gewohnte Prinzip „what you see is what you get“ (WYSIWYG) nicht gilt. Ebenso muss in L ^A T E X auf Annehmlichkeiten wie eine Rechtschreibprüfung oder jegliche Form von intuitiver Bedienerführung verzichtet werden. Alle Änderungen müssen manuell im Quelltext vorgenommen werden. Dies setzt eine entsprechende Einarbeitung in das Satzsystem voraus.

Die größte Stärke von L ^A T E X hingegen ist die hochwertige Typographie der Dokumente. L ^A T E X stellt verschiedene Pakete für Dokumentenklassen zur Verfügung, welche bereits Empfehlungen für professionelle Seitenlayouts enthalten. Laien haben hingegen in Textverarbeitungsprogrammen oft nicht die notwendigen Kenntnisse, die Typographie im Sinne optimaler Lesbarkeit anzupassen. L ^A T E X eignet sich hervorragend für das Setzen mathematischer Formeln, über die Einbindung entsprechender Ergänzungspakete lassen sich auch anspruchsvolle Graphiken und Effekte per Quelltext erstellen.

A.2.3. Über dieses Dokument

Wie bereits erwähnt, wurde diese Seminararbeit vollständig in L ^A T E X erstellt. Das heißt, das neben dem Text und den Formeln auch alle Zeichnungen und Bilder in einem einfachen Texteditor entstanden sind. Zum Vergleich, Zeichen ohne Leerzeichen

im Dokument gedruckt: 39.799, handgetippt im Quelltext: 118.547 .

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Literaturverzeichnis

[Demmi] Demmig G., Komplexe Zahlen I

Demmig Verlag Nauheim/Groß-Gerau, zweite Auflage 1979

[Dittm] Dittmann H., Komplexe Zahlen

Bayerischer Schulbuchverlag München, vierte Auflage 1980

[Duden] Duden, Rechnen und Mathematik

[GElek] Hagmann G., Grundlagen der Elektrotechnik

AULA-Verlag, achte Auflage 2001

[Korie] Korie R. und Schmidt-Walter H., Taschenbuch der Elektrotechnik,

[Kreul] Kreul M. u. Prof. Dr. Kreul H., Mathematik in Beispielen I,

[Me&Va I] Meyberg · Vachenauer, Höhere Mathematik 1

[Me&Va II] Meyberg · Vachenauer, Höhere Mathematik 2

[Niedm] Niedermeier E. & M., L ^A T E X Das Praxisbuch

Franzi’s Verlag Poing, erste Auflage 2003

[Westm] Westermann Th., Mathematik für Ingeneure mit Maple, Band 1

Bilder und eingesetzte Software

Dieses Dokument wurde in dem Satzsystem L ^A T E X gesetzt, für die Erstellung des Quelltextes wurde die Freeware WinShell V.2.2.1 verwendet. Alle Bilder und Graphiken wurden im L ^A T E X-Quelltext erstellt und sind teilweise Zeichnungen in den im Literaturverzeichnis aufgeführten Quellen nachempfunden.

Für die Berechnungen im Anhang wurde das Computeralgebra-System Maple in der Version 6.01 eingesetzt.

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L A T E X-Quelltext

Der Latex-Quelltext zu dieser Arbeit mit allen Bestandteilen (insbesondere Bilder) kann bei mir über Email: simontmoon@yahoo.de gegen einen Obulus zur freien Verfügung angefordert werden.

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B. Erklärung

Ich erkläre, dass ich die Seminararbeit ohne fremde Hilfe angefertigt und nur die im Quellen- bzw. Literaturverzeichnis angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe.

Ort, Datum Unterschrift

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