3

„Chi capisce la geometria, può capire tutto in questo mondo.“

(„Wer die Geometrie begreift, vermag in dieser Welt alles zu verstehen.“)

Galileo Galilei, 1564-1642

4

Index

1.  Einführung  

1.1  Das Höhlengleichnis von Platon  

  Definition einer Dimension und geometrische Einordnung  

1.2  Flatland  

  Konstruktion eines Hyperkubus  

1.3  Alternative  Visualisierungsmethoden

  Vorzüge und Nachteile der Darstellungen von 4-dimensionalen Objekten  

1.4  Bau eines n-Dimensionalen Kubus  

  Struktur und Bauelemente eines n-Dimensionalen Würfels  

2.  Mathematischer Nutzen  

2.1  Projektive Geometrie zweier Ebenen  

  Einführung in die Projektive Geometrie  

2.2  Projektive Geometrie durch den Hyperraum  

  Adaption der Projektiven Geometrie für den Hyperraum  

3.  Anhang  

3.1  Referenzen  

  Literaturverzeichnis  

3.2  Nachwort  

  Was den Rahmen dieser Arbeit alles gesprengt hätte  

  Manuel Ebert  

  Facharbeit Mathematik  2003:

  Hyperdimensionale Geometrie  

  Ceciliengymnasium Bielefeld  

  LK Mathematik Herr Wolff  

5

1. Einführung

1.1 Das Höhlengleichnis von Platon

In dem siebten Buch seines Werkes „Politeia“ stellt Platon als Aufzeichnung eines Gespräches zwischen ihm und seinem Freund Glaukon das berühmte Höhlengleichnis auf:

Einige Menschen sitzen gefesselt so in einer Höhle, dass sie nur die dem Höhleneingang abgewandte Seite sehen können. Die Gefesselten verbrachten schon ihr ganzes Leben mit Blick auf die Höhlenwand, unvermögend, ihren Kopf zu wenden. Vor dem Höhleneingang brennt ein Feuer, welches die einzige Lichtquelle darstellt. Zwischen Feuer und Höhle aber verläuft ein Weg, auf dem Gaukler ihre Kunststücke zeigen und Menschen allerlei Dinge umhertragen. Die in der Höhle Gefangenen sahen ihr Leben lang nur die Schatten der Menschen, hörten nur die durch die Höhlenwände verzerrten Geräusche ihrer Unterhaltungen.

Wenn nun einer der Gefesselten befreit und aus der Höhle gezerrt wird, wird er immense Schmerzen haben, verursacht durch das Licht. Er wird das sehen, von dem er zuvor nur die Schatten kannte, vermutlich orientierungslos wanken. Ihm wird das, was er zuvor kannte, viel „wirklicher“ vorkommen. Wenn er aber in die Höhle zurückkehrt und seinen ehemaligen Mitgefangenen von seinen Entdeckungen erzählt, werden sie ihm nicht glauben, ihn verspotten oder gar als Ketzer umbringen.

Heute sind glücklicherweise in den meisten Ländern die Zeiten vorbei, in denen man als Ketzer an die Wand gestellt wird, dennoch verliert die Analogie nicht an Wert. Denn ebenso, wie der Gefesselte zum ersten Mal in seinem Leben einen Körper wahrnehmen konnte, wird es wohl einem Menschen ergehen, der den Raum zum ersten Mal verlässt. Doch zunächst möchte ich den Begriff des „Raumes“ definieren.

Der Raum ist der Spezialfall einer Dimension. Somit gilt es, eine Dimension zu definieren. Es gibt mehrere Definitionen, die zum Teil in der Nicht-Euklidischen Geometrie zu unterschiedlichen Ergebnissen führen. Für euklidische Betrachtungen, auf denen die folgende Arbeit aufbauen wird, möchte ich mich auf folgende Definition einlassen:

Der Grad einer Dimension wird bestimmt durch die Anzahl der Geraden, die in dieser Dimension paarweise im rechten Winkel zueinander durch einen gemeinsamen Punkt konstruiert werden können.

6

Jede Bewegung innerhalb eines n-Dimensionalen Raumes kann mit n zu den Geraden paralleler Bewegungen dargestellt werden.

Diese Geraden werden im Allgemeinen als „Achsen“ bezeichnet. In der Ebene können wir zwei solcher Geraden konstruieren, im Raum drei. Die Dimension, in der vier Achsen existieren, wird mangels eines speziellen Begriffes als „Hyperraum“ bezeichnet (Das Präfix „Hyper-“ bezeichnet in diesem Zusammenhang jeweils die Analogie in der nächst höheren Dimension: Die Hyperebene ist also nichts weiter als der Raum).

7

1.2 Flatland

Ohne Probleme ist es möglich, in unserem Raum lediglich zwei oder nur eine Achse anzubringen, und so zweidimensionale oder lineare Figuren abzubilden. Was aber, wenn wir vierdimensionale Figuren veranschaulichen wollen?

Zunächst brauchen wir dazu ein gewisses Repertoire an hyperräumlichen Objekten. Das wohl am einfachsten zu beschreibende ist die Hyperkugel. Alle Punkte liegen gleichweit vom Mittelpunkt entfernt. Interessanter noch ist allerdings der Hyperkubus, von C. Hinton auch „Tesserakt“ genannt. Die Konstruktion eines solchen folgt einer strengen Analogie. Zunächst betrachtet man einen Punkt in der ersten Dimension. In der zweiten Dimension hat er eine Möglichkeit sich zu bewegen, nämlich von rechts nach links (eine Bewegung von links nach rechts ist betragsgleich und nicht weiter relevant). Diese Bewegung lässt eine Strecke entstehen (Abb. 1). In der zweiten Dimension kann sich diese Strecke von vorn nach hinten bewegen und erzeugt so ein Quadrat (Abb. 2). Die dritte Dimension ermöglicht eine Bewegung von unten nach oben, um einen Würfel zu konstruieren (Abb. 3). Eine Bewegung auf der vierten Achse, von präsig nach postig, schafft einen Hyperkubus (Abb. 4). Schon einen Würfel auf dem Papier zu zeichnen, bedurfte eines Tricks: Die Raum-Achse wurde nicht senkrecht zur Ebene, sondern in der Ebene angebracht. Unser auf räumliche Wahrnehmung geschulter Verstand interpretiert sofort einen Kubus. Ähnlich wurde bei der Hyperachse verfahren.

Abb. 3 Abb. 4

8

So können wir zumindest annäherungsweise hyperdimensionale Figuren abbilden. Edwin A. Abbott (1838 bis 1926) beschrieb mit seinem Roman „Flatland – A Romance Of Many Dimensions“ eine weitere Möglichkeit dazu, nämlich die Analogie in der Ebene.

Er stellte sich zweidimensionale Lebewesen vor, die ihr ganzes Leben auf einer Ebene verbringen. Nun wird eine Kugel durch diese Ebene gestoßen: Die Flachländer sehen zunächst einen Punkt, der sich zu einem Kreis ausdehnt, bis dieser den Radius der Kugel hat, dann wieder zusammenzieht und letztlich verschwindet. Komplizierter wird das bei einem Würfel. Liegt dieser im Raum so, dass alle Seiten entweder Orthogonal oder Parallel zu der Ebene liegen, werden die Flachländer nur ein Quadrat beobachten. Liegt die Raumdiagonale des Würfels orthogonal zur Ebene, erscheint zunächst ein Punkt, der sich zu einem Dreieck ausdehnt, dann ein Sechseck wird. Liegt der Mittelpunkt der Raumdiagonalen auf der Ebene, so liegt ein regelmäßiges Sechseck im Flachland. Anschließend verformt sich das Sechseck wieder zum Dreieck und verschwindet.

Sticht ein Hyperkubus mit seiner Hyperraumdiagonalen parallel zum Raum durch den Raum, werden wir also zunächst ein Tetraeder wahrnehmen, welcher sich anschließend zu einem regelmäßigen Oktaeder verformt. Der Oktaeder bildet sich über ein Tetraeder zu einem Punkt zurück und verschwindet.

Somit besteht also die Möglichkeit, hyperdimensionale Objekte darzustellen, indem man die Querschnitte mit einem Raum zeitlich versetzt darstellt. Eine Annäherung kann bei in mindestens zwei Dimensionen endlichen Objekten durch endlich viele, räumlich versetzte Schnitte erreicht werden.

9

1.3 Alternative Visualisierungsmethoden

Als junger Mann begann Charles H. Hinton (1835-1907) ein Gedankenexperiment: Er stellte sich 36x36x36 je einen Inch große Würfel zu einem einen Yard großen Würfel zusammengefasst vor und gab jedem einen lateinischen Namen. Dies benutzte er als eine Art „Papier“; wenn er sich ein räumliches Objekt vorstellen wollte, drehte und skalierte er es solange, bis es gut in den Würfel passte, und prägte sich dann die Namen der ausgefüllten Würfel ein. Er konnte sogar Objekte wiedererkennen, wenn er die Namen von ausgefüllten Würfeln sah.

So wuchs sein Interesse für die vierte Dimension, und schnell begriff er, dass er einen Königsweg ins selbige gefunden hatte: Wenn wir durch zwei zweidimensionale Bilder auf unseren Netzhäuten räumlich sehen können, benötigen wir lediglich zwei räumliche Bilder, um den Hyperraum darstellen zu können. Tatsächlich müssten wir die räumlichen Bilder aber von allen Seiten gleichzeitig sehen können.

So bleibt uns nur übrig, auf die selben wie schon zur zweidimensionalen Darstellung von dreidimensionalen Objekten benutzten Tricks zurückzugreifen. Um einen Tesserakt (auch Achtzell genannt) darzustellen, bieten sich drei Methoden an:

Am Beispiel des Tesserakts ist erkennbar, welche Vorzüge und Nachteile die einzelnen Darstellungsmethoden haben.

10

1.4 Bau eines n-dimensionalen Kubus

Für die Anzahl N von d-dimensionalen Kuben (Also Ebenen für d=2, Räume für d=3

etc.) in einem n-dimensionalem Kubus gilt:

n

=

d n N ) , (

Der Beweis durch vollständige Induktion: Ein (n+1)-dimensionales Objekt entsteht

durch Parallelverschiebung eines n-dimensionalen Objektes an der die (n+1)-ste

Dimension bestimmenden Achse.

Alle (d-1)-dimensionalen Teile werden zu d-dimensionalen Bestandteilen, alle d-

dimensionalen Bestandteile kommen in dem (n+1)-dimensionalen Körper doppelt vor.

Verschiebt man beispielsweise ein Quadrat, so bilden die vier (d=1)-dimensionalen

Kanten vier (d=2)-dimensionale Flächen, das (d=2)-dimensionale Quadrat bildet Vor-

und Rückseite des Würfels.

+ − = +

Somit gilt:

) , ( 2 ) 1 , ( ) , 1 ( d n N d n N d n N

Für n=1 gilt diese Formel. Somit muss gezeigt werden, dass sie auch für n+1 gilt, um

die Aussage zu beweisen.

n n

+ ( n N

= !* n

− + − − + )! !*( )! 1 )!*( 1 ( d n d d d n

= !* n

− − + − − + − )! )!*( 1 ( * )! 1 )!*( ( * ) 1 ( d n d d d d n d n

= !* n

+ )! 1 ( n

− + + =

1 d n

2

− + )! 1 !*( d n d

+

1 n

=

11

2. Mathematischer Nutzen

2.1 Projektive Geometrie zweier Ebenen.

Die Projektive Geometrie versteht sich zwar als nicht-euklidische Geometrie, baut aber auf den gleichen Axiomen auf. Erst dadurch, dass diese in einen neuen Kontext gestellt werden, entsteht ein gleichermaßen mächtiges wie elegantes Werkzeug. Es seien Σ und Σ’ Ebenen. Das Dreieck ABC auf Σ wird durch das Projektionszentrum

O (Welches aus naheliegenden Gründen nicht auf Σ oder Σ’ liegen sollte) in das Dreieck

A’B’C’ auf Σ’ projiziert. Wenn Σ und Σ’ nicht parallel zueinander sind, sind diese Dreiecke nicht ähnlich zueinander, weder Seitenverhältnisse noch Winkel müssen übereinstimmen (Abb. 8).

Nun soll eine Gerade l auf Σ so liegen dass sie mit O eine zu Σ’ parallele Ebene beschreibt. Auf der Leinwandebene Σ’ liegt die Projektion l’ im Unendlichen, und somit auch alle Punkte auf l’. Was aber ist mit Geraden, die auf Σ ihren Schnittpunkt auf l haben? Ihre Abbilder schneiden sich auf Σ’ im Unendlichen, und sind somit im euklidischen Sinne parallel. Andersherum gilt: Wenn zwei Geraden auf Σ’ parallel sind, so schneiden sich ihre Originale auf Σ in l. Da jede Gerade auf Σ mit O eine Ebene definiert, können wir auch immer eine zweite Ebene Σ’ parallel dazu finden, so dass die Gerade ins Unendliche projiziert wird.

O

12

Pappos von Alexandrien (Anfang des 4. Jahrhunderts n. Chr.) stellte folgenden Satz auf

und schaffte es ihn mit traditionell euklidischen Methoden sehr umständlich zu

beweisen: Wenn die Eckpunkte

Schnittpunkt der Geraden, auf dem die Punkte Liegen, sei mit S’ bezeichnet.

R sind also kollinear.

13

2.2 Projektive Geometrie durch den Hyperraum

Geometrieaufgaben im Raum sind selten, möglicherweise schon auf Grund der Schwierigkeit, sich ein Bild von der Aufgabe zu machen. Oft ist die erste Hürde schon, eine aussagekräftige Skizze anzufertigen, doch damit fangen die Probleme erst an. Um solche Aufgaben besser bearbeiten zu können, habe ich also die Theorie der projektiven Geometrie weiterentwickelt und auf den Raum applikabel gemacht.

Wir können zu jedem Raum R und drei Punkten A, B, C in R, die eine Ebene E

definieren, im Hyperraum ein Projektionszentrum O und einen zweiten Raum R’ finden,

so dass der durch E und O definierte Raum parallel zu R’ ist.

Dann werden also – analog zur projektiven Geometrie der Ebenen - alle Punkte auf E

durch O in R’ ins Unendliche projeziert, die entsprechende Ebene E’ wird zur

Fernebenen. Folglich sind auch alle Geraden und Ebenen, die sich in E schneiden, in R’

parallel.

Satz: Liegen zwei Tetraeder im Raum perspektiv zueinander, so liegen alle Schnittgeraden ihrer entsprechenden Seiten auf einer Ebene (Abb. 11). Beweis: Die Aussage lässt sich sicherlich auch mit klassisch euklidischen Methoden beweisen, jedoch würde ein solcher Beweis wohl den Umfang dieser Facharbeit sprengen.

Also bedienen

durch eben dieser drei Punkte definierte Ebene bezeichnet.

14

Zunächst wählen wir uns im Hyperraum ein Projektionszentrum. Nun dürfen wir noch

eine Ebene in R wählen, die in R’ unsere Fernebene wird. Zunächst wählen wir zwei

Punkte auf der Schnittgeraden von Σ ABC und Σ αβγ. Da O, A, B, α, β alle auf einer

Ebene liegen, schneiden sich die Geraden AB und αβ auf dieser Ebene. Da diese

Geraden jedoch auch in Σ ABC und Σ αβγ liegen, muss ihr Schnittpunkt irgendwo auf

der Schnittgeraden eben dieser Ebenen liegen.

Betrachten wir die Schnittgerade von Σ ABD und Σ αβγ. Analog zu der oben geführten

Betrachtung können wir sagen, dass sich AB und αβ beide auf dieser Geraden

schneiden. Somit haben die Schnittgeraden von Σ ABD und Σ αβγ einen gemeinsamen

Punkt, bilden also eine Ebene. Diese Ebene sei E und soll nach der Projektion unsere

Fernebene werden.

Abbildung 12 veranschaulicht die Lage der Tetraeder nach der Projektion.

Es gilt: Σ A’B’C’ || Σ α’β’γ’ und Σ A’B’D’ || Σ α’β’δ’.

Auf die entstandene Figur lässt sich außerdem der Strahlensatz anwenden, es gilt:

Fernebenen im

Unendlichen. Dies bedeutet für die Ausgangssituation, dass sich alle Seiten auf einer

Ebene schneiden.

15

3. Anhang

3.1 Referenzen (in Klammern: Bezug im Text)

Abbott, Edwin Abbott (1884): „Flatland – A Romance of many Dimensions”. Seely & Co., London. Zweite, revidierte Fassung:

http://www.geom.umn.edu/~banchoff/Flatland/, 2003-02-15. (1.2)

Hinton, Charles H. (1888) : „A New Era Of Thought”. Swann Sonnenschein & Co., London. (1.1, 3.3)

Hinton, Charles H. (1902) : „The Recognition Of The Fourth Dimension”. Erschienen in: „Bulletin of the Philosophical Society of Washington” 14. Seiten 179-204 (1.3)

Hinton, Charles H. (1905) : „The Fourth Dimension”. Erschienen in: „Harper’s Monthly Magazine“, Juli 1904. Seiten 229-233 (1.3)

Ogilvy, Charles Stanley (1969): „Excursions In Geometry“. Oxford University Press, New York. (2.1)

Platon (um 375 v. Chr.): „πολιτεια”. Nach einer Übersetzung von Friedrich Schleiermacher, http://www.gutenberg2000.de/platon/politeia/politeia.htm, 2003-02-15. (1.1)

Schirawski, Nicolai (2001): „Die vierte Dimension“. Erschienen in „P.M.-Magazin“, März 2001. Gruner & Jahr, München. Seiten 50-59. (1.3)

16

3.2 Nachwort

Mir ist aufgefallen, dass nahezu alle Autoren, die in diesem Kontext Werke veröffentlicht haben, auch philosophisch aktiv waren, zu Lebzeiten sogar oft mit diesen

Werken berühmter. Charles Hinton begründet in seinem Roman „Stella“ seine Moralvorstellungen mit der Existenz einer vierten Dimension. Tatsächlich bietet die vierte Dimension interdisziplinäre Relevanz wie sonst kaum ein Thema der Mathematik. Gleichermaßen möchte ich mit dieser Arbeit gezeigt haben, dass der Nutzen der Theorie ebenso Vielfältig ist wie die Herangehensweisen, mit der das Thema zu erschließen ist. Neben der Geometrie, der Physik und der Philosophie finden obige Erwägungen auch in zum Beispiel Statistik, Topologie, Informatik und Religion Anwendung. Auch die Kunst kann sich für die vierte Dimension begeistern, erkennbar zum Beispiel an dem Bild „Corpus Hypercubus“ von Salvador Dalí (Abb. 13).