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Inhaltsverzeichnis

1.  Einleitung  2

2.  Erläuterung Gruppen, Ringe und Körper  3

2.1  Verknüpfungen  3

2.2  Gruppen  4

2.3  Ringe  5

2.4  Körper  5

3.  Andere Verknüpfungsarten als und  

   6

3.1  Restklassen  6

3.2  Additive Restklassengruppe  7

3.3  Restklassenringe und Körper  8

4.  Anwendung bei den Zahlbereichserweiterungen  10

4.1  Die Menge der natürliche Zahlen  10

4.2  Der Ring der ganzen Zahlen  12

4.3  Der Körper der rationalen Zahlen  13

4.4  Vervollständigung zu den reellen Zahlen  13

4.5  Mögliche weitere Erweiterungen und Ausblicke  14

5  Schlussteil  15

6  Literaturverzeichnis  15

7  Anhang  16

7.1.  Wikipedia Axiom  16

7.2.  Keilbach, Komplexe Zahlen  18

7.3.  TU Freiberg, Zur Geschichte der Gruppentheorie  19

- 2 - 1.Einleitung

Was sind eigentlich Gruppen, Ringe und Körper? Diese drei Begriffe stammen aus der Gruppentheorie, welche ein Teil der Mathematik ist. Entstanden ist dieser Teil der Algebra im 19. Jahrhundert, obwohl mit Gruppen auch schon vorher gearbeitet wurde. Jedoch

waren diese Gruppen dort nicht über Axiome ¹ definiert. Axiome sind Grundgegebenheiten, die man nicht beweisen kann. Beim Aufstellen von Definitionen oder Gleichungen

versucht man stets durch Umformungen auf Axiome zurückzukommen. ² Zu erst wurden Gruppen, Ringe und Körper allgemein als Algebra bezeichnet, jedoch wurde zur Abgrenzung gegenüber anderen Algebragebieten ein eigenes Teilgebiet, die abstrakte Algebra für Gruppen, Ringe und Körper eingeführt. Anhand der Gruppentheorie wurde die Erweiterung von Zahlbereichen begründet und durch die selbe Methode wurden beispielsweise auch neue Zahlenmengen, wie die komplexen Zahlen oder andere Zahlenmengen, die aus mehrdimensionalen Gebilden bestehen, wie z.B. die Quaternionen, Oktaven oder Sedenionen, eingeführt. Eine Ausarbeitung der zuletzt genannten Mengen, würde den Rahmen dieser Facharbeit jedoch erheblich überschreiten.

In dieser Facharbeit werde ich auf die Grundlagen der Gruppentheorie eingehen und anhand von Beispielen die Erweiterungen von natürlichen Zahlen , über Zwischenschritte bis zu den reellen Zahlen verdeutlichen.

¹ „Axiom (v. griech.: tà to~n progónon axiómata) = als wahr angenommener Grundsatz“ (Wikipedia, Axiom)

² vgl. Technische Universität Freiberg: „Zur Geschichte der Gruppentheorie“ URL: http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/algebra/gruppenhistorie.html [Stand: 1.03.05]

- 3 - 2.Erläuterung Gruppen, Ringe und Körper

2.1 Verknüpfungen

Um die Definition einer Gruppe zu verstehen, muss man vorher wissen, was eine Verknüpfung ist. Allgemein ist eine Verknüpfung der Oberbegriff für eine Rechenoperation. Dabei gibt es verschiedene Arten von Verknüpfungen. Es gibt einstellige, zweistellige und mehrstelligen Verknüpfungen. Hauptsächlich werde ich hier die zweistelligen Verknüpfungen erläutern, weil die anderen für mein Thema nicht von großer Bedeutung sind.

Eine einstellige Verknüpfung ist eine Rechenoperation, bei der nur ein Element einer Menge und ein Symbol gegeben sind. Beispiele für eine einstellige Verknüpfung sind z.B. ⁻ − ), der Kehrwert ( ¹ x ) oder die Fakultät ( ! x ). Diese Verknüpfungen die Negation ( x

heißen einstellig, da mit einem Element und dem Symbol für die Verknüpfung auf ein anderes Element verwiesen wird.

Zweistellige Verknüpfungen sind die meistgenutzten Verknüpfungen. Sie bestehen aus zwei Elementen und einem Verknüpfungssymbol, welches meistens zwischen den beiden Elementen steht und eine Rechenoperation beschreibt, die mit den beiden Elementen durchgeführt wird. Geläufige zweistellige Verknüpfungen sind die vier Grundrechenarten: a + ), deren Umkehrung die Subtraktion ( a − ), die Multiplikation ( b a ⋅ ) Die Addition ( b b

und deren Umkehrung die Division ( b a : ). Nun gibt es aber auch Verknüpfungen die neu definiert werden.

„Auf der Menge G ist eine Verknüpfung o erklärt, wenn für jedes geordnete Paar a, b G [das Ergebnis] eindeutig definiert ist, was unter aob zu verstehen ist.“ 3

+ = ) ( b a aob − = b a aob Beispiel 1 -Verknüpfungsterme der Term aus Beispiel 2 keine Verknüpfung in , weil er nur für > ⋅ b positive Produkte definiert wäre. 0 a aob = ab Beispiel 2 -Ungültige Verknüp- ³ GerhardKeilbach, Georg-Büchner-Gymnasium Winnenden, 2000: „Komplexe Zahlen“. URL: http://www.keilbach.onlinehome.de/mathe/m12/komplex1.html

- 4 - 2.2Gruppen

Eine Zahlenmenge M und eine zweistellige Verknüpfung o bilden eine Gruppe (G, o), wenn folgende vier Axiome erfüllt sind: a ∈ 1. Abgeschlossenheit: Zu jedem Element M b , ist das Ergebnis der Verknüpfung

wieder ein Element von M. Zum Beispiel ist die Menge bezüglich der b o a ∈ ein Ergebnis in der b a, Addition abgeschlossen, weil alle Summen von Menge der natürlichen Zahlen ergeben.

Dagegen ist die Menge bezüglich der Subtraktion nicht abgeschlossen, denn > = − a b c b a ; würde ein negatives Ergebnis liefern, welches keine natürliche Zahl ist.

2. Assoziativität: Für die Verknüpfung o muss das Assoziativgesetz gelten: (a o b) o c = a o (b o c)

Dieses Gesetz besagt, dass die Reihenfolge, in der man die Verknüpfungen ausführt vertauschbar ist.

3. Existenz eines neutralen Elements: Es existiert ein Element n, dass für die Verknüpfung o das Ergebnis nicht beeinflusst. a o n = a = n o a + = = + ). Bei der Das neutrales Element der Addition ist z.B. die 0 ( a a a 0 0

⋅ = = ⋅ a a a 1 1 Multiplikation ist das neutrale Element 1 ( ).

4. Existenz eines inversen 4 Elements: Es existiert zu jedem Element a ein inverses

Element i zu a, so dass für die Verknüpfung mit dem Element i das Ergebnis der Verknüpfung das neutrale Element ist: a o i = n und i o a = n. Bei der Schreibweise des inversen Elementes unterscheidet man zwischen

multiplikativem (a -1 ) und additivem inversen Element (-a). Für die uns bekannte Addition ist das inverse Element das Negative einer Zahl. Bei der Multiplikation spricht man vom Kehrwert. = a o b b o a Wenn zusätzlich das Kommutativgesetz ( ) bezüglich der Verknüpfung o gilt, spricht man von einer kommutativen oder abelschen ⁵ Gruppe. Verallgemeinerungen einer Gruppe sind eine Halbgruppe mit nur den ersten beiden Axiomen, oder ein Monoid mit den ersten drei Axiomen.

⁴ invers (vom lat. inversus) = umgekehrt (aus Fremdwörterlexikon)

⁵ nach dem norwegischen Mathematiker Niels Hendrik Abel (1802 - 1829)

- 5 - 2.3Ringe

Ringe sind Mengen mit zwei, innerhalb des Ringes definierten, zweistelligen Verknüpfungen. Diese beiden Verknüpfungen werden additive und multiplikative Verknüpfung genannt, können sich aber in ihrer Ausführung der uns bekannten Addition und Multiplikation unterscheiden. Um Missverständnisse zu vermeiden benutzt man als Symbole für die Rechenoperationen, sofern es sich nicht um die normale Addition oder Multiplikation handelt, eingekreiste Rechenzeichen: ⊕ für die additive Verknüpfung und ⊗ für die multiplikative Verknüpfung.

Ein Ring muss folgende Vorraussetzungen erfüllen um als Ring bezeichnet zu werden:

1. Bezüglich der Addition muss der Ring eine abelsche Gruppe bilden. Es müssen also alle zuvor genannten Gruppenaxiome gelten.

2. Bezüglich der Multiplikation muss der Ring eine Halbgruppe bilden. Das heißt, dass nur die ersten beiden Axiome, die Abgeschlossenheit und die Assoziativität erfüllt sein müssen.

3. Die beiden Verknüpfungen sind durch das Distributivgesetz miteinander

+ = + ⋅ + = ⋅ + ) verknüpft: ac ab c b a ) ( und bc ac c b a (

Gilt ferner für die Multiplikation das Kommutativgesetz, so spricht man von einem kommutativen Ring.

Falls für die Multiplikation ein neutrales Element existiert, nennt man den Ring auch unitären Ring.

2.4 Körper

Ein Körper ist ein spezieller Ring. Damit man von einem Körper sprechen kann, muss die Menge M, mit zwei zweistelligen Verknüpfungen die folgenden Bedingungen erfüllen:

1. Die additive Gruppe (M, +) muss eine abelsche Gruppe mit dem neutralem Element 0 bilden.

2. Die multiplikative Gruppe (M \ {0}, ⋅ ) muss eine abelsche Gruppe mit dem

neutralem Element 1 sein.

+ = + ⋅ + = ⋅ + ) 3. Es gilt das Distributivgesetz: ac ab c b a ) ( und ab ac c b a ( .

Wie man erkennen kann ist ein Körper ein Spezialfall eines unitären Ringes. Das inverse Element der Addition wird als das Negative (-a) bezeichnet, das inverse Element der

Multiplikation heißt Kehrwert (a ^-1 ). Eine Division durch 0 ist nicht möglich deshalb, wird die 0 aus der multiplikativen Gruppe ausgeschlossen.

- 6 -Wenn ein Körper bezüglich der Multiplikation nicht kommutativ ist, spricht man von einem Schiefkörper.

3. Andere Verknüpfungsarten als + und •

3.1 Restklassen

Gegeben sind vier Teilmengen der natürlichen Zahlen mit Null. Die Elemente dieser Mengen werden durch vier verschiedene Terme 4n, 4n+1, 4n+2 und 4n+3 gebildet. Eine Übersicht der Mengen- elemente gibt Tabelle 1. Diese dabei entstehenden Mengen 0

, 1 , 2 , 3 bezeichnet man als Restklassen modulo ⁶ 4 weil, die Elemente der Mengen geteilt durch 4 denselben Rest, nämlich den Summanden des

Bildungsterms haben (vgl. Tabelle 1). Ähnlich kann man auch andere Restklassen bilden, indem man den Bildungsterm verändert. So erzeugt man beispielsweise mit 7n+1, 7n+2, …, 7n+7 Restklassen modulo 7. Eine andere Möglichkeit auf die Restklassen zu kommen ist das simple abzählen von 1 bis unendlich und jede Zahl modulo x zu rechnen. Dabei erhält man jedoch nicht die eindeutige Zuordnungsvorschrift für eine Restklasse. In den

nachfolgenden Ausführungen wird auf die Restklassen modulo 4 zurückgegriffen. 7

⁶ x modulo y ist eine mathematische Funktion die den Rest der Division von x durch y wiedergibt

⁷ vgl. Lambacher-Schweizer Mathematisches Unterrichtswerk, Ernst Klett Verlag, Stuttgart, 3. Auflage 1976: „Algebra 1“, S.27

- 7 - 3.2Additive Restklassengruppe

Mit diesen Restklassen kann man nun, ähnlich wie mit normalen Zahlen rechnen. Addiert man irgendeine Zahl aus 2 zu einer Zahl aus 3 , so ist das Ergebnis ein Element

von 1 (vgl. Beispiel 3). Für diese Verknüpfung schreibt

man

alle anderen Restklassen modulo 4 angewandt werden. Trägt man nun die Ergebnisse aller möglichen Verknüpfungen in eine Tabelle ein, erhält man eine Verknüpfungstafel (siehe Tabelle 2).

Die vier Restklassen bilden eine Menge G = { 0 , 1 , 2 , 3 }. Man überprüft diese Menge nun auf die Gruppenaxiome. Bei zwei additiv verknüpften Elementen ist das Ergebnis der Verknüpfung stets wieder ein Element von G. Also ist die Abgeschlossenheit von G bezüglich der additiven

= ⊕ 1 3 2 Verknüpfung erfüllt. Die + = + + + 4 mod ) 1 4 ( 4 mod ] 3 4 2 4 ( [ p ) m ( ) n = + + + Menge enthält das neutrales 3 4 2 4 x m n = ⇒ = + + = + 0 , 17 13 , 9 , 5 5 ) ( 4 ...} , { x x m n Element 0 , denn a a .

Außerdem existiert zu jedem Element der Menge G ein Element, dass additiv

verknüpft mit einem anderen, das neutrale Element 0 ergibt (vgl. Tabelle 2). Es existiert also ein inverses Element -a. Ein Beweiß für das Assoziativgesetz ist Beispiel 4. Zusätzlich lässt sich anhand der Verknüpfungstafel erkennen, dass das Ergebnis von ab das gleiche wie ba ist. Also gilt auch das Kommutativgesetz. Dadurch dass die vier Gruppenaxiome erfüllt sind, und die additive Verknüp-

fung kommutativ, ist können wir von einer abelschen Gruppe G bezüglich der additiven Verknüpfung sprechen: (G,). In dieser Gruppe ist die Addition uneingeschränkt ausführbar. Außerdem existiert zu jedem Element auch ein inverses

Element, und damit ist die Gleichung a ⊕ x = b mit x = b ⊕

- 8 - -alösbar, welche die Subtraktionsaufgabe ist (siehe Beispiel 5).

3.3 Restklassenringe und Körper

Aufgrund der Gültigkeit der additiven Verknüpfung für die Elemente aus den vier Restklassen, kann man vermuten, dass auch eine

ähnliche multiplikative Verknüpfung existiert. Wird ein Element aus 1 mit einem aus 3 multipliziert, so

erhält man stets wieder ein Element aus 3 . Die

Vorgehensweise für so eine multiplikative

Verknüpfung zeigt Beispiel 6. Mit den Verknüpfungsergebnissen kann man auch für die

multiplikative Verknüpfung eine Cayley Tafel erstellen, in der alle möglichen Verknüpfungsergebnisse eingetragen sind. Diese Tafel ist in Tabelle 3 zu sehen. Wie zu erkennen ist, existiert, im Gegensatz zur additiven Verknüpfung, nicht für jedes Element ein inverses Element, da es für 0 und für 2 kein Element gibt, mit denen die multiplikative Verknüpfung das neutrale Element ergeben würde. Weitere Unterschiede sind, dass das neutrale

Element nun durch die 1 repräsentiert wird und bei der Verknüpfung mit 0 das Ergebnis

immer 0 ist.

Ähnlich wie bei der additiven Verknüpfung, wird mit Beispiel 7 auf Seite 9 die Gültigkeit des Assoziativgesetzes bewiesen. Anhand der Symmetrie in der Verknüpfungstafel lässt

+ 4 [( n

16

∈ =

∈ p n, m, alle für Aussage wahre

Menge G ist zu erkennen, ⁰ dass diese Menge bezüg- Beispiel5 - Multiplikative Verknüpfung

lich der multiplikativen Verknüpfung keine Gruppe bildet. Das inverse Element ist nicht für jedes Element der Restklassen definiert.

- 9 - ⊗ = ⊕ ⊗ ⊗ ⊕ Zusammen mit der additiven und multiplikativen c a b a c b a ) ( ⊗ ⊕ ⊗ = ⊕ ⊗ 3 1 2 1 ) 3 2 ( 1 Verknüpfung bildet die Restklasse modulo 4 also keinen

Körper, sondern lediglich ein Ring. Dies liegt daran, dass die Restklassenmenge bezüglich der Multiplikation

keine Gruppe bildet. Restklassen modulo x können also Ringe bilden. Dass bei richtiger Wahl von x auch Körper entstehen zeigen die folgenden Ausführungen.

Ein Restklassenring liegt vor, wenn die Menge der Restklassen bezüglich der additiven Verknüpfung eine abelsche Gruppe bildet und dieselbe Menge bezüglich der multiplikativen Verknüpfung einen Halbkörper bildet. Vorraussetzungen für einen Halbkörper waren nur die Abgeschlossenheit und die Assoziativität. Deshalb kann man von jeder Restklasse modulo x behaupten, dass sie bezüglich den zwei zweistelligen Verknüpfungen ⊕ und ⊗ einen Ring bilden. In ihm ist die additive Verknüpfung

uneingeschränkt ausführbar, und die multiplikative Verknüpfung ist mit der additiven Verknüpfung über das Distributivgesetz verknüpft. Beispiel 6 gibt dafür ein Rechenbeispiel. Solch ein Ring wird Restklassenring genannt. Es gibt nun auch Restklassen, bei denen die multiplikative Verknüpfung eine abelsche Gruppe bildet. Wie angekündigt muss x dabei geschickt gewählt werden. Falls x eine Primzahl ist, erhält man eine Restklasse mit inversen Elementen ⊗ 1 2 3 4

für die multiplikative Verknüpfung. Also eine abelsche Rest-1 1 2 3 4 klassengruppe bezüglich der multiplikativen Verknüpfung. Dass hier Primzahlen verwendet werden müssen, lässt sich durch eine 2 2 4 1 3

einfache Überlegung erklären. Bei den Restklassen modulo 4

3 3 1 4 2

Tabelle 4 - Restklassen

Bei Restklassen modulo einer Primzahl gibt es hingegen immer

modulo 5 (multiplikativ verknüpft) einen unterschiedlichen Rest. Als Beispiel ist die Restklassengruppe modulo 5 ohne 0 angegeben. Erstellt man nun eine Verknüpfungstafel so kann man erkennen, dass für jedes Element ein inverses Element existiert. Um dies zu verdeutlichen folgt eine weitere Verknüpfungstafel für die Restklassen modulo 5 in Tabelle 4. Der Restklassenring wird nun, da die Menge ohne 0 bezüglich der multiplikativen Verknüpfung eine abelsche Gruppe bildet, und die anderen Bedingungen sich nicht ändern, zu einem Restklassenkörper, in dem die additive und die multiplikative Verknüpfung uneingeschränkt ausführbar sind.

- 10 - 4.Anwendung bei den Zahlbereichserweiterungen

4.1. Die Menge der natürlichen Zahlen

Die natürlichen Zahlen sind die ersten Zahlen, die jemals in der Geschichte der Menschheit als Zahlen erwähnt wurden. Sie entstehen durch den Abzählvorgang von Gegenständen. Um die natürlichen Zahlen darzustellen, werden arabische Ziffern wie 1, 2,

zusammengefasst: ...} 3 2 1 { . Die Null ist je nach Definition ein Element oder nicht. , , ,

Historisch gesehen hat die Einführung der Null lange Zeit gedauert, und daher würde der Begriff natürlich auf die natürlichen Zahlen mit Null nicht mehr zutreffen. Falls die Null hinzugenommen werden soll, schreibt man 0 . Nun kann überprüft werden, ob die Menge bezüglich der Addition oder der Multiplikation eine Gruppe bildet. Mit den natürlichen Zahlen kann die normale Addition und Multiplikation uneingeschränkt ausführt werden. Das Ergebnis zweier Zahlen, die addiert werden, ist immer wieder eine natürliche Zahl. Dies liegt daran, dass man das Zählen unendlich weit fortführen kann. Die Menge der natürlichen Zahlen ist also keine endliche Menge, wie eine Restklasse, sondern eine unendliche Menge. Bei der Multiplikation von zwei Elementen, ergeben sich auch nur Elemente die Teil der natürlichen Zahlen sind. Diese Menge ist also bezüglich der Addition und bezüglich der Multiplikation abgeschlossen. Damit ist das erste Gruppenaxiom erfüllt.

Außerdem ist es egal welche Reihenfolge man beim Addieren benutzt. Dieses würde bedeuten, dass das zweite Gruppenaxiom, das Assoziativgesetz, auch gilt. Ein Beispiel hierfür liefert Beispiel 9. Das gleiche gilt auch für die Multiplikation, wie man durch eine andere Beispielrechnung einfach sehen könnte.

Bei dem dritten Gruppenaxiom scheitert die Menge der natürlichen Zahlen daran, eine

+ + ) ( c b a + + ) 7 4 ( 2 + = + diese in der Menge der natürlichen Zahlen nicht enthalten. 7 ) 6 ( ) 11 ( 2 ⇒ = q.e.d 13 13 Bezüglich der Multiplikation existiert das neutrale Element 1. Dieses wird auch als Einselement bezeichnet.

Beispiel 7 - Assoziativgesetz

Das vierte Gruppenaxiom erfüllt die Menge nun bezüglich beiden Verknüpfungen nicht. Es gibt zu keinem Element ein Negatives Element. Außerdem gibt es außer der 1 auch keinen Kehrwert, zu einem Element der natürlichen Zahlen. Es existiert also weder ein inverses Element der Addition, noch eines der Multiplikation.

- 11 -Für die natürlichen Zahlen gilt jedoch das Kommutativgesetz, da die Reihenfolge, in der man die Verknüpfungen ausführt ist bei Addition und Multiplikation vertauschbar ist: + = + . Die natürlichen Zahlen bilden lediglich eine kommutative Halbgruppe a b b a

bezüglich der Addition bzw. eine kommutative Halbgruppe mit einem neutralen Element, ein Monoid, bezüglich der Multiplikation. − = b a x Die Subtraktion funktioniert bei den natürlichen Zahlen, aufgrund der

a > , und die Division = fehlenden negativen Elementen nur für b geht nur auf, b a x :

wenn b ein Teiler von a ist. Aufgrund dieser Erkenntnisse scheint es nötig, die Menge der natürlichen Zahlen zu erweitern.

4.2. Der Ring der ganzen Zahlen

Durch die Existenz von Mängeln, in den natürlichen Zahlen, wurden auch die negativen Zahlen und die 0 zu der Menge hinzugefügt. Diese Menge, die das Symbol trägt, heißt Menge der ganzen Zahlen.

Betrachtet man nun die Gruppenaxiome, stellt man fest, dass im Gegensatz zu den natürlichen Zahlen, jetzt ein neutrales Element der Addition, die Null, existiert. Außerdem gibt es mit den negativen Zahlen, die analog zu den natürlichen Zahlen unendlich weit ins Negative gehen, jetzt für jedes Element a ein inverses Element -a. Zusammen mit den Eigenschaften, die für die natürlichen Zahlen gezeigt wurden, kann man nun erkennen, dass die ganzen Zahlen eine Abelsche Gruppe bezüglich der Addition bilden: (, +). Durch die Existenz des additiv inversen Elementes, wird nun auch jede Additionsrechnung

. Beh

Zusammen mit der Multiplikation, bei der sich = + − + ] ) [( . b b a a Bew = + − + durch die Einführung der negativen Zahlen keine )] ( [ b b a a = +

Beispiel 8 - Subtraktionsaufgabe

Verknüpfungen aus werden durch das + = + ⋅ ) ( c b a = + ⋅ ) 2 4 ( 3 = ⋅ ) 6 ( 3 =

18 Beispiel 9 - Distributivgesetz Spezialfall einer Halbgruppe ist, bilden und beide

- 12 -Verknüpfungen über das Distributivgesetz verbunden sind, kann man vom Ring der ganzen Zahlen sprechen:

(, +, ⋅ ). In diesem Ring kann die Multiplikation jedoch immer noch nicht

uneingeschränkt ausgeführt werden. Die inversen Elemente der Multiplikation fehlen auch in den ganzen Zahlen noch. Aufgrund dieser Tatsache wird der Zahlbereich der ganzen Zahlen noch einmal erweitert.

4.3. Der Körper der rationalen Zahlen

Durch die Unvollständigkeit der ganzen Zahlen bezüglich der Multiplikation werden bei der Erweiterung zu den ganzen Zahlen die sogenannten Brüche eingeführt. Diese entstehen, man zwei ganze Zahlen dividiert. Für solche Brüche gibt es drei verschiedene

bekannte Schreibweisen: Die echten Brüche

Dezimalbrüche wie z.B. 0,5. In dieser Facharbeit werde ich die Schreibweise der echten Brüche verwenden.

Mit der Einführung der Brüche wird die Menge der ganzen Zahlen zur Menge der rationalen Zahlen, mit dem Symbol . In dieser Menge lassen sich alle Zahlen durch einen Bruch a / b darstellen. Ist dabei b = 1 so ist der Bruch eine ganze Zahl. Durch die Brüche existiert nun für jedes Element a = p / q, ein inverses Element bezüglich der Addition,

nämlich a -1 mit a -1 = q / p. Dieses inverse Element wird allgemein als Kehrwert bezeichnet. Mithilfe des Kehrwerts ist die fehlende Eigenschaft, um bezüglich der Multiplikation eine abelsche Gruppe zu bilden jetzt gegeben. Bei der Addition bleibt das − Negative Inverse Element weiterhin erhalten, und die rationalen Zahlen bilden eine b a /

abelsche Gruppe für die Addition. Sie bilden also bezüglich der Addition, und auch bezüglich der Multiplikation jeweils abelsche Gruppen mit den neutralen Elementen 0 für die Addition bzw. 1 für die Multiplikation. Beide Verknüpfungen sind weiterhin über das Distributivgesetz miteinander verbunden. Die

. Beh

⁻ ⋅ [ . a a Bew ⁻ = ⋅ ⋅ Mit den rationalen Zahlen werden nun alle vier ¹ ] [ b b a a

Beispiel 10 - Divisionsaufgabe

für die Addition und Beispiel 12 für die

- 13 -Multiplikation).

Die rationalen Zahlen lassen sich auf einer Zahlengeraden darstellen, wobei jede Zahl durch einen Punkt auf ihr repräsentiert werden kann. Umgekehrt kann jedoch nicht jedem Punkt auf der Geraden ein Zahlenwert zugewiesen werden. Dies liegt daran, dass z.B. eine = ² in keine Lösung besitzt, die Lösung der einfachsten Quadratischen Gleichungen 2 x

dieser Gleichung sich aber auf der Zahlengeraden befindet. Dadurch besteht der Anlass zu einer weiteren Erweiterung.

4.4. Vervollständigung zu den reellen Zahlen

Nachdem die rationalen Zahlen nun einen kommutativen Körper bilden, spielen die Gruppenaxiome bei dieser Erweiterung keine Rolle mehr, denn einen spezielleren Fall als einen Kommutativen Körper gibt es nicht. Jedoch hat, wie in Kapitel 4.3. angemerkt, die = ² 2 x keine rationale Lösung. Mathematiker streben aber nach Quadratische Gleichung

Vollständigkeit, deswegen wurden die rationalen Zahlen erneut erweitert. Die Lösung einer quadratischen Gleichung, kann man, falls das Ergebnis keine rationale Zahl ist, näherungsweise bestimmen, und als Dezimalbruch darstellen. Eine solche

Näherung lässt sich über eine Intervallschachtelung ⁸ berechnen und das Ergebnis ist eine Zahl, mit unendlich vielen Stellen die sich nicht periodisch wiederholen. Eine sogenannte Irrationale Zahl. Intervallschachtelungen sind vielleicht einigen noch aus der Schule bekann. Sie beruhen darauf, dass man einen Intervall, der die Lösung enthält, immer kleiner werden lässt, so dass die Intervalle auf das Ergebnis zulaufen, und dieses als Grenzwert haben. Um mit Hilfe einer Intervallschachtelung die Lösung einer Quadratischen Gleichung zu berechnen, hat man die Wurzeln als neue Rechentherme eingeführt. Eine Wurzel ist dadurch

< ² 1 < ² 4 , 1 < ² 41 , 1 < ² 414 , 1

Beispiel 11 - Intervallschachtelung

zu untersuchenden Zahlen ein. Eine Beispielrechnung für eine solche Intervallschachtelung ist in Beispiel 13 gezeigt. Durch eine Intervallschachtelung kann nun jede irratio-

⁸ Intervall(lat. intervallum = Zwischenraum) „[…] 2. Bereich zwischen zwei Zahlen einer Skala […]“ (aus Fremdwörterlexikon)

- 14 -nale Zahl dargestellt werden. Damit ist die Zahlenmenge der reellen Zahlen, mit dem Symbol , welche die rationalen Zahlen und die Irrationalen Zahlen beinhaltet, voll-ständig, und in ihr lassen sich alle real existierenden Ergebnisse berechnen. Auf der Zahlengeraden lassen sich nun alle Zahlen abbilden, und die Umkehrung, dass zu jedem Punkt eine Zahl gehört ist auch gegeben. Ein Beispiel für solch eine Zahlengerade, mit einigen irrationalen Punkten zeigt Abbildung 1.

Abbildung 1 - Zahlengerade

4.5. Mögliche weitere Erweiterungen und Ausblicke

Nachdem nun der Körper der reellen Zahlen als vollständig gilt, treten immer noch einige Fragen auf. Eine davon ist wohl die Frage, was passiert, wenn unter der Wurzel eine Negative Zahl steht. Dies ist bei schwierigen Gleichungen, oder auch bei der einfachen − = ² x Gleichung 1 der Fall. Es existieren also auch mit den reellen Zahlen noch Gleichungen, die nicht lösbar sind. Um dieses Problem zu umgehen, hat man eine weitere Zahlenmenge eingeführt, die das Lösen von solchen Problemen möglich macht. Diese Zahlenmenge der komplexen Zahlen . Sie beruht darauf, dass man eine Zahl aus einem reellem Teil, und einem imaginärem Teil, zusammensetzten kann. Mithilfe der Gruppentheorie lässt sich auch für die komplexen Zahlen beweisen, dass diese einen Körper bezüglich der Addition und die Multiplikation bilden. Jedoch muss man bei diesen Zahlen besondere Multiplikations- und Additionsgesetze beachten. Eine Ausarbeitung über die komplexen Zahlen würde jedoch den Rahmen dieser Facharbeit überschreiten. Ferner kann man die Struktur von komplexen Zahlen beibehalten, aber mehrere Imaginärteile hinzufügen, und so erhält man neue Zahlenmengen, die keine Körper mehr bilden. Ein Beispiel hierfür ist der Schiefkörper der Quaternionen, die von Sir William Rowan Hamilton erdacht wurden. Mit diesem Zahlbereich werden heute in der Informatik Drehungen im dreidimensionalen Raum beschrieben oder Ergebnisse von Rechenoperationen für Mathematikprogramme numerisch errechnet. Zahlen wie Quaterionen bezeichnet man als hyperkomplexe Zahlen, da sie, wie die komplexen Zahlen, imaginäre Teile besitzen, und die Rechengesetze für die Addition, oder auch für die Multiplikation ähnlich hergeleitet werden können.

- 15 - 5.Schlussteil

Durch diesen Einblick in die Gruppentheorie und einige ihrer Anwendungen ist die Bedeutung von Gruppen, Ringen und Körpern für die Mathematik deutlich geworden. Man kann sehen, dass sich über theoretische Definitionen die Erweiterung von Zahlbereichen begründen lässt, oder auch neue Zahlenmengen entstehen können. Mit diesen Gruppen, Ringen und Körpern kann man ähnlich wie mit den uns bekannten Zahlenmengen rechnen.

Der größte Nutzen von algebraischen Strukturen, die im normalen Schulalltag nicht behandelt werden, liegt darin, Zahlenbereiche, die sich von den uns bekannten Zahlbereichen erheblich unterscheiden, über Axiome definiert zu haben. Hier lassen sich über nicht real existierende Zahlen Lösungen von komplexen Gleichungen, Drehungen oder andere aufwendige Prozesse einfach zusammenfassen und berechnen. Das Rechnen mit solchen Zahlen ist jedoch ein sehr komplizierter Aufwand, der im Rahmen einer solchen Facharbeit nicht ausreichend erläutert werden könnte, da dann das Basiswissen über Gruppen, Ringe und Körper nicht vorhanden wäre.

Mit dieser Facharbeit habe ich einen Einblick in die Gruppentheorie bekommen, und die Grundlagen von Gruppen, Ringen und Körpern zusammengefasst erläutert.

6. Literaturverzeichnis

Lambacher Schweizer, Algebra 1: Lambacher-Schweizer Mathematisches Unterrichtswerk, Ernst Klett Verlag, Stuttgart, 3. Auflage 1976: „Algebra 1“ Wikipedia, Axiom: Wikimedia Foundation Inc., Florida Department of State: „Axiom”. URL: http://de.wikipedia.org/wiki/Axiom [Stand: 18.01.05] Diverse Wikipedia Artikel: Wikimedia Foundation Inc., Florida Department of State: „Gruppentheorie” URL: http://de.wikipedia.org/wiki/Gruppentheorie [Stand 02.03.05] „Ringtheorie” URL: http://de.wikipedia.org/wiki/Ringtheorie [Stand 06.02.05] „Körper” URL: http://de.wikipedia.org/wiki/Körper_(Mathematik) [Stand 16.02.05] „Schiefkörper” URL: http://de.wikipedia.org/wiki/Schiefkörper_(Mathematik) [Stand 02.12.04]

„Verknüpfung”URL: http://de.wikipedia.org/wiki/Verknüpfung_(Mathematik) [Stand 22.01.05]

„Einstellige Verknüpfung” URL: http://de.wikipedia.org/wiki/Einstellige_Verknüpfung [Stand 06.02.05]

- 16 -„Zweistellige Verknüpfung” URL: http://de.wikipedia.org/wiki/Zweistellige_Verknüpfung [Stand 02.01.05]

„Abstrakte Algebra” URL: http://de.wikipedia.org/wiki/Abstrakte_Algebra [Stand 17.02.05] „Algebraische Struktur” URL: http://de.wikipedia.org/wiki/Algebraische_Struktur [Stand 01.02.05]

„Hierarchie mathematischer Strukturen“ URL:

http://de.wikipedia.org/wiki/Hierarchie_mathematischer_Strukturen [Stand 20.02.2005] „Quaternionen“ URL: http://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion [Stand 20.02.2005] Elementare Einführung in die Gruppentheorie: Uni Potsdam, aus Helmut Titze, Harald Walter, Rainer Feuerlein: Algebra 2, Bayerischer Schulbuch-Verlag München, 1974: URL: http://users.math.uni-potsdam.de/~oeitner/QUELLEN/MATHE/gruppe1.htm [Stand 03.12.2000]

Keilbach, komplexe Zahlen: Gerhard Keilbach, Georg-Büchner-Gymnasium Winnenden, 2000: „komplexe Zahlen“. URL:

http://www.keilbach.onlinehome.de/mathe/m12/komplex1.html [Stand: 19.06.04] TU Freiberg, Geschichte der Gruppentheorie: Technische Universität Freiberg: „Zur Geschichte der Gruppentheorie“ URL:

http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/algebra/gruppenhistorie.html [Stand: 7.03.05] Fremdwörterlexikon: A. M. Textor, Rowohlt Taschenbuch Verlag, 2. Auflage Januar 2003: „Sag es auf Deutsch - Das Fremdwörterlexikon“

7. Anhang

Die nachfolgenden Texte sind originale Kopien der Internetquellen, aus denen ich einige Texte zitiert oder sinngemäß übernommen habe. Stand: 7. März 2005

7.1. Wikipedia Axiom

Axiom (v. griech.: tà to~n progónon axiómata = als wahr angenommener Grundsatz) nennt man eine Aussage, die grundlegend ist und deshalb nicht innerhalb ihres Systems begründet werden kann bzw. muss. Sie dient als Grundlage für eine deduktive Theorie (vgl. auch Prinzip) und kann deshalb nicht selber durch diese Theorie begründet werden. Wenn eine Theorie aus begründeten Sätzen bestehen soll, so muss es notwendigerweise solche Axiome geben, denn sonst würde die Argumentation nie enden: Jeder Satz, den ich zur Begründung anführte, bedürfte wieder einer Begründung usw. Daher ist ein Axiom etwas ganz anderes als eine Vermutung.

Ausnahme: der Logizismus, vertreten von Gottlob Frege, der zumindest die elementare Arithmetik rein logisch zu begründen suchte. (Aber dann stellt sich - nicht für ihn, aber für uns - die Frage nach der Begründung der Logik).

- 17 -Mehrere Axiome können zu einem Axiomensystem gehören, wenn sie in keinem

Widerspruch zueinander stehen. So definieren z.B. die Körperaxiome in Verbindung mit

den Anordnungsaxiomen und dem Vollständigkeitsaxiom die reellen Zahlen: Alle wahren Aussagen über reelle Zahlen lassen sich aus diesen Axiomen ableiten.

Wenn eine deduktive Theorie irgendeinen Anspruch auf Gültigkeit haben soll, so müssen ihre Axiome wohlbegründet sein (nur eben nicht mit den Mitteln dieser Theorie). Sie müssen "selbstverständlich" und "offenbar" sein. Mit Gödel u.a.: Axiomata in einer logischen Sprache können nur außerhalb ihrer selbst, in einer "Metasprache" begründet werden. Die Axiome dieser Sprache also nur in einer "Meta-meta-Sprache", und so fort. Die allerletzte Sprache (das 'allererste Kettenglied') ist auch für Logiker dann die sog. Umgangssprache.

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Beispiele:

1. Parallelenaxiom: "Zu jeder/m Geraden / Punkt, der nicht auf dieser Geraden liegt, gibt es genau eine Parallele durch diesen Punkt." Dieses Axiom der euklidischen Geometrie war immer als weniger klar und einleuchtend erschienen als die anderen und es gab viele Versuche, es aus den anderen abzuleiten. Schließlich wurden um die Wende zum 19. Jahrhundert nichteuklidische Geometrien konzipiert, die bewiesen, dass es logisch unabhängig ist.

2. "Zu jedem Prädikat P gibt es die Menge aller Dinge, die dieses Prädikat erfüllen." Dies ist das ursprüngliche Komprehensionsaxiom der Mengenlehre Georg Cantors, das so klar und einfach, so selbstverständlich ist, dass es einen großen Schock bedeutete, als sich herausstellte, dass es nicht widerspruchsfrei zu den anderen Axiomen hinzugefügt werden konnte.

3. "Jede natürliche Zahl n hat einen Nachfolger n + 1" ist ein offenbar nicht umstrittenes Axiom(enschema) der Arithmetik. Es ist plausibel, weil es die Zählbewegung simuliert (man kann es mit Streichhölzern schreiben), deren protomathematische Evidenz klar ist.

4. "Der Raum ist homogen", d.h. es darf keine Rolle spielen, an welcher willkürlich gewählten Stelle im Raum ein Vorgang stattfindet, solange nur alle anderen Rahmenbedingungen gleich sind. Sollte dieses Axiom nicht erfüllt sein, gäbe es auf irgendeine Weise ausgezeichnete Stellen im Raum, deren Eigenschaften und Herkunft nur noch im Rahmen einer Religion erklärbar sind (tatsächlich definieren fast alle Religionen so etwas wie ein Jenseits, also einen Ort im Raum, an dem die sonst üblichen Gesetzmäßigkeiten nicht mehr gültig sind). In der klassischen Physik folgt direkt aus diesem Axiom die Erhaltung des Impulses. 5. "Wahr ist Falsch", ein Axiom muss keine Konsequenz einer übergeordneten Schlussfolgerungskette sein. Aus einer Theorie, die ein solches Axiom enthält, lassen sich aber beliebige Schlussfolgerungen ziehen. 6. Ein Axiom einer Religion oder Weltanschauung wird Dogma oder Paradigma genannt.

Von "http://de.wikipedia.org/wiki/Axiom"

Einordnung: Logik

- 18 - 7.2.Keilbach, komplexe Zahlen

[…]

I - DER KÖRPER DER REELLEN ZAHLEN

I.1. Verknüpfungen

In der Mathematik werden die Zahlbereiche mehrfach erweitert. Zuerst rechnet man mit natürlichen Zahlen, dann Differenzen und Quotienten führen zu negativen Zahlen und Bruchzahlen und Dezimalzahlen. Man rechnet weiter mit reellen Zahlen, schließlich sogar mit Objekten, die keine Zahlen mehr sind, wie algebraische Termen, Vektoren und Funktionen. Fortgeschrittene Oberstufenschüler können sogar mit mehrdimensionalen Vektoren rechnen, die nicht mehr dem Anschauungsraum zuzuordnen sind. Grundsätzlich gehört zum Rechnen zweierlei:

Erstens eine Grundmenge G, mit deren Elementen gerechnet wird. Zweitens eine Rechenoperation, die wir jetzt einfach durch das Zeichen o darstellen. Je zwei Elementen a und b G soll ein eindeutig definiertes Ergebnis aob zugeordnet werden. Statt „Rechenoperation“ gebrauchen wir die Bezeichnung „Verknüpfung“, welche zugleich andeutet, dass wir uns bei unseren Betrachtungen durchaus nicht auf die bekannten Rechenoperationen (+, -, •, :) beschränken wollen. Wir sagen:

Auf der Menge G ist eine Verknüpfung o erklärt, wenn für jedes geordnete Paar a,b G

erklärt, weil o nicht für alle Paare a,b G definiert ist.

In der vorliegenden Form ist der Verknüpfungsbegriff noch sehr allgemein. Oft haben Grundmenge und die darauf definierte Verknüpfung die folgenden Eigenschaften:

Man nennt eine nicht leere Menge G, auf der eine Verknüpfung definiert ist, eine Gruppe (G,o), wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

1. Abgeschlossenheit

G heißt abgeschlossen bezüglich der Verknüpfung o, wenn für jedes a,b G auch aob wieder ein Element von G ist.

2. Assoziativität

Die Verknüpfung o auf G heißt assoziativ, wenn für alle a,b,c G gilt: ao(boc) = (aob)oc.

- 19 -3. Existenz eines neutralen Elementes

Das Element n G heißt neutral bezüglich der Verknüpfung o, wenn für alle a G gilt noa = aon = a.

4. Existenz der Inversen

Es sei auf G eine Verknüpfung definiert, für welche es ein neutrales Element n gibt. Man nennt die Elemente a und b invers zueinander, wenn aob = boa = n gilt.

Der Gruppenbegriff wurde dazu geschaffen, die verschiedensten mathematischen Objekte unter einheitlichen Gesichtspunkten zu erfassen und das Gemeinsame herauszustellen.

Beispiel zur Abgeschlossenheit:

G sei die Menge der natürlichen Zahlen. Dann ist G abgeschlossen bezüglich der Verknüpfung, wenn aob = a+b oder aob = ab definiert wird. Denn Summe und Produkt natürlicher Zahlen sind wieder solche Zahlen. Jedoch ist G nicht abgeschlossen bezüglich der Verknüpfung aob = a-b, denn die Differenz kann negativ werden, also nicht mehr zu den natürlichen Zahlen gehören.

Zur Bezeichnung des Inversen zu a sind (je nach Art der Verknüpfung) allgemein zwei verschiedene Schreibweisen üblich. Es wird entweder mit -a oder mit a ^-1 bezeichnet.

Die Eigenschaften 1.-4. heißen Gruppenaxiome. Es kann noch eine 5. Eigenschaft dazukommen:

5. Kommutativität

Eine Verknüpfung o auf G heißt kommutativ, wenn für alle a,b G gilt: aob = boa.

Gilt auch die Kommutativität, so nennt man die Gruppe kommutativ oder abelsch (nach dem norwegischen Mathematiker Niels Hendrik Abel (1802 - 1829).

[…]

7.14 TU Freiberg, Zur Geschichte der Gruppentheorie

Zur Geschichte der Gruppentheorie

natürlich wurden Gruppen schon lange benutzt, bevor sie formal axiomatisch definiert wurden. In den Problemen, bei deren Untersuchung sie auftraten, wie etwa der Symmetrie der Platonischen Körper, waren diese Axiome von selbst erfüllt. Daher hatte man schon einige Erfahrungen über den Umgang mit diesen algebraischen Strukturen gesammelt, bevor die heute vier üblichen Axiome zu ihrer Definition aus diesen Erfahrungen extrahiert wurden. Die Bezeichnung Gruppe für derartige Strukturen wurde erstmals 1868 durch Camille Jordan verwendet (Memoire sur les groupes des mouvements, Annali de matematica pura ed applicata, Ser. II, Vol. II, No. 3 (1868) 167 - 215, 322-345), obwohl er nur das Axiom der Abgeschlossenheit gegenüber der Verknüpfung von zwei Gruppenelementen explizit forderte. Da er Symmetriegruppen untersuchte, folgten die anderen Gruppeneigenschaften automatisch. Er entdeckte z. B. nicht die Existenz der eindeutig bestimmten inversen Symmetrieabbildung innerhalb der von ihm untersuchten Gruppen. Im Jahre 1854 hatte Arthur Cayley die Notwendigkeit des Assoziativgesetzes und die Existenz eines Einselementes entdeckt. Er bezeichnete die Gruppenelemente durch

- 20 -abstrakte Symbole und definierte deren Verknüpfung mittels einer Tabelle, die heutzutage Cayley-Tafel genannt wird. Im Jahre 1856 gab William Rowan Hamilton (Memorandum Respecting a New System of Roots of Unity, Philosophical Mag. 12 (1856), 446) die erste Darstellung einer Gruppe, der Ikosaedergruppe, an, eine sehr platzsparende Methode eine konkrete Gruppe zu definieren, die in diesem Fall auf einer einzigen Zeile hingeschrieben werden kann, im Vergleich zu der Tabelle von 60 x 60 Einträgen der Cayley-Tafel. Die erste Definition der Gruppe mit den heute üblichen Axiomen erfolgte 1882 unabhängig voneinander durch Walter van Dyck (Gruppentheoretische Studien, Math. Ann. 20 (1882),

1-44) und Heinrich Weber.

Die erste große außermathematische Anwendung der Gruppentheorie bestand in der Bestimmung aller 230 Raumgruppen durch den russischen Kristallographen Fedorov im Jahre 1890. Dies sind die Symmetriegruppen der dreidimensionalen Punktgitter. Solche periodischen diskreten Punktgitter wurden als Modelle für den Aufbau von Kristallen aus Atomen angesehen, obwohl dies erst 1912 experimentell bestätigt werden konnte. Jedes solche Gitter kann nämlich eindeutig durch seine Symmetriegruppe charakterisiert werden.