Zeitreihenanalyse  : GARCH-Prozesse  1

Frankfurt  (Oder), den  22.01.02

INHALTSVERZEICHNIS  :  

GARCH  (THEORETISCHER TEIL)  2

EINLEITUNG  :  2

IDENTIFIKATION  EINES GARCH-PROZESSES:  3

SCH  ÄTZUNG DER GARCH - PARAMETER:  4

PARAMETERRESTRIKTIONEN  , STATIONARITÄT, UND UNBEDINGTE VARIANZ:  5

MODIFIKATIONEN  DES GARCH-MODELLS:  6

ALLGEMEINE  STÄRKEN UND NACHTEILE DES GARCH-ANSATZES:  8

GARCH  (PRAKTISCHES BEISPIEL)  10

DATENSATZ  UND PREPROCESSING.  10

MODELL.   12

PARAMETERSCH  ÄTZUNGEN:  15

DIE  PROGNOSE UND ÖKONOMISCHE AUSWERTUNG DES MODELLS.  16

AUSBLICK  :  18

LITERATURLISTE  :  19

ANH  ÄNGE.  20

ANHANG 1:  DIE BLACK-SCHOLES-FORMEL:  20

ANHANG 2:  VOLATILITÄT VERSUS OPTIONSPREISE.  21

ANHANG 3:  DIE IDENTIFIKATION DER GARCH-ORDNUNGEN  22

ANHANG 4:  SCHÄTZUNGEN DER GARCH-PARAMETER:  23

ANHANG 5:  SCHÄTZUNG DER PARAMETER FÜR IMPLIZIERTE VOLATILITÄT:  24

ANHANG 6:  GARCH-VARIANZ VS. IMPLIZIERTE VOLATILITÄT  25

ANHANG 7:  DIE KUMULIERTEN GEWINNE, JE NACH LAUFZEIT:  26

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Zeitreihenanalyse: GARCH-Prozesse 2

GARCH (THEORETISCHER TEIL)

EINLEITUNG:

Bei der Analyse der verschiedensten Finanzzeitreihen (Aktien- und Wechselkursrenditen, aber auch Inflationsrate) wird häufig festgestellt, dass obwohl die eigentlichen Beobachtungen im Sinne eines ARMA-Prozesses nicht prognostizierbar sind (was die Annahme der Markteffizienz bekräftigt), sind deren Quadrate gut prognostizierbar. Anders ausgedrückt, obwohl die Beobachtungen keine signifikante Autokorrelationen aufweisen, sind diese trotzdem nicht unabhängig, und zwar wegen der Autokorrelationen in ihrer Varianz. Volatilität ist aber per se extrem wichtig in der Finanzwissenschaft und Praxis, deswegen wäre deren Vorhersage von größerer Bedeutung.

Außerdem ist häufig eine Situation vorhanden, wenn die quadrierten Residuen eines Modells autokorreliert sind. Solche stochastische Varianz der Residuen bringt mit sich eine Verzerrung der Standard-Errors, was die üblichen Signifikanztests für Parameterschätzungen für einfache (ohne Berücksichtigung solcher Volatilität) aufgebaute Regressionsmodelle unter Zweifel stellen kann. Ein früherer Versuch, diesen Tatsachen entgegenzukommen, beruht auf dem Konzept der stochastischen Volatilität aus den 70er Jahren (insb. entwickelt von Clark, Tauchen, Pits). In diesen Modellen folgte die Volatilität einem eigenen stochastischen Prozess. Ein deutlicher Durchbruch wurde im Jahre 1982 erzielt mit dem ARCH(1) Modell von Engle: x t - µ = ε t = U t σ ^t σ t = α 0 + α 1 ε ^{t-i 2 2} U t ~ NID (0, 1 )

Dabei wurde die Abhängigkeit der bedingten Varianz σ ^{t 2} von der vergangenen Realisierung des

Prozesses selbst definiert. Das Modell kann intuitiv auf weitere Verzögerungen ausgeweitet werden, was ein ARCH (q)-Modell ergibt:

x t - µ = ε t = U t σ t

= α 0 + Σ ^{i=1 q} α i ε t-i 2

σ t 2

U t ~ NID (0, 1 )

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Zeitreihenanalyse: GARCH-Prozesse 3

Im Laufe der zahlreichen praktischen Implementierungen hat es sich jedoch herausgestellt, dass für genügend gute Anpassung eine ziemlich hohe Ordnung q notwendig wurde. Als Antwort auf diesen Makel wurde Ende der 80er Jahren von Bollerslev ein sog. GARCH-Modell entwickelt, welches im allgemeinen Fall viel sparsamer mit Parametern umgeht. Das Modell lässt im Vergleich zum ARCH auch die Abhängigkeit der bedingten Varianz von den eigenen verzögerten Werten zu.

GARCH bedeutet Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. Im Rahmen eines stochastischen Prozesses x t = E(x t ) +e t bedeutet Heteroskedasticity eine im Laufe der Zeit sich ändernde Volatilität (Varianz) ¹ der Residuen e t . Diese Varianz ist außerdem bedingt (konditional), d.h. setzt die Abhängigkeit von den Beobachtungen aus der unmittelbaren Vergangenheit voraus. Diese Abhängigkeit wird weiterhin autoregressiv erfasst, das bedeutet die Abhängigkeit von den früheren Realisationen von x t und von sich selbst. Die allgemeine Gleichung für einen GARCH(p, q) -Prozess lautet:

x t - µ = ε t = U t σ t

= α 0 + Σ ^{i=1 q} α i ε ^{t-i 2} + Σ ^{i=1 p} β i σ ^{t-i 2} = α 0 + α(Β) ε ^{t 2} + β(Β) σ t 2 (1)

σ t 2

U t ~ NID (0, 1 )

oder alternativ:

(x t - µ ) ² = ε t = α 0 + ( α(Β) + β(Β) ) ε t-1 - β(Β) ν t-1 + ν ^{t 2 2} (2)

ν t = ε t ) = σ ^{t 2 2 2 2} - E(ε t (U t - 1) ist ein heteroskedastischer Fehler

IDENTIFIKATION EINES GARCH-PROZESSES:

Bevor ein GARCH-Modell einer Zeitreihe angepasst und dessen Parameter geschätzt werden können, müssen 2 Dinge passieren:

- Die Existenz einer stochastischen dem GARCH-Modell entsprechenden Volatilität muss festgestellt werden.

- Die Ordnungen p und q des GARCH-Modells müssen bestimmt werden.

¹ Der Begriff „Volatilität“ kann je nach Kontext entweder Standardabweichung oder Varianz bedeuten.

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Zeitreihenanalyse: GARCH-Prozesse 4

Es existieren zwar eine Reihe der Testsverfahren zur allgemeinen Identifikation der Heteroskedastizität (vgl. Whites’s General Test, Goldfeld-Quandt Test, Breusch-Pagan/Godfrey Test). Die Power von diesen kann aber deutlich verbessert werden, wenn als Null-Hypothese nur GARCH-Heteroskedastizität angenommen wird. Dabei kämen insbesondere folgende Tests in Frage:

- Lagrange Multiplier Test von Engle, mit H o : Homoskedastizität gegen H 1 : ARCH(q)-Prozess. Die Statistik berechnet sich als Produkt der Länge des Beobachtungszeitraums und dem R ² aus der Regression von Residuen auf eine Konstante und vorherige q Residuen. Die Statistik ist asymptotisch χ ² mit q Freiheitsgraden verteilt. Da ein beliebiger GARCH-Prozess durch einen ARCH-Prozess mit genügend hohem q approximiert werden kann (ähnlich wie eine Approximation von einem ARMA-Prozess durch einen MA-Prozess), kann der Test auch für diese verwendet werden. Der Test wird aber nur dann wirksam, wenn die Korrelationen in x t selber bereits entfernt wurden.

-Ein etwas mehr komplizierte aber ähnlicher (vgl. Green [1990], s.575) Lagrange Multiplier Test von Bollerslev für Ho: GARCH(p, 0) gegen H 1 : GARCH (p, q) oder ARCH (p + q).

Die Schätzung der Parameterordnungen p und q ist bei weitem viel simpler. Wie aus der Gleichung (2) folgt, folgt ε t einem ARMA (max(p, q), q) Prozess. Obwohl die Residuen ν t eigentlich 2

autokorreliert sind, können die klassischen ARMA-Ansätze zur unmittelbaren Schätzung von q und der oberen Grenze für p verwendet werden. Dabei käme insbesondere die Analyse der einfachen und partiellen Autokorrelationsfunktionen in Frage.

SCHÄTZUNG DER GARCH - PARAMETER:

Die Parameter innerhalb eines GARCH-Modells werden auf dem Wege der Maximum-Likelihood-Schätzung ermittelt.

Unter Annahme der standardverteilten Residuen U t ist die entsprechende Likelihood-Funktion ² :

² Die Likelihood-Funktion widerspiegelt die Wahrscheinlichkeit (oder eher den Wert der Verteilungsdichte), dass

bei gegebenen Parametern (in diesem Falle ^α 0 , ^α 1 ^{,..., α} q , ^β 1 ^{,..., β} p ) der theoretisch vorgegebene (in diesem Falle in der Gleichung (1)) Prozess x1, ..., xt die realisierte (d.h. tatsächlich beobachtete) Werte X1,..., Xt erreichen würde.

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Zeitreihenanalyse: GARCH-Prozesse 5

log L = - 0.5 Σ t ( log (2π) + log (σ ^{t 2} ) + ε ^{t 2} /σ ^{t 2} ) (3)

wobei die σ t = f (α 0 , α 1 ,..., α q , β 1 ,..., β p ) aus der Gleichung (1) ermittelt werden können. 2

Es werden also Parameter (α 0 , α 1 ,..., α q , β 1 ,..., β p ) ermittelt, die diese Funktion maximieren. Dies erfolgt meistens iterativ und wegen des höheren Rechenaufwandes computerunterstützt (vgl. Green [1990], s. 571).

Wie man beweisen kann (Green [1990], s. 574), sollten U t nicht normalverteilt sein, ist (3) eigentlich konzeptuell gesehen falsch. Das Maximieren der (3) erbringt aber die korrekten (erwartungstreue und konsistente) Parameterschätzungen ³ , solange der GARCH-Error-Term den Erwartungswert gleich 0 und die Varianz gleich 1 besitzt ⁴ . In diesem Falle bezeichnet man den Vorgang als Pseudo-Maximum-Likelihood Schätzung.

PARAMETERRESTRIKTIONEN, S TATIONARITÄT, UND UNBEDINGTE

VARIANZ:

Da die bedingte Varianz nicht negativ werden darf, sollten zum einen alle β i nicht negativ sein. Zum anderen, sollten die Parameter α i und β i eines GARCH (p, q) Prozesses so sein, dass alle Parameter des ihm entsprechenden ARCH(∞)-Prozesses positiv sind. Eine hinreichende (dabei aber etwas restriktive) Bedingung wäre dass alle α i ebenfalls nicht negativ sein sollen. α 0 muss dabei positiv sein.

Die Bedingung für schwache Stationarität des GARCH-Prozesses x t lautet:

Σ ^{i=1 q} α i + Σ ^{i=1 p} β i = α(1)+β(1) < 1

Da diese Verteilungsdichte häufig Exponenten aufweist, wird Logarithmus als monotone Transformation

verwendet.

³ Dies gilt aber nur für Parameterschätzungen selber und nicht z.B. für Kovarianzschätzungen der Parameterschätzungen (covariations of parameter estimates), was insb. für Signifikanztests eine benachteiligende

Auswirkung hat.

⁴ wie z.B. im Falle einer mittels Faktor (n-2)/n standardisierten Student-t (n) - Verteilung, welche sehr häufig zur Beschreibung der finanziellen Zeitreihen taugt

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Zeitreihenanalyse: GARCH-Prozesse 6

Unter dieser Bedingung existiert definitionsgemäß eine unbedingte Varianz von x t , die folgendermaßen berechnet werden kann: σ ² = lim s→∞ (Ε (σ t+s | ε t , ε t-1 , ...) ) = α o / ( 1 - Σ ^{i=1 q} α i - Σ ^{i=1 p} β i )= α o / ( 1- α (1) - β(1))

Ein spezieller Fall entsteht, falls die Summe α(1) + β(1) nur geringfügig kleiner als 1 ist (unit- root-ähnliche Situation).In diesem Falle wird ein Schock in der bedingten Varianz sich sehr persistent verhalten in dem Sinne, dass er sehr lange den Verlauf der bedingten Volatilitäten bestimmen wird. Außerdem werden die Parameter in diesem Falle nicht konsistent berechnet. Diese Situation wird am besten mittels des sog. FIGARCH-Modells erfasst - einer GARCH-Variation, die (etwas vereinfachend ausgedrückt) einen „halb-integrierten“ Prozess unterstellt.

MODIFIKATIONEN DES GARCH-MODELLS:

Bei all der Popularität der GARCH- Modelle ist es keine Überraschung, dass eine Reihe von Modifikationen mit wohlklingenden Namen entstanden ist, die für Spezialfälle besser geeignet sind als das ursprüngliche GARCH-Modell (1).

Der Einfachheit halber wird im Folgenden von einem standardmäßigen GARCH(1,1)-Modell ausgegangen: σ t = α 0 + α 1 ε t-1 + β 1 σ ^{t-1 2 2 2} (1a)

Dabei sind insbesondere zu nennen (vgl. Mills S. 136 ff.):

- Die Modifikation durch absolute Werte:

σ t = α 0 + Σ ^{i=1 q} α i | ε t-i |+ Σ ^{i=1 p} β i σ t-i (1b)

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