MATLAB/Simulink Unwucht-Experimente
Josef Hoffmann, Robert Kessler
August 2005
Inhaltsverzeichnis
1
Einführung
1
2
Unwucht-Motor auf oszillierender Platte
3
2.1 Modell eines Gleichstrom-Motors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2 Unwucht-Motor auf oszillierender Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3
Zwei Unwucht-Motoren auf Feder-Masse-System
14
3.1 Mathematisches Modell des Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Untersuchung des Systems mit Simulink-Modell . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Vorschläge für weitere Simulationsexperimente . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3.1
Simulink-Modell mit Untermodellen der Hauptkomponenten . . . 24
4
Physikalisches Experiment
28
4.1 Spannungsversorgung der Motoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Der Ladungsverstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3 Physikalisches Experiment: Gleichstrom-Motor auf oszillierender Platte . 32
Index
36
Index der Abbildungen
38
Kapitel 1
Einführung
In der Technik gibt es viele Anwendungen in denen die Effekte der Unwucht gewünscht
sind und ebenso viele oder mehr bei denen die Effekte der Unwucht zu vermeiden sind.
Die Unwucht wird z.B. bei Förderbändern eingesetzt, um das Material zu rütteln und
zu bewegen. Nicht erwünscht sind die Effekte der Unwucht in vielen Maschinen mit
Kreisbewegungen wie Turbinen, Pumpen etc. [1], [2], [3], [4].
Auch im alltäglichen Leben will man z.B. unerwünschte Schwingungen wegen der
Unwuchtmassen der Räder eines PKWs vermeiden, oder das Rütteln der Waschmaschi-
ne beim Schleudern so weit wie möglich unterdrücken.
Die mathematischen Modelle dieser Systeme sind alle nichtlineare Differentialglei-
chungen, die analytisch nicht lösbar sind. Bei veränderlicher Drehfrequenz des Mo-
tors mit Unwucht beim Anlauf oder Auslauf, entstehen Effekte die ebenfalls analytisch
nicht ermittelt werden können. Man kann somit solche sehr wichtige Anwendungen
nur durch Simulation untersuchen und dafür bietet sich die in der Industrie und Lehre
sehr verbreitete Softwarefamilie MATLAB/Simulink an [5].
Der vorliegende Text beschreibt Simulationen mit diesem Werkzeug für zwei Un-
wuchtsysteme, die man leicht auf konkrete Anwendungen übertragen kann. Im ersten
einführenden, didaktischen, einfachen Fall wird der Synchronisationseffekt einer oszil-
lierenden Platte auf einem Gleichstrom-Motor mit Unwuchtmasse, der auf der Platte
befestigt ist und hochgefahren (Anlaufzustand) oder runtergefahren (Auslaufzustand)
wird, untersucht. Unter bestimmten Bedingungen kann der Motor nicht die Drehzahl
erreichen, die er auf der ruhenden Platte erreichen würde und seine Drehfrequenz bleibt
bei der Frequenz der Schwingung der Platte hängen oder überschreitet diese und wird
ein Generator.
Im zweiten Fall wird ein ähnlicher Effekt untersucht, der auftreten kann, wenn auf
einem Feder-Masse-System ein Motor oder zwei Motoren mit Unwucht angebracht
sind. Zwar regen erwartungsgemäß die rotierenden Fliehkräfte das Feder-Masse-System
zu Schwingungen an, aber überaschenderweise kommt ein Motor oder beide Motoren
unter ungünstigen Bedingungen nicht über die Resonanzfrequenz des Feder-Masse-
Systems hinaus. Die Drehfrequenz synchronisiert sich mit der Schwingungsfrequenz
bei Resonanz und die Fliehkraft bewirkt riesige Schwingungsamplituden [6].
Ist die Unwucht klein genug, sind die Schwingungen genügend gedämpft oder sind
die Motoren stark genug, dann ergeben sich ebenfalls Schwingungen, die Motoren schaf-
fen es aber, über die Schwingungsfrequenz hinauszulaufen und diejenige Drehfrequen-
zen zu erreichen, die sie auch bei fest eingespannten Motoren erreichen würden.
2
Bei den früheren Haushalt-Wäscheschleudern trat dieser Synchronisationseffekt ei-
gentlich jedes mal auf, wenn die nasse Wäsche geschleudert werden sollte. Die Schwin-
gungsamplituden waren so groß, dass die Schleuder-Trommel an die Gehäusewand
anschlug. Erst nach Umordnen der Wäschestücke (und damit Verringerung der Un-
wucht) konnte der Motor über die Resonanzfrequenz hinaus laufen und den eigentli-
chen Schleudereffekt bewirken.
Kapitel 2
Unwucht-Motor auf
oszillierender Platte
In diesem Kapitel wird der erste Fall des Unwucht-Motors auf oszillierender Platte un-
tersucht. Zuerst wird das Modell des Gleichstrom-Motors ermittelt und mit einigen Si-
mulationen wird sein Verhalten erläutert [6]. Danach wird das Modell des Unwucht-
Motors auf oszillierender Platte aufgebaut und untersucht.
2.1
Modell eines Gleichstrom-Motors
In den Untersuchungen werden Gleichstrom-Motoren eingesetzt, weil sie relativ ein-
fach und verständlich zu beschreiben sind. Nach der Erfahrung mit diesen Motoren
kann man auch für andere Motortypen ähnliche Modelle bilden.
Abb. 2.1: Modell eines
Gleichstrom-Motors
w
(t)
w
(t)
d
dt
J
M (t)
l
M (t)
a
u (t)
g
u (t)
m
i(t)
L
R
S
Abb. 2.1 zeigt das Modell eines Gleichstrom-Motors, wobei durch u
m
(t), u
g
(t)
die
angelegte und die interne induzierte Spannung bezeichnet wird. Der Strom i(t) ist somit
durch folgende Differentialgleichung mit den Spannungen verbunden:
u
m
(t) = i(t)R + L
di(t)
dt
+ u
g
(t)
(2.1)
In vielen Fällen kann man die Induktivität vernachlässigen, was im Weiteren auch
hier angenommen wird (L
= 0). Die induzierte Spannung u
g
(t)
wegen der Kreisbewe-
gung ist durch
u
g
(t) = k
g
(t)
(2.2)
gegeben, wobei k
g
die Generator-Konstante ist.
2.1 Modell eines Gleichstrom-Motors
4
Der Motor erzeugt ein aktives Drehmoment M
a
(t)
, das proportional zum Strom i(t)
ist:
M
a
(t) = k
m
i(t)
(2.3)
Die Motor-Konstante k
m
ist gleich der Generator-Konstante k
g
und das ergibt sich aus
dem Energie- oder Leistungserhaltungssatz im stationären Zustand. Die mechanische
Energie tM
a
()
muss gleich der elektrischen Energie tu
g
()i()
sein:
tM
a
()() = tk
m
i()() = tu
g
()i() = tk
g
()i()
(2.4)
Daraus folgt die Gleichheit der Konstanten k
m
und k
g
(k
m
= k
g
).
Dem aktiven Drehmoment widersetzt sich das Trägheitsdrehmoment J
d
(t)
dt
und
das Belastungsmoment M
l
(t)
. Das letztere kann von einer gegebenen Belastung her-
vorgehen oder wie hier weiter angenommen wird, besteht es aus Reibungsmomente:
M
l
(t) = r
gl
sig((t)) + r
v
(t) + r
t
(t)abs((t))
(2.5)
Der erste Term stellt das Drehmoment wegen der Gleitreibung dar, der zweite Term
ist das Drehmoment wegen der viskose Reibung und schließlich stellt der dritte Term
das Drehmoment wegen der turbulenten Reibung dar, wie sie z.B. von einem Lüfter
hervorgeht. Das Gleichgewicht der Drehmomente führt zu folgender Differentialglei-
chung:
J
d(t)
dt
= M
a
(t) - M
l
(t) = k
g
i(t) - [r
gl
sig((t)) + r
v
(t) + r
t
(t)abs((t))]
(2.6)
Diese Differentialgleichung zusammen mit der Differentialgleichung, die von der
elektrischen Seite hervorgeht (Gl. (2.1)), bilden das mathematische Modell des Gleich-
strom-Motors. Das Simulink-Modell (dc_motor1.mdl) ist relativ leicht aufzubauen
(Abb. 2.2). Es wird angenommen, dass die Kreisbeschleunigung d(t)/dt bekannt ist.
Durch eine Integration mit Block Integrator wird die Kreisgeschwindigkeit (t) erhal-
ten. Jetzt stehen viele Variablen zu Verfügung mit deren Hilfe die zuvor als bekannt
angenommene Kreisbeschleunigung d(t)/dt gebildet werden kann.
Mit dem Block Fcn wird das Belastungsdrehmoment M
l
laut Gl. (2.5) gebildet. Wenn
die Induktivität L des Motors vernachlässigt wird, dann ergibt sich aus Gl. (2.1) der
Strom aus einer algebraischen Gleichung statt Differentialgleichung:
i(t) =
u
m
(t) - u
g
(t)
R
(2.7)
Als Quelle für die Eingangsspannung des Motors u
m
(t)
wird eine konstante Span-
nung u
0
angenommen, die zu einem bestimmten Zeitmoment angelegt wird und da-
nach durch öffnen des Eingangskreises mit i(t) = 0 entfernt wird. Das geschieht mit
Hilfe des Blocks Fcn1 und des Product-Blocks. Die wichtigsten Signale werden in der
Senke Out1 eingefangen und man kann sie auch auf dem Scope-Block sichten.
Die Gleitreibung, hier über das Gleitreibungsmoment r
gl
sign((t)
eigeführt, bringt
immer Schwierigkeiten in der numerischen Integration, die in den Simulink-Modellen
für den Solver benutzt wird. Abb. 2.3 zeigt die Signale der Senke Out1. Zuletzt, wenn
(t)
sehr klein ist, dann entstehen die Fehler, die im Bild schwarz gezeigt sind. Hier
müsste (t) gleich null sein.
In diesem Modell wird die Simulation mit Typ: Variable-step und Solver:ode23 (Bogacki-
Shampine)
initialisiert. Eine Lösung dieses Problems ist im Modell dc_moto2.mdl ge-
zeigt (Abb. 2.4). In dem Fcn2-Funktionsblock wird ermittelt, ob die Kreisgeschwindig-
keit (t) unter den sehr kleinen Wert 1e
-16
gelangt und wenn dieser Fall eintritt, wird
2.1 Modell eines Gleichstrom-Motors
5
domega/dt
omega
Ml(t)
Ma(t)
i(t)
um(t)
ug(t)
1
Out1
Subtract1
Subtract
Scope
Product
1
s
Integrator
kg
Gain2
kg
Gain1
1/J
Gain
(u>t1)*(t2>u)
Fcn1
rgl*sgn(u)+rv*u+rt*u*abs(u)
Fcn
u0
Constant
Clock
Abb. 2.2: Simulink-Modell des Gleichstrom-Motors mit Gleitreibung
(dc_motor1.mdl, dc_motor_1.m)
sie auf null gesetzt, weil die Abfrage so gestaltet ist ((u>1e-16)*u). Abb. 2.5 zeigt jetzt
den korrekten Verlauf von (t) nachdem die Kreisgeschwindigkeit abgeklungen ist. Ei-
ne andere Lösung besteht darin, mit einem Solver mit fester Integrationsschrittweite zu
arbeiten.
Das Vorhandensein der Gleitreibung (mit allen anderen Reibungsarten auf null ge-
setzt) ist durch die lineare Abnahme von (t) bzw. der induzierten Spannung u
g
(t)
zu
erkennen. Der Motor arbeitet jetzt als Generator im Leerlauf (i(t) = 0). So lange (t) > 0
und der Zeitursprung an dem Ausschaltmoment angenommen wird, gilt die Differen-
tialgleichung:
J
d(t)
dt
= -r
gl
(2.8)
Sie hat eine einfache Lösung
(t) = (0) -
r
gl
J
t,
(2.9)
die man in der Praxis zum Messen des Faktors r
gl
benutzen kann.
Das Modell dc_motor1 wird im Programm dc_motor_1.m initialisiert und auf-
gerufen. Das Programm ist relativ einfach gehalten, um es leichter zu verstehen. Es be-
ginnt mit der Initialisierung der Parameter des Modells t1, t2,tmax, kg, R, ...
etc. Danach wird mit der Variablen my_options festgelegt, dass nur die Variablen der
Senke Out1 und die Zeit t und nicht die Zustandsvariablen x gespeichert werden.
Der Aufruf der Simulation geschieht mit der Funktion sim. Nach der Simulation
stehen in dem Feld y die gewünschten Größen i(t), u
g
(t), (t)
und M
l
(t)
und zusätz-
lich ist in der MATLAB-Umgebung (im Kommando-Fenster) die Zeit in der Variablen t
gegeben.
2.1 Modell eines Gleichstrom-Motors
6
Abb. 2.3: Strom,
induzierte
Span-
nung,
Kreisge-
schwindigkeit und
Belastungsdreh-
moment
wegen
Gleitreibung
(dc_motor1.mdl,
dc_motor_1.m)
0
5
10
15
20
25
30
-2
0
2
4
6
8
10
Strom*4 und induzierte Spannung
s
R = 5;
kg = 0.01;
rgl = 0.002;
rv = 0;
rt = 0;
0
5
10
15
20
25
30
-500
0
500
1000
Winkelgeschwindigkeit und Belastungsdrehmoment*2e5
s
Strom
Induz. Spannung
Omega
Drehmoment Ml
Strom*4
Induzierte Spannung
Winkelgeschwindigkeit
Belatungsdrehmoment
wegen der Gleitreibung
Numerische Fehler wegen
der Gleitreibung
domega/dt
omega
Ml(t)
Ma(t)
i(t)
um(t)
ug(t)
1
Out1
Subtract1
Subtract
Scope
Product
1
s
Integrator
1/R
Gain3
kg
Gain2
kg
Gain1
1/J
Gain
(u>1e-16)*u
Fcn2
(u>t1)*(t2>u)
Fcn1
rgl*sgn(u)+rv*u+rt*u*abs(u)
Fcn
u0
Constant
Clock
Abb. 2.4: Simulink-Modell des Gleichstrom-Motors mit Gleitreibung und Vermeidung der Feh-
ler
(dc_motor2.mdl, dc_motor_2.m)
% Programm dc_motor_1 zur Initialisierung des Modells
% dc_motor1.mdl und zur Durchführung der Simulation
2.1 Modell eines Gleichstrom-Motors
7
Abb. 2.5: Strom,
induzierte
Span-
nung,
Kreisge-
schwindigkeit und
Belastungsdreh-
moment
wegen
Gleitreibung
(ohne
Fehler)
(dc_motor2.mdl,
dc_motor_2.m)
0
5
10
15
20
25
30
-2
0
2
4
6
8
10
Strom*4 und induzierte Spannung
s
R = 5;
kg = 0.01;
rgl = 0.002;
rv = 0;
rt = 0;
Strom
Induz. Spannung
0
5
10
15
20
25
30
-200
0
200
400
600
800
1000
Winkelgeschwindigkeit und Belastungsdrehmoment*2e5
s
Omega
Drehmoment Ml
clear;
format compact;
% -------- Parameter des Modells
Bild = 1;
t1 = 1;
t2 = 10;
tmax = 30;
kg = 0.01;
R = 10;
rgl = 0.002;
rv = 0;
rt = 0;
u0 = 10;
J = 2.4e-5;
% -------- Aufruf der Simulation
my_options = simset('OutputVariables','ty');
[t,x,y] = sim('dc_motor1',[0,tmax]);
% -------- Die Variablen aus dem Feld y
% y(:,1) = i(t) Strom
% y(:,2) = ug(t) Induzierte Spannung
% y(:,3) = omega(t) Winkelgeschwindigkeit
% y(:,4) = Ml(t) Belastungsdrehmoment
figure(Bild);
subplot(211), plot(t,[y(:,1), y(:,2)]);
title('Strom und induzierte Spannung');
xlabel('s');
grid;
%legend('Strom','Induz. Spannung');
subplot(212), plot(t,[y(:,3), y(:,4)*2e5]);
title('Winkelgeschwindigkeit und Belastungsdrehmoment');
xlabel('s');
grid;
%legend('Omega','Drehmoment Ml');
% ------- Parameter im Bild eintragen
2.1 Modell eines Gleichstrom-Motors
8
SR = ['R = ',num2str(R),';
'];
% Zahlenwert von R etc
Skg = ['kg = ',num2str(kg),';
'];
Srgl = ['rgl = ',num2str(rgl),';
'];
Srv = ['rv = ',num2str(rv),';
'];
Srt = ['rt = ',num2str(rt),';
'];
gtext({SR,' ', Skg,' ' ,Srgl,' ' ,Srv,' ' ,Srt});
% Platziert die
% Parameter im Bild mit der Maus
Über den Befehl gtext werden die Werte der Parameter in den graphischen Darstel-
lungen an die Stelle, die man mit dem Fadenkreuz der Maus wählt, platziert. Das Pro-
gramm wartet, dass man mit der Maus im graphischen Fenster klickt und somit die
Parameter wie in den gezeigten Abbildungen einträgt.
Das Modell dc_motor2.mdl wird aus einem ähnlichen Programm (dc_moto_2.m
initialisiert und aufgerufen.
Abb. 2.6: Strom,
induzierte
Span-
nung,
Kreisge-
schwindigkeit und
Belastungsdreh-
moment
wegen
viskose
Reibung
(dc_motor3.mdl,
dc_motor_3.m)
0
5
10
15
20
25
30
0
2
4
6
8
Strom*4 und induzierte Spannung
s
R = 10;
kg = 0.01;
rgl = 0;
rv = 5e-06;
rt = 0;
0
5
10
15
20
25
30
0
200
400
600
800
Winkelgeschwindigkeit und Belastungsdrehmoment*1e5
s
Strom
Induz. Spannung
Omega
Drehmoment Ml
Wenn nur die viskose Reibung angenommen wird, dann erhält man die Ergebnisse
aus Abb. 2.6. Der Auslauf, eingeleitet durch das Unterbrechen des Stroms, z.B. bei t =
10 s, ist durch folgende Differentialgleichung beschrieben:
J
d(t)
dt
= -r
v
(t),
(2.10)
die eine Lösung der Form
(t) = (0)e
-
tr
v
/J
(2.11)
ergibt. Der Zeitursprung wurde wieder an die Stelle des Abschaltens versetzt und die
Anfangskreisgeschwindigkeit mit (0) bezeichnet. Dieser Auslauf in Form einer Expo-
nentialfunktion kann für die praktische Bestimmung des Faktors r
v
eingesetzt werden.
Der letzte Fall der hier noch gezeigt ist, beinhaltet ein Belastungsdrehmoment wegen
turbulenter Reibung. Abb. 2.7 zeigt die Verläufe der Variablen. Beim Auslauf mit Strom
2.1 Modell eines Gleichstrom-Motors
9
Abb. 2.7: Strom,
induzierte
Span-
nung,
Kreisge-
schwindigkeit
und
Belastungs-
drehmoment
wegen
turbu-
lenter
Reibung
(dc_motor3.mdl,
dc_motor_3.m)
0
5
10
15
20
25
30
0
2
4
6
8
Strom*4 und induzierte Spannung
s
R = 10;
kg = 0.01;
rgl = 0;
rv = 0;
rt = 1e-08;
0
5
10
15
20
25
30
0
200
400
600
800
Winkelgeschwindigkeit und Belastungsdrehmoment*2e5
s
Strom
Induz. Spannung
Omega
Drehmoment Ml
Abb. 2.8: Strom,
induzierte
Span-
nung,
Kreisge-
schwindigkeit und
Belastungsdreh-
moment wegen alle
Typen Reibungen
(dc_motor3.mdl,
dc_motor_3.m)
0
5
10
15
20
25
30
-1
0
1
2
3
4
5
Strom*4 und induzierte Spannung
s
R = 10;
kg = 0.01;
rgl = 0.002;
rv = 5e-06;
rt = 1e-08;
Strom
Induz. Spannung
0
5
10
15
20
25
30
-500
0
500
1000
1500
Winkelgeschwindigkeit und Belastungsdrehmoment*2e5
s
Omega
Drehmoment Ml
Belastungs-
drehmoment*2e5
Winkelgeschwindigkeit
2.2 Unwucht-Motor auf oszillierender Platte
10
null klingt am Anfang (t) sehr stark ab und bei niedrigere Kreisgeschwindigkeit geht
der Verlauf praktisch in eine lineare Funktion über.
Die Differentialgleichung dieses Auslaufs ist:
J
d(t)
dt
= -r
t
(t)abs((t))
(2.12)
Sie ist eine nichtlineare Differentialgleichung, die analytisch relativ einfach zu lösen
ist. Für den Bereich (t) > 0 erhält man:
(t) =
1
r
t
J
t +
1
(0)
,
für t > 0
(2.13)
Jeder zusätzliche Term z.B. durch eine zusätzliche Reibung, erschwert erheblich die
analytische Lösung. In der Simulation gibt es keine Probleme und man kann die nor-
malen, numerischen Integrationsverfahren (wie Runge-Kutta, etc.) einsetzen.
Abb. 2.8 zeigt die Verläufe der Variablen für den Fall, dass alle Typen von Reibungen
vorhanden sind. Der Sprung in dem Belastungsdrehmoment (Abb. 2.8 unten) entsteht
wegen der Gleitreibung.
2.2
Unwucht-Motor auf oszillierender Platte
Es wird am Anfang ein einfaches Modell eines Unwuchtsystems untersucht, das aus
einem Gleichstrom-Motor mit Unwucht besteht, der auf einer oszillierenden Platte an-
gebracht ist. Abb. 2.9 zeigt eine Skizze des Unwuchtsystems.
Abb. 2.9: Skizze
eines
einfachen
Unwuchtsystems
j(t)
x(t)
m x(t)
2
..
m e
(t)
2
j
2
.
m e (t)
2
j
..
e
Es wird angenommen, die Platte oszilliert und die relative Lage zum statischen
Gleichgewicht x(t) ist durch
x(t) = x
a
sin(2f t)
(2.14)
gegeben, wobei f die Frequenz ist und x
a
stellt die Amplitude dar. Daraus resultiert die
Beschleunigung der Platte:
¨
x(t) = -4(f )
2
x
a
sin(2f t)
(2.15)
Wenn die Winkelbeschleunigung ¨
(t)
vernachlässigt wird, erhält man folgende Dif-
ferentialgleichung für die Drehbewegung des Motors:
J
d(t)
dt
= k
g
i(t) + m
2
e ¨
x(t)sin((t)) - [r
v
(t) + r
gl
sign((t))]
(2.16)
2.2 Unwucht-Motor auf oszillierender Platte
11
Mit u
n
= m
2
e
wurde die Unwucht des Motors bezeichnet und die letzten Termen
stellen die Drehmomente wegen der viskosen und turbulenten Reibung dar.
domega/dt
omega(t)
Ml(t)
Ma(t)
i(t)
ug(t)
Einfluss der Platte
Ma(t)
i(t)
domega0/dt
omega0
Ml(t)
Ma(t)
phi(t)
Modell fuer feste Platte
1
Out1
Subtract3
Subtract2
Subtract1
Subtract
Scope
1
s
Integrator2
1
s
Integrator1
1
s
Integrator
kg
Gain7
1/J
Gain6
1/R
Gain5
kg
Gain4
1/R
Gain3
kg
Gain2
kg
Gain1
1/J
Gain
(u>1e-16)*u
Fcn4
rgl*sgn(u)+rv*u
Fcn3
(u>1e-16)*u
Fcn2
-un*((2*pi*f)^2)*xa*sin(2*pi*f*u(1))*sin(u(2))
Fcn1
rgl*sgn(u)+rv*u
Fcn
u0
Constant1
u0
Constant
Clock
Abb. 2.10: Simulink-Modell des Unwucht-Motors mit oszillierender Platte
(unwucht_platte1.mdl,
unwucht_platte_1.m)
Das Simulink-Modell (Abb. 2.10) ist ähnlich, wie das Modell des einfachen Gleichstrom-
Motors aus Abb. 2.4 aufgebaut. Es kommt noch die Beeinflussung wegen der oszillieren-
den Platte hinzu, die im Fcn1-Block ganz oben nachgebildet ist und stellt den zweiten
Term auf der rechten Seite der Gl. 2.16 dar:
m
2
e ¨
x(t)sin((t)) = -u
n
(2f )
2
x
a
sin(2f t)sin((t))
(2.17)
Um die Kreisgeschwindigkeit des Motors auf der oszillierenden Platte mit der Kreis-
geschwindigkeit desselben Motors, der auf einer fixen (ruhenden) Platte befestigt ist, zu
vergleichen, wird im unteren Teil das Modell des Motors auf der fixen Platte ebenfalls
aufgebaut.
2.2 Unwucht-Motor auf oszillierender Platte
12
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Strom*4 und induzierte Spannung
s
R = 10;
kg = 0.032;
rgl = 0.0001;
rv = 5e-06;
u0 = 2.5;
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0
20
40
60
80
100
Winkelgeschwindigkeiten und Belastungsdrehmoment*2e5
s
Strom
Induz. Spannung
Omega
Omega0
Drehmoment Ml
Drehzahl
mit fester Platte
Erreichte Drehzahl
Abb. 2.11: Strom, induzierte Spannung, ideale und erreichte Kreisgeschwindigkeit und Be-
lastungsdrehmoment für f = 10 Hz, J =1,99e-5, un = 2.5e-4
(unwucht_platte1.mdl, un-
wucht_platte_1.m)
Das Modell wird im Programm unwucht_platte_1.m initialisiert und aufgeru-
fen. Im erzeugten Bild werden einige Parameter der Simulation mit der Maus über den
Befehl gtext eingetragen, was man nicht vergessen soll, weil das Programm das er-
wartet.
Abb. 2.11 zeigt die Variablen, für eine relativ kleine Spannung u
0
= 2, 5
V des Mo-
tors. Der Motor synchronisiert sich mit der oszillierenden Platte und erreicht nicht die
Kreisgeschwindigkeit des Motors von der fixen Platte. Mit u
0
= 4
V sind die zwei Kreis-
geschwindigkeiten im Mittel gleich und die des Motors auf der oszillierenden Platte
schwankt stark.
Unter bestimmten Bedingungen (Parameter) wird der Motor beschleunigt und er-
reicht eine größere Kreisgeschwindigkeit als der Motor auf der fixen Platte. Die indu-
zierte Spannung ist größer als die angelegte Spannung und der Motor wird ein Gene-
rator. Man sieht das deutlich im Stromverlauf, der negativ wird (Abb. 2.12). Die Platte
oszilliert mit einer Frequenz f = 32 Hz, und die gewünschte Kreisgeschwindigkeit ist
0
= 150 rad/s, was einer Frequenz von f
0
= 24 Hz entspricht.
Die Situation ist noch interessanter, wenn angenommen wird, dass die angelegte
Spannung des Motors langsam ansteigt, z.B. nach einer Differentialgleichung erster
Ordnung der Form
T
m
du
m
(t)
dt
+ u
m
(t) = u
0
,
(2.18)
die leicht zu simulieren ist.
Die Gefahr einer Synchronisierung steigt wenn die Zeitkonstante T
m
groß wird und
der Anlauf langsam ist.
Abb. 2.13 stellt das Simulink-Modell für die oben gezeigte Differentialgleichung dar.
Die Spannung u
m
(t)
steigt exponentiell zum Endwert u
0
mit einer Zeitkonstante T
m
.
2.2 Unwucht-Motor auf oszillierender Platte
13
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
-2
0
2
4
6
8
10
Strom*4 und induzierte Spannung
s
R = 10;
kg = 0.032;
rgl = 0.001;
rv = 5e-06;
u0 = 5;
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0
100
200
300
400
500
Winkelgeschwindigkeiten und Belastungsdrehmoment*2e5
s
Strom
Induz. Spannung
Omega
Omega0
Drehmoment Ml
Erreichte
Drehzahl
Gewuenschte Drehzahl
Strom
Abb. 2.12: Strom, induzierte Spannung, ideale und erreichte Kreisgeschwindigkeit und Be-
lastungsdrehmoment für f = 32 Hz, J =1,99e-5, un = 2.5e-4
(unwucht_platte1.mdl, un-
wucht_platte_1.m)
Abb. 2.13: Simulink-Modell
für eine Anlaufspannung
(spannung_anl.mdl)
um(t)
dum(t)/dt
um(t)
Subtract1
1
s
Integrator2
1/Tm
Gain1
u0
Constant
Es wird dem Leser überlassen die gezeigten Modelle zu erweitern und neue Experi-
mente durchzuführen. Man könnte z.B. die Spitzenwerte des Stroms begrenzen in der
Annahme, dass die Quelle für die Eingangsspannung diese Begrenzung einführt. Dafür
ist der Block Saturation aus der Simulink-Unterbibliothek Library:simulink/Discontinuities
geeignet und muss im Modell im Strompfad eingeführt werden.
Das gezeigte Modell kann einfach für den Auslaufzustand, wie im Modell für den
Gleichstrom-Motor, erweitert werden.
Die physikalische Simulation mit einem Aufbau, das im letzten Kapitel beschrieben
wird, bestätigt das gezeigte Verhalten, das über die Simulation ermittelt wurde. Die
überlagerte Schwingung mit relativ hoher Frequenz, wie sie z.B. in Abb. 2.11 zu sehen
ist, kommt von der Unwuchtkraft m
2
e¨
x(t)sin()
aus Gl. (2.16) bzw. Gl. (2.17). Der Anteil
sin((t))
stellt eine Schwingung der Frequenz f
1
dar und ¨x(t) bildet eine Schwingung
der Frequenz f
2
. Das Produkt führt zu einer Schwebung der Frequenz f
1
-
f
2
und zu
einer Schwingung der Frequenz f
1
+f
2
, die den Anteil mit relativ hoher Frequenz ergibt.
Kapitel 3
Zwei Unwucht-Motoren auf
Feder-Masse-System
3.1
Mathematisches Modell des Systems
Abb. 3.1 zeigt die Skizze des Feder-Masse-Systems mit zwei Unwucht-Motoren. Die
Masse m
1
der Plattform kann sich nur rauf und runter bewegen und es kann somit
angenommen werden, dass nur eine äquivalente Feder mit Federkonstante D und eine
viskose Dämpfung mit Konstante r vorhanden sind.
j
2
(t)
j
1
(t)
x(t)
m x(t)
22
..
m x(t)
21
..
m e
(t)
22
2
j
2
2
.
m e
(t)
21
1
j
1
2
.
m e
(t)
22
2
j
2
..
m e
(t)
21
1
j
1
..
e
2
e
1
m
1
D/2
D/2
r
Abb. 3.1: Skizze der Unwucht-Motoren auf Feder-Masse-System
Für die zum Gleichgewichtzustand relative Bewegung der Plattform mit einer Ge-
samtmasse
m = m
1
+ m
21
+ m
22
,
(3.1)
ergibt sich eine Differentialgleichung der Form:
v(t) =
dx(t)
dt
m
dv(t)
dt
=F
z
(t) - Dx(t) - rv(t)
(3.2)
3.2 Untersuchung des Systems mit Simulink-Modell
15
Mit F
z
(t) = F
z
1
+ F
z
2
wird die Fliehkraft bezeichnet, die von den zwei Unwucht-
Motoren hervorgeht und durch
F
z
(t) =m
21
e
1
(
1
(t))
2
cos(
1
) + m
22
e
2
(
2
(t))
2
cos(
2
)
u
n
1
(
1
(t))
2
cos(
1
) + u
n
2
(
2
(t))
2
cos(
2
)
(3.3)
gegeben ist. Mit u
n
1
, u
n
2
wurden die Unwuchten der Motoren bezeichnet. Wie man sieht
wurden die Winkelbeschleunigungen ¨
1
(t), ¨
2
(t)
vernachlässigt.
Für die Drehbewegung der Motoren ergeben sich folgende Differentialgleichungen:
1
(t) =
d
1
(t)
dt
2
(t) =
d
2
(t)
dt
J
1
d
1
(t)
dt
= k
g
1
i
1
(t) +
dv(t)
dt
u
n
1
sin(
1
(t)) - r
gl
sign(
1
(t))
J
2
d
2
(t)
dt
= k
g
2
i
2
(t) +
dv(t)
dt
u
n
2
sin(
2
(t)) - r
gl
sign(
2
(t))
(3.4)
Die Ströme der Motoren in der Annahme, dass man ihre Induktivitäten vernachläs-
sigen kann, sind durch
i
1
(t) = (u
m
(t) - k
g
1
1
(t))/R
1
i
2
(t) = (u
m
(t) - k
g
2
1
(t))/R
2
(3.5)
gegeben, wobei durch u
m
(t)
die angelegte Spannung bezeichnet ist. Um einen langsa-
men Anlauf und Auslauf nachzubilden, wird angenommen, dass die angelegte Span-
nung u
m
(t)
durch eine Differentialgleichung der Form
T
m
u
m
(t)
dt
+ u
m
(t) = u
0
(3.6)
gegeben ist, wobei über die Zeitkonstante T
m
die Steilheit der Änderung der Spannung
u
m
(t)
gesteuert wird. Sie kann relativ einfach in einem physikalischen Experiment über
die Zeitkonstante der Ladung eines Kondensators realisiert werden.
3.2
Untersuchung des Systems mit Simulink-Modell
Die gezeigten Differentialgleichungen bilden das mathematische Modell des Systems,
das jetzt in ein Simulink-Modell zu implementieren ist. Es gibt hier mehrere Möglich-
keiten. Eine davon wäre über die Zustandsvariablen des Systems, deren Ableitungen
durch einmal Integrieren, die Variablen ergeben, die notwendig sind, um diese Ablei-
tungen zu bilden.
Eine zweite Form, die gewählt wurde, basiert auf die Beschleunigungen die als be-
kannt angenommen werden. Durch zweimal Integrieren erhält man ähnlich alle Varia-
blen, die notwendig sind um diese Beschleunigungen zu bilden.
Die Simulink-Integratoren sind Blöcke die Vektoren (Variablen in Vektoren zusam-
mengefasst) auch bearbeiten können. In diesem System erscheinen drei Beschleunigun-
gen:
d
1
(t)/dt, d
2
(t)/dt
und dv(t)/dt
3.2 Untersuchung des Systems mit Simulink-Modell
16
Man muss somit diese drei Beschleunigungen als Funktionen aller Variablen des
Systems ausdrücken:
d
1
(t)
dt
= [k
g
1
i
1
(t) +
dv(t)
dt
u
n
1
sin(
1
(t)) - r
gl
sign(
1
(t))]/J
= [k
g
1
(u
m
(t) - k
g
1
1
(t))/R
1
+
dv(t)
dt
u
n
1
sin(
1
(t)) - r
gl
sign(
1
(t))]/J]
= F
1
(u
m
(t),
1
(t),
dv(t)
dt
,
1
(t))
d
2
(t)
dt
= [k
g
2
i
2
(t) +
dv(t)
dt
u
n
2
sin(
2
(t)) - r
gl
sign(
2
(t))]/J
= [k
g
2
(u
m
(t) - k
g
2
2
(t))/R
2
+
dv(t)
dt
u
n
2
sin(
2
(t)) - r
gl
sign(
2
(t))]/J]
= F
2
(u
m
(t),
2
(t),
dv(t)
dt
,
2
(t))
dv(t)
dt
=[F
z
(t) - Dx(t) - rv(t)]/m
= F
3
(
1
(t),
1
(t),
2
(t),
2
(t), x(t), v(t))
(3.7)
Die Funktionen F
1
(...), F
2
(...), F
3
(...)
werden in Fcn-Blöcken implementiert, nach-
dem die Beschleunigungen zweimal integriert werden. Abb. 3.2 zeigt das Simulink-
Modell, das auf dieser Möglichkeit aufgebaut wurde.
Die Blöcke, die das Modell nachbilden sind mit Schatten hervorgehoben, es sind die
zwei Integratoren und die Funktionsblöcke Fcn1, Fcn2 und Fcn3. Die Eingangssignale
dieser Blöcke immer mit u(i), i=1,2,... bezeichnet, entsprechen den Variablen,
die in den Mux-Blöcken zusammengefasst sind. So z.B. ist für den Block Fcn1 die Span-
nung u
m
(t)
die Variable u(1),
1
(t)
ist u(2) etc. Die Funktionen der ersten zwei Funk-
tionsblöcke laut der ersten zwei Gleichungen (3.7) werden somit als
(kg1*(u(1)-kg1*u(2))/R1+u(3)*un1*sin(u(4))-rgl*sgn(u(2)))/J
bzw.
(kg2*(u(1)-kg2*u(2))/R2+u(3)*un2*sin(u(4))-rgl*sgn(u(2)))/J
geschrieben. Die Ströme wurden hier explizit laut Gl. (3.5) ausgedrückt.
Der letzte Funktionsblock (Fcn3) hat am Eingang einen Vektor mit folgenden varia-
blen: u(1) für
1
(t)
; u(2) für
1
(t)
; u(3) für
2
(t)
; u(4) für
2
(t)
; u(5) für x(t) und
schließlich u(6) für v(t). Der Ausdruck dieses Blocks lautet somit:
(un1*(u(1)^2)*cos(u(2))+un2*(u(3)^2)*cos(u(4))-...
D*u(5)-rgl*sgn(u(6))/m
Auch hier wurden die Fliehkräfte F
z
(t) = F
z
1
(t) + F
z
2
(t)
explizit laut Gl. (3.3) aus-
gedrückt.
Oben links im Modell ist die Differentialgleichung für die Spannung des Motors
u
m
(t)
dargestellt, die der Gl. (3.6) entspricht.
Die Signale an diversen Stellen im Modell werden in drei Senken vom Typ Outport
(Out1, Out2, Out3) eingefangen und mit den Scope-Blöcken auch laufend gesichtet.
Die Anfangswerte der Zustandsvariablen
1
(0),
2
(0)
und v(0) können im ersten In-
tegrator des Modells eingegeben werden, während die Zustandsvariablen
1
(0),
2
(0)
und x(0)
im zweiten Integrator eingegeben werden.
3.2 Untersuchung des Systems mit Simulink-Modell
17
domega1/dt
domega2/dt
dv/dt
omega1
omega2
v
phi1
phi2
x
uM
omega1
omega2
dv/dt
phi1
phi2
x
v
u0
-u0
uM
v
x
phi1
phi2
x
omega1
omega2
v
Fiehkraefte
3
Out3
2
Out2
1
Out1
Zero-Order
Hold
Step1
Step
B-FFT
Spectrum
Scope
Scope4
Scope3
Scope2
Scope1
Scope
1
s
Integrator2
1
s
Integrator1
1
s
Integrator
1/Tmot
Gain
f(u)
Fcn5
f(u)
Fcn4
f(u)
Fcn3
f(u)
Fcn2
f(u)
Fcn1
Add2
Add1
3
3
3
3
3
3
4
4
6
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
Abb. 3.2: Simulink-Modell der Unwucht-Motoren auf Feder-Masse-System
(unwucht_2.mdl, un-
wucht_ini2.m)
Die Fliehkräfte werden in den unteren Funktionsblöcken Fcn4, Fcn5 auch gebildet,
um sie in der Senke Out3 einzufangen für eine Darstellung über ein Programm. Mit
Hilfe eines Spectrum Scope wird auch die Leistungsspektraldichte der Lage der Platt-
form ermittelt und dargestellt. Man kann so die wichtigsten Frequenzen der Lage x(t)
sichten.
Das Simulink-Modell wird über das Programm unwucht_ini2.m initialisiert und
aufgerufen. Abb. 3.3 zeigt eines der Bilder (figure) die erzeugt werden. Die Parameter
der Simulationen werden ebenfalls in diesem Bild aufgelistet. Für den konkreten Satz
der Parameter aus diesem Bild, erreicht nur einer der Motoren die Endkreisgeschwin-
digkeit. Nach 5 Sekunden wird der Auslauf eingeleitet und die angelegte Spannung
u
m
(t)
klingt exponentiell ab.
In diesem Modell wird keine Gleitreibung für die Motoren angenommen und die
Simulation wird mit variablen Integrationsschritte durchgeführt. Der Aufruf der Simu-
lation geschieht über folgende Befehle:
% ------- Aufruf der Simulation
dt = 1/100;
my_options = simset('OutputVariables','ty','Solver','ode45');
3.2 Untersuchung des Systems mit Simulink-Modell
18
0
2
4
6
8
10
-1
-0.5
0
0.5
1
Lage*10 und Geschwindigkeit der Masse
Zeit in s
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-20
0
20
40
60
80
Winkelgeschwindigkeiten der Motoren
Zeit in s (Abschalten bei 5 s)
un1 = 0.00022; un2 = 0.00023
D = 500; r = 0.5
Omega-Res. = 39.5285 rad/s
f0 = 6.2912 Hz
m = 0.32; J = 1.9e-05
kg1 = 0.021; kg2 = 0.02
Tmot = 0.2; u0 = 1.5
R1 = 10; R2 = 10
omega-v0 = [0 0 0]
phi-x0 = [0 1.0472 0]
Abb. 3.3: Variablen und Parameter des Modells
(unwucht_2.mdl, unwucht_ini2.m)
[t,x,ym] = sim('unwucht_2',[0:dt:10],my_options);
% Ergebnisse
% mit fixer Schrittweite dt
für die FFT liefern
Mit my_options werden einige Optionen für das numerische Integrationsverfah-
ren gesetzt. Als Ausgangsvariablen werden nur die Zeit t und die Variablen der Senken
Outport Out1, Out2
und Out3 im Feld y ohne die Zustandsvariablen x gespeichert.
Der Solver mit ode45 initialisiert entspricht dem Runge-Kutta-Verfahren 4,5 Ordnung
und variabler Schrittweite.
Für diesen Solver möchte man die Variablen (Ergebnisse) aber an fixen Zeitmomen-
ten (feste Schrittweite) geliefert haben, um z.B. eine spektrale Analyse mit Hilfe der FFT
durchzuführen. Das wird durch die Form der Angabe für die Simulationszeit [0:dt:10]
statt [0,10] im Befehl sim erzwungen.
Das bedeutet, die numerische Integration wird mit variabler Schrittweite, um die To-
leranz zu sichern, durchgeführt, die Ergebnisse werden aber für die gewünschte Schritt-
weite (durch Interpolation) geliefert.
Wenn man auch Gleitreibung für die Motoren einbringt, bleibt diese numerische In-
tegration beim Versuch den genauen Nulldurchgang der Variablen zu bestimmen, hän-
gen. Als Lösung funktioniert hier nur eine Integration mit fixer Schrittweite. Das Mo-
dell unwucht_21.mdl erlaubt auch Gleitreibung und wird über unwucht_ini21.m
initialisiert und aufgerufen.
Der Aufruf geschieht über folgende Programmsequenz:
% ------- Aufruf der Simulation
dt = 1/1000;
% Schrittweite für fixed-step Solver
my_options = simset('OutputVariables','ty','FixedStep',dt,...
'Solver','ode3);
3.2 Untersuchung des Systems mit Simulink-Modell
19
0
2
4
6
8
10
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Lage*10 und Geschwindigkeit der Masse
Zeit in s
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-20
0
20
40
60
80
100
Winkelgeschwindigkeiten der Motoren
Zeit in s (Abschalten bei 5 s)
un1 = 0.00022; un2 = 0.00023
D = 500; r = 0.5
Omega-Res. = 39.5285 rad/s
f0 = 6.2912 Hz
m = 0.32; J = 1.9e-05
kg1 = 0.021; kg2 = 0.02
Tmot = 0.2; u0 = 2
R1 = 10; R2 = 10.2
omega-v0 = [0 0 0]
phi-x0 = [0 1.0472 0]
Abb. 3.4: Variablen und Parameter des Modells mit Gleitreibung
(unwucht_21.mdl, un-
wucht_ini21.m)
[t,x,ym] = sim('unwucht_21',[0,10],my_options);
% Ergebnisse mit
% fixer Schrittweite dt geliefert
Die Ergebnisse werden mit der fixen Schrittweite dt geliefert, die jetzt viel kleiner als
vorher gewählt wurde.
Wenn Gleitreibung vorhanden ist, dann ist die ideale zu erreichende Kreisgeschwin-
digkeit, z.B. für den ersten Motor, aus der Gl. (3.7) mit d
1
(t)/dt = 0, dvt/dt = 0
zu
erhalten. Aus
k
g
1
i
1
() - r
gl
= 0
(3.8)
ergibt sich der stationäre Wert
1
()
:
1
() =
k
g
1
u
0
-
r
gl
R
1
k
2
g
1
(3.9)
und ähnlich auch für
2
()
. Ohne Gleitreibung (r
gl
= 0
) ist die ideale, erreichbare
Kreisgeschwindigkeit einfach durch
1
() =
u
0
k
g
1
(3.10)
gegeben. Für die Parameter des Falls, der in Abb. 3.3 gezeigt ist, ohne Gleitreibung sind
die zwei Grenzwerte:
1
() = u
0
/kg
g
1
= 1, 5/0, 021
= 71 rad/s
2
() = u
0
/kg
g
2
= 1, 5/0, 02
= 75 rad/s
3.2 Untersuchung des Systems mit Simulink-Modell
20
Der zweite Motor erreicht nur
= 40 rad/s, was in der Nähe der Resonanzfrequenz
des Feder-Masse-Systems liegt, die man aus
res
=
D
m
=
500
0, 32
= 39, 52
rad/s
(3.11)
erhält. Der zweite Motor ist mit dem Feder-Masse-System synchronisiert und kann den
gezeigten Grenzwert nicht erreichen.
0
2
4
6
8
10
-1
-0.5
0
0.5
1
Lage*10 und Geschwindigkeit der Masse
Zeit in s
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
10
20
30
40
50
Winkelgeschwindigkeiten der Motoren
Zeit in s (Abschalten bei 5 s)
un1 = 0.00022; un2 = 0.00023
D = 500; r = 0.5
Omega-Res. = 39.5285 rad/s
f0 = 6.2912 Hz
m = 0.32; J = 1.9e-05
kg1 = 0.021; kg2 = 0.02
Tmot = 0.8; u0 = 2
R1 = 10; R2 = 10.2
omega-v0 = [0 0 0]
phi-x0 = [0 1.0472 0]
Abb. 3.5: Variablen und Parameter des Modells ohne Gleitreibung und mit langsamen Anlauf
(unwucht_21.mdl, unwucht_ini21.m)
Abb. 3.4 zeigt die Ergebnisse bei einer Gleitreibung mit r
gl
= 0, 0001
. Beide Motoren
erreichen die Grenzkreisgeschwindigkeit laut Gl. (3.9) von
= 92, 9 rad/s. Ohne Gleitrei-
bung mit gleichen, restlichen Parametern, außer T
m
der größer gewählt wird, synchro-
nisieren sich die Motoren mit der Eigenfrequenz (Resonanzfrequenz) des Feder-Masse-
Systems (Abb. 3.5) und bleiben bei einem Wert von
= 40 rad/s hängen. Mit steilerem
Anlauf, bedingt durch T
m
= 0, 2
, erreichen die Motoren wieder die idealen Endwerte
der Kreisgeschwindigkeiten.
Der Vergleich des Verlaufs der Lage x(t) des Feder-Masse-Systems aus Abb. 3.4 und
Abb. 3.5 zeigt, dass im Falle der Synchronisierung das System mit relativ großer Ampli-
tude schwingt.
In den Modellen (z.B. aus Abb. 3.2) sind auch Spectrum Scope-Blöcke am Signal x(t),
das die Lage des Feder-Masse-Systems darstellt, angeschlossen. Dieses Signal ist nur
für einen relativen, kurzen Zeitintervall im stationären Zustand, so dass es schwer ist,
zu sagen, welche Leistungsspektraldichte angezeigt wird.
Auch in den entsprechenden Programmen (unwucht_ini2.m, unwucht_ini21.m)
wird aus dem Signal x(t) die Leistungspektraldichte mit der Funktion pwelch berech-
3.2 Untersuchung des Systems mit Simulink-Modell
21
net und dargestellt. Als Beispiel wird die Programmsequenz aus unwucht_ini21.m
gezeigt:
% ------- Spektrum der Lage
ysp = ym(1:10:end,6);
% Dezimierung Faktor 10
% von dt = 1/1000 auf dtsp = 1/100=fs
fs = 100;
[Pxx,f] = pwelch(ysp,[],[0],[256],fs);
%[Pxx,f] = pwelch(ysp(:,3),[],[],[],fs); % default
figure(3);
clf;
plot(f, 10*log10(Pxx));
xlabel('Hz');
grid;
ylabel('dB');
title('Leistungsdichte der Lage x');
La = axis;
if La(4) < 0
posy = 1.2*La(4);
elseif La(4) == 0
posy = -10;
else
posy = La(4)*0.8;
end;
text(20, posy, ['fres = ',num2str(f0), ' Hz']);
frot1 = (kg1*u0-rgl*R1)/(2*pi*kg1^2);
% Ideale Drehfrequenz
text(20, posy - 10, ['frot1 = ',num2str(frot1), ' Hz']);
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
Hz
dB
Leistungsdichte der Lage x
fres = 6.2912 Hz
frot1 = 15.1215 Hz
Abb. 3.6: Leistungsspektraldichte der Lage bei synchronisierten Motoren
(unwucht_21.mdl, un-
wucht_ini21.m)
3.2 Untersuchung des Systems mit Simulink-Modell
22
Da hier die Simulation mit einer sehr kleinen fixen Schrittweite von dt = 1/1000 (we-
gen der Gleitreibung) durchgeführt wird, werden die Daten mit Faktor 10 dezimiert, so
dass man eine Abtastfrequenz von f
s
= 100
Hz erhält. Für einen verlängerten statio-
nären Zustand (z.B. bis 10 s und eine Gesamtzeit von 15 Sekunden) ist die berechnete
Leistungsspektraldichte stabil und zeigt für den Fall, dass die Motoren sich mit der Ei-
genfrequenz des Feder-Masse-Systems synchronisieren, diese Frequenz (Abb. 3.6). Sie
ist 6,2912 Hz und die ideale Drehfrequenz, die nicht erreicht wurde ist 15,1215 Hz.
2
4
6
8
10
12
14
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Time
fres = 6.2912 Hz
frot1 = 22.2348 Hz
Frequency (Hz)
-140
-120
-100
-80
-60
-40
Abb. 3.7: Spektrogramm der Lage wenn die Motoren hochfahren können
(unwucht_22.mdl, un-
wucht_ini22.m)
Das nicht stationäre Verhalten während des An- und Auslaufs könnte man mit ei-
nem Spektrogramm [7], das für kurze Abschnitte des Signals die FFT ermittelt, um die
so genannte Short-Time-Fourier-Transfomation anzunähern. Im Programm unwucht_ini22.m
wird das Modell unwucht_22.mdl initialisiert und aufgerufen, um aus den Lagewer-
ten x(t) das Spektrogramm zu ermitteln und darzustellen. Die entsprechende Sequenz
des Programms ist:
figure(3);
clf;
spectrogram(ysp,128,64,256,fs,'yaxis');
colorbar;
posy = 40;
% Textposition in y-Richting
text(2, posy, ['fres = ',num2str(f0), ' Hz']);
frot1 = (kg1*u0-rgl*R1)/(2*pi*kg1^2);
text(2, posy - 10, ['frot1 = ',num2str(frot1), ' Hz']);
Abb. 3.7 zeigt das Spektrogramm für die Simulation mit Parametern, die zum Ver-
halten geführt haben, das in Abb. 3.8 gezeigt ist. Die Motoren synchronisieren sich am
Anfang mit der Eigenfrequenz der Plattform und danach erreichen sie die ideale Dreh-
frequenz. Im Spektrogramm ist die Eigenfrequenz von 6,2912 Hz praktisch durchge-
hend erkennbar mit höheren Werten am Anfang. Danach sieht man kleinere Anteile der
idealen Drehfrequenz, in diesem Fall von 22,2348 Hz. Die Motoren synchronisieren sich
3.2 Untersuchung des Systems mit Simulink-Modell
23
0
5
10
15
-1
-0.5
0
0.5
1
Lage*10 und Geschwindigkeit der Masse
Zeit in s
0
5
10
15
-50
0
50
100
150
Winkelgeschwindigkeiten der Motoren
Zeit in s (Abschalten bei 5 s)
un1 = 0.00022; un2 = 0.00023
D = 500; r = 0.5
Omega-Res. = 39.5285 rad/s
f0 = 6.2912 Hz
m = 0.32; J = 1.9e-05
kg1 = 0.021; kg2 = 0.02
Tmot = 1.8; u0 = 3.41
R1 = 10; R2 = 10.2
omega-v0 = [0 0 0]
phi-x0 = [0 1.0472 0]
Abb. 3.8: Winkelgeschwindigkeiten der Motoren und Lage bzw. Geschwindigkeit des Feder-
Masse-Systems
(unwucht_22.mdl, unwucht_ini22.m)
Abb.
3.9:
Die
zwei
Fliehkräfte
und ihre Summe
(unwucht_22.mdl,
unwucht_ini22.m)
0
5
10
15
-5
0
5
Fliehkraefte
Zeit in s
0
5
10
15
-6
-4
-2
0
2
4
6
Summe der Fliehkraefte
Zeit in s
jetzt auf diese Drehfrequenz und bilden Fliehkräfte die entgegengesetzt wirken und die
Plattform des Feder-Masse-Systems nur wenig rütteln. Das ist deutlich in Abb. 3.8 unten
im Intervall t > 5 zu erkennen. Der Auslauf beginnt hier bei t = 10 Sekunden.
Abb. 3.9 zeigt oben die zwei Fliehkräfte und unten deren Summe. Am Anfang ist
die Summe relativ groß, weil die Motoren unterschiedliche Anfangswinkel für die Un-
wuchten besitzen (
1
= 0,
2
= /3 = 1, 0472
rad).
3.3 Vorschläge für weitere Simulationsexperimente
24
Leider ist das Spektrogramm hier nicht in Farbe dargestellt und die hohen und tiefen
Werte erhalte gleiche dunkle Grauwerte.
3.3
Vorschläge für weitere Simulationsexperimente
Die gezeigten Modelle können im Hinblick auf konkrete Anwendungen für weitere Ex-
perimente erweitert werden.
So z.B. kann das Modell der zwei Unwuchtmotoren auf Feder-Masse-System für
den Fall eines einzigen Motors leicht umgewandelt werden. Mit geschickt gewählten
Parametern kann das Modell direkt diesen Fall nachbilden. Wenn der Widerstand R
2
des zweiten Motors sehr groß gewählt wird (R
2
= 10000
) erhält er praktisch keinen
Strom und wird sich nicht bewegen und am Verhalten des Systems nicht beteiligen.
Eine andere interessante Untersuchung wäre den Auslauf nicht mit unterbrochenen
Eingangskreis einzuleiten, sondern durch das Kurzschliessen der Motorklemmen oder
das Schließen eines Wiederstandes. Der Motor wird Generator und ihm ist sehr schnell
die akkumulierte, kinetische Energie entzogen.
Eine realistische Annahme, dass der Strom begrenzt ist, kann auch relativ leicht
nachgebildet werden. Man müsste allerdings das Modell neu aufbauen, so dass der
Strom der Motoren zugänglich ist. Mit ein bisschen Mühe, können alle Teile separat
modelliert werden, was zu zusätzliche Erweiterungsmöglichkeiten führen kann.
Feder-Masse-System (m,D,rv) mit 2 Unwucht-Motoren
Datei syn30.mdl
fralf1
Fz2
Fz1
w2
w1
i2
i1
x
fralf2
uM
t
uM
Spannungs-
Versorgung
uM
dv/dt
i2
fralf2
Fz2
w2
Motor 2
uM1
dv/dt
i1
fralf1
Fz1
w1
Motor 1
Fz1
Fz2
x
dv/dtl
Feder-Masse-
System
Abb. 3.10: Simulink-Modell aus getrennten Teilen aufgebaut
(unwucht_4.mdl, unwucht_ini4.m)
3.3.1
Simulink-Modell mit Untermodellen der Hauptkomponenten
Abb. 3.10 zeigt das Simulink-Modell, in dem mit vier Untermodellen das System auf-
gebaut ist. Sie sind in den Blöcken, die mit Schatten hervorgehoben sind, enthalte. Das
erste ganz links oben enthält das Modell für die Erzeugung der Motorspannung, wie in
Abb. 2.13 gezeigt.
In zwei zusammengefassten Modellen werden die Motore simuliert. Wenn man mit
der Maus drauf klickt erhält man z.B. für den Motor 1 das Modell aus Abb. 3.11. Als
3.3 Vorschläge für weitere Simulationsexperimente
25
Eingänge sind hier die Spannung uM1 und die Beschleunigung dv/dt vorgesehen. Das
Untermodell liefert als Ausgänge die Variablen fralf1, w1 und Fz1. Die erste von
diesen stellt den Winkel
1
(t)
vom Ausgang des zweiten Integrators (Winkel des Motors
1) in Form von Modulo(1) dar. Mit w1 wird die Kreisgeschwindigkeit
1
(t)
bezeichnet
und Fz1 stellt die Fliehkraft des Motors 1 dar. In den Funktionsblöcken sieht man die
nachgebildeten Beziehungen, wobei u(1),u(2) die Eingänge dieser Blöcke sind, die
über Mux-Blöcke zusammengefasst wurden.
Für den Motor 2 gilt ein ähnliches Modell, das hier nicht mehr gezeigt wird.
Motor 1
Formel für Strom i1und Diffgln. für w1 und Winkel alf1 :
i1= (uM-kg1*w1)/R1
J1* dw1/dt = kg1* i1 - rGL1*sign(w1) +dv/dt * un1 * sin(alf1)
dalf1/dt = w1
Fliehkraft Fz1:
Fz1= un1* w1* w1 * cos(alf1)
4
w1
3
Fz1
2
fralf1
1
i1
1
s
w1st
Mux
1
s
1/J1
kg1
kg1
1/R1
un1* sin( u[1] )* u[2]
u /(2*pi) - floor (u /(2*pi) )
un1 * u[2] *u[2] * cos (u[1] )
rGL1*sgn(u)
2
dv/dt
1
uM1
Abb. 3.11: Modell des Motors 1
(unwucht_4.mdl, unwucht_ini4.m)
Feder-Masse-System
dv/dt
Diffgln:
m*dv/dt = Fz1 + Fz2 - D*x - rv*v
dx/dt = v
v
2
dv/dtl
1
x
1
s
1
s
1/m
rvH
D
rv
(u > tH)* ( tH+dtH > u)
0
2
Fz2
1
Fz1
Abb. 3.12: Modell des Feder-Masse-Systems
(unwucht_4.mdl, unwucht_ini4.m)
Das letzte Untermodell aus Abb. 3.10 ganz rechts ist das Feder-Masse-System,
das die Dynamik des Feder-Masse-Systems mit dem Modell aus Abb. 3.12 nachbildet.
Als Eingangsvariablen sind hier die Fliehkräfte der Motoren und als Ausgangsvariablen
werden die Beschleunigung dv/dt (unten links) und die Lage x geliefert.
3.3 Vorschläge für weitere Simulationsexperimente
26
Hier wird auch mit einem kleinen Trick die Möglichkeit simuliert, zu einem be-
stimmten Zeitmoment die Plattform des Feder-Masse-Systems nahezu zu blockieren
und somit die Schwingungen zu stoppen bzw. so den Motoren die Möglichkeit hochzu-
fahren einräumen.
0
5
10
15
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Lage der Masse
Zeit in s
0
5
10
15
-50
0
50
100
Winkelgeschwindigkeiten der Motoren
Zeit in s (Grosse Reibung bei 8 bis 13 s)
un1 = 0.00022; un2 = 0.00023
D = 500; rv = 0.5
Omega-Res. = 39.5285 rad/s
f0 = 6.2912 Hz
m = 0.32; J = 1.9e-05
kg1 = 0.021; kg2 = 0.02
Tmot = 1.8; u0 = 2
R1 = 10; R2 = 10.2
Motoren
hängen
Motoren
hochgefahren
Abb. 3.13: Winkelgeschwindigkeiten der Motoren und Lage des Feder-Masse-Systems
(un-
wucht_4.mdl, unwucht_ini4.m)
0
5
10
15
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Strom des Motors 1
Zeit in s
0
5
10
15
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Modulo(1) des Winkels fuer Motor 1
Zeit in s
Abb. 3.14: Strom und Modulo(1) des Winkels für Motor 1
(unwucht_4.mdl, unwucht_ini4.m)
Die Zeit, geliefert durch den Clock-Block (ganz rechts), dient der Bildung des Signals
zum Umschalten auf eine sehr große viskose Reibung rvH im Zeitintervall definiert
durch tH bis tH+dtH, die als Parameter definiert sein müssen.
3.3 Vorschläge für weitere Simulationsexperimente
27
Abb. 3.13 zeigt oben die Winkelgeschwindigkeiten der Motoren, die am Anfang sich
mit der Eigenfrequenz des Feder-Masse-Systems synchronisieren und nicht ihre korrek-
te Drehzahl erreichen. Zum Zeitpunkt tH hier bei 8 Sekunden wird die große Reibung
zugeschaltet und die Plattform bleibt praktisch stehen, sie schwingt nicht mehr, wie
man aus der Darstellung der Lage der Masse feststellen kann. Die Motoren, von der
Synchronisation befreit, können beschleunigen und erreichen die ideale Drehgeschwin-
digkeit.
Die große Reibung dauert dtH 5 Sekunden und danach wird die Plattform sozu-
sagen freigelassen. Die Motoren sind jetzt so synchronisiert, dass die annähernd glei-
che Unwuchten entgegengesetzte Fliehkräfte bilden und die Plattform weiterhin ruhig
bleibt.
Diese Form des Modells hat den Vorteil, dass alle Variablen explizit verfügbar sind
und es ist sehr einfach z.B. eine Strombegrenzung im Modell einzubauen. Auch für die
Darstellungen sind alle Variablen i
1
(t), i
2
(t),
1
(t),
2
(t),
1
(t) = d
1
(t)/dt, . . .
etc. und
die Zeit t verfügbar, weil sie in To Workspace-Senken eingefangen wurden. Das sind die
viereckigen Blöcke, die den Namen der entsprechenden Variablen enthalten. Abb. 3.14
ist z.B. einfach mit folgender Programmsequenz erzeugt:
figure(3);
clf;
subplot(211), plot(t, i1);
title('Strom des Motors 1');
xlabel('Zeit in s');
grid
subplot(212), plot(t, fralf1);
title('Modulo(1) des Winkels fuer Motor 1');
xlabel('Zeit in s');
grid
Interessant zu bemerken ist, dass im Zustand der Synchronisation mit der Eigen-
frequenz der Strom relativ hohe Werte einnimmt, weil die induzierte Spannung wegen
der Begrenzung der Drehgeschwindigkeit relativ klein ist. Nacher im hochgefahrenen
Zustand ist die induzierte Spannung größer (t > 10 s) und der Strom ist wesentlich
kleiner.
Kapitel 4
Physikalisches Experiment
Die Sachverhalte, die im Kapitel 3 mit Hilfe von mathematischen Modellen untersucht
wurden, können auch relativ einfach experimentell mit physikalischen Aufbau über-
prüft werden.
Abb. 4.1 zeigt die Anordnung mit der experimentiert wird. Das Feder-Masse-System
besteht aus zwei Blattfedern (Parallel-Feder-System) mit einer gesamten Federkonstan-
te D. Diese zwei Federn erlauben eine Bewegung nur in einer Richtung, ohne dass eine
Führung notwendig ist. Die Dämpfung des Systems wird mit einem Dämpfungsbügel
aus Teppichbodenbelag erzeugt.
Auf der oberen Platte (Plattform) ist links und rechts je ein Unwucht-Gleichstrom-
Motor angebracht. In der Ruhelage sind die Blattfedern vertikal ausgerichtet. Gezeich-
net ist eine um die Strecke (Lage) x(t) ausgelenkte obere Platte. Die schwingende Masse
m
besteht aus der oberen Platte und den Motoren. Die Unwuchten der Motoren werden
mit Hilfe der Mutterschraube eingestellt.
Die Auslenkung x(t) der Schwingenden Masse wird mit der links gezeigten Piezo-
Elektronik gemessen. Die Auslenkung krümmt die Blattfeder und damit auch die auf-
geklebte Piezoscheibe. Bei dieser Krümmung erzeugt die Piezoscheibe eine elektrische
Ladung, die proportional der Auslenkung x(t) ist. Mit Hilfe eines Operationsverstär-
kers mit FET
1
-Eingangsstufe (TL081), der als Ladungsverstärker geschaltet ist, wird die
Ladung in eine Spannung (u
x
(t)
) umgewandelt, die gemessen wird.
Die Motoren haben je eine mitrotierende Scheibe mit einem Schlitz. Der Schlitz hat
die gleiche Winkellage wie die Unwuchtschraube. Mit einer aus Leuchtdiode und Fo-
totransistor bestehenden Gabellichtschranke wird die Winkelposition des Schlitzes und
damit die Winkellage der Unwucht detektiert.
Der Aufbau, der in Abb. 4.1 unten gezeigt ist, enthält nicht den Dämpfungsbügel,
der aber leicht angebracht werden kann. Derselbe Aufbau kann auch für andere Expe-
rimente eingesetzt werden und von diesem ist die mittlere Säule mit einer Spule übrig
geblieben. Die Spule zusammen mit einem Permanentmagnet-Stab dient der forcierten
Anregung des Feder-Masse-Systems. Wenn die Spule über ein Leistungsverstärker si-
nusförmig angeregt wird, kann man das Experiment aus 2.2 simulieren.
1
Field-Effect-Transistor
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