Zahlenmengen

Das Mengendiagramm der Zahle

Mengenschreibweise der natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen

Natürliche Zahlen [IN] = {0,1,2,3,...}

Ganze Zahlen [Z] = {...-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

Rationale Zahlen [Q] = {

Reelle Zahlen [IR] = {Q ∪ {rationale Zahlen}} (z.B. π )

Beispiele:

1. Geben Sie alle reellen Zahlen größer gleich 7 an.

M 1 = {x ∈ IR | x ≥ 7}

2. Alle reellen Zahlen zwischen -3 und 5 (inklusive).

M 2 = {x ∈ IR | -3 ≤ x ≤ 5}

3. Geben Sie die Viererreihe (4,8,12...) an.

M3 = {x ∈ IN* | 4x}

Funktionswert/Wertebereich/Definitionsbereich

Sätze:

Die einer Zahl x aus D eindeutig zugeordnete Zahl y heißt Funktionswert von x

(an der Stelle x , zu dem Argument x ).

Die Menge D nennt man den Definitionsbereich der Funktion.

Die Menge W aller Funktionswerte heißt Wertebereich (Wertemenge) der Funktion.

Eine Funktion f kann man angeben durch ihren Definitionsbereich f D wie z.B.

durch { } ≤ ≤ − ∈ und mithilfe 6 2 | x IR x

y = + − − = 1. einer Funktionsgleichung z.B. ² ), (x f 4 ) 2 ( 5 , 0 x y

+ − − 2. eines Funktionsterms z.B. ² ), (x f 4 ) 2 ( 5 , 0 x

x → + − − → 3. einer Zuordnungsvorschrift z.B. ² ), (x f 4 ) 2 ( 5 , 0 x x

2 Sergej Epp

Intervalle

- abgeschlossenes Intervall von a bis b

[ ] { } ≤ ≤ ∈ = b x a IR x b a | ;

- offenes Intervall von a bis b

] [ { } < < ∈ = b x a IR x b a | ;

- (c) rechtsoffenes Intervall von a bis b

[ [ { } < ≤ ∈ = b x a IR x b a | ;

- linksoffenes Intervall von a bis b

] ] { } ≤ < ∈ = b x a IR x b a | ;

- offenes Intervall von ∞ − bis a

- linksabgeschlossenes Intervall von a bis ∞ +

[ [ { } ≤ ∈ = +∞ x a IR x a | ;

Lineare Funktionen

Graph:

3 Sergej Epp

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Setzt man , so lautet die 0 b

Formel

⋅ = = und der Graph ist eine Ursprungsgerade. Setzt man , so lautet die x m x f ) ( 0 m

+ = Formel und der Graph ist eine Parallele zur x-Achse. Als b x x f ) (

Definitionsbereich einer linearen Funktion wird meistens IR gewählt.

Punkt-Steigungs-Form

⋅ = Wenn man die Gerade so verschiebt, dass sie durch den Punkt P(a | b) geht, x m y

+ − = erhält man als Funktionsgleichung. b a x m x f ) ( ) (

Mit Hilfe des Steigungsdreiecks kann man die Steigung m ablesen.

Sätze:

• Falls m = sind die zwei Geraden parallel zueinander. m 2 1

• Falls

² α • Für den Steigungswinkel α gilt: = tan m

• Methode zur Steigungswinkelberechnung

ergibt α α

falls

α

es gilt:

= • Bei der Schnittpunktberechnung gilt: ) ( ) ( x g x f

Quadratische Funktionen

Graph:

4 Sergej Epp

Eigenschaften:

y = Die Eigenschaften der Funktion (Normalparabel) ² x

• symmetrisch zur y-Achse

• Schnittpunkt mit der y-Achse bei P (0 | 0)

• Scheitelpunkt liegt bei Sp (0 | 0)

• nach oben geöffnet

+ + = ² Die Scheitelpunktform: e d x a y ) (

Diese Form nennt man auch Scheitelpunktform, da man den Scheitelpunkt

aus der Formel ablesen kann.

Gemeinsamkeit mit anderen Parabeln:

- Sie verschiebt sich

Nullstellen

Beispiel:

= Nullstelle 3 x

N

Nullpunkt N ) 0 | 3 (

Betragsfunktionen

Graph:

Satz:

Das Hauptmerkmal einer Betragsfunktion ist, dass der Betrag immer positiv ist.

5 Sergej Epp

Beispiel:

25 = 25

23 = − 23

Die Schreibweise von einer Betragsfunktion

Betragsfunktionen werden innerhalb von Betragsstrichen geschrieben. Wie zum

Beispiel x (gelesen: Betrag von x). Die Funktionsterme der Betragsfunktionen

werden hinter eine geschwungener Klammer geschrieben.

− (siehe Beispiel x und ) 2 x

Eigenschaften:

• Dieser Graph ist symmetrisch zur y-Achse

Exotische Funktionen

Signum Funktion

>  falls 0 x 1

 = 

0 ) sgn(x  − 1 

Graph:

6 Sergej Epp

Heavyside-Funktion

≥  falls 1 0 x =  ) (x H < falls  0 0 x

Graph:

Dirichlet-Funktion

∈  Q x falls 1 =  ) (x f ∉ Q x falls  0

Graph:

Gauss-sche Klammerfunktion

 x =  x INT ) (



Graph:

7 Sergej Epp

Funktionsscharen

Graph:

Funktionenscharen kann man in einem Koordinatenkreuz darstellen, indem man einfach mehrere Funktionen in einen Graph einträgt.

Potenzfunktionen

Funktionsarten:

> 1. n gerade , n 0

- gehen alle durch N (0 | 0) P 1 (1 | 1)

P 2 (-1 | 1)

- je größer n, desto:

- steiler der Graph für

- flacher der Graph für

- achsensymmetrisch zur y-Achse

- Wertebereich w = IR 0

- Definitionsbereich D = IR

- für x

- für x

8 Sergej Epp

2. n ungerde , n 0

- gehen alle durch N (0 | 0) P 1 (1 | 1)

P 2 (-1 | -1)

- je größer n, desto:

- steiler der Graph für

- flacher der Graph für

- punktsymmetrisch zum Nullpunkt

- Wertebereich w = IR

- Definitionsbereich D = IR

- für x

- für x

3. n ungerade ,

besteht

> - für ist der Graphmonoton fallend 0 x

< - für ist der Graphmonoton fallend 0 x

4. n gerade ,

9 Sergej Epp

Ganzrationale Funktionen

Beispiel:

+ − − = ^{2 3} x x x f 40 22 ) (

← = = Grad n x f 3 ) (

← = − = − = = ten Koeffizien a a a a 40 22 1 1

0 1 2 3

Das Verhalten im Unendlichen

Der Summand mit höchsten Potenz (also n) entscheidet über das

−∞ → +∞ → Verhalten einer Funktion für . x bzw x .

= ⁵ x x f

2 ) ( x f ) ( lim

∞ + → x

x f ) ( lim

∞ − → x

Koeffizient: positiv

Potenz: ungerade

+ − = 5 x x f

) ( x f ) ( lim

∞ + → x

x f ) ( lim

∞ − → x

Koeffizient: negativ

Potenz: ungerade

= ⁴ x x f

3 ) ( x f ) ( lim

∞ + → x

x f ) ( lim

∞ − → x

Koeffizient: positiv

Potenz: gerade

10 Sergej Epp

1 − = ) (

x f ( lim f

∞ + → x

( lim f

∞ − → x

Koeffizient: negativ

Potenz: gerade

Symmetrie

+ = + Hinweis: ^{0 4 4} 5 5 x x x

Nullstellenberechnung

Die Darstellung:

− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ = )... ( ) ( ) ( ) ( ) ( n x n x n x n x a x f 4 3 2 1

11 Sergej Epp

nennt man Linearfaktorzerlegung von f

Nullstellentypen:

Es gibt Nullstellen mit Vorzeichenwechsel und Nullstellen ohne Vorzeichenwechsel

Wenn der Linearfaktor einen geraden Exponenten hat, findet kein VZW

(Vorzeichenwechsel) statt, sonst findet ein VZW statt.

Vereinfachte Fassung:

Bei einer einfachen Nullstelle schneidet der Graph die x-Achse, bei einer doppelten

berührt er sie.

Berechnung von Nullstellen

Zur Berechnung der Nullstellen einer ganzrationalen Funktion gibt es fünf

verschiedene Methoden:

Polynomdivision

Bei der Polynomdivision gilt:

⋅ + = ) ( ) 2 ( ) ( x g x x f

= + ÷ ) ( ) 2 ( ) ( x g x x f

Beispiel:

+ ⋅ − ⋅ + = ) 5 , 1 ( ) 4 ( ) 2 ( ) ( x x x x f

− − − = 12 11 ² 5 , 0 ³ ) ( x x x x f

− = 2 x ¹ = 4 x ² − = 5 , 1 x 3

12 Sergej Epp

Wir müssen also rechnen:

− − = + − − − 6 5 , 2 ² ) 2 ( : ) 12 11 ² 5 , 0 ³ ( x x x x x

+ − ) 2 ² ( x x

− − 11 ² 5 , 2 x x

− − − ) 5 ² 5 , 2 ( x x

− − 12 6 x

− − − ) 12 6 ( x

0

Merke: Am Ende der Rechnung muss immer eine Null stehen, ansonsten geht die

Rechnung nicht auf.

Biquadratische Gleichungen

Zum Berechnen einer Nullstelle mit der Biquadratischen Gleichung müssen beide

Exponenten der Funktion gerade sein d.h. dass der Graph zur Funktion symmetrisch

zur x-Achse ist.

+ − = ⁴ 36 ² 13 ) ( x x x f

= ² z x setze

+ − = 36 13 ² 0 z z

− ± = 6 , 3 ² 5 , 6 5 , 6 z ^{2 / 1} = + = 5 , 2 5 , 6 z ¹ − = , 2 5 , 6 z

² − = = 3 3 x x ^{2 1} − = = 2 2 x x 4 3

Linearfaktorzerlegung

Beispiel:

13 Sergej Epp

f

− = 1 x 1

3 = = 5 , 1 x ² 2

= 7 x 3

= − = 1 definiert nicht x 4

− ) 0 | 7 ( ) 0 | 5 , 1 ( ) 0 | 1 ( N N N 3 2 1

p, q - Formel

Beispiel:

+ − − = 2 , 1 2 , 0 ² 4 , 0 ) ( x x x f

− = + − − ) 4 , 0 ( |: 0 2 , 1 2 , 0 ² 4 , 0 x x

= + + = − + 0 ² | 0 3 5 , 0 ² q px x Form x x

: x Formel 1

erhalten Wir

− = x 2 / 1

− =

= x 1

Die Diskriminante

Die Gleichung

Man nennt

Es gibt:

> • zwei Lösungen, wenn 0 d

• keine Lösung, wenn < 0 d

= • eine Lösung, wenn 0 d

14 Sergej Epp