Abiturjahrgang 2005 F a c h a r b e i t aus der Mathematik über Komplexe Zahlen Leistungskurs: Mathematik

Bearbeitungszeitraum: 2. und 3. Kurshalbjahr Abgabetermin: 28. Januar 2005

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 3

2 Einführung in komplexe Zahlen 4 2.1 Definition komplexer Zahlen 4 2.1.1 Rechnen mit i 4

2.1.2 Darstellung komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene 4 2.2 Rechnen mit komplexen Zahlen 5 2.3 Polarkoordinaten und kartesische Koordinaten 8 2.3.1 Begriff der Polarkoordinaten 8

2.3.2 Umwandlung von der Polarform in die kartesische Koordinatenform 9 2.3.3 Umwandlung von der kartesischen Koordinatenform in die Polarform 10 2.4 Rechnen mit Polarkoordinaten, Formel von de Moivre 10

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3 Algebraische Eigenschaften von 13 3.1 Körperaxiome 13 3.2 Lösen algebraischer Gleichungen 14 3.3 Abgeschlossenheit von und Hauptsatz der Algebra 14 3.4 als nicht angeordneter, vollständiger Körper 15

4 Anwendung komplexer Zahlen 16 4.1 Anwendungen in der Mathematik 16 4.2 Anwendungen in der Physik 17

4.2.1 Übersicht über die Vielzahl der Anwendungsmöglichkeiten 17 4.2.1 Zentrifugal- und Corioliskraft 18 5 Schlussbemerkungen 22

6 Literaturverzeichnis 23

7 Persönliche Erklärung 24

1 Einleitung

In der Mitte des 17. Jahrhunderts wurde von Renée Descartes die Bezeichnung einer negativen Wurzel als „imaginäre Zahl“ eingeführt. Alle zu dieser Zeit „normalen“ Zahlen bekamen die Bezeichnung reelle Zahlen. Heute bezeichnet man die von beiden Teilen gebildete Zahl als komplexe Zahl.

Zuerst erschien das Rechnen mit komplexen Zahlen als Spiel mit wenig großer Bedeutung, jedoch bemerkten die Mathematiker dieser Zeit schnell, dass mit komplexen Zahlen Sätze bewiesen werden konnten, die mit dem reellen Zahlenbereich nicht zu beweisen waren, oder dass die komplexen Zahlen zu bekannten Ergebnissen eine bessere Form lieferten. Dies waren Gründe dafür, dass von diesem Zeitpunkt an die komplexen Zahlen ernst genommen worden sind und man sich mit ihnen wissenschaftlich beschäftigte. Jedoch verloren die komplexen Zahlen den Schleier des Geheimnisvollen nicht, selbst dann nicht als sich zwei Mathematiker, der Däne C. Wessel und der Franzose J.-R.

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Argand, am Ende des 18. Jahrhunderts unabhängig voneinander intensiv um die Aufkl ärung der komplexen Zahlen bemühten und ihre Ideen veröffentlichten. Aufmerksamkeit bekamen die Lehrbücher der beiden Mathematiker erst, als Carl Friedrich Gauß 1831 zu denselben Formulierungen kam, ohne etwas von den Arbeiten der beiden zu wissen. Heute besitzen die komplexen Zahlen nichts Geheimnisvolles mehr, da es keine Schwierigkeit in deren Handhabung gibt. „Die komplexen Zahlen stehen an Einfachheit der Definition, an konkreter Bedeutung und Anwendbarkeit den reellen Zahlen in nichts nach.“[1] Es ist also unkorrekt, die komplexen Zahlen als eingebildete, unwirkliche oder imaginäre Zahlen zu bezeichnen.

Das Ziel dieser Arbeit ist es, einem Schüler aus der 12. Jahrgangsstufe die Grundlagen, das Rechnen sowie Anwendungen komplexer Zahlen zu vermitteln. Zuerst wird der Begriff der komplexen Zahl definiert, anschließend wird dem Leser das Rechnen mit komplexen Zahlen erläutert, worauf dann der Begriff der Polarkoordinaten eingeführt wird. Im dritten Teil dieser Arbeit, werden die algebraischen Eigenschaften von erklärt. Beginnend bei der Erweiterung des

Zahlensystems überführend zu dem Fundamentalsatz der Algebra endet dieses Kapitel bei der Erläuterung von als ungeordneter, vollständiger Körper. Zuletzt wird die Bedeutung komplexer Zahlen in der mathematischen, sowie physikalischen Anwendung dargestellt, wobei ein besonderes Augenmerk auf die Zentrifugal - und Corioliskraft gelegt wird.

2 Einführung in komplexe Zahlen

2.1 Definition komplexer Zahlen und Darstellung in der Gaußschen Zahlenebene

Mit der Einführung der Zahl i von Leonhard Euler[2] wird die Menge der kom - plexen Zahlen wie folgt definiert:

An der Definition ist erkennbar, dass jede Komplexe Zahl eine Summe von Viel- fachen von 1 und i ist.

Dabei bezeichnet a den Realteil von z, b den Imaginärteil von z:

Für

2.1.1 Rechnen mit i

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2.1.1 Rechnen mit i

(1) ohne Verwendung von i: „ “

(2) mit Verwendung von i:

2.1.2 Darstellung komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene [3]

Die komplexen Zahlen sind nicht wie die reellen Zahlen auf der Zahlengeraden darstellbar. Die oben eingeführte

Abbildung erlaubt es, einer komplexen Zahl einen Punkt im 2dimensionalen Koordinatensystem zuzuordnen, das man dann Gaußsche Zahlenebene nennt.

Reelle Zahlen liegen bei dieser Zuordnung auf der x-Achse und diese entspricht der Zahlengeraden. Rein imaginäre Zahlen liegen auf der y-Achse, der Imaginär-achse. Beispiele:

2.2 Rechnen mit komplexen Zahlen

Eine komplexe Zahl kann auch als Vektor aufgefasst werden, da einer komplexen

Zahl zugeordnet ist.

Addition:

Komplexe Zahlen werden addiert gemäß der Vektorrechnung, indem man die Realteile und die Imaginärteile addiert.

Für und gilt:

inversem Element (mehr in 3.1).

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Beispiel:

Subtraktion:

Eine komplexe Zahl wird subtrahiert, indem man ihr inverses Element addiert.

Multiplikation:

Das Produkt komplexer Zahlen wird wegen folgendermaßen definiert:

Beispiel:

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Die komplexen Zahlen und heißen komplex-konjugiert zu-einander.

Für diese Arbeit wichtige Rechenregeln komplex-konjugierter Zahlen werden im Folgenden dargestellt:

(1) , da

(2)

(3)

„ “ , also

„ “ ; ;

Division:

Bei der Division komplexer Zahlen ist es zweckmäßig, zuerst im Nenner die imagin äre Einheit i zu eliminieren. Man erweitert dazu den Bruch mit der komplex-konjugierten Zahl und wendet anschließend die dritte binomische Formel an:

Beispiel:

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Potenzieren:

Um komplexe Zahlen zu potenzieren, benutzt man die binomische Formel:

Zu beachten sind dabei folgende Potenzen von i:

Ausgehend von: und , erhält man

allgemein[5]: für alle Beispiel:

Es soll die fünfte Potenz der komplexen Zahl berechnet werden.

Die Binomialkoeffizienten lassen sich für die fünfte Potenz über das Pascalsche Dreieck[6] ermitteln:

2.3 Polarkoordinaten und kartesische Koordinaten 2.3.1 Begriff der Polarkoordinaten

Mittels der vektoriellen Darstellung wird eine komplexe Zahl eindeutig durch den Abstand des zugehörigen Punktes

vom Nullpunkt und durch den Winkel , der zwischen dem Vektor und der positiven Realachse eingeschlossen wird, bestimmt.

Man nennt und die Polarkoordinaten der komplexen Zahl . Der Winkel , auch Argument von genannt, ist

bis auf Vielfache von bzw. eindeutig bestimmt. Daher kann bzw. vereinbart werden.

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Für den Betrag einer komplexen Zahl gilt nach Pythagoras:

Des weiteren kann aus der Abbildung entnommen werden:

Diese trigonometrischen Terme sind nur für und definiert.

Bildet man die Summe von und mit obiger Beziehung, so erhält man die Polarkoordinatendarstellung einer komplexen Zahl:

; das linke Argument ist die trigo-nometrische Form, das rechte die

Exponentialform. Damit kann man die Polarform auch in der Form

Gaußschen Zahlenebene haben die Punkte den Abstand 1, liegen also alle auf einem Einheitskreis mit um den Nullpunkt.

2.3.2 Umwandlung von der Polarform in die kartesische Koordinatenform

Bei diesem Rechenvorgang gelten für und die Formeln:

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Beispiel:

2.3.3 Umwandlung von der kartesischen Koordinatenform in die Polarform Beispiel:

2.4 Rechnen mit Polarkoordinaten, Formel von de Moivre

Vorteilhaft ist das Rechnen mit Polarkoordinaten bei der Multiplikation, Division und dem Potenzieren, während Addition und Subtraktion besser mit karte-sischen Koordinaten durchgeführt werden. Multiplikation mittels trigonometrischer Form:

Nach den Additionstheoremen[8] folgt:

Multiplikation mittels Exponentialform:

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Beispiel:

? trigonometrische Form

? Exponentialform

Division komplexer Zahlen mittels trigonometrischer Form

Analog zur Multiplikation gilt für die Division: ( )

Division komplexer Zahlen in Exponentialschreibweise:

Für gilt:

Beispiel:

? trigonometrische Form

? Exponentialform

Potenzieren und Radizieren in Polarform

Der nfachen Produktbildung einer komplexen Zahl entspricht deren n. Potenz .

Parallel dazu definiert man die n. Wurzeln als diejenigen komplexen Zahlen, deren n. Potenz z ergibt, d.h. alle

Lösungen von .

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Für das Potenzieren gilt folgender Satz von Moivre[9]:

Beispiel:

Sehr bedeutend ist die Moivresche Formel für das Radizieren komplexer Zahlen. Um die Lösung von zu erhalten,

schreibt man und als komplexe Zahlen und erhält so:

Nun werden die Beträge und Argumente gleichgesetzt:

( I ) oder ( II ) Statt muss daher nur

von .

Setzt man die gefundenen Werte in die Ausgangsbeziehung Wurzeln:

Beispiel:

Zu sollen alle dritten Wurzeln gefunden werden. Stellt man alle Winkel in Altgrad dar, so liefert die obige Formel:

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Für ergeben sich die 3 Wurzelwerte

Ergänzend zu 2.2 wird die Rechenregel für das Potenzieren komplex-konjugierter Zahlen vorgestellt:

3 Algebraische Eigenschaften von 3.1 Körperaxiome

Mit dem Begriff des Rechnens assoziiert der Laie Rechenverknüpfungen wie Summe, Differenz, Produkt und Quotient von natürlichen Zahlen. Allgemein werden zum Rechnen zwei Dinge benötigt:

1. Eine Grundmenge , deren Elemente nicht notwendig Zahlen sein müssen.

2. Eine Rechenoperation, die wie folgt auf definiert sein soll:

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Ein Paar heißt Gruppe, wenn folgende Axiome erfüllt sind:

1. ist bezüglich der Verknüpfung abgeschlossen, d.h.

für alle ist .

2. Die Verknüpfung ist assoziativ in , d.h.

für alle ist .

3. In existiert ein neutrales Element, d.h.

es gibt ein , so dass für alle : .

4. In existiert zu jedem Element ein inverses Element, d.h.

zu jedem Element gibt es genau ein inverses Element , so dass .

heißt kommutative oder abelsche Gruppe[10], wenn außerdem gilt: 5. Die Verknüpfung ist kommutativ, d.h.

für alle ist . Beispiel:

Für die Menge sind bezüglich der üblichen Multiplikation die Axiome 1, 2 und 3 erfüllt. Axiom 4 ist nicht erfüllt, da es

nicht zu jedem

erfüllbar. Also ist keine Gruppe.

Abgeleitet von den Gruppenaxiomen können nun die K örperaxiome formuliert werden:

Man spricht bei einer Menge , die aus mindestens zwei Elementen besteht, von einem Körper, wenn auf

Verknüpfungen

Addition +: für alle

Multiplikation : für alle

definiert sind und dafür folgende Axiome gelten.

1. ist in Verbindung mit der Addition eine kommutative Gruppe. Ihr neutrales Element (=Nullelement) heiße .

2. ist in Verbindung mit der Multiplikation eine kommutative Grup- pe mit dem neutralen Element 1.

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3. Distributivität:

für alle

3.2 Lösen algebraischer Gleichungen

Eine Subtraktion ist bereits in der Menge der natürlichen Zahlen unmöglich, falls ist.

Uneingeschränkt kann in dieser Menge nur die Addition und Multiplikation angewendet werden, z.B. ist nicht

lösbar.

Mit der Erweiterung des Zahlenstrahls zur Zahlengeraden und dem Gewinn von inversen Elementen durch

Menge ist ein Körper , d.h. alle in 3.1 aufgeführten Körperaxiome sind erfüllt. Aber z.B. besitzt in keine

Lösung (vgl. 9. Klasse).

In der Menge der reellen Zahlen ist das Radizieren und Potenzieren bei positiven Radikanden unbeschränkt möglich. In besitzt die Lösung , jedoch ist auch in nicht lösbar. Mit der Erweiterung von zum Körper können nun zumindest alle quadratischen Gleichungen gel öst werden. Die

Mengen ordnen sich beginnend von den natürlichen Zahlen und endend bei den komplexen Zahlen in dieser Beziehung an:

3.3 Abgeschlossenheit von und Hauptsatz der Algebra

Wie schon in 3.1 erkennbar ist, dass gewisse Gleichungen in einer bestimmten Menge zu lösen sind manche jedoch nicht, stellt sich nun die Frage, ob in alle Gleichungen ohne Erweiterung des Zahlenbereichs eine Lösung besitzen. Der Fundamentalsatz der Algebra sagt:

Jede Gleichung n. Grades

mit hat wenigstens eine Lösung

Dieser Satz zeigt, dass eine Vollkommenheitseigenschaft besitzt und algebraisch abgeschlossen ist. Wegen der Abgeschlossenheit von gibt es algebraisch keine Notwendigkeit, den Körper noch mal zu erweitern. 3.4 als nicht angeordneter, vollständiger Körper Auch in gelten alle Körperaxiome:

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und sind abelsche Gruppen, da jeweils alle in 3.1 aufgeführten Kriterien erfüllt werden.

Das für die Addition neutrale Element lautet , für die Multiplikation .

Die inversen Elemente zur Addition (I) und Multiplikation (II) sind:

(I) aus ergibt sich

(II) Zu jedem existiert , nämlich

.

In Kapitel 2 ist deutlich, dass für das Rechnen mit komplexen Zahlen dieselben Rechenregelen gelten wie bei den reellen Zahlen. Einen Verlust gibt es jedoch im Körper , nämlich den Verzicht auf die Anordnung. Beweis:

Angenommen, es ist möglich, vollständig anzuordnen, d.h. für gilt stets: oder oder .

Da , müsste gelten oder .

1. Fall: Es gelte

2. Fall: Es gelte

Also ist die Annahme falsch, d.h. ist kein vollständig anzuordnender Körper.

Anwendungen komplexer Zahlen 3.1 Anwendung in der Mathematik

Die komplexen Zahlen spielen eine große Rolle in weiten Teilen der Zahlen-theorie, Algebra und der Analysis. Komplexe Zahlen stellen zudem ein geeignetes Hilfsmittel für mathematische Beschreibungen elektrischer Schwingungen oder der Quantenmechanik dar. Im Folgenden wird die Praxis komplexer Zahlen im Lösen von Gleichungen und der Herleitung der Additionstheoreme vorgestellt. Lösen von Gleichungen:

Eine kubische Gleichung kann sowohl reelle als auch komplexe Lösungen be- sitzen. Dies zeigt das folgende Beispiel:

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Durch Probieren findet man die erste Lösung

Die Gleichung löst man mittels der Lösungsformel:

Gleichzeitig illustriert dieses Beispiel den Satz:

Alle Lösungen einer Polynomgleichung mit nur reellen Koeffizienten treten komplex-konjugiert auf. Beweis:

Mit den Regeln von S.5 und S.12 für komplex-konjugierte Zahlen gelingt der Beweis sehr elegant (vgl. [Fisch], S.226f):

Sei und eine Lösung von .

Dann gilt auch

Nach Fischer (siehe [Fisch], S. 226) gilt sogar, dass die Vielfachheit der Nullstellen und übereinstimmen (zum Beweis siehe [Fisch], S.226f).

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Herleitung von Additionstheoremen:

In der 10. Klasse wird mit großem Aufwand die Herleitung von Additionsthe -oremen betrieben. Unter anderem wird gezeigt:

der Euler - Formel:

Realteil Imaginärteil Realteil Imaginärteil Die Gleichsetzung von Imaginär- und Realteil liefert:

3.2

Anwendungen in der Physik

4.2.1 Übersicht über die Vielzahl der Anwendungsmöglichkeiten

Häufige Verwendung finden komplexe Zahlen in der klassischen Physik aber auch in der Materialwissenschaft. In diesen Bereichen wird mit komplexen Zahlen gerechnet, obwohl alle gemessenen und berechneten Größ en durch reelle Maßzahlen beschrieben werden. Auch durch die Verwendung von komplexen Zahlen wird es in der klassischen Physik keine imaginären Orte, Kräfte oder Zeiten geben, da alle Endergebnisse reell sind.

In einem Teilgebiet der Physik, der Quantenmechanik, treten dennoch Größen in komplexen Zahlen auf. Es gibt in der Quantenmechanik immer messbare Größ en, die als Ergebnisse reelle Zahlen liefern. Jedoch ist die Wellenfunktion und manchmal auch die Zeit eine komplexe Zahl. 4.2.2 Zentrifugal- und Corioliskraft[11]

Wegen der Polarform sind komplexe Zahlen ideal dazu geeignet Kreisbe-wegungen zu beschreiben. Die aus der 11. Klasse bekannte Zentrifugalkraft wirkt auf Körper, die in einem rotierenden Bezugssystem ruhen. Bei bewegten Massen wirkt die Corioliskraft, wenn sie sich in einem rotierenden Bezugssystem befinden. Erkennbar ist diese Kraft nur vom rotierenden Bezugssystem aus.

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Zum Verständnis wird nun ein Beispiel herangezogen, bei dem die Reibung vernachlässigt wird: Angenommen es wird ein Geschoß von einem Gewehr, das sich auf einer rotierenden Scheibe befindet, radial abgeschossen, so fliegt das Geschoß nach dem Trägheitssatz geradlinig vom Mittelpunkt der Scheibe fort, wenn man es von außen beobachtet. Das Geschoß beschreibt jedoch eine Kurve vom Standpunkt der sich drehenden Scheibe aus gesehen. Zuständig für diese Abweichung von der Geradlinigkeit ist die Corioliskraft.

Beobachter steht außen. Beobachter ist mit dem rotierenden Bezugsystem verbunden.

Im Folgenden werden die Formeln für den Ortsvektor, Geschwindigkeit und Beschleunigung der Zentrifugalkraft hergeleitet:

Der Startpunkt ist , die Rotation erfolgt im mathematisch positiven Drehsinn. Falls man den Punkt z als komplexe

Zahl auffasst, so gilt nach der Euler - Formel :

Die Geschwindigkeit ist die erste Ableitung[13] des Ortes:

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Die Beschleunigung ist die zweite Ableitung des Ortes oder die erste Ableitung der Geschwindigkeit:

Für die Herleitung der Corioliskraft benötigt man die erste Ableitung nach t von :

Von einem als ruhend angenommenen Inertialsystem[14] aus bewege sich ein (punktförmiger) K örper mit konstanter

Geschwindigkeit, d.h. es wirkt auf ihn keine beschleunigende Kraft, so dass , also für alle Zeitpunkte t.

Ein mit Winkelgeschwindigkeit ( , d.h. im mathematisch positiven Drehsinn) rotierender Beobachter bezeichne

den Ort, an dem er den Körper registriert, mit .

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Zwischen und besteht daher folgender Zusammenhang:

Um ausnutzen zu können, wird diese Gleichung zunächst zweimal nach t differenziert:

Da für alle , muss gelten:

Hierauf wendet man das aus Inertialsystemen (B glaubt, er befände sich in einem Inertialsystem) bekannte 2.

Newtonsche Gesetz an:

Mit folgt .

Da ein positives Vielfaches von ist, zeigt in dieselbe Richtung wie , d.h. vom Mittelpunkt der Rotation weg.

heißt daher Zentrifugalkraft.

ist gegenüber um , d.h. um im Uhrzeigersinn gedreht. Daher sorgt für eine Ablenkung

senkrecht zur Bahn, die der Beobachter B registriert.

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Für den Betrag von gilt:

Grafische Veranschaulichung der Richtung von und :

Corioliskräfte beeinflussen entscheidend das Wetter auf der Erde, da durch sie die Wolkenfelder auf der Nordhalbkugel einen großräumig rechtsgedrehten Wirbel besitzen. Auf der Südhalbkugel, verhält es sich genau andersherum.

Bekannt ist diese Scheinkraft auch dafür, dass sie Flüsse einseitig ausw äscht und Eisenbahnschienen einseitig abnützt. Zudem muss bei der Raumfahrt, v.a. beim Start von Raketen die Corioliskraft berücksichtigt werden.

5 Schlussbemerkungen

Die komplexen Zahlen sind von der algebraischen Sicht her die letzte sinnvolle Erweiterung des Zahlenbereichs. ist ein Körper und besitzt die Vollständig-keitseigenschaft. Der Hauptsatz der Algebra sagt, dass in es nun möglich ist, jede

beliebige Gleichung zu l ösen. Die Vereinfachung bekannter Beweise wurde in dieser Arbeit mit der Herleitung der Additionstheoreme, Zentrifugal- und Corioliskraft dargestellt.

Seitdem Carl Friedrich Gauß die komplexen Zahlen mit seiner Zahlenebene darstellbar gemacht hat, konnten andere Mathematiker dieser Zeit nicht mehr die Bezeichnung „eingebildete Zahl “ für komplexe Zahlen verwenden. Von diesem Zeitpunkt an setzten sich die komplexen Zahlen immer mehr durch in der Mathematik und der Physik. Es ist heutzutage nicht mehr vorstellbar, ohne die komplexen Zahlen in diesen Wissenschaften zu arbeiten. V. a. in der modernen Physik, die immer häufiger mit wichtigen Ergebnissen und Erfolgen die Zukunft bestimmen wird, besitzen die komplexen Zahlen einen hohen Stellenwert.

Laut Fundamentalsatz der Algebra scheint eine Erweiterung des Zahlenbereichs für unnötig. Es gibt jedoch eine Erweiterung von , nämlich die Quaternionen[15] . Die Quaternionen sind ein Quadrupel aus einer reellen Zahl und drei imaginären Zahlen. Da die Quaternionen als Erweiterung von aufgefasst werden, werden seine Elemente auch als hyperkomplexe Zahlen bezeichnet. Anwendung finden die Quaternionen in der Informatik bei drehenden 3dimensionalen Körpern.

6 Literaturverzeichnis

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[Athen] Rechnen und Mathematik, Dr. H. Athen•J. Bruhn, München 1974

[Barth] Mathematische Formeln und Definitionen, F. Barth•P. Mühlbauer•Dr. F. Nikol•K. Wörle, München

[Brock] Brockhaus Enzyklopädie, Mannheim

[Brons] Taschenbuch der Mathematik, I. N. Bronstein•K.A. Semendjajew•G.Musiol•H. Mühlig, Leipzig

[Dittm] Komplexe Zahlen, Helmut Dittmann München [Fisch] Lineare Algebra, G. Fischer, Braunschweig 1986

[Ha& Ha] Physikalische Formeln und Tabellen, Dr. A. Hammer•Dr. H. Hammer•Dr. K. Hammer, München [Ha& Kn] Physik, Sekundarstufe II - Kollegstufe, 11. Jahrgangsstufe, Mechanik, A. Hammer•H. Knauth•S. Kühnel, München 1978

[Knerr] Physik, Vom Atom zum Universum, R. Knerr, München 1995

[Mango] H öhere Mathematik, H. v. Mangoldt•K. Knopp, Stuttgardt [M ülle] Mathematik verständlich, R. Müller-Fonfara, W. Scholl, München 2004

[Reint] Schulmathematik, Defintionen•Beweise•Sätze, F. Reinhardt, München

[Schei] Duden, Schülerduden Mathematik II, Pof. Dr. H. Scheid•D. Kindinger, Mannheim 7 Persönliche Erklärung

Ich erkläre, dass ich die Facharbeit ohne fremde Hilfe angefertigt und nur die im Literaturverzeichnis angeführten Quellen und Hilfsmittel verwendet habe. München, den 18.01.2005

[1][Mango], S.303

[2] Schweizer Mathematiker (1707 - 1783)

[3] Benannt nach Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855)

[4] [Barth], S.13

[5] [Brons], S.26

[6] siehe Fußnote 4

[7] vgl. [Schei], S. 108

[8] [Barth], S. 39

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[9] französischer Mathematiker (1667 - 1754) [10] Benannt nach Niels Henrik Abel (1802-1829)

[11] Benannt nach Gustave G. Coriolis (1792-1843)

[12] [Ha& Ha], S.18

[13] In der Physik ist es üblich Ableitungen nach der Zeit t mit dem Symbol abzukürzen.

[14] Inertialsysteme, sind solche Bezugssysteme, in denen der Trägheitssatz gültig ist.

[15] Eingeführt von W. R. Hamilton 1843

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