Das Foucault-Pendel

Gymnasium Miesbach

Kollegstufe Abiturjahrgang 04/06

Das Foucault-Pendel

Verfasser: Max Bernöcker

Leistungskurs: Physik

Abgabetermin: 27. Januar 2006

Inhaltsverzeichnis

1  Historischer Hintergrund  3

1.1  Jean Bernard Léon Foucault  3

2  Herleitung des Foucault Effekts  5

2.1  Pendel am Pol  5

2.2  Pendel am Breitengrad ϕ  6

3  Bau eines Foucault-Pendels  12

3.1  Probleme  12

3.2  Foucaults Lösung  12

3.3  Mein Pendel  13

3.3.1  Der Antrieb  13

3.3.2  Der Charronring  14

4  Versuch  16

5  Literatur  19

5.1  Software  20

6  Anhang  20

6.1  Abb. Charron Ring  21

6.2  Abb. Pendel komplett  22

6.3  Abb. Schaltplan Steuerung  23

1 Historischer Hintergrund

Nachdem Kopernikus im 16. Jahrhundert entdeckte, dass die Erde nicht der Mittelpunkt des ganzen Universum ist, sondern dass sich die Erde um die Sonne und ihre eigene Achse dreht und nachdem Kepler seine Gesetze der Planetenbewegungen veröffentlichte, stellte sich die Frage, wie man das Ganze experimentell bestätigen könne.

Für den Nachweis der Eigenrotation der Erde schlug Newton vor, einen Stein in einen sehr tiefen Brunnen zu werfen und dann die von ihm vorhergesagte östliche Abweichung zu messen. Dieser Vorschlag scheiterte aber an den ungenauen Messgeräten und einem Brunnen, der tief genug war.

Poisson veröffentlichte 1837 eine theoretische Abhandlung darüber, wie sich die Flugbahn eines Geschosses durch den Einfluss der Corioliskraft (die nach einem seiner Schüler benannt ist) ändere. Er rechnete sogar den Einfluss dieser Kraft auf ein schwingendes Pendel aus; er meinte aber, dass der Einfluss zu gering sei, um einen bemerkbaren Effekt hervorzurufen (vgl Tob03, S. 150). Dabei betrachtete er aber nur die Ablenkung, die entsteht, wenn das Pendel eine Periode durchläuft und übersah, dass sich die Ablenkung, die bei einem Schwingungsdurchgang entsteht, nicht verlorengeht, sondern sich über die Zeit aufsummiert; im Endeffekt ist sie also doch zu sehen. Die Geschossablenkung war wie Newtons Vorschlag mit dem damaligen Messmethoden nicht nachweisbar.

1.1 Jean Bernard Léon Foucault

Laut Louis Figuier kam Foucault auf die Idee seines Pendelexperiments als er mit einem Dampfschiff auf rauher See von Honfleur nach Le Havre fuhr. Obwohl das Schiff durch den hohen Wellengang hin und her geschleudert wurde, verharrte ein Querbalken des Mastens in einer festen Position (vgl Tob03, S. 138).

Im Jahr 1851 lies er sich einen 5 kg schweren Pendelkörper anfertigen und baute sich damit in seinem Keller ein 2 m langes Pendel. Er hatte aber mit zahlreichen Problemen zu kämpfen: So zwangen ihn Vibrationen von Dampfmaschinen und trampelnden Fußgängern dazu, in der Nacht zu arbeiten. Ein weiteres Problem beschrieb er in seinem Tagebuch (Tob03, S. 139):

Friday, [1851 January 3] 1-2 a.m.: first trial, encouraging result; the wire breaks. Wednesday, [1851 January 8] 2 a.m.: the pendulum turned in the direction of the diurnal motion of the celestial sphere.

Nachdem der Versuch mit einem 11 m langen Pendel und einer überarbeiteten Aufhängung in der Pariser Sternwarte nun deutlich besser verlief, veröffentlichte er seine Ergebnisse. Darin bezieht er sich ausdrücklich auf Poisson und stellt auch fest, dass die Geschwindigkeit, mit der sich die Pendelebene dreht, vom Sinus des Breitengrades abhängt. Eine genaue Erklärung bleibt er aber dem Leser schuldig (Tob03, S. 140):

To derive the sine factor one must resort either to analysis or to considerations of mechanics and geometry which are outside the limits of this note. . .

Einige Zuschauer forderten nun ein Pendel, das für die Öffentlichkeit zugänglich wäre und so ließ sich Foucault ein Pendel anfertigen, das 67 m lang war und eine 28 kg schweren Pendelkörper hatte. Dieses gigantische Pendel hängte er in das Panthéon und bis zum Abbau war es die Hauptattraktion in Paris. Reisende aus aller Welt bestaunten das Muster, das das Pendel in den Sand ritzte.

Dieser Versuch machte Foucault weltberühmt; es brach eine richtige „pendulum ma- nia“ (Tob03, S. 148) aus. Weltweit wurden Pendel aufgebaut, die alle eindrucksvoll die Erdrota-

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tion nachwiesen.

Daraufhin wurden viele Erklärungsansätze diskutiert, warum der sog. Foucault Effekt vom Breitengrad abhängt. Der Erste, der eine vollständige Erklärung lieferte, war Binet. Er konnte, von Poisson angeregt, mithilfe der Corioliskraft herleiten, dass die Winkelgeschwindigkeit mit der sich die Pendelebene dreht, direkt proportional zum Sinus des Breitengrad ist. Danach veröffentlichte auch Foucault seine Abhandlung, die von Belfield-Lefèvre vereinfacht, die Basis meine eigenen Herleitung ist. (vgl Tob03, S. 153)

2 Herleitung des Foucault Effekts

2.1 Pendel am Pol

Als erstes betrachten wir ein Fadenpendel, das an einem Pol der Erde aufgestellt ist. Bei schwin- gendemPendel wirken auf den Pendelkörper verschiedene Kräfte (Gewichtskraft, Zugkraft des Fadens) die eine resultierende Kraft ergeben, aus der die Pendelbewegung entsteht. Diese Kräfte liegen alle in der Schwingungsebene, die durch den Aufhängepunkt und die beiden Punkte maximaler Elongation festgelegt ist. Um nun erklären zu können, warum sich die Schwingungs- ebeneträge verhält, also Newtons 1. Axiom genügt und somit bezogen auf einen Fixpunkt im Universum in Ruhe ist, ersetzen wir das schwingende Pendel durch eine Hilfsvorstellung ¹ , wie es auch schon Foucault machte (vgl Tob03, S. 152f): Ein schwingendes Pendel ist im Prinzip nichts anderes als ein Metallstab, der in der Mitte an einem Faden aufgehängt ist. Die Enden des Stabes entsprechen nun den Punkten maximaler Elongation des Fadenpendels ² . Auf diesen Stab wirkt keine resultierende Kraft, da die Gewichtskraft durch die Zugkraft der Aufhängung kompensiert wird. Nach dem 1. Axiom Newtons bleibt er also in Ruhe, wenn er in Ruhe aufgehängt wurde.

Wenn man dieses Gebilde nun an einem Faden mit unendlich kleiner Torsionssteifigkeit am Nordpol aufhängen würde, würde man feststellen, dass der Stab scheinbar pro Sternentag ³ eine 360 ^◦ Drehung im Uhrzeigersinn (vgl Sch99) um den Aufhängefaden machen würde. Der Stab oder wenn wir die Hilfsvorstellung wieder verlassen, die Schwingungsebene eines Pendels, verhalten sich träge und sind bezogen auf einen Fixpunkt im Universum in Ruhe während sich die Erde darunter wegdreht. Für einen Beobachter, der sich mit der Erde mitdreht, sieht es nun so aus, als drehe sich die Pendelebene.

¹ Wir brauchen ein Hilfsvorstellung, da man die Newton Axiome nur auf Körper anwenden kann und nicht auf etwas Abstraktes wie eine Schwingungsebene.

² Der Hub, den der Pendelkörper durch die Auslenkung erfährt wird vernachlässigt. Von der Seite betrachtet beschreibt ein schwingendes Pendel bei dieser Vereinfachung nun tatsächlich eine Gerade.

³ Für eine ganze Umdrehung braucht die Erde etwas weniger als einen Tag. Ein normaler Tag, oder auch Sonnentag, ist „die Zeit von einem Sonnenhöchststand bis zum nächsten Sonnenhöchststand“ (Wik05a). Da sich die Erde aber um die Sonne dreht, ist der Sterntag, also die Zeit für eine volle Umdrehung der Erde „um ca. ein ¹ kürzer als ein bürgerlicher Tag bzw. Sonnentag“ (Wik05b).

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Im Winter 2001 wurde tatsächlich ein Foucault-Pendel am Südpol aufgebaut.(Bak01)

2.2 Pendel am Breitengrad ϕ

Abb. 2: Erde mit Kegel an der Breite ϕ,

nach (Sch99)

Es stellt sich nun die Frage, wie sich ein Fadenpendel verhält, dass am Breitengrad ϕ aufgestellt ist. Um dieses Problem zu lösen, gibt es zwei Ansätze: Im ersten legt man sein Bezugssystem auf die Erde an den Breitengrad. Bei dieser Methode hat man aber dann das Problem, dass man sich auf der Erde in einem beschleunigten Bezugssystem befindet und dadurch sog. Scheinkräfte auftreten. Neben der Kraft, die aus der Bewegung der Erde um die Sonne resultiert, wirkt auf einen Körper auf der Erdoberfläche die Fliehkraft und die Corioliskraft. Wenn nur die letzte betrachtet wird, lässt sich eine Differentialgleichung aufstellen, aus deren Lösung man die Drehung der Pendelebene ableiten kann (vgl Kip03). Auch Binet ging diesen Lösungsweg. Einfacher ist es, das Bezugssystem außerhalb der Erde festzulegen. Im Folgenden wird nun die Erde isoliert betrachtet, d. h. man stelle sich eine um sich selbst drehende Erde alleine im Kosmos vor, auf die man von außen blickt. Meine Herleitung stützt sich auf (Sch99) und auf (Dor05), die der von Belfield-Lefèvre (vgl Tob03, S. 153) sehr ähnlich ist. Auch hier wird das Pendel durch die Hilfsvorstellung ersetzt. Der Stab wird in Nord-Süd Richtung gebracht; er ist eine Tangente an die Erdoberfläche am Breitengrad ϕ. Seine Verlängerung schneidet sich mit der Verlängerung der Erdachse in Punkt B. Dieser Linienzug wird nun um die Erdachse rotiert; es entsteht Abb. 2; also ein Kegel, dessen Mantel die Erde tangential im Punkt M berührt. M ist der Mittelpunkt des Stabes. Wenn dieser Kegel, bezogen auf das Universum, in Ruhe bleibt, während sich die Erde und somit auch der Stab samt Faden dreht, bewegt sich der Stab in dem Mantel des Kegels.

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Der abgewickelte Mantel des Kegels ergibt Abb. 3. Die Endpunkte des Stabes sind P 0 bzw. Q 0 . Kurze Zeit später sind diese Punkte durch die Erddrehung gewandert und nun P 1 bzw. Q 1 .

M ist Mittelpunkt der Strecke P 0 Q 0 . Da der Foucault Effekt hier noch nicht berücksichtigt wird, ist die Stabrichtung immer in N-S Richtung, egal zu welchem Zeitpunkt der Stab betrachtet wird. Für einen Beobachter auf der Erde dreht sich der Stab also noch nicht. Im Folgenden soll nun gezeigt werden, dass der Stab wie Abb. 3 dargestellt, nicht immer in der gleichen Richtung bleiben kann, sondern sich in irgendeiner Weise gegenüber der Mantelfläche drehen muss. Wenn sich die Erde mit der Winkelgeschwindigkeit ω E um ihre eigene Achse dreht, bewegt sich der Punkt M und somit der Stab P Q mit der Geschwindigkeit v M :

v M = ω E r (HHH02, S.19, 7.4.5) (1)

Im Gegensatz zum Pendel am Pol wirkt aber eine resultierende Kraft auf den Stab, da er sich in einer Kreisbahn um die Erdachse bewegt. Diese Zentripetalkraft wirkt aber in Richtung des Radius r und steht senkrecht auf v M . Dies ändert an ihrem Betrag nichts, sondern nur an ihrer Richtungen. Wenn sich nun aber M , P und Q mit der gleichen Geschwindigkeit , da diese Kreisbögen in der gleichen Zeit ∆t bewegen, muss P 0 P 1 genau so lang sein wie Q 0 Q 1

zurückgelegt werden; dies ist aber nicht möglich, da sie sich zwar um den gleichen Winkel, aber auf unterschiedlichen Radien bewegen:

= α 0 (l − A) π

=⇒ P 0 P 1

lang wie Q 2 Q 3

(2) genauso Gesucht ist also eine Figur, bei der der noch nicht genau bestimmte Kurvenzug ⁴ P 2 P 3

ist. Mithilfe von Abb. 4 bzw. Abb. 5 soll nun gezeigt werden, dass, wenn P 3 Q 3

(5)

Der Punkt P ist durch (3) und (5) festgelegt, während Q durch (4) und (5) bestimmt wird.

Abb. 4: Kegelmantel aus Abb. 2 mit Beach-

tungdes Foucault-Effekts, nach (Sch99)

Durch die trigonometrische Beziehung

kann folgende Funktion für die P Punkte aufgestellt werden:

Analoges für die Q Punkte:

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Diese Funktionen ⁵ beschreiben einen Einheitskreis, der um l skaliert ist und um A nach links oder rechts verschoben ist.

Wir können nun durch diese Funktionen beschreiben, wie sich P und Q, also die Enden des Stabes im Foucault Modell oder die Punkte maximaler Elongation im Fadenpendel auf dem abgewickelten Kegelmantel bewegen. Da gilt (analog für g(x) und i(x)):

l

(14)

y ^Q i+1 = y ^Q i+1 (15) = Q i Q i+1 =⇒ P i P i+1

f (x) und g(x) gehen also durch Verschiebung von h(x) und i(x) nach links um 2 A hervor. Da man aber P i durch die gleiche Verschiebung aus Q i erhalten kann, heißt dies nichts anderes, dass P i P i+1 genau so lang ist wie Q i Q i+1 . Da nun geklärt ist, dass sich die Enden des Stabes auf Kreisen auf dem Kegelmantel bewegen, muss jetzt nur noch gezeigt werden, wie die Drehung des Stabes aussieht, wenn der Kegelmantel wieder an die Erde gelegt wird. Hierzu betrachten wir Abb. 7. Die Strecken vom Mittelpunkt

der roten Linien zum Mittelpunkt des Kreissegments stellen ja die N-S Richtung dar. Somit ist

dreht. Es gilt:

β 4 der Winkel, um den sich die Schwingungsebene an einem Sterntag gegenüber N-S Richtung (16) Für den Umfang des Kreissegments gilt:

β 4 = 360 ^◦ − γ

U = π l (360 ^◦ − γ)

Abb. 6: Graph f (x), g(x), h(x), i(x) mit Abb. 7: β4: Drehung des Foucault-Pendels l = 5; A = 1, 5 an einem Tag.

Der Umfang dieses Kreissegments muss aber genau so groß wie der Umfang des Kreises mit Radius r (vgl Abb. 2) sein, da man den Kegelmantel lückenlos an die Erde anlegen können muss um den Kegel zu bilden. Also gilt ebenfalls:

Aus Abb. 2 ist folgender trigonometrischer Zusammenhang ersichtlich:

Man kann nun in (18) r ersetzen:

360 ^◦ − γ kann durch β 4 ersetzt werden:

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Schließlich kann durch die trigonometrische Beziehung in OM B R und l eliminiert werden:

tan(90 ^◦ − ϕ) =

Da nun bekannt ist, wie groß β 4 ist, kann die Winkelgeschwindigkeit ω P , mit der sich die Pendelebene dreht, in Abhängigkeit von ω E bestimmt werden:

Da wir (29) allgemeingültig hergeleitet haben, sollte sie ω P für alle Orte richtig beschreiben. Wenn wir nun festlegen, dass positives ω P eine Drehung im Uhrzeigersinn und ein negatives ω ^P eine Drehung gegen der Uhrzeiger bedeutet und ferner festlegen, dass ϕ für die Nordhalbkugel positiv, für die Südhalbkugel negativ ist, dann stimmt (29) vollkommen mit den Ergebnissen zahlreicher Foucault Versuche überein. Es wurde beobachtet, dass sich am Äquator die Schwingungsebene eines Pendels überhaupt nicht ändert (sin(0 ^◦ ) = 0) und sich die Schwingungsebene am Südpol im Gegenuhrzeigersinn (sin(−90 ^◦ ) = −1) dreht. Für Miesbach ergibt sich für ω P :

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3 Bau eines Foucault-Pendels

3.1 Probleme

Bei dem Bau eins Foucault-Pendels ergeben sich im allgemeinen drei größere Probleme:

1. Um den Foucault Effekt beobachten zu können, muss man das Pendel über eine längere Zeitspanne beobachten können. Da die Schwingung des Pendels gedämpft ist, ist meist ein Antrieb nötig, der, ohne den Foucault Effekt zu beeinflussen, die Pendelbewegung aufrecht erhält.

2. Durch Asymmetrien des Pendelkörpers, der Aufhängung oder des Fadens kommt es durch den Luftwiderstand zu kleinen Kräften, die senkrecht zur Schwingungsebene wirken. Diese Kräfte bewirken, dass sich der Pendelkörper, von oben betrachtet, nicht mehr auf einer Stecke hin und her bewegt, sondern eine Ellipse beschreibt. Die Schwingungsebene eines Pendels, dessen Pendelkörper sich auf einer Ellipse mit der Hauptachse a und der Nebenachse b bewegt, dreht sich aber von sich aus, ohne den Foucault Effekt, mit der Winkelgeschwindigkeit ω f = 3 ^A (Cra81, S. 1004), wobei A die Fläche der Ellipse

4 l ² T

(A = a b π (BMNW03, S. 42)), l die Fadenlänge und T die Schwingungsdauer ist (vgl Cra81, S. 1004). ω f ist bei einem Pendel mit l = 3 m, T = 3,5 s und a = 30 cm bei einer seitlichen Ablenkung des Pendelkörpers im Ruhepunkt von b = 2,4 mm bereits so groß wie ω P von Miesbach.

3. Ein nicht zu unterschätzendes Problem stellt die Aufhängung des Fadens dar. Zunächst soll sie möglichst reibungsarm gegenüber der Pendelschwingung sein. Da man aber meistens einen Antrieb braucht (siehe 1.) ist dies nicht die Hauptsorge. Die viel schwerer zu erfüllende Anforderung ist, dass sie in jede Richtung die gleiche Reibung haben muss, da sich ja die Schwingungsebene bezogen auf die Aufhängung dreht.

3.2 Foucaults Lösung

Nun stellt sich in Anbetracht dieser Probleme erst einmal die Frage, warum der Urversuch von Foucault im Panthéon 1851 überhaupt so überzeugend funktionierte, da dieses Pendel nur ein langes Metallseil mit einem bleigefüllten Pendelkörper war, das in einer ziemlich primitiven Aufhängung ⁶ an der Decke befestigt war.

Foucaults Rettung war das sehr lange Seil (67 m). Da für Auslenkwinkel, die im Bereich

√

der Kleinwinkelnäherung liegen, T ∼ l (Tob03, S. 307) gilt, bewegte sich Foucaults Pendel

relativ langsam und hatte dadurch einen geringen Luftwiderstand. Dennoch musste das Pendel

⁶ Es war eine horizontal an der Decke befestigte Metallscheibe, die in der Mitte ein Loch für das Pendelseil hatte und am äußeren Rand eine Schraube, um das Seil festzuklemmen (vgl Tob03, S. 140)

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mehrmals am Tag angehalten und von Neuem gestartet werden. Eine große Fadenlänge und ein schwerer Pendelkörper verringern zusätzlich noch den Fehler, der sich durch die elliptische Bahn ergibt, da zu einem die Nebenachse wegen der großen Masse des Pendelkörpers meist geringer ist als bei einem kleinerer Masse und zum anderen ω f mit der 5 2 Potenz von l abnimmt. Dieser

Fehler wurde zusätzlich noch verringert, weil durch das wiederholte Neustarten des Pendels sich b nicht auf große Werte aufschaukeln konnte. Da Foucault sein Pendel dadurch startete, dass er den Pendelkörper mit einem Faden auslenkte, den er dann, wenn das Pendel vollkommen

in Ruhe war, durchbrannte (vgl Str58, S. 116), wurde das Pendel mit der kleinstmöglichen seitlichen Ablenkung in Bewegung gesetzt.

Die simple Aufhängung von Foucault garantierte zwar eine nahezu gleiche Reibung in alle Richtungen (die Reibung ist umso homogener, je mehr Einzeldrähte der Pendelfaden hat und je feiner diese sind). Die große Gefahr dieser Aufhängung ist aber ein Ermüdungsbruch des Pendelseils an der Stelle, an der es die Aufhängung verlässt. Foucault war sich dieser Gefahr durchaus bewusst (bei seinem ersten Pendel in seinem Keller brach das Seil nach kürzester Zeit) und deswegen war der Boden des Panthéon mit einer dicken Erdschicht vor dem herunterfallenden Pendelkörper geschützt. Auch für die Zuschauer wurde sicherheitshalber eine Absperrung gebaut.

3.3 Mein Pendel

Bei meinem eigenen Pendel konnte ich die Probleme nicht durch einen langen Faden lösen, da ich auf eine Gesamtlänge von ca 3,10 m (Höhe eines Raumes im Altbau des Gymnasium Miesbach) festgelegt war. So muss mein Pendel sowohl einen Antrieb haben als auch eine Einrichtung, die die Ellipsenbahn des Pendelkörpers soweit wie möglich einschränkt.

3.3.1 Der Antrieb

Bei der Suche nach einem geeigneten Antrieb bin ich auf das Pendel der Bergischen Universität Wuppertal gestoßen (Kin00): Auch hier musste ein ziemlich kurzes Pendel (l ca. 2,5 m) mit einer ähnlich schweren Metallkugel als Pendelkörper für „immer“ am Laufen gehalten werden. Da die meisten Pendelkörper aus Stahl sind, liegt eine magnetische Anregung nahe. So ist auch bei meinem Pendel kozentrisch unter der Ruhelage ein Ringmagnet angeordnet, in dessen Mitte sich ein Infrarotdetektor befindet. In der Metallkugel ist eine Infrarotdiode, die über den metallenen Faden und über einen Kupferlackdraht mit der Stromquelle verbunden ist. Der Mikrocontroller (Schaltplan siehe S. 23) misst nun nach dem Einschalten durch die Lichtschranke die Zeit vom ersten Durchlaufen der Ruhestellung des Pendels bis zum zweiten Durchgang. Aus dieser Zeitmessung ( ^T 2 ) kann er nun den Zeitpunkt bestimmen, an den das

Pendel maximal ausgelenkt ist. Wenn es soweit ist, schaltet der Mikrocontroller den Magneten

ein; beim Durchlaufen der Ruhestellung schaltet er ihn wieder aus. Durch dieses zyklische Ein und Ausschalten des Magneten wird dem Pendel die Energie zugeführt, die es durch die Luftreibung verliert. Wenn der Magnet exakt kozentrisch unter der Ruhelage platziert ist, kommt es durch diese Art von Antrieb zu keiner Verfälschung des Foucault-Effekts. Durch das Anziehen des Pendelkörpers zur Ruhelage hin wird außerdem die elliptische Bahn ein wenig eingeschränkt. Bei einem sehr kurzen Pendel (l ca. 70cm) reicht das Anziehen des Magneten bereits aus, um Problem 2 vollständig zu eliminieren. Allerdings muss hier in dem Pendelkörper ein starker Dauermagnet sein und auch der Elektromagnet muss entsprechend dimensioniert

sein (vgl Cra81, S. 1005). Bei einem längeren Pendel muss eine weitere Vorkehrung getroffen werden.

3.3.2 Der Charronring

Im Jahr 1931 fand F. Charron eine elegante Lösung, um die elliptische Bahn des Pendels einzuschränken (vgl Tob03, S. 308): Ein exakt kozentrisch unter der Aufhängung positionierter Ring, an dem der Pendelfaden nahe des Umkehrpunkte jedesmal anschlägt. Wenn nun der Pendelkörper eine Ellipse beschreibt, trifft der Faden nicht mehr mittig auf den Ring, sondern schleift an der Krümmung der Rings entlang. Dadurch wird die Energie der seitlichen Bewegung

- bezogen auf die Schwingungsebene - in Wärme umgesetzt und somit unschädlich gemacht. Man kann auch sagen, dass der Pendelkörper das Pendel bei jeder Berührung mit dem Charronring neu startet. Allerdings verfälscht der Charronring den Foucaulteffekt in geringer Weise, denn für die Zeit, an der der Pendelfaden am Charronring anliegt, wird die Erddrehung auf das Pendel übertragen. Bei meinem Pendel ist die Aufhängung zu einer Hülse nach unten verlängert; der Charronring ist also direkter Bestandteil der Aufhängung. Die eigentliche Befestigung des Pendelfadens unterscheidet sich nicht sonderlich von der Foucaultschen. Der einzige Unterschied

Abb. 10: Charronring mit Reduzierhülse

ist, dass der Draht nicht durch ein zylindrisches Loch in die Aufhängung läuft, sondern in eines, deren Radius nach unten hin immer größer wird. Dies soll den Ermüdungsbruch des Fadens verhindern, da hier der Faden nun nicht mehr an einer einzigen Stelle geknickt wird, sondern sich der Bereich auf eine größere Fadenlänge verteilt.

Diese Aufhängung ist mit drei Schrauben über drei Federn mit einer weiteren Scheibe verbunden, die an der Decke befestigt ist. Mit jeweils einer Mutter an diesen drei Schrauben kann man nun die Hülse exakt vertikal ausrichten (vgl S. 21). Wenn dies der Fall ist, ist das untere Ende der Hülse, das ja den Charronring darstellt, automatisch kozentrisch bezüglich des Fadens in der Ruhestellung des Pendels. Der restliche mechanische Aufbau ist den Abbildungen

auf S. 21 und S. 22 zu entnehmen.

4 Versuch

Für den 1. Versuch war der Charronring noch unverändert wie er auf der Abb. auf S. 21 zu sehen ist.

Das Pendel wird zum Schwingen gebracht, indem der Pendelkörper soweit ausgelenkt wird, dass der Pendelfaden den Charronring kurze Zeit vor seinem Umkehrpunkt berührt und es wird der Winkel β gemessen, um den sich die Schwingungsebene gegenüber der Ausgangslage verdreht. In Abb. 12 sind diese Winkel gegenüber der Zeit aufgetragen. Für die Ausgleichsgerade G ^g 1 durch diese Messwerte ergibt sich folgende Gleichung:

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was für ω ^P 1 ergibt:

Dies ist ein prozentualer Fehler von:

f ^p 1 =

Da die gemessene Winkelgeschwindigkeit ω ^P 1 größer ist als ω P lässt sich dieser hohe Fehler nur dadurch erklären, dass sich der Pendelkörper immer noch auf einer Ellipsenbahn bewegt. Die daraus resultierende Winkelgeschwindigkeit ω ^f 1 addiert sich zu der, die durch den Foucault Effekt entsteht.

ω ^f 1 könnte natürlich auch ein negatives Vorzeichen haben (die Ellipse wird dann vom Pendelkörper in der anderen Richtung durchlaufen) und in diesem Fall könnte man nicht mehr genau sagen, ob der Fehler nun durch eine Ellipsenbahn verursacht wird oder durch Reibung, die die Drehung der Pendelebene abbremst. Auch der Fehler, den der Charronring selbst verursacht, indem die Erddrehung auf das Pendel übertragen werden kann, wenn der Pendelfaden ihn berührt, führt zu einer Verlangsamung der Drehgeschwindigkeit der Schwingungsebene. Die wirkungsvollste Gegenmaßnahme, um ω f zu verringern ist, wie in 3.2 dargestellt, die Fadenlänge l zu vergrößern, da dies mit der 5 2 Potenz in ω f eingeht. Da dies aber ausscheidet,

bleibt als letzte Möglichkeit nur noch die Amplitude zu verringern, da dann, bei gleicher setlicher Ablenkung, die Ellipsenfläche kleiner wird. Im Gegensatz zur Fadenverlängerung wirkt sich die Amplitudenverkleinerung aber nur noch mit der 1. Potenz auf ω f aus. Wenn aber die Amplitude verkleinert wird, muss auch der Charronring verkleinert werden, da sonst der Faden nicht mehr anschlagen würde. Wie in Abb. 10 zu sehen ist, habe ich den Charronring mit einer Kunststoffhülse auf den Durchmesser von 20 mm reduziert. Nun muss das Pendel weniger weit ausgelenkt werden, damit der Pendelfaden den Charronring berührt. Für die Ausgleichsgerade G ^g 2 durch die Messwerte ergibt sich:

g 2 (t) = m 2 t = 3,23136 ∗ 10 −3 ◦

ω ^P 2 ist somit:

ω ^P 2 = 5,64 ∗ 10 −5 1

Dies ist ein prozentualer Fehler von:

Der Fehler konnte also deutlich reduziert werden.

Um nun ein aussagekräftiges Messergebnis zu erhalten, müsste das Pendel über einen längeren Zeitraum (im Bereich von Tagen) beobachtet werden. Dies stellt bei meinem Pendel aber noch ein Problem dar, da nach ca. einem halben Tag die ersten Drähte im Pendelseil brechen. Der Pendelkörper ist dann zwar noch lange davon entfernt herunterzufallen, die gebrochenen Drahtenden spleißen aber auf und wickeln sich durch die Drehung der Schwingungsebene kurz unter der Aufhängung um den Faden. Dies hat nun zur Folge, dass es nun mehrere Positionen gibt, an denen die Schwingungsebene „hängen“ bleibt.

Ich habe nun mit unterschiedlichen Materialien (Kunststoff, Naturfaser) und auch unter- schiedlichenFadendicken experimentiert, aber die besten Ergebnisse ergab dennoch das feine Stahlseil. Um den Ermüdungsbruch zu verhindern, müsste nun der Auslenkwinkel des Pendels verringert werden. Dies geschieht wieder am effektivsten dadurch, indem man die Pendellänge vergrößern würde.

Alles in allem betrachtet, wäre der nächste logische Schritt, ein sehr viel längeres Foucault- Pendel zu bauen.

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5 Literatur

[Bak01] Baker: South Pole Foucault Pendulum. Version: Winter 2001. http://www.

[BMNW03] Barth, F. ; Mühlbauer, P. ; Nikol, F. ; Wörle, K.: Mathematische Formeln

[Cra81] Crane, H.: Short Foucault pendulum: A way to eliminate the precession due

[Dor05] Dornbusch, M.: Zur Funktonsweise. Version: 2005. http://www.cgl-online. de/foucault/Texte/Funktion.htm. - Online-Ressource, Abruf: 24. 12. 2005

[Eco04] Eco, U.: Das Foucaultsche Pendel — Roman. 16. Auflage. München : Deutscher Taschenbuch Verlag, 2004

[HHH02] Hammer, A. ; Hammer, H. ; Hammer, K.: Physikalische Formeln und Tabellen.

8. Auflage. München : J. Lindauer Verlag, 2002

[Kin00] Kind, P.: Das Foucaultsche Pendel der Bergischen Universität Wuppertal.

[Kip03] Kip: Theoretische Herleitung des Foucault-Effekts. Version: Mai 2003. http://www.

[Sch99] Schnack, J.: Das Foucault-Pendel am Breitenkreis Ψ. Version: Februar

[Str58] Strong, C. L.: How to make a pendulum that will demonstrate the rotation of the earth. In: The Amateur Scientist (1958), Juni, S. 115-124

[Tob03] Tobin, W.: The Life and Science of Léon Foucault — The Man who Proved the Earth Rotates. 1. Edition. Cambridge UK : Cambridge University Press, 2003

[Wik05a] Wikipedia: Sonnentag. Version: Dez. 2005. http://de.wikipedia.org/wiki/ Sonnentag. - Online-Ressource, Abruf: 24. 12. 2005

[Wik05b] Wikipedia: Sterntag. Version: Dez. 2005. http://de.wikipedia.org/wiki/ Sterntag. - Online-Ressource, Abruf: 24. 12. 2005

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5.1 Software

• Textsatz: L ^A T E X 2 ε , BibT E X mit AucT E X auf GNU Emacs

• Illustration: METAPOST

• Platinenlayout: Eagle

• Compiler: GCC-MSP430

• CAD: CATIA V5

• Versuchsauswertung: Gnuplot

6 Anhang

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Ich erkläre, dass ich die Facharbeit ohne fremde Hilfe angefertigt und nur die im Literaturver- zeichnisangeführten Quellen und Hilfsmittel benutzt habe.

......................., den ................. ........................................ Ort Datum Unterschrift des Schülers