Einf  ührung in die Chaostheorie  

Inhaltsverzeichnis

1  Einleitung  2

2  Chaotische Systeme  3

3  Arnold’s Cat Map.  4

3.1  Beispiel „E“  5

3.1.1  Code  6

3.2  Beispiel „bunny“  7

3.2.1  Code  8

3.3  Iterationen.  9

3.3.1  Code  10

4  Der Schmetterlingseffekt.  11

4.1  Konsequenz  11

4.2  Der Lorenz-Attraktor.  12

5  Logistische Gleichung  13

5.1  Das Feigenbaumdiagramm.  13

5.2  Die Feigenbaumkonstante  15

6  Schlusswort.  16

7  Literatur  17

8  Weblinks.  18

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1 Einleitung

Chaos

„ Der Gesamtcharakter der Welt ist in alle Ewigkeit Chaos, nicht im Sinne der fehlenden Notwendigkeit, sondern der fehlenden Ordnung, Gliederung, Form, Schönheit, Weisheit und wie

Ursprünglich wurde im Chaos etwas Unermessliches und Kreatives gesehen, dem die Ordnung entgegenwirkt. Viele Kulturen stellten sich den Anfangszustand, woraus Wesen und Dinge hervorgehen, als Chaos oder als Nichts vor. Später änderte sich diese Sichtweise durch Aristoteles. Er vertrat die Meinung, dass die Ordnung alles durchdringe und in immer raffinierteren und komplexeren Hierarchien existiere. Der französische Physiker Pierre Laplace vertrat diese Meinung, dass Chaos einfach Komplexität eines so hohen Grades war, dass Forscher ihr praktisch nicht nachgehen können.

Der Schmetterlingseffekt war für die Wahl unseres Projektes von sehr grosser Bedeutung. Die Wirkung dieses Effekts in der Geschichte ist äusserst interessant und regt zum nachdenken an. Wir wollten jedoch auch die mathematische Seite, aus der der Schmetterlingseffekt entstanden ist, auch verstehen. Somit bot sich uns die Möglichkeit Naturwissenschaft und Philosophie miteinander zu verschmelzen. Dieser Effekt ist jedoch nur ein Bruchstück aus der wissenswerten Welt der Chaostheorie in die wir durch diese Arbeit hineinblicken wollen.

Das Ziel ist es, für die Berechnungen und Darstellungen unserer Aufgaben das Rechenprogramm MatLab anzuwenden. Durch Handhabung sollen die Anwenderkenntnisse verbessert und vertieft werden.

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2 Chaotische Systeme

Das Wort Chaos kommt ursprünglich aus dem griechischen und bedeutet soviel wie Mischung.

In der Chaosforschung wird nicht der statische Zustand eines Systems beschrieben, sondern sein zeitliches Verhalten, seine Dynamik.

Solche Systeme hängen stark von ihrem Anfangszustand ab. Unterschiede führen zu einem völlig anderen Ausgang.

Beispiele sind Systeme mit stossenden Kugeln (Billard, Flipper). Bei der Kollision wächst die Störung exponentiell an.

Das Dreikörperproblem ist ein weiteres, nur sehr schwer lösbares System. Der Bahnverlauf von drei Himmelskörpern ist wegen ihrer Gravitation schwer berechenbar. Systeme mit zwei Körpern, lassen sich mit den Kepplerschen Gesetzen lösen.

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3 Arnold’s Cat Map

Bei dieser Anwendung wird ein Bild, oder genauer gesagt ein Bildpunkt iteriert. Visuell kann dies so verstanden werden:

So chaotisch dieser Vorgang auch scheint, steckt doch ein bestimmtes System hinter dieser Folge von Wiederholungen.

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3.1 Beispiel „E“

Beim ersten Beispiel wird das Bild „demo“ eingelesen und in eine Matrix umgewandelt. Nun wird jede Zahl zufällig verschoben und wieder in eine Matrix eingelesen. Nach jeder Iteration vergleicht das Programm die neue mit der ursprünglichen Matrix. Sind sie identisch, werden die Anzahl Iterationen, das Anfangs- und Schlussbild angezeigt.

Abbildung 2: Programmfenster

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3.1.1 Code

% Arnold's Cat Map

clear; clc;

disp(' ^'); disp(' ^'); disp('Arnolds ^{Cat Map')} disp(' ');

^{%--------------------------------------------------------------------% Bilder einlesen} z = imread('demo.jpg'); figure(1) image(z); colormap(gray);axis off;

^{%----------------------------------------------------------------------} z=z(:,:,1) z = double(z); p = length(z) pixel = p^2 matrix=zeros(p,p); ctrl = z; Iterationen = 0;

^{%-----------------------------------------------------------------------} while ^{sum(sum(eq(matrix,ctrl)))~= p^2;} for ^zeile=1:p for spalte=1:p wert = z(zeile,spalte);

^{vec = round(mod([(spalte+zeile)/p (spalte+2*zeile)/p],1)*p);} if ^{vec(1) == 0 vec =[vec(1)+p vec(2)];} end if ^{vec(2) == 0 vec = [vec(1) vec(2)+p];} end

^{matrix(vec(1),vec(2)) = wert; end end z = matrix Iterationen = Iterationen + 1; end} figure(2)

image(matrix); colormap(gray); axis ^off Iterationen

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3.2 Beispiel „bunny“

Im nächsten Beispiel werden die einzelnen Iterationen visuell in einem Fenster angezeigt.

Abbildung 3: Bilditeration

Dieses Bild der Grösse 99x99 Pixel ist nach 24 Iterationen wieder gleich des ursprünglichen Bildes. Nach der Hälft, also 12 Iterationen, ist das bild horizontal und vertikal gespiegelt.

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3.2.1 Code

% Arnold's Cat Map

clear; clc; disp(' ^'); disp(' ');

disp('Arnolds ^{Cat Map "Iterationen zeigen"')} disp(' ');

^{%--------------------------------------------------------------------% Bilder einlesen} z = imread('bunny.jpg');

^{%----------------------------------------------------------------------} z=z(:,:,1); z = double(z); p = length(z) pixel = p^2 matrix=zeros(p,p); ctrl = z; Iterationen = 0;

^{%-----------------------------------------------------------------------} while ^{sum(sum(eq(matrix,ctrl)))~= p^2;} for n = 2:12 ^{% Achtung: Iterationen eingeben!} for ^zeile=1:p for spalte=1:p wert = z(zeile,spalte);

^{vec = round(mod([(spalte+zeile)/p (spalte+2*zeile)/p],1)*p);} if ^{vec(1) == 0 vec =[vec(1)+p vec(2)];} end if ^{vec(2) == 0 vec = [vec(1) vec(2)+p];} end

^{matrix(vec(1),vec(2)) = wert; end end} z = matrix;

subplot(3,4,1); image(matrix); colormap(gray); axis off ^{% Achtung: Zahlen in subplot ändern!} subplot(3,4,n); image(matrix); colormap(gray); axis off ^{% Achtung: Zahlen in subplot ändern!} end

^{Iterationen = Iterationen + 1; end} Iterationen

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3.3 Iterationen

Um die Anzahl Iterationen in Abhängigkeit der Bildgrösse zu zählen, haben wir ein Programm geschrieben, welches die Resultate von Bildern mit 1x1 bis 500x500 Pixel grafisch anzeigt.

Abbildung 4: Iterationsdiagramm

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3.3.1 Code

% Arnold's Cat Map

tic clear all; clc disp(' ^'); disp(' ^'); disp('Arnolds ^{Cat Map "Diagramm"')} disp(' ');

^{%----------------------------------------------------------------------} for ^{p= 1:500 z = randsrc(p,p,[0,255]); p = length(z) pixel = p^2; matrix=zeros(p,p); ctrl = z; Iterationen = 0;} while ^{sum(sum(eq(matrix,ctrl))) ~= p^2;} for ^zeile=1:p for spalte=1:p wert = z(zeile,spalte);

^{vec = round(mod([(spalte+zeile)/p (spalte+2*zeile)/p],1)*p);} if ^{vec(1) == 0 vec =[vec(1)+p vec(2)];} end if ^{vec(2) == 0 vec = [vec(1) vec(2)+p];} end

^{matrix(vec(1),vec(2)) = wert; end end z = matrix; Iterationen = Iterationen + 1; end Iterationen tabelle(1,p) = Iterationen; end} bar(1:p,tabelle) toc

!!! Elapsed time is 13306.229063 seconds !!! In Stunden [h] → 3.6962h = 3h 41min 46s

Durch einen hohen Rechenaufwand und begrenzte Rechenleistung des Computers ist ein relativ hoher Zeitaufwand zu verzeichnen. Man bedenke diese Aufgabe ohne die heutigen zur Verfügung stehenden Hilfsmittel lösen zu müssen. Praktisch scheint dies fast unmöglich zu sein.

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4 Der Schmetterlingseffekt

Der Name „Schmetterlingseffekt“ ist eher als Metapher zu sehen, als eine mathematische Lösung.

So besagt dieser Effekt, dass selbst der Flügelschlag eines Schmetterlings den Ablauf des Wettergeschehens auf lange Sicht beeinträchtigen kann. Zu dem Schluss, dass der Anfangszustand eine wesentliche Auswirkung auf den Endzustand hat, ist der Meteorologe Edward Norton Lorenz im Jahre 1963 gekommen. Um das Wetter vorherzusagen, stellte er drei Differentialgleichungen auf, mit denen er das Wetter beschreiben wollte. Im verwendeten Speicher des Computers befand sich eine Zahl mit sechs Nachkommastellen, der Ausdruck aus dem Speicher hingegen hatte aber nur drei Nachkommastellen. Das Nichtberücksichtigen dieser Kommastellen führte zu einem komplett anderen Resultat als erwartet.

Lorenz verglich die Berechnungen mit bzw. ohne Beachtung der Kommastellen. Die beiden Berechungen stimmten bereits nach wenigen Perioden nicht mehr genau und nach einigen weiteren Perioden überhaupt nicht mehr überein. Erst in den achtziger Jahren, als das Interesse an der Chaosforschung stieg, kam seine Entdeckung zu vollen Ehren.

4.1 Konsequenz

Die Anfangsbedingungen lassen sich immer nur mit einer endlichen Genauigkeit bestimmen. Daher ist für solche Systeme die Vorhersehbarkeit für längere Zeit unmöglich. Zum Beispiel kann das Wetter für einen Tag ziemlich genau prognostiziert werden. Für eine Woche ist dies noch möglich. Um jedoch das Wetter für einem Monat vorherzusagen, bräuchte man eine ungeheure Menge von Daten. So liefern 1000 Wetterstationen die Daten für eine Vorhersage von vier Tagen. Für eine entsprechende Vorhersage über 11 Tage schon 100 Millionen - und über einen Monat wären 10 ²⁰ Wetterstationen notwendig ³ .

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4.2 Der Lorenz-Attraktor

Beim Erwärmen von zwei Platten, entstehen in der sich dazwischen befindlichen Flüssigkeit so genannte Releigh-Bénard Zellen. Bei Temperaturunterschieden, verändert sich Zahl und Grösse der Strömungszellen.

Die Trajektorien (Bahnkurven) die sich ergeben, haben wiederum einen Attraktor dem sie zustreben, den sog. Lorenz-Attraktor. Dieser Attraktor ist aber nicht mehr einfach ein Punkt oder ein einfaches geometrisches Gebilde, sondern es ist fraktal. Daher die Verbindung der Chaostheorie mit der fraktalen Geometrie ⁶ .

Abbildung 6: Lorenz-Attraktor 7

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5 Logistische Gleichung

Dies ist ein Beispiel dafür, wie komplex chaotisches Verhalten aus einfachen, nichtlinearen Gleichungen entstehen kann.

5.1 Das Feigenbaumdiagramm

Dies ist eine Möglichkeit, eine Populationsentwicklung zu berechnen. Unser Diagramm erhalten wir durch folgende Formel: x a x x

1 n n n

Wobei wir einige Eingrenzungen machen müssen.

x n ist die Anfangspopulation welche durch 0-100% gegeben ist. → [0; 1] a ist die Wachstumsrate, welche wir von 0-4 eingrenzen → [0; 4] Wenn (a < 1), so würde die Population mit der Zeit aussterben, da sich die Population

kontinuierlich verringern würde. Folglich muss a immer grösser als 1 sein, damit sich die

Spezies durch Fortpflanzung ihre Existenz sichern kann.

x n+1 ist die Population der nächsten Generation

Abbildung 7: Feigenbaumdiagramm

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5.2 Die Feigenbaumkonstante

Den Ort der Vergabelung, wo sich die Periode der Population verdoppelt, nennt man Bifurkation. Das Verhältnis der Längen (l n ) aufeinander folgender Parameterintervalle unterschiedlicher Periode strebt dabei gegen die Feigenbaum-Konstante δ oder α.

Abbildung 8: Interwallängen

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6 Schlusswort

Die Chaostheorie als Projekt brachte uns nicht nur viele Anwenderkenntnisse in MatLab, sondern verschaffte uns einen tieferen Einblick in die Welt der Naturwissenschaften. Die Einführung in die Chaostheorie mit Hilfe von „Arnold’s Cat Map“ war sehr passend. Nach begriffener Theorie konnte direkt und mit vollster Motivation ins Programmieren mit MatLab übergegangen werden. Nicht nur das logische Denken und die kreative Art Lösungen abzuleiten war hier von Bedeutung. Auch eine Art intuitives Denken, welches im Hinterkopf vorhanden war und ungewollt aber nützlich in unsere Gedanken zu flüstern schien ob etwas klappen oder versagen sollte, war unentbehrlich.

Durch gesetzte Tagesziele wurde der Zeitdruck vermindert und eine speditive Art des Arbeitens erreicht. Auch die Teamarbeit wurde von beiden Seiten als angenehm empfunden. Speziell die Teamfähigkeit und das Arbeitsklima waren für den Erfolg von grosser Bedeutung und somit unabdingbar. Die Dienstbereitschaft und die Unterstützung der Dozenten waren äusserst hilfreich. Wir bedanken uns an dieser Stelle bei den Dozenten und speziell bei Dr. Christoph Leuenberger, welcher uns die nötigen Ansätze gab und uns stets behilflich war.

Durch dieses Projekt ist uns auch klar geworden das der einfache Mensch in seinem nachdenklichen Dasein nicht in jedes unerklärliche System blicken werden kann. Unendlich viele, fast unermesslich komplexe und chaotische Systeme kann der Mensch mit seinem begrenzten Verstand nur wage erforschen. Was wir tun können ist an der Oberfläche kratzen, uns fragen stellen und staunen. Einige Kenntnisse werden uns immer verborgen bleiben und wir werden immerzu geblendet sein an einer reinen kraftvollen Schönheit unerklärlicher Phänomene unseres Universums.

Fatih Toy, Joël Bouquet

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7 Literatur

¹ Bolz N.: Das kontrollierte Chaos. Vom Humanismus zur Medienwirklichkeit. Düsseldorf, et al.:Econ; 1. Aufl.: 1994. S. 33. ² Applications of Linear Algebra: S. 682 ³ Wikipedia (http://de.wikipedia.org/wiki/Schmetterlingseffekt) ⁴ Gogoolplex (http://gogoolplex.sx.am/projects-Dateien/Chaos/chaos-public.pdf) ⁵ Wikipedia (http://de.wikipedia.org/wiki/Lorenz-Attraktor) ⁶ Gogoolplex (http://gogoolplex.sx.am/projects-Dateien/Chaos/chaos-public.pdf) ⁷ http://www.csounds.com/mastering/images/csfig17a.jpg ⁸ http://www.grg23vbs.ac.at/Fadental_Herbst_2003/Projekte/GRg_23_-_TSC__OBE/Feigenbaum_Feigenbaumdiagramm.htm Titelbild (http://www.igi.tugraz.at/legi/lorenz_attractor.jpg)

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8 Weblinks

http://de.wikipedia.org/wiki/Schmetterlingseffekt

http://de.wikipedia.org/wiki/Feigenbaumdiagramm http://www.gymnasium-unterrieden.de/fbaum/fbaum.htm http://gogoolplex.sx.am/projects-Dateien/Chaos/chaos-public.pdf http://www.grg23vbs.ac.at/Fadental_Herbst_2003/Projekte/GRg_23_-_TSC__OBE/Feigenbaum_li.htm

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