Leistungen in Mehrphasensystemen

Inhaltsverzeichnis

1  Bereich und Betrag der Wirkleistung in Mehrphasensystemen  1

2  Scheinleistungen in Mehrphasensystemen  3

3  Leistungsfaktor in Mehrphasensystemen  4

4  Wirkleistung in Mehrphasensystemen  5

5  Blindleistung in Mehrphasensystemen  5

6  Scheinleistungen in speziellen Mehrphasensystemen  6

7  Beispiele  7

  Literatur  8

1 Bereich und Betrag der Wirkleistung in Mehrphasensystemen

Im Bild 1 ist eine beliebige Schnittstelle zwischen Quelle und Verbraucher eines Mehrphasen-

systems mit Außenleiter Neutralleiter dargestellt. nm

Sind die dort vorliegenden Augenblickswerte periodische Zeitfunktionen gleicher Perioden-

dauer T, dann können an dieser Schnittstelle u.a. die Effektivwerte

U PP NN

und

I PP

sowie, abhängig von der Energieflussrichtung, die Wirkleistung [1]

^{T m} 1 r ¦ ³ i d t (1.3) Pu ^{PP N} T ^P 1 0

2

gemessen werden. Den Zusammenhang dieser Messgrößen beschreibt die Schwarzsche

Ungleichung [2]

² §· § ^mm ¦¦

¨¸ ¨ ©¹ © P 11

oder mit den Gleichungen (1.1), (1.2) und (1.3)

§· § ^mm ¦¦ d ¨¸ ¨ ²² I P PU ^{P N} ©¹ © ^{P P}

¹¹ Daraus folgt für den Bereich und den Betrag der Wirkleistung im Mehrphasensystem mit

Neutralleiter

d d

und

Im Bild 2 ist eine beliebige Schnittstelle zwischen Quelle und Verbraucher eines Mehrphasen-

systems mit Außenleiter dargestellt. nm

3

Sind die dort vorliegenden Augenblickswerte periodische Zeitfunktionen gleicher Perioden-

dauer T, dann können an dieser Schnittstelle u.a. die Effektivwerte

U PP 00

(1.8)

1 T

(1.9)

sowie, abhängig von der Energieflussrichtung, die Wirkleistung [1] 1 ^{PP P} 0 Pu ^T 1 T m 0

r ¦ ³ i d t

(1.10)

gemessen werden. Den Zusammenhang dieser Messgrößen beschreibt die Schwarzsche 1 P P 2

©¹ © · § ¨¸ ¨ P 2

¹

P oder mit den Gleichungen (1.8), (1.9) und (1.10) d ¨¸ ¨ P (1.12) ³

^{0 mm} §· § 11 PU P 22

©¹ ©

¦¦

P

I P

I P

(1.14)

2 Scheinleistungen in Mehrphasensystemen

Mit der Definition

4

folgt aus der Betragsungleichung (1.7) für die Scheinleistung im Mehrphasensystem mit

Neutralleiter

SU P

und aus der Betragsungleichung (1.14) für die Scheinleistung im Mehrphasensystem ohne

Neutralleiter

SU P

Mit der Effektivwertgleichung [3]

^mm ¦¦ ^{2 2} Um U (2.3) ^{PQ P} 0

^{PQ P ,1 1} Q!P

wird die Scheinleistungsgleichung (2.2) alternativ

SU

3 Leistungsfaktor in Mehrphasensystemen

Mit den Scheinleistungsgleichungen (2.1) und (2.2) werden die Bereichsungleichungen (1.6)

und (1.13)

d d (3.1) S P S

S 1 d d oder P

1

(3.2)

Der Leistungsfaktor ist das Verhältnis von Wirkleistung zu Scheinleistung S P

Mit der Definition

O

1 1 d wird die Ungleichung (3.2) (3.4) (3.3)

5

d.h. auf Grund dieser Ungleichung ist es möglich, für den Leistungsfaktor den Kosinus eines

) Winkels einzuführen.

O S ) d ) d (3.5) cos ;0

Der Winkel ) ist eindeutig bestimmt, wenn er auf S d ) d beschränkt wird. 0

4 Wirkleistung in Mehrphasensystemen

Mit Gleichung (3.5) folgt aus Gleichung (3.3) für die Wirkleistung

) d ) d S (4.1) PS c o s; 0

Dabei gehören zu

S 2

0

P

5 Blindleistung in Mehrphasensystemen

Mit der Definition

Der Betrag der Wirkleistung und die Blindleistung sind die beiden orthogonalen Kom-

ponenten der Scheinleistung

Dreieck darstellen.

Folglich gilt Bild 3: Orthogonale Komponenten der Scheinleistung ^{2 2 2} Q

P

oder (5.1) 2 2 2 S

Q

P S Für die Blindleistung folgt daraus 2 2

6

Mit Gleichung (4.1) wird diese Gleichung

) ) ^{2 2 2 2} cos 1 S cos S S Q

oder

) d ) d S (5.3) QS s i n; 0

6 Scheinleistungen in speziellen Mehrphasensystemen

1 m Die Scheinleistung im Einphasen-Zweileitersystem wird nach Gleichung (2.1) mit

1 I U S

1 N

I I und U U oder mit

1 N 1

(6.1) I U S

Die Scheinleistung im Zweiphasen-Zweileitersystem wird nach Gleichung (2.2) und (2.3) mit

2 m

S

I I I und 2 / U U U oder mit

2 1 12 20 10

(6.2) I U S

12

2 m Die Scheinleistung im Zweiphasen-Dreileitersystem wird nach Gleichung (2.1) mit

^{2 2 2 2} (6.3) I I U U S

2 1 N 2 N 1

Die Scheinleistung im Dreiphasen-Dreileitersystem wird nach Gleichung (2.2) und (2.3) mit

3 m

S

6.4)

U U Die Scheinleistung im Dreiphasen-Vierleitersystem wird nach Gleichung (2.1) mit m ^{3 2 2 2} S 2 N 1 I I I U

3 2 2 2 1 N 3 N 2

7

6 I U S (6.6)

6

wobei

U

10

6 2 5 (6.7) 2

1 6 I I I I I ² I

4 2 3 2 2 2

(6.8) I

30 20 10 U U U , U Im symmetrischen Dreiphasen-Dreileitersystem ist 23 13 12

I I I 3 I U 1 12 U

10 I U U und . Folglich wird die Scheinleistung nach Gleichung (6.4) in diesem System 3 2 1

1

Im symmetrischen Dreiphasen-Vierleitersystem ist N 3 N 3 S (6.9)

2

N

1 U U U

und

. Folg- ³ lich wird die Scheinleistung nach Gleichung (6.5) in diesem System

I 2 1

I I (6.10)

1 U 3 N 1 I S

7 Beispiele

Mit den Messwerten im Einphasen- Zweileitersystem > @ > @ > @ > @ U 100 V ; I 5 A ; P 460 W berechnen sich die Scheinleistung, der Leistungsfaktor und die Blindleistung

S U I 100 5 500 W ˜ cos )

P / S 460 / 500 0,92

arccos P / S arccos 0,92 23,1

)

8

berechnen sich die Scheinleistung, der Leistungsfaktor und die Blindleistung

S

cos

P / S 650 / 896,8 0, 725 ) , ) arccos P / S arccos 0, 725 43, 6

> @

Q Ssin 896,8sin 43, 6 617,9 W ) > @ > @ 1N 2N

^, Mit den Messwerten im Dreiphasen- Vierleitersystem > @

3N U 220 V ; U > @ 219 V ; U 222 V

> @

> @

12

³ S I 1 0A; I 9A; I 1 1A > @ P5 2 0 0 W berechnen sich die Scheinleistung, der Leistungsfaktor und die Blindleistung >@ 2 2 2 222 1N 2N 3N 1 2 3

2 2 2 2 2 2

220 219 222 10 9 11 6632 W U U U I I I

cos P / S

5200 / 6632

0, 784

)