I

nhalt

Vorwort 4

Einführung 6

1

2

3

Schlusswort 40

Anhang 42

Quellennachweis 43

Erklärung 45

V V

Jeder Mathematiker wird vermutlich früher oder später einmal danach gefragt, wozu

seine Wissenschaft gut sei. Geht es ihm um praktisches Wissen oder nur um reine Theorie?

Mathematik erscheint vielen auch heute noch als „dunkel“, obwohl die moderne Gesellschaft darauf angewiesen ist, auf quantitative Analysen und logische Schlussfolgerungen zurückzugreifen.

Meine Facharbeit „Leonardo da Pisa: Die Fibonacci-Zahlen - eine Arithmologie ¹ “ verstehe ich als eine gute Möglichkeit, eines dieser „dunklen“ Kapiteln der Mathematik zu „erhellen“ und die oben gestellte Frage anhand der Themenstellung so gut wie möglich zu beantworten. Meine Facharbeit soll den Lesern etwas von der Faszination der Fibonacci-Zahlen vermitteln und ihnen helfen, sich sachkundig und kritisch mit diesem Wissenschaftsgebiet der Mathematik auseinanderzusetzen. Heute gehören Umwelt und Wirtschaft zu den zentralen Themen, die vor dem Hintergrund komplexer mathematischer Zusammenhänge stehen und um hier zu urteilen, muss man die grundlegenden Prinzipien erkennen und verstehen. Ein kleiner Bruchteil dieser Themen wird anhand der Fibonacci-Zahlen und deren breiten Anwendungsgebiete in der modernen Welt dargelegt. Anhand einer Fülle von quantitativ lösbaren Problemen wird gezeigt, wie tragfähig die Fibonacci-Zahlen in praktischen Anwendungen sind. Darüber hinaus möchte ich bei interessierten Lesern nicht etwa Rechentechniken üben oder Theorien auflisten, sondern ein Grundverständnis für die Theorien der Fibonacci-Zahlen wecken. Bei der Ausarbeitung meiner Facharbeit ergaben sich drei Gebiete: der Entdecker der Fibonacci-Zahlen Leonardo da Pisa, die Arithmologie der Fibonacci-Zahlen und schließlich, als Schwerpunkt, ihre Anwendungsmöglichkeiten sowie die Bedeutung der berühmten Zahlenfolge in der modernen Welt. Diese Themen wurden ebenso wegen ihrer grundlegenden mathematischen Bedeutung wie wegen ihrer wichtigen Anwendungen in anderen Naturwissenschaften, wie der Physik, der Biologie oder der Astronomie und schließlich auch im täglichen Leben gewählt. Sie bestimmen auch

¹ Lehre von den Eigenschaften einer bestimmten Zahlengruppe, hier: Die Fibonacci-Zahlen

die Gliederung der Facharbeit in drei Teile, die unabhängig voneinander jeweils eine in sich abgeschlossene Einheit bilden.

Die Probleme werden auf zwei Arten diskutiert: Sie werden als Beispiel für praktische Rechnungen dargestellt und häufig mathematisch beschrieben. So soll meine Facharbeit Licht in ein „dunkles“ Teilgebiet der Mathematik bringen.

E inführung E

Während der Zeitepoche des Hochmittelalters erlebt ganz Europa einen Aufschwung des Wirtschaftslebens. Durch die Ausweitung der Seewege und deren bessere Nutzung mittels fortschreitender Technik in der Seefahrt profitierten zunehmend die Mittelmeerländer (wie zum Beispiel Italien). Vor allem italienische Städte wie Venedig monopolisierten den Handel mit dem Orient, welcher zu sozialen Umschichtungen führte.

Wissenschaft und Bildung war ein entscheidendes Kriterium für den Kaufmann im Mittelalter. Nicht nur die Kulturtechniken des Lesens, Schreibens und Rechnens zeigten sich unabdingbar, sondern auch geografische und sprachliche Kenntnisse erwiesen sich als bedeutsam. Für einen Kaufmann waren diese Grundvoraussetzungen unumgänglich. Jacques Le Goff (geboren 1924), Historiker und Experte für die Geschichte des europäischen Mittelalters, geht sogar noch weiter: „Es ist nicht vergessen worden, dass der Horizont des christlichen Kaufmanns sehr viel weiter reichte als der vieler moderner Gelehrter, die über ihm gearbeitet haben.“ ² In diese Zeit wird ein heute berühmter Mathematiker hineingeboren: der Italiener Leonardo da Pisa, Sohn eines Kaufmannes. Folgt man dem Zitat von Le Goff, ist verständlich, dass auch Leonardo da Pisa, der Fibonacci genannt wurde, nach dem Willen seines ehrgeizigen Vaters eine sehr gute Ausbildung, vor allem in der Naturwissenschaft, erhielt.

Fibonacci ist einer der ersten Europäer des Mittelalters, der die antike Wissenschaft wiederentdeckt und damit den Grundstein für eine „Renaissance“ der Naturwissenschaften, besonders der Mathematik, in ganz Europa legte. Pisa ³ ist der Ort, an dem der Mathematiker um 1170 das Licht der Welt erblickt. Noch fast 850 Jahre später sollten sich die Menschen an ihn erinnern.

² Berendt, Susanne: Facharbeit über die Fibonacci-Zahlen, S. 1

³ vgl. Karte im Anhang S. 42

1. Kapitel: Der Mathematiker Leonardo da Pisa

⁴ ohne Urheber: Briefmarke Fibonacci, 1999, http://jeff560.tripod.com/fibonacci.jpg, aufgerufen am

29.09.2007

375/378 n. Chr. (Beginn der Völkerwanderung) und 1492 (Entdeckung Amerikas) umfasst. In verschiedenen Handschriften ist Fibonacci auch unter den Namen Leonardus Pisanus, Leonardo Bigollo oder Leonardus filius Bonacij vermerkt. Über das Leben des berühmten Rechenmeisters ist nur wenig bekannt, weswegen die genannten Jahreszahlen auf historischen Rekonstruktionen heutiger Wissenschaftler beruhen und deshalb nur Vermutungen darstellen. Die meisten Angaben findet man in Dokumenten der Stadt Pisa sowie in seinem berühmtesten Werk, dem Buch „Liber abbaci“ (lat. „Buch der Rechenkunst“), in welchem er um die Jahre 1201/1202 sorgfältig sein gesammeltes mathematisches Wissen zusammengestellt hatte. Im Widmungsprolog des Buches „Liber abbaci“ steht: „Als mein Erzeuger von der Vaterstadt in die Handelsniederlassung von Bougie um der dort zusammenkommenden Pisaner Kaufleute willen als öffentlicher Notar abgeordnet worden war, ließ er mich in meinen Knabenjahren zu sich kommen. In Anbetracht des künftigen Nutzens und Vorteils wollte er, dass ich dort in der Schule des Rechnens für einige Tage verweile und unterrichtet werde. Wo ich dann aus bewunderungswürdiger Meisterschaft in die Kunst mit den neun Zahlzeichen der Inder eingeführt wurde, und so sehr gefiel mir die Wissenschaft dieser Kunst mehr als alle anderen und war ich um Einsicht in sie bemüht, dass ich was immer von ihr mit ihren verschiedenen Arten in Ägypten, Syrien, Griechenland, Sizilien und Südfrankreich zu lernen ist, auf späteren Reisen zu diesen Handelsorten mit großem Aufwand an Studium und Disputationen mir aneignete. Doch alles dies und ebenso den Algorismus und die Bögen des Pythagoras hielt ich gleichsam für einen Irrtum im Vergleich zur Rechenart der Inder.“ 5

⁵ Liebknecht, Otfried: Leonardo Fibonacci, http://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci vom 11.10.2007,

aufgerufen am 23. Oktober 2007

Dieses Wissen, das für den jungen Leonardo wertvoller war als alles andere, was er auf seinen Reisen kennen gelernt hatte, fasste er im bereits genanntem Buch „Liber abbaci“ zusammen, welches maßgeblich zur Verbreitung des arabischen Zahlen-Systems in Europa beitrug.

Bonaiini, ein angesehener Magister der Stadt Pisa, würdigte Fibonacci um 1240 in einem Dekret der Stadt Pisa für seine Arbeit als Rechenmeister. Demnach starb Fibonacci nicht vor 1240, so dass er ein für diese Zeit beachtliches Alter von mindestens 60 Jahren erreichte.

Im Dekret „Constitutum usus psianaue civitaits“, übersetzt von H. Lüneberg, ist zu lesen: „In Anbetracht unserer Stadt und der Bürger Ehre und Vorteil, der ihnen wie oft schon bei Bedarf zustatten kommt sowohl durch die Gelehrsamkeit als auch durch die emsigen Dienste des ausgezeichneten und klugen Mannes und Lehrers Leonardo Bigollo [Fibonacci], die im Berechnen von (Steuer-)Schätzungen und Rechnungen für die Stadt und ihre Amtsträger und anderem bestehen, setzen wir durch vorliegende Konstitution fest, dass eben diesem Leonardo aus Wertschätzung und Gunst, aufgrund des Verdienstes und aufgrund des Vorrangs seiner Kenntnis zum Ausgleich für seine Arbeit, die er ausführt durch Prüfung und Feststellung oben genannter Schätzungen und Rechnungen, von der Gemeinde und ihren Kämmerern - von der Gemeinde berufen und für die Gemeinde handelnd - als Lohn bzw. sein Gehalt jährlich XX Pfund Pfennige und die üblichen Naturalleistungen gegeben werden müssen und dass er der Gemeinde von Pisa und ihren Amtsträgern fortan wie gewohnt durch Ausführung von Rechnungen diente“. 7

⁶ Ohne Urheber: Fibonacci, 2006, http://www.farya.com/images/all/fibonachi.jpg, aufgerufen am 28.08.2007

⁷ Liebknecht, Otfried: Leonardo Fibonacci, http://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci vom 11.10.2007, aufgerufen

am 12.10.2007

Fibonaccis Ruhm in Europa wuchs in der Zeit nach seinem Tod rapide an. Friedrich II ⁸ , der sich sehr für Mathematik interessierte, erhielt Fibonaccis Liber Quadratorum (verfasst um 1225), das die allgemeine Zahlentheorie sowie die Lösung von quadratischen Gleichungen behandelt.

1.2 Das Buch „Liber abbaci“ - Lebenswerk eines beinahe vergessenen

Mathematikers

Die abendländische Mathematik, die seit der Antike weitgehend vergessen worden war, erlebte mit Fibonaccis Werk, dem „Liber abbaci“, eine „Wiederbelebung“. Während seiner Reisen durch den Mittelmeerraum entdeckte der junge Fibonacci den Schatz der arabischen Mathematik und zeigt in seinem Hauptwerk die Vorteile des indischarabischen Zahlensystems auf.

1.2.1 Die Vorläufer des „Liber abbaci“: Al-Khwarizmi und Abu Kamil Der aus Zentralasien stammende Al-Khwarizmi, auch Ja’far Muh’ammad genannt, war ein Astronom und Historiker, der in der ersten Hälfte des neunten Jahrhunderts lebte. „Die eigentliche Geburtsstunde der klassischen Algebra wird vielfach mit der Entstehung des Buches ‚Al-Kitab al-muktas’ar fi h’isab al-jar wa’lmugabala’ gleichgesetzt“ ⁹ , das Al-Khwarizmi verfasste und unter anderem die Verwendung der Zahl Null behandelt. „Nach den Worten des Autors enthält das Buch alles, was aus der Arithmetik überaus brauchbar ist, was Menschen bei Vererbungsangelegenheiten brauchen, bei Teilungsproblemen, bei Rechtsstreitigkeiten, im Handel, und überhaupt bei allen gegenseitigen Beziehungen (…)“. ¹⁰ Die Grundlage hierfür war eine Schrift des ägyptischen Mathematikers Abu Kamil, der zwischen 850 und 930 n. Chr. lebte. Er war der erste arabische Mathematiker, der versuchte, eine Lösung für die mathematischen Probleme des Griechen Diophat zu finden.

Vor allem die Handelsmathematik wird darin umfassend behandelt: Verleih, Währungsumrechnungen und Verkauf. Durch konkrete Beispiele werden die Rechenmethoden systematisch dargelegt. Verwendung fand das Werk vor allem im

⁸ Friedrich II (1712-1786), preußischer König

⁹ Kaiser, Hans, Nöbauer, Wilfried: Geschichte der Mathematik, S. 148

¹⁰ Ebenda

Handelswesen, wobei verschiedene Methoden der Geschäftsführung und der Buchhaltung behandelt werden.

Es bedurfte einer langen Zeit, bis das Werk seine Früchte tragen konnte: Erst in den letzten Jahrzehnten des dreizehnten Jahrhunderts begegnet man konkreten Zeugnissen des Einflusses von Leonardo Fibonacci auf die Entwicklung der Mathematik in Italien, wobei dieser beinahe immer in Verbindung mit den Aktivitäten der Rechenschulen (scuole d’abaco) stattfand. Das „Liber Abbaci“ sorgte für eine Renaissance der europäischen Mathematik.

1.2.2 Baldassare Boncompagni

Die Wiederbelebung der Arbeit von Fibonacci stellte sich erst gegen Ende des 18. Jahrhunderts ein. Dem Italiener Baldassare Boncompagni ist es zu verdanken, dass der modernen Gesellschaft überhaupt die Arbeiten Fibonaccis vorliegen. Der Italiener studierte dessen Leben und Werke und veröffentlichte um 1860 eine Edition dessen Schriften, die bis heute überliefert sind. Dabei konzentrierte sich der Italiener besonders auf die zwei Hauptwerke Fibonaccis: das Liber Abbaci (1857) und die Practica Geometriae (1862). Bis heute ist die Neuherausgabe der alten Schriften durch Boncompagni die einzige Überlieferung der Werke Leonardo Fibonaccis.

Die Fibonacci-Zahlen - eine Arithmologie

¹¹ Ohne Urheber: Liber Abbaci, http://www.zahlenjagd.at/fibonacci.gif, ohne Datum, aufgerufen am

29.09.2007

Die Fibonacci-Zahlen - eine Arithmologie

Der französische Mathematiker und Physiker Blaise Pascal (1623-1662) sagte einmal: „Die Mathematik als Fachgebiet ist so ernst, dass man keine Gelegenheit versäumen sollte, dieses Fachgebiet unterhaltsamer zu gestalten.“ ¹² Ich versuchte, bei der Ausarbeitung meiner Facharbeit nach diesem Grundsatz zu verfahren. Das zweite Kapitel meiner Facharbeit, das sich mit den Eigenschaften, Berechnungsmöglichkeiten und Formeln der Fibonacci-Zahlenreihe beschäftigt, soll nicht als „rein“ mathematischer Abschnitt verstanden werden, der sich über Seiten mit Definitionen und Rechnungen beschäftigt. Natürlich ist dies nicht ganz unumgänglich, jedoch habe ich mein Bestes versucht, auch das zweite Kapitel der Arbeit möglichst „unterhaltsam“ zu gestalten: Zahlreiche praktische und anschauliche Beispiele sowie kleine mathematische „Spielereien“ sollen den Leser auf den Geschmack bringen und selbst abstrakte mathematische Formeln etwas „versüßen“. Zu Beginn möchte ich zunächst die wohl wichtigste Frage beantworten: „Was sind die Fibonacci-Zahlen eigentlich?“

2.2 Das mathematische Grundprinzip der Fibonacci-Zahlen

Um den breiten Anwendungsbereich der Fibonacci-Zahlenreihe sowie dessen Eigenschaften verstehen zu können, ist es zunächst sinnvoll zu klären, welche Bedeutung die Fibonacci-Zahlen haben:

Bei den Fibonacci-Zahlen handelt es sich um eine Zahlenreihe, die nach einem bestimmten Gesetz bis in die Unendlichkeit fortgesetzt werden kann. Im Folgenden sind die ersten Glieder der Zahlenkette aufgelistet:

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 …

Wirft man einen kurzen Blick auf die ersten Glieder der Zahlenreihe, so ist die Regelmäßigkeit der Kette sofort klar: Ein Glied der Zahlenreihe ergibt sich aus der Summe der zwei vorhergehenden Zahlen (ab dem dritten Glied). So lässt sich zum Beispiel die „13“ aus der Summe von „8“ und „5“ ermitteln.

¹² o. V.: Zitate zur Mathematik u. a., http://www.mathematik.ch/zitate/, ohne Datum, aufgerufen am

23.11.2007

Die Fibonacci-Zahlen - eine Arithmologie

2.2.1 Definition

Allgemein lässt sich die Fibonacci-Zahlenreihe also wie folgt definieren:

13

Dabei steht „n“ für das n-te Glied. F 0 mit n = 0 ist das „nullte“ Glied der Kette, die „0“ und F 1 mit n = 1 ist das erste Glied der Kette, die „1“. Also ist mit “F 7 „ das siebte Glied gemeint, die „13“.

Die Formel F n+1 = F n +F n-1 wurde nicht von Fibonacci selbst aufgestellt, sondern von dem Mathematiker Leonhard Euler ¹⁴ erst Jahrhunderte später.

2.2.2 Das rekursive Bindungsgesetz

Die obige Zahlenreihe kann dabei die Anfangsglieder „0“ und „1“ bzw. „1“ und „1“ haben.

Jedoch funktioniert die Fibonacci-Kette in formaler Form nach dem rekursiven Bindungsgesetz:

Oft wird die „0“ als Anfangswert ausgelassen, wenn der Wert „0“ bei Anwendung der Fibonacci-Folge sinnlos ist. Hierzu ein passendes Beispiel, in dem die „0“ ausgelassen wird: Folgende Aufgabe findet man im „Liber abbaci“ als Übungsaufgabe zur Addition: die berühmte Kaninchenaufgabe.

^{13, 15} nach Becker, Michael: Die Fibonacci-Zahlen, S. 2f

¹⁴ Leonhard Euler (1707-1783), Entdecker der Euler’schen Zahl e

Die Fibonacci-Zahlen - eine Arithmologie

2.2.3 Die Kaninchenaufgabe

Diese „Übungsaufgabe“ stammte ursprünglich aus einem mathematischen Rätsel, das Leonardo da Pisa bei einem Wettbewerb lösen sollte. Diese Aufgabe habe ich bereits kurz in meinem Referat vorgestellt:

„Ein Kaninchenpaar wirft vom zweiten Monat an monatlich ein junges Paar, das seinerseits vom zweiten Monat an monatlich ein junges Paar zur Welt bringt. Wie viele Kaninchen leben nach n Monaten, wenn zu Beginn ein junges Paar lebte?“ ¹⁶ Es ist hier anzumerken, dass die obige Aufgabenstellung einen Fehler enthält. Richtig wäre: „Ein Kaninchenpaar wirft von ersten Monat an monatlich ein junges Paar“ und nicht vom zweiten. Das erste Hasenpaar im Dezember des Vorjahres wird nämlich nicht erst nach einem Monat zeugungsfähig, sondern bekommt schon im Januar die ersten Nachkommen. Alle neugeborenen Hasenpaare bringen erst ab dem zweiten

Lösung: Ende Dezember gibt es insgesamt 233 Hasenpaare.

¹⁶ Glaeser, Georg: Der mathematische Werkzeugkasten, S. 332

¹⁷ selbst erstelltes Schaubild zur Kaninchenaufgabe (Ausschnitt)

Die Fibonacci-Zahlen - eine Arithmologie

2.2.4 Einfache Formeln

In diesem Abschnitt werde ich einfache Formeln erklären, die auf die Fibonaccizahlenreihe anwendbar sind. Natürlich gibt es hiefür eine Unmenge an Formeln, doch habe ich mich darauf beschränkt, die „schönsten“ auszuwählen und im Folgenden aufzuzeigen, wobei gilt: n ∈ IN

2.2.4.1 Die Determinantenidentität ¹⁸ der Fibonacci-Zahlen

Unter dem Begriff „Determinante“ versteht man einen „Rechenausdruck in der Algebra zur Lösung eines Gleichungssystems“ ¹⁹ .

Betrachten wir nochmals die Fibonacci-Zahlenreihe:

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 …

Es lässt sich hierbei eine weitere interessante Beobachtung machen, die ich beim Umstellen einer anderen Formel entdeckt habe: Die Fibonacci-Zahlen könnte man auch nach folgendem Schema berechnen: F n ist die gesuchte Fibonacci-Zahl. Man bildet nun das Produkt aus der vorgehenden und folgende Zahl von F n , zum Beispiel F 8 = 21 wäre unsere gesuchte Zahl. Das Produkt aus der vorhergehenden und nachfolgenden Fibonacci-Zahl ist 442 („13 mal 34“). Von 442 zieht man (F n )² wieder ab, also 442 - 21² = 1. Wenn ein F n mit einem ungeraden „n“ gefragt wäre, würde -1 herauskommen. Man kann also folgende Gleichung für obiges Beispiel aufstellen: 13 ^. 34 - 21² = (-1) ⁸ = 1 „n“ ist gerade, weshalb +1 herauskommt.

Allgemein kann man folgende Formel aufstellen:

¹⁸ nach Becker, Michael: Die Fibonacci-Zahlen, S. 3

¹⁹ Drosdowski, Günther, Scholze-Stubenrecht, Werner, Wermke, Matthias: Duden Fremdwörterbuch,

S.184 (s. Begriff „Determinante“, 2. Definition)

²⁰ nach Becker, Michael: Die Fibonacci-Zahlen, S. 3

Die Fibonacci-Zahlen - eine Arithmologie

Zu Beginn habe ich folgende Gleichung aufgestellt:

F n ^. F n+2 = (F n+1 )² + (-1) n-1

Diese Gleichung wurde 1680 von dem Mathematiker Cassini ²¹ entdeckt.

Unformung: = (F n+1 )² + (-1) ^n-1 F ^{n .} (F n + F n+1 )

Beispiel: F 2 + F 3 = 1 + 2 = 3

Allg.: F n+1 - F n (I) für n=2 F n-1 ⁼ F n+2 - F n+1 (II) F n =

(I) + (II) F n-1 + F n = F n+2 - F n für n=2 F n+2 - 1 ^{= n} − = − = + + + = ∑ F F F F F F F 1 ... + + n n n k 2 2 2 2 1

= k 1

²¹ Giovanni Domenico Cassini (1625-1712)

²² nach Becker, Michael: Die Fibonacci-Zahlen, S. 2 (s. CD)

Die Fibonacci-Zahlen - eine Arithmologie

2.2.4.3 Die Summe von Quadraten 23

Nach dem Vorgehen wie in 2.2.4.2 ergibt sich folgende Formel für die Summe von Fibonacci-Quadraten:

Bemerkung: Die Halbarithmetische Summe ist nicht von Bedeutung und ist deshalb nur der Vollständigkeit halber hier angeführt.

Die Fibonacci-Zahlen sind wie in 2.2.1 dargelegt definiert.

²⁵ Lucas Folge: 2 1 3 4 7 11 18 29 …

Wie bei der Fibonacci-Folge errechnet sich ein Glied der Folge durch die Summe der zwei vorhergehenden Ziffern (ab dem 3. Glied!). Die Lucas-Folge ist benannt nach dem französischen Mathematiker Edouard Lucas (1816-1882). Zwischen der Lucas-Folge und den Fibonacci-Zahlen gibt es einen Zusammenhang:

²³ nach Becker, Michael: Die Fibonacci-Zahlen, S. 2

²⁴ Ebenda

²⁵ Ebenda

²⁶ nach Becker, Michael: Die Fibonacci-Zahlen, S. 2

Die Fibonacci-Zahlen - eine Arithmologie

Somit kann man Summen von Fibonacci-Zahlen elegant mit Lucas-Zahlen ausdrücken und umgekehrt.

27

Tribonacci-Folge: 0 1 2 4 7 14 27 52 …

In Worten: Ein Glied der Tribonacci-Folge ergibt sich aus der Summe der vier vorhergehenden Ziffern (ab dem vierten Glied, der „7“).

Somit ergibt sich beispielsweise das siebte Glied, die „52“, aus der Summe der vier vorhergehenden Zahlen: 27 + 14 + 7 + 4 = 52

2.3 Berechnung höherer Glieder: Die Formel von Binet

Die Berechnung von Gliedern der berühmten Zahlenreihe unterliegt verschiedenen Möglichkeiten. Zunächst kann zum Ermitteln der Anfangswerte der Zahlenkette mit einfachem Summieren vorgegangen werden (etwa bis n=10). Nun stellt sich aber ein neues Problem: Wie sollen große Kettenglieder berechnet werden? Ständiges Summieren der höheren Kettenglieder würde sich hierbei als sehr mühselig und zeitaufwendig erweisen. Jedoch gibt es glücklicherweise auch hierfür eine Lösung. Im Folgenden soll nun eine Möglichkeiten vorgestellt werden, wie man ohne die Kenntnis anderer Fibonacci-Zahlen ein beliebiges n-tes Glied der Kette einfach berechnen kann: mit Hilfe der Formel von Binet.

²⁷ Becker, Michael: Die Fibonacci-Zahlen, S. 2

²⁸ Becker, Michael: Die Fibonacci-Zahlen, S. 3

Die Fibonacci-Zahlen - eine Arithmologie

Möchte man also beispielsweise die 43. Fibonacci-Zahl der Zahlenreihe berechnen, so ist n = 43. Nun muss die „43“ in die oben dargestellte Formel eingesetzt werden:

Die 43. Fibonacci-Zahl ist 433.494.437

2.4 Grenzwert ²⁹ der Fibonacci-Zahlen

mit n ∈ IN 0

F n+1 = F n +F n-1 Definition 2.1.1:

Daraus folgt: F n = F n+1 - F n-1

Es gilt (vgl. 2.3):

Jetzt können wir n gegen „unendlich“ ( ∞ ) laufen lassen.

Also

²⁹ nach Schmidt, Antje: Fibonacci-Folgen, S. 15

800 Jahre Fibonacci - Fibonacci-Zahlen im alltäglichen Leben

FIBONACCI-ZAHLEN IM ALLTÄGLICHEN LEBEN

³⁰ Bergamini, David: Die Mathematik, S. 92

³¹ Meerestier mit spiralförmiger Muschel

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3.1 Einführung in das Kapitel

Ich möchte mit diesem Kapitel aufzeigen, wie tragfähig die Fibonacci-Zahlen bei

praktischen Anwendungen sind. Es werden nun verschiedenste Anwendungsbeispiele wiedergegeben, in welchen Situationen des Alltages wir unbewusst mit den Fibonacci-Zahlen konfrontiert werden und welche kleine Geheimnisse und einfache Probleme des täglichen Lebens mit den Fibonacci-Zahlen gelöst bzw. erklärt werden können.

3.2 Zufall oder nicht ? - Einfluss der Fibonacci-Zahlen auf die

Kombinatorik

3.2.1 Fibonacci-Zahlen als Lösung für eine typische Kombinatorikaufgabe Die Kombinatorik als Teilgebiet der Mathematik beschäftigt sich „mit den Anordnungsmöglichkeiten gegebener Dinge (Elemente)“ ³² . Nun sollen sich die Fibonacci-Zahlen bei relevanten Problemstellungen der Kombinatorik wiederfinden und angewendet werden. Im Folgenden habe ich zwei Beispiele aufgeführt, deren

³² nach Drosdowski, Günther, Scholze-Stubenrecht, Werner, Wermke, Matthias: Duden Fremdwörterbuch,

S.427 (s. Begriff „Kombinatorik“, 2. Definition)

³³ Becker, Michael: Die Fibonacci-Zahlen, S. 23

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Aufgabe 2: Aus dem Schulalltag: Der Gong zur nächsten Stunde ertönt. Die Gänge des Schulhauses füllen sich zu jedem Stundenwechsel mit Schülern und Lehrern. Manche eilen zum nächsten Klassenzimmer, andere lassen es etwas gemächlicher angehen und schlendern gemütlich den Gang entlang. Diejenigen, die zur nächsten Unterrichts-stunde ein Stockwert höher oder tiefer müssen, laufen zur Treppe. Es ist erstaunlich, aber hier begegnet man wieder den Fibonacci-Zahlen: Manche laufen die Treppen Stufe für Stufe hinauf bzw. hinab. Andere überspringen eine. Bei jeder Stufe kann man also entscheiden, ob man einfach die nächste betritt oder ob eine übersprungen werden kann. Auf wie vielen verschiedenen Möglichkeiten kann jetzt eine Treppe hinauf- bzw. hinabgegangen werden, wobei die erste Stufe betreten werden muss?

Lösung

Die erste Stufe muss betreten werden. Bei der zweiten Stufe kann man sich nun entscheiden: Soll sie übersprungen werden oder nicht? Hier hat man also zwei Möglichkeiten. Bei der dritten ist es etwas schwieriger: Man kann sich hier zwischen Überspringen und Betreten nur entscheiden, wenn die zweite Stufe nicht übersprungen wurde.

Die Möglichkeiten des „Treppensteigens“ können in folgender Tabelle dargestellt werden. Dabei ist n die Anzahl der Stufen.

Man erkennt, dass sich auch diese Kombinatorikaufgabe mit Hilfe der Fibonacci- Zahlen lösen lässt. Die Anzahl der Möglichkeiten, die Treppe hinauf- bzw.

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hinabzusteigen, ist eine Fibonacci-Zahl. Bei einer Treppe mit n Stufen gibt es demnach F n Möglichkeiten des Treppensteigens.

Dieses Beispiel verdeutlicht sehr gut, wie oft wir den Fibonacci-Zahlen in unserem alltäglichen Leben, meist unbewusst, begegnen.

3.2.2 Die Fibonacci-Quadrate (vgl. 2.2.4.3)

Ein anderes Beispiel findet sich im Bereich der Geometrie, mit dem sich „spielend“ eine Fibonacci-Zahlenreihe mit verschiedenen Quadraten aufzeigen lässt:

Ich habe ein Quadrat (blau) mit der Kantenlänge a = 1 LE (LE= Längeneinheit). Nun schließe ich an einer Seitenlänge ein weiteres Quadrat an, das die gleiche Kantenlänge a

Es entsteht ein Rechteck mit Kantenlänge a und 2a. Nun wird wieder ein weiteres Quadrat angefügt, das die Kantenlänge 2a hat.

Natürlich würde man so unendlich viele Quadrate erhalten. Was fällt auf, wenn man die Seitenkanten der neu entstehenden Quadrate betrachtet? Die Faktoren (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21) der ursprünglichen Kantenlänge a sind Fibonacci-Zahlen, was bedeutet, dass die Kantenlängen der neu entstehenden Quadrate um einen Faktor k wachsen, der eine Fibonacci-Zahl ist. Also hätte das nächste Quadrat die Seitenlange 34a.

³⁴ Stewart, Ian: Die unscheinbare Schwester der goldenen Zahl, S. 55

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Betrachtet man nicht nur die einzelnen Quadrate, so kann man feststellen, dass im Gesamtbild neue Rechtecke entstehen, die aus den Quadraten zusammengesetzt sind. Solche Quadrate nennt man Fibonacci-Rechtecke.

Nun könnte man die Gesamtfläche des Rechteckes bzw. die Summe der einzelnen Quadratflächen berechnen. Diese wäre im obigen Beispiel:

A = [(1a) ² + (1a) ² + (2a)² + (3a)² + (5a)² + (8a)² + (13a)² + (21a)²] FE A = 714 a² FE

Allgemein kann man mit Hilfe der Fibonacci-Zahlen (rot) auch schreiben:

Dabei ist n die Anzahl der Quadrate insgesamt und n-1 die Anzahl der neu entstehenden Quadrate.

Die allgemeine Formel wird umgeformt: Der Gesamtflächeninhalt der Quadrate ist das Produkt aus der Summe der Fibonacci-Zahlen-Quadrate und der Ursprungskantenlänge zum Quadrat:

Man findet hier wieder einer der im zweiten Kapitel behandelten Fibonacci-Formeln wieder (vgl. 2.2.4.3).

Auch das Verhältnis der Kantenlänge kann man sich einmal näher anschauen, denn es gilt hier:

Umso mehr neue Quadrate gebildet werden, desto mehr stimmt das gerade aufgestellte Verhältnis der Seitenkanten.

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3.3 Das Goldene Rechteck als ästhetisches Mittel in der Kunst Das Goldene Rechteck und der Goldene Schnitt werden von vielen Künstlern bewusst eingesetzt. Apollo von Belvedere, ein griechischer Bildhauer, stellte Skulpturen mit Verwendung des Goldenen Schnitts her. Ebenso sind die Gemälde von Leonardo da Vinci ein gutes Beispiel für das Auffinden des Goldenen Schnitts in der Kunst. Die Fibonacci-Zahlen haben offenbar einen interessanten Einfluss in der Kunst und in der Architektur. Der Goldene Schnitt entspricht etwa dem Verhältnis von zwei aufeinander folgenden Fibonacci-Zahlen mit zunehmender Höhe der Kettennummer. Dem Goldenen Schnitt begegnet man häufig im Bereich der Kunst und Architektur. Heute beschäftigt der Goldene Schnitt auch die Naturwissenschaftler, vor allem wegen seiner ästhetischen Wirkung. Es ist interessant, dass man den Goldenen Schnitt und somit die Fibonacci-Zahlen in Bildern und Gemälden finden kann. Hier ein Beispiel:

³⁵ selbst fotografiert am 07. November 2007

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Diesen „Kopf“ findet man in unserem Schulhaus an der Wand gegenüber des rechten Eingangs zur Cafeteria. Ich habe von ihm ein Foto gemacht und ein so genanntes „Goldenes Rechteck“ in das Bild hinein konstruiert.

Für die geometrische Konstruktion eines Goldenen Rechtecks beginnt man mit einem Quadrat ABCD (blau). Hier ist schon auffallend, dass sich problemlos ein Quadrat mit den Seitenlängen „Kinn-Mütze“ ([BC]) und „Ohr-Ohr“ ([CD]) in das Gesicht hineinzeichnen lässt, das durch die Strecke [EF] halbiert wird. Der Punkt E wird nun Mittelpunkt eines Kreises k mit dem Radius r = [ED]. Jetzt schlägt man einen Bogen über [ED] im Punkt E und verlängert die Seite [BA] bis zum Schnittpunkt G zwischen der verlängerten Seite [BA] und der Kreislinie von k. Die Strecke [GB] wird zur Seite des Rechtecks GBCH. Die andere neue Seite [GH] wird nun senkrecht auf BG durch G bis zum Schnittpunkt H mit der Verlängerung von [CH] gezogen. Das Goldene Rechteck BGCH ist fertig.

Dieses besondere Rechteck hat die Eigenschaft, dass die Länge der längeren Seite, also [GB] und die Länge der kürzeren Seite [BC] im Verhältnis des Goldenen Schnitts stehen, wie auch zwei aufeinander folgende Kettenglieder der Fibonacci-Zahlenreihe (s. 3.2.2):

Auf das abgebildete Gesicht bezogen kann man folgenden Rückschluss ziehen: Dem Goldenen Rechteck sagt man nach, es sei die vollkommenste geometrische Form. Die Verwendung des Goldenen Rechtecks führt für den Betrachter zu einem ästhetischen Gesamtbild. Die Proportionen des Bildaufbaus entsprechend des Gesichtes wirken dadurch besonders ansprechend und harmonisch. Wir stoßen auch im Schulhaus direkt auf die Fibonacci-Zahlen.

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3.4 Fibonacci-Zahlen -

Stabilitätskriterium in der Welt der Sternenbahnen? (Die Astronomen begangen nach Verbindungen zwischen dem Sternenhimmel und den Fibonacci-Zahlen zu suchen.

Der Ursprung unseres Sonnensystems ist eines der größten noch relativ ungelösten Probleme der Menschheit. Dabei treffen wir auf folgende Schwierigkeiten: Die ursprünglichen Bedingungen sind unbekannt. Chemische und physikalische Prozesse, die vor Milliarden von Jahren in unserem Sonnensystem abgelaufen sind, sind irreversibel, was bedeutet, dass diese Prozesse nicht rückgängig gemacht und damit nicht zurückverfolgt werden können) ³⁶ . Also kann man eigentlich nur das jetzige Planetensystem durchleuchten und erforschen.

Der momentane Zustand unseres Planetensystems ist relativ stabil. Die Planeten kreisen auf elliptischen Bahnen, die sich einer Kreisbahn annähern, um die Sonne. Ihre Abstände sind so eingerichtet, dass sich die unterschiedlichen Stärken der Schwerkräfte, die auf den verschiedenen Planeten herrschen, nicht gegenseitig stören. (Genau dieser stabile Zustand in den Bewegungen der Himmelskörper auf ihren Bahnen brachte schon viele berühmte Denker, wie zum Beispiel Pythagoras oder Kepler dazu, sich mit den harmonischen Verhältnissen in den geometrischen Strukturen der Planetenbahnen auseinanderzusetzten) ³⁷ .

3.4.1 Wie stabil ist unser Planetensystem ?

H.-J. Störing schreibt hierzu in seinem Buch „Knaurs moderne Astronomie“: „(…) Berechnungen und Simulationen [dazu] (…) müssen das Sonnensystem als geschlossenes System behandeln, das heißt auch: Sie müssen absehen von möglichen Einflüssen, die von außen einwirken. Solche Einflüsse gibt es aber. Nicht nur die Gravitationswirkung von Nachbarsternen ist hier zu nennen“. ³⁸ Können dem Menschen je alle Einflüsse und deren Wirkungen auf unser Sonnensystem bekannt sein? Hier stößt man auf die beschriebenen Probleme der Forschung in der Astronomie und Physik.

³⁶ nach Berendt, Susanne: Facharbeit über die Fibonacci-Zahlen, S. 13

³⁷ Ebenda

³⁸ Störing, Hans Joachim: Knaurs moderne Astronomie, S. 74

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Deswegen konzentrieren sich die Astronomen auf den dem Menschen bekannten Zustand des Sonnensystems. Was kann man hier alles untersuchen und erforschen? Ein guter Anfang stellt sicherlich vorerst die Erforschung der Planentenbewegung dar. Die Bahnen, auf denen die Planenten sich um die Sonne bewegen, unterliegen den Keplerschen Gesetzen, die Johannes Kepler (1571-1630) formulierte. „Die drei Keplerschen Gesetze beschreiben die Bewegung, die entsteht, wenn zwei Massenpunkte (…) sich unter der Wirkung der allgemeinen Gravitation bewegen, ohne daß der Einfluß anderer Massen störend eingreift.“ ³⁹ Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, die in einem harmonischen Verhältnis zueinander angeordnet sind. Wie kann man dieses Verhältnis beschreiben? Zunächst wäre eine reine Abstandsberechung ein guter Anfang. Betrachtet man die Distanz der Planeten zur Sonne, stößt man auf eine interessante Begebenheit. Anhand eines Bespiel möchte ich nun schrittweise zu dieser Erkenntnis hinführen.

Das Sonnensystem ist unterteilt in ein inneres Sonnensystem (Mars, Erde, Venus, Merkur) und ein äußeres Sonnensystem (Jupiter, Saturn, Uranus, Neptun) unterteilt. (vgl. Bild oben)

³⁹ Störing, Hans Joachim: Knaurs moderne Astronomie, S. 70

⁴⁰ Zahn, Ulf: Diercke Weltatlas, S. 243

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Jedem Planeten ist eine bestimmte Nummer zugeteilt:

* Der erst 1930 entdeckte Zwergplanet Pluto gehört seit der Änderung der Definitionen für Planeten unseres

Sonnensystems im August 2006 nicht mehr zum äußeren Sonnensystem und ist deshalb in der Tabelle nur in

Klammern angeführt.

3.4.2 Zusammenhang mit den Fibonacci-Zahlen

Addiert man nun die Entfernungen der Planeten mit gerader Nummer und die Entfernungen der Planeten mit ungerader Nummer, erhält man (vgl. Tabelle):

d ungerade = 57,91 + 149,60 + 778,33 + 2.869,67 = 3.855,51

d gerade = 108,2 + 227,94 + 1.427,01 + 4.496,54 = 6.259,69

Nun bildet man das Verhältnis:

Würde in die obige Rechnung der Planet Pluto mit einbezogen werden, so ist d ungerade = 3.855,51 + 5.946,6 = 9802,11 und d gerade = 6.259,69

⁴¹ nach Zahn, Ulf: Diercke Weltatlas, S. 243

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Die Ergebnisse (I+II) zeigen, dass Pluto gut in das Schema der Planeten im inneren und äußeren Sonnensystem passt. Die Abweichung der Werte (I und II) beträgt nur fünf Hundertstel.

Erinnert das Ergebnis an etwas? Es sollte doch! Denn hier haben wir bis auf fünf Promille bzw. fünf Abweichung erneut den Goldenen Schnitt. Die errechneten Werte (I und II) entsprechen den Zahlenverhältnissen der zum Goldenen Schnitt konvergierenden Fibonacci-Zahlenreihen.

Überträgt man obiges Verfahren nun auf die Fibonacci-Reihe, so kann man die gleiche Eigenschaft feststellen wie bei den Entfernungen der Sonne von den Planeten mit gerader und ungerader Nummer:

Fn 13 21 34 55 89 144 233 377 n 7 8 9 10 11 12 13 14

Hier haben wir einen Ausschnitt aus der Fibonacci-Zahlenreihe. Nun addieren wir die Fibonacci-Zahlen mit geradem n und die mit ungeradem n :

n gerade = 21 + 55 + 144 + 377 = 597

n ungerade = 13 + 34 + 89 + 233 = 369 Verhältnis: 597 : 369 = 1,617886179 …

Auch die Hier haben wir nur noch eine Abweichung von etwa 2 ^. 10 ^-4 . Zahlenverhältnisse zwischen einzelnen Fibonacci-Zahlen nähern sich dem Goldenen Schnitt an:

13 21 34 55 89 144 233 377 1,6153 1,6190 1,6176 1,6182 1,6179 1,6181 1,6180

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Man kann gut sehen, dass sich mit zunehmendem n das Verhältnis zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen dem Goldenen Schnitt annähert. Allgemein lässt sich sagen:

Kepler wies in seinen Forschungen darauf hin, dass die Umlaufzeiten der Planeten Venus und Erde im Verhältnis 8:13 stehen. Dieses Verhältnis beinhaltet wiederum zwei Fibonacci-Zahlen und nähert sich auch dem des Goldenen Schnittes. Die größte Entfernung des Jupiters von der Erde beträgt etwa 959 Millionen Kilometer, die kleinste liegt bei 583 Millionen Kilometer. Auch hier nähert sich das Verhältnis zwischen kleinstem und größtem Abstand dem Goldenen Schnitt. Ähnliches kann man beim Saturn beobachten.

Bei diesen Naturerscheinungen fällt es schwer, sich dagegen zu wehren, dass sich diese Erscheinung einer festen Gesetzmäßigkeit unterwirft. Aber diese Gesetzmäßigkeit mit naturwissenschaftlichen Erklärungen scheint sehr schwierig zu sein. Zu dieser Problematik habe ich mich dann mit dem Physikstudenten Michael Günther ⁴³ in Verbindung gesetzt. Dabei schrieb er auf die Frage, wie sich diese Erscheinung erklärt lässt, Folgendes: „(…) ich kann mir das [(Annäherung an den Goldenen Schnitt)] nur aus dem Entstehungsprozess von Planeten (…) herleiten. Planeten entstehen in so genannten Akkretionsscheiben um junge Sterne. Doch sind die Verhältnisse dort sehr chaotisch und ihre Entstehung ist ein Wettlauf mit der Zeit. Planeten bleibt nur wenig Zeit, um sich aus einer massereichen Gas- und Staubscheibe um einen jungen Stern zu bilden. Ein Planet wird, wenn er einmal eine bestimmte Größe erreicht hat, das Material in seiner Umgebung einsammeln und so die Entstehung eines weiteren gleichartigen Körpers in seiner unmittelbaren Umgebung verhindern. Dadurch lassen sich auch die relativ etwas größeren Abstände der größeren Gasplaneten erklären. Der eigentliche Wert des Quotienten ist aber nicht direkt zu

⁴² nach Berendt, Susanne: Facharbeit über die Fibonacci-Zahlen, S. 13

⁴³ www.guenthe1@cip.physik.uni-bonn.de

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erklären. Allerdings beobachtet man den Goldenen Schnitt der Fibonacci-Zahlen in vielen Bereichen der Natur. (…)“

Auch Dr. Günther Wuchterl ⁴⁴ von der Thüringer Landessternwarte Tautenberg antwortete auf meine Anfrage über die Entstehung der Planetenkonstellation: „Ganz wichtig ist zuerst zu überlegen, ob da etwas zu erklären ist oder die Übereinstimmung eine Kombination aus Zufall und Zahlenspielerei sein könnte. Also zuerst muss man nachsehen, wie genau die Übereinstimmung ist und wie wahrscheinlich das ist. Ganz wichtig ist auch, dass die Abstände der Planeten sich mit der Zeit verändern. Eng verbunden damit ist die Frage nach der Stabilität des Sonnensystems. (…) Eines ist vor allem zu bedenken: Für Planetensysteme spielt die Masse der Planeten eine entscheidende Rolle. Zwei Planeten dürfen einander nicht zu nahe kommen. Welche Annäherung erlaubt ist, bestimmt die Schwerkraft der Planeten untereinander im Vergleich zur Sonne. (…) Ob die Fibonacci-Folge für Planetensysteme einer Gesetzmäßigkeit Ausdruck verleihen, kann man mit Hilfe der nun bekannten Exoplanetensysteme ⁴⁵ prüfen.“

3.5 Fibonacci-Zahlen in den Naturwissenschaften der Biologie

Die Mathematik beschäftigt sich im naturwissenschaftlichen Bereich verstärkt mit Strukturen und Beziehungen - ein Aspekt, der sicherlich bei vielen Anwendungen durch Einzelheiten der jeweiligen Problemstellung verdeckt wird. Zum Beispiel kann man die spiralförmige Struktur einer Sonnenblume betrachten. Mathematiker versuchen, Gesetzmäßigkeiten bei geometrischen oder nummerischen Mustern zu finden. Solche Muster können dazu beitragen, die praktischen Probleme besser behandeln zu können. Deshalb verstehe ich die Mathematik als wissenschaftliche Möglichkeit, die Umwelt besser zu verstehen und sie gezielt zu nutzen.

Vielleicht hat kein anderer Zweig der Mathematik die Menschheit über Jahrhunderte so gefesselt wie die Geometrie. Nun möchte ich einzelne Symmetrien und Muster, wie

⁴⁴ www.g.wuchterl@ekiga.net

⁴⁵ Exoplanet (extrasolarer Planet): Planet, der nicht den Gravitationskräften der Sonne unterliegt

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zum Beispiel in der Natur, mit Hilfe der Fibonacci-Zahlen beleuchten und versuchen, die dahinter stehende Ordnung nachvollziehbar darzulegen. Die Naturwissenschaften der Biologie unterziehen sich wie alle anderen Wissenschaften auch gewissen Gesetzmäßigkeiten. Die berühmte Kaninchenaufgabe (s. S. 15) beispielsweise verdeutlichten einerseits gut das Vorkommen der Fibonacci-Zahlen in der Natur, aber man wird in der Realität nur selten beobachten, dass sich Kaninchen entsprechend der berühmten Zahlenfolge konsequent vermehren.

3.5.1 Phyllotaxis

Glücklichweise gibt es aber einen naturwissenschaftlichen Bereich, in dem man die Fibonacci-Zahlenreihe wirklich beobachten und nachprüfen kann, nämlich in der Phyllotaxis. Unter diesem Begriff versteht man die Lehre von der Blattstellung und Musterbildung beim Pflanzenwachstum.

Aber gibt es hiefür bestimme Richtlinien in der Pflanzenwelt? Die Antwort ist „Ja“. Betrachtet man zum Beispiel das Pflanzenwachstum und die Blütenblätter, kann man einige Regelmäßigkeiten feststellen und hinterfragen. Warum sind zum Beispiel die Kerne einer Sonnenblume spiralförmig angeordnet? Diese und andere Fragen sollen nun geklärt werden - mit verblüffenden Erkenntnissen.

Unten ist eine Vergrößerung der kleinen Röhrenblüten in Gänseblümchen abgebildet. Sie formen Spiralen, wenn auch nicht ganz so exakt. Diese Spiralen kennzeichnen sich durch zwei verschiedene Drehrichtungen, einmal im und einmal gegen den Uhrzeigersinn.

⁴⁶ Bergamini, David: Die Mathematik, S. 93

⁴⁷ Ebenda

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Zu den Abbildungen 46 und 47 (S. 34): Das Schema „verdeutlicht die doppelte Spiralenform, in der die

Blüten im Körbchen des Gänseblümchens rechts angeordnet sind. Es sind zwei gegeneinander

gerichtete Reihen, 21 Spiralen in Uhrzeiger- und 34 Spiralen in Uhrzeigergegenrichtung. Dieses 21:34-

Verhältnis entspricht der 21:34-Sequenz in der Reihe des Fibonacci. Die Winkel der Spiralen sind fast

vollkommen gleich.“ 48

Die Spiralanordnung bei Kiefernzapfen und der zapfenförmige Blütenstand der Ananasfrucht zeigen die gleiche Eigenschaft in ihren Spiralenformen wie die eines Gänseblümchens.

Interessant ist hier, dass dieses Phänomen mit der mathematischen Sequenz der Fibonacci-Zahlen übereinstimmt, da die Anzahl der Spiralen im und gegen den Uhrzeigersinn in Kiefernzapfen und in den zapfenförmigen Blüten der Ananasfrucht meistens zwei aufeinander folgende Glieder der Fibonacci-Zahlenreihe sind. Dass dies wohl kein Zufall ist, wird damit nachgewiesen, dass sich in ca. 95 % ⁴⁹ aller Fälle diese Behauptung als richtig erweist. Es gibt aber auch Pflanzen, bei denen keine Spiralen auftreten, wie zum Beispiel bei Liliengewächsen.

3.5.1.1 Die logarithmische Spirale (vgl. Bild S. 24)

Die logarithmische Spirale ⁵⁰ ist eine Kurve, deren Koordinaten mit der Gleichung

^{+ ϕ} a ϕ ∈ 0 ⋅ = ^b , , IR b e a r

beschrieben werden.

α = Für b gilt: cot b

„Eine logarithmische Spirale schneidet alle vom Ursprung ausgehenden Strahlen unter dem gleichen Winkel α.“ ⁵¹ Um die Gleichung zu vereinfach, setzt man: a=1. Der Radius r wächst mit dem Polarwinkel (φ), der logarithmisch vom Radius abhängt. Deshalb spricht man hier von einer logarithmischen Spirale. r ist der Radius eines Anfangspunktes auf der Polarachse. Die Abstände zwischen den Spiralen nehmen zu, umso mehr sie sich vom Zentrum entfernen. Der Parameter b gibt die Größe der Spirale an und der Parameter a , wie schnell die Spirale sich vom Mittelpunkt aus entfernen soll.

⁴⁸ Bergamini, David: Die Mathematik, S. 93

⁴⁹ nach Becker, Michael: Die Fibonacci-Zahlen, S. 26

⁵⁰ nach Bartsch, Hans-Jochen: Taschenbuch mathematischer Formeln, S. 430

⁵¹ Bartsch, Hans-Jochen: Taschenbuch mathematischer Formeln, S. 430

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3.5.1.2 Zusammenhang mit den Fibonacci-Zahlen

Natürlich soll nun auch erläutert werden, warum beim Pflanzenwachstum (mit Spiralen) die Fibonacci-Zahlen auftreten: Hierfür gibt es mehrere Ansätze, die etwas kompliziert sind. Die schönste und verbreiteste Erklärung möchte ich nun erläutern: Bei den auftretenden Spiralen handelt es sich stets um eine logarithmische Spirale. In den Pflanzen, in denen die Blätter entlang von Spiralen wachsen „[folgt] jedes Blatt dem vorhergehenden in einem Winkel von 137,5 Grad. Das ist der so genannte Goldene Winkel, denn er verhält sich zu den restlichen 222,5 Grad (die Ergänzung auf 360 Grad im Vollkreis), wie die beiden Seiten eines Rechtecks im Goldenen Schnitt. Und genau in diesem Verhältnis stehen auch die Zahlen in der Fibonacci-Reihe zueinander.“ ⁵² Der Winkel von 137,5° (bzw. 222,5°) im Bereich der Phyllotaxis heißt Divergenzwinkel. Er beschreibt den Drehwinkel zwischen zwei aufeinander folgenden Blättern oder Knospen. Damit hat jede Pflanze einen charakteristischen Divergenzwinkel.

Folgt man der Aussage Imhaslys, so ergibt das Verhältnis des Winkelmaßes von 137,5° zu 222,5° eine Annäherung an den Goldenen Schnitt. Es lässt sich folglich eine Verbindung zu den Fibonacci-Zahlen herstellen

Erst seit vier Jahren gibt eine es biologische Erklärung dafür, wie das Wachstum von Pflanzen nach Spiralmustern zustande kommen kann. Das „Wie“ konnte also geklärt werden, das „Warum“ aber bisher noch nicht:

„(…) die Pflanzenphysiologen Didier Reinhardt und Eva-Rachele Pesce vom Institut für Pflanzenwissenschaften der Uni Bern [liefern] die Erklärung für dieses Phänomen(…). Verantwortlich dafür sind nicht etwa mechanische Eigenschaften der Pflanzen oder geheimnisvolle ‚biophysikalische Kräfte’ - (…) - sondern ein Pflanzenhormon namens Auxin, das das Wachstum von Strukturen ankurbelt. (…) Auxin [wird] in die Sprossspitze hineintransportiert. Wenn ein neues Blatt entsteht, wird das Auxin von

⁵² Imhasly, Patrick: Spiralen in der Pflanzenwelt, in: Der Bund vom 20. November 2003, S. 44

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dieser Stelle weggeschafft. Die Folge: Das nächste Blatt kann sich erst in einiger Entfernung ausbilden, was (…) zur spiraligen Blattabfolge führt.“ ⁵³ Während meiner Recherchen und auch bei der Ausarbeitung der Facharbeit konnte ich häufig feststellen, dass das Thema Fibonacci-Zahlen in Zusammenhang mit dem Pflanzenwachstum ein bisher relativ unerforschtes Gebiet der Naturwissenschaften ist.

3.5.1.4 Untersuchung eines Tannenzapfens

Nun wollte ich es doch einmal genau wissen. Kann man bei einem Tannenzapfen die Fibonacci-Zahlen finden?

Dazu habe mir ich einen Tannenzapfen einmal genauer angeschaut.

einfacher. Die folgende Abbildung soll die Perspektive verdeutlichen. Bei dem abgebildeten Tannenzapfen handelt es sich jedoch nicht um den vor mir untersuchten:

Ich hab mich über dieses Phänomen mit dem Biologiestudenten (Diplom) Christian Selig fachlich ausgetauscht:

⁵³ Imhasly, Patrick: Spiralen in der Pflanzenwelt, in: Der Bund vom 20. November 2003, S. 44

⁵⁴ selbst fotografiert am 03. Dezember 2007

⁵⁵ ohne Urheber: Tannenzapfen, ohne Jahr, http://obscurious.co.uk/images/Fibonacci%20in%20nature/pine-

cone2.jpg, aufgerufen am 17. Oktober 2007

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Er meinte dazu: „Für Fibonacci-Zahlen (...) sind viele Beispiele in der Biologie bekannt (…). Leider weiß ich nicht, ‚warum’ diese Zahlenfolge so häufig in der Biologie auftaucht. Wir wurden im Studium häufiger auf das Phänomen hingewiesen, ohne dass dafür eine Erklärung gegeben wurde, und eine solche Erklärung findet man auch nicht in der Fachliteratur - zumindest habe ich dort bisher nichts gefunden.“

3.5.2 Fibonacci-Zahlen in der Tierwelt

Die Natur erschafft immer wieder neue Beispiele mathematischer Muster, darunter auch Spiralen. Ein Beispiel hiefür ist die gleichwinklige oder logarithmische Schale (vgl. 3.5.1.1) des gekammerten Nautilus (vgl. Abb. S. 21). Die vom Zentrum ausgehenden Radien (weiß) schneiden im Gehäuse eines Nautilus die Linien der Spiralen (schwarz) immer im gleichen Winkel (vgl. Bild unten). In der unteren Abbildung sind die Winkel A, B, C gleich groß.

⁵⁶ Bergamini, David: Die Mathematik, S. 93

⁵⁷ Stewart, Ian: Die unscheinbare Schwester der goldenen Zahl, S. 55

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Der bekannte italienische Mathematiker Jacob Bernoulli (1655-1705), der zur Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Bernoulli-Verteilung) beitrug, war von diesen Spiralen so fasziniert, dass er sie „spira mirabilis“ taufte, was so viel wie „Wunderspirale“ bedeutet. Nach seinem Wunsch wurde die Spirale mit der Inschrift „eadem mutata resurgo“ („Verwandelt kehr ich als dieselbe wieder“) auf seinen Grabstein verewigt. Leider unterlief dem Steinmetz ein kleiner Fehler, weshalb man heute auf dem Grabstein, den man in Basel besichtigen kann, nur eine archimedische Spirale finden kann, für die keine der Eigenschaften der logarithmischen Spirale zutrifft.

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Schlusswort

Das scheinbare Vorkommen der Fibonacci-Zahlen in verschiedenen Bereichen der Naturwissenschaften sowie im alltäglichen Leben lässt den Gedanken zu, anzunehmen, dass sich die Evolution einer Gesetzmäßigkeit unterwirft, nach der die Natur eingerichtet ist. Einerseits sind die Ergebnisse nachvollziehbar und logisch, wie die Annahme, dass sich unser Sternenhimmel nach einem Prinzip aufbaut, das sich an die Fibonacci-Zahlen anlehnt oder die Tatsache, dass sich im Laufe der Evolution diese Zahlenreihe ein fester Bestandteil im Pflanzenwachstum wurde, was aber bis heute noch relativ unerforscht ist. Andererseits kommt man nicht von dem Gedanken ab, dass sich in der Evolution zufällig Muster ergeben können, da man das Aufkommen der Fibonacci-Zahlen zwar sehen, aber das „Warum“ bisher noch nicht geklärt werden konnte.

Die Fibonacci-Zahlen versichern dem Betrachter in gleichen Anteilen Faszination und Rätsel. Meine Facharbeit soll genau diesen Zustand vermitteln: Ich habe versucht durch klare Rechnungen und Beispiele aufzuzeigen, in welchen Bereichen des Lebens die Fibonacci-Zahlen ein zentrales Thema darstellen, jedoch sollte auch die Tatsache durchdringen, dass die Wissenschaft noch keine lückenlose Erklärung für diese Phänomene abgeben konnte.

Bei diesem Gedanken schweift man schnell von einer klaren wissenschaftlichen Betrachtung des Problems ab. Man fragt sich, ob es nicht andere Beweggründe gibt, die den Verstand und die Sinneswahrnehmung des Menschen weit überschreiten. Allgemein kann man sagen, dass es der heutigen Wissenschaft um ein Naturbild, statt um ein Weltbild geht. In der Naturwissenschaft erkennt man einen methodischen Agnostizismus („Theologische Lehre, die eine rationale Erkenntnis des Göttlichen oder Übersinnlichen leugnet“ ⁵⁷ ), d. h., dass sich die Wissenschaft „nur“ noch mit dem Erkennbaren auseinandersetzt, obwohl man gesteht, dass es vielleicht noch andere, nicht wahrnehmbare Kräfte geben könnte. Dieser Gedanke des „Sehens“ und „Nicht-Sehen-Könnens“ wird in dem so genannten Höhlengleichnis nach Plato dargestellt: „Die Situation des Menschen gleiche der von Gefangenen, die in einer Höhle mit dem Rücken zum Eingang angekettet seien. Von allem, was sich vor der Höhle abspiele,

⁵⁷ Drosdowski, Günther: Duden Fremdwörterbuch, S. 39, (s. Begriff „Agnostizismus“)

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bekommen sie nur die Schatten zu Gesicht, die von dem Höhleneingang auf die ihnen gegenüberliegende Wand geworfen würden. Diese Schatten aber hielten die Menschen für die Wirklichkeit selbst.“ ⁵⁸ Anhand dieser Überlegung kann man festhalten, dass die Wirklichkeit, wie wir sie wahrnehmen, nicht die Darstellung der Realität ist. Der Mensch könnte mehr über die Welt erfahren, wenn er sich umdrehen könnte. Nach Immanuel Kant (1724-1804) wird aber der Mensch nie in der Lage sein, dies zu erreichen.

Im Zuge der Fibonacci-Zahlen konnte man auf ein ähnliches Problem wie im Höhlengleichnis stoßen. Für das Vorkommen der Fibonacci-Zahlen gibt es eindeutig erkennbare Spuren und „Schatten“, jedoch ist der Mensch nicht in der Lage, die Ursache für diese zu finden, da er nicht fähig ist und nie fähig sein wird, sich „umzudrehen“, d. h. über die sichtbare Realität hinausblicken zu können.

⁵⁸ Schneider-Koenig, Michael: Wie wirklich ist die Wirklichkeit?, Arbeitsblatt 21.11.2006 im Gk Religion 2k1

42

An  nh ha an ng g A  

Zahn  , Ulf: Diercke Weltatlas, Westermann, Braunschweig, 1996 , S  104

Quellennachweis

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Matthias: Duden Fremdwörterbuch, Mannheim,

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Ich erkläre hiermit, dass ich die Facharbeit ohne fremde Hilfe angefertigt und nur die im Literaturverzeichnis angeführten Quellen und Hilfsmittel