Mit diesen vier Zahlenmengen stößt man allerdings bald an die Grenze der Definitionsmenge, wenn es darum geht, aus einer negativen Zahl die Wurzel zu ziehen. Wenn wir beispielsweise die Gleichung x² + 1 = O (Tafelanschrift) betrachten, erhalten wir das Ergebnis x² = -1 (Tafelanschrift). Dies ist keine reelle Lösung, weil das Quadrat einer reellen Zahl stets größer oder gleich Null ist, wir alle wissen 0² = 0, (-2)² = + 4. Um den komplexen Sachverhalt, dass aus einer negativen Zahl die Wurzel zu ziehen ist, mathematisch weiterführen zu können, wurde die Menge der reellen Zahlen um die Menge der komplexen Zahlen erweitert. Das Mengenzeichen für die neu entstandene Menge der komplexen Zahlen ist C (Tafelanschrift).

Nehmen wir nun unser vorheriges nicht definiertes Ergebnis x² = -1 und lösen wir dieses durch Wurzelziehen nach x auf, dann erhalten wir zwei formale Lösungen, und zwar: − ± − ist wie folgt definiert: x 1/2 = (Tafelanschrift). Dieser Ausdruck 1 1

− heißt imaginäre Einheit und wird durch das Symbol i „Der formale Wurzelausdruck 1 gekennzeichnet − . i = 1

Das Quadrat der imaginären Einheit i ist die reelle Zahl -1 i² = -1.“

Die Lösung unserer obigen Gleichung x² + 1 = 0 lautet unter Beachtung dieser imaginären Einheit i demnach: x 1/2 = ± i (Tafelanschrift).

Würden wir dieses Ergebnis ausführlicher darstellen wollen, müssten wir schreiben: x 1/2 = 1 • i (Tafelanschrift). Mit dieser Schreibweise haben wir eine so genannte imaginäre ±

Zahl erhalten. Eine imaginäre Zahl lässt sich wie folgt definieren:

Unter einer imaginären Zahl bi versteht man das formale Produkt aus der reellen Zahl b, die nicht null sein darf, und der imaginären Einheit i.

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Jetzt kennen wir also die imaginäre Einheit i und die imaginären Zahlen, aber noch nicht die komplexen Zahlen. Am Besten beginnen wir wieder mit einem Beispiel, und zwar mit der quadratischen Gleichung x² - 4x + 13 = 0 (Tafelanschrift). Um diese Gleichung lösen zu können müssen wir in die bekannte Formel einsetzen. Wir erhalten zuerst x 1/2 = ( )

2 ± x 1/2 = (Tafelanschrift). 3 i

2 ± Das formale Ergebnis x 1/2 = beinhaltet wieder eine imaginäre Zahl, nämlich 3i, aber 3 i

auch die reelle Zahl 2. Solche Lösungen, die in Form einer algebraischen Summe aus einer reellen Zahl und einer imaginären Zahl bestehen, bezeichnet man als komplexe Zahlen. Komplexe Zahlen besitzen also einen Realteil, nämlich die reelle Zahl, und einen Imaginärteil, nämlich die imaginäre Zahl. Die genaue Definition lautet:

Unter einer komplexen Zahl z versteht man die formale Summe aus einer reellen Zahl x und einer imaginären Zahl yi: z = x + yi.

Jetzt können wir auch die Aufstellung der Zahlenmengen vervollständigen. Die Zahlenmenge C der komplexen Zahlen ist definiert mit { z | z = x + yi; x, y ∈ R } (Tafelanschrift).

Ein Sonderfall einer komplexen Zahl liegt vor, wenn:

a) entweder der Realteil der komplexen Zahl null ist wir würden somit eine rein imaginäre Zahl erhalten

b) oder der Imaginärteil der komplexen Zahl null ist wir würden somit eine rein reelle Zahl erhalten

Die allgemeine Schreibweise z = x + yi bezeichnet man als die Normalform einer Komplexen Zahl. Andere Namen für diese Schreibweise sind Algebraische oder Kartesische Form. Daneben kann man komplexe Zahlen noch in Trigonometrischer Form, in Exponentialform und in Polarform darstellen, für uns sind diese Darstellungsformen allerdings nicht von Belang.

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Jetzt stellt sich natürlich die Frage, wo können komplexe Zahlen dargestellt werden, denn der Zahlenstrahl ist ja, wie schon gesagt, bereits durch die reellen Zahlen lückenlos gefüllt. Diese Frage hat sich auch der Mathematiker Carl-Friedrich Gauß gestellt und ist zu folgender Lösung gelangt: Der Zahlenstrahl, den man als X-Achse bzw. reelle Achse betrachten kann wird um eine Y-Achse bzw. imaginäre Achse erweitert. Das damit entstandene Gebilde nennt sich Gaußsche Zahlenebene. Wie in allen anderen Ebenen, kann auch jeder Punkt in der Gaußschen Zahlenebene durch zwei Koordinaten bestimmt werden. Der reelle Anteil einer komplexen Zahl entspricht der X-Koordinate, der imaginäre Teil als Vielfaches von i der Y-Koordinate. Eine komplexe Zahl in der Normalform zu schreiben ergibt hier somit seinen Sinn. Übertragt man das Ergebnis aus unserer Beispielgleichung x² - 4x + 13 = 0 in die Komplexe Ebene, erhält man folgende Diagramme:

Wie zu erkennen ist, gibt es in der Gaußschen Zahlenebene zwei geometrische Darstellungsarten von komplexen Zahlen: entweder als Bildpunkt P(z), wie im oberen Schema zu sehen ist, oder mit einem so genannten Zeiger. Diese zweite, bildliche Darstellung einer komplexen Zahl findet in Form eines Pfeils statt, der vom Koordinatenursprung aus zum Bildpunkt gerichtet ist. Wichtig ist, dass der Zeiger auf keinen Fall mit einem Vektor verwechselt werden darf, da Zeiger und Vektor unterschiedlichen Rechengesetzen unterliegen.

Wenn schon von Rechengesetzen die Rede ist, will ich natürlich auch noch ansprechen, wie man mit komplexen Zahlen rechnen kann. Auf die Zahlenmenge C lassen sich wie bei den reellen Zahlen die vier Grundrechenarten anwenden. Da aber die reellen Zahlen ein Sonderfall der komplexen Zahlen sind, müssen die vier Grundrechenarten so festgelegt werden, dass reelle und komplexe Zahlen den gleichen Grundgesetzen genügen.

Für Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen gilt:

Realteil und Imaginärteil werden jeweils für sich addiert bzw. subtrahiert. z. B.: z 1 = 2 + i3; z 2 = 4 + i2 z 3 = z 1 + z 2 = (2 + 4) + i (3 + 2) = 6 + i5

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