Die vorletzten
Geheimnisse
der Vierecke, Pyramiden und
des Unendlichdimensionalen
www.wehrle-formeln.net
B
B
e
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i
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t
t
r
r
a
a
g
g
z
z
u
u
m
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M
M
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t
t
h
h
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j
j
a
a
h
h
r
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2
2
0
0
0
0
8
8
>>> Der HORIZONT der meisten Menschen
ist ein Kreis mit dem Radius Null,
den sie ihre Meinung nennen! <<<
A. Einstein
Geometrie in allen Dimensionen
3
Jahr der Mathematik
2008
Vorwort
Mathematik ist die Liebe zur Weisheit, die Philosophie des Unendlich-
Vielfältigen. Daher ist es auch kein Wunder, dass
der erste Philosoph
, -
wie Aristoteles sagte -, auch ein Mathematiker ist, nämlich
Thales
von Milet
(etwa 625 - 547 v. Chr.), der die Sonnenfinsternis vom 28. Mai 585 v. Chr.
richtig vorhersagte.
Unter den alten Geometern finden sich der um 600 v. Chr. geborene, von
der Schule her so bekannte Pythagoras, der eine geheime Bruderschaft
gründete; Zenon von Elea (490-430), der mit scharfsinnigen Paradoxien
durch reine Überlegung schon der ,,Quantennatur der Geometrie" auf die
Schliche kam; Platon (427-347), ein Schüler Sokrates, der nur den Ideen
eigentliche Realität zusprach, und unsere Sicht der Welt im Höhlengleichnis
als nur schattenhaft erkannte; der um 300 v. Chr. in Alexandria lebende
Euklid, der schließlich das erste axiomatisch aufgebaute 13-bändige
mathematische Werk verfasste, nach dessen Geometrie noch heute alle
Schüler unterrichtet werden, - nur das Beweisen scheint heute an den
Schulen außer Mode gekommen zu sein; Archimedes von Syrakus (287? -
212), der nicht nur die Kreiszahl , sonder beispielsweise auch äußerst
elegant das Kugelvolumen berechnete; und die vielen anderen, wie etwa der
Erdvermesser Eratosthenes von Kyrene (284-202) oder Diophantos.
Alle Gelehrten und Kosmologen beschäftigten sich mit dieser abstrakten
Welt der Zahlen und des Raumes, angefangen von Aristarchos von Samos
(320-250), der als erster das heliozentrische Weltbild lehrte, nachdem sich
die Erde um die Sonne dreht, bis hin zu dem im 2. Jahrhundert nach
Christus in Alexandria lebenden Claudius Ptolemäus, dessen geozentrisches
Weltbild sich für Jahrhunderte durchsetzen sollte, (- würde sich nicht jede
Fliege als Mittelpunkt der Welt betrachten? -), bis 1543 Kopernikus und dann
ab 1605 Kepler und schließlich Galilei (der 1633 wegen der Inquisition
widerrufen musste) uns endgültig eines besseren belehren sollten.
Geometrie in allen Dimensionen
4
Jahr der Mathematik
2008
Allerdings geriet das gesamte griechische Wissen für ein Jahrtausend in
völlige Vergessenheit und ist uns nur über den Umweg muselmanischer
Übersetzungen überhaupt erhalten geblieben. Die Mörder HYPATIAs
1
scheinen nicht nur eine Mathematikerin, sondern mit ihr zugleich die
gesamte Mathematik ermodert zu haben! Das römische Imperium konnte
zwar nicht ohne Kriege, wohl aber ohne Mathematiker bestehen, und das
auch noch länger als jedes andere der Welt!
In unserer heutigen Zeit existiert das sog. >>Werte-Paradoxon
2
<<, was
besagen will, dass, obwohl wir alle zwar die modernste Technik z.B. für
Handies, Autos, TV und Computer benutzen, das Ansehen und der
Stellenwert der entsprechenden Wissenschaften und Techniken sich aber am
Ende der Wichtigkeitsskala ansiedelt, währen die Spitzenpositionen z.B. vom
Sport wie Fußball oder durch Filmschauspieler (die wie Reagan sogar
Präsident werden können) besetzt werden. Speziell für die Mathematik gilt
sogar, dass man sich mit deren ,,Unkenntnis" beliebt machen kann, denn
einige Politiker erklären öffentlich, dass sie >>in Mathe nie gut
waren<<, während keiner es je wagen würde, dasselbe vom Fach
Deutsch zu behaupten!
1
Hypatia von Alexandria (etwa 370 -415), Tochter Theons, verfasste ein 13-bändiges
Werk zu der "Aritmetica" des Diophant (dem "Vater der Algebra") und eine achtbändige
Abhandlung zu den Kegelschnitten des Apollonius von Perge. Für weitere Informationen:
www.britannica.com/eb/article-9041785/Hypatia
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Theon.html
http://www.frauen-informatik-geschichte.de
2
R. Biehler, R. W Scholz, R. Straßer, B. Winkelmann
,,Didactics of mathematics as a scientific discipline.pdf"
Mathematics Education Library, Klumer Academic Publishers,
Morgan Niss´analysis: "Paradox of relevances" auf Seite 331
Geometrie in allen Dimensionen
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Jahr der Mathematik
2008
Das erste Buch des Beitrags zum Jahr der Mathematik 2008 lieferte die
,,vorletzten" Geheimnisse des Dreiecks. Es beginnt mit einer wohl
altbekannten und doch unbekannten Formel, dass nämlich das Produkt der
Dreiecksseiten dividiert durch dessen Summe (auch Umfang genannt)
gleich dem doppelten Produkt seiner beiden Radien des In- und
Umkreises ist, was ich als Wehrle-Zahl des Dreiecks bezeichne. Im
rechtwinkligen Dreieck ist Summe der kleineren Seiten (auch Katheten
genannt) um den Inkreisdurchmesser größer als seine größte Seite (auch
Hypotenuse genannt), und die Summe der am rechten Winkel
anliegenden Seiten ist gleich der Summe der Durchmesser vom In-
und Umkreis. Wissen sie, dass der Inkreis eines rechtwinkligen Dreiecks
die Hypotenuse in einem Punkt berührt, der diese in zwei Abschnitte teilt,
deren Produkt die Fläche des Dreiecks ist?
Wissen Sie, dass das halbe Produkt dieser zwei Seiten, - die Dreiecksfläche
also-, gleich der Summe der Wehrle-Zahl und dem vierten Teil der Wehrle-
Zahl der Differenzen ist: A = w + ¼w*
(Dieser letztere ,,Differenzen-Wehrle" ist das Quadrat des Durchmessers des
Inkreises!).
Dann kommen wir auf die Rationalität von Dreiecken zu sprechen, d.h. dass
seine Fläche, alle Höhen, der In- und Umkreisradius sowie die Sinuswerte
aller drei Winkel durch Quotienten natürlicher Zahlen darstellbar sind, also
keine Wurzelausdrücke enthalten.
Sie kennen das kleinste, rationale rechtwinklige oder gleichschenklige
Dreieck mit natürlichen Seitenlängen, aber kennen Sie auch das kleinste,
nicht-rechtwinklige, rationale Dreieck, das aus nur natürlichen
verschiedenen Seitenlängen besteht?
Kennen Sie die trigonometrischen Wehrles, dessen zu den drei Winkeln
gehörendes trigonometrische Produkt durch deren trigonometrische Summe
geteilt wird: Den Sinus-Wehlre, den Cosinus-Wehrle, den Tangens- und
Cotangens-Wehrle, den Quadrat-Sinus-Wehrle oder den Halbwinkel- und
Geometrie in allen Dimensionen
6
Jahr der Mathematik
2008
Doppelwinkel-Sinus-Wehrle, oder die entsprechenden trigonometrischen
Differenzen-Wehrles? Und was stellt eigentlich das Titelbild dar?
Zum Ende des ersten Kapitels kommen wir schließlich ausführlicher auf die
Kreisspiegelung und auf einen Kreis zu sprechen, dessen Radius halb so groß
ist wie der Radius des Umkreises. Es ist der Neunpunktekreis, mit dem Karl
Feuerbach gegehrt wird. Beim rechtwinkligen Dreieck berührt dieser sowohl
den In- und Umkreis, als auch alle drei Ankreise. Wir spiegeln dann zuerst
am Inkreis und schließlich am Feuerbachkreis selbst, der dann nicht nur alle
Spiegelbilder der Dreieckskreise und des In- und Umkreises berührt,
sondern auch noch alle drei Bilder der drei Ankreise, die ebenfalls noch die
Bildkreise der Seiten der drei Dreiecksseiten berühren!
Schließlich kommen wir auf die zweite Eulergerade des Dreiecks und
deren zusätzliche Punkte zu sprechen, den Spieker- und Nagelpunkt, die sich
im ,,Gravitationszentrum" S scheiden. Der Spiekerpunkt ist das
Inkreiszentrum des Mittendreiecks und halbiert die Strecke der beiden
äußersten Punkte dieser zweiten Eulergeraden: Inkreismitte und
Nagelpunkt. Wir bewundern dann die durch den zentralen, - den beiden
Eulergeraden gemeinsamen -, Schwerpunkt S gebildeten zentrischen
Streckungen, die den Höhenschnittpunkt auf die Inkreismitte, die
Umkreismitte auf den Spiekerpunkt abbilden und den Exeterpunkt auf ,,den
Nagel treffen"!
Von den besonderen Kreisen des Dreiecks gibt es einige: Die Tuckerkreise
(wie der Cosinuskreis, der LEMOINE-Kreis und der TAYLOR-Kreis), die
Malfatti-Kreise, die Miquel-Kreise und die Brocard-Kreise. Kennen Sie
auch den sehr interessanten Fuhrmannkreis, den Umkreis des an den
Seiten gespiegelten Bogenmittendreiecks. Er geht durch den Nagel- und
Höhenschnittpunkt, die seinen Durchmesser bilden, und sein Radius ist die
Entfernung der beiden In- und Umkreiszentren. Das Zentrum des
Feuerbachkreises ist vom Zentrum des Fuhrmannkreises genau so weit
entfernt, wie der kolineare Inkreismittelpunkt, und sie ist halb so groß wie
die Entfernung des Umkreismittelpunkts zum Nagelpunkt. Die Differenz des
Geometrie in allen Dimensionen
7
Jahr der Mathematik
2008
Umkreisradius und des Inkreisdurchmessers sagt uns, wie weit die Zentren
von Inkreis und Fuhrmannkreis voneinander entfernt sind. Auch der
Spiekerpunkt ist vom Umkreiszentrum gleich weit entfernt wie die
Feurbachsche Mitte. Auch diese drei Punkte liegen auf einer Geraden, sind
also kolinear! Und der Spiekerpunkt ist vom Feurbachzentrum halb so weit
entfernt wie der Nagelpunkt bzw. Höhenschnittpunkt vom
Furmannkreismittelpunkt, wobei beide Strecken noch dazu parallel sind und
auch parallel zur wichtigsten Verbindung, nämlich derjenigen der beiden
Zentren des Um- und Inkreises. Und zu alledem liegt auch noch der
Thebaultpunkt des Dreiecks auf dem Fuhrmannkreis.
A propos Thebaultpunkt. Von den über zweitausend merkwürdigen Punkten,
die inzwischen entdeckt wurden, betrachten wir dann nur noch einige
wichtige, nämlich die von Fermat, Gergonne, Napoleon, Kosnita, Malfatti und
noch die auf der Eulergeraden liegenden von Schiffler und Lemoine.
Kennen Sie übrigens den Satz von CEVA, mit dem man die Existenz vieler
solcher Schnittpunkte beweisen kann, und der früher noch in den
höheren Lehranstalten unterrichtet wurde, heutzutage aber vielen
unbekannt ist, obwohl die Alten Griechen schon etwa 80 n. Chr. den Satz
des Menelaos kannten!
Geometrie in allen Dimensionen
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Jahr der Mathematik
2008
Das zweite Buch ist dann zunächst dem Viereck gewidmet. Wissen Sie,
welche Vierecke außer dem Quadrat einen In- und Umkreis haben, oder
kennen Sie deren doppeltes Radienprodukt? Kennen sie rationale
Kreisvierecke, oder rationale Sehnenvierecke mit natürlichen Seitenlängen?
Kennen Sie auch die trigonometrischen Wehrles für Sehnenvierecke oder
Drachen?
Im zweiten Kapitel begeben wir und weg von der Ebene in den 3D-Raum.
Jeder kennt den Satz des Pythagoras, aber wie heißt der dreidimensionale
Satz des Pythagoras?
Wissen Sie, welche rechtwinklige Pyramide den Inkugelradius r = 1 und
dabei noch natürliche Kantenlängen hat?
Und was gilt für das Radienprodukt bei der Pyramide? Wissen Sie, wie man
das Volumen und den Umkugelradius einer Pyramide nur über die
Kantenlängen berechnet?
Sicherlich kennen Sie auch das Radienprodukt für die In- und Umkugel für
den allgemeinen Tetraeder noch nicht, wobei zur Berechnung nur die
Kantenlängen der Pyramide verwendet werden!
Wussten Sie, dass bei einer Vieleckspyramide mit gleichen Kantenlängen l
an der Spitze und deren Abstand zur Grundfläche (auch Körperhöhe genant)
halb so groß ist wie die Seitenkanten, der Umkugelradius R gerade diese
Kantenlänge R = l ist? Und dass man für jede andere Höhen h das Quadrat
der gleichlangen Seitenkantenlänge nur durch das Doppelte dieser Höhe
teilen muss, um den Umkugelradius R zu erhalten?
Im letzten Kapitel machen wir den Hypersprung bis ins Unendliche.
Geometrie in allen Dimensionen
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Jahr der Mathematik
2008
Wollen Sie wie Einstein in höhere Dimensionen aufsteigen?
Wissen Sie, dass sich der Inhalt einer n-dimensionalen Kugel (auch
Volumen genannt) zu ihrer Begrenzungs-Hyperfläche (Rand-Hyperfläche
oder ,,Oberfläche") sich wie ihr Radius zur Dimension des Raumes verhält?
Kennen Sie das Volumen einer vierdimensionalen Kugel oder, - ganz
allgemein -, das einer n-dimensionalen Sphäre? Wollen Sie verstehen,
warum diese Hypersphären im unendlich-dimensionalen Raum komplett
verschwunden sind und was das bedeutet?
Im Anhang finden Sie dann Beweise und Beiträge von Arno Fehringer,
dem ich besonderen Dank schulde. Ohne seine mathematischen Anregungen
wäre das Buch nicht entstanden!
Geometrie in allen Dimensionen
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Jahr der Mathematik
2008
I N H A L T S V E R Z E I C H N I S
Vorwort
3
I N H A L T S V E R Z E I C H N I S 10
E
E
E
R
R
RS
S
ST
T
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S
K
K
K
A
A
AP
P
PI
I
IT
T
TE
E
EL
L
L
:
:
:
Kreisvierecke 13
A = ( abcd )
14
r = (2abcd)/(a+b+c+d) ,
R = [(ab+cd) (ac+bd) (ad+bc)] / 4abcd)
2rR = [(ab+cd) (ac+bd) (ad+bc)] / (a+b+c+d )
15
Sehnen- und Tangentenvierecke
16
für das SV: R = [(ab+cd) (ac+bd) (ad+bc)] / 4A
für das TV: r = [(ef)² - ¼(a²-b²+c²-d)²] / (a+b+c+d)
Ptolomäus e : f = sin : sin = (ad+bc)/(ab+cd)
16
Der Drachen-Wehrle
w( sin i ) = sin² / {2( sin +1)} = a²b²/ [2(a4+a³b+2a²b²+ab³+b4)]
22
Rechtwinklige Drachen
2rR = abc / (a+b)
R= ½c = ½(a²+ b²), r = ab/ (a+b) 24
Radienprodukt für Kreistrapeze
26
e=f = ½(a²+6ac+c²), (2r)² =ac, R = (a+c)(a²+6ac+c²) / (ac)
2rR = (a+c)(a²+ 6ac + c²)
26
Rationale Vierecke mit natürlichen Seiten
Zu einem rationalen Sehnenviereck gehört ein rationales Tangentenviereck und umgekehrt 27
Geometrie in allen Dimensionen
11
Jahr der Mathematik
2008
Kapitel II: Pyramiden
31
Das Analogon zum rechtwinkligen Dreieck:
Der dreidimensionale Pythagoras
33
Inkugelzentrum
Mi = (r; r; r), r= 3V /O 35
Umkugelzentrum Mu = (a/2; b/2; c/2) 35
R = ½ (a
2
+b
2
+c
2
) 36
r
rechtwinkliger Tetraeder
= abc / [(ab+ac+bc)+(a²b²+a²c²+b²c²)] 39
r
rechtw. Pyramide
= [(ab+ac+bc) -(a²b²+a²c²+b²c²)] / 2(a+b+c) 39
4rR =[ab+ac+bc-(a²b²+a²c²+b²c²)] (a²+b² +c²) / (a+b+c) 41
Die Entfernung der Zentren
42
|M
i
M
u
| = [R
2
+ 3r
2
- (a+b+c)r ]
42
Die Fehringer-Formel
43
8rR = [(ad+be+cf) (-ad+be+cf) (ad-be+cf) (ad+be-cf)]/ / O
43
mit O = Ai (für i=1 bis 4)
43
2rR = l² Aabc / O
44
R = l² / (2hK)
45
Kapitel: n- und unendliche Dimensionalität
46
Die Inhyperkugelmitte
46
Satz des Pythagoras im n-Dimensionalen
47
Das allereinfachste Gebilde, genannt SIMPLEX
49
Geometrie in allen Dimensionen
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Jahr der Mathematik
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lim
(n ->)
r
n /
R
n
= lim
(n ->)
1/n = 0 49
Volumen der unendlich-dimensionalen Kugeln
51
Vn = r
n
½n
/ (n/2)!
51
0n= n r
n-1
½
n
/ (½n)!
51
lim
(n ->)
V
n
= 0
52
Schlussfolgerung 55
ANHANG:
Übungsaufgaben zum Kapitel Viereck: 60
Übungsaufgaben zu Pyramiden: 64
Arno Fehringer
:
Um- und Inkugelradien am allgemeinen Tetraeder
67
Skalar-, Vektor- und Spatprodukt,
74
Inhalt von 1-, 2-, 3- und höherdimensionalen Parallelotopen und
Simplices, Cayley-Menger-Determinante
74
Vektorprodukt 75
Spatprodukt 79
Inhalt des Tetraeders bzw. 3-dimensionalen Simplex 79
Inhalt der Strecke bzw. des 1-dimensionalen Simplex
82
Inhalt von Parallelotopen 83
Inhalt von Simplices 85
Die Cayley-Menger-Determinate 86
LITERATUR-Hinweis: 89
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Jahr der Mathematik
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E
E
E
R
R
RS
S
ST
T
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E
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S
S
K
K
K
A
A
AP
P
PI
I
IT
T
TE
E
EL
L
L
:
:
:
Kreisvierecke
Das Radienprodukt für Kreisvierecke ist schon etwas komplizeirter als die
Wehrle-Formel für Dreiecke des ersten Buchs der Vorletzten Geheimnisse:
2rR = [(ab+cd) (ac+bd) (ad+bc)] / (a+b+c+d )
Aber nicht jedes Viereck hat einen alle Seiten berührenden Inkreis, wie etwa
die Raute oder der Drachen, und/oder einen durch alle Ecken verlaufenden
Umkreis, wie das Achsentrapez oder das Rechteck. Man nehme ein
Rechteck, schneide es längs der Diagonalen auf und setze es umgedreht
wieder zusammen, und schon hat man ein Viereck mit In- und Umkreis!
Abb. 1: Das spezielle gleichschenklige Trapez
mit dem arithmetischen Mittel der parallelen Seiten als Schenkellänge
und der rechtwinklige Drache sind
die einfach-achsensymmetrischen Kreisvierecke
Vierecke mit einem Inkreis heißen Tangentenvierecke. Für sie ist w* = 8w,
während für Vierecke mit einem Umkreis
3
ist
3
Fläche eines Vierecks A =¼
[
(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)-16abcd cos² ½(+)]
http://www.gogeometry.com/circle/brahmagupta_extension.htm
Geometrie in allen Dimensionen
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Jahr der Mathematik
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w* = [
(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)] / 2(a+b+c+d) =
16A²/ (2u)
ist, und somit wird A² = wu = abcd.
Abb. 2: Das Kreistrapez im Hintergrund hat die natürlichen
parallelen Seiten 8 und 10 mit den Schenkeln 9;
r = 25 4,47 und R = 9/8 (161/5) 6,39
Der Abstand d muss der Formel (R - d)-² + (R + d)-²= r-² genügen!
Hier ist der Abstand der Zentren etwa 0,503
Für Kreisvierecke
4
, die sowohl einen Inkreis (Tangentenviereck) als auch
einen Umkreis (Sehnenviereck) haben, ergibt sich eine Formel für den
Flächeninhalt als Wurzel aus dem Produkt der vier Seiten a, b, c und
d:
A = ( abcd )
Für Sehnenvierecke wird sie maximal, das der Cosinus der halben Gegenwinkelsumme dann
verschwindet. D
ie Fläche des SV ist somit A={(½u-a)(½u-b)(½u-c)(½u-d)} was für zB.
d=0 die sog. Heron-Formel des Dreiecks beinhaltet!
http://www.gogeometry.com/circle/brahmagupta_formula.htm
4
Für Kreisvierecke gilt auch gilt r (4R - u ) = (2R - ½u ) - 2r u (Enzyklopädie
E.Weissstein)
Geometrie in allen Dimensionen
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Jahr der Mathematik
2008
Abb. 3: Kleiner und großer Abstand d der Kreiszentren
Der Inkreisradius ist
r = (2abcd)/(a+b+c+d) ,
wobei im Nenner der Vierecksumfang u = a+b+c+d steht. Allgemein gilt für
ein einem Kreis einbeschriebenes n-Eck A=½ur. Im n-Dimensionalen wird
entsprechend der ,,Rauminhalt" V
n
= O
n
r /n (wobei O
n
die Größe der
Begrenzung des SIMPLEX mit n+1 Ecken oder eines einer Inhyperkugel
einbeschriebenes n-dimensionalen Polytops ist).
Der Abstand d der Zentren des Inkreises mit Radius r und des Umkreises
mit Radius R muss für jedes Kreisviereck der Formel
(R - d)-² + (R + d)-²= r-²
genügen
5
!
5
Für einen Beweis siehe Ulrike Herr: Über das Theorem von Poncelet.
Staatsexamensarbeit Gutenberg-Uni Mainz, (Aug. 2000)
Geometrie in allen Dimensionen
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Jahr der Mathematik
2008
Sehnen- und Tangentenvierecke
Das Verhältnis der Diagonalen ist gleich dem der Sinuswerte der zwei Winkel
a und ß (Beachte: sin = sin (180º-)= sin und analog ist sin ß = sin
(180º- ). Im Sehnenviereck ist ja die Summe der Gegenwinkel gleich +
= ß+ =180º, während im Tangentenviereck die Summe der Gegenseiten
gleich sein muss: a+c = b+d (die Umkehrungen gelten ebenfalls!).
Weil die Umfangswinkel über gleichen Sehne gleich sind, ergibt sich mit
sin = sin (180º-)= f/2R und sin = e/2R
das Verhältnis der Diagonalen als Sinusverhältnis:
e : f = sin : sin = (ad+bc)/(ab+cd)
6
Abb. 4: Das Diagonalenverhältnis beim Sehnenviereck ist
e/f = sin(x)/sin(y) für x, y von 0 bis
Die Mitte des Sattels ist das Quadrate mit x = y= ½ (oben)
6
Nach einer Formel des Inders Brahmagupta (598-660) siehe Anhang
Geometrie in allen Dimensionen
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Jahr der Mathematik
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Abb. 5: e/f = sin(x)/sin(y) für x, y von 0 bis 2
Das Produkt der Diagonalen e und f beim Sehnenviereck ist nach
Ptolemäus
7
gerade die Summe der Gegenseitenprodukte
8
ef= ac+bd
Für das Sehnensechseck kann man übrigens den Satz des Ptolemäus
erweitern
9
: Sind a, b, c, d, e und f die Sechseckseiten, wobei (a, d), (b, e)
und (c, f) die Gegenseitenpaare sind, dann gilt für das Diagonalenprodukt
der drei Diagonalen g, h und i, die keine Ecke gemeinsam haben, und g mit
a und d keine Sechseckecke teilt, h mit b und e und i mit den Seiten c und f
gemeinsame Ecken haben ghi = abc + def + adg + beh + cfi
7
Claudius Ptolemäus (85-165), de Erfinder des geozentrischen Epizyklen-Weltbilds
Schöne Darstellung http://www.gogeometry.com/eqilic/cyclic_Ptolemy_theorem.html
8
Für andere Vierecke ist das Diagonalenprodukt kleiner, nur beim Sehnenvierecke ist das
Diagoanlenprodukt maximal, d.h. gleich der Summe der Gegenseitenprodukte.
9
Enzyklopädie der M. von Eric W. Weisstein, CRC-Press 1999
Geometrie in allen Dimensionen
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Jahr der Mathematik
2008
Abb. 6:
Der Sinus-Wehrle für Sehenvierecke
sin(x)*sin(y)*sin(PI-x)*sin(PI-y) / [sin(x)+sin(y)+sin(PI-x)+sin(PI-y)]
Der Umkreiskreisradius R eines einbeschriebenen Sehnenvierecks ist
10
R = [(ab+cd) (ac+bd) (ad+bc)] / 4A,
Für Kreisvierecke gilt somit R =
¼
{[(ab+cd) (ac+bd) (ad+bc)] / (abcd)}
Der Radikand der Zähler-Wurzel (ab+cd) (ac+bd) (ad+bc) ist gleich dem
Produkt je zweier Diagonalenpaare e und f, e' und f' bzw. e'' und f'' der drei
verschiedenen Realisierungs-Möglichkeiten, ein Sehnenviereck mit den vier
Seiten a, b, c und d darzustellen
(Abb. 7)
.
(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc) = e f e`f` e``f``
Die Flächen sind dabei gleich groß, denn jede Sehne bildet mit dem
Umkreismittelpunk einen der vier Kreissektoren, die man auf drei Arten zum
ganzen Kreis zusammenfügen kann (Kuchenstückmodell). Diese drei
verschiedenartige Ausführungen für die vier gegeben Seiten haben
genau denselben Flächeninhalt
11
, denn die vier von den Seiten als Sehne
erzeugten Küchenstücke oder Kreissektoren des SV (bzw.
,,Tangentensektoren" beim TV) fügen sich eben auf vier verschieden Weisen
10
Für einen Beweis sieh z.B. http://mathworld.wolfram.com/BrahmaguptasFormula.html
11
Die Fläche ist übrigens maximal für gegebene vier Seitenlängen.
Geometrie in allen Dimensionen
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Jahr der Mathematik
2008
zum ,ganzen Kuchen' zusammen, bzw. als Ganzes zum Vollkreis
umfassenden Tangentenviereck (
Abb. 8
).
Jedes Sehnenviereck lässt sich dadurch, da die Tangenten senkrecht auf
dem Berührradius (Verbindung der Berührpunkte zum Kreiszentrum M
u
)
stehen, zu einem Tangentenviereck ergänzen. Dieses wiederum lässt sich
(auch durch die Verbindungen zum Kreiszentrum) in vier rechtwinklige
Drachen zerlegen. Für den Inkreisradius r von Tangentenvierecken gilt
Bretschneiders
12
Formel:
r = [(ef)² - ¼(a²-b²+c²-d)²] / u =
= [(ef)² - ¼(a-b)²(a+b-c-d)²] / (a+b+c+d)
Abb. 7:
Die drei verschiedenen Sehnenvierecke derselben Seiten
mit den Seitenlängen a=3, b=7, c=9 und d=11
haben alle dieselbe Fläche A=48
12
J. W. Harris und H Stocker, "Quadrilateral of Tangents." Handbook of Mathematics and
Computational Science. New York: Springer-Verlag, §3.6.8 Seite 86, 1998
bzw. http://mathworld.wolfram.com/TangentialQuadrilateral.html
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