Effizienzvergleich von Stromnetzbetreibern mit Hilfe der „Stochastischen Frontier Analyse“ in der Anreizregulierung

Studiengang: Elektro- und Informationstechnik

Vertiefungsrichtung: Elektrische Energietechnik

Semester: Wintersemester 07/08

Durchgeführte Firma: N-ERGIE Netz GmbH

Abteilung: Steuerung (NNG-ST)

Ort: Nürnberg

Datum: 21. Februar 2008

Inhaltsverzeichnis

  Inhaltsverzeichnis  

Inhaltsverzeichnis.......................................................................................................................   3

  Abkürzungen und Formelzeichen  5

1.  Einleitung  8

1.1  Bedeutung des Effizienzvergleichs für die Anreizregulierung  10

1.2  Zielsetzung  11

1.3  Aufbau der Arbeit  12

2.  Analyse der Effizienzvergleichsmethoden  13

2.1  Referenznetzanalyse  13

2.2  Parametrische Methoden  15

2.2.1  Ordinary Least Squares (OLS)  18

2.2.2  Corrected Ordinary Least Square (COLS)  26

2.2.3  Modified Ordinary Least Squares (MOLS)  27

2.2.4  Stochastic Frontier Analyse (SFA)  30

2.3  Nicht-parametrische Methoden  39

2.3.1  Data Envelopment Analysis (DEA)  39

3.  Datenbank für den Effizienzvergleich  43

3.1  Exogenen Parameter  43

3.2  Endogene Parameter  46

3.3  Qualität der Daten  51

3.4  Kostenfunktion  53

3.4.1  Cobb-Douglas Kostenfunktion  54

3.4.2  Translog-Kostenfunktion  56

3.5  Korrelationen bei Verwendung der Cobb-Douglas Kostenfunktion  58

3.6  Signifikanz  61

3.7  Feststellen von Ausreißern  62

3.7.1  Influente Beobachtungen bei parametrischen Methoden  62

3.7.2  Influente Beobachtungen bei nicht parametrischen Methoden  65

3.8  Zusammenfassende Aussagen über die Datenbank  67

4.  Untersuchung der SFA  69

4.1  Verwendete Software  69

4.2  „normaler“ Effizienzvergleich  70

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Inhaltsverzeichnis

4.2.1  Frontier vs. Limdep  71

4.2.2  DEA vs. SFA  72

4.2.3  Festlegung der Effizienzgrenze  74

4.3  Einfluss von veränderten Eingangsdaten  75

4.3.1  Veränderung des endogenen Parameters bei allen Netzbetreibern  75

4.3.2  Veränderung des endogenen Parameters bei einem Netzbetreiber  77

4.3.3  Einfluss der exogenen Parameter  87

4.4  Das vereinfachte Verfahren  93

4.5  Änderung der Kostenfunktion  98

4.6.  Konfidenzintervalle der Effizienzwerte  100

5.  Zusammenfassung  102

6.  Ausblick  104

  Literaturverzeichnis  105

Tabellenverzeichnis 108   

  Abbildungsverzeichnis  109

Anhang   110

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Abkürzungen und Formelzeichen

Abkürzungen und Formelzeichen

Abkürzungen

ARegV Anreizregulierungsverordnung BNetzA Bundesnetzagentur COLS Corrected Ordinary Least Square DB Datenbank DEA Data Envelopment Analysis (Dateneinhüllende Analyse) DMU Decision Making Unit (Entscheidungseinheiten) EnWG Energiewirtschaftsgesetz EVU Energieversorgungsunternehmen HS Hochspannung LRegB Landesregulierungsbehörde ML Maximum-Likelihood MOLS Modified Ordinary Least Squares MS Mittelspannung NB Netzbetreiber NS Niederspannung OLS Ordinary Least Squares (Methode der kleinsten Quadrate) SFA Stochastic Frontier Analyse (stochastische Frontier Analyse) StromNEV Stromnetzentgeltverordnung StromNZV Stromnetzzugangsverordnung VDN Verband deutscher Netzbetreiber vV vereinfachtes Verfahren

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Abkürzungen und Formelzeichen

Formelzeichen

a

:Additive Konstante der Regressionsgeraden

AP

:Arbeitspreis [ct/kWh]

b

:Regressionskoeffizient der Regressionsgeraden

E

:Additive Konstante der „tatsächlichen“ Geraden 0

E

:Koeffizient für die Steigung der „tatsächlichen“ Geraden p

e :Residuum

EE

:Kosteneffizienz (Economic Efficiency)

I(.) :Dichtefunktion der Standardnormalverteilung

:Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung N(.)

h :Effizienz (DEA)

i :Index des Netzbetreiber

JE

:Jahresentnahme [kWh]

JNutz :Durchschnittliche Jahresnutzungsstunden [h/a]

k

:Durchschnittliche Kosten [ct/kWh] für die Durchleitung

K

:Gesamtkosten [€] der Spannungsebene

LP

:Leistungspreis [€/kWa] p

:Index der unabhängigen Variabeln

r

:Korrelationskoeffizient

2 r :Bestimmtheitsmaß

SQE

:durch die Regressionsgerade erklärte Quadratsumme

SQT

:Gesamtquadratsumme

V

:Streuung der Ineffizienzen u

V

:Streuung der Störgröße v

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Abkürzungen und Formelzeichen

u :Ineffizienz

uT

:Aggregationsgewicht der Outputgröße

v :Störgröße

vT

:Aggregationsgewicht der Inputgröße

x

:Unabhängige Variable / exogener Parameter

x :arithmetisches Mittel von x

y

: Abhängige Variable / endogener Parameter (Kosten)

y ˆ

:Schätzwert der abhängigen Variabeln

y :arithmetisches Mittel von y

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Einleitung

1. Einleitung

Energieversorgungsunternehmen nehmen in der Volkswirtschaft eine besondere Rolle ein. Sie liefern die Grundlage für eine funktionierende Wirtschaft sowie für den Wohlstand und die Lebensqualität eines Landes. Die Versorgung mit Wasser, Gas und Strom muss immer gewährleistet sein. Das im Jahr 1935 erlassene Energiewirtschaftsgesetz hatte als oberstes Ziel die Sicherstellung sowie den Aufbau einer flächendeckenden Energieversorgung. Der Wettbewerb sollte ausdrücklich verhindert werden, um den volkswirtschaftlich schädlichen Auswirkungen des Kapitalismus nicht ausgesetzt zu sein. Zur Vermeidung von Missbrauch der Marktstellung, wurde eine große Anzahl von gesetzlichen Bestimmungen, Kontrollen und Auflagen eingeführt.

Im Jahr 1996 legte das europäische Parlament und der europäische Rat fest, dass die Mitgliedsstaaten die erforderlichen Maßnahmen treffen müssen, damit die Elektrizitätsunternehmen in ihrer internen Buchführung getrennte Konten für ihre Erzeugungs,- Übertragungs- und Verteilungsaktivitäten führen. Damit war der erste Schritt in Richtung Unbundling (Entflechtung) getan.

Im April 1998 trat das Gesetz zur Neuregelung des Energiewirtschaftsrechts (EnWG) in Kraft. Mit ihm wurden die festgelegten Grenzen der Versorgungsgebiete aufgehoben. Die Energieversorger können nun mit den Gemeinden Konzessionsverträge abschließen, um das Netz zu übernehmen und damit ihr Versorgungsgebiet zu vergrößern. 1

Die Preisaufsicht und die allgemeine Anschluss- und Versorgungspflicht galt und gilt weiterhin.

Im zweiten Gesetz zur Neuregelung des Energiewirtschaftsrechts vom 7. Juli 2005 wird die Entflechtung der Energieversorgungsunternehmen geregelt. Es erfolgt die Trennung vom natürlichen Monopol, dem Netz und dem Teil des Unternehmens, der sich wie ein „normales“ Unternehmen im freien Wettbewerb behaupten kann. Bei Netzbetreibern an deren Netz mehr als 100.000 Kunden angeschlossen sind, ist der Netzbereich in eine neue Gesellschaft auszugliedern. ² Damit wird die Diskriminierungsfreiheit gewährleistet, d.h. der Kunde wird in

seiner Wahl des Energieversorgers vom Netzbetreiber nicht beeinflusst. Die Netzbetreiber werden weiterhin staatlich reguliert. Für Netzbetreiber mit mehr als 100.000 Kunden oder einem Versorgungsgebiet über die Landesgrenzen hinaus ist zur

¹ vgl. §13 und §14 des EnWG von 1998

² vgl.§8 (6) [EnWG2005]

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Einleitung

Überwachung, seit 2006 die Bundesnetzagentur (BNetzA) verantwortlich. Für die restlichen Unternehmen ist die Landesregulierungsbehörde (LRegB) zuständig. Die Regulierung erfolgt im Rahmen der Kostenregulierung durch die jährliche Festlegung des Netznutzungsentgeltes für jeden einzelnen Netzbetreiber.

In §21a des EnWG aus dem Jahr 2005 wird die Anreizregulierung als Alternative zur Festlegung der Netznutungsentgelte beschrieben. Aufgrund dieses Paragraphen wird zur konkreten Umsetzung die Anreizregulierungsverordnung (ARegV) vom 29. Oktober 2007 verfasst.

In Abb. 1.1 ist die Entwicklung zum liberalisierten Energiemarkt in Deutschland als Übersicht dargestellt. Im Jahr 2009 erfolgt der nächste Schritt der Liberalisierung, die Anreizregulierung der Netzbetreiber. Sie hat zum Ziel einen Wettbewerb der Unternehmen untereinander zu simulieren. Es soll ein Anreiz zur Kostensenkung und Effizienzsteigerung geschaffen werden. Dabei werden im Strombereich die Kosten von den Erlösen für fünf Jahre (eine Regulierungsperiode) ³ voneinander entkoppelt. Die Unternehmen bekommen für die jeweilige Regulierungsperiode eine Erlösvorgabe (Erlöspfad) vorgegeben. Gelingt es den Unternehmen im Verlauf der Regulierungsperiode ihren Kostenpfad unter den Erlöspfad zu senken, können sie die dadurch erzielten Gewinne bis zum Ende der Periode einbehalten. Zu Beginn der zweiten Regulierungsperiode findet erneut ein Kosten-Erlös-Abgleich statt.

³ vgl. §3 (2) [ARegV2007]

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Einleitung

Laut ARegV hat die erste Regulierungsperiode am 1. Januar 2009 zu beginnen. 4

Die Erlösobergrenze für die einzelnen Netzbetreiber wird zuvor mit Hilfe eines bundesweiten Effizienzvergleichs bestimmt.

1.1 Bedeutung des Effizienzvergleichs für die Anreizregulierung

Der Effizienzvergleich spielt in der Anreizregulierung eine zentrale Rolle. Dies wird deutlich durch die Gleichung zur Bestimmung der Erlösobergrenze ⁵ (vgl. Anhang 8.9).

Am Beispiel eines Netzbetreibers wird diese beschrieben. Nehmen wir an, dass die Gesamtkosten des Unternehmens bei 100 Millionen € liegen. Die dauerhaft nicht beeinflussbaren Kosten werden auf 40% geschätzt. Die verbleibenden 60% sind die von ihm zu beeinflussenden Kosten (60 Mio. €). Im Zuge des Effizienzvergleichs erhält der Netzbetreiber auf diesen Teil der Gesamtkosten einen angenommen Effizienzwert von 80%. Es werden somit 80% als vorübergehend nicht beeinflussbare Kosten (48 Mio. €) und 20% als beeinflussbare Kosten (12 Mio. €) eingestuft. Diese Kosten entsprechen der festgestellten Ineffizienz des Netzbetreibers und müssen abgebaut werden. Dies ist in Abb. 1.2 verdeutlicht.

⁴ vgl. §3 (1) [ARegV2007]

⁵ vgl. Anlage 1 der ARegV zu § 7

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Einleitung

Über den Verteilungsfaktor ⁶ wird die abzubauende Ineffizienz gleichmäßig innerhalb einer oder mehrerer Regulierungsperioden verteilt. Zu Beginn der Anreizregulierung ist die festgestellte Ineffizienz innerhalb von zwei Regulierungsperioden (zehn Jahre) abzubauen. 7

Für den Netzbetreiber in unserem Beispiel ergibt sich zu Beginn der Anreizregulierung, der in Abb. 1.2 dargestellte Verlauf des Erlöspfades. Der tatsächliche Verlauf über die Jahre ist allerdings nicht so konstant wie dargestellt. Er schwankt durch die sich jährlich ändernden Faktoren aus der Gleichung zur Bestimmung der Erlösobergrenze. Dennoch bleibt das grobe Ziel für den Netzbetreiber, in den ersten fünf Jahren ca. 6 Mio. € Kosten abzubauen (10% Ineffizienz). Schafft er es innerhalb einer Regulierungsperiode seine Kosten unter den Erlöspfad zu senken, darf er die Gewinne einbehalten.

Dies stellt den Anreiz in der Anreizregulierung dar. Es wird ein Anreiz geschaffen die Kosten so stark wie möglich zu reduzieren, um den Gewinne zu vergrößern. Vor dem Beginn der zweiten Regulierungsperiode findet erneut ein Effizienzvergleich (Kosten-Erlös-Abgleich) statt, durch den überprüft wird, wie sich die Netzbetreiber vom Effizienzwert her entwickelt haben. Gleichzeitig wird festgelegt, wie viel Ineffizienz sie in der folgenden Regulierungsperiode (innerhalb von fünf Jahren) abzubauen haben.

1.2 Zielsetzung

Das Ziel dieser Arbeit ist es einen Effizienzvergleich der Stromverteilnetzbetreiber durchzuführen, so wie ihn die Bundesnetzagentur voraussichtlich auch machen wird, um die Erlösobergrenzen zu bestimmen. Dabei wird die durch die ARegV für den Effizienzvergleich der Verteilnetzbetreiber vorgeschriebene Methode ⁸ , die „Stochastische Frontier Analyse“ (Stochastic Frontier Analyse SFA) genauer auf ihre Eigenschaften hin untersucht. Die festgestellten Eigenschaften werden auf die Netzbetreiber in der Anreizregulierung übertragen und erörtert.

⁶ vgl. §16 [ARegV2007]

⁷ vgl. §16 [ARegV2007]

⁸ vgl. [ARegV2007] Anlage 3 zu §12

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Einleitung

1.3 Aufbau der Arbeit

Die Arbeit gliedert sich in einen theoretischen und einen praktischen Teil. Zunächst werden im zweiten Kapitel die theoretischen Grundlagen geschaffen, um mit der SFA Effizienzvergleiche durchführen zu können. Weiterhin werden die im Ausland verwendeten Methoden vorgestellt.

Um einen tatsächlichen Effizienzvergleich zu ermöglichen, wird eine Datenbank benötigt. Sie besteht für diese Arbeit aus frei verfügbaren Daten der Netzbetreiber. Im dritten Kapitel wird beschrieben wie dieser Datenpool zustande kommt und wie die Daten für den Einsatz im Effizienzvergleich aufbereitet werden müssen. Dafür wird zunächst geklärt, ob die Daten für den Effizienzvergleich überhaupt geeignet sind. Die sich ergebenden Unterschiede zum Datenpool der BNetzA werden untersucht und bei der Durchführung des Effizienzvergleichs im vierten Kapitel berücksichtigt.

Bei der Effizienzwertbestimmung durch die SFA wird so vorgegangen, wie es von der Bundesnetzagentur zu erwarten ist. Darüber hinaus werden weitere Untersuchungen durchgeführt, indem Parameter sowie Eingangsdaten von mehreren bzw. einzelnen Netzbetreibern verändert werden, um die Reaktion des Verfahrens zu beobachten (Sensitivitätsanalyse) und zu analysieren.

Die Ergebnisse werden in einer Zusammenfassung im fünften Kapitel dargestellt. Abschließend erfolgt ein Ausblick zur Anreizregulierung.

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Analyse der Effizienzvergleichsmethoden

2. Analyse der Effizienzvergleichsmethoden

In diesem Kapitel der Arbeit werden Methoden vorgestellt, die im Ausland und in Zukunft auch in Deutschland für den Effizienzvergleich angewendet werden. Weiterhin wird in diesem Kapitel das theoretische Wissen vermittelt, um einen Effizienzvergleich durchführen und analysieren zu können. Die Methoden die in diesem Kapitel vorgestellt werden sind in Abb. 2.1 gezeigt.

Eine von ihnen ist die Referenznetzanalyse. Sie spielt für den Effizienzvergleich der Verteilnetzbetreiber im Rahmen der Anreizregulierung in Deutschland eine untergeordnete Rolle, wird aber dennoch kurz erklärt, da sie in anderen Ländern eingesetzt wird.

2.1 Referenznetzanalyse

Unter der Referenznetzanalyse wird die Gegenüberstellung eines realen Netzes, mit einem „idealtypischen“ Vergleichsnetz verstanden. Die Unterschiede zwischen dem Modell und dem wirklichen Netz werden bewertet und gegebenenfalls als Ineffizienz des realen Netzes interpretiert.

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Analyse der Effizienzvergleichsmethoden

Es gibt verschiedene Möglichkeiten ein Vergleichsnetz aufzubauen. Eine davon ist der so genannte „Greenfield-Ansatz“. Hier wird, wie der Name schon sagt, bei der grünen Wiese angefangen. Dieser Ansatz geht von einer kompletten Neuerstellung eines Vergleichsnetzes aus. Das vorhandene Netz wird dabei nicht Berücksichtigt.

Ein anderer Weg ist der Scorched-Node-Ansatz ⁹ , bei dem die gegebenen Netzstrukturen in das Modell übernommen werden. Hier könnten z.B. die Knotenpunkte aus dem realen Netz (Umspannwerke, Transformatorstationen) als Ausgangspunkte verwendet werden. Anschließend lässt man das erstellte Modell „altern“, indem die Entscheidungen, die für das reale Netz getroffen wurden mit einfließen, bis es in einem mit dem realen Netz vergleichbaren Zustand ist. Mit dem Modell werden die vom Netzbetreiber getroffenen Entscheidungen bewertet. Dies führt zur Aufdeckung der Fehlentscheidungen und den damit verbundenen Ineffizienzen des Netzes.

Weiterhin können Optimierungsschritte simuliert werden, um die Effizienz des Netzes zu steigern. Damit ist diese Methode des Effizienzvergleichs nicht nur zur Bewertung der Netzbetreiber verwendbar, sondern sie kann auch dazu benutzt werden, um das Netz effizienter zu gestalten.

Die Referenznetzanalysemodelle können beliebig komplex gestaltet werden, indem viele Faktoren wie z.B. die Alterung des Netzes, die historische Entwicklung, die vorhandene Netzstruktur, die Bodenklassen, die Bevölkerungsdichte, usw. berücksichtigt werden. Aufgrund der vielen Faktoren und der großen Zahl an Verteilnetzbetreibern in Deutschland, ist der Einsatz dieser Methode mit einem großen Aufwand verbunden. Ihr Vorteil ist, dass sie auch angewendet werden kann, wenn keine oder nur wenige vergleichbare Unternehmen für einen Effizienzvergleich zur Verfügung stehen. Dies trifft auf die vier Übertragungsnetzbetreiber in Deutschland zu. Bei diesen soll die Referenznetzanalyse angewendet werden, falls ein internationaler Effizienzvergleich durch die SFA oder die DEA ¹⁰ nicht möglich ist, oder dieser zusätzlich noch bekräftigt werden muss. ¹¹ Für die Bewertung der Verteilnetzbetreiber ist die Referenznetzanalyse vom Gesetzgeber nicht vorgesehen. Stattdessen wird die nicht parametrische Methode DEA und die parametrische Methode SFA angewendet.

⁹ vgl. [BerichtBNetzA2007] S. 307 (1416)

¹⁰ Data Envelopment Analysis (Abschnitt 2.3.1)

¹¹ vgl. §22 [ARegV2007]

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2.2 Parametrische Methoden

Bei der Verwendung von parametrischen Methoden wird eine möglichst große Anzahl von Netzbetreibern benötigt, um ein plausibles Ergebnis zu generieren. Darauf wird im Laufe dieses Kapitels genauer eingegangen. Weiterhin wird ein funktionaler Zusammenhang zwischen den Kosten (Input) und den Vergleichsparametern (Output - beispielsweise Leitungslänge) der miteinander verglichenen Unternehmen, benötigt. Die Beziehung hier ist klar: höhere Leitungslänge entspricht höheren Kosten. Wird nun dieser Zusammenhang für mehrere Netzbetreiber in ein Koordinatensystem eingetragen, kann die Abhängigkeit zwischen diesen zwei Größen visualisiert werden. In Abbildung 2.2 sind zwei Streudiagramme dargestellt. Jeder Punkt würde in unserem Beispiel einen Netzbetreiber darstellen. In der Fachliteratur werden diese Punkte auch als Entscheidungseinheiten, oder als DMU’s (DMU = Decision Making Unit) bezeichnet.

Im linken Diagramm ist ein starker und im rechten Diagramm ein schwacher linearer Zusammenhang zwischen den Parametern abgebildet. Je näher die Punkteschar an einer „gedachten“ Geraden liegt, desto ausgeprägter ist die dargestellte Beziehung zwischen den Faktoren. Nun stellt sich die Frage auf welcher Achse des Koordinatensystems bei der Bewertung der Netzbetreiber die Inputvariable und auf welcher die Outputvariable aufgetragen werden muss.

Entscheidend für die Aufteilung ist die (angenommene) funktionale Abhängigkeit zwischen Output und Input. In der Wirtschaft wird zwischen Produktionsfunktionen und Kostenfunktionen unterschieden.

Die Produktionsfunktionen beurteilen mengenmäßig den Output, bei Variation des Inputs. Dies würde bedeuten, dass der Output die abhängige Größe darstellt und deshalb auf der Y-Achse aufgetragen werden sollte. Es wird beobachtet wie er sich verhält, während der Input

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Analyse der Effizienzvergleichsmethoden

(Kosten) verändert wird. Um eine Effizienzsteigerung zu erreichen wird also eine Erhöhung des Outputs angestrebt, indem die Kosten konstant gelassen werden. Als Effizienzergebnis erhält man bei der Produktionsfunktion die technische Effizienz.

Bei einem Vergleich der Netzbetreiber ist die Produktionsfunktion nicht geeignet, da der Output (durchgeleitete Energie, Anzahl der Anschlusspunkte, versorgte Fläche, usw.) vom Netzbetreiber kaum beeinflusst werden kann. Er wird vom Kunden (Nachfrage/Bedarf) vorgegeben. Weiterhin stehen die Netzbetreiber in der Anschluss und Versorgungspflicht und können sich somit nicht gegen einen Anschluss eines Kunden entscheiden. Daher wird für einen Vergleich der Netzbetreiber die Kostenfunktion herangezogen. Diese stellt die Kosten in Abhängigkeit zum Output dar und hat die Minimierung der Kosten zum Ziel. Das Effizienzergebnis bei der Kostenfunktion ist die Kosteneffizienz, auch ökonomische Effizienz genannt.

Somit wird auf der Y-Achse die abhängige Variable, der Input (in unserem Fall immer die Kosten) und auf der X-Achse die unabhängige Variable, der Output (durchgeleitete Energie, Anzahl der Anschlusspunkte, versorgte Fläche, usw.) abgebildet. Mit der Bezeichnung „abhängige Variable“, oder endogener Parameter für die Y-Achse, wird die Abhängigkeit vom Output (X-Achse) ausdrückt.

Die Bennennung „unabhängige Variable“ oder exogener Parameter für die X-Achse bezeichnet einen Messgegenstand in der Variabeln, der sich mit dem von anderen unabhängigen Variabeln nicht überschneidet, der also unabhängig von anderen Parametern ist.

Es wird unterstellt, dass der funktionale Zusammenhang zwischen Input und Output, der bei parametrischen Methoden bestehen muss, durch die Cobb-Douglas Kostenfunktion beschrieben werden kann. Auf diese Annahme wird in Kapitel 3 dieser Arbeit näher eingegangen.

Die Cobb-Douglas Kostenfunktion lautet: E m p x p –

y i

p i 1

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oder in Logarithmierter Form:

m p

y ln i

y : Abhängige Variable / endogener Parameter (Kosten)

i

x :Unabhängige Variable / exogener Parameter ip

p :Index der unabhängigen Variabeln (1,2,3,…m)

i :Index des Netzbetreiber

E :Additive Konstante (Verschiebung der Geraden nach oben oder nach unten)

0

E :Koeffizient für die Steigung der Geraden p

EE :Kosteneffizienz des Unternehmens i (Economic Efficiency)

i

u :Ineffizienz des Netzbetreibers i i

Die abhängige Variable y i stellt die Kosten des Netzbetreibers i dar und x ip entspricht den verschiedenen Outputs der Netzbetreiber. Das heißt, es ist möglich mehrere Outputgrößen gleichzeitig in Bezug zu den Kosten zu setzen.

Die Ineffizienz der Netzbetreiber wird in Gleichung 2.2 durch u i dargestellt. EE i in Gleichung 2.1 entspricht der Kosteneffizienz, die sich aus der technischen Effizienz TE i und der allokativen Effizienz AE i zusammensetzt.

Die Koeffizienten 0 und p zeigen den Verlauf der Funktion durch die Punkteschar auf.

Wird angenommen, dass der funktionale Zusammenhang zwischen der abhängigen und unabhängigen Variabeln durch die Cobb-Douglas-Kostenfunktion beschrieben werden kann, gehen die Parameter logarithmiert in den Effizienzvergleich ein. Die dadurch entstandene Beziehung zueinander, ist eine lineare (Gleichung 2.2).

Im nächsten Schritt werden die für den Effizienzvergleich der Netzbetreiber relevanten parametrischen Methoden vorgestellt.

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2.2.1 Ordinary Least Squares (OLS)

Die OLS ist auch unter dem Namen „Gaußsche Methode der kleinsten Quadrate“ bekannt. Hierbei handelt es sich um eine Lösungsmethode der Regression, auf die auch die weiteren parametrischen Methoden in dieser Arbeit aufbauen.

Die Beziehung zwischen Input und Output kann durch eine Funktion beschreiben werden. Diese wird durch die OLS geschätzt, indem eine Funktion so in die Punkteschar der Beobachtungspunkte gelegt wird, dass die Summe der quadrierten Abweichungen zu dieser Funktion minimal werden.

Die OLS ist eine Durchschnittsmethode. ¹² Im folgenden Abschnitt ist das einfachste OLS-Verfahren, die einfache lineare Regression kurz vorgestellt.

2.2.1.1 Einfache lineare Regression

Bei der einfachen linearen Regression wird die Auswirkung einer einzigen unabhängigen Variabeln auf die abhängige Variable untersucht. Wobei ein linearer Zusammenhang unterstellt wird. Die Beziehung der Punkteschar, falls diese einen perfekten linearen Zusammenhang hat, ergibt sich aus Gleichung 2.2. Die hier für den einfachen linearen Fall, mit nur einem exogenen Parameter dargestellt ist (y i und x i sind bereits logarithmiert).

Die Koeffizienten 0 und 1 entsprechen dem tatsächlichen Zusammenhang der Beobachtungspunkte. Dieser ist allerdings nicht bekannt. Es ist die Aufgabe der OLS diese Koeffizienten, möglicht genau zu schätzen. Mit Hilfe der geschätzten Koeffizienten (Regressionskoeffizienten) wird die Regressionsgerade in das Koordinatensystem eingetragen (siehe Abb. 2.3). Diese Gerade beschreibt die vermutete Beziehung zwischen der unabhängigen Variablen zur abhängigen. Die Ineffizienz u i eines Unternehmens entspricht hingegen dem Abstand des Beobachtungspunktes zur wahren Geraden. Da die Gerade aber nur unter der Annahme eines perfekten linearen Zusammenhangs geschätzt wurde, enthält u ⁱ eine Unsicherheit aufgrund dieser Schätzung. Darüber hinaus können Fehler bei der Datenerhebung für einzelne Unternehmen aufgetreten sein, die das Modell von der idealen

¹² vgl. [Jander2007]

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Vorstellung abweichen lassen. Deshalb wird diese Abweichung der Entscheidungseinheiten von der Regressionsgeraden nicht als Ineffizienz u i , sondern als Residuum e i , bezeichnet, wie es in Abb. 2.3 dargestellt ist. Das Residuum e i setzt sich aus der Ineffizienz und der Störung zusammen.

In der obigen Abbildung ist die einfache lineare Regression dargestellt. Auf der Y-Achse wird der so genante Regressand aufgetragen, der in unserem Fall den Kosten entspricht. Auf der X-Achse ist der Regressor aufgetragen. Den Durchschnitt bildet Regressionsgerade (Effizienzgrenze).

Aus Gleichung 2.3 folgt nach der Schätzung durch die OLS:

y

i i i

(2.4) Die Funktion der Regressionsgeraden, welche den Y-Wert schätzt mit dem sich ein

i bx a y

Beobachtungspunkt auf der Geraden befinden, lautet: i

(2.5)

ˆ

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a :Additive Konstante der Regressionsgeraden

b :Regressionskoeffizient der Regressionsgeraden

Die Parameter a und b sind durch die OLS so zu schätzen, dass die Abweichung der Punkte zur Geraden minimal wird. Daraus folgt für die Parameter a und b:

b

y y :arithmetisches Mittel von i

x :arithmetisches Mittel von i

Somit kann das Residuum e i berechnet werden, indem vom tatsächlichen Y-Wert der geschätzte Wert auf der Regressionsgeraden, subtrahiert wird: y y e ˆ

(2.8) i i i

Damit entspricht das Residuum dem Abstand der Beobachtung zur Regressionsgeraden. Die OLS wurde von der BNetzA angewendet, um für alle Strukturparameterkombinationen die durchschnittlichen Kosten, sowie die statistische Signifikanz der einzelnen Strukturparameter in allen Kombinationen zu überprüfen. 13

Als „nicht signifikant“ wird ein Parameter bezeichnet, wenn er auf der Grundlage einer Stichprobe, über die Gesamtheit keine verwendbaren Aussagen liefert. Auf die Wahl der Parameter für den Effizienzvergleich, wird in Kapitel 3 weiter eingegangen.

¹³ vgl. [BerichtBNetzA2006] S.282

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Wie wird aber die Stärke der Beziehung zwischen den Parametern beurteilt? Bisher wurde eine Gerade durch die Punkteschar gelegt, um den Zusammenhang zwischen dem exogenen und dem endogenen Parameter aufzuzeigen. Diese Gerade gibt zwar die Richtung an (steigende-/fallende Kosten), sagt aber nichts darüber aus, wie stark der Zusammenhang tatsächlich ist. Bei der einfachen linearen Regression kann dies graphisch abgeschätzt werden, je näher die Punkte bei der Regressionsgeraden liegen, desto größer ist der Zusammenhang.

Mathematisch lässt sich die Abhängigkeit zwischen Regressand und Regressor durch den Korrelationskoeffizienten r (nach Bravais - Pearson) ¹⁴ folgendermaßen beschreiben.

i

x

(2.9)

r :Korrelationskoeffizient Der Korrelationskoeffizient r kann Werte zwischen 1 und -1 annehmen. Er bewertet die Stärke der Beziehung zwischen zwei Variabeln unter der Berücksichtigung aller Beobachtungen. Je mehr Beobachtungspunkte zur Verfügung stehen, desto Aussagekräftiger

ist er. Der Zusammenhang zwischen den beiden Variabeln ist umso größer, je weiter der Wert von Null entfernt ist. Somit bedeutet ein Korrelationskoeffizient von 1 oder -1, dass die Abhängigkeit zwischen zwei Parametern, durch die ermittelte Funktion perfekt beschrieben wird. Ein Korrelationskoeffizient von 0 oder nahezu 0 bedeutet bei einem Vergleich der Kosten mit einem exogenen Parameter, dass der verwendete Parameter keinen Einfluss auf

die Kosten hat und somit für den Effizienzvergleich nicht geeignet ist. Die Effizienz eines Netzbetreibers kann natürlich nicht nur durch einen Parameter bestimmt werden. Dementsprechend ist es nötig, Regressionsmodelle mit mehreren unabhängigen

Variabeln x ip , im Bezug zur abhängigen Variabeln y i zu betrachten. Um die Auswirkung der

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Analyse der Effizienzvergleichsmethoden

Vergleichsparameter in Kombinationen miteinander auf die Kosten zu überprüfen, wird die

multiple lineare Regression benötigt.

2.2.1.2 Multiple lineare Regression

Für die multiple lineare Regression muss die Anzahl n der Netzbetreiber mindestens so groß

sein wie die Anzahl der exogenen Parameter x ip , da man sonst ein Gleichungssystem mit mehr

Unbekannten als Gleichungen erhält und es damit keine eindeutige Lösung gibt.

Es wird wieder von der logarithmierten Cobb-Douglas-Kostenfunktion aus Gleichung 2.2

ausgegangen, die hier ohne Summenzeichen dargestellt ist.

y ln i

Da nun mehrere exogene Parameter verwendet werden, muss die Rechnung mit Hilfe der

Matrizenalgebra durchgeführt werden.

Der Zusammenhang der Entscheidungseinheiten (aus Gleichung 2.7) in Matrizenform lautet:

E u X y (2.11)

oder ausgeschrieben:

E · § · § x x x · § · § u y 1 p ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 1 21 11 0 1 1

E x x x ¸ ¨ ¸ ¨ u y ¸ ¨ ¸ ¨ 1 p 2 22 12 1 ˜ 2 2 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ E x x x u y 1 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ p i i 3 2 1 2 3 3 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ E x x x u y 1 ¹ © ¹ © ¹ © ¹ © p pn n n n n 2 1

u :Vektor der Ineffizienz

n :Anzahl der Netzbetreiber

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Analyse der Effizienzvergleichsmethoden

Der Vektor E

entspricht, wie bei der einfachen linearen Regression, dem wahren Zusammenhang der gewählten Parameter x p1 -x pn zu den Kosten y i . Durch die OLS werden die

X

)

1 b

2 0

x b p

0 (2.13) Die Schätzwerte der y i erhält man aus: b

X ˜ y ˆ

(2.14) Hieraus wiederum kann das Residuum bestimmt werden.

y y ˆ

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Analyse der Effizienzvergleichsmethoden

Die inhaltliche Vorstellung dessen was im multiplen Fall durch komplizierte Rechenvorgänge erreicht wird, beschreibt Dr. Urban folgendermaßen:

„Verfahrenstechnisch betrachtet wird in der multiplen Regression sukzessive jede unabh. Variable um die andere unabh. Variablen bereinigt und eine Regression der abh. Variabeln (Y) auf die kontrollierten unabh. Variablen durchgeführt.“ 16

Als „kontrollierte“ unabhängige Variable bezeichnet Dr. Urban diejenigen Variablen, die um den Einfluss der anderen unabhängigen Variablen bereinigt sind. Die Aussage dieses Zitates ist folgende: In der multiplen Regression beschreibt jeder Regressionskoeffizient nur den Einfluss auf die abhängige Variable, der durch andere unabhängige Variabeln noch nicht beschrieben ist. Dieses Verfahren der Bereinigung von X um die Einflüsse der anderen exogenen Parameter wird auch als „Partialisierung“ von X bezeichnet. Daher wird der Regressionskoeffizient im multiplen Fall auch „partieller Regressionskoeffizient“ genannt.

Eine Beispielrechnung zur multiplen linearen Regression mit zwei Parametern kann aus der Arbeit von Brannath und Futschik ¹⁷ entnommen werden.

Durch die multiple lineare Regression ist es möglich die Auswirkungen der Vergleichsparameter, auch in Kombination miteinander, auf die Kosten zu beobachten.

¹⁶ zit. [Urban1982] S. 78

¹⁷ [Futschik2001] S. 203, 204

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Analyse der Effizienzvergleichsmethoden

Wie ausgeprägt diese Relation ist, kann nicht mehr visualisiert oder durch den Korrelationskoeffizienten beschrieben werden. Um die Abhängigkeit der Regressoren auf den Regressanden zu beschreiben, wird bei der multiplen linearen Regression das Bestimmtheitsmaß r ² verwendet.

SQE

mit

ˆ

i y i

y SQT

1 2

2 r

:Bestimmtheitsmaß

SQE :durch die Regressionsgerade erklärte Quadratsumme SQT :Gesamtquadratsumme Das Bestimmtheitsmaß r ² kann auch für die einfache lineare Regression angewendet werden. Wird es für den multiplen Fall eingesetzt, bezeichnet man es als multiples Bestimmtheitsmaß. Es zeigt auf, wie gut das erstellte Modell die Eigenschaften der Wirklichkeit beschreibt. Das

Bestimmtheitsmaß nimmt Werte zwischen 0 und 1 an und verhält sich damit ähnlich wie der Regressionskoeffizient r. Je größer r ² , desto kleiner der Einfluss der Störterme. „Es gilt r 2 = 1 genau dann, wenn alle Störterme e i = 0 sind, d.h. wenn die Daten auf einer

Hyperebene liegen.“ ¹⁸ Als Beispiel werden die Bestimmtheitsmaße der beiden Diagramme in Abb. 2.2 berechnet. Für das linke Koordinatensystem (starker Zusammenhang) ist r² gleich 0,9632 und für das

rechte Koordinatensystem (schwacher Zusammenhang) 0,6861.

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