Inhaltsverzeichnis I

Inhaltsverzeichnis   

1  Einleitung  1

2  Grundlagen: Swaps und Zinsstrukturkurven  1

2.1  Swaps  1

2.1.1  Interest Rate Swaps  1

2.1.2  Cross Currency Swaps  3

2.1.3  Weitere Arten von Swaps  3

2.2  Zinsstrukturkurven  3

2.2.1  Eigenschaften von Zinsstrukturkurven  4

2.2.2  Das Nelson/Siegel Zinsstrukturmodell  4

3  Theoretische Bewertung von Swaps  5

3.1  Vorgehen  5

3.2  Bewertung des Fixed-Leg  6

3.3  Bewertung des Floating-Leg  6

3.4  Gesamtbewertung  8

3.5  Ausblick: Bewertung komplexerer Swaps  8

4  Numerische Analyse der Bewertung von Swaps  10

4.1  Vorgehen  10

4.2  Verwendete Swaps  11

4.3  Ergebnisse  11

5  Fazit, Ausblick und Interpretation  15

Anhang 16   

A  Definitionen  16

B  Zinssätze  19

B.1  Referenzzinssätze  19

B.2  Day Count Conventions  19

B.3  Zinsmethoden  19

C  Tabellen und Abbildungen  21

Literaturverzeichnis   24

Abbildungsverzeichnis & Tabellenverzeichnis II

Abbildungsverzeichnis

1 Veranschaulichung von Payer- und Receiverswaps . . . . . . . . . . . . . . 21 2 Formen von Zinsstrukturkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 Vergleich der Zinskalküle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4 Aktuelle Zinsstrukturkurve, dargestellt mit dem entwickelten Excel-Tool, sowie die Bewertung der Swaps zu den entsprechenden Parametern . . . . 23

Tabellenverzeichnis

1 Alternative Bezeichnungen für Payer- und Receiverswaps . . . . . . . . . . 2 2 Übersicht der im Folgenden verwendeten Swaps . . . . . . . . . . . . . . . 11 Wert der Receiverswaps bei einer Veränderung der Parameter β i für τ = 1, 5 12 3 4 Datentabelle zur Untersuchung des Werts der Receiverswaps bei Reduzierung von β i um 1% für τ = 1, 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5 Datentabelle zur Untersuchung des Werts der Receiverswaps bei Reduzierung von β i um 1% für τ = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 6 Datentabelle zur Untersuchung des Werts der Receiverswaps bei Reduzierung von kurz-, mittel- und langfristigem Zinsniveau um 1% für τ = 1, 5 . . 14 7 Arten von Swaptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 8 Datentabelle zur Untersuchung des Werts der Receiverswaps bei Reduzierung von β i um 1% und Reduktion des kurz-, mittel- und langfristigen Zinsniveaus um 1% für τ = 1, 3 und θ so geschätzt, dass die aktuelle Zins- strukturkurve bestmöglich approximiert wird . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Abkürzungsverzeichnis III

Abkürzungsverzeichnis

Cross Currency Swap(s) (Währungsswap(s)) CCS

Interest Rate Swap(s) (Zinsswap(s)) IRS Floating Rate Note(s) FRN Forward Rate Agreement(s) FRA

European Interbank Offered Rate (Zinssatz, den europäische Ban-EURIBOR

ken beim Handeln untereinander verlangen) London Interbank Offered Rate (Zinssatz aus dem Londoner Inter-LIBOR banken Handel)

Day Count Conventions (Zählweise bei Zinssätzen) DCC

Abbildung Abb. beziehungsweise bzw. insbesondere insb. Seite(n) S. sogenannt(e) sog. Tabelle Tab. vergleiche vgl. zum Beispiel z.B.

Symbolverzeichnis IV

Symbolverzeichnis

Marktwert eines Payerswaps zum Zeitpunkt t V P ayer (t)

Marktwert eines Receiverswaps zum Zeitpunkt t V Receiver (t)

Wert des Fixed-Leg eines Swaps zum Zeitpunkt t V F ixed (t)

Wert des Floating-Leg eines Swaps zum Zeitpunkt t V F loating (t)

Wert eines Cross Currency Swaps zum Zeitpunkt t V CCS (t) z ^B Zahlungscharakteristik eines Kuponbonds z ^{F RN} Zahlungscharakteristik einer Floating Rate Note z ^{F RA} Zahlungscharakteristik eines Forward Rate Agreements Zahlungscharakteristik eines FRA mit Abschluss in h für eine Lauf- FRA(h, i, j) zeit von i bis j Kupon c

Zinssatz der festverzinslichen Seite eines Swaps r ^c Fiktives Nominalkapital K

Funktion des fiktiven Nominalkapitals bei einem Amortizing oder K(t) Step-Up Swap

Diskontierungsfaktoren zum Zeitpunkt h für eine Zahlung zum Zeit- q(h,t) punkt t

Vektor der Diskontierungsfaktoren q

Kassazinssatz für eine Anlage mit Laufzeit t im Zeitpunkt t 0 r(t 0 , t)

Terminzinssatz zum Zeitpunkt h für eine Anlage von i bis j f (h, i, j)

Funktion, die den Wechselkurs einer Währung zum Zeitpunkt t s(t) beschreibt

Kassazinssatz für eine Anlage mit Laufzeit t zum Zeitpunkt t 0 nach r(t 0 , t; θ)

der Nelson/Siegel Zinsstrukturkurve mit dem zugrunde liegenden Paramtersatz θ

θ = (β 0 , β 1 , β 2 , τ ) Parametermenge der Nelson/Siegel Zinsstruktur- θ kurve

Parameter der Nelson/Siegel Zinsstrukturkurve, der den kurzfristi- β ⁰ gen Zinssatz bestimmt

Parameter der Nelson/Siegel Zinsstrukturkurve, der den langfristi- β ¹ gen Zinssatz bestimmt

Parameter der Nelson/Siegel Zinsstrukturkurve, der den mittelfris- β ² tigen Zinssatz bestimmt

Parameter der Nelson/Siegel Zinsstrukturkurve, der die Skalierung τ bestimmt

2 Grundlagen: Swaps und Zinsstrukturkurven 1

1 Einleitung

Die Bewertung von Swaps mit Hilfe von Zinsstrukturkurven wird in der vorliegenden Arbeit sowohl theoretisch als auch anhand von praktischen Berechnungen thematisiert. Dazu werden im Folgenden zunächst die Grundlagen, die für das Verständnis erforderlich sind, dargestellt. Swaps und Zinsstrukturkurven werden kurz vorgestellt, wobei der Fokus auf Zinsswaps gelegt wird. Anschließend wird die theoretische Bewertung von Swaps thematisiert. Mit Hilfe eines Excel-Tools folgt die exemplarische Bewertung der vorher entwickelten Formeln. Insbesondere soll dabei untersucht werden, welchen Einfluss die einzelnen Parameter einer Zinsstrukturkurve auf den Wert eines Swaps haben. Ein abschließendes Fazit geht auf die Ergebnisse und ihre mögliche Interpretation ein und liefert eine kritische Betrachtung des hier zugrunde gelegten Modellrahmens.

2 Grundlagen: Swaps und Zinsstrukturkurven

2.1 Swaps

Ein Swap (engl. Tausch / Austausch) ist eine vertragliche Vereinbarung zwischen zwei Personen ¹ , periodisch Auszahlungen in der Zukunft auszutauschen. ² Diese allgemeine Definition verdeutlicht, dass die unterschiedlichsten Arten von Swaps vorstellbar sind. Man unterscheidet zwischen Plain Vanilla Swaps und Flavored Swaps. Plain Vanilla Swaps sind in der Regel einfache Swaps, während Flavored Swaps komplexe Gebilde darstellen. Die bekanntesten Arten von Swaps sind Interest Rate Swaps (Zinsswaps) und Cross Currency Swaps (Währungsswaps), die in der Literatur meistens zu den Plain Vanilla Swaps gezählt werden.

2.1.1 Interest Rate Swaps 3

Plain Vanilla Interest Rate Swaps (IRS) zeichnen sich durch ihre Einfachheit aus und sind die am meisten gehandelten Swaps. Bei einem Plain Vanilla IRS werden vorher vertraglich festgelegte feste Zinszahlungen auf Basis eines fiktiven Nominalkapitals für mehrere Perioden gegen einen variablen Zinssatz (z.B. LIBOR, EURIBOR) ⁴ für dasselbe fiktive Nominalkapital ausgetauscht. ⁵ Die Parteien eines IRS werden in Festzinszahler und Festzinsempfänger unterschieden, woraus sich die Begriffe Payerswap und Receiverswap

¹ Hiermit sind juristische Personen gemeint, also insb. Unternehmen wie Banken

² vgl. Ritchken, 1996 S. 498

³ nach Decovny, 1998 S. 23, Ritchken, 1996 S. 508-512, Hull, 2006 S. 834 und Bicksler, 1986

S.646-647

⁴ Definition und Erklärung der Zinssätze sowie Hinweise zur Berechnung werden in Anhang B Zinssätze

ab Seite 19 gegeben

⁵ vgl. Hull, 2003 S. 125

2 Grundlagen: Swaps und Zinsstrukturkurven 2

Tabelle 1: Alternative Bezeichnungen für Payer- und Receiverswaps (vgl. Deutsch, 2001

S. 287)

abgeleitet haben. Ein Payerswap beschreibt einen Swap, bei dem ein fester Zinssatz gezahlt und ein variabler Zinssatz erhalten wird, während bei einem Receiverswap ein fester Zinssatz erhalten und ein variabler Zinssatz gezahlt wird. Eine graphische Verdeutlichung der Swaps ist in Abbildung 1 auf Seite 21 zu finden. In der Literatur werden anstatt der Begriffe Payer- und Receiverswap häufig, analog zu den gängigen Bezeichnungen bei Optionen, die Begriffe Long Swap und Short Swap verwendet (siehe Tabelle 1). Die zwei Seiten eines Swaps werden häufig auch Fixed-Leg (fest verzinste Seite) und Floating-Leg (variabel verzinste Seite) genannt.

Durch die gestiegene Beliebtheit von IRS besonders in den 1980er Jahren ⁶ haben sich viele Abwandlungen zu dem Plain Vanilla IRS entwickelt, um verschiedene Bedürfnisse zu berücksichtigen.

Bei einem Amortizing IRS ⁷ ist der fiktive Nominalkapitalbetrag, anhand dessen die Zinszahlungen errechnet werden, nicht konstant über die gesamte Laufzeit, sondern abnehmend. Besonders zur Replikation der Zinszahlungen eines Kredits kann diese Art von Swap sinnvoll sein.

Bei einem Forward IRS ⁸ liegt der Zeitpunkt des Vertragsabschlusses deutlich vor dem Beginn der Laufzeit des Swaps. Falls zum Beispiel eine Kreditaufnahme zu einem zukünftigen Termin geplant ist, kann diese Art von Swap hilfreich sein. Swaptions bezeichnen Optionen auf Swaps. In diesem Fall hat eine Partei die Möglichkeit, jedoch nicht die Pflicht, zu speziellen Zeitpunkten in einen vorher vertraglich festgelegten Swap einzutreten (Siehe Tabelle 7 auf Seite 21). Dies gibt natürlich nur einen kurzen Überblick über die vielen Möglichkeiten, die der Swapmarkt bietet. Viele weitere Variationen sind denkbar und werden gehandelt, beispielsweise Kombinationen der obigen Varianten. Da jedoch die Bewertung komplexer wird, je mehr Abweichungen von dem Plain Vanilla IRS vorhanden sind, werden hier keine weiteren Varianten vorgestellt.

⁶ Erklärungen für das starke Wachstum liefert Titman, 1992

⁷ Völlig analog existieren Step-Up Swaps, bei denen der fiktive Kapitalbetrag im Laufe der Zeit steigt,

vgl. Definition 1 in Anhang A ab Seite 16

⁸ in der Literatur teilweise auch Future Swaps genannt

2 Grundlagen: Swaps und Zinsstrukturkurven 3

2.1.2 Cross Currency Swaps 9

Neben dem IRS ist der Cross Currency Swap ¹⁰ (Währungsswap) der bekannteste Swap, der unter anderem zum Eliminieren von Währungsrisiken verwendet werden kann. Bei einem Cross Currency Swap (CCS) werden Zinszahlungen auf Kapitalbeträge zwischen zwei Unternehmen in unterschiedlichen Währungen zu festen zukünfigen Zeitpunkten ausgetauscht. Die Kapitalbeträge werden zu Beginn und zum Ende der Laufzeit des Swaps ausgetauscht. Die vorher festgelegten Zinssätze können sowohl fest als auch variabel sein. Weder die Zinssätze noch die Kapitalbeträge müssen hier identisch sein. Falls beide Parteien einen festen Zinssatz zahlen, spricht man von einem Fixed-for-Fixed CCS. Falls eine Partei einen variablen Zinssatz (z.B. EURIBOR) zahlt, ist von einem Fixed-for-Floating oder Floating-for-Fixed CCS die Rede. Zahlen beide Parteien einen variablen Zinssatz, handelt es sich um einen Floating-for-Floating CCS. Auch hier sind viele weitere Varianten von CCS denkbar. Häufig wird der Kapitaltransfer zu Beginn (Initial Exchange) und zu Ende (Final Exchange) der Laufzeit weggelassen. Manche der für IRS definierten Varianten lassen sich durch den ähnlichen Aufbau leicht auf CCS übertragen.

2.1.3 Weitere Arten von Swaps 11

Neben den bereits vorgestellten bekanntesten Swaps gibt es noch weitere Arten von Swaps, wie beispielsweise Commodity Swaps (Rohstoffswaps), bei denen Zahlungen auf Basis eines Rohstoffpreises ausgetauscht werden, Equity Swaps (Aktienswaps), bei denen Zahlungen auf Basis von Aktienkursen ausgetauscht werden, oder Credit Swaps (Kreditswaps), bei denen Kreditrisiken von einer Partei zu einer anderen Partei weitergegeben werden. Auf Grund der geringen Verbreitung, der hohen Komplexität und der geringen Relevanz für das zu untersuchende Thema, wird auf diese nicht näher eingegangen.

2.2 Zinsstrukturkurven

Eine Zinsstrukturkurve ¹² stellt das Verhältnis von Laufzeit und Rendite von Zinsinstrumenten gleicher Ausstattung und mit gleichem Kreditrisiko für eine Laufzeit von ein bis zehn Jahren graphisch dar.

Eine bekannte Zinsstrukturkurve ist die sog. REX, die sich aus dem Deutschen Rentenindex ableitet.

⁹ nach Decovny, 1998 S. 53-59

¹⁰ in der Literatur auch Currency Swap oder Foreign Currency Swap genannt

¹¹ nach Kolb, Overdahl, 2007 S. 687-691

¹² in der Literatur häufig nur Zinskurve genannt