Thomas  Weingartner Wertpapierpreise und Wirtschaftsaktivität WS  2005/06

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis.......................................................................................................................   2

1.  Einleitung  3

2.  Das Standardmodell  4

3.  Tallarini s Spezifikation der Präferenzen.  5

4.  Implikationen der gewählten Präferenzen und Eigenschaften der intertemporalen Grenzrate  

der  Substitution  6

5.  Kosten der Wohlfahrt im Modell Tallarini  9

6.  Erweiterung um den Faktor Freizeit.  12

7.  Ergebnisse des Arbeit-Freizeit-Modells und Vergleich mit dem Modell ohne Freizeit  13

8.  Würdigung und Kritik des Modells Tallarini.  15

9.  Grundidee des Modells Alvarez/Jermann  16

10.  Die Grenzkosten von Konsumschwankungen.  16

11.  Vergleich der Grenzkosten der Unsicherheit mit der Risikoprämie  19

12.  Grenzkosten von Konjunkturzyklen.  21

13.  Ergebnisse, Würdigung und Kritik des Modells Alvarez/Jermann.  22

14.  Gesamtbetrachtung und persönliche Ansicht.  23

Anhang   24

1.  Statistische Konzepte  24

2.  Tallarini s Produktionsökonomie basierend auf dem Wachstumsmodell von Christiano  

und  Eichenbaum.  26

Literaturverzeichnis.   28

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1. Einleitung

Die wohl wichtigste Kennzahl in der Finanzmarktökonomie ist die Risikoprämie. Ihre herausragende Stellung lässt sich auch anhand eines Zitates von Ökonom Martin Leibowitz veranschaulichen, der die Risikoprämie als „…the financial equivalent of a cosmological concept“ bezeichnet ¹ .

Die Lösung zur Bestimmung einer ex-ante Risikoprämie ist oberste Antriebsfeder heutiger Finanzmarktexperten. Dabei werden grundsätzlich vier prinzipielle Methoden unterschieden: Zunächst besteht die Möglichkeit der Befragung von Experten. Jedoch liegen die dabei ermittelten Schätzungen der zukünftigen Risikoprämie im Durchschnitt signifikant über modelltheoretisch generierten Werten ² .

Eine weitere Möglichkeit eröffnet Gordon in seinem Modell, in dem sich implizit aus Fundamentalvariablen wie Wirtschaftswachstum, Dividenden oder Erträgen eine Prämie berechnen lässt ³ .

Die am häufigsten verwendete Methode ist die ex-ante Ableitung von historisch erzielten expost Risikoprämien.

Basierend auf dieser historischen Herangehensweise hat sich letztes Prinzip herausgebildet, das sich größtenteils auf die Arbeit „Equity Premium Puzzle“ von Mehra und Prescott aus dem Jahr 1985 stützt und das intertemporale Nutzenmaximierungsverhalten der Investoren in den Vordergrund stellt ⁴ .

Auch die Arbeiten von Tallarini und Alvarez/Jermann haben den Anspruch, Ihren Teil zur Lösung dieses Rätsels beizutragen, jedoch liegt ein Hauptaugenmerk dieser Arbeiten darin, eine Brücke schlagen zu wollen zwischen Betrachtung des gesamten Konjunkturzyklus und der Wertpapierbewertung.

Tallarini, dessen Artikel „Risk-Sensitive Real Business Cycles“ den Schwerpunkt dieser Arbeit darstellt, untersucht bei erhöhter Risikoaversion und konstanter Konsumelastizität Auswirkungen auf die Wohlfahrt sowie auf Eckdaten von Konjunkturzyklen. Gleichzeitig soll es möglich sein, verbesserte Aussagen über den Kapitalmarkt zu treffen.

¹ Vgl. Leibowitz, M.L., 2001. Equity Risk Premium Forum. Abrufdatum: 2.10.05 unter:

http://aimrpubs.org/ap/issues/v2002n1/toc.html

Die Risikoprämie ist definiert als Differenz zwischen erwarteter Rendite aus dem Marktportfolio aus Aktien und

der Verzinsung risikoloser Anlagen.

² Als Beispiel wäre hier eine Befragung von Ivo Welch zu nennen. Vgl. Welch, I., 2000. Views of Financial

Economists on the Equity Premium and on Professional Controversies, Journal of Business 73, S. 501-537.

³ Vgl. Gordon, M.J., 1962. The Investment, Financing and Valuation of the Corporation, Homewood.

⁴ Vgl. Mehra, R., Prescott, E.C., 1985. The equity premium: a puzzle. Journal of Monetary Economics 15, S.

145-161.

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Um das Problem der vollen Spezifikation von Nutzenfunktionen und Präferenzen der Investoren zu umgehen, verwenden Alvarez/Jermann in ihrer Arbeit „Using asset prices to measure the cost of business cycles“ stattdessen Wertpapierpreise, um Wohlfahrtskosten von Konjunkturschwankungen direkt zu messen. Weiterhin soll die Beziehung zwischen Kosten der Konsumunsicherheit, der Risikoprämie und der Grenzkosten von Konsumschwankungen beleuchtet werden.

2. Das Standardmodell

Im Folgenden wird anhand eines einfachen Modells versucht, die von den Investoren theoretisch geforderte Risikoprämie auf Aktien von der Nachfrageseite her zu ermitteln ⁵ . Das Grundprinzip der Konsumtheorie besagt, dass der Verlust an Grenznutzen durch Verzicht auf heutigen Konsum dem erwarteten Gewinn an Grenznutzen durch zukünftigen Konsum entsprechen muss. Dabei ist der Grenznutzen stets positiv, nimmt aber bei zunehmender Konsumhöhe ab ⁶ .

Die folgende Darstellung folgt weitgehend den Ausführungen von Cochrane ⁷ . Die Nutzenfunktion für jeden möglichen zukünftigen Konsumpfad eines repräsentativen Investors wird darin mit ∞

( )dt ∫ β ⁻ = t (1) C u e E U

t

⁼ t 0

beschrieben. C t bezeichnet dabei den Konsum zum Zeitpunkt t und der Parameter β

beschreibt den subjektiven Diskontierungsfaktor des repräsentativen Investors. Die Funktion U(·) ist streng monoton steigend und konkav und beschreibt damit einen steigenden aber abnehmenden Grenznutzen des Konsums.

Dabei beschreibt u(C) eine Funktion der konstanten relativen Risikoaversion: χ ( ) =

C u Der Risikoaversionsparameter χ steht einerseits für die Höhe der Risikoaversion und

andererseits für die Bereitschaft der Investoren, ihren Konsum über die Zeit zu substituieren. Die intertemporale Substitutionselastizität ψ ist dabei direkt mit dem Risikoaversions-

⁵ Vgl.Mehra, R., Prescott, E.C., 1985. The equity premium: a puzzle. Journal of Monetary Economics 15, S.

145-161.

⁶ Hierbei handelt es sich um die „Gossenschen Gesetze“, vgl. Gossen H.H., 1889. Entwicklung der Gesetze des

menschlichen Verkehrs und der daraus fließenden Regeln für menschliches Handeln, Berlin: Prager.

⁷ Vgl. Cochrane, J.H., 1997. Where is the market going? Uncertain facts and novel theories. Federal Reserve

Bank of Chicago Economic Perspectives Nov/Dec, S. 3-37.

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parameter χ verbunden ⁸ . Die Intuition dahinter ist, dass, wenn Konsumenten abgeneigt

gegenüber der Variation verschiedener Zustände zu einem bestimmten Zeitpunkt sind, sie auch gegenüber der Veränderung des Konsums über die Zeit abgeneigt sind. Für χ = 0 liegt dabei Risikoneutralität und eine perfekte Substitution des Konsums im Zeitablauf vor, χ = 1

steht für u(C) = ln(C) und bedeutet, dass jede Verdopplung des Konsums einen identischen zusätzlichen Nutzen stiftet.

Durch einfaches umformen von Gleichung (2) erhält man:

( ) ′ C u C

χ − = . (3)

( ) ′ C u

Hohe χ bedeuten, dass die Investoren eine hohe Risikoaversion sowie eine niedrige

intertemporale Substitutionselastizität aufweisen.

Dieses Standardmodell dient als Grundlage zahlreicher makroökonomischer Modelle. Theoretisch kann also nun ex-ante eine Risikoprämie berechnet werden. Dabei werden folgende Annahmen getroffen: Die Präferenzen der Investoren werden durch die Nutzenfunktion in Gleichung (1) beschrieben. Es besteht ein vollkommener Kapitalmarkt und es existieren weder Transaktionskosten noch Steuern. Die Investoren können dabei zwischen risikolosen und risikobehafteten Anlagen wählen.

3. Tallarini`s Spezifikation der Präferenzen

Wie in der gesamten Mikroökonomie tritt auch an dieser Stelle zunächst die Frage nach einer geeigneten Spezifikation der Präferenzen der Agenten auf. Standardnutzenfunktionen, die Verhalten über Zeit und verschiedene Zustände der Welt lediglich durch Diskontfaktoren und Wahrscheinlichkeiten generieren, erlauben höchstens eine inkonsistente, statische Betrachtung ⁹ .

Als Einstieg betrachtet Tallarini zunächst eine Ökonomie mit exogen gegebenem Konsum und wie folgt generalisierten Präferenzen, 1 = log

c U t

1 ψ χ : = ⁸ Die intertemporale Konsumelastizität ψ ist dabei der Kehrwert des Parameters . χ

⁹ Additive Erwartungsnutzenstruktur:

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) =

z c U t z . mit Diskontfaktor ß (0 < ß < 1), Wahrscheinlichkeiten p abhängig von der Geschichte t

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wobei χ der Koeffizient der relativen Risikoaversion und t E der bedingte Erwartungswert

zum Zeitpunkt t ist. Da angenommen wird, dass alle Agenten gleiche, homothetische Präferenzen besitzen, kann der Fokus auf einen repräsentativen Agenten gerichtet werden ¹⁰ . Der Generalisierung der Präferenzen liegt die Idee von rekursiven Nutzenfunktionen zugrunde, basierend auf der Arbeit von Epstein und Zin. Zunehmend verallgemeinernd lassen sich Präferenzen generell in drei Unterklassen einteilen. Zunächst einmal die Annahme von additiven, homogenen von Neumann-Morgenstern Nutzenfunktionen, weiterhin eine um einen unendlichen Zeithorizont erweiterte Version und schließlich der hier zu betrachtende Fall einer „non-expected“ Nutzentheorie, der eine Modellierung über mehrere Perioden erlaubt ¹¹ .

Im oben beschriebenen Standardmodell ist der Risikoaversionsparameter χ direkt mit der intertemporalen Substitutionselastizität ψ verbunden. Somit lehnt ein Investor, der der

Variation des Konsums zu einem bestimmten Zeitpunkt ablehnend gegenübersteht, auch eine Veränderung über die Zeit ab. Das Mehra-Prescott Modell hat somit die Schwäche, dass der Agent wenig Anreiz zum Sparen hat und einen zukünftig möglichen Mehrkonsum nicht realisieren will. Die Nachfrage nach festverzinslichen Anlagen ist höher und der risikofreie Zins muss hoch sein. Epstein und Zin durchbrechen mit dieser Spezifikation diese Einschränkung und ermöglichen eine Betrachtung von unterschiedlich hohen Risikoaversionen bei unterschiedlichen Substitutionselastizitäten.

4. Implikationen der gewählten Präferenzen und Eigenschaften der

intertemporalen Grenzrate der Substitution

Bevor Tallarini zum Kern seiner Arbeit vordringt, nämlich den Implikationen bei erhöhter Risikoaversion in Konjunkturzyklen, betrachtet er zunächst die Eigenschaften seiner gewählten Präferenzen sowie der intertemporalen Grenzrate der Substitution (IGRS). In diesem Fall, in dem nicht nach Zuständen differenziert wird, ist die Darstellung der intertemporalen Grenzrate der Substitution etwas komplizierter ¹² :

¹⁰ Vgl. Tallarini Jr., T.D., 2000. Risk-Sensitive Real Business Cycles, Journal of Monetary Economics 45, S. 510.

Anmerkung: Eine Nutzenfunktion heißt „homothetisch“, wenn sie als monotone Transformation einer linear

homogenen Funktion dargestellt werden kann.

¹¹ Vgl. Epstein, L.G., Zin, S.E., 1989. Substitution, risk aversion and the temporal behavior of consumption and

asset returns: a theoretical framework. Econometrica 57, S. 938

¹² Vgl. Tallarini Jr., T.D., 2000. S. 511.

Anmerkung: Bei einer zustandsabhängigen Spezifikation einer logarithmischen Nutzenfunktion ist die IGRS

einfach ß mal dem Verhältnis von heutigem zu morgigem Konsum.

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( )( ) ( )

= ß m

+ t , 1

Bedingt man diesen Ausdruck auf einen Zeitpunkt t, so erhält man den Preis einer risikolosen Anlage bewertet anhand einer Einheit Konsum zum Zeitpunkt t + 1: ( )( ) ( )

[ ] = m E

+ ^{, 1} t

Aus diesem Term, den Tallarini auch als verzerrten Erwartungsoperator bezeichnet, lässt sich nun ein durchschnittlicher Zinssatz und der Marktpreis des Risikos berechnen, wobei letzterer definiert ist als Verhältnis aus der Standardabweichung der Überschussrendite eines wertmäßig gewichteten Portfolios zu seinem Durchschnitt ¹³ . Nun wird der exogen gegebene Konsum der Ökonomie auf zwei übliche Arten spezifiziert. Einerseits wird die Annahme eines trendstationären Konsumstroms getroffen,

( ), γ + = TS exp z t c (7)

t

und andererseits wird eine Random-Walk Spezifikation betrachtet ¹⁴ : ( ) = RW y c exp . (8)

t

Eingebettet in das Modell erhalten wir aus trendstationärer Sicht folgenden Ausdruck für den erwarteten risikolosen Zins:

[ ]

= E f r

Der zugehörige Marktpreis des Risikos ergibt sich aus folgender Gleichung:

Für das Random-Walk Modell lässt sich der risikolose Zins wie folgt berechnen:

= r f

¹³ Vgl. Tallarini Jr., T.D., 2000. S. 513.

m und entspricht dann dem Verhältnis Der Marktpreis wird berechnet aus den ersten beiden Momenten von

+ t 1

aus Standardabweichung der GRS und dem Durchschnitt. Diese Berechnung folgt der Analyse von Hansen und

Jagannathan (1991).

¹⁴ Vgl. Tallarini Jr., T.D., 2000. S. 514.

Anmerkung: Zur Erinnerung an statistische Konzepte siehe Anhang.

( )

z folgt einem AR(1)-Prozess, hier:

t

y folgt einem Random-Walk mit Drift:

t

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Und schließlich der Marktpreis des Risikos im Random-Walk Modell ¹⁵ :

( )

Um die Sinnhaftigkeit der beiden gewählten Umgebungen zu untermauern, verwendet Tallarini eine Grafik (Abb.1), in der er neben trendstationärem und Random-Walk Modell auch Punkte für ein Erwartungsnutzenmodell sowie den Hansen-Jagannathan ¹⁶ Bereich einzeichnet.

Abb.1: Alle Datenpaare basieren auf wertmäßig gewichteten Portfolios der New Yorker Börse für den Zeitraum von 1948 bis 1993. Als Referenzwert für die risikolose Anlage wird der Treasury Bill desselben Zeitraums verwendet. Durchgezogene Linie: Hansen-Jagannathan

¹⁵ Vgl. Tallarini Jr., T.D., 2000. Risk-Sensitive Real Business Cycles, Journal of Monetary Economics 45, S. 512.

¹⁶ Vgl. Hansen L.P., Jagannathan, R., 1991. Implications of security market data for models of dynamic

economies, Journal of Political Economy 99, S. 225-262

Die Autoren zeigen, wie historische Marktdaten verwendet werden können, um eine zulässige Region für

Durchschnitte und Standardabweichungen der IGRS zu generieren. Auffallend ist hierbei die Dualität zur

effizienten Grenze aus dem CAPM. Die Region liefert also einen groben Umriss von vorteilhaften

Datenpunkten.

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