Inhaltsverzeichnis

1  Einleitung  3

2  Musterbildung in einer Einspiegelanordnung  5

2.1  Optische R u c k k o p p l u n gi ne i n e rE i n s p i e g e l a n o r d n u n g  5

2  2 N a t r i u m d a m p fa l sn i c h t l i n e a r e sM e d i u m  6

2.3  Modifizierte Einspiegelanordnung mit λ/4-Pl a t t c h e n.  8

2  4 E x p e r i m e n t e l l e rA u f b a u  9

3   

Uberblick  uber beobachtete Mustertypen  15

3  1 B e o b a c h t u n gd e rb i s h e rb e k a n n t e nM u s t e ru n de i n i g e rV a r i a t i o n e n. 1  5

3.1.1  Hexagone 1  6

3.1.2  Quasimuster: Q 12 1  7

3.1.3   

Uberstrukturen  auf hexagonalem Grundgitter: SiH SiH 1  8

3.1.4   

Uberstrukturen  auf quadratischem Grundgitter: AS 2,1 S i S 1  9

3.1.5  Kontrastreiche Streifen: W a l l s “ 2  1

3.1.6  Kontrastreiche Quadrate: C h e s s b o a r d s “  2

3  1 7 N i c h te i n d e u t i gk l a s s i fi z i e r t eM u s t e r. 2  3

3  2 B e o b a c h t u n ge i n e rn e u e nM u s t e r f o r m. 2  5

3  3 R e p r o d u z i e r b a r k e i td e rM e s s u n g e n 2  7

4  Kollimationskontrolle  31

4  1 A u s k o p p l u n gm i te i n e mM i k r o s k o p o b j e k t i v. 3  1

4  2 A u s k o p p l u n gm i te i n e m2 - L i n s e n s y s t e m. 3  2

4  3 A u s k o p p l u n gm i tM i k r o s k o p o b j e k t i vu n dT e l e s k o p. 3  4

1

2  Inhaltsverzeichnis  

5A  b h angigkeit der Musterbildung von der Temperatur  37

5.1  Bifurkationsszenario bei T 284 C 3  8

5.2  Bifurkationsszenario bei T 304 C 4  1

5.3  Bifurkationsszenario bei T 315 C  4

5.4  Bifurkationsszenario bei T 325 C 4  8

5  5 V e r g l e i c hd e rB i f u r k a t i o n s s z e n a r i e nd e rv e r s c h i e d e n e nT e m p e r a t u r e n. 5  1

5.6  Abh angigkeit der Stabilit atsbereiche von experimentellen Parametern  52

6  Einfluss der Laserstrahlkollimation  57

6.1  Systematische Variation der Laserstrahlkollimation 5  7

6.2  Kollimationsabh angige Wellenzahl a n d e r u n g e n 5  9

6.3  Beobachtung der 42 - M u s t e ri nd i v e r g e n t e nS t r a h l e n 6  0

6  3 1 A n a l y s ee i n e se x p e r i m e n t e l lb e o b a c h t e t e nM u s t e r4 2. 6  1

6  3 2 V e k t o r i e l lg e n e r i e r t e sM u s t e r4 2. 6  3

6.3.3  Parameterabh a n g i g k e i t e n.  6

6.3.4  H o h e r eH a r m o n i s c h e 6  8

6  4 D i s k u s s i o n. 7  0

7  Zusammenfassung und Ausblick  73

A  Messung der Teilchenzahldichte  77

A  1 M e s s u n gm i t t e l sK l e i n s i g n a l a b s o r p t i o n  7

A  2 M e s s u n gm i t t e l sd e sn i c h t l i n e a r e nF a r a d a y - E ff e k t 7  8

A  3 D i s k u s s i o n. 7  9

B  Entstehung von Fourierkomponenten durch die nichtlineare Propagations-  

funktion  des Mediums  81

B  1 M o t i v a t i o n. 8  1

B  2 A l l g e m e i n e s 8  2

B  3 R e e l l eS t r e i f e ni nd e rO r i e n t i e r u n g. 8  2

B  4 R e e l l e sZ w e i - M o d e n - P r o b l e m. 8  4

B.5  Abschw achung der h oheren Harmonischen eines AS 2,1 S i S 8  7

B  6 R e e l l e sD r e i - M o d e n - P r o b l e m  8

Kapitel 1

Einleitung

Seit einigen Jahren ist ein wachsendes Interesse an Strukturbildungsprozessen zu beobachten. Dabei ist es eine weitverbreitete Beobachtung, dass der homogene Gleichgewichtszu-stand instabil wird, wenn das System durch ¨ Anderung eines Stressparameters weit genug

aus dem thermodynamischen Gleichgewicht getrieben wird [CH93]. Typischerweise bilden sich an der Schwelle zun¨ achst einfach periodische Muster (Streifen, Quadrate, Hexagone). Viele ihrer Eigenschaften sind unabh¨ angig von dem spezifischen musterbildenden System, in dem sie auftreten [CH93]. Bei einer weiteren Erh¨ ohung des Stressparameter kommt es oft zu sekund¨ aren Bifurkationen oder Sequenzen von Bifurkationen, in denen das Systemverhalten zunehmend komplexer wird. Vieluntersuchte M¨ oglichkeiten sind das Auftreten von Defektstrukturen und regul¨ aren oder irregul¨ aren Zeitabh¨ angigkeiten. F¨ ur einen ¨ Uberblick sei auf [Man90, CH93, BN98, BC98] verwiesen.

In den letzten Jahren wurde klar, dass es auch andere M¨ oglichkeiten zur Erzeugung von station¨ aren Zust¨ anden h¨ oherer Komplexit¨ at gibt, in denen eine hohe Regularit¨ at ¨ uber das Grundgebiet erhalten bleibt. ¨ Uberstrukturen oder Supergitter, welche sich aus einfacheren Gittern zusammensetzen lassen, wurden in hydrodynamischen Experimenten gefunden [KPG98, AF98, WMK99]. Theoretische Beschreibungen sind erst in den Anf¨ angen [DG92, JS00, LLBRT96]. ¨ Uberstrukturen wurden vor kurzem in unserer Arbeitsgruppe in einem musterbildenden optischen System beobachtet [GWHAL01]. Es handelt sich um eine experimentelle Realisierung einer so genannten Einspiegelanordnung [Fir90, DF91, DF92], die ein wichtiges Modellsystem zur Untersuchung von Musterbildung in der nichtlinearen Optik ist. Sie besteht aus einem nichtlinearen Medium und einem Spiegel, der einen Teil des durch das Medium transmittierten Lichts in dasselbe zur¨ uckkoppelt. Die Muster werden als r¨ aumliche Strukturen in der Ebene transversal zur Ausbreitungsrichtung beobachtet, d.h. das Lichtfeld wird senkrecht zur Ausbreitungsrichtung aufgrund des Zusammenspiels von Beugung und der Wechselwirkung mit einem nichtlinearen Medium moduliert.

Die Verwendung von Natrium als nichtlineares Medium erleichtert die Kontrolle ¨ uber

die Bildung von Mustern, da die Nichtlinearit¨ at in Abh¨ angigkeit von experimentell gut

3

4 Kapitel 1. Einleitung

zug¨ anglichen Parametern, wie dem Magnetfeld [AHLL97], der Polarisation [ABL ⁺ 97] und uber eine große Spanne ¨ andert [LAA ⁺ 99]. Zudem existiert ein der Teilchenzahldichte, sich ¨ etabliertes Modell [MDLM86].

Als interessante Erweiterung erwies sich das Einf¨ ugen eines λ/4-Pl¨ attchens zwischen das nichtlineare Medium und den R¨ uckkoppelspiegel [SF96]. Hiermit werden wesentlich kleinere Laserleistungen f¨ ur die Musterbildung ben¨ otigt. Vor allem werden Quasimuster und ¨ Uberstrukturen beobachtet [Aum99, HGWA ⁺ 99].

Ein zusammenfassender ¨ Uberblick ¨ uber alle beobachteten Muster existiert bisher nicht. In

dieser Arbeit werden Mustertypen aufgef¨ uhrt, welche die Muster nach ihren Eigenschaften klassifizieren. Die Muster werden hierzu ¨ uber die Wellenvektoren ihrer Grundmoden

identifiziert. Winkel zwischen den Wellenvektoren, Wellenzahlverh¨ altnisse unterschiedlich langer Wellenvektoren innerhalb eines Musters, Intensit¨ atsverh¨ altnisse der einzelnen Fouriermoden sowie das zugrunde liegende Grundgitter, auf dem die Wellenvektoren an-geordnet sind, geh¨ oren zu den Kerneigenschaften eines Musters. Variationen solcher idealisierten Muster werden gesondert aufgef¨ uhrt und deren Abweichungen vom Standardtyp diskutiert. ¨ Uber die Mechanismen der Musterselektion existiert noch keine umfassende Theorie. In einigen Ans¨ atzen werden Resonanzen von Vektorsummen von Wellenvektoren als Kriterium benutzt [VK97]. Eine Analyse der auftretenden Wellenzahlen in Abh¨ angigkeit von den Parametern soll helfen, Material f¨ ur zuk¨ unftige Interpretationen bereitzustellen.

Da bisher die Reproduzierbarkeit einiger Muster nicht gegeben war, wird nach einem zuvor nicht gut kontrollierten Parameter gesucht. Es stellt sich heraus, dass der gesuchte Parameter die Strahlkollimation ist. Damit er¨ offnet sich aufgrund der hinzugewonnenen Dimension des Parameterraums ein neuer Freiheitsgrad, der bisher noch nicht gezielt oder uberhaupt nicht untersucht wurde. Durch systematische Kontrolle der Strahlkollimation ¨

ist es m¨ oglich, Muster eines neuen Mustertyps zu beobachten und zu analysieren.

Kapitel 2

Musterbildung in einer

Einspiegelanordnung

2.1 Optische R¨ uckkopplung in einer Einspiegelanord-

nung

Das in dieser Arbeit behandelte System basiert auf einem Modell, das von d’Alessandro und Firth 1990 vorgeschlagen wurde [Fir90] und in Abb. 2.1 schematisch dargestellt ist.

Auf eine d¨ unne Schicht eines Kerr-Mediums wird eine ebene Lichtwelle eingestrahlt. Ein ebener Spiegel im Abstand d hinter dem nichtlinearen Medium reflektiert das transmittierte Licht zur¨ uck in das Medium. Der wesentliche Unterschied zu anderen musterbildenden optischen Systemen ist die Trennung der Nichtlinearit¨ at des Mediums einerseits und der r¨ aumlichen Kopplung transversal zur Ausbreitungsrichtung andererseits. Die Annahme eines d¨ unnen Mediums ist entscheidend daf¨ ur, dass die Beugung im Medium vernachl¨ assigt werden kann. Die Separation der Effekte erleichtert die theoretische Behandlung.

Das Zusammenspiel der Nichtlinearit¨ at und der r¨ aumlichen Kopplung f¨ uhrt unter be-

5

6 Kapitel 2. Musterbildung in einer Einspiegelanordnung

stimmten Umst¨ anden dazu, dass periodische Muster in der Ebene transversal zur Ausbreitungsrichtung des Lichtfeldes entstehen.

Der zur Musterbildung f¨ uhrende Mechanismus kann anschaulich anhand des Talbot-Effekts erkl¨ art werden. Dieser besagt, dass eine periodische Phasen- bzw. Amplitudenmodulation einer ebenen Welle durch Beugung bei der Ausbreitung im Vakuum in eine Amplitudenbzw. Phasenmodulation umgewandelt wird. Eine ebene Welle erf¨ ahrt durch eine Brechungsindexverteilung, die aus einer periodischen Modulation des Brechungsindex senkrecht zur Ausbreitungsrichtung entstanden ist, eine Phasenmodulation. F¨ ur bestimmte transversale Wellenzahlen wird diese Phasenmodulation bei der Propagation zum Spiegel und zur¨ uck in eine reine Amplitudenmodulation umgewandelt. Aufgrund der Nichtlinearit¨ at des Mediums verst¨ arkt das zur¨ uckgekoppelte Licht die anf¨ anglich aus dem Rauschen entstandene Modulation des Brechungsindex und erm¨ oglicht ein Anwachsen der St¨ orung mit dieser Wellenzahl. Die Wellenzahl, die auf diese Weise bei Erh¨ ohen der Leistung zuerst selektiert wird, wird ” kritische Wellenzahl“ genannt. Die Richtung der periodischen St¨ orung wird durch einen ” transversalen Wellenvektor“ beschrieben. Eine belie-

bige Brechungsindexmodulation l¨ asst sich durch Kombination mehrerer Wellenvektoren beschreiben. Welche der Wellenvektoren gleicher L¨ ange sich ausbilden, wird durch die nichtlineare Wechselwirkung zwischen ihnen bestimmt. F¨ ur das hier vorgestellte Modellsystem wurden hexagonale Muster an der Schwelle und turbulente Zust¨ ande fernab von der Schwelle zur Musterbildung vorhergesagt [DF91, DF92]. Da das Muster durch eine selektive Verst¨ arkung aus dem Rauschen heraus entsteht, spricht man von ” spontaner Musterbildung“.

2.2 Natriumdampf als nichtlineares Medium

Zur Realisierung einer Einspiegelanordnung im Experiment wird ein endlich ausgedehnter Gauß’scher Strahl, im Gegensatz zu einer nicht zu realisierenden ebenen Welle, auf ein endlich ausgedehntes nichtlineares Medium eingestrahlt. Als nichtlineares Medium wird Natriumdampf gew¨ ahlt.

Natriumdampf als nichtlineares Medium bietet den Vorteil, dass sich die Wechselwirkung mit Licht anhand eines mikroskopischen Modells gut beschreiben l¨ asst und sich dieses Modell durch experimentelle Untersuchungen [MDLM86] best¨ atigt hat. Er zeichnet sich außerdem durch seine hohe optische Qualit¨ at und seine gute experimentelle Handhabbarkeit aus. Die Nichtlinearit¨ at des Natriumdampfes l¨ asst sich gezielt ¨ uber verschiedene

experimentell gut zug¨ angliche Parameter beeinflussen (vgl. Kap. 2.4).

Im Experiment wird Licht der Frequenz in der N¨ ahe der Natrium-D 1 -Linie eingestrahlt, welches den 3S 1/2 → 3P 1/2 - ¨ Ubergang anregt. Die Zugabe von Stickstoff als Puffergas

f¨ uhrt zu einer homogenen Druckverbreiterung des ¨ bung des Mediums als homogen verbreiterten J = 1

entarteten Zwei-Niveau-Systems, da die Hyperfeinstrukturaufspaltung durch die Druck-

2.2. Natriumdampf als nichtlineares Medium 7

Abbildung 2.2: Kastler-Diagramm der homogen verbreiterten Natrium-D 1 -Linie als J = ¹ → J ^′ = ¹ Ubergang

2 2

verbreiterung ¨ uberdeckt wird. Die beiden Energieniveaus sind jeweils zweifach nach der Magnetquantenzahl m j = ±1/2 entartet, so dass das System durch zwei Unterzust¨ ande |1 > und |2 > des Grundzustands und die Unterzust¨ ande |3 > und |4 > des angeregten Zustandes beschrieben wird. Das Kastler-Diagramm [Kas50] in Abb. 2.2 verdeutlicht den Prozess des optischen Pumpens. σ + -Licht erzeugt den ¨ σ − -Licht erzeugt den ¨ Ubergang von |2 > nach |3

>. Im Folgenden wird die Besetzungszahl des Unterzustands |i>mit n i angegeben. St¨ oße der angeregten Natriumatome mit den Molek¨ ulen des Puffergases sorgen f¨ ur Gleichbesetzung der angeregten Zust¨ ande (n 3 = n 4 ). Die Relaxation findet jeweils aus beiden Unterzust¨ anden des angeregten Zustandes in beide Unterzust¨ ande des Grundzustands statt. Durch die Gleichbesetzung ist damit die Relaxation in beide Unterzust¨ ande |1 > und |2 > gleich wahrscheinlich. Bei Verwendung von Stickstoff als Puffergas finden diese Abregungen strahlungslos statt. Die Zerfallsrate Γ 1 (≈ 3, 9·10 ⁹ s ⁻¹ ) vom angeregten in den Grundzustand ist groß gegen¨ uber den Pumpraten P ± (< 10 ⁶ s ⁻¹ ), welche die Anregungen aus dem Grundzustand auf das h¨ ohere Energieniveau beschreibt. Dies rechtfertigt die Annahme, dass die Besetzung des angeregten Zustandes gegen¨ uber der des Grundzustandes vernachl¨ assigt werden kann (n 3 =0 ,n 4 = 0). Da die Gesamtanzahl an Besetzungen konstant ist (n 1 + n 2 = const.), ist der Besetzungszahlunterschied (n 2 − n 1 )z w i s c h e nd e n Unterzust¨ anden des Grundzustands die einzige Variable. Die Beschreibung wird somit auf die sogenannte Orientierung w = n 2 − n 1 reduziert. Die zeitliche Entwicklung der

8 Kapitel 2. Musterbildung in einer Einspiegelanordnung

Orientierung w wird durch folgende Modellgleichung beschrieben [Ack96]:

˙ w = −γw + D∆ ⊥ w +(P + − P − ) − (P + + P − )w (2.1)

Die Terme auf der rechte Seite beschreiben (von links nach rechts) die Grundzustandsrelaxation, die Diffusion proportional zur Diffusionskonstanten D, das optische Pumpen und die S¨ attigung. Von der Orientierung des Mediums h¨ angen Absorptionskoeffizient und Brechungsindex des Natriumdampfes linear ab. Die nichtlineare Suszeptibilit¨ at χ ± der beiden zirkularen Polarisationen ergibt sich aus [MDLM86]:

χ ± = χ linear (1 ∓ w) (2.2)

Firth [Fir90] geht von einem Kerr-Medium aus. Hierbei handelt es sich um ein rein dispersives Medium ohne S¨ attigung. In atomaren D¨ ampfen hingegen wird durch das vollst¨ andige Entleeren eines der beiden Unterzust¨ ande des Grundzustands S¨ attigung erreicht. Dies geschieht, wenn die Differenz der zirkularen Pumpraten |P + − P − | groß gegen die Grund-zustandsrelaxation γ ist. Letztere beschreibt die Austauschprozesse zwischen den Unterzust¨ anden des Grundzustands. Die S¨ attigung ist in der Modellgleichung (2.1) ber¨ ucksichtigt.

Neben Absorption und Dispersion wird die Diffusion ber¨ ucksichtigt. Durch diffundierende Natriumatome werden r¨ aumliche Orientierungsunterschiede ausgeglichen. Die Diffusion wirkt also, wie die S¨ attigung, der Musterbildung entgegen. Dadurch wird vor allem die Verst¨ arkung von Komponenten großer Wellenzahlen verhindert. Unter der Annahme eines d¨ unnen Mediums wird nur die Diffusion transversal zur Ausbreitungsrichtung ber¨ ucksichtigt, indem in (2.1) im zweiten Term auf der rechte Seite der transversale Laplace-Operator ∆ ⊥ verwendet wird. Die im Experiment ebenfalls vorhandene longitudinale Diffusion wird vernachl¨ assigt. Eine Kontrolle der Diffusionsraten findet ¨ uber den Puffergasdruck statt.

2.3 Modifizierte Einspiegelanordnung mit λ/4-Pl¨ att-

chen

Die Verwendung von zirkular polarisiertem Licht f¨ uhrt schon bei niedrigen Pumpraten zu einer S¨ attigung des Mediums, die in Verbindung mit der Diffusion die Entstehung von Strukturen verhindert [AAGW ⁺ 01]. F¨ ur die Einstrahlung von linear polarisiertem Licht, das sich zu gleichen Teilen aus σ + und σ − zusammensetzt, entsteht nach (2.1) kein Besetzungszahlunterschied. Dennoch kann eine rauschinduzierte St¨ orung in der Orientierung selektiv verst¨ arkt werden und zu so genannten Polarisationsmustern f¨ uhren [SF96, ABL ⁺ 97]. In diesem Fall tritt keine S¨ attigung des Mediums auf. Aufgrund der f¨ ur linear polarisierte Einstrahlung starken Absorption im Natriumdampf ist die Schwelle zur Musterbildung in diesem Fall besonders groß [ABL ⁺ 97]. Experimentelle Untersuchungen sind von daher vorwiegend auf den Bereich in der N¨ ahe dieser Schwelle begrenzt.

2.4. Experimenteller Aufbau 9

Pumpraten, die nur ein Drittel der bei linear polarisierter Einstrahlung ben¨ otigten betragen [AGWH ⁺ 99], reichen f¨ ur die Musterbildung aus, wenn zirkular polarisiert eingestrahlt wird und zus¨ atzlich der Aufbau um ein λ/4-Pl¨ attchen zwischen Medium und Spiegel erweitert wird (Abb. 2.3). Bei zweimaligem Durchlauf verh¨ alt sich dieses wie ein λ/2 und

Natriumdampf Spiegel λ/4-Plättchen σ +

Abbildung 2.3: Schematischer Aufbau einer Einspiegelanordnung mit λ/4-Pl¨ attchen bei Einstrahlung von zirkular polarisiertem Licht

tauscht somit die zirkularen Polarisationskomponenten gegeneinander aus. Da das Medium die Polarisation nicht ¨ andert, wird bei Einstrahlung von σ + -Licht in das Medium σ − -Licht zur¨ uckgekoppelt und damit ein antagonistischer Pumpprozess erreicht, der S¨ attigung verhindert.

Die starke Absenkung der Schwelle erm¨ oglicht die Untersuchung des Systems weit oberhalb der Schwelle zur Musterbildung [GWHAL01]. Weiterhin vergr¨ oßert sich die Fl¨ ache auf dem Gauß’schen Strahl, die lokal f¨ ur Musterbildung gen¨ ugend hohe Leistungen bereit h¨ alt.

Die Eigenschaften und Parameterabh¨ angigkeiten der auftretenden Strukturen sollen im Rahmen dieser Arbeit untersucht werden. Im Folgenden wird zun¨ achst der zu Beginn der Arbeit vorhandene experimentelle Aufbau beschrieben.

2.4 Experimenteller Aufbau

Der gr¨ oßte Teil des Experiments entspricht dem in [Aum99, Ack96] beschriebenen Aufbau (Abb. 2.4) und bestand schon vor Beginn dieser Arbeit. Da diese Elemente schon in den erw¨ ahnten Arbeiten ausf¨ uhrlich dargestellt sind, werden sie im Folgenden nur kurz mit Angabe von Referenzen erw¨ ahnt. Der wesentliche Unterschied zu den meisten vorausgegangenen Experimenten liegt in der Verwendung eines ^λ -Pl¨ attchens zwischen Medium

4

(NZ) und R¨ uckkoppelspiegel (S7) und der Einstrahlung von zirkular polarisiertem Licht.

10 Kapitel 2. Musterbildung in einer Einspiegelanordnung

Abbildung 2.4: Experimenteller Aufbau: S: Spiegel, L: Linse, LP: Linearpo-larisator, FR: Faraday Rotator, EE: Glasfaser-Einkoppeleinheit, AE: Glasfaser-Auskoppeleinheit, WM: Wavemeter, EOM: Elektro-optischer Modulator, PSG: Polarisationsstellglied, D: Detektor, NZ: Natriumdampfzelle, BS: Strahlteiler, FTIR: variabler Strahlteiler, FF: Fourierfilter, CCD: Kamera

Der beschriebene Aufbau erm¨ oglicht die Kontrolle folgender Parameter:

2.4. Experimenteller Aufbau 11

Lichtquelle

Als Lichtquelle dient ein frequenzstabilisierter Farbstofflaser, der durch einen Argon-Ionen-Laser gepumpt wird [Aum99]. Bei einer Ausgangsleistung von 6,0 - 6,2 W des Argon-Ionen-Lasers wird bei einer Wellenl¨ ange von 589 nm eine Ausgangsleistung von 500 - 700 mW des Farbstofflasers erreicht.

Eine optische Diode (FR mit LP 1 und LP 2 in Abb. 2.4) verhindert, dass der Laser aufgrund von R¨ uckreflexen instabil in Leistung oder Frequenz wird. Es muss ein Verlust der Leistung von 25% in Kauf genommen werden.

Ein geringer Teil der Lichtintensit¨ at wird zur Bestimmung der Wellenl¨ ange mittels eines Scanning-Michelson-Interferometers (’Wavemeter’, WM) ausgekoppelt [Ohl87]. Eine Abfrage der Frequenz am Wavemeter per GPIB-Datenbus erm¨ oglicht eine zur Bildaufnahme synchrone Speicherung der Messwerte. Kurzzeitige Modenspr¨ unge des Farbstofflasers lassen sich somit auch nachtr¨ aglich erkennen. Aufnahmen, die nach einem Frequenzsprung des Lasers gemacht werden, k¨ onnen so erkannt und bei geeigneter Frequenz wiederholt werden.

Die Regelung der Laserleistung geschieht ¨ uber einen elektrooptischen Modulator (EOM),

uber den zus¨ atzlich die Leistung hinter der Glasfaser mittels eines PID-Reglers stabilisiert ¨ wird [Ack96, M ¨ 92].

Raumfilterung mittels Einmodenglasfaser

Ein m¨ oglichst rotationssymmetrisches und gaußf¨ ormiges Strahlprofil wird durch Raumfilterung mittels einer Einmodenglasfaser erzwungen. Eine konfektionierte Glasfaser (Thorlabs FSSN 3224, w F =2µm) [Tho98] erwies sich im Vergleich zu der bisher verwendeten [Ack96] als geeigneter. Da sich die konfektionierte Glasfaser in einem dickeren Schutzmantel befindet, reagiert diese wesentlich unempfindlicher auf Luftstr¨ omungen. Leichtes Vibrieren der alten Faser ließ vor allem die Polarisationselliptizit¨ at des ausgekoppelten Lichtes stark schwanken. Da die Polarisation hinter der neuen Faser stabil ist, kann auf den zus¨ atzlichen Linearpolarisator LP 4 hinter der Auskopplung (AE) verzichtet werden. Dies bedeutet weniger Leistungsverlust zwischen Laser und Natriumdampfzelle.

Mit Hilfe eines Polarisationsstellgliedes (PSG) [GN89] wird das Licht hinter S6 vertikal linear polarisiert. M¨ ogliche Depolarisationen an den Spiegeln S5 und S6 werden dadurch kompensiert.

Zu Beginn wurde ein Mikroskopobjektiv (Spindler & Hoyer, f = 15,48 mm) in der Auskoppeleinheit der Glasfaser benutzt, um das stark aufgeweitete Lichtb¨ undel auf Entfernung der Zellenmitte zu kollimieren. Im Verlauf des Experiments wurden zwei weitere Verbesserungen vorgenommen, die in Kapitel 4 detailliert diskutiert werden. Der Astigmatismus hinter der Auskoppeleinheit der Faser ist kleiner als 3%.

Ein λ/4-Pl¨ attchen vor der Natriumdampfzelle stellt bei allen Experimenten zu dieser

12 Kapitel 2. Musterbildung in einer Einspiegelanordnung

Arbeit die Einstrahlung von zirkular polarisiertem Licht (ǫ pol =1)sic her.

Einspiegelanordnung: Natriumdampfzelle und R¨ uckkopplung

Zur Pr¨ aparation des Natriumdampfes in einer Stickstoff-Puffergasatmosph¨ are dient die in [Aum99] beschriebene Natriumdampfzelle (NZ in Abb. 2.4).

Die Teilchenzahldichte N der Natriumatome im Gaszustand wird ¨ uber die Zellentemperatur T geregelt, wobei T im Bereich 280 ^◦ C bis 340 ^◦ C variiert wird. Die Methode zur Bestimmung von N ist in Anhang A beschrieben.

Die folgenden Untersuchungen werden, wenn nicht anders vermerkt, bei einem Puffergasdruck des Natriumdampfes von 300 mbar durchgef¨ uhrt. Hierf¨ ur l¨ asst sich die Wechselwirkung zwischen Licht und Medium in guter N¨ aherung als homogen verbreiterter - ¨ → J ^′ = ¹ J = ¹ Ubergang modellieren [MDLM86].

2 2

Die Zelle ist von drei senkrecht zueinander stehenden Helmholtzspulenpaaren eingefasst. Die erzeugte Magnetfeldst¨ arke ist zu den gemessenen Spulenstr¨ omen proportional [Heu95].

Die longitudinale Komponente B || wird groß gegen die transversale B ⊥ gew¨ ahlt (B || ≫ B ⊥ ), da sich ein solches System in der theoretischen Beschreibung der Wechselwirkung des Mediums mit Licht wie eines ohne Magnetfeld verh¨ alt [Aum99]. Die transversale Erdmagnetfeld-Komponente B ⊥ wird auf 2 µT genau kompensiert. Um B || ≫ B ⊥ zu gew¨ ahrleisten, wird B || = 187 − 189µTg e w ¨ ahlt.

Das durch die Zelle transmittierte Licht wird durch einen hochreflektierenden Spiegel S7 (R =9 1 , 5% [Ack96], sp¨ ater R = 99%) in die Zelle zur¨ uckgekoppelt. Der Abstand zur Zellenmitte wird im Experiment zwischen 79 mm und 120 mm variiert. Ein kleinerer Abstand ist aufgrund der geometrischen Ausmaße der Zelle und des λ/4-Pl¨ attchens nicht m¨ oglich.

Mittels einer Dreipunkthalterung mit drei Differentialschrauben [B¨ u97] kann die Verkippung des Spiegels kontrolliert werden. Auf zwei dieser Schrauben sind Piezotranslatoren montiert, die mittels einer Regelschaltung die horizontale und vertikale Verkippung konstant halten. Die Verkippung des R¨ uckkoppelspiegels wird stets minimal gehalten und allenfalls in einem solchen Maße zugelassen, dass der Locking-Mechanismus [SAS ⁺ 97] f¨ ur Hexagone an der Schwelle zur Musterbildung greift. Ein Driften der Hexagone wird vermieden.

Zwischen Spiegel und Zelle wird ein λ/4-Pl¨ attchen platziert. Dies wirkt bei zweimaligem Durchlauf wie ein λ/2-Pl¨ attchen, tauscht also die zirkularen Komponenten des Lichtfeldes aus.

2.4. Experimenteller Aufbau 13

Analyseoptik

Hinter der Einspiegelanordnung wird der Strahl durch den Strahlteiler BS (vgl. Abb. 2.4) zur getrennten Betrachtung von Fern- und Nahfeld aufgespalten.

Das Ende des Natriumdampfes wird mittels der plan-konvex Linse L4( f = 300 mm) vergr¨ oßert auf die CCD-Kamera CCD1 mit Multi-Channel-Photomultiplier (Proxitronic Nanocam HF4 S 5N) abgebildet. Es wird eine Belichtungszeit von 3 µs verwendet. ¨ Uber die Abbildung eines Gitters (Gitterabstand d = 103, 8 µm [GW99], Gitterkonstante g = 60,53 mm ⁻¹ ), wird die Abbildung des Natriumdampfes auf die Kamera geeicht. Das Aufl¨ osungsverm¨ ogen ist durch die L¨ ange gegeben, die auf einen Pixel auf die Kamera abgebildet wird. Diese variierte zwischen 9,85 µm bei Experimenten zu Beginn dieser Arbeit und 9,63 µm bei Experimenten gegen Ende der Arbeit.

Die optische Fouriertransformierte wird mittels der plan-konvexen Linse L5(f = 600 mm) erhalten. In Brennweitenentfernung hinter der Linse wird die nullte Ordnung der Fourier-transformierten optisch ausgeblendet (FF). Dieses gefilterte Fernfeld wird mit der Linse L6 auf die CCD-Kamera CCD2 (Pulnix TM-765 [Ack96]) abgebildet. Im Fernfeld entspricht die Breite eines Pixels auf der Kamera einer Wellenzahl von 0,219 mm ⁻¹ eines Musters im Natriumdampf. An der Kamera CCD2wird ” Shutter 5“ eingestellt, wodurch

eine Belichtungszeit von 1/2000 s = 500 µsg e w ¨ ahlt wird. Die Kamerafenster sind beidseitig antireflexbedampft (λ = 590 nm unter 0 ^◦ ). Vorder- und R¨ uckseite schließen einen Keilwinkel von 30 Bogenminuten ein, um Interferenzen zu minimieren.

Eine Synchronisation der beiden Kameras ist erforderlich, da in Bereichen der Multistabilit¨ at eine zeitliche Dynamik vorherrscht. Aus der Proxitronic-Kamera ( Master“) werden

”

uber die horizontalen und vertikalen Synchronisationssignale herausgef¨ uhrt und in die ¨

Pulnix-Kamera (

”

Gleichzeitiges Einlesen ( ”

der Frequenz von 1 Hz an die IMAQ-Framegrabberkarten erzwungen.

14 Kapitel 2. Musterbildung in einer Einspiegelanordnung

Kapitel 3

¨

Uberblick ¨ uber beobachtete

Mustertypen

3.1 Beobachtung der bisher bekannten Muster und

einiger Variationen

In der Einspiegelanordnung mit λ/4-Pl¨ attchen wird bei Einstrahlung von zirkular polarisiertem Licht eine besonders große Vielfalt an Strukturen beobachtet [HGWA ⁺ 99, GWHAL01]. Im Folgenden werden die Muster, die in den Experimenten zu dieser Arbeit beobachtet werden, detailliert vorgestellt und nach ihren Eigenschaften klassifiziert. Die quantitativen Eigenschaften wie Wellenzahlen und Winkel zwischen Wellenvektoren werden analysiert und mit idealisierten Strukturen verglichen. Die Auswahl der Muster in Abh¨ angigkeit von den experimentellen Parametern Temperatur und Strahlkollimation wird in den Kapiteln 5 bzw. 6 diskutiert.

Von den Mustern werden jeweils das Nahfeld und das dazugeh¨ origen Fernfeld aufgenommen. Die Aufnahmen der Kamera sind in allen hier gezeigten Bildern invertiert auf einer Grauwertskala linear skaliert. Intensit¨ atsmaxima im Strahl sind dunkel, Minima hell dargestellt.

Das Fernfeld zeigt die optische Fouriertransformierte des Nahfeldes. Diese besteht aus wenigen intensit¨ atsstarken Maxima, die um einen Mittelpunkt herum angeordnet sind. Jeder Fourierkomponente liegt das Maximum ihrer Komplexkonjugierten gegen¨ uber. Neben diesen Maxima der ” Grundmoden“ existieren h¨ aufig weitere Maxima, die zu Wellenvektoren gr¨ oßerer Wellenzahl geh¨ oren. Diese Nebenkomponenten entsprechen einer Vektoraddition mehrerer Grundmoden und werden deshalb als ” h¨ ohere Harmonische“ bezeichnet. Ihre

Fourieramplituden sind um ein Vielfaches schw¨ acher, so dass diese bei zur Intensit¨ at pro-portionaler Graustufenskalierung kaum sichtbar sind. Zu jedem Mustertyp wird deshalb ein kontrastverst¨ arktes Bild des Fernfeldes gezeigt (z.B. Abb. 3.1c), in welchem die Nebenkomponenten deutlich zu sehen sind.

15

16 Uberblick ¨ uber beobachtete Mustertypen

Die Bilder sind in unterschiedlichen Maßst¨ aben dargestellt. In der Bildunterschrift wird jeweils die Fl¨ ache des gesamten Ausschnitts angegeben.

3.1.1 Hexagone

An der Schwelle zur Musterbildung bilden sich aus dem unmodulierten Zustand in Experimenten zu dieser Arbeit immer hexagonale Strukturen, kurz Hexagone, aus (Abb. 3.1).

Abbildung 3.1: Hexagone, a) Nahfeld (3,44 × 3,44 mm ² ), b) Fernfeld (78 × 78 mm ⁻² ), c) kontrastverst¨ arktes Fernfeld (101 × 101 mm ⁻² ), Parameter: P 0 = 119 mW, ∆ = 3,6 GHz, d = 77 mm, p ^N 2 = 308 mbar, T = 324 ^◦ C, N =8· 10 ¹⁸ m ⁻³ , R = 91,5%

Das Fernfeld setzt sich aus sechs Intensit¨ atsmaxima zusammen, von denen zwei gegen¨ uberliegende jeweils einer Fouriermode und ihrer komplexkonjugierten entsprechen. Die zugeh¨ origen Wellenvektoren haben alle ungef¨ ahr die gleiche L¨ ange. Benachbarte Wellen-vektoren unabh¨ angiger Fouriermoden schließen einen Winkel von 120 ^◦ ein, woraus sich eine sogenannte Triade aus drei Fourierkomponenten ergibt. Weiter oberhalb der Schwelle werden h¨ ohere Harmonische sichtbar, die sich aus einfachen Summen der Grundmoden mit ihren benachbarten komplexkonjugierten Wellenvektoren zusammensetzen. Diese sind jedoch um ein Vielfaches schw¨ acher als die Maxima der Grundmoden.

Im Nahfeld setzt sich das periodische Muster aus Punkten minimaler Intensit¨ at zusammen, die auf einem hexagonalen Gitter angeordnet sind. Auf einem idealen hexagonalen Gitter ist der Abstand zweier Minima im Nahfeld bei einer Musterwellenl¨ ange Λ = 2π

q

durch d = ² Λ gegeben. Dieser Abstand gibt die Periodizit¨ atsl¨ ange des Musters an. Da es √

3

sich um Minima im Nahfeld handelt, spricht man von negativen Hexagonen. Die Summe der Phasen einer Triade ist dann gleich π. 1

F¨ ur kleine Verstimmung treten Hexagone in einer subkritischen Bifurkation aus dem unmodulierten Zustand auf, so dass eine Hysterese zwischen dem Entstehen und Verschwinden der Hexagone beobachtet wird. Teilweise reicht der Bistabilit¨ atsbereich ¨ uber

¹ In ¨ ahnlichen Systemen [Aum99] treten auch positive Hexagone auf. Diese bestehen aus hexagonal an-geordneten Punkten maximaler Intensit¨ at und weisen eine verschwindende Phasensumme auf. In unserem System werden diese jedoch nicht beobachtet.

3.1. Beobachtung der bisher bekannten Muster und einiger Variationen 17

die Resonanz hinaus, so dass Hexagone f¨ ur resonante Einstrahlung stabil sind. F¨ ur große Verstimmungen wird diese Hysterese nicht beobachtet, obwohl sie f¨ ur das Modell von Firth (vgl. Kap. 2.1) vorausgesagt wird [CH93]. Numerisch wurden diese Abweichungen von der Theorie in einer vorausgegangenen Arbeit [Rud00] untersucht.

3.1.2 Quasimuster: Q 12

Bei Quasimustern mit zw¨ olfz¨ ahliger Drehsymmetrie (Q 12 ) handelt es sich um Muster, die im Nahfeld keine Periodizit¨ at aufweisen. Da sie sich - wie aus dem Fernfeld (Abb. 3.2b) ersichtlich wird - aber aus wenigen periodischen Funktionen zusammensetzen, spricht man von quasiperiodischen Mustern oder Quasimustern.

Abbildung 3.2: zw¨ olfz¨ ahlige Quasimuster, a) Nahfeld (3,44 × 3,44 mm ² ), b) Fernfeld (104 × 104 mm ⁻² ), c) kontrastverst¨ arktes Fernfeld (134 × 134 mm ⁻² ), d) aus zw¨ olf Fourierkomponenten generiertes Q 12 , Parameter zu a)-c): P 0 =66mW,∆=4,5GHz, d = 76 mm, p ^N 2 = 301 mbar, T = 325 ^◦ C, N =1 , 2 7·10 ¹⁹ m ⁻³ , R = 99%

Das Fernfeld (Abb. 3.2b) besteht aus zw¨ olf Intensit¨ atsmaxima, die auf einem Kreis liegen und gegenseitig einen Winkel von 30 ^◦ mit ihren Nachbarn einschließen. Dabei handelt es sich um sechs paare von Wellenvektoren im Winkel von 60 ^◦ zueinander.

In der Nahfeldaufnahme (Abb. 3.2a) sieht man immer nur einen Teilausschnitt des quasiperiodischen Musters (Abb. 3.2d) [AL00]. Diese Einzelst¨ ucke bestehen aus einem Punkt, der von f¨ unf etwas l¨ anglichen Minima auf einem Kreis umgeben ist. Dieser kleine, verwischt wirkende Kreis wird von einem großen Kreis mit doppeltem Radius aus zw¨ olf gleichm¨ aßig verteilten Maxima eingefasst. Die Einzelst¨ ucke setzen sich in Dreier- und Vierergruppen zu einem Quasimuster aneinander.

H¨ ohere Harmonische entstehen durch Addition von zwei fundamentalen Wellenvektoren. Besonders stark ausgepr¨ agt sind diejenigen, die durch Vektoraddition der zu benachbarten Fourierkomponenten geh¨ orenden Wellenvektoren entstehen (Abb. 3.2c).

18 Uberblick ¨ uber beobachtete Mustertypen

3.1.3 ¨ Uberstrukturen auf hexagonalem Grundgitter: SiH+SiH

Bei den in diesem und dem n¨ achsten Abschnitt diskutierten ¨ Uberstrukturen handelt es

sich um Kombinationen aus Unterstrukturen, deren Wellenvektoren unterschiedliche Wellenzahlen haben. Von einem Q 12 ausgehend wird durch Variation der Wellenzahlen die zw¨ olfz¨ ahlige Drehsymmetrie gebrochen. Durch Reduktion der Drehsymmetrie im Fernfeld wird die bei Q 12 nicht vorhandene Periodizit¨ at im Nahfeld wieder hergestellt wird. Die Nahfelder dieser ¨ Uberstrukturen ¨ ahneln sich sehr, deshalb ist eine Charakterisierung ¨ uber das Fernfeld sinnvoll.

a)

Abbildung 3.3: SiH+SiH, a) Nahfeld (3,44 × 3,44 mm ² ), b) Fernfeld (78 × 78 mm ⁻² ), c) kontrastverst¨ arktes Fernfeld (101 × 101 mm ⁻² ), d) aus zw¨ olf Fourierkomponenten generiertes SiH+SiH, Parameter a)-c): P 0 = 206 mW, ∆ = 3,6 GHz, d = 77 mm, p ^N 2 = 308 mbar, T = 324 ^◦ C, N =8· 10 ¹⁸ m ⁻³ , R = 91,5%

Die in Abb. 3.3 gezeigten Muster besitzen zw¨ olf Fourierkomponenten. Jeweils sechs der dazugeh¨ origen Wellenvektoren haben die gleiche L¨ ange (Abb. 3.3) und bilden hexagonale Triaden, indem sie untereinander Winkel von 120 ^◦ einschließen. Das Wellenzahlverh¨ altnis der gezeigten Triaden liegt bei k 2 /k 1 = 1,088. Die Maxima der kleinen Triade liegen auf der Winkelhalbierenden der großen Triade.

Das Nahfeld (Abb. 3.3a) weist, trotz der sechsz¨ ahligen Drehsymmetrie des Fernfeldes, nur eine zweiz¨ ahlige Drehsymmetrie auf. Es besteht aus l¨ anglichen Maxima, die von sechs Maxima, angeordnet auf einem gestreckten hexagonalen Gitter, umgeben sind.

Die beobachteten Muster weisen h¨ ohere Harmonische auf, die sich durch Vektoradditionen der Grundmoden beschreiben lassen (Abb. 3.3c). Zus¨ atzlich ist das Resultat f¨ ur die Addition eines k¨ urzeren Wellenvektors (z.B. Vektor 2 in Abb. 3.3b) mit sich selbst dasselbe wie das f¨ ur die Addition der Wellenvektoren der gr¨ oßeren Triade (Vektor 1 + Vektor 3 in Abb. 3.3b), die links und rechts neben dem k¨ urzeren liegen. In der N¨ ahe des ¨ Ubergangs zu Hexagonen wird ein starker Intensit¨ atsunterschied zwischen beiden Triaden beobachtet (Abb. 3.3b). Der ¨ Ubergang verl¨ auft stetig, indem die zweite

Triade mit zunehmender Entfernung von dem Bifurkationspunkt anw¨ achst.

Liegen die beiden Triaden in einem Winkel von 30 ^◦ zueinander und weisen ein Wellen-

√

zahlverh¨ altnis zwischen den Triaden von k 2 /k 1 =2/ 3 ≈ 1,155 auf, liegen sie auf einem

gemeinsamen hexagonalen Grundgitter und werden Simple Hexagon + Simple Hexagon

3.1. Beobachtung der bisher bekannten Muster und einiger Variationen 19

(kurz: SiH+SiH, [DG92]) genannt. Ein aus diesen Grundmoden generiertes Muster ist in Abb. 3.3d gezeigt.

Das Wellenzahlverh¨ altnis der in Abb. 3.3 gezeigten Muster ist etwas kleiner als das der idealen SiH+SiH. Im Zentrum des Gauß’schen Strahls stimmt das Nahfeld des beobachteten Musters jedoch gut mit dem idealen SiH+SiH ¨ uberein, da der Wellenzahlunterschied sich erst weit entfernt vom Zentrum auswirkt. Durch den begrenzten Gauß’schen Strahl haben die Maxima des Fernfeldes eine Breite von 5% der Wellenzahl, wodurch trotz Wellenzahlunterschied ein Beitrag zur idealen Wellenzahl im Fourierraum eines SiH+SiH vorhanden ist. Beobachtete Muster wie dieses werden deshalb als SiH+SiH klassifiziert.

3.1.4 ¨ Uberstrukturen auf quadratischem Grundgitter: AS 2,1 +SiS

Die zweite beobachtete ¨ Uberstruktur besitzt im Fernfeld ebenfalls zw¨ olf Hauptmaxima

(Abb. 3.4b), jedoch mit vierz¨ ahliger Drehsymmetrie. Acht Wellenvektoren haben die gleiche L¨ ange k 1 , wobei im Mittel abwechselnd Winkel α 1 =5 4 , 3 ^◦ und α 2 =3 5 , 7 ^◦ eingeschlossen werden. Die restlichen vier Wellenvektoren haben eine etwas kleinere Wellenzahl

Abbildung 3.4: AS 2,1 +SiS, a) Nahfeld (3,44 × 3,44 mm ² ), b) Fernfeld (78 × 78 mm ⁻² ), c) kontrastverst¨ arktes Fernfeld (101 x 101 mm ⁻² ), d) aus zw¨ olf Fourierkomponenten generiertes AS 2,1 +SiS, Parameter a)-c): P 0 = 100 mW, ∆ = 8,4 GHz, d = 77 mm, p ^N 2 = 308 mbar, T = 324 ^◦ C, N =8· 10 ¹⁸ m ⁻³ , R = 91,5%

k 2 und bilden mit 1% Winkelgenauigkeit ein Quadrat. Die Maxima zu den kleineren Wel-lenvektoren liegen jeweils ann¨ ahernd auf der Verbindungsgeraden zweier Maxima zu den gr¨ oßeren Wellenvektoren und haben eine etwas geringere Intensit¨ at. Bei dem beobachteten Muster (Abb. 3.4b) betr¨ agt k 1 /k 2 = 1,074.

Das Fernfeld weist zus¨ atzlich h¨ ohere Harmonische auf (Abb. 3.4c). Diese sind in etwa auf einem quadratischen Grundgitter angeordnet. Vier der h¨ oheren Harmonischen ergeben sich, wie f¨ ur SiH+SiH anhand Abb. 3.3b erkl¨ art, durch zwei verschiedene Vektoradditionen. Sie sind sehr viel schw¨ acher ausgepr¨ agt als h¨ ohere Harmonische, die nur durch eine Vektorsumme beschrieben werden k¨ onnen. Diese Beobachtung erlaubt Aussagen ¨ uber die

Phasenbeziehungen der beteiligten Fouriermoden und wird in Anhang B.5 n¨ aher disku- tiert.

20 Uberblick ¨ uber beobachtete Mustertypen

Das Nahfeld (Abb. 3.4a) besteht aus l¨ anglichen Minima, die jeweils in Vierergruppen angeordnet sind. Es weist eine vierz¨ ahlige Drehsymmetrie auf. Muster der hier beschriebenen Form werden in [GWHAL01] als ¨ dratischen ¨ Ubergitters AS 2,1 (anti-square 2,1

nach Notation aus [DG92]) mit einem einfachen Quadrat (SiS, simple square) im Fourierraum interpretiert. Liegen beide Unterstrukturen auf demselben quadratischen Grundgitter, so betr¨ agt das Wellenzahlverh¨ alt- √

nis 5/2 ≈ 1, 118. Ein aus diesen Wellenvektoren generiertes Muster wird in Abb. 3.4d gezeigt.

Das Wellenzahlverh¨ altnis des beobachteten Musters (Abb. 3.4b) ist mit 1,074 deutlich kleiner als das f¨ ur eine ideale Struktur erwartete.

Wie schon bei den SiH+SiH in Kap. 3.1.3 gesehen, sind die Abweichungen von der idealisierten Struktur erst bei Betrachtung eines gr¨ oßeren Auschnitts erkennbar. In dem begrenzten Bereich des Gauß’schen Strahls rechtfertigt die große ¨ Ahnlichkeit des beobachteten Musters (Abb. 3.4a) mit den generierten (Abb. 3.4d) die Klassifikation als AS 2,1 +SiS.

Es wird f¨ ur Variation unterschiedlicher Parameter eine stetig zunehmende Stauchung des Fernfeldes und somit eine Reduktion von vier- auf zweiz¨ ahlige Drehsymmetrie beobachtet. Speziell f¨ ur hohe Leistungen und einen divergenten Strahl treten von AS 2,1 +SiS abgeleitete Muster verst¨ arkt in der gestauchten Form (Abb. 3.5) auf.

Abbildung 3.5: Gestauchte AS 2,1 +SiS, a) Nahfeld (3,44 × 3,44 mm ² ), b) Fernfeld (78 × 78 mm ⁻² ), c) kontrastverst¨ arktes Fernfeld (101 × 101 mm ⁻² ), Parameter: P 0 = 214 mW, ∆ = 8,4 GHz, d = 77 mm, p ^N 2 = 308 mbar, T = 324 ^◦ C, N =8· 10 ¹⁸ m ⁻³ , R = 91,5%

Mit zunehmender Stauchung nimmt die Intensit¨ at der Fourierkomponenten der gestauchten Wellenvektoren ab. Die Fourierkomponenten des gestauchten Untergitters des Quadrats werden besonders stark geschw¨ acht.

Im Nahfeld (Abb. 3.5a) sind die Minima l¨ anglicher als bei idealen AS 2,1 +SiS. Die Stauchung im Fourierraum ¨ außert sich hier durch Streckung und Ausrichtung der einzelnen Minima in Richtung der geschw¨ achten Fourierkomponenten.

3.1. Beobachtung der bisher bekannten Muster und einiger Variationen 21

3.1.5 Kontrastreiche Streifen: ” Walls“

Die einfachsten Muster sind Streifen. Sie werden durch nur eine Grundmode beschrieben. Die in diesem System beobachteten Streifen weisen im Nahfeld (Abb. 3.6a) sch¨ arfere Kontraste als eine sinusf¨ ormige Modulation auf. Im Fernfeld wird dies durch Auftreten stark

Abbildung 3.6: Streifen, a) Nahfeld (3,44 × 3,44 mm ² ), b) Fernfeld (78 × 78 mm ⁻² ), c) kontrastverst¨ arktes Fernfeld (101 × 101 mm ⁻² ), Parameter: P 0 = 231 mW, ∆ = 9,0 GHz, d = 77 mm, p ^N 2 = 308 mbar, T = 324 ^◦ C, N =8· 10 ¹⁸ m ⁻³ , R = 91,5%

ausgepr¨ agter h¨ oherer Harmonischer best¨ atigt (Abb. 3.6c), deren Intensit¨ aten ∼ 15% der Intensit¨ aten der Hauptmaxima betragen. Fourierfilter-Experimente [GWHAL01] zeigen, dass diese h¨ oheren Harmonischen f¨ ur die Stabilit¨ at der Muster entscheidend sind. Um den wesentlichen Unterschied zu einfachen Streifen (ohne h¨ ohere Harmonische) herauszustellen, werden diese kontrastreichen Streifen ” Walls“ ( ” Mauern“) genannt. Da nur sie

in Experimenten zu dieser Arbeit zu beobachten sind, wird im Weiteren ” Streifen“ als Synonym f¨ ur ” Walls“ benutzt.

Die Ursache f¨ ur das Auftreten h¨ oherer Harmonischer wird in Anhang B.3 mittels eines theoretischen Ansatz versucht zu kl¨ aren.

Abbildung 3.7: modulierte Streifen, a) Nahfeld (3,44 × 3,44 mm ² ), b) Fernfeld (78 × 78 mm ⁻² ), c) kontrastverst¨ arktes Fernfeld (101 × 101 mm ⁻² ), Parameter: P 0 = 237 mW, ∆ = 8,0 GHz, d = 85 mm, p ^N 2 = 304 mbar, T = 318, 9 ^◦ C, N =6, 7·10 ¹⁸ m −3

Neben den in Abb. 3.6 gezeigten Streifen wird eine Variation bei kleineren Frequenzen des eingestrahlten Lichtes beobachtet. Es treten im Fourierraum schw¨ achere Nebenkom-

22 Uberblick ¨ uber beobachtete Mustertypen

ponenten senkrecht zu den Wellenvektoren der Grundmoden im Abstand der Wellenzahl auf (vgl. Abb. 3.7c). Im Nahfeld (Abb. 3.7a) wirkt sich dies durch eine Modulation der einzelnen Streifen aus, die diese in periodischen Abst¨ anden ein- oder gar abschn¨ urt.

Abbildung 3.8: Streifen mit Hexagonen am Rand, a) Nahfeld (3,44 × 3,44 mm ² ), b) Fernfeld (104 × 104 mm ⁻² ), c) kontrastverst¨ arktes Fernfeld (134 × 134 mm ⁻² ), Parameter: P 0 = 211 mW, ∆ = 3,0 GHz, d = 76 mm, p ^N 2 = 301 mbar, T = 305 ^◦ C, N =1 , 8·10 ¹⁸ m ⁻³ , R = 99%

Als weitere Variation werden die in Abb. 3.8 gezeigten Streifen beobachtet. An den Seiten parallel zur Richtung des Wellenvektors schließen sich Hexagone an. Im Fernfeld hinterlassen diese jedoch nur sehr schwache Maxima als breite Intensit¨ atsverteilung auf einem Kreis mit dem Radius der Wellenzahl der Streifen.

Inhomogenit¨ aten des Dampfes k¨ onnen als Ursache f¨ ur die Ver¨ anderung am Rand des Gauß’schen Strahls ausgeschlossen werden, da das Muster unter unterschiedlichen Winkeln gedreht beobachtet wird.

Diese Variante der Streifen tritt meist dann auf, wenn ein sehr schmaler Stabilit¨ atsbereich der Streifen vorliegt.

3.1.6 Kontrastreiche Quadrate: ” Chessboards“

Wie die Streifen, sind auch die beobachteten Quadrate (vgl. Abb. 3.9) kontraststark und weisen im Fernfeld stark ausgepr¨ agte h¨ ohere Harmonische aus. Die Maxima des Fernfeldes sind auf einem quadratischen Grundgitter angeordnet.

Der Begriff ” Quadrate“ wird in der Literatur f¨ ur Muster aus zwei senkrecht zueinander stehenden Wellenvektoren ohne oder nur mit schwachen h¨ oheren Harmonischen benutzt. Die hier beobachteten kontrastreichen quadratischen Muster werden zur Abgrenzung ” Chessboards“ ( Schachbrettmuster“) genannt, da das Nahfeld aus abwechselnd

”

angeordneten quadratischen Fl¨ achen minimaler und maximaler Intensit¨ at besteht. Die h¨ oheren Harmonischen sind, im Gegensatz zu normalen Quadraten, f¨ ur die Stabilit¨ at der Chessboards notwendig, wie Fourierfilter-Experimente gezeigt haben [GWHAL01].

Im Folgenden wird jedoch nur der Begriff ” Quadrate“ als Synonym f¨ ur ” Chessboards“

3.1. Beobachtung der bisher bekannten Muster und einiger Variationen 23

Chessboards“, a) Nahfeld (3,44 × 3,44 mm ² ), b) Fernfeld (78 × Abbildung 3.9: ”

78 mm ⁻² ), c) kontrastverst¨ arktes Fernfeld (101 × 101 mm ⁻² ), Parameter: P 0 = 212 mW, ∆ = 6,5 GHz, d = 77 mm, p ^N 2 = 308 mbar, T = 324 ^◦ C, N =8· 10 ¹⁸ m ⁻³ , R = 91,5%

benutzt, da diese die einzigen in dieser Arbeit beobachteten quadratischen Strukturen sind.

Die Ursache f¨ ur das Auftreten h¨ oherer Harmonischer wird in Anhang B.4 mittels eines theoretischen Ansatz versucht zu kl¨ aren.

3.1.7 Nicht eindeutig klassifizierte Muster

Nicht immer lassen sich die beobachteten Muster einer Musterklasse zuweisen. Besonders im ¨ Ubergangsbereich zwischen zwei Mustertypen werden nicht immer scharfe Zustandswechsel, sondern stetige ¨ Uberg¨ ange beobachtet. Die hier beobachteten Muster setzen sich aus einer Mischform der beteiligten Mustertypen zusammen.

Abbildung 3.10: nicht klassifiziertes Muster mit 12 Fourierkomponenten, a) Nahfeld (3,44 × 3,44 mm ² ), b) Fernfeld (78 × 78 mm ⁻² ), Parameter: P 0 =5 1m W ,∆=6 , 5 GHz, d = 77 mm, p ^N 2 = 308 mbar, T = 324 ^◦ C, N =8· 10 ¹⁸ m ⁻³ , R = 91,5%

In Parameterbereichen, in denen eine Multistabilit¨ at zwischen Q 12 , SiH+SiH und AS 2,1 +SiS vorliegt, werden vereinzelt Muster mit zw¨ olf Fourierkomponenten (Abb. 3.10) beobachtet, die keine eindeutigen Wellenzahl- und Winkelverh¨ altnisse aufweisen, wie aus einem Vergleich mehrerer Aufnahmen hervorgeht. Als Quasimuster lassen sich diese aufgrund

24 Uberblick ¨ uber beobachtete Mustertypen

der starken Winkelabweichungen von bis zu 3,8 ^◦ vom Mittelwert nicht klassifizieren. Andererseits betr¨ agt das Wellenzahlverh¨ altnis der gr¨ oßten zur kleinsten Wellenzahl nur k max /k min = 1,064, welches noch unter denen der experimentell gefundenen AS 2,1 +SiS und SiH+SiH liegt. Die Drehsymmetrie ist im Fernfeld auf eine zweifache reduziert. H¨ ohere Harmonische sind auch nach Kontrastverst¨ arkung nicht zu sehen.

Abb. 3.11 zeigt ein Muster mit zw¨ olf Fourierkomponenten aus einem Parameterbereich, in dem eine schnelle zeitliche ¨ Anderung der Muster beobachtet wird. In der Momentauf-

Abbildung 3.11: dynamische Muster mit 12 Fourierkomponenten, a) Nahfeld (3,44 × 3,44 mm ² ), b) Fernfeld (104 × 104 mm ⁻² ), c) FFT des Nahfeldes (109 × 109 mm ⁻² ), Parameter: P 0 = 159 mW, ∆ = 4,6 GHz, d = 76 mm, p ^N 2 = 301 mbar, T = 327 ^◦ C, N =1 , 2 7·10 ¹⁹ m ⁻³ , R = 99%

nahme ist dies durch verwischte Fourierkomponenten, die auf dem Kreis der zugeh¨ origen Wellenzahl liegen, zu erkennen. Trotz der Synchronisation von Nah- und Fernfeldaufnahme ist ein Unterschied zwischen Fernfeld (Abb. 3.11b) und der numerischen Fouriertrans-formation des Nahfeldes (Abb. 3.11c) sichtbar. Die wesentlich k¨ urzere Belichtungszeit der Kamera f¨ ur das Nahfeld gegen¨ uber der f¨ ur das Fernfeld f¨ uhrt zu einer unterschiedlichen zeitlichen Integration. Das Nahfeld (Abb. 3.11a) und vor allem seine numerische Fouriertransformierte (Abb. 3.11c) zeigen den ¨ Ubergang zwischen zwei unterschiedlichen

Mustern gleicher Wellenzahl, die nicht klassifiziert werden k¨ onnen. Die Integration ¨ uber

ein l¨ angeres Zeitintervall, wie es mit der Kamera im Fernfeld (Abb. 3.11b) geschieht, zeigt jedoch ein Q 12 . Wahrscheinlich handelt es sich um eine Multistabilit¨ at, bei der Q 12 im Mittel bevorzugt werden. Aufschluss kann jedoch nur eine Kamera mit noch k¨ urzerer Belichtungszeit geben.

Im gleichen Parameterbereich, in dem Streifen (in transversal modulierter und unmodulierter Form) und gestauchte AS 2,1 +SiS auftreten, werden vereinzelt die in Abb. 3.12 gezeigten, bisher noch nicht beschriebenen Muster beobachtet.

Zu den Fourierkomponenten, die bei modulierten Streifen (vgl. Abb. 3.7) auftreten, kommen vier weitere unter einem Winkel von 45 ^◦ (± 2,5 ^◦ ) hinzu. Die Wellenzahlen liegen ca. 2% ¨ uber der Wellenzahl der Grundmode der Streifen.

Die Intensit¨ aten der h¨ oheren Harmonischen in Richtung der stark ausgepr¨ agten Grund- mode stehen mit denen der Grundmode im Verh¨ altnis 1:10 und sind somit wesentlich

3.2. Beobachtung einer neuen Musterform 25

Abbildung 3.12: ¨ Ubergang von modulierten Streifen zu anderen Mustern, a) Nahfeld (3,44 × 3,44 mm ² ), b) Fernfeld (78 × 78 mm ⁻² ), c) kontrastverst¨ arktes Fernfeld (101 × 101 mm ⁻² ), Parameter: P 0 = 223 mW, ∆ = 6,3 GHz, d = 77 mm, p ^N 2 = 306 mbar, T = 337, 5 ^◦ C, N =3, 39 · 10 ¹⁹ m ⁻³ , R = 91,5%

schw¨ acher als die h¨ oheren Harmonischen reiner Streifen (vgl. Kap. 3.1.5).

Das Nahfeld ¨ ahnelt dem der modulierten Streifen. Es besteht jedoch aus Minima unterschiedlicher Gr¨ oße und Intensit¨ at und weist deshalb auf der Fl¨ ache des Gauß’schen Strahls keine Periodizit¨ at auf.

3.2 Beobachtung einer neuen Musterform

Erstmals wird von einem neuen Typ von ¨ Uberstrukturen berichtet, die aus drei Wellen-vektoren gleicher L¨ ange aufgebaut sind.

Muster 42“, a) Nahfeld (3,44 × 3,44 mm ² ), b) Fernfeld (78 × Abbildung 3.13: ”

78 mm ⁻² ), c) kontrastverst¨ arktes Fernfeld (101 × 101 mm ⁻² ), Parameter: P 0 = 207 mW, ∆ = 6,5 GHz, d = 77 mm, p ^N 2 = 308 mbar, R = 91,5%, T = 324 ^◦ C, N = 8 · 10 ¹⁸ m −3

Nah- und Fernfeld weisen eine zweiz¨ ahlige Drehsymmetrie auf. Das Nahfeld besteht aus versetzt angeordneten Minima in Halbmond-Form, die durch kleinere kreisrunde Minima in Zweierreihen getrennt werden.

Das Fernfeld (vgl. Abb. 3.13b) wird durch sechs Intensit¨ atsmaxima gebildet. Die dazu-

26 Uberblick ¨ uber beobachtete Mustertypen

geh¨ origen Wellenvektoren schließen einen Winkel von 42 ^◦ ein. Dieses Muster wird daher Muster 42“ bzw. 42 ^◦ -Muster bezeichnet. ² als ”

Eine n¨ ahere Untersuchung und Interpretation dieser Muster erfolgt in Kap. 6.3.

² Die ¨ Ahnlichkeit mit Halbmonden oder M¨ undern ließen diese Muster kurzzeitig unter dem Arbeitstitel M¨ onder“ auftauchen.

”

3.3. Reproduzierbarkeit der Messungen 27

3.3 Reproduzierbarkeit der Messungen

So spannend die Entdeckung neuer Muster auch ist, so ist sie nur von Wert, wenn der Parameterbereich f¨ ur ihre Entstehung angegeben werden kann. Zu Beginn der Arbeit war diese Reproduzierbarkeit nicht gegeben. Quadrate konnten nicht an jedem Messtag trotz gezielter Variation der in Kap. 2.4 aufgef¨ uhrten Parameter gefunden werden. Nach jedem Austausch der Glasfaser konnte das zuvor gemessene Bifurkationsdiagramm nicht qualitativ, also mit denselben Mustertypen, reproduziert werden. Ein Umbau der Faser auf eine Position, von der aus auf die Umlenkspiegel S5 und S6 verzichtet werden konnte (um weniger Lichtleistung zu verlieren), bewirkte denselben Effekt.

Folglich muss es einen Systemparameter geben, auf den das System bei kleinen Variationen mit qualitativen ¨ Anderungen des Bifurkationsverhaltens reagiert und der f¨ ur vorausgegangene Experimente keine entscheidende Rolle gespielt hat. Im Folgenden wird dieser Parameter ” kritischer Parameter“ genannt.

Abh¨ angigkeit vom Puffergasdruck

Der Variation des Puffergasdrucks sind Grenzen gesetzt. Der Druck wird ¨ uber 100 mbar

gew¨ ahlt, damit die Hyperfeinstruktur noch durch die Druckverbreiterung ¨ uberdeckt wird [MDLM86]. F¨ ur Dr¨ ucke ¨ uber 1000 mbar ist die Vakuum-Apparatur nicht ausgelegt. Inner-

halb dieser Spanne zeigt ein Vergleich der Dr¨ ucke 200 mbar, 300 mbar und 500 mbar, dass sich das Bifurkationsverhalten nicht entscheidend ¨ andert. Nur f¨ ur 100 mbar wird eine Abnahme der Anzahl der auftretenden Mustertypen verzeichnet. Alle folgenden Experimente werden deshalb bei einem Druck von p ^N 2 ≈ 300 mbar durchgef¨ uhrt.

Die Tests bei 200 und 500 mbar zeigen, dass experimentell bedingte Schwankungen von ±10 mbar um 300 mbar herum die Reproduzierbarkeit nicht beeintr¨ achtigen.

Abh¨ angigkeit vom Spiegelabstand

Eine Ver¨ anderung des Spiegelabstandes wirkt sich qualitativ auf das Experiment aus. Zu gr¨ oßeren Spiegelabst¨ anden hin wird nach Anpassung der Leistung eine geringere Vielfalt an Mustern beobachtet. Quadrate k¨ onnen durch eine Erh¨ ohung des Spiegelabstandes in Streifen ¨ uberf¨ uhrt werden. Die Reproduzierbarkeit dieser Ergebnisse zeigt, dass es sich nicht um den gesuchten kritischen Parameter handelt.

Abh¨ angigkeit von der Spiegelreflektivit¨ at

Der zu Beginn verwendete dielektrische Spiegel S7 1 mit einer Reflektivit¨ at von R =91, 5% und unbekannter Spezifikation bez¨ uglich Parallelit¨ at zwischen Vorder- und R¨ uckseite [Ack96] wird durch einen Spiegel S7 2 mit einer Reflektivit¨ at von R = 99% und einem

28 Uberblick ¨ uber beobachtete Mustertypen

Keilwinkel zwischen Vorder- und R¨ uckseite kleiner eine Bogensekunde ersetzt, um einen h¨ oheren R¨ uckkopplungseffekt zu erzielen. Der kleine Keilwinkel verhindert zus¨ atzliche Interferenzen durch Reflexe an der R¨ uckseite des Spiegels. F¨ ur die verwendeten Kameras reicht die geringere Transmission aus.

Bei Auftreten von Quadraten oder Muster 42 wurde durch einen zeitweiligen Austausch

des Spiegels ¨ uberpr¨ uft, ob diese Muster bei beiden Reflektivit¨ aten zu beobachten sind. Qualitative ¨ Anderungen werden nicht beobachtet.

Abh¨ angigkeit von der Polarisationselliptizit¨ at

Eine leichte Abweichung der Polarisationselliptizit¨ at von der zirkularen Polarisation von 0,94 ≤ ǫ pol ≤ 1,00 durch Drehen des λ/4-Pl¨ attchens vor der Zelle um bis zu 10 ^◦ bewirkt keine qualitativen ¨ Anderungen. Resultate f¨ ur große Variationen der Polarisationselliptizit¨ at (ǫ pol < 0,5) werden in [AGWH ⁺ 99] beschrieben. Als kritisch im o.g. Sinne kann dieser Parameter nicht angesehen werden.

Abh¨ angigkeit vom Magnetfeld

In Bezug auf kleine ¨ Anderungen der Longitudinalkomponente des Magnetfeldes ist das

System unempfindlich, wenn B || ≫ B ⊥ erf¨ ullt ist. Kleine transversale Beitr¨ age beeinflussen das Bifurkationsverhalten auch nicht, solange B || ≫ B ⊥ eingehalten wird. Eine ¨ Ande-

B || f¨uhrt ebenfalls zu keiner ¨ Anderung des Bifurkationsverhaltens.

Abh¨ angigkeit von der Form des Natriumst¨ ucks

Teilweise werden im Experiment Muster beobachtet, die sich als gestauchte Variante eines der in Kapitel 3.1.1-3.1.6 gezeigten Grundformen interpretieren lassen. Besonders ausgepr¨ agt ist die Form der gestauchten AS 2,1 +SiS (Abb. 3.5).

Eine inhomogene Teilchenzahlverteilung k¨ onnte dies erkl¨ aren. Es soll ¨ uberpr¨ uft werden,

ob die Form des verwendeten Natriumst¨ ucks einen Teilchenzahlgradienten verursacht. Eine praktikable Form ist ein Quader mit den Maßen 2 mm × 2m m× 10 mm, der auf ein Tantal-R¨ ohrchen in der Zelle gelegt wird. Der Dampf in kurzer Entfernung zum Natriumst¨ uck ist dichter als der in gr¨ oßerer Entfernung.

Um R¨ uckwirkungen auf das Experiment ausschließen zu k¨ onnen, wird als Alternative ein Ring aus Natrium gestanzt. Durch die radialsymmetrische Anordnung wird eine Verbesserung der Homogenit¨ at der Teilchenzahlverteilung erwartet.

Mit dieser Form des Natriums werden jedoch die gleichen gestauchten Muster beobach- tet. Der durch einen Quader erzeugte Teilchenzahlgradient beeinflusst die qualitativen

3.3. Reproduzierbarkeit der Messungen 29

Ergebnisse des Experiments also nicht. Da die Quaderform zudem einfacher zu pr¨ aparieren ist und einen geringeren Materialverbrauch bedeutet, wird weiterhin die Quaderform gew¨ ahlt.

Abh¨ angigkeit von der Spiegelverkippung

Bei kleinen durch ¨ Anderung der Piezotranslatoren gesteuerten Verkippungen wird das in [SAS ⁺

97] beschriebene Driften der Muster reproduziert, eine qualitative ¨ Mustertyps tritt nicht auf. Erst bei großen Spiegelverkippungen werden ¨ anderen Mustertypen beobachtet. Die Muster entsprechen keinem der bei ideal justiertem Spiegel beobachteten Mustertypen und werden in dieser Arbeit nicht diskutiert. Abh¨ angigkeit von der Strahlkollimation

Keiner der bekannten Parameter erm¨ oglicht eine zuverl¨ assige Reproduktion der gesuchten Quadrate und Muster 42. Folglich existiert ein Parameter, der bisher nicht ausreichend genau kontrolliert worden ist.

Messungen zur Lage der Strahltaille weisen große Schwankungen auf. Dies zeigt, dass die Glaserfaserauskopplung auf Vibrationen und kleine Verschiebungen des Mikroskopobjektivs sehr empfindlich reagiert. Die Strahlkollimation scheint der gesuchte kritische Parameter zu sein, welcher sich mit dem bisher vorhandenen Aufbau nicht gut kontrollieren l¨ asst.

30

Kapitel 4

Kollimationskontrolle

Das Modellsystem aus Kap. 2.1 macht theoretische Voraussagen f¨ ur eingestrahltes Licht mit einer ebenen Phasenfront. Ein Gauß’scher Strahl erf¨ ullt diese Bedingung nur am Ort seiner Strahltaille. Mit Hilfe der Linse in der Glasfaserauskopplung kann die Strahltaille in die N¨ ahe der Mitte des Natriumdampfes verschoben werden. Das vorherige Kapitel zeigt, dass bei Pr¨ aparation der Strahlparameter das System sehr empfindlich auf Verschiebungen der Linse reagiert. Durch eine Verbesserung der Glasfaserauskopplung kann die Kontrolle uber die Kollimation erleichtert und verbessert werden. Es werden drei Varianten der ¨

Glasfaserauskopplung vorgestellt, von denen die letzten zwei den Aufbau von [Ack96] erweitern.

Aufgrund des geringen Modenradius der Glasfaser von w 0 =2µm, ist der die Glasfaser verlassende Strahl stark divergent. Dies erzwingt die Verwendung einer kurzbrennweitige Linse wenige Millimeter hinter dem Faserende. Die Strahltaille kann damit nur grob auf die Entfernung der Natriumdampfzelle justiert werden. In Kap. 4.1 werden die Auswirkungen auf die Kollimationskontrolle bei Verwendung des bisherigen Aufbaus untersucht. Im Kap. 4.2 wird beschrieben, wie die grobe Kollimation durch die kurzbrennweitige Linse durch eine Linse gr¨ oßerer Brennweite fein nachkorrigiert werden kann. Durch den Einbau einer weiteren Linse mit großer Brennweite (Kap. 4.3) wird ein Teleskop gebildet, welches die Feinjustage weiter erleichtert.

4.1 Auskopplung mit einem Mikroskopobjektiv

Zu Beginn wurde ein Mikroskopobjektiv (Spindler & Hoyer, f = 15,48 mm) in der Auskoppeleinheit (AE in Abb. 2.4) der Glasfaser benutzt, um das stark aufgeweitete Lichtb¨ undel so zu kollimieren, dass die Strahltaille in der Zelle liegt.

Das Objektiv wird im Folgenden wie eine einzelne kurzbrennweitige Linse mit derselben effektiven Brennweite behandelt. Der Zusammenhang zwischen der Lage der Strahltaille z 1 hinter der Linse und der Lage der Strahltaille z 0 vor der Linse (vgl. Abb. 4.1) errechnet

31

32 Kapitel 4. Kollimationskontrolle

Abbildung 4.1: Experimenteller Aufbau mit einer Linse hinter der Glasfaserauskopplung (links), w 1 ist die Strahltaille in der Natriumdampfzelle (rechts)

sich nach [PPBS96] nach:

z 1 − f = V ² (z 0 − f ) (4.1)

Die Vergr¨ oßerung V ist gegeben durch:

Um die Strahltaille in die Zelle z 1 = 2,286 m mit einer Strahltaille w 1 =1 , 4 2m mz u verschieben, muss das Objektiv einen Abstand z 0 = f +4,51µm von der Faserauskopplung haben (vgl. Abb. 4.1).

Die Empfindlichkeit auf kleine Abstands¨ anderungen wird untersucht, indem die Verschiebung der Strahltaille hinter der Linse ∆z 1 + z 1 bei einer Abweichung der Lage der Strahltaille vor der Linse ∆z 0 + z 0 von der Brennebene f errechnet wird. Eine Verschiebung der Linse um ∆z 0 =1 µm( z 0 = f +5 , 5 1µm) aus der Brennebene heraus bewirkt eine Verschiebung der Strahltaille hinter der Linse um ∆z 1 = 442 mm. Eine gute Kontrolle der Lage der Strahltaille ist folglich mit nur einer Linse nicht m¨ oglich. Deshalb wurden zwei Teleskopsysteme getestet, die eine feinere Justage erlauben sollten.

4.2 Auskopplung mit einem 2-Linsensystem

F¨ ur das erste Teleskop wird das Mikroskopobjektiv durch eine asph¨ arische Linse (f 1 = 11 mm) ersetzt. Im Abstand L hinter der ersten (AE) Auskopplungslinse wird eine zweite (L2) mit gr¨ oßerer Brennweite (f 2 = 100 mm) aufgestellt ¹ (vgl. Abb. 4.2). Auf diese Weise kann der stark aufgeweitete Strahl hinter der Glasfaser grob kollimiert werden. Die hierf¨ ur ben¨ otigte kurze Brennweite hat eine hohe Empfindlichkeit in Bezug auf die Lage der Strahltaille zur Folge. Diese Position wird mit der langbrennweitigen Linse fein justiert (vgl. Abb. 4.2). L2 ist in eine Gewindehalterung eingefasst, die die Variation der Entfernung L zur ersten Linse AE erm¨ oglicht.

¹ L3 existiert in diesem Aufbau nicht

4.2. Auskopplung mit einem 2-Linsensystem 33

Abbildung 4.2: Experimenteller Aufbau mit einer kurzbrennweitigen und einer langbrennweitigen Linse hinter der Glaserfaserauskopplung (links), w 2 ist die Strahltaille in der Natriumdampfzelle (rechts)

Die Strahltaille w 0 =2µm ist durch den Modenradius der Glasfaser vorgegeben. In einer Entfernung L = 2286 mm in der Mitte der Natriumdampfzelle soll eine Strahltaille mit einem Radius von w 3 = 1,42 mm liegen. Daf¨ ur m¨ ussen die Linsenpositionen so gew¨ ahlt werden, dass die Strahltaille w 1 hinter der ersten Linse der Strahltaille w ^′ 1 vor der zweiten

Linse entspricht, die sich ergibt, wenn man von der Strahltaille w 2 den Lichtweg r¨ uckw¨ arts betrachtet. Die Strahltaille w 1 = w ^′ 1 muss von beiden Seiten aus gesehen an der gleichen

Stelle liegen und den gleichen Radius haben. Diese sogenannte Modematching-Bedingung ist erf¨ ullt, wenn die Summe der Entfernungen der Strahltaillen zueinander gleich dem gew¨ unschten Abstand L zwischen w 0 und w 2 ist,

z 0 + z 1 + z 2 + z 3 = L, (4.3)

und wenn die Vergr¨ oßerungen V 1 = V 1 (f 1 ,w 0 ,z 0 ) und V 2 = V 2 (f 2 ,w 2 ,z 3 ) den gleichen Strahlradius w 1 = w 0 V 1 = w 2 V 2 = w ^′ (4.4)

1

ergeben. Vereinfachend wird f¨ ur (4.3) z 3 = L gefordert, da z 0 + z 1 + z 2 ≪ z 3 gilt. In (4.4) setzt man jeweils (4.2) ein, wobei V 2 statt von z 0 und w 0 von z 3 und w 2 abh¨ angt. Durch das Aufl¨ osen nach z 0 erh¨ alt man zwei L¨ osungen f¨ ur die Linsenpositionen, da die gemeinsame Strahltaille sowohl zwischen den Linsen (z 1 > 0) als auch vor der ersten Linse liegen kann (z 1 < 0), ohne dass sich die Situation in der Zelle ¨ andert. F¨ ur den Fall z 1 > 0 sind die Linsen etwas weiter von einander entfernt als im zweiten Fall. Sie lassen sich deshalb so experimentell etwas besser handhaben. In diesem Fall sind: z 0 = 12,733 mm, z 1 = 80,796 mm und z 2 = 100,167 mm.

Eine Verschiebung von L2u m∆ z 2 =1µm bewegt die Strahltaille um ∆z 3 = 11,225 mm von der Zellenmitte weg. Eine 1/16 Umdrehung der Gewindehalterung entspricht einer Verschiebung der Linse von ∆z 2 = 31,25 µm und bewirkt schon eine Verschiebung der Strahltaille um ∆z 3 = 34,4 cm.

Dieser Aufbau f¨ uhrte in gr¨ oßerer Entfernung hinter der Faser (ca. 2 m) zu ringf¨ ormigen Modulationen des Gauß’schen Strahlprofils.

34 Kapitel 4. Kollimationskontrolle

4.3 Auskopplung mit Mikroskopobjektiv und Tele-

skop

Vollkommene Entkopplung von Faserauskopplung und Kollimationskontrolle erh¨ alt man durch Verwendung eines 1:1-Teleskops aus zwei Linsen gleicher Brennweite (f = 100 mm) hinter der Auskoppeleinheit (vgl. Abb. 4.3).

Abbildung 4.3: Experimenteller Aufbau mit einer kurzbrennweitigen Linse hinter der Glaserfaserauskopplung (links) und einem Teleskop aus zwei Linsen, w 3 ist die Strahltaille in der Natriumdampfzelle (rechts)

In der Auskoppeleinheit wird wieder das o.g. Mikroskopobjektiv anstatt der asph¨ arischen Linse benutzt. Die Strahltaille wird erst ohne Teleskop ungef¨ ahr in die Zellenmitte z 0 = 2,286 m verschoben. Der Strahl hat dort einen Radius von w 3 = 1,4 mm. Eine Korrektur der Lage der Strahltaille findet dann mittels Teleskop statt. Es werden zwei plan-konvexe Linsen L2 und L3 (antireflexbedampft f¨ ur λ = 590 nm) verwendet, wobei die plane Seite jeweils zur Innenseite des Teleskops gerichtet ist. Die Linsen befinden sich in Gewindehalterungen, die bei einer ganzen Umdrehung einen Versatz von (0,5 ± 0,015) mm bewirken.

Um eine Strahltaille mit einem Radius von w 3 = 1,42 mm in der Zellenmitte mit Teleskop zu erreichen, wird Linse L2 33 cm hinter der Auskopplung und Linse L3 200,025 mm hinter L2 aufgestellt. Mit diesem Aufbau wird ein Astigmatismus kleiner 2% erreicht.

Die Justagegenauigkeit entspricht der des Aufbaus mit nur zwei Linsen (Kap. 4.2). Dies ist anschaulich klar, wenn der Lichtweg r¨ uckw¨ arts betrachtet wird und f¨ ur L2 aus dem Zwei-Linsen-System die gleiche Entfernung zur Mitte der Zelle wie f¨ ur L3 aus dem Teleskop-System angenommen wird.

Mit dem Teleskopaufbau ist das Experiment jedoch flexibler, da das Teleskop einfach aus dem Strahlengang entfernt bzw. diesem hinzugef¨ ugt werden kann, ohne die Position der kurzbrennweitigen Linse anpassen zu m¨ ussen. Ein Abbau des Teleskops kann wichtig werden, wenn ein geringer Leistungsgewinn auf Kosten der Kollimation erw¨ unscht ist. Entscheidender Unterschied zum Aufbau aus Kap. 4.2 ist das verbesserte Strahlprofil des Strahls in der Zelle.

4.3. Auskopplung mit Mikroskopobjektiv und Teleskop 35

Um die Messungen aus den beiden n¨ achsten Kapiteln interpretieren zu k¨ onnen, muss das Teleskop geeicht sein, d.h. es muss bekannt sein, f¨ ur welche Einstellung der Teleskopl¨ ange die Strahltaille in der Natriumdampfzelle liegt. Hierf¨ ur wird der Strahldurchmesser an mehreren Orten vor und hinter der Zelle f¨ ur unterschiedliche Teleskopl¨ angen bestimmt. F¨ unf verschiedene L¨ angeneinstellungen werden durch Drehen der Linsenhalterung jeweils um eine halbe Umdrehung erhalten. F¨ ur die zwei k¨ urzesten Teleskopl¨ angen wird ein divergenter Strahl festgestellt, f¨ ur die zwei l¨ angsten ein konvergenter Lichtstrahl. Wird von konvergentem“ oder ” divergentem Strahl“ berichtet, ist dies auf die Kollimation des

”

Strahls in der Natriumdampfzelle zu beziehen.

Da sich die Lage der Strahltaille jetzt auf ca. z = ±40 cm genau einstellen l¨ asst, kann nach [PPBS96]:

(Lage der Strahltaille bei z = 0) von einem minimalen Kr¨ ummungsradius von ∼ 300 m ausgegangen werden. Auf der Fl¨ ache eines Gauß’schen Strahls mit einem Radius von w 3 = 1,42 mm bewirkt dies rechnerisch maximal einen Gangunterschied von 6,7 nm. Dies entspricht einer Phasenkr¨ ummung von 71,7 mrad.

Die urspr¨ unglich geplante gezielte Untersuchung des Systems auf Parameterabh¨ angigkeit wird nun durch die gegebene eindeutige Festlegung aller relevanten Parameter m¨ oglich.

36 Kapitel 4. Kollimationskontrolle

Kapitel 5

Abh ¨ angigkeit der Musterbildung von

der Temperatur

Im Experiment wird eine Vielfalt an Mustern beobachtet. Ziel der folgenden Untersuchungen ist es, Ordnung in den Musterzoo zu bringen. Maßgebliche Effekte zur Bildung der Muster sind die Nichtlinearit¨ at des Mediums und die r¨ aumliche Kopplung. Die r¨ aumliche uber eine ¨ Kopplung kommt durch die R¨ uckkopplung zustande, ließe sich also ¨ Anderung

der Reflektivit¨ at des R¨ uckkoppelspiegels kontrollieren. Dies ist jedoch im Experiment nicht leicht zu realisieren. Die Gr¨ oße der Nichtlinearit¨ at des Mediums wird maßgeblich durch die Teilchenzahldichte N an Natriumatomen im Dampf beeinflusst, N ist proportional zur Suszeptibilit¨ at. Kontrolliert wird die Teilchenzahldichte ¨ uber die Temperatur der

Natriumdampfzelle. Bei Raumtemperatur und unterhalb des Siedepunktes von Natrium ist kein Dampf und somit auch keine Nichtlinearit¨ at des Gases in der Zelle vorhanden. Es werden keine Muster beobachtet. Mit Erh¨ ohung der Temperatur, und der damit verbundenen Teilchenzahldichte, wird eine Zunahme der Komplexit¨ at des Bifurkationsdiagramms, also eine gr¨ oßere Anzahl auftretender Mustertypen, erwartet.

Die folgenden vier Messungen bei vier verschiedenen Temperaturen (284 ^◦ C, 304 ^◦ C, 315 ^◦ C und 325 ^◦ C) wurden an einem Messtag durchgef¨ uhrt, um eine Alterung des Natriumst¨ ucks auszuschließen. Nur so ist ein Vergleich unterschiedlicher Temperaturwerte sinnvoll und die Identifikation mit Teilchenzahldichten erlaubt.

Im Experiment wurde bei hohen Temperaturen begonnen, im Folgenden werden die Ergebnisse jedoch in umgekehrter Reihenfolge vorgestellt, da die ¨ Ubersichtlichkeit so besser

gewahrt bleibt. Nach Ver¨ andern der Heizspannung wird jeweils ca. 45 Minuten gewartet, bis sich eine konstante Temperatur einstellt und von einem Gleichgewichtszustand mit konstanter Teilchenzahldichte ausgegangen werden kann.

F¨ ur die folgenden Messungen werden konstant gehalten: d = 76 mm, p = 301 mbar, R = 99%. Es werden nur positive Verstimmungen (Frequenzen oberhalb der Resonanz) untersucht, da hier die gr¨ oßere Vielfalt an Mustern auftritt.

37

38 Kapitel 5. Abh¨ angigkeit der Musterbildung von der Temperatur

F¨ ur jede Temperatur wird ein Bifurkationsdiagramm gezeigt, welches die Musterselektion in Abh¨ angigkeit von Verstimmung und Leistung verdeutlicht. Dazu wird f¨ ur eine feste Verstimmung die Leistung variiert und die auftretenden Muster anhand von Nah- und Fernfeld klassifiziert.

Der erste Schritt bei der theoretischen Analyse von musterbildenden Systemen ist die lineare Stabilit¨ atsanalyse (LSA) der Modellgleichungen. Als L¨ osungen liefert diese zu allen Wellenzahlen die Schwellleistungen, bei denen der unmodulierte Zustand zugunsten eines Musters mit dieser Wellenzahl instabil wird. Bei unterschiedlichen experimentellen Parametern werden unterschiedliche Wellenzahlen verst¨ arkt bzw. ged¨ ampft. F¨ ur die Musterselektion scheint es deshalb darauf anzukommen, aus welchen Wellenzahlen sich ein Muster zusammensetzt und in welchem Verh¨ altnis diese zueinander stehen. Im Folgenden wird f¨ ur jede Temperatur eine Analyse der Wellenzahlen in Abh¨ angigkeit von der Leistung gegeben.

5.1 Bifurkationsszenario bei T = 284 ◦ C

Die ersten bei Erh¨ ohung der Temperatur auftretenden Muster sind (negative) Hexagone bei einer Temperatur von T = 284 ^◦ C, f¨ ur die die Teilchenzahldichte mittels des in Anhang A beschriebenen Verfahrens auf N =8 , 2·10 ¹⁷ m ⁻³ bestimmt wird. Es werden ausschließlich Hexagone beobachtet. Abb. 5.1 zeigt ein bei dieser Temperatur aufgenommenes Bifurkationsdiagramm. Die Skalierung der Abszisse wird so gew¨ ahlt, dass das Diagramm ohne Umskalieren mit denen der folgenden drei Szenarios vergleichbar ist.

Die kleinste Laserleistung, bei der Musterbildung einsetzt, liegt f¨ ur eine Verstimmung von ∆ = 2,5 GHz bei 61 mW. Der Frequenzbereich, in dem Musterbildung bei Leistungen bis P = 200 mW vorzufinden ist, erstreckt sich bis zu einer Verstimmung ∆ = 4,6 GHz.

F¨ ur kleine Verstimmungen (∆ < 2 GHz) wird eine stark ausgepr¨ agte Hysterese beobachtet: F¨ ur konstant gehaltene Leistung entstehen aus dem homogenen Zustand bei Vergr¨ oßerung der Verstimmung bei ∆ ≈ 0,9 GHz Hexagone. Bei Verkleinerung der Verstimmung von diesem Zustand ausgehend bleiben die Hexagone stabil. F¨ ur Leistungen P>150 mW existiert dieser Bistabilit¨ atsbereich bis hin zu kleinen negativen Verstimmungen ¨ uber die Resonanzfrequenz hinweg.

Abb. 5.2 zeigt die Entwicklung der hexagonalen Muster bei Variation der Leistung f¨ ur die Verstimmung, f¨ ur die die kleinste Schwelle zur Musterbildung festgestellt wurde. Im Bifurkationsdiagramm markiert eine senkrechte strichpunktierte Linie diese Verstimmung.

Auf den Bildern des Fernfeldes ist bei allen Leistungen unterhalb des Ringes mit dem Radius der kritischen Wellenzahl ein einzelnes Maximum zu sehen. Hierbei handelt es sich um einen R¨ uckreflex in dem optischen System, der nur auf Kosten der Justage des Systems h¨ atte vermieden werden k¨ onnen. Dieser ist auch bei den anderen Temperaturen

5.1. Bifurkationsszenario bei T = 284 ^◦ C3 9

Verstimmung (GHz)

Abbildung 5.1: Bifurkationsdiagramm, Grenze zum Auftreten von Hexagonen (+) mit Hysterese am linken Rand, strichpunktierte Linie: die in Abb. 5.2 gezeigten Bilder. Parameter: T = 284 ^◦ C, d = 76 mm, p ^N 2 = 301 mbar, R = 99%

in den Abb. 5.5, 5.8 und 5.11 vorhanden.

Die Abb. 5.2a-c verdeutlichen, dass keine klare Abgrenzung zwischen dem unmodulierten Zustand und dem hexagonalen Muster vorgenommen werden kann. In Abb. 5.2b ist keine hexagonale Struktur in Fern- und Nahfeld erkennbar, im Fernfeld ist die kritische Wellenzahl fast homogen auf einem Kreis angeregt. Im Nahfeld kann der Modulation an der Schwelle (Abb. 5.2b) kein periodisches Muster zugeordnet werden. Als Schwelle zur Musterbildung, kurz Schwellleistung, wird deshalb als die Leistung festgelegt, bei der zuerst hexagonale Strukturen erkennbar sind.

Wenig oberhalb der Schwelle zur Musterbildung sind sechs Maxima ausgepr¨ agt. Diese sind unscharf, da ein kleiner Beitrag zur kritischen Wellenzahl unabh¨ angig vom Winkel vorhanden ist (Abb. 5.2c). Mit zunehmender Leistung nehmen die Lokalisationen der Fourierkomponenten und gleichzeitig die Fl¨ ache, auf der Musterbildung zu sehen ist, und damit die Anzahl der Elementarzellen (Abb. 5.2c-e) zu. Bei maximaler Leistung (Abb. 5.2e) sind zus¨ atzlich zu den sechs Hauptmaxima im kontrastverst¨ arkten Fernfeld schw¨ achere Maxima h¨ oherer Ordnung zu sehen.

Zur Analyse der Wellenzahlen wurden f¨ ur die Parameter aus Abb. 5.3 die Leistung schrittweise erh¨ oht und bei jeder Leistung f¨ unf bis 20 Nah- und Fernfeldaufnahmen ausgewertet. Abb. 5.2 zeigt allen in den Mustern auftretenden Wellenzahlen in Abh¨ angigkeit von der Leistung.

40 Kapitel 5. Abh¨ angigkeit der Musterbildung von der Temperatur

Abbildung 5.2: Variation der Leistung bei T = 284 ^◦ C und Verstimmung ∆ = 2,5 GHz, a) P =5 4m W ,b )P =6 4m W ,c )P =6 9m W ,d )P =9 6m W ,e )P = 188 mW, obere Reihe: Nahfeld (3,44 x 3,44 mm ² ), mittlere Reihe: Fernfeld (104 x 104 mm ⁻² ), untere Reihe: kontrastverst¨ arktes Fernfeld (134 x 134 mm ⁻² ), Parameter: d = 76 mm, p ^N 2 = 301 mbar, R = 99%

Die großen Kreise markieren die Mittelwerte ¨ uber alle Wellenzahlen aus einem schmalen Leistungsintervall. In diesem und alle folgenden Diagrammen, in denen Wellenzahlen aufgetragen sind, beziehen sich die Mittelwerte auf ein Leistungsintervall von bis zu 4 mW und einen Satz von ein bis 15 Bildern. Jeder kleine Punkt repr¨ asentiert eine einzelne Fourierkomponente einer Aufnahme eines Musters.

Um Trends zu erkennen, wird die Abh¨ angigkeit der Mittelwerte von der Leistung betrachtet. Auf diese Weise werden alle Werte unabh¨ angig davon, wie viele Aufnahmen pro Leistungswert aufgenommen wurden, gleich gewichtet. Bei dieser Temperatur ist die Wellenzahl der Hexagone im Rahmen der Messgenauigkeit unabh¨ angig von der Leistung und betr¨ agt k = (25,2 ± 0,2) mm ⁻¹ .

5.2. Bifurkationsszenario bei T = 304 ^◦ C4 1

Abbildung 5.3: Abh¨ angigkeit der Wellenzahl der Hexagone von der Leistung, große Kreise: Mittelwerte ¨ uber alle Aufnahmen ungef¨ ahr gleicher Leistung, Parameter: s. Abb. 5.2

5.2 Bifurkationsszenario bei T = 304 ◦ C

Bei einer Temperatur von T = 304 ^◦ C( N =1 , 8·10 ¹⁸ m ⁻³ ) treten bei mittlerer Verstimmung und hoher Leistung Streifen (vgl. Kap. 3.1.5) als sekund¨ are Bifurkation von Hexagonen auf. Qualitativ sind die Szenarios bei T = 295,0 ^◦ C und T = 304 ^◦ C gleich, von ihnen wird das zweite detailliert beschrieben.

In Abb. 5.4 ist zus¨ atzlich zu den Grenzen, bei denen Hexagone bzw. Streifen bei Erh¨ ohung der Leistung erstmals auftreten, ein Bistabilit¨ atsbereich zwischen Streifen und Hexagonen eingetragen.

Die kleinste Laserleistung, bei der Musterbildung einsetzt, betr¨ agt 33 mW f¨ ur eine Verstimmung von ∆ = 3,0 GHz. Der Frequenzbereich, in dem Musterbildung bei Leistungen bis P = 200 mW vorzufinden ist, erstreckt sich bis zu einer Verstimmung ∆ = 8,0 GHz.

Eine starke Hysterese der Hexagone nahe der Resonanz wird auch hier beobachtet. Die kleinste Leistung, bei der die Hexagone ¨ uber die Resonanz hinaus stabil sind, betr¨ agt

90 mW. F¨ ur hohe Leistung wird keine Verstimmung beobachtet, f¨ ur die die Hexagone instabil werden.

Abb. 5.5 zeigt Aufnahmen bei Variation der Leistung von Werten unterhalb der Schwelle zur Musterbildung bis zu 220 mW bei einer Verstimmung von ∆ = 3,0 GHz.

42 Kapitel 5. Abh¨ angigkeit der Musterbildung von der Temperatur

Verstimmung (GHz)

Abbildung 5.4: Bifurkationsdiagramm, Stabilit¨ atsbereiche von Hexagonen (+) mit Hysterese und Streifen (3), strichpunktierte Linie: die in Abb. 5.5 gezeigten Bilder. Die Grenze der Hexagone im Bereich der Streifen zeigt die Schwelle an, ab der Hexagone nicht mehr zu beobachten sind. Parameter: T = 304 ^◦ C, d = 76 mm, p ^N 2 = 301 mbar, R = 99%

F¨ ur die drei kleinsten Leistungen (Abb. 5.5a-c) wird qualitativ das gleiche Verhalten wie bei T = 284 ^◦ C beobachtet. Auch ein Zustand, bei dem die kritische Wellenzahl gleichm¨ aßig auf einem Kreis angeregt wird (vgl. Abb. 5.2b), wird f¨ ur P =3 3m Wb e o bachtet, ist jedoch nicht abgebildet.

Mit steigender Leistung nimmt die Fl¨ ache, auf der sich Hexagone ausbilden, im Nahfeld zu. Im Fernfeld treten weitere Harmonische h¨ oherer Ordnung auf, die sich aus Vektoraddition aus Vielfachen der Grundmoden zusammensetzen (Abb. 5.5d). Die bisher beschriebenen h¨ oheren Harmonischen erster Ordnung, die sich aus einfachen Summen der Grundmoden ergeben, gewinnen an Intensit¨ at. Das Nahfeld (Abb. 5.5b-d) nimmt an Kontrast zu. F¨ ur hohe Leistungen sind die im Nahfeld beobachteten Intensit¨ atsminima nicht rund wie in Abb. 5.5b, sondern l¨ anglich (Abb. 5.5c) bzw. haben eine rechteckige Form (Abb. 5.5d). Jede einzelne Aufnahme besitzt eine Vorzugsrichtung, die die Drehsymmetrie auf eine zweiz¨ ahlige reduziert. Mehrere Aufnahmen untereinander verglichen zeigen jedoch Streifen, die unterschiedlich orientiert sind, wodurch eine Inhomogenit¨ at des Mediums oder des Lichtstrahls als Ursache ausgeschlossen wird.

F¨ ur P>160 mW werden Streifen in Kombination mit Hexagonen am Rand des mu- sterbildenden Bereichs beobachtet (vgl. Kap. 3.1.5). Bis 200 mW treten diese bistabil

5.2. Bifurkationsszenario bei T = 304 ^◦ C4 3

Abbildung 5.5: Variation der Leistung bei T = 304 ^◦ C und ∆ = 3,0 GHz, a) P = 27 mW, b) P =4 1m W ,c )P =7 9m W ,d )P = 170 mW, e) P = 214 mW, Parameter: wie bei Abb. 5.2

mit Hexagonen auf. Das System wechselt bei konstanten Parametern in diesem Bereich zeitlich zwischen beiden Zust¨ anden.

Die Wellenzahlen der bei ∆ = 3,0 GHz auftretenden Hexagone und Streifen sind in Abb. 5.6 gegen die Leistung aufgetragen.

An der Schwelle zur Musterbildung betr¨ agt die Wellenzahl der Hexagone k = 25,4 mm ⁻¹ . Diese nimmt mit zunehmender Leistung ab, erreicht ein Minimum bei ca. 70-75 mW mit einem Mittelwert k min ≈ 24,2 mm ⁻¹ und steigt dann wieder an. Die ab 160 mW auftretenden Streifen haben im ¨ Ubergang zu Hexagonen ungef¨ ahr die gleichen Wellenzahlen

wie diese. In diesem kleinen Bistabilit¨ atsbereich nimmt die Wellenzahl der Hexagone mit zunehmender Leistung zu. Streifen behalten ihre Wellenzahl der Gr¨ oßenordnung k ≈ 24,3 mm ⁻¹ bis P = 230 mW bei.

44 Kapitel 5. Abh¨ angigkeit der Musterbildung von der Temperatur

Abbildung 5.6: Abh¨ angigkeit der Wellenzahl der Hexagone () und Streifen (3) von der Leistung, große Symbole: Mittelwerte ¨ uber alle Aufnahmen ungef¨ ahr gleicher Leistung, Parameter: s.Abb. 5.5

5.3 Bifurkationsszenario bei T = 315 ◦ C

Bei T = 315 ^◦ C(N =6,1·10 ¹⁸ m ⁻³ ) liegt die kleinste Laserleistung, bei der Musterbildung einsetzt, f¨ ur eine Verstimmung von ∆ = 4,5 GHz bei P = 31 mW (vgl. Abb. 5.7). Der Frequenzbereich, in dem Musterbildung bei Leistungen bis P = 200 mW vorzufinden ist, erstreckt sich bis zu einer Verstimmung ∆ = 12,0 GHz.

Die Hysterese der Hexagone bleibt bestehen. Bei einer Leistung von P = 130 mW bleiben Hexagone bei konstanter Leistung auch bei Variation der Verstimmung ¨ uber die Resonanz hinaus stabil.

Es treten erstmals Muster mit zw¨ olf Fourierkomponenten als sekund¨ are Bifurkation von Hexagonen auf. Diese entstehen ab einer Leistung von P>59 mW. Im Bereich von Verstimmungen 2,5 GHz ≤ ∆ ≤ 3,9 GHz werden SiH+SiH (vgl. Kap. 3.1.3) beobachtet. Diese g e h e nz ug r ¨ oßerer Verstimmung in andere Muster mit zw¨ olf Fourierkomponenten ¨ uber.

Da hier neben Quasimustern (vgl. Kap. 3.1.2) auch Mischformen aus Q 12 und AS 2,1 +SiS sowie dynamische Muster mit zw¨ olf Fourierkomponenten und nicht klar definierten Winkelzusammenh¨ angen (vgl. Kap. 3.1.7) auftreten, sind diese im Bifurkationsdiagramm zu einer Gruppe ” 12 FK“ zusammengefasst.

Der Bistabilit¨ atsbereich bei hoher Leistung und mittlerer Verstimmung zwischen Streifen und Hexagonen, der bei T = 304 ^◦ C auftritt, wird durch eine Multistabilit¨ at zwischen

5.3. Bifurkationsszenario bei T = 315 ^◦ C4 5

Verstimmung (GHz)

Abbildung 5.7: Bifurkationsdiagramm, Stabilit¨ atsbereiche von Hexagonen (+), SiH+SiH (×), 12 FK (△) und Streifen (3), strichpunktierte Linie: die in Abb. 5.8 gezeigten Bilder. Parameter: T = 315 ^◦ C, d = 76 mm, p ^N 2 = 301 mbar, R = 99%

Streifen und Mustern mit zw¨ olf Fourierkomponenten abgel¨ ost.

Die Variation der Leistung zeigt f¨ ur kleine Leistungen (Abb. 5.8a-d) dasselbe Verhalten des Systems wie f¨ ur T = 284 ^◦ C beschrieben. Eine r¨ aumliche Verzerrung wie bei T = 304 ^◦ C wird nicht beobachtet.

Durch das Anwachsen von sechs weiteren Intensit¨ atsmaxima im Fernfeld bildet sich eine zweite Triade heraus (Abb. 5.8e). Die Winkel variieren hier von Aufnahme zu Aufnahme. Auch die Wellenzahlverh¨ altnisse der Triaden zueinander sind nicht immer gleich. Das Bild in Abb. 5.8e zeigt ein Muster, das aufgrund seiner Winkel von ungef¨ ahr 30 ^◦ einem SiH+SiH (vgl. Kap. 3.1.3) am ¨ ahnlichsten von allen bei diesen Parametern beobachteten Muster sieht. Das Wellenzahlverh¨ altnis der beiden Triaden ist mit k 2 /k 1 ≈ 1, 04 jedoch wesentlich kleiner als das f¨ ur ideale SiH+SiH. Bei h¨ oherer Leistung haben alle Intensit¨ atsmaxima des Fernfeldes ungef¨ ahr die gleiche Intensit¨ at. Es treten haupts¨ achlich Muster wie in Abb. 5.8f gezeigt auf. Gleiche Winkel zur Bildung von Q 12 stellen sich nur vereinzelt ein. In diesem Bereich werden auch Muster beobachtet, deren Wellenvektoren zwar die Winkel wie bei einem AS 2,1 +SiS aufweisen, die Wellenzahlen jedoch alle ann¨ ahernd gleich sind.

F¨ ur Leistungen P ≈ 160 mW (Abb. 5.8g) zeigen die Muster eine so schnelle Dynamik, dass nicht mehr eindeutig zu erkennen ist, ob es sich um Muster mit zw¨ olf Fourierkomponenten handelt (vgl. Kap. 3.1.7). Es ist ann¨ ahernd nur eine einzelne Wellenzahl angeregt.

Vereinzelt werden modulierte Streifen beobachtet, dessen Nahfeld am Rand des Gauß’schen

46  Kapitel 5. Abh angigkeit der Musterbildung von der Temperatur  

Abbildung  5.8: Variation der Leistung bei T 315 C und 4,5 GHz, a) P  

23  mW, b) P 3 3m W ,c )P 4 1m W ,d )P 5 3m W ,e )P 6 5m W ,f )P  

105  mW, g) P 157 mW, h) P 210 mW, Parameter: wie bei Abb 5  2

5.3. Bifurkationsszenario bei T = 315 ^◦ C4 7

Strahls anderen Mustern aus einzelnen Minima aufweist. F¨ ur h¨ ohere Leistungen (Abb. 5.8h) treten diese dann stabil auf. Aufgrund der geringen Ausdehnung im Nahfeld ist nicht eindeutig erkennbar, zu welchem Mustertyp diese zuordnet werden k¨ onnten. Die Muster als Kombination gesehen ¨ ahneln, vor allem im Fernfeld, der in Kap. 3.1.5 beschriebenen, Zusammensetzung aus Streifen und Hexagonen.

Die Ergebnisse der Untersuchung auf Wellenzahl¨ anderungen in Abh¨ angigkeit von der Leistung ist in Abb. 5.9 dargestellt.

Abbildung 5.9: Abh¨ angigkeit der Wellenzahl der Hexagone (), Muster der Gruppe 12 FK“ (△) und Streifen (3) von der Leistung, große Symbole: Mittelwerte ¨ uber

”

alle Aufnahmen ungef¨ ahr gleicher Leistung, Parameter: s.Abb. 5.8

Hexagone zeigen, wie f¨ ur T = 315 ^◦ C, bei Erh¨ ohung der Leistung eine starke Abnahme der Wellenzahl. Das bei T = 315 ^◦ C beobachtete Minimum wird nicht beobachtet.

Muster mit zw¨ olf Fourierkomponenten entstehen mit einer ca . 1% gr¨ oßeren Wellenzahl als die Hexagone bei n¨ achst kleinerer Leistung. Ihre Wellenzahl bleibt von 70 mW bis 160 mW fast konstant im Bereich 24,8 mm ⁻¹ mm ⁻¹ .

Die Wellenzahlen der f¨ ur P>155 mW beobachteten Streifen nehmen mit zunehmender Leistung linear ab. Im Bistabilit¨ atsbereich 155 mW

mW haben Streifen eine deutlich geringere Wellenzahl als die Muster mit zw¨ olf Fourierkomponenten. Das Verh¨ altnis betr¨ agt k Str /k 12FK = 0,98.

48 Kapitel 5. Abh¨ angigkeit der Musterbildung von der Temperatur

5.4 Bifurkationsszenario bei T = 325 ◦ C

F¨ ur die h¨ ochste untersuchte Temperatur T = 325 ^◦ C(N =1,27·10 ¹⁹ m ⁻³ ) treten erstmals Quadrate (vgl. Kap. 3.1.6) auf. Sie werden f¨ ur ¨ ahnliche Leistungen wie Streifen, P> 164 mW, und etwas kleinere Verstimmung beobachtet (vgl. Abb. 5.10).

Verstimmung (GHz)

Abbildung 5.10: Bifurkationsdiagramm, Stabilit¨ atsbereiche von Hexagonen (+), SiH+SiH (×), 12 FK (△), Streifen (3), Quadraten (2), strichpunktierte Linie: die in Abb. 5.11 gezeigten Bilder. Parameter: T = 325 ^◦ C, d = 76 mm, p ^N 2 = 301 mbar, R = 99%

Die kleinste Laserleistung, bei der Musterbildung einsetzt, liegt f¨ ur Verstimmungen 3,0 GHz ≤ ∆ ≤ 5,0 GHz bei 31 mW. Der Frequenzbereich, in dem Musterbildung bei Leistungen bis P = 200 mW vorzufinden ist, erstreckt sich bis zu einer Verstimmung ∆ = 13,5 GHz.

Die Hysterese der Hexagone wird weiterhin beobachtet. Auf der Resonanz sind Hexagone ab einer Leistung von P = 95 mW stabil.

Muster mit zw¨ olf Fourierkomponenten entstehen ab einer Leistung von P>46 mW. F¨ ur kleinere Verstimmung entstehen in dem Bereich, in dem Muster mit zw¨ olf Fourierkomponenten auftreten, nur SiH+SiH. Dieser Bereich ist mehr als doppelt so breit wie bei T = 315 ^◦ C. F¨ ur gr¨ oßere Verstimmungen existieren, wie bei T = 315 ^◦ C, Q 12 ,A S 2,1 +SiS, SiH+SiH und nicht n¨ aher klassifizierte Muster mit zw¨ olf Fourierkomponenten in Multistabilit¨ at zueinander. F¨ ur T = 325 ^◦ Cw i r df ¨

Muster mit zw¨ olf Fourierkomponenten (

”

den. Dies ist der einzige Bereich (f¨ ur alle Diagramme), der nach oben hin geschlossen ist.

5.4. Bifurkationsszenario bei T = 325 ^◦ C4 9

Bei Leistungen P>200 mW werden Streifen bzw. Quadrate bevorzugt.

Bis auf Streifen lassen sich bei einer Verstimmung von ∆ = 4,5 GHz durch Variation der Leistung alle Muster, die im Bifurkationsdiagramm auftreten, beobachten (Abb. 5.11).

Hexagone zeigen das gleiche Verhalten wie bei T = 315 ^◦ C. F¨ ur Leistungen zwischen 48 und 230 mW werden Muster aus zw¨ olf Fourierkomponenten beobachtet, von denen die meisten weder anhand ihres Nahfelds noch anhand der Winkel- oder Wellenzahlverh¨ altnisse im Fernfeld klassifiziert werden k¨ onnen (vgl. Kap. 3.1.7). F¨ ur kleine Leistungen werden Muster bevorzugt, die aus zwei hexagonalen Triaden mit leicht unterschiedlichen Wellenzahlen und Intensit¨ aten gebildet werden (Abb. 5.11e). Da diese aber nicht auf einem hexagonalen Grundgitter liegen, k¨ onnen diese nicht der Klasse der SiH+SiH zugeordnet werden. Eine Interpretation als Mischform zwischen SiH+SiH und Q 12 w¨ are denkbar. Vereinzelt k¨ onnen f¨ ur etwas h¨ ohere Leistungen Q 12 (Abb. 5.11f) aufgenommen werden. Bei weiterer Erh¨ ohung der Leistung verlagern sich die Winkelverh¨ altnisse zu denen eines typischen AS 2,1 +SiS, d.h. es werden quadratische Grundgitter eingenommen. Die meisten der beobachteten Muster in diesem Parameterbereich besitzen jedoch ein kleineres Wellenzahlverh¨ altnis zwischen den beiden Unterstrukturen als f¨ ur ideale AS 2,1 +SiS erwartet. Abb. 5.11h zeigt ein Muster, das am besten der theoretischen Erwartung einer periodischen ¨ Uberstruktur dieser Art entspricht.

An der Schwelle zu Quadraten werden sich zeitlich schnell ¨ andernde Muster einer Wellenzahl beobachtet, wie sie schon f¨ ur T = 315 ^◦ C beschrieben wurden. Der ¨

Quadraten ist vergleichsweise abrupt, stetige ¨ Uberg¨ ange oder Mischzust¨ ande werden nicht beobachtet.

Die Abh¨ angigkeit der Wellenzahlen der bei ∆ = 4,5 GHz aufgenommenen Muster von der Lichtleistung wird in Abb. 5.12 dargestellt.

Die Abnahme der Wellenzahl der Hexagone entspricht in etwa dem Verhalten, wie es bei T = 315 ^◦ C beobachtet wird. Im Unterschied zu dieser Temperatur tritt f¨ ur 40 mW

50 mW eine Bistabilit¨ at zu Mustern mit zw¨ olf Fourierkomponenten auf. Die mittlere Wellenzahl dieser komplexeren Muster ist signifikant gr¨ oßer als die der Hexagone.

Im Bereich 60 mW

mW bleiben die mittleren Wellenzahlen der Muster mit zw¨ olf Fourierkomponenten nahezu konstant mit k ≈ 24,65 mm ⁻¹ . Die einzelnen Wellenzahlen streuen um diesen Mittelwert. Diese Streuung ist gr¨ oßer als bei T = 315 ^◦ C. Die Zunahme der Streuung kann auf das Auftreten von AS 2,1 +SiS zur¨ uckgef¨ uhrt werden, da diese im Vergleich zu anderen Mustern mit zw¨ olf Fourierkomponenten das gr¨ oßte Verh¨ altnis der Wellenzahlen der beiden Untergitter zueinander aufweisen.

Auch die Mittelwerte der Wellenzahlen zeigen eine gr¨ oßere Streuung als bei T = 315 ^◦ C. Eine gr¨ oßere Streuung der Mittelwerte kann durch die gr¨ oßere Vielzahl an Mustern erkl¨ art werden, da sich der Mittelwert je nach Mustertyp etwas ver¨ andert.

Die Wellenzahl der f¨ ur 170 mW

mW auftretenden Quadrate ¨ andert in diesem Bereich nicht signifikant. Im Mittel betr¨ agt diese k = 24,85 mm ⁻¹ und unterscheidet sich somit nicht wesentlich von der der Muster mit zw¨ olf Fourierkomponenten.

50 Kapitel 5. Abh¨ angigkeit der Musterbildung von der Temperatur

Abbildung 5.11: Variation der Leistung bei T = 325 ^◦ C und ∆ = 4,5 GHz, a) P = 19 mW, b) P =3 1m W ,c )P =3 6m W ,d )P =4 0m W ,e )P =5 3m W ,f )P = 66 mW, g) P = 106 mW, h) P = 118 mW, i) P = 147 mW, j) P = 207 mW, Parameter: wie bei Abb. 5.2

5.5. Vergleich der Bifurkationsszenarien der verschiedenen Temperaturen 51

Abbildung 5.12: Abh¨ angigkeit der Wellenzahl der Hexagone (), Muster der Gruppe 12 FK“ (△) und Quadrate (2) von der Leistung, große Symbole: Mittelwerte ¨ uber

”

alle Aufnahmen ungef¨ ahr gleicher Leistung, Parameter: s.Abb. 5.11

5.5 Vergleich der Bifurkationsszenarien der verschie-

denen Temperaturen

Allgemein treten f¨ ur h¨ ohere Temperaturen mehr Muster auf. Muster bleiben bei Erh¨ ohung der Temperatur evtl. unter Anpassung der Leistung und Verstimmung bestehen; kein Muster verschwindet aus dem Bifurkationsdiagramm. Das Bifurkationsdiagramm wird komplexer und feiner strukturiert.

Hexagone sind bei allen Temperaturen das bevorzugte Muster an der Schwelle zur Musterbildung und entstehen bei Erh¨ ohen der Temperatur als erstes. Der Vergleich der Bifurkationsdiagramme zeigt, dass mit zunehmender Temperatur der Frequenzbereich, in dem Musterbildung stattfindet, gr¨ oßer wird. Musterbildung wird also bei gr¨ oßerer Verstimmung m¨ oglich. Die Schwelle zur Musterbildung scheint sich asymptotisch einem Grenzwert anzun¨ ahern: Von niedrigen zu hohen Temperaturen werden die Schwellen 61 mW, 33 mW und, f¨ ur T = 315 ^◦ C und T = 325 ^◦ C, 31 mW gemessen. Die Wellenzahlen der Hexagone an der Schwelle zur Musterbildung werden mit h¨ oherer Temperatur gr¨ oßer. Die linke Grenze des Bereichs der Musterbildung in der N¨ ahe der Resonanz ist f¨ ur alle Temperaturen gleich. Die Breite der Hystereseschleife zwischen dem homogenen, unmodulierten Zustand und Hexagonen ist f¨ ur hohe Temperaturen in etwa gleich, f¨ ur T = 284 ^◦ Cj e d oc h

52 Kapitel 5. Abh¨ angigkeit der Musterbildung von der Temperatur

etwas schmaler.

Es wird eine sekund¨ are Bifurkation von Hexagonen zu Streifen (T = 304 ^◦ C) und zu Mustern mit zw¨ olf Fourierkomponenten (T = 315 ^◦ C und T = 325 ^◦ C) beobachtet. Im Vergleich der beiden h¨ ochsten Temperaturen nimmt die minimale Leistung, bei der Muster mit zw¨ olf Fourierkomponenten auftreten, von 59 mW auf 46 mW ab. Im ¨ Ubergang von

Hexagonen zu Mustern mit zw¨ olf Fourierkomponenten wird eine Vergr¨ oßerung der Wellenzahl beobachtet. Dies best¨ atigt numerische Voraussagen [DV96]. F¨ ur beide Temperaturen bleibt die Wellenzahl der Muster mit zw¨ olf Fourierkomponenten ¨ uber den untersuchten Leistungsbereich weitgehend konstant. Beim ¨ Ubergang von Streifen zu Hexagonen nimmt die Wellenzahl leicht ab.

Bei den beiden h¨ ochsten Temperaturen tritt eine terti¨ are Bifurkation von Mustern mit zw¨ olf Fourierkomponenten zu Streifen auf. Im ¨ Ubergang bei Erh¨ ohen der Leistung ist die

Wellenzahl der Streifen kleiner als die der Muster mit zw¨ olf Fourierkomponenten.

F¨ ur T = 325 ^◦ C wird eine weitere terti¨ are Bifurkation von Mustern mit zw¨ olf Fourierkomponenten zu Quadraten beobachtet. Im ¨ Ubergang zwischen diesen Mustern wird kein Wellenzahlunterschied beobachtet.

Die Spanne der auftretenden Wellenzahlen nimmt mit h¨ oherer Temperatur zu. Dies l¨ asst sich am ehesten auf die zunehmende Anzahl an unterschiedlichen Mustertypen zur¨ uckf¨ uhren.

42 ^◦ -Muster (vgl. Kap. 3.2) werden w¨ ahrend der gesamten Messung nicht beobachtet. Da f¨ ur das Experiment eine Teleskopeinstellung gew¨ ahlt worden ist, die einen kollimierten Strahl in der Zelle gew¨ ahrleistet, tritt das Muster 42 folglich nur f¨ ur einen nicht kollimierten Strahl auf.

5.6 Abh¨ angigkeit der Stabilit¨ atsbereiche von experi-

mentellen Parametern

Mittels der linearen Stabilit¨ atsanalyse (LSA) werden die station¨ aren L¨ osungen der Modellgleichungen [Aum99] auf ihre Stabilit¨ at gegen kleine St¨ orungen untersucht. Der Wachstumskoeffizient λ,deralsL¨ osung eines Eigenwertproblems das Ergebnis der LSA ist, gibt an, ob eine periodische (sinusf¨ ormige) St¨ orung einer bestimmten Wellenzahl bei vorgegebenen Parametern anw¨ achst (λ>0) oder ged¨ ampft (λ<0) wird.

In die Gleichungen gehen Teilchenzahldichte und Diffusionskonstante direkt ein, eine Angabe der Temperatur ist hier nicht erforderlich. Beide h¨ angen jedoch von der Temperatur ab [Ack97]. Aus der kinetischen Gastheorie folgt die Diffusionskonstante D:

F¨ ur die Konstante D 0 wird der von unterschiedlichen Autoren bestimmte Wert gemit-

5.6. Abh¨ angigkeit der Stabilit¨ atsbereiche von experimentellen Parametern 53

telt angegeben. Eine Temperatur¨ anderung um 14% von 284 ^◦ C auf 325 ^◦ Cw¨ urde demnach eine Puffergasdruck¨ anderung um 26% erfordern, um die Diffusionsrate konstant zu halten und somit ihren Einfluss auf die Ergebnisse auszuschließen. Eine Verwendung von p = 300 mbar bei T = 284 ^◦ Ch ¨ atte eine Druck¨ anderung auf p = 378 mbar bei T = 325 ^◦ C erfordert. Bei konstanten Druck hingegen bewirkt eine Temperatur¨ anderung um 14% eine ¨ Anderung der Diffusionskonstanten um 26%. Die Teilchenzahldichte erh¨ oht sich von 284 ^◦ C auf 325 ^◦ C auf das 15,9-fache. Im Vergleich zur Diffusion ¨ andert sich die Teilchenzahldichte 63mal so stark. Dies rechtfertigt eine Vernachl¨ assigung der ¨ Anderung der Diffusionskon-

stanten und erm¨ oglicht den Vergleich des Experiments, in dem die Temperatur variiert wird, mit theoretischen Untersuchungen, in denen die Teilchenzahldichte ge¨ andert wird.

Zur Gew¨ ahrleistung der Vergleichbarkeit wird die Diffusionskonstante f¨ ur alle Graphen D = 225,9 mm ² /s gew¨ ahlt, welche nach dem experimentell gefundenen Zusammenhang (5.1) einer Temperatur von T = 300 ^◦ C und einem Puffergasdruck von p = 300 mbar entspricht.

Es werden die Teilchenzahldichten N 1 =1 0 ¹⁸ m ⁻³ , N 2 =1 0 ¹⁹ m ⁻³ und N 3 =1 0 ²⁰ m ⁻³ untersucht. Diese liegen am unteren und oberen Ende bzw. in der Mitte der Spanne der im Experiment gemessenen Teilchenzahldichten.

In Abb. 5.13a ist f¨ ur die drei Teilchenzahldichten die Grenze λ =0i nA b h ¨ angigkeit von Leistung und Verstimmung eingezeichnet, die den Bereich der Musterbildung von dem Bereich trennt, in dem der unmodulierte Zustand gegen beliebige, kleine St¨ orungen stabil ist.

a)

250

200

Leistung (mW) 150

100

50

0

Abbildung 5.13: links Schwellwertkurven nach der LSA, rechts Instabilit¨ atsballons nach der LSA, jeweils f¨ ur eine Verstimmung, bei der die Schwellwertkurve ein Minimum hat, durchgezogene Linie: N =10 ¹⁸ m ⁻³ , strichpunktierte Linie: N =10 ¹⁹ m ⁻³ , gestrichelte Linie: N =1 0 ²⁰ m ⁻³ , Parameter: Γ 2 =6 , 8 3·10 ⁹ s ⁻¹ , D = 356,3 mm ² /s, R = 99%, L =7 6m m

F¨ ur h¨ ohere Teilchenzahldichten ist der Frequenzbereich der Musterbildung breiter. Die kleinste Leistung, f¨ ur die Modulationsinstabilit¨ aten auftreten, liegt f¨ ur N =1 0 ¹⁸ m −3

54 Kapitel 5. Abh¨ angigkeit der Musterbildung von der Temperatur

mit P =4 3m Wh ¨ oher als f¨ ur die beiden anderen Teilchenzahldichten, bei denen diese Leistung P =2 7m Wb e t r ¨ agt. F¨ ur N =1 0 ¹⁸ m ⁻³ wird das Minimum der ben¨ otigten Leistung f¨ ur eine Verstimmung ∆ = 1,05 GHz beobachtet. Das Minimum der beiden h¨ oheren Teilchenzahldichten liegt bei einer etwas gr¨ oßeren Verstimmung bei ∆ = 1,8 GHz. Alle drei Schwellwertkurven liegen f¨ ur kleine Verstimmungen dicht bei einander. F¨ ur eine Verringerung der Verstimmung ist ein steiler Anstieg der Schwellleistung f¨ ur alle drei Teilchenzahldichten gleichermaßen zu verzeichnen.

Die Verbreiterung des musterbildenden Bereichs best¨ atigt den im Experiment beobachteten Trend; bei gleicher Teilchenzahldichte ist der Bereich im Experiment jedoch breiter als durch die LSA vorausgesagt. Im Experiment ¨ andert sich die Breite des Bereichs, in dem Musterbildung stattfindet, und die Lage des Minimums dieses Bereichs im Bifurkationsdiagramm f¨ ur hohe Temperaturen am wenigsten. Dies zeigt eine ¨ Ubereinstimmung

mit dem Verhalten, das die LSA f¨ ur hohe Teilchenzahldichte prognostiziert.

Die steile Flanke bei kleiner Verstimmung findet sich im Experiment qualitativ wieder. Es handelt sich dabei um die Grenze der Hysterese der Hexagone, die die Grenze zur Instabilit¨ at des homogenen Zustands markiert. Die zweite Grenze der Hysterese, welche durch die subkritische Bifurkation zustande kommt, wird von der LSA nicht beschrieben.

Sowohl die hohe Schwelle f¨ ur kleine Teilchenzahldichten als auch die Konstanz der Schwelle f¨ ur große Teilchenzahldichten tritt im Experiment auf, wobei dort die Schwellen insgesamt niedriger sind.

Ein entscheidender Unterschied zwischen den theoretischen und den experimentell bestimmten Bereichen ist die Form der Schwellwertkurve in Abh¨ angigkeit von der Verstimmung. Im Experiment sind diese nahezu symmetrisch zu einer vertikalen Achse; die aus der LSA bestimmten Schwellwertkurven weisen eine Schiefheit in Richtung der Resonanz auf.

Abb. 5.13b gibt Aufschluss ¨ uber die zuvor nicht ber¨ ucksichtigte Abh¨ angigkeit des Wachstumskoeffizienten λ von der Wellenzahl der periodischen St¨ orung. Die LSA gibt nicht nur Auskunft ¨ uber die Parameter, bei denen eine Modulationsinstabilit¨ at auftritt, sondern auch dar¨ uber, welche Wellenzahlen bei gegebenen Parametern verst¨ arkt werden. H¨ aufig liefern erste ¨ Uberlegungen anhand der im System erlaubten Wellenzahlen bei der Analyse der Musterselektion gute qualitative Ergebnisse. In der Leistung-Wellenzahl-Ebene aufgetragene Kurven marginaler Stabilit¨ at f¨ ur λ =0l i e f e r nm e h r e r en a c ho b e ng e ¨ offnete ” Instabilit¨ atsballons“ (Abb. 5.13). F¨ ur die Berechnung wird als Verstimmung jeweils die vorgegeben, die eine minimale Schwellleistung zur Folge hat. Aus Abb. 5.13a werden hierf¨ ur f¨ ur die kleinste Teilchenzahldichte ∆ = 1,0 GHz, f¨ ur die anderen beiden ∆ = 1,8 GHz bestimmt.

In dem Bereich der Leistung, der im Experiment zur Verf¨ ugung steht, P<250 mW, werden f¨ ur alle drei Teilchenzahldichten drei Instabilit¨ atsballons berechnet. F¨ ur die beiden h¨ ochsten Teilchenzahldichten stimmen alle drei jeweils miteinander ¨ uberein. Die Ballons

bei N =10 ¹⁸ m ⁻³ sind schmaler und weisen ihre Minima bei h¨ oheren Leistungen auf.

5.6. Abh¨ angigkeit der Stabilit¨ atsbereiche von experimentellen Parametern 55

Bei der kleinsten Teilchenzahldichte wird ein steilerer Anstieg der Schwellleistung mit zunehmender Wellenzahl beobachtet. F¨ ur N =1 0 ¹⁸ m ⁻³ betragen die Verh¨ altnisse der minimalen Leistungen der Ballons h¨ oherer Wellenzahlen P 2 und P 3 zur minimalen Leistung der ersten Ballons P 1 :

P 2 /P 1 =2 , 64 und P 3 /P 1 =4 , 27.

F¨ ur N =10 ¹⁹ m ⁻³ und N =10 ²⁰ m ⁻³ sind dies nur

P 2 /P 1 =2 , 54 und P 3 /P 1 =4 , 07.

Diese ¨ Anderung der Steigung tritt trotz konstanter Diffusion auf.

Die zu den minimalen Leistungen geh¨ orenden kritischen Wellenzahlen der drei Ballons stehen f¨ ur die kleinste Teilchenzahldichte im Verh¨ altnis

k 2 /k 1 =1 , 63 und k 3 /k 1 =2 , 07,

f¨ ur N =10 ¹⁹ m ⁻³ und N =10 ²⁰ m ⁻³ im Verh¨ altnis

k 2 /k 1 =1 , 60 und k 3 /k 1 =2 , 03

und liegen somit f¨ ur h¨ ohere Teilchenzahldichten enger bei einander.

Diskussion

SiH+SiH sowie AS 2,1 +SiS treten erst f¨ ur h¨ ohere Temperaturen und somit h¨ ohere Teilchenzahldichten auf. Da sich diese Muster aus etwas voneinander abweichenden Wellenzahlen zusammensetzen, sind hierf¨ ur Instabilit¨ atsballons einer gewissen Breite notwendig. F¨ ur h¨ ohere Teilchenzahldichten sagt die LSA breitere Ballons sowie eine gr¨ oßere Breite bei h¨ oherer Leistung voraus. Dies liefert einen Hinweis darauf, dass die komplex periodischen Strukturen bevorzugt bei h¨ oheren Temperaturen beobachtet werden.

Die im Experiment zur Verf¨ ugung stehende Leistung erm¨ oglicht eine Anregung des dritten Instabilit¨ atsballons nach Aussage der LSA nur f¨ ur Teilchenzahldichten N>10 ¹⁸ m ⁻³ . Die h¨ oheren Harmonischen von Streifen stehen ungef¨ ahr im Verh¨ altnis 1:2,00 zur Grundmode und fallen somit in den Bereich des dritten Instabilit¨ atsballons. Die ¨ Uberlegungen

liefern damit einen Erkl¨ arungsansatz, warum Streifen erst bei großen Teilchenzahldichten auftreten. Fourierfilter-Experimente best¨ atigen die Notwendigkeit des dritten Instabilit¨ atsballons. Wird die Wellenzahl des dritten Ballons aus dem r¨ uckgekoppelten Strahl herausgefiltert, entstehen Hexagone anstatt Streifen [GWHAL01].

56 Kapitel 5. Abh¨ angigkeit der Musterbildung von der Temperatur

Kapitel 6

Einfluss der Laserstrahlkollimation

In Experimenten zu Beginn dieser Arbeit, die ohne das in Kap. 4 beschriebene Teleskop durchgef¨ uhrt worden sind, konnten teilweise Bifurkationsszenarien nicht eindeutig reproduziert werden. Quadrate konnten zum Teil nicht erzeugt werden. Außerdem wurde ein neues Muster gefunden, das nicht auftritt, wenn der Strahl so kollimiert ist, dass die Strahltaille in der Zelle liegt. Es muss daher in dem Bereich eines divergenten oder konvergenten Strahls gesucht werden.

Ziel dieses Kapitels ist es, den Einfluss der Lage der Strahltaille auf die Strukturbildung systematisch zu untersuchen und die Bereiche, in denen das neue Muster 42 auftritt, zu bestimmen, um dieses n¨ aher zu analysieren.

6.1 Systematische Variation der Laserstrahlkollima-

tion

Um die Kollimation gezielt zu ¨ andern, wird die Linse L3d e sT e l e s k o p sf ¨ ur das Experiment in 1/8-Umdrehungen gedreht. Dies entspricht jeweils einer L¨ angen¨ anderung des Teleskops ∆L T um (0,0625 ± 0,0313) mm, welche eine Verschiebung der Strahltaille um ca. (70 ± 35) cm bewirkt. ∆L T = 0 markiert die Linsenposition, f¨ ur die die Strahltaille in der Zellenmitte liegt. Diese wird wie in Kap. 4.3 beschrieben bestimmt. Eine Verk¨ urzung des Teleskops (∆L T < 0) bewirkt einen divergenten, eine Verl¨ angerung (∆L T > 0) einen konvergenten Strahl.

F¨ ur jede Teleskopl¨ ange wird bei maximaler Leistung (P = 230 mW) die Frequenz des Lasers variiert. Die Abh¨ angigkeit der auftretenden Muster von Verstimmung und Teleskopl¨ angenvariation ist in Abb. 6.1 dargestellt. Der leichte Versatz der einzelnen horizontalen Balken gegeneinander dient nur der ¨ Ubersichtlichkeit. ¨ Uberlappende Balken geh¨ oren zu

derselben Teleskopl¨ ange und signalisieren Multistabilit¨ at mehrerer Muster.

Alle in Kap. 3.1 dargestellten Muster treten in wohl definierten Bereichen des durch

57

58 Kapitel 6. Einfluss der Laserstrahlkollimation

Abbildung 6.1: Bifurkationsszenario in Abh¨ angigkeit von der Kollimation und der Verstimmung, Parameter: T =324,7 ^◦ C, P = 230 mW, d = 76 mm, p ^N 2 = 300 mbar, R = 99%

Kollimation und Verstimmung aufgespannten Bifurkationsdiagramms auf.

F¨ ur den bisher betrachteten Fall, dass die Strahltaille in der Zellenmitte liegt, treten bis auf 42 ^◦ -Muster alle in Kap. 3.1 diskutierten Muster auf (vgl. Abb. 6.1). Eine hohe Temperatur und ein kleiner Spiegelabstand sind daf¨ ur allerdings Voraussetzung.

Bei allen Teleskopl¨ angen sind die Hexagone auf der Resonanz stabil. Die Breite des Stabilit¨ atsbereichs der Hexagone nahe der Resonanz scheint unabh¨ angig von der Kollimation zu sein. Die Hysterese ist nicht eingezeichnet, da eine Destabilisierung der Hexagone nur durch Verringern der Leistung erreicht werden kann. Der Spektralbereich, in dem Muster- bildung gefunden wird, ist f¨ ur alle Teleskopl¨ angen ungef¨ ahr gleich breit; eine Tendenz ist

6.2. Kollimationsabh¨ angige Wellenzahl¨ anderungen 59

nicht erkennbar. Die gr¨ oßte Verstimmung, die Musterbildung zul¨ asst, liegt zwischen 12 und 13 GHz.

Alle Muster mit zw¨ olf Fourierkomponenten werden, wie in Kap. 5.3 diskutiert, zu einer Gruppe ” 12 FK“ zusammengefasst.

Die beobachteten Streifen gehen bei kleinerer Verstimmung in die orthogonal zum Weluber. In F¨ allen, wo dieser ¨ lenvektor modulierte Form ¨ Ubergang klar zu bestimmen ist,

ist der Balken in Abb. 6.1 durch einen senkrechten Strich in zwei Teile geteilt. Liegt eine solche Markierung nicht vor, ist der ¨ Ubergang stetig und erstreckt sich ¨ uber einen breiten Spektralbereich.

Eine Verl¨ angerung des Teleskops f¨ uhrt zu einem konvergenten Strahl in der Zelle. Der Stabilit¨ atsbereich der Hexagone f¨ ur große Verstimmungen ist etwas schmaler als f¨ ur den Fall ∆L T = 0. Die Stabilit¨ atsbereiche der SiH+SiH und der Quadrate werden schon f¨ ur kleine Verschiebungen der Teleskoplinse kleiner und verschwinden bereits bei ∆L T > 0,125 mm (SiH+SiH) bzw. ∆L T > 0,063 mm (Quadrate). In diesem Bereich werden ausschließlich Hexagone, Muster mit zw¨ olf Fourierkomponenten und Streifen beobachtet. Der Bereich, in dem Streifen entstehen, wird mit zunehmender Teleskopl¨ ange breiter.

Ein divergenter Strahl wird durch Verk¨ urzung des Teleskops erreicht. F¨ ur eine Verk¨ urzung bis ∆L T ≥ -0,25 mm wird der Bereich, in dem Quadrate auftreten, auf Kosten der Breite des Bereiches, in dem Streifen entstehen, breiter. SiH+SiH werden f¨ ur diese Teleskopeinstellungen jeweils ¨ uber einen Frequenzbereich gleicher Breite beobachtet. F¨ ur zwei Einstellungen der Teleskopl¨ ange (Verk¨ urzung um ∆L T = -0,188 bzw. ∆L T = -0,25 mm) treten vereinzelt 42 ^◦ -Muster auf (in Abb. 6.1 als ” RM“ f¨ ur ” rhombische Muster“ eingezeichnet). Eine Breite des Stabilit¨ atsbereichs kann f¨ ur diese Muster nicht angegeben werden, da diese innerhalb der Messungenauigkeit der Frequenz liegt. In diesem Bereich muss also sp¨ ater die Analyse der Muster stattfinden.

Bei Justage eines stark divergenten Strahls treten f¨ ur ∆L T < -0,313 mm keine Quadrate und SiH+SiH mehr auf. Diese beiden Mustertypen treten also fast immer f¨ ur die gleiche Kollimationseinstellung auf. In diesem Frequenzbereich werden nun Muster mit zw¨ olf Fourierkomponenten beobachtet, von denen ein großer Anteil gestauchte AS 2,1 +SiS sind. Auch hier nimmt die Breite des Stabilit¨ atsbereichs der Streifen mit der Teleskopverk¨ urzung monoton ab und ist f¨ ur die k¨ urzeste Teleskopl¨ ange am schmalsten. In Zukunft k¨ onnte ¨ uberpr¨ uft werden, ob Streifen f¨ ur eine noch st¨ arkere Verk¨ urzung des Teleskops ganz verschwinden.

6.2 Kollimationsabh¨ angige Wellenzahl¨ anderungen

Wie in der Einleitung zu Kap. 5 geschildert, ist die Wellenzahlentwicklung in Abh¨ angigkeit von der Leistung f¨ ur die Interpretation der Musterselektion interessant.

Hexagone werden bei sonst gleichen Parametern f¨ ur alle Kollimationseinstellungen beob-

60 Kapitel 6. Einfluss der Laserstrahlkollimation

achtet. Zur Sicherung der Vergleichbarkeit werden die Wellenzahlen von Hexagonen nahe der Schwelle bei 42 mW

mW untersucht (Abb. 6.2).

Abbildung 6.2: Abh¨ angigkeit der Wellenzahl der Hexagone an der Schwelle von der Kollimation, Parameter: T = 335,3 ^◦ C, P =( 4 3± 1) mW, ∆ = 3,7 GHz, d = 97 mm, p ^N 2 = 300 mbar, R = 99%

Die Teleskopeinstellung ∆L T = 0 bewirkt eine minimale Wellenzahl der Hexagone. Je konvergenter der Strahl eingestellt wird, desto gr¨ oßer werden die Wellenzahlen. F¨ ur divergenten Strahl ist kein monotones Verhalten erkennbar. Die beobachteten Muster haben jedoch eine gr¨ oßere Wellenzahl als bei ∆L T =0.

6.3 Beobachtung der 42 ◦ -Muster in divergenten Strah-

len

Das in Kap. 3.2 kurz vorgestellte Muster 42 ist nun durch die Ergebnisse aus Kap. 6.1 reproduzierbar. Die bemerkenswerten Eigenschaften dieses Musters werden hier im Detail diskutiert.

6.3. Beobachtung der 42 ^◦ -Muster in divergenten Strahlen 61

6.3.1 Analyse eines experimentell beobachteten Muster 42

Das Muster 42 wird im Wesentlichen aus drei Wellenvektoren gebildet, die alle ungef¨ ahr die gleiche Wellenzahl haben und einen Winkel von ungef¨ ahr 42 ^◦ einschließen. Zu diesem ¨ außerst einfachen Fourierspektrum geh¨ ort eine erstaunlich komplexe Struktur im Nahfeld, die sich aus zwei unterschiedlichen Musterelementen - kleine Vollkreise und große Halbkreisscheiben - zusammensetzt (Abb. 6.3a).

Das Nahfeld l¨ asst sich aus unterschiedlichen Einheitszellen aufbauen: Aus benachbarten kreisrunden Intensit¨ atsminima in Abb. 6.3a werden die eingezeichneten Vektoren a, b und c konstruiert. Unter Ber¨ ucksichtigung des Abbildungsverh¨ altnisses (vgl. Kap. 2.4) ergeben sich f¨ ur die eingezeichneten Vektoren in Abb. 6.3a im Mittel die L¨ angen a = 1029 µm, b = 552 µm und c = 397 µm.

a und c spannen ein Rechteck mit dem Kantenl¨ angenverh¨ altnis a/c = 2,6 auf. Eine Elementarzelle ist dies jedoch nicht, da zwei weitere Einheitszellen gefunden werden, die den halben Fl¨ acheninhalt aufweisen. Die Vektoren b und c spannen ein Parallelogramm auf. b und c schließen einen Winkel von 68,3 ^◦ ein und stehen im L¨ angenverh¨ altnis b/c =1 , 4 zueinander. Eine weitere Elementarzelle wird durch b und dessen Spiegelung an a gebildet. Beide Vektoren schließen einen spitzen Winkel von 43,1 ^◦ ein und bilden somit eine Raute. Diese bildet die Basis zu einem rhombischen Grundgitter ¹ .

Die zu den drei st¨ arksten Intensit¨ atsmaxima des Fernfeldes geh¨ orenden Wellenvektoren haben ungef¨ ahr die gleiche L¨ ange. Die in Abb. 6.3b gezeigten ¨ außeren Fourierkomponenten sind etwas k¨ urzer als die in Richtung der Symmetrieachse (mit Angabe der Gr¨ oßtfehlerabsch¨ atzung):

q 1,3,4,6 =( 2 4 , 02 ± 0, 13) mm ⁻¹ 2,5 =(24, 17 ± 0, 02) mm −1

Die Indizes hier und im Folgenden beziehen sich auf die Nummerierung der Maxima in Abb. 6.3c. Sie schließen Winkel von

α 1,2 ≈ α 2,3 ≈ α 4,5 ≈ α 5,6 ≈ 41, 9 ^◦ bzw. α 3,4 ≈ α 6,1 ≈ 96, 1 ◦

ein. Das mittlere Maximum ist etwas schw¨ acher als die beiden ¨ außeren. In den in Abb. 6.3b gezeigten Mustern betr¨ agt Verh¨ altnis der Intensit¨ aten I 1,3,4,6 /I 2,5 = 1,5. Die Verh¨ altnisse In den beobachteten Mustern dieser Art tritt eine Spanne der Verh¨ altnisse der Intensit¨ aten zwischen 1,3 und 1,7 auf.

Das Grundgitter des Fernfeldes hat die gleiche rhombische Struktur, wenn, wie in Abb. 6.3c f¨ ur das kontrastverst¨ arkte Feld gezeigt, benachbarte Intensit¨ atsmaxima durch Geraden verbunden werden. Die Ausrichtung des Gitters ist orthogonal zu der im Nahfeld. Das Gitter wird durch zwei Gitterkonstanten G und g beschrieben. Die große Gitterkonstante l¨ asst sich sowohl aus den Abst¨ anden der Hauptmaxima zueinander

G 1,2 ≈ G 2,3 ≈ G 4,5 ≈ G 5,6 ≈ 17, 22 mm −1

¹ Eine Interpretation als gestauchtes, hexagonales Grundgitter ist ebenfalls m¨ oglich, aber un¨ ublich.

62 Kapitel 6. Einfluss der Laserstrahlkollimation

b)

Abbildung 6.3: Muster 42, a) Nahfeld, b) Fernfeld, c) kontrastverst¨ arktes Fernfeld auf einem rhombischen Gitter, Parameter: T = 324,3 ^◦ C, P = 211 mW, ∆ = 6,5 GHz, d = 77 mm, p ^N 2 = 308 mbar, R = 99%

6.3. Beobachtung der 42 ^◦ -Muster in divergenten Strahlen 63

als auch aus den Abst¨ anden dieser Maxima zu ihren n¨ achsten Nachbarn gr¨ oßerer Wellenzahl

G 1,7 ≈ G 3,9 ≈ G 4,10 ≈ G 6,12 ≈ 17, 44 mm −1

bestimmen. Die Abweichung kann aufgrund er nicht kreisrunden Form der Hauptmaxima zustande kommen. Im Mittel betr¨ agt dieser Abstand G = 17,33 mm ⁻¹ .D i ek l e i n e Gitterkonstante kann aus den Positionen gegen¨ uberliegender Maxima der Grundmoden

und aus den Abst¨ anden der mittleren Wellenvektoren zu ihren Nachbarn n¨ achstgr¨ oßerer Wellenzahl g 2,8 ≈ g 5,11 ≈ 11, 82 mm −1

bestimmt werden. Wegen der minimalen Abweichung der Wellenzahlen der Grundmoden voneinander ist g 2,5 etwas gr¨ oßer als die anderen Werte. Als Mittelwert wird g = 11,91 mm ⁻¹ berechnet. Die beiden Gitterkonstanten stehen im Verh¨ altnis G/g = 1,45.

Nah- und Fernfeld lassen sich ¨ uber das Verh¨ altnis von Periodizit¨ atsl¨ angen a, b und c (aus dem Nahfeld) und mittlere Musterwellenl¨ ange Λ = ^2π = 261 µm( a u sd e mF e r n f e l d )i n

q

Verbindung setzen:

6.3.2 Vektoriell generiertes Muster 42

Im Folgenden werden die gemessenen Gr¨ oßen anhand theoretischer ¨ Uberlegungen in Relation zu einander gesetzt.

Das Experiment legt nahe, dass sich die Fourierkomponenten auf einem rhombischen Gitter befinden, das senkrecht zum mittleren Wellenvektor orientiert ist. Desweiteren sind die beobachteten Wellenzahlen der drei st¨ arksten Fourierkomponenten nahezu gleich. F¨ ur die Analyse wird daher angenommen, dass beide Voraussetzungen exakt erf¨ ullt sind. Die Fourierkomponenten sollen deshalb auf den folgenden Gitterpunkten liegen:

Unter dieser Annahme schließen sie einen Winkel von α = arccos( ^0,75 )=41, 41 ^◦ ein.

1

64 Kapitel 6. Einfluss der Laserstrahlkollimation

Das Gitter wird durch zwei Gittervektoren e 1 und e 2 aufgespannt:

√

√

Sie haben die L¨ ange | e 1 | = | e 2 | = q/ 2 und schließen einen Winkel von

√

ein. Hieraus folgt f¨ ur die gebildete Raute ein spitzer Winkel von ψ = 41,41 ^◦ .D i eE l ementarzelle ist ¨ ahnlich zu der Raute, die durch zwei benachbarte Wellenvektoren der Grundmoden aufgespannt wird.

Aus den drei Wellenvektoren l¨ asst sich durch numerische Fouriertransformation ein r¨ aumliches Muster erzeugen (Abb. 6.4). Abb. 6.4c bzw. d zeigen eine kontrastverst¨ arkte Variation des generierten Bildes in a) bzw. b), die durch einen ¨ Ubergang zu einer bin¨ arer Darstellung erreicht wird.

Abbildung 6.4: Aus drei Fourierkomponenten numerisch generiertes Muster 42, a) Amplitudenverh¨ altnis (A 1 |A 2 |A 3 )=(1|1|1), b) Amplitudenverh¨ altnis (A 1 |A 2 |A 3 )=(1|0, 59|1), c) zu (a) geh¨ orendes Bin¨ arbild, d) zu (b) geh¨ orendes Bin¨ arbild

6.3. Beobachtung der 42 ^◦ -Muster in divergenten Strahlen 65

Die relativen Phasen der einzelnen Komponenten zu einander werden gleich Null gew¨ ahlt, da sich so ein dem experimentellen Bild am ehesten entsprechendes Muster ergibt und keine Hinweise daf¨ ur vorliegen, dass eine andere Phasenbeziehung realistischer w¨ are.

Werden die Amplituden alle gleich groß gew¨ ahlt (Abb. 6.4a und c), sind die Halbmonde erkennbar. An den Stellen, an denen im Experiment kleine Vollkreise beobachtet werden, treten Minima auf, die schw¨ acher ausgepr¨ agt sind als die Halbmonde (vgl. Abb. 6.4a) sowie eine l¨ angliche anstatt einer runden Form (vgl. Abb. 6.4c) aufweisen.

Ein Amplitudenverh¨ altnis der ¨ außeren zur mittleren Amplitude von A 1,3 /A 2 =1 , 7e n tspricht in etwa dem im Experiment gemessenen Verh¨ altnis (Abb. 6.4b und d). Hier werden die kleinen Kreise etwas st¨ arker hervorgehoben (vgl. Abb. 6.4c) und weisen zwar eine viereckige Form auf, ¨ ahneln aber schon eher der im Experiment beobachteten Form (vgl. Abb. 6.4d).

Der Vergleich der Bin¨ arbilder zeigt in Abb. 6.4c l¨ anglichere Minima als in Abb. 6.4d. Das unterschiedliche Amplitudenverh¨ altnis erzeugt also auch eine Form der kleinen Minima, die eher der im Experiment beobachteten entspricht.

Die Periodizit¨ atsl¨ angen a, b und c lassen sich auch f¨ ur das generierte Muster m( r)e r m i tteln. Periodizit¨ at ist in Richtung eines Vektors p gegeben, falls:

m( r)=s i n ( ( q 1 · p) r)+sin(( q 2 · p) r)+sin(( q 3 · p) r)

Es m¨ ussen q 1 · p =2 πn 3 (n 1 ,n 2 ,n 3 ∈ N)e r f ¨ ullt sein. p =2 πn 1 , q 2 · p =2 πn 2 und q 3 ·

Einsetzen der Wellenvektoren aus (6.2 - 6.4) ergibt folgende Bedingungen an den Vektor

^px p = :

^py √ √

3 7 3 7

p y + p x = n 2 Λ ∧ p y − p x = n 3 Λ p y = n 1 Λ ∧ (6.5)

4 4 4 4

Aus (6.5) ergibt sich die Nebenbedingung 2/3(n 2 + n 3 )=n 1 . Tabelle 6.3.2 stellt f¨ ur verschiedene ganze Zahlen n 1 ,n 2 und n 3 , die diese Bedingung erf¨ ullen, die sich daraus ergebenen Vektoren der Einheitszellen gegen¨ uber. Insbesondere finden sich die drei o.g. Vektoren a, b und c wieder:

2 4 0

, b = ^{7 7} ,, c = a =

4 2 0

Die L¨ angen entsprechen in etwa den im Experiment bestimmten Periodizit¨ atsl¨ angen (vgl. (6.1)) in Einheiten von Λ:

| a| =4, | b| =2, 14, | c| =1, 51

66 Kapitel 6. Einfluss der Laserstrahlkollimation

p der Periodizit¨ atsl¨ ange in Abh¨ angigkeit von n 1 ,n 2 und n 3

6.3.3 Parameterabh¨ angigkeiten

Die Divergenz des Laserstrahls in der Zelle ist f¨ ur die Bildung von 42 ^◦ -Mustern notwendig. Sie entstehen nur f¨ ur Temperaturen T>318 ^◦ ,w o b e if ¨ die Muster ¨ uber einen breiteren Bereich zu beobachten sind. F¨ ur kleine Spiegelabst¨ ande sind die Muster leichter als f¨ ur große zu stabilisieren, beim Auftreten der Muster waren Spiegelabst¨ ande zwischen d = 76 mm und d

= 85 mm eingestellt. Das Muster 42 wird f¨ ur Parameters¨ atze aus Temperatur, Puffergasdruck und Spiegelab-stand beobachtet, in denen auch Streifen und Quadrate auftreten. Teilweise werden sie in Bistabilit¨ at zu Quadraten gemessen. Generell enstehen sie von Quadraten ausgehend zu gr¨ oßerer Verstimmung, meist im ¨ Ubergangsbereich zwischen Quadraten und Streifen. Die

Schwellleistung der 42 ^◦ -Muster ist im Allgemeinen gr¨ oßer als die der Quadrate.

Abb. 6.5 zeigt ein typisches Bifurkationsdiagramm f¨ ur Parameter, bei denen das Muster 42 besonders ausgepr¨ agt auftritt.

S¨ amtliche in Kap. 3.1 aufgef¨ uhrten Muster werden auch bei dieser Parameterwahl beobachtet. Insbesondere sind 42 ^◦ -Muster ¨

uber einen Frequenzbereich von ¨ Die Schwellleistung f¨ ur 42 ^◦ -Muster liegt bei P = 200 mW und damit 50 mW ¨ der Quadrate. Streifen werden nur in einem sehr schmalen Bereich transient zu Hexagonen und Mustern mit zw¨ olf Fourierkomponenten beobachtet. F¨ ur eine Verstimmung ∆ = 6,5 GHz werden Quadrate transient zu 42 ^◦ -Mustern beobachtet. Der ¨ Ubergang zwischen 42 ^◦ -Mustern und Mustern mit zw¨ olf Fourierkomponenten bzw. Quadraten erfolgt sprunghaft, es werden keine Muster beobachtet, die sich als Mischzust¨ ande interpretieren lassen.

Die in dieser Messung bei einer Verstimmung ∆ = 6,5 GHz und unterschiedlichen Leistungen aufgenommenen Bilder werden auf ihre Wellenzahlen hin untersucht (Abb. 6.6).

F¨ ur Quadrate und 42 ^◦ -Muster sind der ¨ Ubersichtlichkeit halber nur die mittleren Wellenzahlen pro Satz Bilder gleicher Leistung aufgetragen. F¨ ur Muster mit zw¨ olf Fourierkom- ponenten sind alle Wellenzahlen aufgetragen. F¨ ur hohe Leistungen (P>120 mW) besitzt

6.3. Beobachtung der 42 ^◦ -Muster in divergenten Strahlen 67

Abbildung 6.5: Bifurkationsdiagramm, Stabilit¨ atsbereiche von Hexagonen (+), SiH+SiH (×), 12 FK (△), Streifen (3), Quadraten (2) und Muster 42 ( ), Parameter: T = 324 ^◦ C, d = 77 mm, p ^N 2 = 308 mbar, R = 91,5%

die Wellenzahlverteilung eine deutliche Strukturierung in 4 Gruppen (mit den einzelnen Mittelwerten 20,7, 22,5, 23,2 und 24,5 mm ⁻¹ ). Diese entsteht aufgrund einer Stauchung der in diesem Bereich ausschließlich beobachteten AS 2,1 +SiS (vgl. Kap. 3.1.4). Ab einer Leistung P = 195 mW entstehen 42 ^◦ -Muster, transient dazu Quadrate und vereinzelt gestauchte AS 2,1 +SiS. Die Wellenzahl der 42 ^◦ -Muster ist ungef¨ ahr 2% gr¨ oßer als die der Quadrate und 5% gr¨ oßer als die der gestauchten AS 2,1 +SiS bei gleicher Leistung. Mit k = 24,1 mm ⁻¹ ist die Wellenzahl des Muster 42 so groß wie die mittlere Wellenzahl von Hexagonen an der Schwelle. Im Bereich 195 mW ≤ P ≤ 220 mW nehmen die Wellenzahlen aller drei Muster zu h¨ oheren Leistungen hin leicht (ca. 1%) ab.

Eine Bestimmung der Winkel zwischen den ¨ außeren und den mittleren Wellenvektoren uber alle Bilder ergibt α = (42,01 ± 0,12 mm ⁻¹ ) (Standardab-anhand einer Mittelung ¨ weichung als Fehler).

Um einen Zusammenhang zwischen Quadraten, Streifen und 42 ^◦ -Mustern herstellen zu k¨ onnen, wird (bei vergleichbaren Parametern) f¨ ur konstante Leistung die Verstimmung variiert und die Wellenzahlen dieser Muster analysiert (Abb. 6.7). Im ¨ Ubergang von Quadraten zu 42 ^◦ -Mustern weisen letztere eine 3% gr¨ oßere Wellenzahl als Quadrate etwas kleinerer Verstimmung auf. Das Muster 42 erf¨ ahrt von kleiner zu gr¨ oßerer Verstimmung eine leichte Stauchung, die sich in einer Vergr¨ oßerung des Verh¨ alt- nisses k 1 /k 2,3 und somit in einer st¨ arkeren Streuung der Wellenzahlen und einem gr¨ oßeren

68 Kapitel 6. Einfluss der Laserstrahlkollimation

Abbildung 6.6: Abh¨ angigkeit der Wellenzahl der Hexagone (), 12 FK (△), Quadrate (2) und Muster 42 ( ) von der Leistung, Parameter: T = 324 ^◦ C, ∆ = 6,5 GHz, d = 77 mm, p ^N 2 = 308 mbar, R = 91,5%

Mittelwert ¨ außert. Streifen haben, wie Quadrate, eine deutlich kleinere Wellenzahl als das Muster 42, am ¨ Ubergang weichen die Wellenzahlen jedoch nur um 2% voneinander ab. Die bei den Verstimmungen ∆ = 7,3 GHz und ∆ = 8,8 GHz gemessenen Streifen weisen senkrecht zum Wellenvektor periodische Modulationen auf, die Streifen f¨ ur noch gr¨ oßere Verstimmung sind unmoduliert. Die Wellenzahlen aller drei Muster nehmen zu gr¨ oßerer Verstimmung hin zu.

6.3.4 H¨ ohere Harmonische

Neben den sechs Grundmoden treten mehrere h¨ ohere Harmonische auf. Sechs davon (in Abb. 6.3c mit 7-12 bezeichnet) weisen neben den Maxima der Grundmode die zweith¨ ochste Intensit¨ at im Fernfeld auf. Ihre Intensit¨ aten stehen mit den Grundmoden ungef¨ ahr im Verh¨ altnis 5:1. Die ¨ außeren Wellenvektoren (Nr. 7, 9, 10, 12) des in Abb. 6.3b gezeigten Fernfeldes haben eine L¨ ange von k 7,9,10,12 = 40,4 mm ⁻¹ , die mittleren (Nr.5 und 11) eine L¨ ange von k 5,11 = 36,0 mm ⁻¹ .ImVerh¨ altnis zur Grundmode sind dies: k 7,9,10,12 /k 1−6 =1,68 und k 5,11 /k 1−6 = 1,49. Die ¨ außeren Wellenvektoren schließen mit den mittleren im Mittel einen Winkel von β = 53,1 ^◦ ein.

Deutlich geringere Intensit¨ at (ungef¨ ahr 1/8 der Intensit¨ at der Hauptmaxima) weisen die vier Fourierkomponenten 13-16 auf, deren Wellenvektoren der mittleren L¨ ange

6.3. Beobachtung der 42 ^◦ -Muster in divergenten Strahlen 69

Abbildung 6.7: Abh¨ angigkeit der Wellenzahl der Quadrate (2), Muster 42 ( ) und Streifen (3) von der Verstimmung ³ , Parameter: T = 319 ^◦ C, P = 240 mW, d = 85 mm, p ^N 2 = 304 mbar, R = 91,5%

k 13,14,15,16 = 45,0 mm ⁻¹ mit den mittleren Wellenvektoren (Nr. 2 und 5) einen Winkel von γ = 20,9 ^◦ einschließen.

In der idealisierten Variante dieses Musters liegen die Wellenvektoren bei √ √

mit den L¨ angen

| q 7 | =1, 52q, | q 8 | =1, 5q, | q 13 | =1, 87q

Die Vektoren q 9 ,, q 10 und q 12 ergeben sich aus q 7 durch entsprechende Vorzeichenwechsel. Gleiches gilt f¨ ur die Vektoren gr¨ oßerer Wellenzahl in Bezug auf q 8 und q 13 .

Bei dem Versuch, Wellenvektoren gr¨ oßerer Wellenzahl durch Addition der Grundvektoren auszudr¨ ucken, f¨ allt auf, dass f¨ ur vier der sechs am st¨ arksten ausgepr¨ agten Nebenkomponenten, Nr. 7, 9, 10 und 12, drei statt nur zwei der Grundvektoren ben¨ otigt werden. So ergibt sich Vektor q 7 z.B. aus: q 7 = q 1 + q 2 + q 6 . Die durch Addition zweier benachbarter Vektoren erh¨ alt man die wesentlich schw¨ acher ausgepr¨ agten q 13 bis q 16 . Durch Addition der beiden ¨ außeren Grundmoden (z.B. q 1 + q 3 )e r h ¨ alt man jeweils die mittlere h¨ ohere Nebenkomponente (im Beispiel: q 8 ). Die Additionen der Grundvektoren mit sich selbst f¨ uhren auf noch schw¨ acher ausgepr¨ agte Maxima. Gleiches gilt f¨ ur die Addition von q 1 + q ⁶ sowie die spiegelsymmetrische Variante q 3 + q 4 .

70 Kapitel 6. Einfluss der Laserstrahlkollimation

Neben den h¨ oheren Harmonischen werden vier subharmonische Wellenvektoren (17-20) beobachtet, die k = 17,5 mm ⁻¹ eine kleinere Wellenzahl als die Grundmoden aufweisen. Jeweils zwei schließen einen spitzen Winkel von 43,2 ^◦ ein, der dem der Elementarzelle im Nahfeld im Rahmen der Messgenauigkeit entspricht. Die Intensit¨ aten der Subharmonischen sind kleiner als alle der bisher erw¨ ahnten h¨ oheren Harmonischen. Sie betragen ungef¨ ahr 1/8 der Intensit¨ at der Hauptmaxima. Auf dem idealisierten rhombischen Gitter betrachtet entstehen die Subharmonischen durch Vektoraddition zweier Grundmoden (z.B. q 17 = q 2 + q 4 ).

6.4 Diskussion

Die Messung zu Kap. 6.1 zeigt, dass sich das Bifurkationsverhalten mit ¨ Anderung der

Kollimation stark ¨ andert. Quadrate treten f¨ ur einen konvergenten Strahl nicht auf. F¨ ur Messtage, an denen keine Quadrate beobachtet wurden, kann jetzt geschlossen werden, dass ein konvergenter oder sogar stark divergenter Strahl, dessen Strahltaille nicht ausreichend nahe an der Zellenmitte lag, verwendet wurde. Variierende Musterselektion wird in uber eine ¨ der Theorie meist ¨ Anderung der Wellenzahlen erkl¨ art. Hexagone an der Schwelle

zur Musterbildung sind eine M¨ oglichkeit, bei allen Kollimationseinstellungen die Wellenzahl zu vergleichen. Diese weisen tats¨ achlich eine starke Abh¨ angigkeit der Wellenzahl von der Kollimation auf (Kap. 6.2).

Sowohl in Kap. 6.1 als auch in Kap. 6.2 ist die Position ∆L T = 0 durch bestimmte Beobachtungen besonders ausgezeichnet: F¨ ur diese Kollimationseinstellung, bei der Hexagone ein Minimum ihrer Wellenzahl aufweisen, ist der Bereich der Verstimmung, in dem Hexagone auftreten, besonders breit und der Bereich, in dem andere Muster als Hexagone auftreten, f¨ ur alle Teleskopl¨ angen am schmalsten. Inwiefern dieser Zusammenhang theoretische Relevanz hat, muss noch untersucht werden.

Das Bifurkationsverhalten ¨ andert sich f¨ ur divergenten Strahl sogar so, dass Muster stabilisiert werden k¨ onnen, die sonst nicht auftreten. Diese setzen sich in vielerlei Hinsicht von bisher beobachteten Mustern ab:

Obwohl in den Grundmoden nur eine Wellenzahl auftritt, hat das Nahfeld den Charakter einer ¨ Uberstruktur. Es setzt sich aus zwei unterschiedlich geformten Maxima zusammen und hat ein minimale Periodizit¨ atsl¨ ange, die gr¨ oßer ist als die sich aus den Wellenvektoren ergebene Musterwellenl¨ ange.

Dass die st¨ arksten Nebenkomponenten nur durch Addition dreier Vektoren der Grundmoden entstehen, ist einzigartig unter allen in dieser Arbeit diskutierten Mustern. Dies ist ein Hinweis darauf, dass in der Theorie Kopplungen dritter oder h¨ oherer Ordnung zur Interpretation dieser Muster ber¨ ucksichtigt werden m¨ ussen.

Wichtig f¨ ur das theoretische Verst¨ andnis des Muster 42 k¨ onnen die Phasenbeziehungen sein. Eventuell erkl¨ aren diese auch die geringe Intensit¨ at einiger Harmonischer, die durch

6.4. Diskussion 71

Addition von nur zwei Vektoren der Grundmoden entstehen.

Dem Muster 42 ¨ ahnelnde Muster wurden schon in anderen Arbeiten gefunden. Inwiefern sich diese mit dem Muster 42 vergleichen lassen, wird im Folgenden gezeigt.

Bei Einstrahlung eines linear polarisiertem Laserstrahls, wurden von A. Aumann [Aum99] die in Abb. 6.8 gezeigten Muster beobachtet.

Abbildung 6.8: Transiente Muster aus drei Moden aus [Aum99], a) Nahfeld, b) Fernfeld

Diese weisen im Fernfeld eine gewisse ¨ Ahnlichkeit mit dem Muster 42 auf. Die detaillierte

Analyse zeigt jedoch, dass die Wellenvektoren unterschiedliche Winkel einschließen und andere Intensit¨ atsverh¨ altnisse untereinander aufweisen. Zwei Wellenvektoren schließen einen Winkel von 41 ^◦ ein. Der dritte Wellenvektor schließt einen Winkel von 46 ^◦ zu einem der beiden ersten. Das dazugeh¨ orige Maximum hat eine schw¨ achere Intensit¨ at als die der beiden anderen. Dies steht im Gegensatz zu dem Muster 42, bei denen die mittlere Komponente schw¨ acher als die ¨ außeren ist. Als h¨ ohere Harmonische dominieren die, die durch Vektoraddition zweier benachbarter Grundmoden entstehen. Die bei dem Muster 42 am st¨ arksten ausgepr¨ agten Nebenkomponenten werden nicht beobachtet. Das Nahfeld weist keinerlei ¨ Ahnlichkeit zu dem des Muster 42 auf. Die Muster treten nur transient zu Mustern mit zwei Moden auf und besitzen im Gegensatz zu den 42 ^◦ -Mustern keine Spiegelsymmetrie.

D. Leduc et al. [LLBRT96] berichten von numerisch gefundenen Mustern (Abb. 6.9) in einer Einspiegelanordnung. Diese unterscheidet sich im Wesentlichen durch Verwendung von Rubidium als nichtlineares Medium, linear polarisiertem Licht und fehlendem λ/4- Pl¨attchen von dem in dieser Arbeit beschriebenen System. Dieses Muster hat, wie das Muster 42, sechs Fourierkomponenten gleicher Wellenzahl, die vier spitze und zwei stumpfe Winkel einschließen. Es wird ein Winkel von θ = arccos( ³ ) ≈ 48,2 ^◦ angegeben und das Muster im Nah-

2

feld als quasiperiodische Struktur klassifiziert. Als ben¨ otigte eingestrahlte Lichtintensit¨ at wird das Doppelte der Intensit¨ at an der Schwelle zur Musterbildung angegeben. H¨ ohere Harmonische wurden scheinbar nicht untersucht.

Das Nahfeld besteht aus periodischen Reihen (in Abb. 6.9 von links und nach rechts oben), die um eine halbe Periodenl¨ ange versetzt nebeneinander gesetzt sind. Diese Beobachtung

72 Kapitel 6. Einfluss der Laserstrahlkollimation

Abbildung 6.9: Numerisch berechnete Struktur aus drei Moden aus [LLBRT96], links Nahfeld, rechts Fernfeld

widerspricht der Behauptung der Quasiperiodizit¨ at von [LLBRT96], spiegelt aber die Beschreibung des Nahfeldes des Muster 42 wieder. Ein Unterschied besteht in der Form der Elementarzellen, Halbmonde sind in Abb. 6.9 nicht zu sehen.

Kapitel 7

Zusammenfassung und Ausblick

In der in dieser Arbeit beschriebenen Einspiegelanordnung mit λ/4-Pl¨ attchen im R¨ uckkoppelarm wird bei Einstrahlung von zirkular polarisiertem Licht eine vielf¨ altige Strukturbildung beobachtet [AGWH ⁺ 99, HGWA ⁺ 99, GWHAL01]. Ziel dieser Arbeit war es, diese Musterbildung ¨ uber einen großen Parameterbereich genauer zu charakterisieren und insbesondere beobachtete Strukturen Parameterbereichen zuzuordnen. Dar¨ uberhinaus wurden Variationen dieser Muster sowie ein neuer Mustertyp beobachtet und erstmals dokumentiert.

Ein Ansatz, den Parameterraum systematisch zu untersuchen, ist eine Aufnahme von Bifurkationsdiagrammen in Abh¨ angigkeit von Leistung und Verstimmung bei unterschiedlichen Werten der Temperatur. Diese bestimmt ¨ uber die Teilchenzahldichte die nichtlineare Suszeptibilit¨ at des Mediums.

Je gr¨ oßer die Temperatur im Experiment gew¨ ahlt wird, desto gr¨ oßer ist der Bereich im Bifurkationsdiagramm, in dem Musterbildung auftritt, und desto mehr Mustertypen kommen hinzu. Zun¨ achst entstehen bei geringer Temperatur Hexagone, die auch f¨ ur beliebige Temperaturen immer an der Schwelle zur Musterbildung auftreten. Bei Erh¨ ohen der Temperatur wird eine sekund¨ are Bifurkation beobachtet. Diese f¨ uhrt zun¨ achst zu Streifen. Bei h¨ oherer Temperatur gehen Hexagone in Muster mit zw¨ olf Fourierkomponenten ¨ uber. Haben Wellenvektoren die gleiche L¨ ange und schließen sie gleiche Winkel ein, so entstehen quasiperiodische Muster. Die Wellenzahlen k¨ onnen jedoch auch verschieden sein. Dann werden komplexere, periodische ¨ Uberstrukturen, die als AS 2,1 +SiS bzw. SiH+SiH bezeich-

net werden, sowie irregul¨ are Muster ohne erkennbare Periodizit¨ at beobachtet. Streifen treten hier als terti¨ are Bifurkation auf. Bei der h¨ ochsten untersuchten Temperatur werden zus¨ atzlich zu Streifen auch Quadrate als terti¨ are Bifurkation ausgehend von Mustern mit zw¨ olf Fourierkomponenten beobachtet.

Neben den bekannten, bisher beschriebenen Grundformen werden von verschiedenen Mustern Variationen beobachtet. Ein Beispiel sind transversal modulierte Streifen (vgl. Kap. 3.1.5), die als Mischzustand zwischen Streifen und Quadraten gedeutet werden k¨ onnen. Ihre Stabilit¨ at erscheint bemerkenswert, da vom Mischzustand zwischen Hexagonen und

73

74 Kapitel 7. Zusammenfassung und Ausblick

Streifen bekannt ist, dass sie als defektfreie Muster instabil sind [CCL ⁺ 90]. Einige der Mustervariationen treten nur sehr kurzzeitig auf. Es ist in weiteren Experimenten zu pr¨ ufen, ob dies allein auf rauschinduzierte ¨ Uberg¨ ange in einem Multistabilit¨ atsbereich

zur¨ uckzuf¨ uhren ist oder ob andere Mechanismen zu der beobachteten Zeitabh¨ angigkeit beitragen.

Die Untersuchung der Modellgleichungen mittels einer linearen Stabilit¨ atsanalyse (LSA) reproduziert die Zunahme der Breite des Verstimmungsbereiches, in dem Musterbildung stattfindet, sowie die Absenkung der Schwellleistung bei zunehmender Teilchenzahldichte. Dar¨ uber hinaus zeigt die LSA eine Verbreiterung der Instabilit¨ atsballons f¨ ur zunehmende Teilchenzahldichten, d.h. die Breite des linear instabilen Wellenzahlbandes nimmt zu. Daher erscheint es plausibel, dass Muster die mehrere verschiedene Wellenzahlen der Grundmoden enthalten, bevorzugt bei hoher Temperatur auftreten. Eine h¨ ohere Teilchenzahldichte erniedrigt zudem die Schwellen der Instabilit¨ atsballons h¨ oherer Ordnung. Mit der im Experiment zur Verf¨ ugung stehenden Leistung kann nur f¨ ur eine hohe Teilchenzahldichte der dritte Ballon angeregt werden. Da die zugeh¨ orige kritische Wellenzahl ungef¨ ahr doppelt so gross wie die des ersten Instabilit¨ atsballons ist, fallen die Wellenzahlen der h¨ oheren Harmonischen der Streifen in diesen Bereich. Dies k¨ onnte die selektive Entstehung von Streifen bei h¨ oheren Temperaturen erkl¨ aren.

Eine kontrollierte Durchf¨ uhrung der beschriebenen Experimente und Reproduktion der Ergebnisse war nur mit einer Erweiterung des experimentellen Aufbaus um ein 1:1-Teleskops hinter der Glasfaserauskopplung m¨ oglich. Dieses erlaubt eine bessere Kontrolle der Strahlkollimation und eine systematische Variation derselben. Schon bei kleinen ¨ Anderungen der Teleskopl¨ ange um 30 µm, welche eine Verschiebung der Strahltaille um ca. 34 cm aus der Zellenmitte heraus bewirkt, ¨ andert sich das Bifurkationsverhalten qualitativ. Nicht alle Muster treten bei allen Kollimationseinstellungen auf. Insbesondere werden Quadrate und SiH+SiH f¨ ur einen schwach konvergenten Strahl nicht beobachtet. Dies erkl¨ art die Probleme der Reproduzierbarkeit der Beobachtungen, die zu Beginn dieser Arbeit bestanden.

Bei Verwendung eines divergenten Strahls wird ein neuer Mustertyp beobachtet, der zuvor in der Literatur nicht beschrieben wurde. Diese Muster werden durch drei Wellenvektoren ungef¨ ahr gleicher L¨ ange beschrieben, die im Experiment jeweils einen Winkel von 42 ^◦ einschließen. Bei diesem so genannten Muster 42 handelt sich um eine ¨ Uberstruktur, deren

Fourierkomponenten auf einem rhombischen Grundgitter liegen. Das Muster 42 ist die einzige in dieser Arbeit beobachtete Struktur, die deutlich sichtbare Subharmonische besitzt. Dies best¨ atigt den Charakter einer ¨ Uberstruktur. Im Gegensatz zu allen anderen in dieser

Arbeit beobachteten Mustern entstehen beim Muster 42 einige der stark ausgepr¨ agten h¨ oheren Harmonischen aus der Vektorsumme mindestens dreier Grundmoden. Zur theoretischen Erkl¨ arung der Stabilisierung der 42 ^◦ -Muster liegt daher eine Ber¨ ucksichtigung von Termen bis zu f¨ unfter Ordnung in den Amplitudengleichungen der Grundmoden nahe. Alternativ ist die Behandlung h¨ oherer Harmonischer als aktive Moden denkbar. Theoretische ¨ Uberlegungen zur Stabilit¨ at oder den Eigenschaften von ¨ Uberstrukturen

75

auf einem rhombischem Gitter sind nicht bekannt. Die bis jetzt nur f¨ ur quadratisches und hexagonales Grundgitter existierende Theorie [DG92] m¨ usste f¨ ur ein rhombisches erweitert werden.

Die experimentellen Ergebnisse zeigen, dass das Systemverhalten empfindlich von den Strahleigenschaften abh¨ angen kann. Daraus folgen einerseits hohe Anforderungen an die experimentelle Kontrolle der Kollimation, andererseits er¨ offnet sich ein neuer Parameterbereich, der bisher in Experimenten und Theorie zu Einspiegelanordnungen unber¨ ucksichtigt blieb.

Ein Interesse an den Auswirkungen von Wellenfunktionkr¨ ummungen scheint seit kurzer Zeit auch f¨ ur andere optische Systeme vorhanden zu sein, wie z.B. f¨ ur die Beschreibung der Strahlausbreitung in ausgedehnten nichtlinearen Medien [Sie00]. Ein gemeinsames Profitieren von Ergebnissen und Erkenntnissen w¨ are w¨ unschenswert.

76 Kapitel 7. Zusammenfassung und Ausblick

Anhang A

Messung der Teilchenzahldichte

Die Teilchenzahldichte an Natriumatomen im Gaszustand l¨ asst sich nur indirekt messen. In vorausgegangenen Arbeiten wurde die Teilchenzahldichte mittels eines Verfahrens bestimmt, das auf Kleinsignalabsorption basiert [Kl¨ u98, Vor92]. Das Problem dieses Verfahrens liegt in der Fehleranf¨ alligkeit bei hohen Temperaturen (T>300 ^◦ C). Weiterhin ist das Verfahren sehr zeitintensiv. In dieser Arbeit wird deshalb ein anderes Verfahren getestet, welches auf dem nichtlinearen Faraday-Effekt beruht. Im Folgenden wird das in vorausgegangenen Arbeiten verwendete Verfahren mit dem f¨ ur diese Arbeit verwendeten verglichen.

A.1 Messung mittels Kleinsignalabsorption

Das Absorptionsprofil in Abh¨ angigkeit von der Verstimmung wird bei einer festen Temperatur f¨ ur kleine eingestrahlte Leistungen aufgenommen. Mit Hilfe des bekannten Ab-sorptionskoeffizienten von Natriumdampf wird auf eine Teilchenzahldichte zur¨ uckgerechnet. Das Hauptproblem dieses Verfahrens besteht darin, dass aufgrund der Verbreiterung des Absorptionsprofil bei hohen Teilchenzahldichte, die Messung f¨ ur hohe Temperaturen (T>300 ^◦ C) ungeeignet ist. Um auch bei hohe Temperatur Aufschluss ¨ uber die vorlie-

gende Teilchenzahldichte zu erhalten, werden die Teilchenzahldichten f¨ ur mehrere kleine Temperatur bestimmt. An diese wird die Clausius-Clapeyron-Gleichung angepasst und die Teilchenzahldichte f¨ ur hohe Temperaturen extrapoliert. Die Faktoren A, B und C der Fit-Funktion werden nach dem Prinzip des kleinsten quadratischen Fehlers ermittelt:

Abb. A.1 zeigt, dass die in [Kl¨ u97] ermittelten Faktoren A = 2788,B = −217022 und C = -372,58 zwar f¨ ur Interpolationen im Bereich T = 230 ^◦ C-290 ^◦ C ausreichend genau sind, eine Extrapolation aber als unzul¨ assig angesehen werden muss. Eine Abnahme der

77

78 Anhang A. Messung der Teilchenzahldichte

⁾ 1 m ^-3 Teilchenzahldichte (10 19

0.1

0.01

0.001

220 240 260 280 300 320 340

Abbildung A.1: Clausius-Clapeyron-

Gleichung mit Parametern aus [Kl¨ u97]

Teilchenzahldichte oberhalb T = 310 ^◦ C ist nicht realistisch. Die Methode der Kleinsignal-absorptionsmessung liefert f¨ ur hohe Temperaturen sehr große Fehler. Diese weisen auch die Messungen von [Aum99] (S.189) auf. Abb. A.2 zeigt eine Ausschnittsvergr¨ oßerung f¨ ur hohe Temperaturen.

Ein weiteres Problem ist der Zeitaufwand f¨ ur eine solche Messung. F¨ ur die Aufnahme einer Messkurve muss f¨ ur jeden Messpunkt die Temperatur variiert werden. Eine konstante Teilchenzahldichte des Systems stellt sich erst nach ca. 45 Minuten ein, so dass f¨ ur eine ausreichende Anzahl an Messpunkten ein ganzer Tag ben¨ otigt wird. Von Tag zu Tag ¨ andern sich jedoch die Eigenschaften des Natrium so, dass bei gleicher Temperatur eine geringere Teilchenzahldichte erreicht wird. Deshalb ist eine t¨ agliche Teilchenzahldichtemessung zu jedem Experiment vonn¨ oten, welche die Absorptionsmessung f¨ ur große Temperaturen nicht liefern kann.

A.2 Messung mittels des nichtlinearen Faraday-Effekt

Aus der beschriebenen Problemlage heraus wird hier ein alternatives Verfahren untersucht, das auf dem nichtlinearen Faraday-Effekt beruht. Das λ/4 vor der Zelle wird benutzt, um linear bzw. leicht elliptisch polarisiert einzustrahlen. Zur Messung wird das transmittierte Licht mit einem Linearpolarisator als Analysator und einen Photodetektor dahinter analysiert.

Durch Einstellung auf lineare Polarisation werden die Nullstellungen des λ/4-Pl¨ attchens β 0 und des Analysators ξ 0 bestimmt. F¨ ur mehrere Einstellungen des λ/4-Pl¨ attchens (β) wird jeweils der Winkel ξ des Analysators bestimmt, f¨ ur den die transmittierte Leistung minimal ist. Die Polarisationselliptizit¨ at ǫ pol vor der Zelle ergibt sich aus:

ǫ pol =sin(2(β − β 0 )) (A.2)

A.3. Diskussion 79

Der Drehwinkel ξ ist nach [GWKL ⁺ 00] proportional zum Kleinsignalabsorptionskoeffizienten α 0 ,z u rL ¨ ange des Mediums L, zur auf die halbe Linienbreite Γ 2 normierten Verstimmung ¯ ∆=2π∆/Γ 2 und zur Orientierung des Mediums w:

ξ = α 0 L ¯ ∆w (A.3)

Da die Grundzustandsrelaxation γ f¨ ur die in diesem Verfahren verwendeten Leistungen von 100-200 mW klein gegen die Gesamtpumprate P + + P − ist, gilt:

Setzt man dies und α 0 aus [B¨ u97]

in (A.3) ein, so erh¨ alt man den Proportionalit¨ atszusammenhang zwischen ξ und ǫ pol :

ξ =

λ 0 ist die Wellenl¨ ange der Na-D 1 -Linie.

Aus der Steigung m fit des linearen Zusammenhangs wird die Teilchenzahldichte errechnet:

N = m fit

A.3 Diskussion

Da nur die sich gerade eingestellte Teilchenzahldichte anstatt des Temperatur-Teilchenzahldichte-Zusammenhanges ¨ uber eine große Temperaturspanne gemessen wird, ist der

Zeitaufwand gegen¨ uber dem bisherigen Verfahren erheblich reduziert. Die Messung kann deshalb am Ende eines jeden Experimentes durchgef¨ uhrt werden. Das Verfahren ist auch bei hohen Temperaturen einsetzbar, da der Messfehler keine so große Temperaturabh¨ angigkeit wie beim Verfahren mittels Kleinsignalabsorption zeigt. Ein weiterer Vorteil ist die einfache Auswertung der Messung, die u.a. durch die geringere Anzahl von freien Parametern der zugrundegelegten linearen Fit-Funktion beg¨ unstigt wird.

Unabh¨ angig von der Temperatur wird ein großer Fehler der Messungen beobachtet. Zur Evaluierung des Verfahren werden jeweils zwei Messungen mit gleichem Betrag der Verstimmung, jedoch unterschiedlichem Vorzeichen, verglichen. Der Drehwinkel der Polarisation sollte bis auf ein Vorzeichen der gleiche sein. In der Praxis werden jedoch Unterschiede bis zu 100% beobachtet. Unterschiedliche Verstimmungen liefern außerdem unterschiedli- che Ergebnisse f¨ ur die Teilchenzahldichte.

80 Anhang A. Messung der Teilchenzahldichte

Anhang B

Entstehung von Fourierkomponenten

durch die nichtlineare

Propagationsfunktion des Mediums

B.1 Motivation

Zwischen der Orientierungsverteilung im Medium und der Feldverteilung des transmittierten Lichtes besteht ein nichtlinearer Zusammenhang, der im Folgenden ” Propagationsfunktion“ genannt wird. Eine sinusf¨ ormige Modulation der Orientierung (mit nur einer Frequenz im Fourierspektrum) erzeugt h¨ ohere Harmonische in der Fouriertransformierten des Feldes.

Die folgende Rechnung soll zeigen, ob dieser Beitrag zu vernachl¨ assigen ist. Ist dies der Fall, ist das Bilden der Fouriertransformierten der Orientierung als N¨ aherung f¨ ur das Fernfeld ausreichend. Muster ließen sich also, wie in vorhergehenden Arbeiten, aus wenigen Fourierkomponenten generieren.

Weiterhin soll gekl¨ art werden, ob die experimentell beobachteten Muster h¨ ohere Fourierkomponenten in der Intensit¨ atsverteilung nur aufgrund der Propagationsfunktion oder auch schon in der Orientierung selbst aufweisen.

81

B.2 Allgemeines

Das durch das Medium der L¨ ange L transmittierte Feld der beiden Polarisationskomponenten E ± ( r ⊥ ,L,t)h¨ angt mit der ¨ uber die Strecke L gemittelten Orientierung Φ wie folgt zusammen:

E ± ( r ⊥ ,L,t)=E ±,0 · e ^−α 0 ^{(−i ¯ ∆+1)L(1∓Φ(x,y,t))} (B.1) , linearen Absorptionskoeffizienten α 0 , normierter Verstimmung ¯ ^x mit r ⊥ = ∆ und Feld

y

des eingestrahlten Lichtes E ±,0 .

Die beobachtete Intensit¨ atsverteilung im Fernfeld ist die Fouriertransformierte:

|FT(E ± )| ² =

In folgenden Abschnitten wird vereinfacht geschrieben:

B := ±α 0 (−i ¯ ∆+1)L (B.2)

B ist komplex und Real- und Imagin¨ arteil liegen typischerweise in der Gr¨ oßenordnung 1 bis 10, wenn man α 0 ≈ 100 m ⁻¹ , L = 1,5 mm, ∆ = 4,5 GHz annimmt.

B.3 Reelle Streifen in der Orientierung

Die einfachste Modulation der Orientierung sind Streifen, da diese sich durch nur einen transversalen Wellenvektor beschreiben lassen. Als Besetzungszahlunterschied handelt es sich bei der Orientierung um eine reelle Gr¨ oße.

Allgemein:

1 q

Φ(x, y, t)=Φ ^h + A · cos(qx + φ), mit =

Λ 2π

Bei nur einer Mode (Streifen) kann zwar o.B.d.A. φ = 0 gesetzt werden, wird aber hier ber¨ ucksichtigt, um in sp¨ ateren Rechnungen darauf zur¨ uckgreifen zu k¨ onnen.

Eine Zerlegung in Exponentialfunktionen

A

(e ^i(qx+φ) + e ^−i(qx+φ) ) Φ reell (x)=Φ ^h + A · cos(qx + φ)=Φ ^h +

2

erfordert eine Faltung der Fouriertransformierten:

FT(Prop 1 ):=FT(e ^BΦ reell ^(x) )=e BΦ ^h · FT(e BA/2e ^i(qx+φ) ) ∗ FT(e BA/2e ^−i(qx+φ) )

B.3. Reelle Streifen in der Orientierung 83

F¨ ur die Transformation der doppelten Exponentialfunktionen wird die ¨ außere Exponentialfunktion durch ihre Reihenentwicklung ersetzt und die Integralschreibweise der Dirac- δ-Funktion mitΛ = ^2π benutzt:

q

FT(e Ce ^±iqx )(ν x ,ν y )=δ(ν y ) ·

−∞

= δ(ν y ) ·

FT(Prop 1 )

Betrachtet wird jetzt nur die Fourierkomponente, die f¨ ur ν x = n den Summanden der Reihe ¨ uber k mit n = j − k ⇔ j = n + k. Dabei ist zu beachten, dass auch negative n existieren!

^∞

k=0

wobei I n (BA) modifizierte Besselfunktionen erster Gattung sind. J n heißen Besselfunktionen erster Gattung.

Somit:

FT(Prop 1 )=δ(ν y ) · e BΦ h ∞

e ^inφ · δ(ν x − n/Λ) · I n (BA)( B . 5 ) n=−∞

Die Fourieramplituden der lokalen Maxima n-ter Ordnung sind:

n

, 0) = e BΦ ^h · e ^inφ I n (BA)( B . 6 ) FT n := FT(

Λ

Die im Experiment zu Kap. 5 auftretenden Streifen weisen ein Verh¨ altnis

|FT 2 | 2

|FT 1 | 2 =0, 156

auf. Aus den dazugeh¨ origen Parametern (P 0 = 216 mW, ∆ = 4,5 GHz, d = 77 mm, p ^N 2 = 308 mbar, N =6 , 1·10 ¹⁸ m ⁻³ ) berechnet sich nach (A.5) α 0 = 57,9 m ⁻¹ und damit nach (B.2): B =0, 868736 − 2, 41761i

In Abb. B.1 ist das Intensit¨ atsverh¨ altnis der zweiten zur ersten Ordnung der Maxima im Fernfeld von Streifen

in Abh¨ angigkeit von der Modulationsamplitude A aufgetragen. B wird hier den experimentellen Parametern entsprechend gew¨ ahlt.

Abbildung B.1: Intensit¨ atsverh¨ altnis der zweiten zur ersten Ordnung von Streifen in Abh¨ angigkeit von der Modulationsamplitude A f¨ ur B = 0,868736 - 2,41761 i

Eine Amplitude A =0 , 573 ergibt ein V 2,1 = 0,156, welches dem experimentell gefundenen entspricht. Dies w¨ urde heißen, dass die zweite Ordnung nur aufgrund der Propagationsfunktion vorhanden ist. Die tats¨ achliche Amplitude kann jedoch auch kleiner sein, was einen kleineren Beitrag zur zweiten Ordnung bei gleicher Amplitude erster Ordnung bedeutet, so dass ein zus¨ atzlicher Beibetrag vorhanden ist, der unabh¨ angig von der Propagationsfunktion ist. Die Rechnungen lassen also keine R¨ uckschl¨ usse auf die Herkunft der zweiten Ordnung zu, zeigen aber, dass ein Fehlen einer zweiten Ordnung in der Orientierung bei Streifen durchaus denkbar ist.

B.4 Reelles Zwei-Moden-Problem

Bei Mustern, die sich aus mehreren Wellenvektoren zusammensetzen, k¨ onnen h¨ ohere harmonische Komponenten durch die Kopplung jeweils zweier unterschiedlicher Grundmoden entstehen.

Gegeben sei:

Φ=Φ ^h + A 1 · cos( q 1 r + φ 1 )+A 2 · cos( q 2 r + φ 2 )

O.B.d.A. gilt:

B.4. Reelles Zwei-Moden-Problem 85

Gesucht ist die Fouriertransformierte:

FT(Prop 2 ): =e BΦ ^h · FT

Der zweite Teil in (B.7) setzt sich zusammen aus:

^BA 2 ^{BA 2} (e ^−iqxx e −iqy ^y e ^{−iφ 2} ) (e ^{iqx x} e ^{iqy y} e ^{iφ 2 )} e ^BA 2 ^{cos(qxx+qyy+φ} 2 ⁾ FT = FT e ∗ FT e (B.8) 2 2

Dies wird mit C ± = ^{BA 2} e ^{±iφ 2} und mit

2

FT

nach Auswertung der Faltung zu

e ^BA 2 ^{cos(qxx+qyy+φ} 2 ⁾ FT

= ^j,m=0 ( ^BA 2 ^∞ ) ^2m+n e ^{inφ 2} n n ² · δ(ν y − = ) · δ(ν x − ), mit n = j − m ⇔ j = n + m

(n + m)!m! Λ y Λ x

^{n,m=0 ∞} n n (B.4) e ^{inφ 2} · I n (BA 2 ) · δ(ν y − = ) · δ(ν x − )

Λ y Λ x

n=−∞

Eingesetzt in (B.7) ergibt sich:

FT(Prop 2 )=e BΦ h ^∞ m e ^i(nφ 1 ^+mφ 2 ⁾ · I n (BA 1 ) · I m (BA 2 ) · δ(ν y − )

Λ y

n,m=−∞

∞

n m

· dτ x δ(τ x − ) · δ(ν x − τ x − )

Λ 1 Λ x

−∞

= e BΦ h ^∞ m n m e ^i(nφ 1 ^+mφ 2 ⁾ · I n (BA 1 ) · I m (BA 2 ) · δ(ν y − ) · δ(ν x − − )( B . 9 )

Λ y Λ 1 Λ x

n,m=−∞

Die Fourieramplituden der lokalen Maxima des Fernfeldes berechnen sich nach:

FT(Prop 2 )(

Die Verh¨ altnisse der Intensit¨ aten der ersten zur zweiten Ordnung sind ¹ :

Die Rechnungen zeigen, dass die Intensit¨ atsverh¨ altnisse bei der Kopplung von zwei Moden unabh¨ angig von der Phase sind. Erst bei der Addition von mehr als zwei komplexen Amplituden kann die Phase z.B. auch destruktive Interferenz bewirken.

Quadrate, die beiden den Parametern T = 325 ^◦ C, d = 76 mm, p ^N 2 = 301 mbar, N =1 , 2 7·10 ¹⁹ m ⁻³ , R = 99% auftreten, weisen ein Verh¨ altnis V 2,1 ≈ 0,2 der zweiten zur ersten Ordnung auf.

Nach (B.2) ist bei diesen Parametern

B =1, 80868 − 5, 03339i.

In Abb. B.2 ist das Intensit¨ atsverh¨ altnis der zweiten zur ersten Ordnung der Maxima im Fernfeld von Quadraten V 2,1 in Abh¨ angigkeit von der Modulationsamplitude A aufgetragen. B wird den experimentellen Parametern entsprechend gew¨ ahlt.

Die zweite Ordnung w¨ urde bei einer Modulationsamplitude A = 0,306 vollst¨ andig durch die Propagationsfunktion erzeugt werden. Da aber auch ein kleineres A im Experiment denkbar w¨ are, gelten f¨ ur Quadrate die gleichen Schlussfolgerungen wie f¨ ur Streifen (vgl. Kap. B.3). Zus¨ atzlich wird festgehalten, dass durch die Propagationsfunktion die zweite Ordnung in der Intensit¨ at st¨ arker ausgepr¨ agt sein kann als die erste, auch wenn in der Orientierung keine h¨ oheren Harmonischen vorhanden sind.

¹ I n (z) berechnet sich in Mathematica mittels BesselI[n,z].

B.5. Abschw¨ achung der h¨ oheren Harmonischen eines AS 2,1 +SiS 87

Abbildung B.2: Intensit¨ atsverh¨ altnis der zweiten zur ersten Ordnung von Quadraten in Abh¨ angigkeit von der Modulationsamplitude A f¨ ur B = 1,80868 - 5,03339 i

B.5 Abschw¨ achung der h¨ oheren Harmonischen eines

AS 2,1 +SiS

Beim der ¨

h¨ oheren Harmonischen durch zwei unterschiedliche Vektoradditionen der Grundmoden (vgl. Kap. 3.1.4 und Abb. B.3). Die erste Summe bilden zwei lange Vektoren, hier q 1 und q 3 genannt. Den gleichen Ergebnisvektor erh¨ alt man durch Verdopplung der L¨ ange des k¨ urzeren, zwischen q 1 und q ³ liegenden Vektors q 2 . Beim ¨ Ubergang von der Veranschaulichung durch Wellen-vektoren zur Amplitude des Fernfeldes werden zus¨ atzlich die Phasen der Fourierkomponenten zueinander ber¨ ucksichtigt. Die Amplitude des Fernfeldes FT(ν x,0 ,ν y,0 ) der hier diskutierten h¨ oheren Harmonischen enth¨ alt einen Beitrag FT 2 (vgl. (B.6)) durch die Addition des Vektors q 2 mit sich selbst. Der zweite Beitrag von q 1 + q 3 mit den Phasen φ ¹ und φ 3 ist durch FT 1,1 nach (B.13) gegeben. Das Fernfeld

an der Stelle (ν x,0 ,ν y,0 ) berechnet sich bei gleicher Amplitude A der Grundmoden aus der Summe der beiden Einzelsummen:

Es wurde behauptet [GW00], dass bei AS 2,1 +SiS zwischen den Vektoren q 1 ,, q 2 und q 3 die Phasenbeziehung

besteht.

Mit dieser Annahme ergibt sich f¨ ur das Betragsquadrat der Amplitude mit I n := I n (BA):

Wechselwirken die beiden Vektorkopplungen q 1 + q 3 und q 2 + q 2 miteinander, ist die beobachtete Intensit¨ at |FT(ν x,0 ,ν y,0 )| ² kleiner als die Summe der Intensit¨ aten der beiden Kopplungen |FT 1,1 | ² + |FT 2 | ² einzelnen betrachtet. Die beiden unterschiedlichen Vek-torkopplungen interferieren folglich am Ort der h¨ oheren Harmonischen destruktiv. Dies best¨ atigt die auf andere Weise gewonnenen Erkenntnisse, von denen in [GW00] berichtet wurde.

B.6 Reelles Drei-Moden-Problem

Bei komplexeren Mustern - so auch beim neu gefundenen Muster 42 (Kap. 3.2) - lassen sich einige h¨ ohere Komponenten nur ¨ uber Kopplungen von mehr als zwei Grundmoden

erkl¨ aren. Hierf¨ ur kann die folgende Rechnung interessant werden, die sich auch leicht auf den allgemeinen Fall von n Komponenten ¨ ubertragen l¨ asst.

Gegeben sei:

mit

FT(Prop 3 )

^∞ := ^−∞ = e BΦ h

⁽ⁿ⁾ := e ^ikφn · I k (BA n ) gesetzt. Hierbei wurde I

k

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Literaturverzeichnis 93

Danksagung

Mein erster Dank gilt Herrn Prof. Dr. Wulfhard Lange, der es mir erm¨ oglicht hat, diese Arbeit auf einem vielf¨ altigen Forschungsgebiet zu schreiben.

Ganz besonders m¨ ochte ich Dipl.-Phys. Edgar Große Westhoff danken, dessen hervorragende Betreuung mir st¨ andig neue Motivation und Begeisterung f¨ ur die Aufgabe gegeben hat. Ich bedanke mich bei Dr. Thorsten Ackemann f¨ ur die zahlreichen Diskussionen, die die Dinge aus einer anderen Perspektive beleuchtet haben.

Ich m¨ ochte allen Mitgliedern der Arbeitsgruppe Lange f¨ ur die Unterst¨ utzung fachlicher und pers¨ onlicher Natur danken. Die fruchtbare Kommunikation l¨ oste so manche Probleme. Die Zusammenarbeit sorgte f¨ ur ein angenehmes und lockeres Arbeitsklima.

Der Feinmechanischen Werkstatt danke ich f¨ ur die schnelle Unterst¨ utzung bei technischen Problemen im Labor.

Lars Stollenwerk danke ich f¨ ur den -Tipp.

Nicht zuletzt m¨ ochte ich mich bei meiner Mutter und meinen Schwestern f¨ ur ihr Verst¨ andnis danken. Kathleen Wiencke danke ich f¨ ur die Unterst¨ utzung in den arbeitsintensiven Phasen.

Ich danke jedem, der diese Arbeit mit Interesse gelesen hat. Das gibt ihr erst den richtigen Wert.

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