Das Tabellenkalkulationsprogramm MS-EXCEL im Mathematikunterricht der Oberstufe

Inhaltsverzeichnis

1  Einleitung  1

2  Computerunterst utzer Mathematikunterricht  4

2.1  Entwicklung von Rechenhilfen  4

2.2  Anwendersoftware  6

2.3  Positive Aspekte des Einsatzes von Computern im Mathematikunterricht  8

2.4  Potentielle Probleme und Gefahren eines computerunterst utzten Mathe-  

  matikunterrichts  10

3  EXCEL im Mathematikunterricht  16

3.1  Was ist EXCEL  16

3.2  Was spricht f ur den Einsatz von EXCEL  17

3.3  Wie kann EXCEL im Mathematikunterricht eingesetzt werden  19

3.4  Probleme mit EXCEL  21

3.5  Allgemeine didaktische Anmerkungen zu den gestellten Aufgaben mit EXCEL  22

4  Aufgaben zum graphischen L osen  26

4.1  Ortsbestimmung  27

4.2  Wurfweite am schr agen Hang  30

4.3  Lage von Ellipsen  33

4.4  Hyperbeln beim Doppelspalt  36

4.5  Fl acheninhaltsbestimmung  39

5  Aufgaben zur numerischen Gleichungsl osung  46

5.1  Veranschaulichung des Newtonverfahrens  47

5.2  Die Katze die sich in den Schwanz beißt  49

5.3  Grenzwert des Newtonverfahrens  50

5.4  Verschiedene L osungsmethoden  53

5.5  Wien sches Verschiebungsgesetz  58

6  Aufgaben zur numerischen Integration  62

6.1  Rechtecksummen links und rechts  63

6.2  Mittelpunkt- Trapez- Simpsonregel  66

6.3  Volumen eines geraden Kreiskegels  70

6.4  Ein ber uhmtes Integral  74

  i  

INHALTSVERZEICHNIS

  ii  

6.5  Umfang einer Ellipse  78

7  Aufgaben zur Datenanpassung  81

7.1  Lineare Regression  82

7.2  Barometrische H ohenformel  86

7.3  Quadratische Regression  89

7.4  Federpendel  96

7.5  Digitaler Zoom  98

8  Aufgaben zu Differentialgleichungen  104

8.1  Kepler sche Gesetze  105

8.2  Ballistischer Wurf  108

8.3  Fadenpendel  112

8.4  Radionuklidproduktion  115

8.5  Kettenlinie  119

9  Aufgaben zur Optimierung  123

9.1  Potentielle Energie  124

9.2  Großkreis  126

9.3  Umkreis von Dreieck  129

9.4  Maximaler Fl acheninhalt  131

9.5  Windschiefe Geraden  134

10  Schlusswort  138

  A Erg anzende Bemerkungen  140

  A 1 Hyperbelgleichung  140

  A 2 Wurfweite  141

  A 3 Newtonverfahren ohne Ende  142

  A 4 Reihenentwicklung f ur Ellipsenumfang  143

  A 5 Minimale Normalabstandsquadratesumme  145

  A 6 Gleichungssystem zur quadratischen Regression  147

  A 7 Bewegungsgleichung bei Wind  148

  A 8 Erzeugung von radioaktivem Material  149

  A 8 1 Radionuklidgenerator  149

  A 8 2 Aktivierung durch Teilchenbeschuss  149

  A 9 Gleichung f ur die Kettenlinie  150

  A 10 Beispiel zur Definition einer Funktion  153

  B EXCEL-Funktionen  155

Kapitel 1

Einleitung

In der vorliegenden Arbeit sollen anhand zum Großteil anwendungsorientierter Beispiele

die M¨ oglichkeiten des Einsatzes des Tabellenkalkulationsprogramms Microsoft EXCEL TM (MS-EXCEL TM im weiteren kurz EXCEL genannt) im Mathematikunterricht der Ober- stufe einer allgemeinbildenden h¨ oheren Schule 1 aufgezeigt werden. Dies ist ganz im Sinne einer der didaktischen Grunds¨ atze, die in den Bildungszielen des Mathematikunterrichtes 2 erw¨ ahnt sind, verstanden:

Mathematiknahe Technologien wie Computeralgebra-Systeme, dynamische

”

Geometriesoftware oder Tabellenkalkulationsprogramme sind im heutigen Ma- thematikunterricht unverzichtbar. Sachgerechtes und sinnvolles Nutzen der Programme durch geplantes Vorgehen ist sicherzustellen. Die minimale Reali- sierung besteht im Kennen lernen derartiger Technologien, das ¨ uber exempla- rische Einblicke hinausgeht und zumindest gelegentlich eine wesentliche Rolle beim Erarbeiten und Anwenden von Inhalten spielt. Bei der maximalen Rea- lisierung ist der sinnvolle Einsatz derartiger Technologien ein st¨ andiger und integraler Bestandteil des Unterrichts.“

Die von mir zusammengestellten Aufgaben lassen sich in sechs Themenkreise einteilen:

• graphisches L¨ osen

• numerisches L¨ osen von Gleichungen

• numerisches Integrieren

• Datenanpassung

• Differentialgleichungen

• Optimierung

1 Sollte im Folgenden von Schule die Rede sein, dann ist stets eine allgemeinbildende h¨ ohere Schule gemeint.

2 Abrufbar z. B. unter: http//:archiv.bmbwk.gv.at/medienpool/11859/lp neu ahs 07.pdf (29.6.2007).

1

KAPITEL 1. EINLEITUNG

2

Wie man bereits aus der Aufstellung ersehen kann, sind die Aufgaben f¨ ur die 12. Schulstufe (in manchen F¨ allen bereits die 11.) gedacht. Die Auswahl der einzelnen Aufgaben erfolgte

im Hinblick auf einen m¨ oglichen f¨ acher¨ ubergreifenden Unterricht mit Physik 3 . Art und Umfang der Aufgaben sind so gestaltet, dass sie im Rahmen kleiner Projekte seitens der

Sch¨ uler 4 bearbeitet werden k¨ onnen. Dabei sollen die Sch¨ uler in Gruppen von ca. vier Personen die Aufgaben in ein bis zwei Wochen (je nach Schwierigkeitsgrad der Aufgaben) außerhalb der Unterrichtszeit behandeln und die Ergebnisse entweder dem Lehrer abgeben oder der restlichen Klasse pr¨ asentieren.

Vorab sei klargestellt, dass diese Arbeit keinen Leitfaden zur Handhabung von EXCEL darstellt. Im Gegenteil, in dieser Arbeit wird davon ausgegangen, dass die Sch¨ uler zumin- dest in der Schule einen eigenen Zugang zu einem Computer haben, auf dem EXCEL installiert ist und dass sie mit EXCEL so weit vertraut sind, dass sie in der Lage sind, die Aufgabenteile, die mit EXCEL zu behandeln sind, auch durchf¨ uhren k¨ onnen. Auf- gabenteile, bei denen Sch¨ uler bei der Umsetzung in EXCEL auf Schwierigkeiten stoßen k¨ onnten, habe ich mit ausf¨ uhrlichen Anleitungen versehen.

Zu Beginn dieser Arbeit steht ein kurzer Einblick in die Entwicklung von Rechen- hilfen und mathematischen Anwenderprogrammen, insbesondere solcher, die im Schul-

unterricht zum Einsatz kamen und kommen, gefolgt von ¨

Uberlegungen, die positive und

negative Aspekte eines Computereinsatzes im Mathematikunterricht aufzeigen sollen. 5 Im Anschluss daran stehen Reflexionen ¨ uber den Einsatz von EXCEL im Mathematikunter- richt. F¨ ur die Leser, die mit EXCEL nicht vertraut sind, habe ich eine kurze Beschreibung von EXCEL im Kapitel 3.1 (Seite 16) in diese Arbeit einfließen lassen. Weiters sind die

EXCEL-Befehle, die ich explizit in dieser Arbeit erw¨ ahne und in Großbuchstaben 6 ge- schrieben habe, im Anhang B (Seite 155) kurz erl¨ autert. Mit potentiellen Anworten, zu den in den Abschnitten 3.2 und 3.3 gestellten Fragen ” Was spricht f¨ ur den Einsatz von EXCEL?“ und ” Wie kann EXCEL im Mathematikunterricht eingesetzt werden?“ sei keine Lanze f¨ ur dieses Programm gebrochen, sondern bloß auf das in ihm steckende Potential hingewiesen. Im anschließenden Abschnitt 3.4 widme ich mich in aller K¨ urze Problemen, die mir aus meinem jahrelangen Umgang mit EXCEL bekannt sind. Es folgen in 3.5 all- gemeine didaktische Anmerkungen zu den Aufgaben, die es mit EXCEL zu l¨ osen gilt. Diese Anmerkungen beziehen sich auf den Großteil der im weiteren vorgestellten Aufga- ben. Weitere didaktische Kommentare sind im Anschluss an die jeweiligen Aufgaben zu finden.

Allen didaktischen Kommentaren m¨ ochte ich an dieser Stelle ein Zitat von Kalil Gibran [6] voranstellen, in dem aus meiner Sicht alles Wesentliche gesagt und dem eigentlich nichts hinzuzuf¨ ugen ist:

3 Der Leser geht richtig in der Annahme, dass Physik mein Zweitfach ist.

4 Wenn ich in dieser Arbeit ausschließlich die m¨ annliche Form verwende, so zum Zweck der einfacheren und fl¨ ussigeren Lesbarkeit des Textes. ” Sch¨ uler“, ” Lehrer“, ... sind stets ” berufsbezeichnend“ gemeint,

nicht geschlechtstypisch.

5 In diesem Zusammenhang erhebe ich keinerlei Anspruch auf eine vollst¨ andige Aussch¨ opfung dieses Themenkreises. Ich erachte mich in dieser Frage auch keineswegs kompetent und werde in den entspre-

chenden Kapiteln aus der Literatur zitieren und auf diese verweisen.

6 EXCEL nimmt keine R¨ ucksicht auf die Groß- und Kleinschreibung von Befehlen, d. h. der Befehl SIN zur Berechnung eines Sinuswertes wird genauso akzeptiert wie z. B.: sIn.

KAPITEL 1. EINLEITUNG

3

Vom Lehren

Dann sagte ein Lehrer: Sprich uns vom Lehren. Und er sagte: Niemand kann euch etwas er¨ offnen, das nicht schon im D¨ ammern eures Wissens schlummert. Der Lehrer, der zwischen seinen J¨ ungern im Schatten des Tempels umhergeht, gibt nicht von seiner Weisheit, sondern eher von seinem Glauben und seiner Liebe.

Wenn er wirklich weise ist, fordert er euch nicht auf, ins Haus seiner Weisheit einzutreten, sondern f¨ uhrt euch an die Schwelle eures eigenen Geistes. Der Astronom kann euch von seinem Verst¨ andnis des Weltraums reden, aber er kann euch nicht sein Verst¨ andnis geben.

Der Musiker kann euch vom Rhythmus singen, der im Weltraum ist, aber er kann euch weder das Ohr geben, das den Rhythmus festh¨ alt, noch die Stimme, die ihn wiedergibt.

Und wer der Wissenschaft der Zahlen kundig ist, kann vom Reich der Gewichte und Maße berichten, aber er kann euch nicht dorthin f¨ uhren. Denn die Einsicht eines Menschen verleiht ihre Fl¨ ugel keinem anderen. Und wie jeder von euch allein in Gottes Wissen steht, so muss jeder von euch allein in seinem Wissen von Gott und seinem Verst¨ andnis der Erde sein.

Als Kernst¨ uck dieser Arbeit folgen die Angabetexte zu den einzelnen Aufgaben mit aus- gew¨ ahlten L¨ osungen und Erl¨ auterungen. Erg¨ anzende Berechnungen und Ableitungen sind im Anhang A zu finden.

Ich hoffe mit dieser Arbeit einen Einblick in die Anwendungsm¨ oglichkeiten von EXCEL im Mathematikunterricht der Schule geben zu k¨ onnen, so dass der Einsatz dieses ” Hilfs- mittels“ nach dem Studium der kommenden Seiten m¨ oglich und erstrebenswert erscheint. Ich m¨ ochte an dieser Stelle erw¨ ahnen, dass mir die Arbeit mit EXCEL (im außerschuli- schen Bereich) in den letzten 10 Jahren stets sehr viel Freude bereitet hat, und dass ich nach wie vor immer wieder neue Facetten und M¨ oglichkeiten von EXCEL entdecke, die ich gewinnbringend einsetzen kann.

... in diesem Sinne: Viel Spaß!

Kapitel 2

Computerunterst ¨ utzer

Mathematikunterricht

In diesem Abschnitt m¨ ochte ich, nach einem kurzen historischen Abriss ¨ uber die Entwick-

lung von Rechenhilfen und Anwenderprogrammen f¨ ur Computer, auf Argumente f¨ ur und

wider den Einsatz des Computers im Mathematikunterricht eingehen. Auch wenn es heute

kaum Stimmen gibt, die den Computer als didaktisches und methodisches Hilfsmittel im

Mathematikunterricht aus den Klassenzimmern vollends verbannt sehen m¨ ochten, gibt es

Bedenken, denen man besondere Aufmerksamkeit schenken sollte, wenn der Computer

tats¨ achlich f¨ ur die Sch¨ uler gewinnbringend zum Einsatz kommen soll.

2.1 Entwicklung von Rechenhilfen

Der Wunsch und das Bem¨ uhen des Menschen, Hilfsmittel zum Rechnen und Z¨ ahlen zu

entwickeln, l¨ asst sich in der Geschichte weit zur¨ uckverfolgen. So kam das Rechenbrett

Suan Pan in China und der Abakus in Babylonien um ca. 2500 v. Chr., der Rechentisch

in ¨

Agypten ca. 1700 v. Chr., der Rechentisch in Griechenland ca. 300 v. Chr. und der

Abakus bei den R¨ omern ca. 50 v. Chr. zum Einsatz.

Im Jahr 1617 erfand J. Napier die nach ihm benannten Rechenst¨ abe und im Jahr 1622

entwickelte W. Oughtred den ersten Rechenschieber, der in den folgenden Jahrzehnten von

ihm, E. Gunter und R. Bissaker verbessert wurde. Im 17. Jahrhundert beg¨ unstigten hand-

werkliches Geschick und die zunehmende Bedeutung sowie Anwendung der Mathematik

vor allem in den Naturwissenschaften und den Wirtschaftswissenschaften die Konstruk-

tion und den Bau erster mechanischer Rechenmaschinen (z. B. W. Schickard 1623, B.

Pascal 1642, G. W. Leibniz 1673). 1 Die elektronischen und damit die direkten Vorl¨ aufer der heutigen Computer gehen auf

die Mitte des 20. Jahrhunderts zur¨ uck. Z. B. der erste voll programmgesteuerte Rechner

Z3 wird 1942 von K. Zuse in Berlin vorgef¨ uhrt, der erste digitale R¨ ohrencomputer ENIAC

1 Sehr sch¨ one Darstellungen von diversen Rechenmaschinen aus dieser Zeit und anderen Epochen finden

sich z. B. in [12] und [14].

4

KAPITEL 2. COMPUTERUNTERST ¨

UTZER MATHEMATIKUNTERRICHT

5

(Electronic Numerical Integrator and Comperator) 1946 in Betrieb genommen. 2 Parallel zur rasanten technologischen Entwicklung wurden die Computer zusehends schneller und leistungsf¨ ahiger, gleichzeitig aber auch immer kleiner. Mitte der 70er Jahre des 20. Jahr- hunderts fanden kleine Computer wie der Apple II, der Attari oder der Commodore Pet

zunehmend das Interesse einer breiten ¨

Offentlichkeit. Mit der kommerziellen Verbreitung von Programmier-, Textverarbeitungs-, Tabellenkalkulations- und Zeichenprogrammen, sowie den sich großer Beliebtheit erfreuenden Computerspielen wuchs das Verlangen nach Computern sowohl im beruflichen als auch im privaten (hier vor allem der C64 von Com- modore) Bereich.

Mit der Entwicklung integrierter Schaltkreise ergab sich die M¨ oglichkeit, die Bau- gr¨ oße von Computern wesentlich zu verringern. Im Jahre 1967 stellte die Firma Texas Instruments den ersten elektronischen Taschenrechner vor, der nur die 4 Grundrechen- arten beherrschte. Diesem folgte 1972 ein wissenschaftlicher Rechner, der auch Wurzeln ziehen, Logarithmieren und trigonometrische Funktionswerte berechnen konnte. Wenige Jahre nach seiner Entwicklung hielt der Taschenrechner Einzug in die Klassenzimmer von Schulen und ersetzte damit die bis zu diesem Zeitpunkt von Sch¨ ulern verwendeten Re- chenhilfsmittel: den Rechenschieber und die Logarithmen-, sowie Winkelfunktionstafeln. Das Angebot und die Nachfrage nach Taschenrechnern f¨ uhrte wie bei den PC’s zu einem umk¨ ampften Markt, der die Hersteller veranlasste, in immer k¨ urzeren Zeitabst¨ anden lei- stungsf¨ ahigere Ger¨ ate auf den Markt zu bringen. Bis zu Beginn der 90er Jahre des 20. Jahrhunderts blieb der Taschenrechner das einzige Hilfsmittel, das an ¨ osterreichischen Schulen im Mathematikunterricht zum Einsatz kam. Erst mit Ende der 80er Jahre des

20. Jahrhunderts wurden an ¨ offentlichen Schulen PC’s angeschafft, die aber vorerst nur

in einem als Provisorium zu bezeichnenden Informatikunterricht eingesetzt wurden. 3 Bei der damaligen softwarem¨ aßigen Ausstattung war aber an einen ernsthaften Einsatz im Mathematikunterricht nicht zu denken, wohl auch weil dem Großteil der Mathematik- lehrkr¨ afte der Computer ebenso fremd war wie den Sch¨ ulern. Dazu heißt es z. B. in [4, S. 10]:

Lehrer, die bisher gegen einen Computereinsatz waren, haben ihre Abneigung

”

oft dadurch manifestiert, daß sie selbst den Computer und die Mathematik- software boykottierten, d. h. sich einfach nicht damit auseinandersetzten und nun nat¨ urlich durch den neuen Lehrplan ” auf dem falschen Bein“ ¨ uberrascht wurden. Dies betrifft viele ¨ altere Kollegen und Kolleginnen, obwohl ich diese Vermutung nicht mit Zahlen sondern nur durch Erfahrung (Gespr¨ ache) bele- gen kann. Sie hatten bereits vor dem neuen Lehrplan argumentiert, daß sie schon einmal umlernen mußten, n¨ amlich bei der Einf¨ uhrung der Taschenrech- ner und dies nun nicht noch einmal tun wollten.“

Die Voraussetzung daf¨ ur, den Computer sinnvoll in der Schulmathematik einsetzen zu

2 Eine detaillierte ¨

Ubersicht der historischen Entwicklung der Computerhardware findet man in [14].

3 Der Autor dieser Arbeit kann dies bezeugen, da er zum ersten Jahrgang geh¨ orte, der im Schuljahr 87/88 in der 5. Klasse einer AHS ein halbes Jahr verpflichtenden und ein halbes Jahr freiwilligen Com-

puterunterricht hatte. Man brachte uns damals die Programmiersprache Basic auf einem C64 bei. In den

weiteren Schulstufen war kein Informatikunterricht vorgesehen.

KAPITEL 2. COMPUTERUNTERST ¨

UTZER MATHEMATIKUNTERRICHT

6

k¨ onnen, hing somit einerseits an der Entwicklung brauchbarer Anwendersoftware und andererseits an der Schulung der Lehrkr¨ afte.

2.2 Anwendersoftware

Mit dem verbreiteten Einsatz von Computern an Universit¨ aten und Hochschulen sowie mit zeitlicher Verz¨ ogerung an allgemeinbildenden und berufsbildenden Schulen nahm die Bedeutung von Programmiersprachen und -techniken sprunghaft zu. An den Universit¨ aten

klassischen“ Programmiersprachen FORTRAN 4 , ALGOL, LISP und

standen anfangs die ”

COBOLD im Mittelpunkt, w¨ ahrend in den Schulen das Augenmerk vor allem auf BASIC,

LOGO, PASCAL oder auch PROLOG gerichtet war. 5 In den Anfangsjahren konnte sich an den allgemeinbildenden Schulen kein eigenst¨ andi- ges Pflichtfach ” Informatik“ etablieren. Die Begr¨ undung lag u. a. in der fehlenden bzw. unzureichenden Ausstattung der Schulen und in der h¨ aufig fehlenden Qualifikation und Sicherheit der Lehrer beim Umgang mit Rechnern und beim Arbeiten mit einer Program- miersprache. Es ist daher auch nicht verwunderlich, dass in den Anf¨ angen der Computer keinen Einzug in den Mathemtikunterricht fand. Letzteres wird noch verst¨ andlicher, wenn man bedenkt, dass selbst heute im Jahre 2007(!) die Ausbildung von Mathematiklehr- kr¨ aften in mathematischer Anwendersoftware f¨ ur die Schule, zumindest an der Universit¨ at Wien (von anderen ¨ osterreichischen Universit¨ aten kann ich dies nicht beurteilen) meines Erachtens mangelhaft ist.

Nachdem die angebotenen Computer durch Vergr¨ oßerung der Festplattenkapazit¨ at und des RAM-Speichers sowie durch eine Erh¨ ohung der Rechengeschwindigkeit und Gra- phikaufl¨ osung und nicht zuletzt durch die Reduktion des Preises immer leistungsf¨ ahiger und attraktiver wurden, reagierte der Software-Markt mit einem wachsenden Angebot von mathemtikunterst¨ utzenden Anwenderprogrammen. Spezielle Programme sollten vor allem Sch¨ uler und Lehrer ansprechen und waren sowohl f¨ ur den privaten als auch f¨ ur den Schulgebrauch gedacht. Im Wesentlichen beschr¨ ankten sich die M¨ oglichkeiten dieser Programme auf numerische Berechnungen und/oder graphische Darstellungen. Die, auch wenn nicht f¨ ur den Einsatz an Schulen gedachten, sondern prim¨ ar f¨ ur die Verwendung im

betriebswirtschaftlichen Bereich 6 entwickelten Tabellenkalkulationsprogramme, wie MS- EXCEL, k¨ onnen zu dieser Gattung von Programmen gerechnet werden. Die Entwicklung von Computer Algebra Systemen (kurz: CAS) mit der zus¨ atzlichen F¨ ahigkeit, symbolische Manipulationen durchzuf¨ uhren, ließen Grenzen bei der Anwen- dung von mathematikunterst¨ utzender Software wider Erwarten leicht ¨ uberwinden. Ende der 80er Jahre fanden vor allem die PC-tauglichen CAS wie REDUCE, MACSYMA, MAPLE, MATHEMATICA und DERIVE einen zunehmenden Bekanntheitsgrad, auch

4 W¨ ahrend meines Studiums der Technischen Physik an der TU-Wien in den 90er Jahren machte ich mit dieser Programmiersprache Bekannschaft.

5 Die in diesem Kapitel dargestellte Entwicklung des Einsatzes der Anwendersoftware im Schulunter- richt ist teilweise aus [23, S. 14ff] ¨ ubernommen.

6 In der Tat hat der Autor dieser Arbeit seine ersten Erfahrungen mit dem Tabellenkalkulationspro- gramm MS-EXCEL w¨ ahrend seiner T¨ atigkeit im Controlling-Bereich eines US-amerikanischen Konzerns

gemacht.

KAPITEL 2. COMPUTERUNTERST ¨

UTZER MATHEMATIKUNTERRICHT

7

im deutschsprachigen Raum. Dar¨ uber hinaus kam es zur Entwicklung von Programmen f¨ ur spezielle Einsatzzwecke, wie dem heute in der Industrie h¨ aufig verwendeten MAT-

LAB (inklusive MATLAB-SIMULINK), das matrixbasiert arbeitet und in der Bildver-

bzw. -bearbeitung und in Simulationsrechnungen zum Einsatz kommt oder dem Stati- stikprogramm SPSS. Auch kleine aber feine Spezialanwendungen wie ORIGIN, das zur Datenanpassung verwendet wird, fanden Marktnischen.

Alle hier genannten Anwenderprogramme wurden f¨ ur den wissenschaftlichen bzw. pro- fessionellen Einsatz im Bereich der Universit¨ aten und Hochschulen sowie in entsprechen- den Berufen entwickelt. Das heißt, die Programme waren nicht f¨ ur die Nutzung im Schul- unterricht gedacht und deshalb blieben fach- und mediendidaktische Unterrichtsbelange bei der Entwicklung der Programme weitgehend ohne Ber¨ ucksichtigung. Dennoch erfreu- ten sich einige dieser Programme (wie z. B. DERIVE oder MAPLE) Anfang der 90er Jahre zunehmender Beliebtheit an Schulen, insbesondere bei Mathematiklehrern als Hilfe bei der Bew¨ altigung ihrer Unterrichtsvorbereitungen und sp¨ ater auch beim Einsatz im Unterricht.

In den letzten Jahren fanden aber auch speziell f¨ ur die Anspr¨ uche des mathematisch- naturwissenschaftlichen Schulunterrichts geschaffene Anwenderprogramme, wie die dy-

namischen Geometrieprogramme EUKLID und GEOGEBRA 7 oder das f¨ ur technische Zeichnungen und darstellende Geometrie geeignete Programm MATHCAD Anwendung. Man darf auf jeden Fall gespannt sein, was die Zukunft an schulgerechter mathematikun- terst¨ utzender Software noch bringen und vor allem, wie und in welchem Ausmaß diese in den Mathematikunterricht einfließen wird. Man kann jedenfalls davon ausgehen, dass der Mathematikunterricht in seiner jetzigen Form einen Wandel erleben wird. Dazu meint der Autor von [27, S. 11]:

In der Geschichte der Mathematik gab es immer wieder Beispiele daf¨ ur, dass

”

Werkzeuge neue oder zumindest andere Denk- und Arbeitsweisen initiierten. So haben Stellenwertsysteme das Durchf¨ uhren schriftlicher Rechenverfahren erm¨ oglicht und Rechenmaschinen ersetzten das Kopfrechnen durch das Den- ken in Handlungsabl¨ aufen. Die mit einem Taschenrechner einhergehende Mo- dularisierung arithmetischer Operationen setzt sich beim Arbeiten mit dem Computer auf algebraische und geometrische Objekte fort. Diese ver¨ anderten Denkweisen haben ihre Auswirkungen auf das Lehren und Lernen von Mathe- matik.“

In der Vielfalt und vorallem in der ” Kurzlebigkeit“ der Anwendersoftware liegt na-

t¨ urlich auch ein Problem f¨ ur Lehrer. Es gibt nicht das Programm, sondern eine Vielzahl spezieller Programme, jedes mit seiner eigenen ” (oder die Schule) zu w¨ ahlen hat. Neben der Tatsache, dass ein Lehrer sich die Syntax

7 Es sei an dieser Stelle angemerkt, dass es sich bei GEOGEBRA nicht um ein reines Geometripro- gramm handelt, sondern es schafft eine Verbindung zwischen Geometrie und Algebra. D. h. es gibt neben

einem ” Geometrie-Fenster“ auch ein ” Algebra-Fenster“ (ausschaltbar, wenn es nur um Zeichnungen ge-

hen soll), in dem Punktkoordinaten, Funktionsgleichungen, Gleichungen von Kreisen und Geraden, etc.

sichtbar sind. Ver¨ anderungen in einem ”

KAPITEL 2. COMPUTERUNTERST ¨

UTZER MATHEMATIKUNTERRICHT

8

bzw. die Bedienung eines Programmes zuerst selbst aneignen muss, stellt sich die Fra- ge, ob dieser Aufwand auch den Sch¨ ulern zugemutet werden kann. An dieser Stelle hat der Lehrer zu entscheiden, ob er ein Anwenderprogramm als Demonstrationsmittel bzw. Hilfswerkzeug f¨ ur seinen Unterricht oder dessen Vorbereitung verwenden m¨ ochte, oder ob es von den Sch¨ ulern aktiv genutzt werden soll. Dar¨ uberhinaus dr¨ angen laufend neue, noch leistungsf¨ ahigere“ Produkte auf den Markt. Gr¨ oßere Anwendungsm¨ oglichkeiten von Pro-

”

grammen gehen aber meist mit einer komplexeren und schwierigeren Bedienung Hand in Hand.

Ungeachtet der zuk¨ unftigen Entwicklung der Anwendersoftware f¨ ur den Mathematik- und naturwissenschaftlichen Unterricht an Schulen lassen sich sowohl positive Stellung- nahmen, als auch Stimmen, die vor einem allzu exzessiven Einsatz des Computers im Schulunterricht warnen, finden. Einigen Meinungen und Aussagen in diesem Zusammen- hang wollen wir uns in den folgenden Kapiteln widmen.

2.3 Positive Aspekte des Einsatzes von Computern

im Mathematikunterricht

Der Computer birgt eine F¨ ulle neuer oder zumindest verbesserter M¨ oglichkeiten den Ma- thematikunterricht kreativer sowie flexibler in den Unterrichtsformen zu gestalten. Diese k¨ onnen unter Umst¨ anden auch sch¨ ulerad¨ aquater und motivierender geplant und umge- setzt werden. Im Einzelnen unterst¨ utzt der Computer den Lernprozess unter methodischen Aspekten

• beim numerischen und symbolischen (so ein CAS verwendet wird) Rechnen, bei

gleichzeitiger Entlastung und Effektivierung des Mathematikunterrichts

(z. B.: symbolisches L¨ osen von Gleichungen, symbolisches Differenzieren und Inte- grieren),

• beim Zeichnen und Visualisieren

– von Funktionsgraphen (evtl. auch simultan, dreidimensional bzw. in nicht- kartesischen Koordinatensystemen, wie z. B. Polarkoordinaten), Tangenten, Fl¨ achen, Richtungsfelder usw.

– von charakteristischen Eigenschaften elementarer Funktionen

(z. B.: Monotonie, Nullstellen, Extremstellen, Wendepunkte, Symmetrieeigen- schaften, Asymptoten, Periodizit¨ at),

– von Auswirkungen von Parametervariationen auf einen Funktionsgraphen

(z. B.: Variation der Ampitude x 0 , Kreisfrequenz ω und Phase ϕ in der Schwin- gungsgleichung x(t) = x 0 sin(ωt + ϕ), Variation der Koeffizienten eines Poly- noms, etc.),

• beim Veranschaulichen numerischer Algorithmen (z. B.: Newtonverfahren, Fixpunktverfahren, Euler’sches Polygonzugverfahren, etc.),

KAPITEL 2. COMPUTERUNTERST ¨

UTZER MATHEMATIKUNTERRICHT

9

• bei der Vorbereitung bzw. Veranschaulichung z. B. des Konvergenz-, Ableitungs-

und Integralbegriffs

(z. B.: graphische Veranschaulichung von Nullfolge, graphische Veranschaulichung der Tangente an den Graphen einer Funktion f an einer Stelle x als Grenzwert einer Folge von Sekanten, graphische Veranschaulichung der Fl¨ ache unter dem Graphen einer Funktion f als Grenzwert der Summe von Rechteckfl¨ achen),

• bei der Simulation mit realistischen Datenmengen

(z. B.: statistische Auswertung großer Datens¨ atze (Mittelwert, Standardabweichung, Regression), L¨ osung von ” großen“ Gleichungssystemen, Monte-Carlo Simulationen, etc.),

• bei der F¨ orderung des experimentierenden und selbst¨ andig entdeckenden Lernens

beim interaktiven Gebrauch der Anwendersoftware

(z. B.: Erkennen von geometrischen Eigenschaften mittels dynamischer Geometrie- programme (z. B.: Satz von Thales), Variation von Parametern in Funktionen, Glei- chungen und Differentialgleichungen und deren Auswirkungen, etc.),

• bei der Entwicklung bzw. F¨ orderung der F¨ ahigkeiten zu Modellbildungen (Problem-

formulierungen, Mathematisierungen und Ergebnisinterpretationen)

(z. B.: Auswertung der Messdaten einer ged¨ ampften Schwingung durch Modellierung geeigneter Funktion (Produkt aus Exponential- und Sinusfunktion) und Variation von Parametern und damit Bestimmung von Schwingungsperiode sowie D¨ ampfung),

• beim ¨

Uben und Festigen sowie beim tieferen und umfassenderen Verstehen von mathematischen Begriffen und Methoden als auch beim Merken dieser.

Dar¨ uber hinaus kann der Computer als Hilfsmittel f¨ ur die schnelle Erledigung aufwen-

diger und langwieriger Berechnungen dienen. Durch die ¨

Ubergabe rechen- und zeitin- tensiver Routineaufgaben an den Computer k¨ onnen im Unterricht auch kompliziertere, anwendungsbezogene Aufgabenstellungen behandelt werden. In [7, Einleitung S. V] heißt es dazu:

Aber Mathematik besteht nicht darin, Rechenoperationen durchf¨ uhren zu

”

k¨ onnen, sondern im logischen Denken, das hinter diesen Operationen steckt. Die Frage ist nicht wie, sondern warum ich diese oder jene Operation durchf¨ uhren muss. Ist dies gekl¨ art, beginnt die oft langwierige Ausf¨ uhrung der Rechenope- rationen. Daf¨ ur ist der Computer ein Segen. Er erlaubt es, den ganzen Ballast der Routineoperationen abzuladen und den Kopf f¨ ur das Verst¨ andnis der Zu- sammenh¨ ange frei zu bekommen.“

Als ein Beispiel sei an dieser Stelle die im Algebra- und Analysisunterricht h¨ aufig wieder- kehrende T¨ atigkeit des Ermittelns von Funktionswerten erw¨ ahnt. Nachdem die Sch¨ uler selbst einige Wertetabellen zu Funktionen aus der gerade behandelten Funktionenklasse erstellt und eine ausreichende Fertigkeit erlangt haben, kann die Routinearbeit, z. B. das

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UTZER MATHEMATIKUNTERRICHT

10

Zeichnen eines Funktionsgraphen, bei weiteren Aufgaben vom Computer ¨ ubernommen werden. Dazu heißt es in [26, S. 45]:

Der Computer kann dazu beitragen, dem Aufbau von Fehlvorstellungen zum

”

Funktionsbegriff entgegenzuwirken, indem es m¨ oglich wird, den Aufbau von Tabellen Diagrammen und Graphiken schrittweise zu verfolgen, Eingabedaten beliebig zu ver¨ andern und mehrere Darstellungen bzw. Darstellungsformen gleichzeitig auf dem Bildschirm betrachten zu k¨ onnen ... Durch den sequenti- ellen Bildaufbau kann die Eindeutigkeit funktionaler Zuordnungen sowie die dynamische Sichtweise einer Funktion verdeutlicht werden.“

Ein weiteres Beispiel sind Algorithmen als konstruktive Rechenanweisungen, die im Ma- thematikunterricht eine große Rolle spielen. Sie begegnen uns in der Mathematik auf Schritt und Tritt. So liest man in [15, S. 9]: 8

Ob wir den gr¨ oßten gemeinsamen Teiler zweier nat¨ urlicher Zahlen, die L¨ o-

”

sung eines linearen Gleichungssystems oder eine rationale N¨ aherung f¨ ur eine Quadratwurzel ermitteln wollen, stets ist ein Algorithmus im Spiel. Selbst die Multiplikation zweier Dezimalzahlen oder die Bestimmung des Maximums von n rationalen Zahlen setzt eine algorithmische Vorgehensweise voraus.“

Nachdem ein Algorithmus im Unterricht entworfen und von den Sch¨ ulern verstanden wur- de, ist seine Durchf¨ uhrung eine monotone Arbeit, die man dem Rechner ¨ uberlassen kann.

Dadurch wird Zeit gewonnen f¨ ur eine gr¨ oßere Anzahl von Durchl¨ aufen des behandelten Al-

gorithmus und eine Diskussion der Ergebnisse. Bei der ¨

Ubersetzung eines Algorithmus in

eine f¨ ur den Computer verst¨ andliche ” Sprache“ sind die Sch¨ uler gefordert, Rechenanwei- sungen f¨ ur den Computer klar zu formulieren. Sch¨ uler m¨ ussen also mittels der Syntax des Anwenderprogrammes einen vorgegebenen Algorithmus umsetzen. Auf diese Weise wird Sch¨ ulern logisches Denken und eine exakte Formulierung ihrer Gedanken abverlangt. In diesem Sinne sei aus [25, S. 109] zitiert:

Mathematik hat viel damit zu tun, konkrete Probleme in eine abstrakte Form

”

zu ¨ ubersetzen und an numerischen L¨ osungen etwas zu begreifen. Das kann aber weder ein Taschenrechner noch ein Computer, damit muss sich jeder von uns selbst abm¨ uhen, der in die Welt der Zahlen vordringt.“

2.4 Potentielle Probleme und Gefahren eines compu-

terunterst¨ utzten Mathematikunterrichts

Neben den genannten positiven Aspekten d¨ urfen andererseits potentielle, teils technolo- giebedingte Gefahren aus einem (zum Teil unbedachten) Einsatz der Computersoftware nicht außer Acht gelassen werden. Dazu heißt es in [26, S. 58]:

8 In diesem Buch finden sich einige numerische und nichtnumerische Algorithmen, die auch im Rahmen des Mathematikunterrichts angesprochen werden k¨ onnen.

KAPITEL 2. COMPUTERUNTERST ¨

UTZER MATHEMATIKUNTERRICHT

11

Beim Arbeiten mit dem Computer ist es jedoch unumg¨ anglich, die Grenzen

”

dieses Werkzeuges von Anfang an deutlich herauszustellen. Wichtig scheint es mir zu sein, daß, wenn Computer in der Schule benutzt werden, solche Grenzen f¨ ur Sch¨ uler bewußt gemacht werden. Dies erm¨ oglicht auch eine Distanzierung von dem und damit eine Reflexion ¨ uber den Computer.“ Es ist eine schwierige, aber zugleich sehr wichtige Aufgabe f¨ ur den Unterrichtenden, nicht intendierte Entwicklungen, irreale Einsch¨ atzungen und falsche Einstellungen bei den Sch¨ ulern zu erkennen, zu kontrollieren und durch geeignete Maßnahmen zu korri- gieren. Dies setzt allerdings voraus, dass Lehrer die m¨ oglichen Gefahren aus einem un- reflektierten computerunterst¨ utzten Mathematikunterricht kennen, deren Auswirkungen einsch¨ atzen k¨ onnen und deren Auftreten sensibel im Unterricht beobachten. Der Ein- satz des Computers im Mathematikunterricht birgt nach [23, S. 33f] unter anderem die Gefahren, dass

• die Grenzen von Computern (z. B. bei Beweisf¨ uhrungen, Begriffsbildungen oder

Modellbildungen) ¨ ubersehen werden.

Dazu sei [27, S. 194f] zitiert:

Die Computerexperimente zu einem speziellen Ph¨ anomen und die Viel-

”

zahl der F¨ alle, die im Zugmodus beobachtet werden k¨ onnen, sind f¨ ur man- che Sch¨ uler so ¨ uberzeugend, dass sich in ihren Augen die Notwendigkeit f¨ ur einen ( ” nochmaligen“) formalen Beweis gar nicht erst stellt oder nur als l¨ astige Pflicht¨ ubung widerwillig akzeptiert wird; mit eigenen Augen haben sie ja gesehen, dass die Beobachtung richtig ist.“

Ein konkretes Beispiel w¨ are die Demonstration des Satz von Thales mit Hilfe eines Geometrieprogrammes.

Durch Ziehen des Punktes C (siehe Abbildung 2.1) entlang des Halbkreisbogens ¨ andert sich der bei C gelegene rechte Winkel nicht.

• Rechenergebnisse unkritisch akzeptiert und ¨

ubernommen werden (computerbeding- te Rundungsfehler und Fehlerfortpflanzung, ” Tippfehler“ bzw. fehlerhafte L¨ osungs- wege, aber auch Programmierfehler bei der Software).

Zum Thema Rundungsfehler liest man in [27, S. 43]:

KAPITEL 2. COMPUTERUNTERST ¨

UTZER MATHEMATIKUNTERRICHT

12

Fragen der Genauigkeit der Darstellung der Zahlen im Rechner weisen ” schließlich darauf hin, dass es im Mathematikunterricht wichtig ist, den Rechner nicht nur als ein Medium und Werkzeug, sondern als auch einen Gegenstand zu betrachten, dessen Grenzen im Hinblick auf die Darstel- lung mathematischer Objekte, Begriffe oder Ideen mitbedacht werden m¨ ussen.“

Ein Beispiel ist etwa die Dezimalbruchdarstellung von 3

mit EXCEL und unter-

7 schiedlicher Nachkommastellenzahl (siehe Abbildung 2.2).

Abbildung 2.2: Rundungsfehler bei EXCEL. Das korrekte auf 20 Dezimalstellen gerundete Ergebnis von 3/7 ist: 0,42857142857142857143.

• die M¨ oglichkeit, Funktionen explizit durch ihre Terme zu definieren, zu einer un-

erw¨ unschten Einschr¨ ankung des Funktionsbegriffes f¨ uhren kann.

In [27, S. 78ff] wird dagegen darauf hingewiesen, dass der Computereinsatz den Funktionenbegriff auf allen Verst¨ andnisebenen zu unterst¨ utzen vermag.

• Benachteiligungen eintreten bzw. verst¨ arkt werden (z. B. Sch¨ uler die keinen privaten

Zugang zu Computern haben, M¨ adchen vs. Burschen).

In [11, S. 47] schreibt die Autorin:

Die Distanz der M¨ adchen zum Computer ist [...] Ausdruck dessen, daß ” ein f¨ ur sie subjektiv als sinnvoll erlebbarer Umgang mit dem Computer im Unterricht zu wenig stattfindet; daß sie vielmehr Probleme haben, sich mit der praktizierten Computernutzung zurechtzufinden und der geforderten Art der Beteiligung zu entsprechen.“

• das Bedienen (Einarbeiten, Gew¨ ohnen, Umgehen, usw.) von Computern und ent-

sprechender Software verst¨ arkt zum Inhalt des Mathematikunterrichts wird.

Dazu heißt es in [5, S. 106]:

Schließlich muß auch noch erw¨ ahnt werden, daß die computerbezogenen ” Probleme oft ¨ uberhand nehmen und der Sinn des Unterrichts (etwa in

Form von ¨

Uberlegungen zu Zweckm¨ aßigkeit und Funktion geometrischer Formen) dadurch eher versch¨ uttet wird, was langfristig auch zur Minde- rung der Motivation beitr¨ agt.“

Dazu sei angemerkt, dass die Beherrschung der Syntax eines Computerprogrammes keine Selbstverst¨ andlichkeit ist. Im Gegenteil es bedarf einer intensiven und vorallem

KAPITEL 2. COMPUTERUNTERST ¨

UTZER MATHEMATIKUNTERRICHT

13

st¨ andigen Auseinandersetzung mit dem Programm, um es erfolgreich bedienen zu k¨ onnen. Es liegt vor allem in der Verantwortung des Lehrers durch entsprechend gew¨ ahlte Beispiele den Sch¨ ulern die Syntax zu verdeutlichen, so dass sie darauf aufbauend eingenst¨ andig Aufgaben l¨ osen k¨ onnen. Wichtig in diesem Zusammenhang ist auch den Sch¨ ulern Mittel zur Selbsthilfe zur Verf¨ ugung zu stellen. Dies kann z. B. der Hinweis auf die Verwendung einer ” online-Hilfe“, oder eine Zusammenstellung von wichtigen Befehlen und syntaktischen Anleitungen sein.

• durch die Leistungsf¨ ahigkeit der Computer nur die Quantit¨ at der Unterrichtsinhalte,

nicht aber die Qualit¨ at erh¨ oht wird,

• die traditionelle Schulmathematik mit Inhalten der computerunterst¨ utzten Mathe-

matik erweitert wird und dies zu einer nicht vertretbaren Stofff¨ ulle im Mathematik- unterricht f¨ uhren kann,

• der Computereinsatz im Mathematikunterricht mit Konzentration auf Probleml¨ o-

sungen, Anwendungen, Algorithmen, Begriffsbildungen usw. zu einer deutlichen An- hebung des Anforderungsniveaus f¨ uhrt und damit viele Sch¨ uler ¨ uberfordert werden,

• wichtige manuelle T¨ atigkeiten, wie z. B. das Zeichnen von Diagrammen oder auch

das ” h¨ andische Rechnen“, in einem nichtvertretbaren Maße vernachl¨ assigt werden.

Meiner Meinung nach sollten F¨ ahigkeiten wie das qualitative Skizzieren nicht zu

komplizierter Funktionsgraphen (z. B.: y(x) = x 2 − 1), das Sch¨ atzen von Gr¨ oßen-

√ √ √ √

100 · 10 ≈ 10 · 3, 1 = 31), Umformung

1000 = ordnungen (z. B.:

algebraischer Gleichungen, etc. durch den Einsatz von Computern im Unterricht nicht leiden d¨ urfen. Computer oder Taschenrechner sollten vom Lehrer mit Bedacht und nicht zu jedem Zweck eingesetzt werden. Dar¨ uberhinaus kann ein Lehrer durch die entsprechende Aufgabenstellung immer noch die manuelle T¨ atigkeit von den Sch¨ ulern einfordern.

• die Bedeutung von kalk¨ ulbezogenen Fertigkeiten, wie Termumformungen, formales

Differenzieren und Integrieren abnimmt.

Meiner Ansicht nach ist der Einsatz eines Computer Algebra Systems f¨ ur all jene for-

h¨ andischem“ Rechnen und etwas ¨

malen Operationen gerechtfertigt, die bei ” Ubung l¨ anger als ca. 5 Minuten dauern. Davor rentiert es sich erst gar nicht den Compu- ter hoch zu fahren. Bei der Wahl der Aufgabenstellungen, die mit dem Computer behandelt werden sollen, sollte dies vom Lehrer ber¨ ucksichtigt werden.

• die Mathematiklehrer einer Schule nicht alle die Meinung teilen, dass das Einbezie-

hen des Computers zu einer Bereicherung des Mathematikunterrichts f¨ uhren kann, und dass damit bei einem unvorhersehbaren (z. B. Pensionierung, Versetzung) aber auch bei einem vorhersehbaren (neue Klasseneinteilung in der 9. Schulstufe) Lehr- erwechsel die Sch¨ uler mit Unterricht von Lehrern mit extrem kontr¨ aren Positionen ( kalk¨ uldominierter Unterricht“ gegen¨ uber ” exzessiver Computernutzung“) konfron-

”

tiert werden.

KAPITEL 2. COMPUTERUNTERST ¨

UTZER MATHEMATIKUNTERRICHT

14

Ein weiteres prinzipielles Problem des Einsatzes von mathematischer Software wird in [5, S. 156] beschrieben:

Der Trend zum Einsatz von Software mit hoher Interaktivit¨ at (wie Derive)

”

f¨ uhrt dazu, daß die Sch¨ uler zur Methode “Versuch und Irrtum“ verf¨ uhrt wer- den, die Bereitschaft zu Vor¨ uberlegungen sinkt. Weiterhin ist eine hohe Be- reitschaft zum Ausprobieren und Austesten des Systems zu beobachten. Dies f¨ uhrt zu ¨ uberfl¨ ussigen Eingaben, zu sinnlosen Versuchen und schließlich dazu, das System spielerisch zu nutzen (etwa: Erzeugung von 3D-Graphiken zum Zeitvertreib).“

Neben all diesen Bedenken stellt sich ein grunds¨ atzliches didaktisches Problem, das in [3] beschrieben ist (und auch in [19, S. 40f] zitiert wird):

The didactic problem

As a matter of fact, most areas of high school and undergraduate mathema- tics, by now, are “trivialized” in the following sense: I call an area “trivialized” if its problems can be solved algorithmically by existing mathematical machi- nes (hardware and software). For example, since many years, arithmetics on floating point numbers is trivialized by pocket calculators. Differentiation of elementary functions is trivialized by software systems like Mathematica, its forerunners and competitors. It is the goal of worldwide research in symbolic computation that more areas of mathematics become trivialized.

Well, if an area of mathematics is trivialized, why should students bother to study the area? Rather, shouldn’t we just teach the students how to solve the main problems in the area by applying, in a reasonable way, the appropriate algorithms implemented in, say, Mathematica?

There are two dogmatic answers to this question:

1. The puristic answer: Ban math software from math education! The

use of math software systems will spoil the mathematical moral of the students because deep understanding of mathematical concepts will be replaced by blind application of tools.

2. The pragmatic answer: Don’t spend time in class on any trivialized

area of mathematics! The creativity of students should not be wasted on “calculations” that, by now, can be done by a machine. Rather, the ingenuity of students should be free for “creative problem solving”. Both, the puristic and the pragmatic, positions are still held strictly by quite a few people. In their strict form, however, both positions are unreasonable, I think.

The answer by the White Box / Black Box Principle

In my view, a natural, practical, and satisfactory position that reconciles the two extreme positions is achieved by what I call “White Box / Black Box Principle for math education using math software”:

KAPITEL 2. COMPUTERUNTERST ¨

UTZER MATHEMATIKUNTERRICHT

15

“Teaching of an area of mathematics proceeds, roughly, in two phases:

The White Box phase: This is the phase in which the area is new to the

student. In this phase, the use of math software systems for solving the pro- blems of the area under study is (most times) inappropriate. Students should study the area thoroughly, i.e. they should study problems, concepts, theorems, proofs, algorithms, examples and hand calculations.

The Black Box Phase: After the area has been thoroughly studied, algo-

rithms developed in this study can be called as black boxes in the later study of hierarchically higher areas.”

Note that this principle is recursive: During the white box phase of study- ing some area of mathematics, the algorithms of hierarchically lower areas of mathematics can and should be used in the black box manner.

This principle is so simple that one may wonder why one should formulate it at all. However, I notice over and over again that quite some discussion is still spent on supporting the strictly puristic or the strictly pragmatic position exclusively.

In ¨ ahnlicher Weise aber den Mathematikunterricht in seiner heutigen Form hinterfra- gend, wird obige Problematik in [27, S. 25f] angesprochen.

Wenn wir von einem vereinfachten Bild mathematischer T¨ atigkeiten ausge-

”

Darstellen–Operieren–Interpretieren“ unterglie- hen, so lassen sich diese in ” dern. In der Schule wird wohl dem Operieren der gr¨ oßte Zeitanteil beige- messen, wohingegen dem Darstellen, d. h. dem Suchen eines Zugangs zu einer Problemstellung, dem Mathematisieren und Modellieren in verschiedenen Dar- stellungsarten und dem Interpretieren, d. h. dem R¨ uckbeziehen der L¨ osung auf die Ausgangsfrage und den L¨ osungsweg, eine zu geringe Bedeutung zukommt. Nun k¨ onnen aber Rechner genau die T¨ atigkeit ¨ ubernehmen, die den wesent- lichen Teil des mathematischen Arbeitens im Unterricht ausmachen, n¨ amlich das Operieren oder das an Kalk¨ ulen orientierte algorithmische Arbeiten. Es ergibt sich somit die zun¨ achst oberfl¨ achlich und vereinfacht gestellte Frage, ob denn der Mathematikunterricht ¨ uberhaupt noch im gegenw¨ artigen Umfang ge- rechtfertigt ist, wenn denn seine zentralen Inhalte von einer Maschine erledigt werden k¨ onnen. Verschiedentlich war in diesem Zusammenhang dann schon von einer ” Krise des Mathematikunterrichts“, oder von einer ” Krankheit des Mathematikunterrichts“ oder gar von einer ” Existenzbedrohung von noch nie dagewesenem Ausmaß“ (Malle 1994, S. 37) die Rede. Hierbei ist der Compu- ter allerdings ” nur“ der Anlass, um ¨ uber Ziele und Inhalte des gegenw¨ artigen realen Mathematikunterrichts nachzudenken, ...“

Kapitel 3

EXCEL im Mathematikunterricht

Nach den vorangegangenen prinzipiellen ¨

Uberlegungen, bei denen Pros und Kontras zur Frage nach dem Einsatz des Computers im Mathematikunterricht beleuchtet wurden, m¨ ochte ich nun die Aufmerksamkeit dem Programm EXCEL zuwenden. Zuerst ein paar Worte zu dem Programm selbst, bevor ich mich den Fragen ” Was spricht f¨ ur den Einsatz von EXCEL?“ und ” Wie kann EXCEL im Mathematikunterricht eingesetzt werden?“ zu- wende. Anschließend m¨ ochte ich auf einige Probleme beim Umgang mit EXCEL eingehen und danach allgemeine didaktische Anmerkungen zu den von mir zusammengestellten und zum Teil mit EXCEL zu l¨ osenden Aufgaben bringen.

3.1 Was ist EXCEL?

Microsoft EXCEL 1 geh¨ ort zum Microsoft Office Packet 2 und ist sowohl f¨ ur das Betriebs- system Microsoft Windows als auch f¨ ur McOS verf¨ ugbar. Es z¨ ahlt zu den Tabellenkalku- lationsprogrammen, die es einem erlauben, numerische Werte oder Daten in Zellen eines Tabellenblattes, die matrix¨ ahnlich in Zeilen und Spalten angeordnet sind, einzugeben. W¨ ahrend die Zeilen mit Nummern (1,2,3, ...) versehen sind, sind die Spalten durch Buch-

staben (A,B,C, ...) gekennzeichnet. 3 Jeder Zelle ist somit ein Spaltenbuchstabe und eine Zeilennummer (in dieser Reihenfolge) – die Zelladresse – zugeordnet. Durch Anklicken einer Zelle mit dem dar¨ uber befindlichen Cursor wird diese (und nur diese) aktiv und es kann eine Eingabe erfolgen. Durch den Bezug auf eine Zelladresse oder einen gesamten Zellbereich kann auf Eintr¨ age von einer oder mehrerer Zellen zugegriffen werden, wo- mit diese Eintr¨ age Eingang in die Formel einer anderen Zelle finden. Die numerischen Eintr¨ age k¨ onnen f¨ ur Berechnungen, graphische Darstellungen und statistische Analysen genutzt werden. Eine umfangreiche Darstellung der Bedienung und M¨ oglichkeiten von

EXCEL findet der interessierte Leser in zahlreichen einschl¨ agigen Werken, wie z. B. in

[22].

1 Excel, engl.: sich hervortun, sich auszeichnen.

2 Dieses umfasst neben EXCEL das Textverarbeitungsprogramm Microsoft WORD, das Pr¨ asentati- onsprogramm Microsoft POWER POINT und das Datenbankprogramm Microsoft ACCESS.

3 Ist die Spalte Z erreicht so wird die Kennzeichnung mit AA, AB, ... fortgesetzt.

16

KAPITEL 3. EXCEL IM MATHEMATIKUNTERRICHT

17

Ein eigener Makro-Rekorder erlaubt es, immer wiederkehrende Befehlsfolgen aufzu- zeichnen, die dann bei Bedarf abgerufen werden k¨ onnen. Dar¨ uber hinaus kann durch die Programmierung von Makros in VBA (Visual Basic for Applications) der Anwendungsbe- reich von EXCEL nahezu grenzenlos erweitert werden. Dies setzt allerdings die Kenntnis der Syntax der objektorientierten Programmiersprache VBA voraus. Der Leser sei an die- ser Stelle wieder auf die Literatur verwiesen (z. B. [16] f¨ ur die ersten Schritte mit VBA oder [8] f¨ ur spezielle EXCEL Anwendungen).

Es sei an dieser Stelle vermerkt, dass die ersten Tabellenkalkulationsprogramme, wie VisiCalc und Lotus 1-2-3 wesentlich f¨ ur den Popularit¨ atsaufschwung von Computern wie des Apple II und des IBM PC in Wirtschaftsbetrieben verantwortlich waren. Heute ist

EXCEL das am weitesten verbreitete Programm dieser Art und findet weit ¨ uber den urspr¨ unglichen Einsatzbereich in B¨ uros hinaus Anwendung. Daneben gibt es eine Vielzahl von anderen Tabellenkalkulationsprogrammen (z. B. Lotus 1-2-3, Quattro), die in ihrer Funktionsweise dem EXCEL sehr ¨ ahnlich sind.

Nicht zuletzt macht ein spezielles Werkzeug – der Microsoft EXCEL Solver (in weite- rer Folge kurz Solver genannt) – die Anwendung von EXCEL f¨ ur Optimierungsprobleme

interessant. 4 Bei dem Solver handelt es sich um eine Anwendung, die nach den Anfor- derungen von Microsoft von Mitarbeitern eines externen Unternehmens bzw. amerikani-

scher Universit¨ aten entwickelt wurde. Der Solver verwendet numerische Algorithmen 5 zur L¨ osung einer Gleichung (oder zur Maximierung bzw. Minimierung einer Funktion), die von einer oder mehreren Variablen abh¨ angen kann. Dabei ist die Ber¨ ucksichtigung von Nebenbedingungen m¨ oglich. Seit seiner Einf¨ uhrung im Februar 1991 ist der Solver das meistverbreitete und wahrscheinlich auch meistverwendete Optimierungsprogramm f¨ ur allgemeine Zwecke. Durch die Verbreitung mit EXCEL ist der Solver in H¨ anden von Mil- lionen von Microsoft Office Nutzern. Anwendern, die die Tabellenkalkulationsprogramme Lotus 1-2-3 oder Quattro Pro verwenden, stehen ¨ ahnliche Optimierungsprogramme, die auf derselben Technologie basieren, zur Verf¨ ugung.

3.2 Was spricht f¨ ur den Einsatz von EXCEL?

Zu sehr vielen Problemstellungen, darunter auch mathematischen, gibt es heute fix und fertige Programme, die auf die Bed¨ urfnisse des Anwenders mehr oder weniger gut zu- geschnitten sind. Eine Vielzahl von mathematischen Programmen wie MATHEMATICA oder MATLAB hat einen Umfang und eine Komplexit¨ at erreicht, die in der Regel ei-

wird. Nun kann der Solver ¨ uber das Men¨ u ” Extras“ und den Eintrag ” Solver“ aufgerufen werden.

5 Microsoft EXCEL Solver verwendet den nichtlinearen Optimierungscode GRG2 (Generalized Redu- ced Gradient), der von Leon Lasdon, University of Texas in Austin, und Allan Waren, Cleveland State

University, entwickelt wurde. Bei linearen und ganzzahligen Problemen werden die Simplexmethode, bei

der die Variablen Beschr¨ ankungen unterliegen, und die Branch-and-bound-Methode verwendet, die von

John Watson und Dan Fylstra bei Frontline Systems, Inc. entwickelt wurde.

KAPITEL 3. EXCEL IM MATHEMATIKUNTERRICHT

18

ner intensiven Einschulung bed¨ urfen, wenn das in ihnen steckende Potential auch nur im Entferntesten genutzt werden soll. Dar¨ uber hinaus sind diese Produkte oft sehr teuer und selten bis gar nicht an Schulen und noch weniger privat verf¨ ugbar. Wesentlich ko- steng¨ unstigere Anwenderprogramme wie DERIVE oder MAPLE, die den Anfordernissen, die von Seiten der Schulmathematik gestellt werden, gerecht werden, finden in allgemein-

bildenden und berufsbildenden Schulen in ¨

Osterreich weite Verbreitung und werden vor allem im Bereich der Analysis eingesetzt. Die ihnen zugrundeliegende Syntax ist nicht schwer zu erlernen aber auch nicht selbsterkl¨ arend. Spezielle dynamische Geometriepro- gramme wie GEOGEBRA oder EUKLID erg¨ anzen das Spektrum. Sie sind in ihrer Hand- habung deutlich einfacher. Dies hat einerseits mit ihrem Komplexit¨ atsgrad, andererseits mit der Tatsache zu tun, dass diese Programme speziell f¨ ur den Schulunterricht konzipiert wurden. Mit den erw¨ ahnten Programmen kann eine Vielzahl von schulmathematischen Problemstellungen mit dem Computer behandelt werden.

Es stellt sich nun die Frage, wie oder warum ein Tabellenkalkulationsprogramm wie

EXCEL im Mathematikunterricht eingesetzt werden soll, wenn ohnehin obige Programme

alle ben¨ otigten Leistungen erbringen. Es sei vorab darauf hingewiesen, dass ein Tabellen- kalkulationsprogramm ein Geometrieprogramm wie GEOGEBRA oder EUKLID nicht ersetzen kann (was nicht weiter verwundert, da ersteres nicht und letztere sehr wohl f¨ ur geometrische Konstruktionen geschaffen wurde/n), genauso wenig, wie es die Programme

DERIVE oder MAPLE k¨ onnen. Letztere k¨ onnen in vielen Aspekten durch ein Tabel-

lenkalkulationsprogramm ebenfalls nicht ersetzt werden (z. B. wenn es um symbolisches Differenzieren, Integrieren oder Gleichungsl¨ osen geht). Was kann also f¨ ur den Einsatz ei- nes Tabellenkalkulationsprogramms wie EXCEL sprechen? Dazu einige Argumente, die meiner eigenen pragmatischen Einstellung entsprechen.

• Tabellenkalkulationsprogramme stehen beinahe auf jedem PC zur Verf¨ ugung.

• Sie haben eine ¨

uberaus leicht verst¨ andliche Syntax.

• Sie k¨ onnen bereits in der Unterstufe zum Einsatz gebracht werden. 6

• Sie haben vielf¨ altige Anwendungsm¨ oglichkeiten, elementare und fortgeschrittenere

(siehe dazu die in den folgenden Kapiteln gestellten Aufgaben).

• In vielen Bereichen des Berufslebens kommt man mit EXCEL auf die eine oder

andere Weise in Ber¨ uhrung. (Z. B. ist EXCEL neben dem f¨ ur logistische und buch- halterische Zwecke verwendeten SAP weltweit (!) das meistverwendete Programm im kaufm¨ annischen Bereich. Tabellierte Daten aus EXCEL k¨ onnen auch von SAP ubernommen werden.)

¨

• Nicht nur einfache, wie man glauben m¨ ochte, sondern auch durchwegs komplizierte

Berechnungen lassen sich mit EXCEL bewerkstelligen.

• Die Art und Weise, wie in einem Tabellenkalkulationsprogramm Algorithmen um-

gesetzt werden k¨ onnen, ¨ ahnelt in vielen F¨ allen der ” nat¨ urlichen Herangehensweise“ mit ” Bleistift und Papier“.

6 In vielen Schulb¨ uchern gibt es Anregungen dazu.

KAPITEL 3. EXCEL IM MATHEMATIKUNTERRICHT

19

• Die im Umgang mit EXCEL gewonnenen Erfahrungen w¨ ahrend des Mathematik- unterrichtes k¨ onnen auch anderw¨ artig zum Einsatz kommen (z. B. das Verwenden

von logischen Operatoren wie WENN, UND, ODER in Form von anderen Befehlen

in Programmiersprachen).

• Oft gilt es nur rasch eine einfache Rechnung, die schnell mit einem Tabellenkalku- lationsprogramm durchgef¨ uhrt werden kann, auf ihre G¨ ultigkeit zu pr¨ ufen.

• Immer wieder durchzuf¨ uhrende Berechnungen k¨ onnen leicht durch die Aufzeichnung von Makros automatisiert werden.

• Zweidimensionale graphische Darstellung von Ergebnissen sind beinahe selbster- kl¨ arend mit einem Tabellenkalkulationsprogramm in k¨ urzerster Zeit in verschieden-

ster Form herstellbar. 7

• Manche Problemstellungen sind durch den matrixhaften Aufbau eines Tabellenkal- kulaionsprogramms leichter programmtechnisch zu l¨ osen als mit anderen Program-

men.

• Die Integration eines Tabellenkalkulationsprogramms in einem Softwarepaket f¨ ur B¨ uros erlaubt in der Regel den einfachen und raschen Zugriff auf Daten einer Ta-

belle (sowie deren Aktualisierung) aus anderen Anwendungen, wie einer Software

f¨ ur Textverarbeitung oder einer Bildschirmpr¨ asentations-Software.

• M¨ ochte man keine lizenspflichtigen Produkte k¨ auflich erwerben, so stehen auch

freie“ Tabellenkalkulationsprogramme (freeware) zur Verf¨ ugung. 8

” Die vorgebrachten Argumente k¨ onnen und sollen nicht die Vorz¨ uge von CAS wie DERIVE

oder MAPLE aufwiegen. Sie sollen lediglich der Positionierung der Taballenkalkulations-

programme im Kanon der in der Schule verwendbaren mathematischen Computersoftware

dienen und Grundlage f¨ ur die Kl¨ arung der folgenden Frage nach der Einsetzbarkeit von

Tabellenkalkulationsprogrammen im Mathematikunterricht sein.

3.3 Wie kann EXCEL im Mathematikunterricht ein-

gesetzt werden?

Die Einsatzm¨ oglichkeiten von EXCEL im Mathematikunterricht sind vielf¨ altig. Dies h¨ angt

damit zusammen, dass EXCEL in jeder Schulstufe, und beinahe in jedem mathematischen

Themenkreis, der in der Schule angesprochen wird, verwendbar ist. Dies ist f¨ ur mich ei-

ne wichtige Tatsache, da damit den Sch¨ ulern die M¨ oglichkeit gegeben wird, im wahrsten

Sinne des Wortes, mit einem Programm groß zu werden. Sch¨ uler k¨ onnen bereits in der

Unterstufe auf dem Niveau einfacher Zelloperationen EXCEL beinahe spielerisch kennen

Sehr interessante Beispiele zum Thema Diagramme finden sich z. B. in [20].

KAPITEL 3. EXCEL IM MATHEMATIKUNTERRICHT

20

lernen (z. B. Grundrechnungsarten, Prozentrechnung, Fl¨ achen- und Umfangsberechnun- gen, etc.) und Probleme selbst¨ andig mit diesem ” Rechenwerkzeug“ l¨ osen, wenn auch auf sehr einfachem Niveau. Die dazu notwendigen Kenntnisse k¨ onnen sukzessive in einzel- nen daf¨ ur vorgesehenen Unterrichtsteilen oder -einheiten von den Sch¨ ulern erlernt und anhand von entsprechenden Beispielen ausprobiert werden. Da sich EXCEL bereits sehr fr¨ uh einsetzten l¨ asst, k¨ onnen die ben¨ otigten Befehle und die erforderliche Syntax schritt- weise ¨ uber einen langen Zeitraum erarbeitet werden, so dass mit der Zeit eine Sammlung

von Befehlen, die Sch¨ ulern ein ¨

Ubersetzen von mathematischen Formeln und Algorithmen in EXCEL erm¨ oglicht, entsteht. Dies dient als Voraussetzung f¨ ur das Meistern von Pro- blemstellungen mit EXCEL, die in der Oberstufe an die Sch¨ uler herangetragen werden (z. B. Funktionen graphisch darstellen, ” Probleme l¨ osen“, Algorithmen ” programmieren“, etc.).

Im Detail kann EXCEL folgendermaßen zum Einsatz kommen: Taschenrechner“ zum ¨

• Als ”

Uberpr¨ ufen von einfachen Rechnungen (z. B. Skalarpro- dukt, Vektorprodukt, Mittelwert, Standardabweichung, etc.)

• Zum L¨ osen rechenintensiver Aufgaben (z. B. L¨ osen von Gleichungssystemen, etc.)

• Zum graphischen Vergleich von Daten mit Modellrechnungen oder Modellvorstel-

lungen (z. B. Physikalische Messwerte vs. zugrundeliegender physikalischer Gesetz- m¨ aßigkeiten)

• Zur Implementierung numerischer Algorithmen (z. B. Nullstellensuche mit Newton-

verfahren, numerische Integration mit Simpsonregel, Eulersches Polygonzugverfah- ren, etc.)

• Zur Berechnung und Veranschaulichung numerischer L¨ osungen komplexer mathe-

matischer Modelle (z. B. Wachstumsprozesse, etc.)

• Zur statistischen Analyse erhobener Daten (z. B. Mittelwert, Standardabweichung,

Fehlerbalken bei graphischer Darstellung von Daten, lineare und polynomiale An- passung, etc.)

• Im f¨ acher¨ ubergreifenden Unterricht Mathematik/Physik/Informatik

• In Form von interaktiven Anwendungen (applets) zur Demonstration im Mathema-

tikunterricht

• Als ”

Rechenwerkzeug“ bei der Verwendung von vorgefertigten Anwendungen in EX- CEL

Dabei ist von meiner Seite immer an eine Anwendung von EXCEL im Unterricht oder bei speziellen Hausaufgaben gedacht, nicht jedoch an das Verwenden von EXCEL bei Schularbeiten.

Leser, die an der Frage interessiert sind, wie unterschiedlichste numerische Algorithmen und Methoden in EXCEL umgesetzt werden k¨ onnen, sei [13] zum Studium empfohlen.

KAPITEL 3. EXCEL IM MATHEMATIKUNTERRICHT

21

Besteht dar¨ uber hinaus das Interesse zu erfahren, wie vor allem mathematische Modellie- rungen mit EXCEL vorgenommen werden k¨ onnen, dann m¨ ochte ich dem Leser [18] ans Herz legen.

Im folgenden Abschnitt einige Bemerkungen zu von mir festgestellten M¨ angeln von EXCEL, auf die Sch¨ uler unbedingt hinzuweisen sind.

3.4 Probleme mit EXCEL

Leider komme ich nicht umhin, auf das eine oder andere Problem bei EXCEL hinzu- weisen. Dies insbesondere aufgrund der Tatsache, dass mir diese zum Teil unangenehmen Eigenschaften von EXCEL, durch eigene leidvolle Erfahrung bekannt sind und in der (mir bekannten) einschl¨ agigen Literatur leider keine Hinweise existieren. Es ist daher nur fair, jeden potentiellen Anwender von EXCEL, und jeden Leser dieser Zeilen rechne ich dazu, von diesen Problemen in Kenntnis zu setzen.

Ein gravierender Fehler, den EXCEL macht, ist im Folgenden beschrieben: Gibt man

in eine Zelle z. B. die Formel = −2ˆ2 ein, so resultiert der Zellwert 4, und nicht das eigentlich zu erwartende mathematisch korrekte Ergebnis −4 (siehe hiezu Abbildung 3.1). Der Leser sei insofern beruhigt, dass z. B. die Formel = 6 − 2ˆ2 das richtige Resultat 2

liefert. Beunruhigend hingegen ist wiederum die Tatsache, dass EXCEL z. B. f¨ ur die Formel = EXP(−2ˆ2) das falsche Resultat 54,59815 anstelle von 0,01831564 liefert. Im Zweifel sei dem Leser daher geraten, wenn das Minuszeichen in einer Formel nicht einer

Zahl folgt dieses durch (−1)∗ zu ersetzen. Damit w¨ urden z. B. die Formeln = (−1) ∗ 2ˆ2 und = EXP((−1) ∗ 2ˆ2) die richtigen Resultate liefern.

Abbildung 3.1: In der Eingabeleiste sieht man die Formel = −2ˆ2, die in der fett umran-

deten Zelle den mathematisch falschen Wert 4 liefert.

Ein weiterer, wenngleich weit weniger gravierender Fehler von EXCEL betrifft die Funktion GEOMITTEL(ZAHL1;ZAHL2), die das geometrische Mittel der Zahlen ZAHL1 und ZAHL2 liefert. Ist eine der beiden Zahlen gleich Null, so liefert EXCEL den Fehlerwert #ZAHL! anstatt des mathematisch korrekten Resultates Null. Berechnet man hingegegen die Formel =WURZEL(ZAHL1∗ZAHL2) so erh¨ alt man das richtige Ergebnis. Nicht unbedingt als Fehler aber dennoch als eine Unannehmlichkeit kann folgende Tatsache gewertet werden: EXCEL erlaubt es Datenpunkte durch lineare, exponentielle oder polynomiale Funktionen anzupassen. Durch eine Option kann die Gleichung der verwendeten Funktion im entsprechenden x/y-Diagramm dargestellt werden. Die in der Funktion enthaltenen Koeffizienten werden aber nur auf insgesamt f¨ unf Stellen genau angezeigt, wobei die letzte Stelle gerundet ist. 9 Es kann nun der Fall eintreten, dass die im

9 Es gibt keine M¨ oglichkeit sich mehr Stellen anzeigen zu lassen.

KAPITEL 3. EXCEL IM MATHEMATIKUNTERRICHT

22

Diagramm angezeigte Trendlinie, welche die Regressionsfunktion darstellt, die Daten sehr gut wiedergibt. Verwendet man aber nun eine Funktion mit den angegebenen Koeffizienten und stellt diese ebenfalls in dem Diagramm dar, so kann diese erheblich von der Trendlinie abweichen (vergleiche hiezu mit Aufgabe 7.3).

Im Prinzip ist es nicht m¨ oglich in einer EXCEL-Tabelle eine Variable x und damit

auch nicht Funktionen wie z. B. f (x) = x · sin(x) − 1 zu definieren. Nur durch program-

miertechnische Kunstgriffe in VBA kann dies realisiert werden. Ein Beispiel dazu findet der interessierte Leser im Anhang A.10. M¨ ochte man den Funktionswert z. B. an der Stelle x = 1 berechnen, so ist dies nur auf folgende Art m¨ oglich: Angenommen in der Zelle A1 steht die Zahl 1, dann kann durch Eingabe der Formel =A1*SIN(A1)-1 in einer beliebigen anderen Zelle, sagen wir in der Zelle B1, der Wert f (1) ausgegeben werden. Soll nun die Funktion an mehreren Stellen ausgewertet werden, so legt man am besten eine Spalte mit den x- und eine Spalte mit den f (x)-Werten an. Letztere kann man durch ” Ziehen“ der Formel aus Zelle B1 in die anderen Zellen erhalten. Ein Nachteil der sich nun ergibt, ist fol- gender: Sollen an denselben Stellen die Funktionswerte einer anderen Funktion bestimmt werden, so muss man die Formel in einer Zelle ab¨ andern und durch abermaliges ” Ziehen“ die anderen Zellen aktualisieren. Dieser Aktualisierungsschritt steht, so man keine Makros aufzeichnet oder programmiert, einer ” Automatisierung“ im Wege.

Mit ein Grund, warum EXCEL z. B. in der marktwirtschaftlichen Analyse von großen Datenmengen selten verwendet wird, ist die Tatsache, dass EXCEL dem Anwender ” nur“ 65536 Zeilen zur Verf¨ ugung stellt. Auch wenn diese Zahl sehr groß erscheint, so ist sie doch in der Realit¨ at oft zu klein.

Die M¨ oglichkeiten der Einflussnahme auf die Darstellung von Fl¨ achen in so genannten Oberfl¨ achendiagrammen erweist sich bedauerlicherweise als ¨ außerst bescheiden. Der An- wender ist in diesem Falle meist gut beraten, sich eines anderen Programmes zu bedienen. Zu guter Letzt sei angemerkt, dass die mit EXCEL mitgelieferte Programm-Hilfe ihren Namen eigentlich nicht verdient, sondern oftmals mehr der Verwirrung als der Kl¨ arung eines Sachverhaltes dienlich ist, so man ¨ uberhaupt eine Antwort auf eine auftretende Frage findet. Dem Leser sei daher, wenn er vorhat, sich intensiver mit EXCEL zu besch¨ aftigen, der Kauf eines einschl¨ agigen Buches, wie z. B. [22], angeraten.

3.5 Allgemeine didaktische Anmerkungen zu den ge-

stellten Aufgaben mit EXCEL

Die in den folgenden Kapiteln vorgestellten Aufgaben sollen projektm¨ aßig von Sch¨ ulern der 11. (so vom Inhalt der Aufgaben und dem Wissenstand der Sch¨ uler her m¨ oglich) oder besser 12. Schulstufe in Gruppen von ca. vier Personen außerhalb der Mathematikstunden innerhalb von ein bis zwei Wochen (je nach Schwierigkeitsgrad und Umfang) bearbeitet und am Ende entweder dem Lehrer abgegeben oder der Klasse als Projekt vorgestellt werden. Es w¨ are meinerseits vorgesehen, jeweils eine der Aufgaben eines Themenkreises einer Sch¨ ulergruppe zur Bearbeitung zuzuteilen, so dass alle Aufgaben zu einem Thema gleichzeitig von unterschiedlichen Gruppen behandelt werden.

Bei der Zusammenstellung der Aufgaben waren mir einige Aspekte, die f¨ ur beinahe

KAPITEL 3. EXCEL IM MATHEMATIKUNTERRICHT

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alle Aufgaben gelten, aus didaktischer Sicht wichtig, die ich an dieser Stelle anf¨ uhren

m¨ ochte:

• Jedes der sechs Kapitel hat einen Themenschwerpunkt (z. B. Aufgaben zum graphi- schen L¨ osen, etc), der durch die einzelnen Aufgaben von teils sehr unterschiedlichen

Seiten beleuchtet wird, und besteht aus mindestens f¨ unf Aufgaben.

• In allen Aufgaben sind Teile enthalten die mit EXCEL zu l¨ osen sind. Es gibt aber immer wieder Unterpunkte, bei denen die Sch¨ uler aufgefordert sind, Rechnungen

h¨ andisch“ durchzuf¨ uhren, um sich entweder von Ergebnissen oder angegebenen

”

Formeln und Gleichungen zu ¨ uberzeugen.

• Die gestellten Aufgaben sind von der Konzeption f¨ ur Sch¨ uler der 12. Schulstufe gedacht. Das in den Aufgaben verlangte mathematische Wissen bezieht zum Teil den

Unterrichtsstoff (z. B. Vektorrechnung, Folgen und Reihen, etc.) vorangegangener

Schulstufen ein. Die Sch¨ uler sind daher gezwungen, so sie das entsprechende Wissen

nicht mehr parat haben, das bereits Gelernte (und vielleicht wieder Vergessene) zu

wiederholen. Ein Umstand, der gerade im Hinblick auf die bevorstehende Matura

in der 8. Klasse nicht ohne Bedeutung ist.

• Ich war bestrebt, praxisorientierte Aufgaben im Sinne der Bildungsziele des Mathe- matikunterrichtes 10 auszusuchen, in denen es unteranderem heißt:

Anwendungsorientierte Kontexte verdeutlichen die N¨ utzlichkeit der Ma-

”

thematik in verschiedenen Lebensbereichen und motivieren so dazu, neu-

es Wissen und neue F¨ ahigkeiten zu erwerben. Vernetzungen der Inhalte

innerhalb der Mathematik und durch geeignete f¨ acher¨ ubergreifende Un-

terrichtssequenzen sind anzustreben. Die minimale Realisierung besteht

in der Thematisierung mathematischer Anwendungen bei ausgew¨ ahlten

Inhalten, die maximale Realisierung in der st¨ andigen Einbeziehung an-

wendungsorientierter Aufgaben- und Problemstellungen zusammen mit

einer Reflexion des jeweiligen Modellbildungsprozesses hinsichtlich seiner

Vorteile und seiner Grenzen.“

• Die eine oder andere Aufgabe hat keinen Praxisbezug sondern dient der Festigung und/oder Veranschaulichung theoretischer Unterrichtsinhalte.

• Da manche Aufgaben aufgrund ihres Bezuges zur Physik f¨ ur Sch¨ uler sicherlich nicht einfach sind, war ich bem¨ uht, dort wo ich es f¨ ur notwendig erachtet habe, sehr

detaillierte Angabetexte zu erarbeiten, die den L¨ osungsweg vorzeichnen und nach-

vollziehbar machen sollen.

• Beim Großteil der Aufgaben gehe ich davon aus, dass die Sch¨ uler ausreichende Kenntnisse in EXCEL besitzen, um diese l¨ osen zu k¨ onnen.

KAPITEL 3. EXCEL IM MATHEMATIKUNTERRICHT

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• Bei Aufgabenteilen, bei denen weniger die Mathemathik als die Umsetzung in EX-

CEL ein Problem f¨ ur Sch¨ uler darstellen k¨ onnte, war mein Bestreben, die entspre-

chenden Realisierungsschritte durch eine ausf¨ uhrliche Erkl¨ arung im Angabetext dar- zulegen. 11

• In einigen Aufgaben sind die Sch¨ uler angehalten, zus¨ atzliche Informationen aus der

Literatur oder dem Internet einzuholen, um sich ein umfassenderes Bild von dem behandelten Thema zu verschaffen. Dazu heißt es in den Bildungszielen des Mathe- matikunterrichtes:

Die Beschaffung, Verarbeitung und Bewertung von Informationen hat

”

auch mit B¨ uchern (z. B. dem Schulbuch), Zeitschriften und mit Hilfe elek- tronischer Medien zu erfolgen. Nutzen und Problematik mathematischer Inhalte und Lernhilfen im Internet sind hier zu thematisieren. Die mini- male Realisierung besteht in der gelegentlichen Einbeziehung derartiger Medien, die maximale Realisierung im gezielten Erwerb von Kompeten- zen, die von der Informationsbeschaffung bis zur eigenst¨ andigen Abfas- sung und Pr¨ asentation mathematischer Texte und Facharbeiten reichen.“

• F¨ ur den Fall, dass die Namen von bedeutenden Mathematikern, Physikern oder

anderer Naturwissenschaftler in den Aufgaben Erw¨ ahnung finden, habe ich es mir erlaubt, bei ihrer erstmaligen Nennung, ihre Geburts- und Sterbedaten in Fußnoten zu erw¨ ahnen. Dies im Hinblick darauf, Sch¨ uler daran zu erinnern, dass hinter all den mathematischen Errungenschaften letztendlich Menschen stehen. Des Weiteren sollen Sch¨ uler dadurch ein Gef¨ uhl bekommen, aus welcher Zeit eine Errungenschaft, Entdeckung oder Erkenntnis stammt.

• Bei einer Vielzahl der gestellten Aufgaben sind zur Erlangung eines Resultates ver-

schiedene L¨ osungswege vorgezeichnet, die es mit EXCEL zu realisieren gilt. Auch in diesem Fall entspricht meine Intention einem der didaktischen Grunds¨ atze der Bildungsziele des Mathematikunterrichtes:

Einzelne Inhalte und Probleme sind aus verschiedenen Blickwinkeln zu

”

sehen und aus verschiedenen Richtungen zu beleuchten. Vielf¨ altige Sicht- weisen sichern eine große Flexibilit¨ at bei der Anwendung des Gelernten. Die minimale Realisierung besteht in der gelegentlichen Verdeutlichung verschiedener Sichtweisen bei der Behandlung neuer Inhalte, die maxima- le Realisierung im konsequenten Herausarbeiten der Vor- und Nachteile verschiedener Zug¨ ange. Damit wird ein vielschichtiges und ausgewogenes Bild der Mathematik gewonnen.“

Eine weitere Absicht hinter dem Aufzeigen von verschiedenen L¨ osungswegen ist die Probleml¨ osekompetenz der Sch¨ uler zu erh¨ ohen.

KAPITEL 3. EXCEL IM MATHEMATIKUNTERRICHT

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• Ich gehe davon aus, dass das mathematische ”

R¨ ustzeug“, das zur L¨ osung der Aufga- ben notwendig ist, bereits im Unterricht den Sch¨ ulern vermittelt wurde. Die Sch¨ uler begeben sich daher bei der Ausarbeitung der Aufgaben auf kein mathematisches Neuland“.

”

• Anhand von exemplarischen, zum jeweiligen Unterrichtsstoff passenden Beispielen,

die in eigens daf¨ ur vorgesehenen Unterrichtseinheiten gemeinsam mit den Sch¨ ulern am Computer erarbeitet werden, sollen die Sch¨ uler in die Lage versetzt werden, die gestelleten Aufgaben eigenst¨ andig zu l¨ osen.

• Bei allen Aufgaben ist meinerseits daran gedacht, sowohl eine kurze Vor-, als auch

eine Nachbesprechung durchzuf¨ uhren. Bei letzterer k¨ onnen erg¨ anzende Bemerkun- gen, die ich zum Teil auch im didaktischen Kommentar zu den einzelnen Aufgaben anf¨ uhre, gemacht werden.

• Ich gehe davon aus, dass pro Semester nicht mehr als zwei, der im Rahmen dieser

Arbeit vorgestellten umfangreichen Aufgaben von den Sch¨ ulern behandelt werden sollen.

• Die Leistungsbeurteilung soll die Realisierung und Umsetzung des L¨ osungsweges in

EXCEL, die Richtigkeit der Resultate sowie etwaige erg¨ anzende Ausarbeitungen (z. B. Literaturrecherche) oder Pr¨ asentationen umfassen. Die Gesamtnote der EXCEL- Projekte w¨ urde ich einer Schularbeitsnote gleichsetzen.

• Es ist nicht zwingend, all die gestellten Aufgaben in Form der von mir vorgeschla-

genen Projekte umzusetzen. Ich k¨ onnte mir durchaus vorstellen, dass die eine oder andere Aufgabe Teil einer Fachbereichsarbeit in Mathematik oder eventuell auch Physik ist.

Spezielle didaktische Anmerkungen zu den Aufgabengruppen, die hier keine Erw¨ ahnung fanden, sind jeweils am Beginn der entsprechenden Kapiteln angef¨ uhrt. Dar¨ uber hinaus habe ich im Anschluss an die einzelnen Aufgaben, zusammen mit ausgesuchten L¨ osungen, weitere kurze didaktische Kommentare gegeben.

Abschließend sei angemerkt, dass eine Vielzahl von m¨ oglichen Aufgaben, die ich mir uberlegt hatte, in diese Arbeit aus unterschiedlichen Gr¨ unden (z. B. Schwierigkeitsgrad

¨ der Umsetzung mit EXCEL, keine Schulmathematik, Aufgabe vom Umfang zu gering f¨ ur ein Projekt, Kenntnisse in VBA n¨ otig) keinen Eingang gefunden hat. Eine Reihe dieser Aufgaben, vor allem die, deren Umfang ich f¨ ur die Erstellung eines Projektes zu gering erachtet habe, w¨ urden zus¨ atzliche Teile des Unterrichtsstoffes abdecken.

Ich m¨ ochte nun, lieber Leser, deine Geduld nicht l¨ anger strapazieren, sondern schließe mich den Worten Goethes an: 12

Der Worte sind genug gewechselt, laßt mich auch endlich Taten sehen.“

”

12 Johann Wolfgang Goethe, Faust I.

Kapitel 4

Aufgaben zum graphischen L ¨ osen

Unter dem Begriff graphisches L¨ osen kann man zweierlei verstehen: Einerseits das n¨ ahe- rungsweise Auffinden einer L¨ osung oder eines L¨ osungsbereiches durch die graphische Ver- anschaulichung von Funktionen sowie der resultierenden Schnittpunkte oder Schnittlinien bzw. der von den entsprechenden Kurven oder Fl¨ achen begrenzten Bereiche. Die Aufga- ben aus den Abschnitten 4.1 und 4.2 geh¨ oren zu diesem Typus. Andererseits kann man bei manchen Fragestellungen durch geeignete Wahl von Punkten oder Kurven eine An- passung an gegebene Daten erreichen und damit das vorgelegte Problem n¨ aherungsweise l¨ osen. Die Aufgaben der Abschnitte 4.3, 4.4 und 4.5 z¨ ahlen zu dieser Klasse von graphisch l¨ osbaren Problemen.

Der Einsatz von graphischen L¨ osungsmethoden empfiehlt sich immer dann, wenn man

sich rasch einen ¨

Uberblick ¨ uber zu erwartende L¨ osungen verschaffen will, ohne von vorn- herein etwaige m¨ uhsame Berechnungen oder sogar numerische Verfahren anwenden zu m¨ ussen. In vielen F¨ allen kann die Genauigkeit eines auf graphischem Wege erzielten Re- sultates bereits ausreichen und Zeit sowie Geduld sparen. Dar¨ uber hinaus kann das gra- phische L¨ osen einer Problemstellung auch als Kontrolle von angestellten Berechnungen dienen und das Vertrauen in ein rechnerisch erzieltes Resultat (hoffentlich!) st¨ arken. Sinn und Zweck der folgenden Aufgaben ist es, die genannten Punkte Sch¨ ulern exemplarisch vor Augen zu f¨ uhren, ohne dabei aber die Anwendung eventuell genauerer L¨ osungsmethoden außer Acht zu lassen.

Es besteht an dieser Stelle kein zwingender Grund, warum gerade EXCEL zur graphi- schen L¨ osung von Problemstellungen herangezogen werden soll. Eine Vielzahl von Ma- thematikprogrammen kann daf¨ ur verwendet werden. Es ist aber meiner Meinung nach die bestechende Einfachheit, mit der in EXCEL diese Form von Problemstellung gel¨ ost werden kann, die f¨ ur den Einsatz von EXCEL spricht.

Das Erstellen von Graphiken in EXCEL ist rasch geschehen: Durch Markieren eines Zellbereiches, in dem die Abszissenwerte, und eines anderen Zellbereiches, in dem die Ordinatenwerte eingetragen sind, sowie durch das Aufrufen des Diagramm-Assistenten. Zus¨ atzlich erlaubt die Einf¨ uhrung von Bildlaufleisten 1 dem Anwender interaktiv t¨ atig zu

1 Diese erh¨ alt man, indem man vorerst aus dem Men¨ u ”

Ansicht“ den Eintrag ” Symbolleisten“ und hier

Formular“ ausw¨ ahlt. Durch einen Klick auf die entsprechende Schaltfl¨ ache und Ziehen des Cursors bei

”

gedr¨ uckter linker Maustaste ¨ uber dem Tabellenblatt erh¨ alt man eine Bildlaufleiste. Durch Anklicken der

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KAPITEL 4. AUFGABEN ZUM GRAPHISCHEN L ¨

OSEN

27

werden. Dies kann z. B. dazu genutzt werden, einen im Diagramm dargestellten Punkt durch Bet¨ atigen des Schiebereglers der Bildlaufleiste in seiner Lage zu variieren (geeignete formelm¨ aßige Verkn¨ upfung vorausgesetzt) und mit einem Punkt, dessen Koordinaten ge- sucht sind, zur Deckung zu bringen (vergleiche mit Aufgabe 4.1). Eine andere M¨ oglichkeit des Einsatzes von Bildlaufleisten besteht darin, dass mit ihrer Hilfe die Parameter einer Kurve, die zur L¨ osung einer gegebenen Fragestellung verwendet werden, ge¨ andert werden k¨ onnen (vergleiche z. B. mit Aufgabe 4.3).

4.1 Ortsbestimmung

Der Abstand des Punktes P vom Punkt A betr¨ agt ca. 3, 61km vom Punkt B hingegen ca. 5, 1km und vom Punkt C sind es ca. 2, 24km. Die Koordinaten der Punkte A, B, C lauten: A = (1|1), B = (8|5), C = (2|6). Gesucht sind die Koordinaten des Punktes P .

a) L¨ ose diese Aufgabe n¨ aherungsweise graphisch dadurch, dass du in einem x/y-Dia- gramm drei geeignete Viertelkreise mit den Mittelpunkten A, B, C darstellst.

(Hinweis: Verwende Polarkoordinaten und lasse den Winkel, der den Viertelkreis um

A parametrisiert, in 1/100-Schritten zwischen 0 und π/2 laufen. F¨ ur den Viertelkreis

um B w¨ ahle einen zweiten Winkel, der zwischen π und 3π/2 in 1/100-Schritten l¨ auft, und f¨ ur den Viertelkreis um C w¨ ahle einen dritten Winkel, der zwischen 3π/2 und 2π in 1/100-Schritten l¨ auft. 2 )

F¨ uge nun eine Bildlaufleiste hinzu, mit der du die Koordinaten eines Punktes X, den du ebenfalls im x/y-Diagramm darstellst, variieren kannst. Dabei soll f¨ ur den Punkt X gelten, dass er auf dem Viertelkreis um den Punkt A l¨ auft.

b) L¨ ose dieselbe Fragestellung mit Hilfe des Solvers. Als Bedingung verlange, dass die Summe der Abst¨ ande eines Punktes X, dessen beide Koordinaten variabel sein sol- len, von den beiden Punkten A und B gleich der Summe der Abst¨ ande des Punktes

P von den Punkten A und B, also gleich 3, 61 + 5, 1 = 8, 71km ist. Als Nebenbedin-

gung verwende, dass der Abstand von X nach C gleich dem Abstand des Punktes

P von C, also gleich 2, 24km sein soll. Vergleiche dein Ergebnis mit dem unter a)

gewonnenen.

c) Angenommen, der Abstand des Punktes P von den Punkten A, B, C ist auf 0, 05km bekannt. In unserem Fall soll das heißen, dass der Abstand des Punktes P von A

3, 61 ± 0, 05km, von B 5, 10 ± 0, 05km und von C 2, 24 ± 0, 05km betr¨ agt. Ermittle

in einem neuen x/y-Diagramm jenen Bereich, in dem sich der Punkt P befinden k¨ onnte.

d) Hole Informationen zu folgenden Fragen ein: Glaubst du, kann man eine Person, die sich im Punkt P befindet und die ein eingeschaltenes Handy mit sich tr¨ agt auf

Bildlaufleiste mit der rechten Maustaste und der Wahl des Punktes ” Steuerelement formatieren“, ¨ offnet

sich ein Fenster, in dem die n¨ otigen Einstellungen f¨ ur die Bildlaufleiste vorgenommen werden k¨ onnen.

2 EXCEL rechnet in Radiant.

KAPITEL 4. AUFGABEN ZUM GRAPHISCHEN L ¨

OSEN

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diese Art orten, wenn in A, B und C die Sende- und Empfangsstationen des ent- sprechenden Mobilfunkbetreibers stehen? Glaubst du w¨ are eine solche Ortung legal (Hinweis: Datenschutz)? Wer d¨ urfte in welcher Situation solch eine Ortsbestimmung veranlassen?

e) Informiere dich: Du kennst bestimmt ein Positionierungssystem, das ganz legal ist. Genau: GPS, das global positioning system, das satellitenbasiert arbeitet. Wie funk-

tioniert dieses System? Wie viele Satelliten meinst du sind f¨ ur eine Positionsbestim- mung notwendig (begr¨ unde)? Wo kommt dieses System ¨ uberall zum Einsatz? Wer hat dieses Positionierungssystem eingef¨ uhrt und warum? Warum hat der Betreiber wohl ein Interesse daran, dass mit diesem System, obwohl technisch m¨ oglich, im Allgemeinen eine Ortsbestimmung nicht genauer als 5–10m durchgef¨ uhrt werden kann?

Anmerkungen:

Diese Aufgabe kann bereits in der 7. Klasse oder sogar noch fr¨ uher durchgef¨ uhrt werden. Es werden lediglich Kenntnisse in der analytischen Geometrie und Trigonometrie vorausgesetzt. Im Aufgabenteil a) ist es vor allem die Parametrisierung der Viertelkreise durch Polarkoordinaten, die von den Sch¨ ulern ge¨ ubt werden und zu dem in Abbildung

4.1 dargestellten Ergebnis f¨ uhren soll.

Abbildung 4.1: Man sieht neben den drei Punkten A, B, C die Viertelkreise, den gesuchten Punkt P und den mit einer Bildlaufleiste variierbaren Punkt X, der auf dem Viertelkreis um A l¨ auft, und mit dessen Hilfe die Koordinaten von P abgesch¨ atzt werden sollen.

KAPITEL 4. AUFGABEN ZUM GRAPHISCHEN L ¨

OSEN

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Des Weiteren soll mit der Aufgabe vor Augen gef¨ uhrt werden, dass der Schnitt zweier Kreise im Allgemeinen zu zwei L¨ osungen f¨ uhrt, und so man nur an einer der beiden in- teressiert ist, es noch einer zus¨ atzlichen Bedingung bedarf, um diese L¨ osung festzulegen. Nat¨ urlich kann man diesen Punkt der Aufgabe mit der gleichen Genauigkeit schlicht und einfach mit Zirkel, Bleistift und Papier l¨ osen. Man sollte daher den Sch¨ ulern den Vorteil der Umsetzung mit dem Computer insofern schmackhaft machen, dass man ihnen, sagen wir 10 verschiede Punktetrippel A, B, C vorlegt, f¨ ur die sie das gestellte Problem l¨ osen sollen. Beim h¨ andischen Zeichnen vergeht einem dabei rasch die Lust. Man kann aber auch den Hinweis bringen, dass bei Problemstellungen, bei denen nicht Kreise oder Ge- raden miteinander geschnitten werden, sondern beliebige andere Kurven, zur graphischen L¨ osung meist nur der Computer bleibt.

Abbildung 4.2: Der von den Kreisb¨ ogen (in der Abbildung scheinen diese beinahe gerad- linig zu sein) begrenzte Bereich gem¨ aß dem Angabenteil c), in dem sich der Punkt P befinden k¨ onnte, ist in der Abbildung schraffiert dargestellt (Die Schraffur wurde nicht mit EXCEL vorgenommen).

Dar¨ uber hinaus soll bei der Besprechung dieser Aufgabe mit den Sch¨ ulern darauf eingegangen werden, dass es gar keine exakte L¨ osung aufgrund der Wahl der Punkte A, B, C und der entsprechenden Radien der Kreise gibt. Dies gilt auch f¨ ur den Punkt b) und nat¨ urlich insbesondere f¨ ur den Punkt c), in dem die Sch¨ uler aufgefordert sind, sich selbst ein Bild in Form der Abbildung 4.2 von der Situation zu machen. Schlussendlich dienen die Punkte d) und e) dazu einen Bezug zur Realit¨ at herzustellen. Die Sch¨ uler sollen dabei informationstechnolgisch, physikalisch und rechtlich interessante Aspekte in eigenst¨ andiger Recherche zusammentragen.

KAPITEL 4. AUFGABEN ZUM GRAPHISCHEN L ¨

OSEN

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4.2 Wurfweite am schr¨ agen Hang

Angenommen du stehst auf einer horizontalen Ebene. Wie du wahrscheinlich weißt, erzielst du mit einem Geschoss die gr¨ oßte Reichweite (bei Vernachl¨ assigung des Luftwiderstan-

des), wenn du es unter einem Winkel von 45 ◦ gemessen von der Horizontalen abwirfst.

Betrachten wir nun den Fall, dass die Ebene auf der du stehst um den Winkel β gegen die Horizontale geneigt ist (siehe Abbildung 4.3). Unter welchem Winkel α musst du jetzt, bei gleicher Abwurfgeschwindigkeit wie zuvor, ein Geschoss abwerfen, um die maximale Reichweite zu erzielen? 3

Abbildung 4.3: Wurf am schr¨ agen Hang

a) Diese Frage wollen wir vorerst auf graphischem Wege beantworten. Dazu nehmen

wir an, dass die Ebene um den Winkel β = 20 ◦ gegen die Horizontale geneigt ist,

und du das Geschoss mit einer Geschwindigkeit v 0 = 30m/s hangaufw¨ arts abwirfst. (Deine K¨ orpergr¨ oße sei vernachl¨ assigt. Du kannst dir auch vorstellen, dass du einen

Fußball trittst.) Stelle die Wurfparabel (g = 9, 81m/s 2 ist die Erdbeschleunigung)

in Abh¨ angigkeit des Abwurfwinkels α, den du mit einer Bildlaufleiste zwischen −80 ◦ und 80 ◦ variieren kannst, in der Zeitspanne zwischen t = 0s und t = 6s in Schritten

von 0, 1s in einem x/y-Diagramm gemeinsam mit der Geraden

y(x) = x tan(β)

dar. Ermittle nun n¨ aherungsweise jenen Abwurfwinkel α, bei dem der Schnittpunkt von der Wurfparabel und der Ebene am weitesten vom Abwurfpunkt entfernt ist.

b) Die graphische L¨ osung erlaubt nur eine grobe Absch¨ atzung des Abwurfwinkels α, bei dem die maximale Reichweite erzielt wird. Aus obigen Gleichungen kannst du den Schnittpunkt der Wurfparabel mit der Ebene ermitteln. F¨ ur die x-Koordinate dieses Schnittpunktes gilt (zeigen!):

sin(2α)

2v 2

3 Ableitungen zu den in dieser Aufgabe angegebenen Gleichungen finden sich im Anhang A.2, Seite 141.