Abkürzungsverzeichnis

Abb. Abbildung gdw. genau dann wenn i. Z. in Zeichen LB Lernbereich

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1 Einleitung

Der Unterricht der Grundschule befindet sich seit einigen Jahren im Wandel. Wissen soll nicht mehr nur rezitierend wiedergegeben werden können, sondern selbstständig und produktiv von den Schülern angewandt werden und generalisierbar sein, um einen Transfer auf andere Sachgebiete zu ermöglichen. Dies gilt ins besondere auch für den Mathematikunterricht und setzt ein verändertes Lernarrangement voraus.

Wie sich das Verständnis des Mathematikunterrichts gewandelt hat, soll im folgenden Kapitel dargestellt werden. Dabei handelt es sich nicht nur um die aktuelle Situation in der Grundschule, sondern das Blickfeld wird bis auf die Orientierungsstufe erweitert sein. Daran anschließend wird mit dem Konzept des entdeckenden Lernens ein verändertes Lernarrangement näher dargestellt. Der Schwerpunkt dieser Arbeit ist im Kapitel fünf integriert. Neben den mathematischen Grundlagen zu den Teilbarkeitsregeln, werden einige methodische Umsetzungen vorgestellt. Da die Unterrichtsbeispiele nach dem Prinzip des entdeckenden Lernen konzipiert sind, lässt sich eine Entwicklung hinsichtlich des Grades des entdeckenden Lernens erkennen. Selbstständiges Arbeiten und entdeckendes Lernen kann man bei den Schülern nicht einfach voraussetzen. Es muss genauso wie jeder Unterrichtsinhalt Schritt für Schritt erarbeitet werden.

Da es sich bei den Teilbarkeitsregeln um ein Thema handelt, welches sich über mehrere Schuljahre erstreckt, stehen die einzelnen Stunden nicht in direktem temporären Zusammenhang. Eine reale Durchführung hat bis zum jetzigen Zeitpunkt noch nicht stattgefunden.

Der sächsische Lehrplan stellt den Anspruch, dass die Schüler einige Teilbarkeitsregeln kennen. Es lässt sich jedoch keine Aussage darüber finden in wie weit die Teilbarkeitsregeln inhaltlich bearbeitete und verstanden sein sollten. Es scheint demnach, als sei das Präsentieren dieser Regeln und das Üben derer Anwendung der einfachst Weg, um den Anforderungen des Lehrplans gerecht zu werden. Aber ist dies auch im Sinne unserer Schüler? Der Abakus stellt ein technisches Hilfsmitte dar, mit dem sich selbst schwierige Regeln wie z.B. die Teilbarkeitsregel zur 9 sehr anschaulich vermitteln lassen. Er wird daher bei allen Unterrichtsentwürfen zur Anwendung kommen.

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2 Anliegen der Mathematik in den unteren Klassen

„Mathematik müsste so allgemein gemacht werden wie die Muttersprache: Wir müssten lernen, in ihr zu leben, wahrzunehmen, zu denken, zu kommunizieren.“ 1 HARTMUT VON HENTIG 1972

Dass diese Aussage eine utopische Vorstellung der Mathematik widerspiegelt, macht HENTIG unmissverständlich klar. Dennoch scheint genau diese Utopie eine gute Grundlage bezüglich der Frage, was Mathematik in den unteren Klassen leisten kann und sollte, darzustellen.

Die Kultusminister ² der Länder haben es mit folgender Forderung auf den Punkt gebracht: „Das Mathematiklernen in der Grundschule darf nicht auf die Aneignung von Kenntnissen und Fertigkeiten reduziert werden. Das Ziel ist die Entwicklung eines gesicherten Verständnisses mathematischer Inhalte.“ ³ Empirische Untersuchungen zur Einstellung von Schülern zum Fach Mathematik haben gezeigt, dass in der Grundschule zwar häufig eine positive Haltung überwiegt, dies sich jedoch grundlegend in der Sekundarstufe I ändert. Die Gründe dafür sind sicherlich vielfältig, dennoch lässt sich eine wesentliche Ursache herauskristallisieren. Mit steigendem Schwierigkeitsgrad fehlt es offensichtlich an inhaltlichem Verständnis und an sinnlicher Einsicht. Dies lässt sich nur überwinden, wenn es gelingt, Kindern schon im Grundschulalter einen echten Zugang zum Fach Mathematik zu verschaffen. ⁴ Dabei müssen bereits in der Grundschule zwei Aspekte von Mathematikunterricht Beachtung finden. Zum einen soll das Fach einen

¹ Hentig, Hartmut von: Magier oder Magister?. S. 80 - 81.

² Maskuline Personenbezeichnungen gelten im Folgenden ebenso für Personen weiblichen Geschlechts.

³ Beschlüsse der Kultusministerkonferenz. Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich. 15.10.2004. S. 6.

⁴ Wittmann, Erich Ch.: Was ist Mathematik und welche pädagogische Bedeutung hat das wohlverstandene Fach auch für den Mathematikunterricht der Grundschule. S. 21 - 22.

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wesentlichen Beitrag zur Umwelterschließung, zur Entwicklung der Wahrnehmungsfähigkeit und des Vorstellungsvermögens leisten. ⁵ Dabei spielen Lebensnähe, Anschaulichkeit und Anwendungsorientierung im Unterricht eine tragende und mittlerweile weit verbreitete Rolle. Zum anderen ist „der ‚reine Aspekt’ der Mathematik [...] ein unverzichtbares Element des Mathematiklernens. Wenn er fehlt, wird das Bild der Mathematik verfälscht und der Unterricht kann nicht seinen vollen Bildungswert entfalten.“ ⁶ Für Wittmann bedeutet dies, dass „auch die spielerische Auseinandersetzung

mit bedeutungsvollen elementarmathematischen Fragestellungen ohne

unmittelbaren ‚Lebensbezug’“ 7 unabdingbar sei.

Neben den Fertigkeiten, die vier Grundrechenarten sicher und flexibel ausführen und anwenden zu können, der Erschließung von Sachaufgaben und dem sicheren Operieren mit geometrischen Objekten, Zahlen und Größen, soll der Mathematikunterricht vielfältige Fähigkeiten zum Problemlösen entwickeln. Dazu zählen Kreativität, das Mathematisieren von Sachsituationen, das Erkennen und Begründen von Zusammenhängen und Abhängigkeiten, das Darstellen, Argumentieren und Diskutieren eigener Lösungsansätze und das Kooperieren mit den Mitschülern. Darüber hinaus sollen die Kinder Strategien entwickeln und Kenntnis von Kontrollmöglichkeiten und Fachtermini erlangen. Der Mathematikunterricht leistet dadurch auch einen Beitrag zur Verbesserung der Lernkompetenz allgemein. 8

Wielpütz u.a. nennen in ihrem Rahmenentwurf zum Mathematiklernen in der Primarstufe ein weiteres wesentliches Ziel des Mathematikunterrichts: Der Unterricht sollte die positive Einstellung zum Mathematiklernen fördern. 9

⁵ Sächsisches Staatsministerium für Kultus. Lehrplan Grundschule Mathematik. 2004. S. 2.

⁶ Wittmann, Erich Ch.: Was ist Mathematik und welche pädagogische Bedeutung hat das wohlverstandene Fache auch für den Mathematikunterricht der Grundschule. S. 27.

⁷ Ebd.

⁸ Vgl. Sächsisches Staatsministerium für Kultus, Lehrplan Grundschule Mathematik. 2004.

⁹ Vgl. Baum, Monika / Wielpütz, Hans (Hrsg.): Mathematik in der Grundschule. Ein Arbeitsbuch. S. 249.

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Dass sich nicht alle Lehrer diesem Grundsatz verpflichtet fühlen und den Lehrplan als einzige umzusetzende Gegebenheit sehen, zeigen eigene Erfahrungen auf.

Wie sich das Interesse und die Freude am Mathematikunterricht und damit auch das Verständnis für diese abstrakte Wissenschaft fördern lassen, soll im nächsten Kapitel dargestellt werden.

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3 Öffnung des Mathematikunterrichts

„Nicht Leitung und Rezeptivität, sondern Organisation und Aktivität ist es, was das Lehrverfahren der Zukunft kennzeichnet.“ 10 JOHANNES KÜHNEL 1922

Heute, fast ein Jahrhundert später, ist eben diese Zukunft Gegenwart geworden. Dass Schüler die Akteure ihres eigenen Lernprozesses sind, ist heute im Grundverständnis des Lehrens fest verankert. ¹¹ Es geht um aktive eigene Sinnkonstruktion. Das Ziel der fehlerfreien Rezeption wird vom Wunsch nach kreativer Produktion eigener Lösungswege abgelöst. ¹² Daher fordert der sächsische Lehrplan: „Von Anfang an soll den Schülern Gelegenheit gegeben werden, selbstständig etwas zu leisten und eigene Lernwege zu erproben. Dabei können Fehler, Irr- und Umwege auftreten, die nicht in erster Linie als Leistungsmängel anzusehen sind, sondern als Zwischenschritte im Lernprozess.“ 13

3.1 Entdeckendes Lernen

Leitbegriffe der heutigen Unterrichtsgestaltung sind ‚offener Unterricht’ und ‚entdeckendes Lernen’.

‚Offener Unterricht’ bedeutet, dass die Gleichschrittigkeit zu Gunsten individualisierter Lehrformen vor allem auf der Basis vielfältiger Organisationsformen aufgehoben ist. Wittmann kritisiert jedoch, dass es sich

¹⁰ Kühnel, Johannes: Neubau des Rechenunterrichts. S. 137. Zit. n.: Grassmann, Marianne: Entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht. S. 25.

¹¹ Vgl. ebd.. S. 11.

¹² Vgl. Sächsisches Staatsministerium für Kultus. Lehrplan Grundschule Mathematik. 2004.

¹³ Sächsisches Staatsministerium für Kultus, Lehrplan Grundschule Mathematik. 2004. S. VIII.

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dabei nur um eine äußere Offenheit handle und das Erscheinungsbild der Mathematik unverändert geblieben sei. 14

Weitaus mehr Veränderung erfährt der Mathematikunterricht durch das Konzept des ‚entdeckenden Lernens’. Charakteristische Merkmale, die diese Form des Unterrichts beschreiben, sind die aktive und selbstständige

Auseinandersetzung mit dem Lerngegenstand durch herausfordernde Aufgabenstellungen, das selbstständige Erarbeiten von Zusammenhängen, Regeln und Strukturen und der Erwerb von Wissen auf Grundlage von Einsicht. 15

Unabdingbar für diese Unterrichtkonzeption ist ein neues Aufgabenformat. Die Aufgaben müssen durch ihre Problemhaltigkeit Aufforderungscharakter haben, sie sollten einen experimentellen Zugang ermöglichen und Potential zur Diskussion und Argumentation bieten. In besonderer Weise eignen sich dafür mathematische Muster, denn „gerade die Auseinandersetzung mit arithmetischen Mustern kann einen Einblick in Zahlbeziehungen, Zusammenhänge und Gesetzmäßigkeiten in einem solchen Maß fördern, dass dies ein zentraler Baustein für die Entwicklung flexibler Rechenkompetenzen darstellt.“ 16

Der Lehrplan in Sachsen macht besonders für den Anfangsunterricht auf die Auseinandersetzung mit Mustern, als Basis zur Erschließung mathematischer Strukturen, aufmerksam und stellt damit klar, dass vor allem in diesem Altersbereich das grundverschiedene Vorwissen der Kinder produktiv zur Weiterentwicklung genutzt werden muss um langfristig Motivation aufzubauen. ¹⁷ Ein unumstößlicher Vorteil der aktiven Auseinandersetzung mit

mathematischen Mustern ist die Niveauoffenheit. Der Unterricht kann dadurch dem im Lehrplan geforderten Grundsatz der Differenzierung gerecht werden.

¹⁴ Vgl. Wittmann, Erich Ch.: Was ist Mathematik und welche pädagogische Bedeutung hat das wohlverstandene Fache auch für den Mathematikunterricht der Grundschule. S. 23.

¹⁵ Vgl. Grassmann, Marianne: Entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht. S. 24 - 25.

¹⁶ Rathgeb-Schnierer, Elisabeth: Kinder erforschen arithmetische Muster. S. 11.

¹⁷ Vgl. Sächsisches Staatsministerium für Kultus, Lehrplan Grundschule Mathematik. 2004. S. 2.

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Ein Beispiel für das Arbeiten mit Mustern wird im Kapitel 5.1.5 im Rahmen einer Freiarbeitsphase präsentiert.

Lässt man den Schülern die Zeit, sich kreativ mit Problemstellungen auseinanderzusetzen und eigene Ideen und Lösungen zu entwickeln bzw. Entdeckungen zu machen, dann wird man feststellen müssen, dass die Formalien wohl kaum standardgemäß eingehalten werden. Sowohl die Notation als auch die Verfahrensweise wird mitunter eher abenteuerlich anmuten. Wichtig ist es, die Kinder in der darauf folgenden Phase nicht dem Leerlauf zu überlassen, es müssen jetzt verbindliche Regeln auf Grundlage der mathematischen Prinzipien gefunden werden. Die Gefahr einer verfrühten oder zu starren Formalisierung besteht jedoch darin, dass die Kinder in ihrer Kreativität eingeschränkt werden und damit in gleichem Maße das entdeckende Lernen an Intensität verliert. Zudem wird die Mathematik verfälscht, da starre Verfahrensvorschriften das Wesen der Mathematik nicht repräsentieren können, denn bekanntermaßen ‚führen viele Wege nach Rom’. ¹⁸ Hier befindet sich ganz besonders der Grundschullehrer im Dilemma, da viele Formalisierungen den Schülern noch nicht bekannt sind, aber auch nur schrittweise eingeführt werden können. In wie weit sollte man mathematisch falsche Schreibweisen akzeptieren? Wann ist ein Einschreiten zwingend erforderlich?

3.2 Hilfsmittel: Der Abakus

Die Materialien, welche sich für das ‚entdeckende Lernen’ eignen, sind vielfältig. Mit dem Abakus soll ein technisches Hilfsmittel vorgestellt werden, „dem man in verschiedenen Formen in vielen Kulturen zu unterschiedlichen Zeiten begegnet.“ 19

¹⁸ Vgl. Wittmann, Erich Ch.: Was ist Mathematik und welche pädagogische Bedeutung hat das wohlverstandene Fache auch für den Mathematikunterricht der Grundschule. S. 33.

¹⁹ Müller, Gerhard N. / Steinbring, Heinz / Wittmann, Erich Ch. (Hrsg.): Arithmetik als Prozess. S. 147.

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Der eigentliche Ursprung ist nicht mit Sicherheit auszumachen, doch wahrscheinlich leitet sich das Wort Abakus vom phönizischen abak ab, was soviel bedeutet wie: auf eine Fläche gestreuter Sand zum Schreiben. ²⁰ „In seiner Grundform ist der Abakus ein Rechenbrett, auf dem man Zahlen darstellen und verrechnen konnte ...“ ²¹ . Dabei wird das Stellwertsystem anschaulich gemacht. „‚Rechnen’ hieß bei den Römern ‚calculos ponere’, wörtlich: Rechensteine setzen oder legen, oder auch ‚calculos subducere’, Rechensteine ziehen.“ ²² Das Rechenbrett besteht aus mehreren Spalten. Jeder Spalte ist ein bestimmter Stellenwert zugeordnet. Die Multiplikation des Stellenwerts mit der Anzahl der in der Spalte gelegten Steine und die Addition der jeweiligen Produkte ergibt die dargestellte Zahl. Beim römischen Abakus mit der Basis zehn, werden die Stellenwerte in einer Kopfzeile angegeben.

Eine Weiterentwicklung des römischen Abakus führte dazu, dass sich oberhalb der Kopfzeile eine weitere Zeile befand. Die Kugeln in diesem Bereich hatten einen Wert von fünf. Das verringerte die Kugeln insgesamt, da sich im unteren Abschnitt nur noch höchstens vier Kugeln befinden konnten.

²⁰ Wrightson, Benjamin: Der Abakus. Geschichte und Funktionsweise.

²¹ Müller, Gerhard N. / Steinbring, Heinz / Wittmann, Erich Ch. (Hrsg.): Arithmetik als Prozess. S. 147.

²² Ebd. S. 147-148.

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Um den alltäglichen Gebrauch zu vereinfachen, entwickelte man einen Handabakus. Diese handflächengroße Bronzetafel kann als frühe Form des Taschenrechners angesehen werden.

Bereits zur Zeit der Kreuzzüge (etwa zwischen 1095 und 1270 n. Ch.) verbreitete sich in Europa auch das algorithmische Rechnen mit arabischen Ziffern. Die Kirche stellte sich gegen diese neue Methode, da man bemüht war die eigene Kultur zur erhalten und zu verbreiten. Trotzdem setzten sich die „‚Algoristen’, jene, die mit Zifferndarstellungen im dezimalen Positionssystem schriftlich rechneten,“ ²³ allmählich durch. Diese Entwicklung ist auch an den Werken ADAM RIESes auszumachen. Nannte er sein erstes Rechenbuch 1518 noch ‚Rechnung auff der linihen’ und bezog sich damit ausschließlich auf das

²³ Müller, Gerhard N. / Steinbring, Heinz / Wittmann, Erich Ch. (Hrsg.): Arithmetik als Prozess. S. 150.

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Abakusrechnen, so lehrte er in seinem zweiten Buch ,Rechnung auff der linihen und federn...’ 1522 bereits beide Methoden des Rechnens.

Bis ins 18. Jahrhundert blieb der Abakus in Europa noch im Gebrauch. Erst zur Zeit der französischen Revolution wurde der Abakus an Schulen und in der Verwaltung verboten und verschwand daraufhin in Europa nahezu. ²⁴ Heute noch finden Formen des Abakus in Russland (stschoty), China (suan pan) und Japan (soroban) Verwendung im alltäglichen Gebrauch.

²⁴ Vgl. Wrightson, Benjamin: Der Abakus. Geschichte und Funktionsweise.

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Der Abakus, insbesondere der Schulabakus nach MICHAEL JOHANN, kann in der Grundschule einen ganz besonderen Beitrag leisten. Als anschauliches Material zum entdeckenden Lernen kann dem Abakus vor allem in der Arithmetik eine bedeutende Rolle zugesprochen werden. Deswegen hält er auch hierzulande wieder Einzug in den Mathematikunterricht.

Neben dem reinen Zahlverständnis, bietet er einen Zugang zum Verständnis des Stellenwertsystems und Rechenregeln, u.a. die Teilbarkeitsregeln, lassen sich sehr anschaulich darstellen. Der Schulabakus geht auf MICHAEL JOHANN zurück, der für die Grundschule eine stilisierte Form [siehe Abb. 8] des Abakus vorzieht und den methodischen Umgang mit diesem Material über Jahre, sowohl in einer Grundschule, als auch bei der Arbeit mit in ihrem Lernen beeinträchtigten Menschen getestet hat.

Er selbst schreibt dem Abakus eine katalysierende Wirkung zu, da er den Lernprozess beschleunigt und sich die Kinder nach der Phase der konkreten Operation erfolgreich davon lösen können. ²⁵ Darüber hinaus bietet das Abakusrechnen „für Lehrer und Schüler eine einfache und handlungsfeste Kommunikations- und Erklärungsbasis aller Rechenvorgänge“ ²⁶ . Er ermöglicht den Schülern das ‚Begreifen’ von Mathematik und fördert dadurch das entdeckende Lernen. Diese Eigenschaften führen dazu, dass dem Schulabakus in der vorliegenden Arbeit eine zentrale Bedeutung zukommt.

²⁵ Vgl. Johann, Michael: Die katalytische Funktion des Abakus beim Lernen des schriftlichen Rechnens.

²⁶ Johann, Michael / Matros, Norbert: Wechselspiele. Kreatives Rechnen am Schulabakus.

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