1. Thema der Reihe

„Viele Summanden“ - Förderung der geschickten Berechnung großer Summen mit vielen Summanden und des problemlösenden Denkens durch produktive Rechenaufgaben, bei deren Lösung Rechenvorteile durch geschicktes Zusammenfassen passender Summanden angewendet werden.

2. Thema der Einheit

„Die Gauß- Aufgabe“ - Aktiv- entdeckender Umgang mit der produktiven Gauß-Aufgabe „Berechne die Summe der Zahlen von 1 - 100“ zur Förderung des problemlösenden Denkens und des geschickten Rechnens durch Entdecken und Nutzen von Rechenvorteilen, unter besonderer Berücksichtigung verschiedener Rechenwege und Strategien.

3. Aufbau der Reihe

3.1 „Die Gauß- Aufgabe“ - Aktiv- entdeckender Umgang mit der produktiven Gauß- Aufgabe „Berechne die Summe der Zahlen von 1 bis 100“ zur Förderung des problemlösenden Denkens und des geschickten Rechnens durch Entdecken und Nutzen von Rechenvorteilen, unter besonderer Berücksichtigung verschiedener Rechenwege und Strategien. (45 min)

3.2 „Wie groß ist die Summe?“ - Übertragung, Erweiterung und Anwendung erarbeiteter Lösungsstrategien auf die Summenberechnung in anderen Zahlenräumen ( z.B. 101 bis 200). (45 min)

3.3 „Die Summe von 1 bis 1000“ - Die Erarbeitung der Lösung des Carl-Friedrich Gauß und die Anwendung der erlernten Rechenstrategien auf die Summenberechnung des Tausenderbuches. (45 min)

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4. Didaktische Strukturierung

4.1 Kernanliegen der Einheit

Durch aktiv- entdeckendes Lernen sollen sich die Schüler und Schülerinnen mit der Gauß- Aufgabe „Berechne die Summen der Zahlen von 1 bis 100“ auseinandersetzen, indem sie selbstständig nach Lösungswegen suchen und dabei Strukturen und Gesetzmäßigkeiten erkennen und nutzen, damit sie in ihrem mathematischen Problemlöseverhalten gefördert werden.

Arbeitsauftrag: Wie könnte Gauß wohl gerechnet haben? Versuche, möglichst geschickt alle Zahlen der 100er Tafel zu addieren.

Reflexionsauftrag: Wie bist du vorgegangen? Stelle deinen Lösungsweg vor.

4.2 Sachanalyse zur Einheit

Die „Gauß- Aufgabe“:

Die „Gauß-Aufgabe“ ist ein Beispiel für eine arithmetische Reihe. Allgemein versteht man unter einer arithmetischen Reihe die Summe von Zahlengliedern, die wiederum aus den Gliedern einer arithmetischen Folge entstehen. Bei einer arithmetischen Folge ist die Differenz zwischen zwei benachbarten Gliedern konstant, aber von Null verschieden. Beispielsweise bilden die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4 eine arithmetische Folge, bei der die Differenz 1 beträgt. Bei den Zahlen 22, 19, 16, 13, 10, 7 beträgt die Differenz -3. Um nun die Summe einer arithmetischen Reihe zu ermitteln, multipliziert man die Summe des ersten und des letzten Elements mit der halben Anzahl der Elemente. Folglich ergibt die Summe aus den ersten zehn natürlichen Zahlen (1 + 10) × (10 ÷ 2) = 55. 1

Bei der Berechnung von Summen mit vielen Summanden kommt es auf eine geschickte Unterteilung und Zusammenfassung von Summanden mit Hilfe des Assoziativ- und Kommutativgesetzes an. Mögliche Lösungswege der Kinder wären:

¹ Vgl.: "Arithmetische Reihe", Microsoft® Encarta® 99 Enzyklopädie. © 1993-1998 Microsoft Corporation. Alle Rechte vorbehalten.

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1. Lösungsweg: „Fortlaufendes Addieren aller Summanden“ Die Zahlen von 1 bis 100 werden nacheinander addiert.

2. Lösungsweg: „Zeile für Zeile“

Die Summe der Zahlen in der 1., 2., 3. usw. Zeile wird ausgerechnet.

1. Möglichkeit: Fortlaufendes Addieren (1+2+3+.......+10)

2. Möglichkeit: Immer zu 10 zusammenfassen

0 + 10 = 10 1 + 9 = 10 2 + 8 = 10 3 + 7 = 10 4 + 6 = 10 5 + 0 = 5

3. Möglichkeit: Immer zu 11 zusammenfassen

1 + 10 = 11 2 + 9 = 11 3 + 8 = 11 4 + 7 = 11 5 + 6 = 11

3. Lösungsweg: „Zehner extra, Einer extra“

In der Hundertertafel tritt jede der Zahlen 1, 2,…9 als Einer genau 10-mal auf. Der Betrag der Einer zur Summe ist somit 10 • 1 + 10 • 2 +...+ 10 • 9 = 450 Ebenso tritt jeder Zehner genau 10-mal auf. Daher ist die Summe aller Zehner das Zehnfache von 450, nämlich 4500. Endergebnis: 4500+ 450+ 100= 5050

4. Lösungsweg: „Spalte für Spalte“

Man berechnet die Teilsummen für die ersten zwei oder drei Spalten. Das Muster „Immer 10 mehr“ fällt auf und ist leicht zu erklären, da jeder Summand von Spalte zu Spalte um 1 anwächst. Um die Gauß-Aufgabe zu lösen, müssen nun noch die Ergebnisse addiert werden. Dabei kann man wieder geschickt rechnen.

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460 +470 + 480 + 490 + 500 + 510 + 520 + 530 + 540 + 550

Ergebnis: = 4 • 1000+ 500+ 550 = 5050

5. Lösungsweg: „Summengleiche Pärchen“- Der Weg des kleinen Gauß Die erste und die letzte, die zweite und die vorletzte Zahl usw. bilden nach dem Gesetz der Konstanz der Summe summengleiche Pärchen: 100+1=101, 2+99=101, 3+98=101... Da es 100 Zahlen gibt, gibt es 50 summengleiche Pärchen. Ergebnis: 50 • 101= 5050

Dieser Weg erlaubt es, das Endergebnis immer wieder schnell herzuleiten, wenn man es vergessen hat. 2

Sicher gibt es noch sehr viele andere Wege, um zur Lösung zu gelangen. Die hier dargestellten Möglichkeiten gehören - nach Müller/Wittmann - zu den häufig vorkommenden und wurden daher zur ausführlicheren Betrachtung gewählt.

4.3 Didaktische Analyse

In der ersten Einheit dieser Reihe steht das produktive Üben im Vordergrund, bei dem Denken und Rechnen nicht entkoppelt werden und die Lernwege der Kinder freigegeben werden. Die Schüler und Schülerinnen besitzen arithmetische Grundfertigkeiten und kennen die Struktur der Hundertertafel, so dass sie in der heutigen Stunde daran anknüpfen und weitere Entdeckungen an diesem Übungsformat machen können.

Diese Einheit lässt sich im Lehrplan dem Bereich der Arithmetik zuordnen. Die Zielsetzung besteht dabei in der Ausbildung von Verständnis, Sicherheit und Flexibilität im Umgang mit Zahlen und mit Rechenoperationen. ³ Die Schüler setzten sich in dieser Stunde aktiv - entdeckend mit der Gauß - Aufgabe „Berechne die Summe der Zahlen 1 - 100“ auseinander, um dadurch ihr problemlösendes Denken,

² Vgl.: Wittmann, E.CH.; Müller, G.N.: Das Zahlenbuch - Mathematik im 4. Schuljahr - Lehrerband. Leipzig, 2007. S. 204.

³ Vgl.: Lehrplan Mathematik. S. 75.

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