Das Maßproblem

Inhaltsverzeichnis

1.2  Die negative Antwort auf die Frage des Maßproblems  16

1.3  Lösungen des Maßproblems  36

2.1  Das Vorgehen im Beweis  58

2.2  Bekanntes der Forcingmethode  59

2.3  Das Modell  67

2.4  Schrittweise generische Erweiterung  77

2.5  Kodierung von Borelmengen  100

2.6  Die Rolle der Random Reals  109

2.7  ZF DC LM  123

3.1  Das Vorgehen im Beweis  133

3.2  Benötigtes Wissen über Bäume auf 2  136

3.3  Generische Bäume für Arme  139

3.4  Konstruktion des Forcing  157

3.5  ZF DC LM  180

4  Thesen Resümee und Anmerkungen  191

  Literatur  215

Zusammenfassung

Als sich Henri Lebesgue 1902 in seiner Doktorarbeit Gedanken über ein sinnvolles und praktisch einsetzbares Konzept eines Maßes machte, ahnte er nicht, welche Größe das Problem haben würde, an dem er sich versuchte. Er suchte nach einer Funktion, welche jeder Menge von reellen Zahlen einen rellen Wert zuordnete, den man das „Maß der Menge“ nennen konnte. Diese Funktion sollte positiv, abzählbar additiv und invariant unter längentreuen Abbildungen sein. Die Definition einer Maßfunktion mit diesen drei Eigenschaften, welche man als erwartbar ansah, schien auf den ersten Blick völlig natürlich und leicht durchführbar, stellte sich aber schon bald als schwere Aufgabe heraus, die vielleicht sogar unlösbar war.

In dieser Arbeit wird die Frage nach der Lösbarkeit des Maßproblems behandelt. Neben dem historischen Kontext stehen dabei hauptsächlich die beiden Ergebnisse im Vordergrund, welche diese Frage beantworteten. Wie sich zwischen 1970 und 1984 entgegen den Erwartungen vieler Mathematiker zeigte, ist es nicht möglich, in ZF + DC die Lebesguemessbarkeit aller Teilmengen der reellen Zahlen zu fordern, ohne auch die Konsistenz von ZFC mit der Existenz einer unerreichbaren Kardinalzahl einzugestehen. Da jedoch diese Existenz nach den Gödelschen Unvollständigkeitssätzen in ZFC nicht entscheidbar ist, bedeutet dies, dass man sich für die Existenz eines vollen Lebesguemaßes auf eine Theorie stützen muss, die echt stärker ist als die übliche Grundlage ZFC, nämlich ZFC + „Es existiert eine unerreichbare Kardinalzahl“.

Diese Arbeit ist in dreieinhalb Kapitel gegliedert. Das erste von ihnen gibt eine historische Einführung in die Problemstellung der Maßdefinition. Angefangen bei frühen Versuchen von Georg Cantor und Camille Jordan bis hin zur Definition von Herrn Lebesgue werden die Begriffe von Maß und Inhalt (in aller gebotenen Kürze) eingeführt. Die Unlösbarkeit des Maßproblems wird ausführlich an den historisch wichtigen Beispielen, wie der nicht lebesguemessbaren Menge von Giuseppe Vitali, dem Hausdorffschen Paradox und dem Banach-Tarski-Paradox, gezeigt. Des Weiteren werden die positiven Ergebnisse von Stefan Banach bei der Suche nach einem endlich additiven Maß auf dem R 1 und R 2 untersucht.

v

Es folgt eine Erörterung der Ursachen für die Existenz von nicht messbaren Mengen und das Auftreten der Paradoxe sowie einer möglichen Umgehung dieser Erscheinungen. Die beiden Hauptergebnisse sind hierbei die Definition der mittelbaren Gruppen durch Johann von Neumann und der messbaren Kardinalzahlen durch Alfred Tarski und Stanisław Ulam. Da alle Betrachtungen bis dahin auf wesentliche Weise das Auswahlaxiom einsetzen, liegt es nahe, den Versuch zu unternehmen, möglichst darauf zu verzichten, um vielleicht auf diese Weise die Existenz nicht lebesguemessbarer Mengen zu verhindern. Der Schluss des ersten Kapitels dient als Motivation dieses Unterfangens und beleuchtet dabei die Historie des Auswahlaxioms bis hin zu der Erkenntnis seiner Unabhängigkeit von ZF.

Im zweiten Kapitel wird Robert Solovays Beweis für die relative Konsistenz eines vollen Lebesguemaßes in ZF + DC bezüglich der Theorie ZFC + „Es existiert eine unerreichbare Kardinalzahl“ untersucht. In einem Modell M von ZFC, in dem es eine unerreichbare Kardinalzahl Ω gibt, lässt sich mit der Forcing-Halbordnung

P Ω := {f : Ω×ω → Ω : dom(f ) ist endlich, f (α, n) < α für α, n ∈ dom(f )}

ein Modell N erzwingen, in dem schon ℵ 1 unerreichbar ist. Dies hat zur Folge, dass die Menge aller Random Reals über M das Maß 1 hat und damit jede M-R-definierbare Teilmenge der reellen Zahlen lebesguemessbar wird. In dem Modell HOD(N ) der erblich durch eine Folge von Ordinalzahlen definierbaren Mengen über N sind dies aber schon alle Mengen von reellen Zahlen. Damit ist HOD(N ) ein Modell von ZF + DC, in dem jede Menge von reellen Zahlen lebesguemessbar ist.

Kapitel 3 behandelt die von Saharon Shelah gefundene Umkehrung dieses Ergebnisses in einer erstaunlichen Verschärfung. Schon wenn alle Σ 1

reellen Zahlen lebesguemessbar sind, ist die Kardinalzahl ℵ V 1 in L unerreichbar.

Bei der gegenteiligen Annahme gibt es nämlich eine reelle Zahl a ∗ , für die gilt, L[a ∗ ] = ℵ V 1 . In L[a ∗ ] lässt sich dann eine Forcing-Halbordnung definieren, dass ℵ

1

welche zwei disjunkte Σ 1 Lebesguenullmenge enthalten sind, jedoch beide das äußere Maß 1 besitzen. Diese Mengen werden aus den Zweigen bestimmter Bäume über 2 bestehen, welche so konstruiert sind, dass sie gewisse Lebesguenullmengen nicht schneiden. Die Existenz der beiden Mengen widerspricht dann der Σ 1 3 -Messbarkeit.

vi

Als Abschluss der Arbeit werden im vierten halben Kapitel die Ergebnisse in den Kontext der klassischen Regularitätseigenschaften von Teilmengen der reellen Zahlen eingeordnet und die Konsistenzstärke der Existenz eines vollen Lebesguemaßes mit der Konsistenzstärke der Existenz allgemeinerer Maße verglichen.

vii

Kapitel 1

Einleitung - Die Geschichte des

Maßproblems

1.1 Die Begriffe Maß und Inhalt

Auf der Suche nach den Anfängen maßtheoretischer Untersuchungen in der Mathematik Europas lässt sich weit in der Geschichte zurückgehen. Obwohl es ältere Überlieferungen von Methoden zur Bestimmung von Längen, Flächen und Volumina gibt, ist, nicht zuletzt wegen der vergleichsweise reichhaltigen Quellenlage, die griechische Mathematik besonders erwähnenswert. 1 Eine vom mathematischen Standpunkt hervorstechende Person aus dieser Epoche ist Archimedes (3. Jhd. v. Chr.), von welchem zahlreiche, für die μαθηματ ικ´ η wertvolle Theoreme überliefert sind. 2 Doch obwohl Archimedes die Aussagemöglichkeiten der seinerzeit bekannten Methoden, wie beispielsweise das Exhaustionsverfahren, welches der Idee moderner Integration schon sehr nahe kommt, 3 zur Berechnung geometrischer Größen von Figuren intensiv anwandte, war auch er letztlich an endliche Methoden im dreidimensionalen Euklidischen Raum gebunden.

1 Hier seien mit [Fow 1987] und [Ge 1984] zwei Bücher genannt, die sowohl einen profunden Einblick in die antiken Methoden gewähren als auch über ausführliche Quellenangaben

und eine reichhaltige Bibliographie vertiefender Literatur verfügen.

2 Ein umfassendes Werk, welches die von Archimedes überlieferten Beweise erläutert, ist

[Dij 1938]. Zudem enthält es (in der genannten Reprintversion) Angaben zu weiterer Literatur zu Archimedes bis 1987.

3 Beim Exhaustionsverfahren wird der Inhalt einer geometrischen Figur, beispielsweise die

Fläche, die von einer Kurve im R 2 eingeschlossen wird, durch immer feinere Unterteilung in Mengen, deren Inhalt bekannt ist, ausgeschöpft, so dass man den Wert des Inhalts der Figur

beliebig genau annähern kann.

9

10 Abschnitt 1.1. Maß und Inhalt

Die Existenz des Inhalts, das heißt Volumen- und Flächeninhalt, von Figuren oder Teilen von ihnen, sowie die Länge von Kurven wurde nicht in Frage gestellt, sondern man versuchte, diesen Inhalt für eine möglichst umfassende Zahl an geometrischen Objekten zu errechnen und die dafür gefundenen Lösungen zueinander in Relation zu setzen: „Der Rauminhalt eines geraden Kreiskegels ist ein Drittel des Rauminhalts des ihn umschreibenden Zylinders derselben Höhe.“ Nach dem Ende der Antike gingen zusammen mit der griechischen Kultur auch die griechischen Traditionen in der Mathematik unter, doch selbst nach ihrer Wiederentdeckung und der Rückbesinnung auf das griechische Wissen wurden die Grenzen der Maßbestimmung lange nicht überschritten. Erst mit der Entwicklung der Analysis und ihrer mathematischen Werkzeuge während des 17.,

18. und 19. Jahrhunderts änderte sich dies. Einerseits wuchsen das Interesse

an reellen Funktionen und die Ausarbeitung ihrer Theorie sehr schnell, andererseits sorgte die zunächst nur technische Hilfestellung von Räumen höherer Dimension als 3 für eine Fülle neuer Fragen in diesem Gebiet. 4 Dabei waren schließlich die Ausarbeitungen Ueber unendliche lineare Punktmannichfaltigkeiten von Georg Cantor zur Begründung der Mengenlehre, die im späten 19. Jahrhundert erschienen, von besonderer Wichtigkeit. Herr Can-tor definiert und untersucht in dieser Arbeit viele nützliche Eigenschaften von Mengen, welche auch heute noch zu den Grundlagen der modernen Mathematik, zum Beispiel in der Analysis, in der Topologie oder in der Theorie der Funktionenräume, zählen. Aber nicht alle seine Ergebnisse aus den Punktmannichfaltigkeiten stießen auf eine solche Akzeptanz. Besonders Herrn Cantors Idee der Ordinalzahlen und der damit verbundenen Unterscheidung von unendlichen Mächtigkeiten verschiedener Größe wurde von vielen seiner Zeitgenossen aufgrund ihrer scheinbaren Widersprüchlichkeit und aufgrund persönlicher, oft philosophisch motivierter Auffassungen von Unendlichkeit abgelehnt. 5 Im 6.Teil der Punktmannichfaltigkeiten erklärt Herr Cantor einen Inhaltsbegriff für Mengen in Euklidischen Räumen beliebiger endlicher Dimension. 6

4 Diese sehr knappe Abhandlung der Mathematik des Mittelalters und der Zeit der Renaissance wird den dort erbrachten wissenschaftlichen Leistungen in keiner Weise gerecht.

[Dei 2007], S. 61-71, enthält eine etwas ausführlichere Darstellung der geschichtlichen Fakten und Literatur hierzu.

5 vgl. [Mo 1983] S. 129-140. Herr Moore legt dort sehr ausführlich die Ablehnung dar, die Herrn Cantors Arbeit zum Beispiel in Frankreich erfuhr.

6 vgl. [Ca 1883], S. 473-479. Integralrechnung wurde schon weit früher betrieben. Bereits während des 17. Jahrhunderts waren Gottfried Leibnitz und Isaac Newton die grundlegen-

Kapitel 1. Einleitung

Dafür umschreibt man für ein festes ε > 0 jeden Punkt einer zu messenden beschränkten Menge A mit einem Kreis mit Radius ε und wählt eine endliche Anzahl dieser Kreise, deren Vereinigung die Menge A überdecken. Der Inhalt dieser Überdeckung lässt sich mit dem Riemannschen Integral messen. Als

Inhalt von A wird dann der Grenzwert dieser Integrale für ε → 0 definiert. Diese äußere Annäherung misst, wie Herr Cantor zeigt, die größte perfekte

Teilmenge einer solchen Menge A, also den Limes A ihrer Ableitungen. Der Ansatz ist es, den Inhalt von Mengen über ein geeignetes Integral zu definieren und die charakteristische Funktion f A der zu messenden Menge A,

das heißt f A (x) = 1, wenn x ∈ A und 0 sonst, zu integrieren. Es wurde dafür die Integraldefinition Bernhard Riemanns verwendet. Über die bekannte Konstruktion des Limes der Riemannschen Summen n

für Stützstellen x i , legt man das Integral zunächst für beliebige Funktionen f fest und untersucht, welche Funktionen f zu den integrierbaren gezählt werden können, das heißt, für welche f das Integral wohldefiniert ist. 7 Herrn Cantors Herangehensweise von außen war jedoch noch nicht ausreichend, da sie eine Annäherung des Inhalts von innen unberücksichtigt ließ, deren Notwendigkeit schnell erkannt wurde. 8 Zudem versuchte man, bei der Konstruktion von Inhalt und Integral den umgekehrten Weg zu gehen und die Definition eines Integrals auf einen geeigneten Inhalt zurückzuführen.

Giuseppe Peano und Camille Jordan entwickelten unabhängig voneinander den Inhaltsbegriff weiter und stellten die Forderung nach der Messbarkeit von Mengen auf. Eine Menge sollte messbar sein, wenn sowohl ihr innerer Inhalt als auch ihr äußerer Inhalt existierten und miteinander übereinstimmten. 9 Dafür sei der R n , n ≥ 1, mit einem orthogonalen Würfelgitter der Maschenweite ε > 0 überzogen. Einem n-dimensionalen Würfel W n,ε kommt der elementare Inhalt μ ∗

ε = ε n zu.

den Rechenregeln der Integration bekannt. Ein erster Versuch der formalen Definition des

Integrals im Jahr 1823 geht auf Augustin Cauchy zurück. Vgl. hierfür auch [Dei 2007],

S. 61-71.

7 vgl. [Rie 1867] für die Definition des Riemannschen Integrals. Zitiert nach [Dei 2007].

8 vgl. [Jo 1892], S. 70. In der Tat ist es mit dem Inhalt von Herrn Cantor nicht möglich

festzustellen, ob der Abschluss cl(A) einer Menge A einen echt größeren Inhalt besitzt, als

ihr Inneres int(A), wie zum Beispiel bei den Inhalten von (0, 1) und (0, 1) ∩ Q.

9 vgl. dafür zum Beispiel [Pe 1887], S. 152-187, [Ke 1973], S. 67-74 und [Jo 1892],

S. 77-79.

12 Abschnitt 1.1. Maß und Inhalt

Für A ∈ R n betrachte sowohl

ε = μ ∗

ε · |{W n,ε : W n,ε ⊆ A}|

I i

als auch

ε = μ ∗ ε · |{W n,ε : ∃x ∈ cl(A) x ∈ W n,ε }|.

I e

Mit ε → 0 konvergiert dann I i

äußeren Inhalt I e .

Der Peano-Jordansche Inhalt hat durch diese Definition die Eigenschaft, dass der Inhalt einer Menge A mit dem Riemannintegral der charakteristischen Funktion von A übereinstimmt, weshalb er sich für das eigentliche Ziel, die Definition eines Integrals über messbaren Mengen, gut eignet. Da man aber bald an die Grenzen der Riemannintegrierbarkeit stieß, wurde ein stärkerer Integralbegriff nötig. So stellte sich heraus, dass auch der Peano-Jordan-Inhalt als Maßfunktion nur eingeschränkt brauchbar war, weil er im Allgemeinen nicht σ-additiv ist. Eine σ-additive Funktion μ verhält sich streng additiv auch für abzählbar große Vereinigungen. Das heißt, wenn (A i ) i<ω eine Familie paarweise disjunkter Teilmengen ist, so gilt

Dies erfüllt der Peano-Jordan-Inhalt nur bedingt. Betrachtet man für eine Peano-Jordan-messbare Menge A eine abzählbare Partition (A i ) i<ω Peano-Jordan-messbarer Mengen von ihr, so ist der Inhalt σ-additiv bezüglich dieser Zerlegung. Das System aller Peano-Jordan-messbaren Mengen ist aber nicht abgeschlossen unter abzählbaren Vereinigungen, weil der Inhalt, und damit die Messbarkeit, über endliche Überdeckungen der zu messenden Menge definiert ist. 10 Deswegen kann man nicht von einer σ-Additivität des Inhalts sprechen. Aus diesem Grund versuchte Émile Borel 1898 in Leçons sur la Théorie des Fonctions die Idee eines Maßes auf ein System von messbaren Mengen zu übertragen, welches auch sämtliche abzählbaren Vereinigungen seiner Elemente enthalten sollte. 11 Dafür definierte Herr Borel das Maß für alle Intervalle des R 1 ,

10 Zum Beispiel ist der Peano-Jordan-Inhalt jedes Singletons {p}, p ∈ R, Null, aber die

Menge (0, 1) ∩ Q ist nicht Peano-Jordan-messbar.

11 vgl. [Bo 1898], S. 46-50. Die Definition lässt sich ohne Einschränkung auf den R n , n ≥ 1, übertragen.

  Kapitel 1 Einleitung  13

  für deren Komplemente und für alle disjunkten und höchstens abzählbaren  

  Vereinigungen dieser Intervalle Er erweiterte damit den Peano-Jordanschen  

  Inhaltsbegriff auf die σ-Algebra der Borelschen Mengen das heißt aller Men  

  gen die durch höchstens abzählbar oft wiederholte Bildung von Komplementen  

  und abzählbaren Vereinigungen aus dem System der offenen Mengen entstehen  

  Allerdings ging er in seinen Ausführungen nicht auf die genaue Konstruktion  

  der Maßfunktion ein  

  Kurz nachdem Herr Borel seine maßtheoretischen Ideen veröffentlichte stellte  

  Henri Lebesgue 1902 in seiner Doktorarbeit Intégrale longueur aire das fol  

  gende Problem auf:  12

  Jeder beschränkten reellen Funktion f auf einem Intervall (a b) a b R soll  

  b  

  a f (x)dx zugeordnet werden so dass  

  eine reelle Zahl  

  (1) Für h R ist  

  b b h  

  f (x)dx f (x h)dx  

  a a h  

  (2) Für c R ist  

  b c a  

  f (x)dx f (x)dx f (x)dx  0

  a b c  

  (3)  

  b b b  

  (f (x) g(x))dx f (x)dx  

  g(x)dx  

  a a a  

  (4) Für a b und f 0 ist  

  b  

  f (x)dx  0

  a  

  (5)  

  1  

1dx   1

  0  

  (6) Für lim n f n (x) f (x) ist  

  b b  

  f n (x)dx f (x)dx  

  lim n  

  a a  

12  Für die vorliegende Arbeit wurde Herrn Lebesgues Buch Le 1904 verwendet Die  

  Präsentation von Integral und Maßproblem basiert auf der Darstellung auf den Seiten  

105-121  der zweiten Ausgabe von  1928

14 Abschnitt 1.1. Maß und Inhalt

Während die bisherigen Integralbegriffe die Eigenschaften (1)-(5) normalerweise in sich vereinten, betrachtete Herr Lebesgue es als bislang offene Frage, ob die Eigenschaft (6) des Integralproblems mit ihnen kompatibel wäre. Obwohl er die Unabhängigkeit dieser Eigenschaft von den übrigen fünf in Erwägung zog, versuchte Herr Lebesgue zu zeigen, dass sie sich zumindest nicht gegenseitig ausschlossen. Um einen Integralbegriff mit den Eigenschaften (1)-(6) zu konstruieren, definiert er für eine beschränkte reelle Funktion f (x) je eine von unten und von oben beschränkende Treppenfunktion wie folgt: Sei ε > 0 und die Werte von f vollständig in dem Intervall (l, L) enthalten. Man unterteile (l, L) in endlich viele, disjunkte Teilintervalle [l i , l i+1 ), 0 ≤ i ≤ n − 1, wobei l 0 = l und l n = L und definiere für 0 ≤ i ≤ n − 1

ψ i (x) := 1, wenn f (x) ∈ [l i , l i+1 ) und 0 sonst,

Ψ i+1 (x) := 1, wenn f (x) ∈ (l i , l i+1 ] und 0 sonst.

Offenbar gilt dann für diese obere und untere Annäherung von f , dass n−1 n−1

φ(x) :=

Wenn sich nun für φ(x) und Φ(x) je ein Integral in Abhängigkeit von ε, also ε (f (x)) und ein oberes Integral I o ε (f (x)), definieren lässt, ein unteres Integral I u und wenn für ε → 0 sowohl der Limes des Integrals von φ(x) als auch der Limes des Integrals von Φ(x) existiert und diese beiden Grenzwerte übereinstimmen, so soll f lebesgueintegrierbar heißen und b

sein. Damit das untere und das obere Integral existieren, benötigt man also einen geeigneten Integralbegriff für die Funktionen ψ i (x) und Ψ i+1 (x), das heißt für die charakteristischen Funktionen gewisser Mengen. Dies bedeutet aber nichts anderes, als dass man diese Mengen messen können muss. Um das Integralproblem zu lösen, war also die Definition eines Maßes erforderlich. Folglich stellte Herr Lebesgue parallel zum Integralproblem das Maßproblem auf:

Kapitel 1. Einleitung

Jeder beschränkten Menge A ⊆ R von reellen Zahlen soll eine nicht-negative reelle Zahl μ(A) zugeordnet werden, so dass

(1) Sind A und B kongruente Mengen, so gilt

μ(A) = μ(B).

A und B heißen kongruent, wenn es eine Isometrie ϕ : A → B gibt.

(2) Sind (A i ) i<ω paarweise disjunkte Mengen, so gilt

(3)

μ((0, 1)) = 1.

Um insbesondere die Bedingung (6) des Integralproblems zu erfüllen, musste das Maß σ-additiv sein. Die Konstruktion des Lebesguemaßes erfolgt über ein inneres und ein äußeres Maß. Das äußere Maß μ e einer Menge A definiert Herr Lebesgue als das Infimum aller Summen der Längen von beliebigen abzählbaren Familien von Intervallen, die A überdecken, und das innere Maß μ i als das äußere Maß des Komplements von A. A heißt lebesguemessbar und hat das Maß μ(A), wenn inneres und äußeres Maß existieren und übereinstimmen: μ e (A) = μ i (A) = μ(A).

Auf diese Weise ist sofort ersichtlich, dass jede Peano-Jordan-messbare Menge auch lebesguemessbar ist. Weiterhin bilden die lebesguemessbaren Mengen eine σ-Algebra, welche mit derjenigen der Borelschen Mengen übereinstimmt. Das heißt, dass das Komplement jeder messbaren Menge wieder messbar ist und dass die Vereinigung von endlich oder abzählbar vielen messbaren Mengen ebenfalls eine lebesguemessbare Menge ist. 13

13 vgl. [Le 1902] und [Le 1904], Kapitel VII. Herr Lebesgues stellt dort das Integral- und das Maßproblem auf und definiert das Lebesguemaß.

16 Abschnitt 1.2. Unlösbarkeit des Maßproblems

Damit seien für eine gegebene Unterteilung l = l 0 < l 1 < · · · < l n = L mit Feinheit ε > 0 n−1

und damit das Lebesgueintegral

ε (f (x)) für ε → 0 definiert. Die Definitionen von Maß und Integral aus

und I o dem R 1 übertragen sich auf analoge Weise auf die Räume R n , für n ≥ 2. Leider gelang es Herrn Lebesgue nicht, zu zeigen, dass die Menge der lebesguemessbaren Mengen schon alle möglichen Teilmengen der reellen Zahlen umfasst. 14 Somit erklärte er das Maßproblem und damit auch das Integralproblem für ungelöst.

1.2 Die negative Antwort auf die Frage des Maßpro-

blems

Schon kurze Zeit nachdem Herr Lebesgue das Maßproblem aufstellte, wurde es gelöst. Giuseppe Vitali bewies 1905, dass es, wenn die Benutzung des Auswahlaxioms zugelassen ist, also gewissermaßen mit den argumentativen Standards der Zeit, nicht möglich ist, eine Maßfunktion für alle Teilmengen

reeller Zahlen A ⊆ R zu definieren, welche translationsinvariant, σ-additiv und positiv ist. Herr Vitali zeigte, dass ein vollständiges Repräsentantensystem der Äquivalenzrelation, unter welcher alle jene reellen Zahlen äquivalent sind, die sich durch Addition einer rationalen Zahl auseinander bilden lassen, eine nicht lebesguemessbare Menge sein musste. 15

Theorem 1.2.1 (Vitali, 1905).

Es gibt eine Teilmenge G ⊆ R 1 , die nicht messbar ist bezüglich eines Maßes, welches den Bedingungen des Maßproblems genügt.

14 vgl. [Le 1904], S. 114, Fußnote ( 1 ). In dieser Fußnote aus der zweiten Edition des Buchs

geht Herr Lebesgue auf die Existenz der nicht lebesguemessbaren Mengen ein.

15 vgl. [Vi 1905]. Die Veröffentlichung in Opere ist zitiert nach [Cha 2002].

Kapitel 1. Einleitung

Sei ∼ V die folgende Äquivalenzrelation: Es gelte für zwei reelle Zahlen r, s ∈ R r ∼ V s ⇔ ∃q ∈ Q (r = s + q).

Es wird nun ein vollständiges Repräsentantensystem ausgewählt. Sei

A r = {s ∈ R : s ∼ V r}

die Äquivalenzklasse einer reellen Zahl r unter ∼ V . Für s = r gilt

A s = A r oder A s ∩ A r = ∅.

Das ist leicht zu sehen, denn angenommen es sei t ∈ A s ∩A r . Dann existiert für ein beliebiges Element s 1 ∈ A s eine rationale Zahl q 1 , so dass t = s 1 +q 1 ist, und gleichzeitig eine rationale Zahl q 2 , so dass t = r+q 2 ist. Dann ist q = q 2 −q 1 ∈ Q und s 1 = r + q, also liegt s 1 in A r und es gilt A s ⊆ A r . Umgekehrt funktioniert das Argument ebenso, daher sind die Äquivalenzklassen von s und r identisch. Wähle nun aus jedem A r einen Repräsentanten α ∈ (0, 1

2 ) aus und benenne das vollständige Repräsentantensystem von ∼ V als

1

G := {α ∈ (0,

2

Zur Auswahl des Repräsentantensystems verwendet Herr Vitali ausdrücklich das Auswahlaxiom. In der Tat zielt sein Beweis darauf ab, zu zeigen, dass unter Verwendung von AC das Maßproblem nicht lösbar ist. Er äußert sich jedoch nicht wertend in Bezug auf das Auswahlaxiom, sondern überlässt die Diskussion seinen Zeitgenossen. 16 Um zu zeigen, dass die Menge G nicht lebesguemessbar ist, genügt eine kurze Untersuchung. Sei für p ∈ Q

G p := {α + p : α ∈ G}

eine Verschiebung von G um p. Seien p, q ∈ Q mit p = q. Dann gilt

G p ∩ G q = ∅.

16 Der letzte Abschnitt von [Vi 1905] auf S. 5 geht hierauf ein. Herr Vitali stellt dort fest, dass sein Beweis von der Existenz des vollständigen Repräsentantensystems G abhängt.

Dieses lässt sich durch eine Wohlordnung der reellen Zahlen rechtfertigen, welche durch AC ermöglicht wird.

18 Abschnitt 1.2. Unlösbarkeit des Maßproblems

Dies ist klar. Angenommen die beiden Mengen hätten ein gemeinsames Ele-

ment β ∗ . Da β ∗ in genau einer Äquivalenzklasse liegt, gibt es auch ein α ∈ G, so dass α + p = β ∗ = α + q ist und damit p = q. Ein Widerspruch. Außerdem gilt für alle p ∈ Q, dass alle Mengen G p dasselbe Lebesguemaß μ besitzen:

μ(G p ) = μ(G 0 ) = μ(G),

da es sich nur um Translationen, also Isometrien, der Menge G handelt. Schließlich ist auch klar, dass die Vereinigung aller Mengen G p alle reellen Zahlen p∈Q G p = R.

umfasst,

Betrachte nun die Folge der Mengen G 0 , G 1 Folge (G 1 ) n≥2 , welche zusätzlich das erste Element G 0 = G hat. Wie gerade

n

festgestellt, haben alle Glieder dieser Folge dasselbe Lebesguemaß. G selbst

liegt nach Wahl vollständig im Intervall (0, 1 2 ), und da die restlichen Folgen-

glieder Verschiebungen von G um höchstens 1 vollständig im Intervall [0, 1]. Insbesondere gilt für ihre Vereinigung wegen der σ-Additivität des Lebesguemaßes

1 ≥ μ(G 0 ∪

)

Dies ist aber nur möglich, wenn μ(G 0 ) = 0 ist. Dann folgt, da Q abzählbar ist, wieder durch σ-Additivität, dass

1 < μ(R)

was ein Widerspruch ist. Also kann G keine messbare Menge sein.

Kapitel 1. Einleitung

Leider erhielt dieses Ergebnis in dem Jahr, in dem es erschien, nur wenig Aufmerksamkeit, denn es wurde nur in kleiner Auflage von Herrn Vitali selbst in Bologna herausgegeben. 17 Trotzdem war es Herrn Lebesgue bekannt, denn in seiner Arbeit von 1907, in der er selbst eine mit seinem Maß nicht messbare Menge konstruiert, erwähnt er es bereits als ein frühes Beispiel. Aufgrund der Verwendung des Auswahlaxioms erkannte Herr Lebesgue die gefundenen nicht messbaren Mengen jedoch nicht als gültige Konstruktionen an und bezweifelte ihre Existenz, im konstruktivistischen Sinne, stark. 18 1914 erschien Felix Hausdorffs Buch Die Grundzüge der Mengenlehre, in welchem er ein Kapitel der Diskussion des Maßproblems widmet. Die Ergebnisse seiner Untersuchungen, die Herr Hausdorff bereits kurz vor Erscheinen der Grundzüge in den Mathematischen Annalen veröffentlichte, 19 zeigten die wahre Tragweite des Problems. Neben einem Beweis für die generelle Unlösbarkeit des Problems für σ-additive Maße auf R n für alle n ≥ 1, beweist Herr Hausdorff auch die Nicht-Existenz eines endlich-additiven Maßes für n ≥ 3, sollte die Verwendung des Auswahlaxioms erlaubt sein.

Zuerst lässt sich das Resultat von Herrn Vitali verallgemeinern und zeigen, dass eine Lösung des Maßproblems für den R n+1 auch eine Lösung für den R n liefert. Das Maß μ n einer Menge A n ⊆ R n kann man nämlich definieren als

μ n (A n ) = μ n+1 (A n+1 ),

wobei A n+1 = A n × [0, 1] ⊆ R n+1 und μ n+1 das gegebene Maß auf R n+1 ist. Für die Unlösbarkeit des σ-additiven Maßproblems im R 1 , und damit für den

R n für alle n ≥ 1, gibt Herr Hausdorff ein Beispiel auf der Sphäre S 1 ⊆ R 2 an

und beschreibt dann jene Kugelzerlegung, die unter dem Namen „Hausdorffs Paradox“ bekannt wurde.

Es handelt sich um die Konstruktion von speziellen Rotationen von Punkten

der Sphäre S 2 ⊆ R 3 , welche eine Darstellung von S 2 als disjunkte Vereinigung

A ∪ B ∪ C ∪ Q ermöglichen. Für diese Zerlegung gilt unter einem Maß, welches

den Anforderungen von Invarianz unter Bewegungen von SO

3 , Positivität und endlicher Additivität genügt, dass Q eine Nullmenge ist und A jeweils kon-

gruent zu B, C und B ∪ C ist (SO

n ⊆ SO n bezeichnet die Untergruppe von Bewegungen in der n − 1-dimensionalen Sphäre des R n ).

17 vgl. [Cha 2002], S. 12. Herr Chatterji bemerkt beispielsweise, dass Felix Hausdorff zu

dem Zeitpunkt, als er ein eigenes Beispiel einer nicht lebesguemessbaren Menge fand, Herrn

Vitalis Arbeit noch nicht kannte.

18 vgl. [Mo 1983], S. 141.

19 vgl. [Hau 1914a].

20 Abschnitt 1.2. Unlösbarkeit des Maßproblems

Theorem 1.2.2 (Hausdorff, 1914).

Weder auf der Sphäre S 2 ⊆ R 3 , noch auf dem R n , n ≥ 3, gibt es eine isometrieinvariante, positive und endlich-additive Maßfunktion.

Dafür betrachte man Drehungen um eine Achse der Sphäre, zum einen solche um φ = π, also um die Hälfte eines Äquators der Sphäre, und zum anderen solche um ψ = 2

3 π, also um ein Drittel eines Äquators der Sphäre.

Die dadurch entstehende Bewegungsgruppe

G = G(φ, ψ)

kann für höchstens abzählbar viele Werte des Winkels ϑ zwischen den beiden Drehachsen von φ und ψ solche Bewegungen erzeugen, die einen Punkt der

Kugel x ∈ S 2 wieder auf sich selbst zurückführen. Nach Ausschluss all dieser Werte durch geeignete Wahl von ϑ als transzendente Zahl (mit Hilfe von AC) besitzt jede Bewegung von G (bis auf das Element 1) genau zwei Fixpunkte, nämlich die Punkte von S 2 , welche genau auf der jeweiligen Drehachse der Bewegung liegen. Da G selbst abzählbar ist, wähle Q als die abzählbare Menge

dieser Durchstoßpunkte aller Elemente von G und schreibe S 2 = P ∪ Q.

P hat unter G, abgesehen vom Element 1 ∈ G, keine Fixpunkte. Q ist eine

Nullmenge. Dies sieht man, indem man Q durch eine Drehung, die von allen Elementen von G verschieden ist und deren Drehwinkel auch kein Vielfaches irgendeines Abstands zweier Punkte von Q ist (AC), in eine kongruente, zu Q disjunkte Menge Q 1 überführt. Diese ist eine Teilmenge von P und hat damit ein Maß, welches kleiner oder gleich dem Maß von P ist. Damit ist klar, dass P

selbst ein positives Maß haben muss, denn sonst wäre μ(S 2 ) = μ(P )+μ(Q) = 0.

Q ∪ Q 1 ist wieder abzählbar und es lässt sich induktiv für jedes n ∈ ω eine zu

Q kongruente Teilmenge Q n ⊆ P finden, die zu Q ∪ Q 1 ∪· · ·∪Q n−1 disjunkt ist

(die Wahl der Drehung wird nur von abzählbar vielen Parametern beeinflusst). Damit und mit den Eigenschaften eines endlich-additiven Maßes gilt für jede natürliche Zahl n, dass μ(P ) ≥ n · μ(Q).

Kapitel 1. Einleitung

Da μ(P ) > 0, muss Q eine Nullmenge sein. Nun lässt sich die Unterteilung von

P in die Mengen A, B und C angeben. Dafür sei für einen Punkt x ∈ P die

Menge

P x := {y : ∃g ∈ G (y = g(x))}

die Menge aller Transformationen von x unter G. Nach Konstruktion sind alle Punkte in P x paarweise voneinander verschieden und P x ist abzählbar.

Für x = y sind außerdem P x und P y disjunkt oder schon gleich. Denn falls

P x einen Punkt z von P y enthält, dann geht dieser durch irgendein Element

von G aus x hervor. Da man aber über G aus z auch jeden beliebigen anderen Punkt von P y erhalten kann, liegen diese Punkte ebenfalls alle in P x . Umgekehrt funktioniert das Argument genauso.

Nun wählt man mit dem Auswahlaxiom aus jedem P x einen Punkt aus, so dass die gewählte Menge ein vollständiges Repräsentantensystem der Äquivalenzrelation, die zwei Elemente als äquivalent betrachtet, wenn sie durch ein

g ∈ G auseinander hervorgehen, bildet. Dieses Repräsentantensystem soll mit

M bezeichnet werden. Sei für eine Menge A von reellen Punkten im Raum und

ein Element g ∈ G g(A) := {g(a) : a ∈ A}. Dann gilt mit dieser Notation, dass

Dies ist klar, denn jeder Punkt von P liegt in einer der Mengen P x und somit

für ein geeignetes g ∈ G in g(M ). Offenbar beweist M die Nichtexistenz eines σ-additiven Maßes. Es soll aber schon ein endlich-additives Maß ausgeschlossen werden.

Die Mengen A, B und C werden induktiv über die Erzeuger von G definiert.

Dies ist ohne Widerspruch möglich, da die Mengen g(M ) paarweise disjunkt sind. Zuerst gehöre M selbst vollständig zu der Menge A. Ist ein x ∈ P schon einer der drei Mengen A, B oder C zugeordnet, gelte für seine Transformationen mit den Erzeugern von G das Folgende:

• x ∈ A ⇒ φ(x) ∈ B x ∈ B ⇒ φ(x) ∈ A x ∈ C ⇒ φ(x) ∈ A .

• x ∈ A ⇒ ψ(x) ∈ B ∧ ψ 2 (x) ∈ C x ∈ B ⇒ ψ(x) ∈ C ∧ ψ 2 (x) ∈ A x ∈ C ⇒ ψ(x) ∈ A ∧ ψ 2 (x) ∈ B .

22 Abschnitt 1.2. Unlösbarkeit des Maßproblems

Auf diese Weise ist sichergestellt, dass für ein x ∈ P jeweils einer der beiden Punkte x und φ(x) in A und der andere in B ∪C liegt und dass jeweils einer der drei Punkte x, ψ(x) und ψ 2 (x) in A, einer in B und einer in C liegt. Offenbar ist φ(B ∪ C) = A und φ(A) = B ∪ C,

Da es sich bei φ, ψ und ψ 2 um Bewegungen von SO 3 handelt, sind A, B, C und B ∪ C kongruent zueinander und ergeben somit, falls ein endlich-additives Maß existieren sollte, das widersprüchliche Gleichungssystem μ(A) = μ(B)

Damit ist kein endlich-additives Maß auf S 2 möglich. Wie Herr Hausdorff andeutet, und wie es beispielsweise in Herrn Chatterjis Kommentar von 2002 zu Herrn Hausdorffs Arbeit nachgelesen werden kann, 20 impliziert dies, dass es weder auf R 3 , noch auf einem reellen Raum höherer Dimension ein solches Maß geben kann. Wäre μ ∗ ein endlich-additives, SO 3 -invariantes und positives Maß auf R 3 , so wäre die Funktion μ, gegeben für A ⊆ S 2 durch μ(A) := μ ∗ ({t · a : a ∈ A, t ∈ (0, 1]}),

schon ein endlich-additives, SO

Am Ende seiner Arbeit bemerkt Herr Hausdorff, dass das Maßproblem für

endlich-additive Maße auf dem R 1 und dem R 2 weiterhin ungelöst sei und jedenfalls nicht dieselbe gerade gezeigte negative Lösung besitzt, da die jeweiligen Bewegungsgruppen dies nicht zulassen. 21

20 vgl. [Cha 2002], S. 13-14.

21 vgl. [Hau 1914a], S. 433.

Kapitel 1. Einleitung

Nachdem die Frage für R 1 und R 2 einige Jahre offen blieb, wurde sie schließlich fast ein Jahrzehnt später von dem polnischen Mathematiker Stefan Banach gelöst. In der noch jungen Zeitschrift Fundamenta Mathematicae, welche unter der Redaktion von Wacław Sierpiński und Stefan Mazurkiewicz an der Warschauer Universität erschien, veröffentlichte Herr Banach 1923 den Artikel Sur le problème de la mesure 22 , in dem er die Existenz einer Lösung des Maßproblems für den R 1 und den R 2 bewies und zeigte, dass ein solches Maß in keinster Weise eindeutig ist, sondern dass unendlich viele Lösungen für das Maßproblem existieren.

Theorem 1.2.3 (Banach, 1923).

Sowohl der R 1 als auch der R 2 lassen die Konstruktion je eines Maßes auf allen ihren Teilmengen zu. Diese Maße sind jedoch nicht eindeutig, es gibt

mindestens 2 ℵ 0 verschiedene, jedoch auch je eines, welches das Lebesguemaß erweitert.

Für die Konstruktion des Maßes beweist Herr Banach in einem Spezialfall des Satzes von Hahn-Banach die Existenz eines Integrals für alle beschränkten

Funktionen der Periode 1 auf dem Kreis mit Radius 1

2π . Dieses Integral besitzt die ersten fünf von den sechs Eigenschaften, die Herr Lebesgue 1902 von einem Integralbegriff auf den reellen Zahlen forderte. 23 Allein die Stetigkeit des Integrals hängt von dessen genauer Wahl ab. 24 Mit Hilfe dieses Integrals lässt sich das Maß für alle Teilmengen der reellen Zahlen dann wieder definieren, indem

jeder Menge A ⊆ [0, 1] der Wert

1

0

als Maß zugeordnet wird, wobei f A (x) die (beschränkte) charakteristische Funktion von A ist. Das heißt

f A (x) = 1 ⇔ x ∈ A

f A (x) = 0 sonst.

Eine Verallgemeinerung zu einem Maß auf [0, 1] und auf R 1 ergibt sich durch Isomorphie sofort.

22 vgl. [Ba 1923].

23 s. S. 13 und [Le 1904], S. 105-106.

24 vgl. [Ba 1923], S.29.

24 Abschnitt 1.2. Unlösbarkeit des Maßproblems

Das Lebesguesche Integralproblem, ob die Stetigkeit des Integrals notwendigerweise von den fünf anderen Eigenschaften bedingt wird, wurde somit ebenfalls gelöst. Offenbar ist die sechste Eigenschaft keine direkte Folgerung der ersten fünf, sondern sie ist, wie zu sehen sein wird, unabhängig von ihnen. Für den Existenzbeweis arbeitet man mit beschränkten periodischen Funktio-

nen auf einem Kreis mit Radius 1

2π , also mit Periode 1. Zuerst ist die Äquivalenzrelation ∼ B einzuführen. Zwei Funktionen f (x) und g(x) sind äquivalent,

f (x) ∼ B g(x),

wenn die Approximationen ihrer Riemannintegrale übereinstimmen. Genauer, wenn es für alle ε > 0 eine endliche Folge α 1 , . . . , α n von reellen Zahlen gibt, so dass für alle x ∈ [0, 1]

n

1

Da es sich nur um eine endliche Summe handelt, spielt die Messbarkeit keine Rolle und es lassen sich alle beschränkten Funktionen miteinander vergleichen. Neben dem Äquivalenzcharakter ist eine elementare und wichtige Eigenschaft der Relation die Invarianz unter Translationen des Arguments x. Ist a ∈ R, so gilt f (x) ∼ B g(x) ⇒ f (x + a) ∼ B g(x + a).

Nun werden die Restklassen F der Äquivalenzrelation ∼ B betrachtet, die Herr Banach Hyperfunktionen nennt. Es sei ein Körper Ω(F ) von Hyperfunktionen

F eine linear abgeschlossene Menge von Restklassen bezüglich ∼ B . Ω(R) be-

zeichne den kleinsten Körper von Restklassen, der alle riemannintegrierbaren Funktionen enthält und analog Ω(L) den kleinsten Körper von Restklassen, der alle lebesgueintegrierbaren Funktionen enthält.

Schließlich sei ein linearer, positiver Operator A auf einem Körper Ω(F ) eine Funktion, die jeder Restklasse in Ω(F ) eine reelle Zahl zuordnet. Dabei verhält sich A linear, A(c 1 · F 1 + c 2 · F 2 ) = c 1 A(F 1 ) + c 2 A(F 2 ),

und ergibt für positive Restklassen immer einen positiven Wert.

Kapitel 1. Einleitung

Eine Restklasse heißt positiv, wenn es ein ε > 0 gibt, so dass für alle x ∈ [0, 1] und alle endlichen Folgen α 1 , . . . , α n von reellen Zahlen gilt, dass

n

1

Da die betrachteten Funktionen beschränkt sind, existieren für jede Restklasse

F zwei Konstanten c 1 , c 2 ∈ R, so dass die Restklassen F 1 und F 2 , welche die

konstanten Funktionen c 1 , c 2 enthalten, F beschränken. Das heißt, für alle f ∈ F gibt es ε > 0, so dass für alle x ∈ [0, 1] und alle endlichen Folgen α 1 , . . . , α n von reellen Zahlen gilt, dass

n

1

Nun muss man einen Körper, der mit einem linearen, positiven Operator ausgestattet ist, konsistent erweitern. Für einen beliebigen Körper von Restklassen Ω(F ) mit einem linearen, positiven Operator A und eine Restklasse Φ sei also Ω(F, Φ) der kleinste Körper, der Ω(F ) und Φ umfasst. Herr Banach zeigt, dass es einen linearen, positiven Operator ¯

A gibt, der auf Ω(F, Φ) definiert ist und

auf Ω(F ) mit A übereinstimmt. Dafür stellt er fest, dass eine Restklasse Ψ aus Ω(F, Φ) immer die Form Ψ = F + c · Φ

hat, wobei F ∈ Ω(F ) und c ∈ R. Da Φ beschränkt ist, sei

α = inf ({A(F 1 ) : F 1 beschränkt Φ von oben }).

Es genügt für Ψ ∈ Ω(F, Φ)

¯ A(Ψ) = A(F ) + c · α

zu wählen.

26 Abschnitt 1.2. Unlösbarkeit des Maßproblems

Weiterhin betrachte eine Folge von Körpern (Ω β ) β<δ dergestalt, dass für jedes β < δ A β ein linearer, positiver Operator Ω β ist und für alle ξ < β

A β (F ) = A ξ (F ), wenn F ∈ Ω ξ . Dann gibt es einen linearen, positiven Ope-

rator A auf Ω = β<δ Ω β . Ist β(F ) die kleinste Ordinalzahl, für die F in Ω β vorkommt, so definiert nämlich

A(F ) := A β(F ) (F )

die gewünschte Funktion. Mittels einfacher transfiniter Induktion zeigt man nun leicht, dass für einen Körper von Restklassen Ω(F ), der die Restklasse 1 und damit alle konstanten Restklassen enthält und auf dem ein linearer, positiver Operator A definiert ist, schon ein weiterer linearer, positiver Operator

¯

A existiert, der auf allen Restklassen von beschränkten Funktionen definiert

ist und auf Ω(F ) mit A übereinstimmt.

Auf diese Weise erhält man für den Körper Ω(L) (der die Restklasse der Funktion 1 enthält) mit dem linearen, positiven Operator des Lebesgueintegrals

1

den linearen, positiven Operator ¯

A 0 auf allen beschränkten, periodischen Funk-

tionen, und mit der Definition

I 0 (f (x)) := ¯

A 0 (F ) , wenn f (x) ∈ F ,

den gewünschten Integralbegriff für alle beschränkten, periodischen Funktionen, der für lebesgueintegrierbare Funktionen mit dem Lebesgueintegral übereinstimmt. Wie beschrieben, ergibt sich daraus ein Maß auf R, welches auf den lebesguemessbaren Mengen das Lebesguemaß ist.

Für die Wohldefiniertheit des Operators in (1.1) genügt es wegen der Additivität des Lebesgueintegrals, die Wohldefiniertheit für eine konstante Restklasse zu zeigen, beispielsweise für die der Funktion 0. Sei also f (x) eine Funktion, deren Riemannsche Integralabschätzung Null ist, also so, dass für alle ε > 0 eine endliche Folge α 1 , . . . , α n existiert mit n n

Kapitel 1. Einleitung

Integration über die beiden äußeren Seiten der Ungleichungskette ergibt damit

1

1

Es ist jedoch für alle 1 ≤ k ≤ n

1 1

0 0

und damit auch

1 1

n

1

(L)

Aus (1.3) und (1.4) folgt sofort, dass dann für alle ε > 0

1

Dies reicht aus, um die Existenz eines vollen Maßes auf den reellen Zahlen zu beweisen.

Dieses Maß ist allerdings ganz und gar nicht eindeutig. Es gibt vielmehr we-

nigstens 2 ℵ 0 viele unterschiedliche Maße. Der entscheidende Satz hierfür ist der folgende:

Es existiert eine lebesgueintegrierbare Funktion φ(x) mit Lebesgueintegral 0, so dass jede riemannintegrierbare Funktion f (x), deren Approximation des Riemannintegrals echt größer ist als die von φ(x), schon ein Riemannintegral besitzt, welches

1

(R)

0

erfüllt.

Für die Konstruktion der Funktion wähle eine Lebesguenullmenge E, deren Komplement eine Menge erster Kategorie ist, 25 und definiere

φ(x) = 1 ⇔ x ∈ E

25 d.h. eine abzählbare Vereinigung nirgends-dichter Mengen. Für die Konstruktion von E

s. beispielsweise [Dei 2007], S. 371.

28 Abschnitt 1.2. Unlösbarkeit des Maßproblems

Offenbar ist das Lebesgueintegral von φ

1

(L)

0

Sei f (x) eine riemannintegrierbare Funktion, deren Integral-Approximation echt größer ist als die von φ(x). Nach Voraussetzung gibt es ein ε > 0 und eine endliche Folge α 1 , . . . , α n , so dass für jede reelle Zahl x gilt, dass n

1

und damit für alle k < ω

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

Die erste Summe konvergiert mit k gegen das Riemannintegral (R) und unterscheidet sich also für ein bestimmtes k vom Wert des Integrals nur um ε.

Verschiebt man für alle i und k die Lebesguenullmenge E auf dem Kreisbo-

gen jeweils um α i + j k , so ist die resultierende Menge E(α i + j k ) wieder eine

Lebesguenullmenge, deren Komplement eine Menge der ersten Kategorie ist. Damit ist der Schnitt

Kategorie, auf der die Funktion φ(x) = 1 ist. 26 Damit ist die zweite Summe einfach 1 und (1.6) wird zu

1

0

was die Behauptung zeigt. Außerdem ist die untere Grenze aller Riemanninte-

grale aller riemannintegrierbaren Funktionen f (x), welche für φ(x) in Betracht kommen, der Wert 1, denn für jedes δ > 0 gilt die nötige Relation schon für f (x) = 1 + δ.

Um nun ein Integral auf allen beschränkten Funktionen zu konstruieren, be-

trachtet man diesmal den Körper Ω(R) aller Restklassen von riemannintegrierbaren Funktionen und definiert den linearen, positiven Operator

1

26 vgl. [Dei 2007], S. 251-252, für das ausführliche Argument.

Kapitel 1. Einleitung

Sei Φ die Restklasse, welche die Funktion φ enthält. Dann gibt es einen kleinsten Körper Ω(R, Φ), der Ω(R) und Φ umfasst und auf dem ein linearer, positiver Operator A 1 definiert ist, der auf Ω(R) mit A übereinstimmt. Für eine beliebige Restklasse Ψ aus Ω(R, Φ) ist

A 1 (Ψ) = A 1 (F + c · Φ) = A(F ) + c,

wobei F ∈ Ω(R) und α = inf ({A(F 1 ) : F 1 beschränkt Φ von oben }) = 1 ist. Insbesondere gilt

A 1 (Φ) = 1.

(1.7) Erweitert man nun wie zuvor den Operator auf alle beschränkten periodischen Funktionen zu einem Operator ¯

ein Integral, welches für riemannintegrierbare Funktionen mit dem Riemannintegral übereinstimmt, jedoch für φ(x) den Wert 1 annimmt, während das Lebesgueintegral von φ(x) Null ist. Das resultierende Maß kann damit nicht das Lebesguemaß sein, denn φ selbst ist die charakteristische Funktion der Menge E.

An dieser Stelle ist sehr gut zu erkennen, wieso der Beweis wenigstens 2 ℵ 0 viele unterschiedliche Maße liefert. Legt man die entscheidende Funktion als φ(x) = c für ein beliebiges c > 0 fest, so erhält man mit I c jedes Mal ein anderes Integral und damit ein unterschiedliches Maß. Dies zeigt die Existenz und die Uneindeutigkeit eines vollen Maßes auf dem R 1 .

Durch eine iterierte Konstruktion nach der Art und Weise, wie sie vor allem durch Guido Fubini bekannt ist, lässt sich dieses Ergebnis direkt auf den R 2 übertragen. Dafür findet man je das Integral auf beiden eindimensionalen Projektionen einer reellwertigen Funktion f (x, y) des R 2 . Dies ist ein linearer, positiver Operator in Abhängigkeit einer freien Variable. Die beiden Operatoren sind also wieder Funktionen des R 1 und das arithmetische Mittel der durch sie, wie im Fall des R 1 , bestimmten Integrale ist eine Lösung des Problems für den des R 2 . Auf ähnliche Weise wie schon im eindimensionalen Fall erhält man schließlich 2 ℵ 0 viele unterschiedliche Maße.

30 Abschnitt 1.2. Unlösbarkeit des Maßproblems

Schon ein Jahr, nachdem Herr Banach seine Maßkonstruktion auf R 1 und R 2 veröffentlichte, erschien eine weitere seiner Arbeiten in der Fundamenta Mathematicae. Das dort präsentierte Ergebnis zeigte deutlicher denn je, dass die Lebesguesche, aber auch die Peano-Jordansche Maßkonstruktion kein volles Maß auf den reellen Zahlen ergeben konnte, da sich der dreidimensionale Euklidische Raum höchst paradox verhielt. Auf der anderen Seite sahen die Gegner des Auswahlaxioms in der Arbeit eine weitere Bestätigung dafür, dass die Existenz einer beliebigen Auswahlfunktion im Widerspruch zur allgemein als gültig anerkannten, grundlegenden Axiomatik der Mathematik stünde, und wurden in ihrer ablehnenden Haltung bestärkt. 27 Mit Alfred Tarski zusammen beschrieb Herr Banach 1924, wie es möglich ist,

mit Hilfe von Herrn Hausdorffs paradoxer Unterteilung der Sphäre S 2 und des Auswahlaxioms, je eine endliche Zerlegung zweier beliebiger beschränkter und

nicht-leerer Teilmengen des R 3 in gleich viele Teilmengen zu finden, so dass die Mengen der einen Zerlegungen mit denen der anderen je zueinander kongruente Paare bilden. 28 Das prominente Beispiel, welches oft zur Veranschaulichung herangezogen wurde, ist die Verdopplung einer Kugel: Eine Kugel beliebigen positiven Radius’ r > 0 lässt sich in endlich viele Teile zerlegen und so wieder zusammensetzen, dass zwei identische Kugeln mit Radius r enstehen. Theorem 1.2.4 (Banach, Tarski, 1924).

Je zwei nicht-leere beschränkte Teilmengen des R n , n ≥ 3, sind äquivalent bezüglich endlicher Zerlegungen. Zwei Mengen von R 1 oder R 2 , die äquivalent bezüglich endlicher Zerlegungen sind, haben dasselbe Maß. Je zwei nicht-leere beschränkte Teilmengen eines beliebigen Euklidischen Raums sind äquivalent bezüglich abzählbarer Zerlegungen.

Dafür werden zwei Mengen A und B als äquivalent bezüglich endlicher

f = B, wenn sich beide Mengen in endlich (finie) Zerlegungen angesehen, A viele, jeweils paarweise disjunkte Teilmengen zerlegen lassen, A 1 , . . . , A n und

B 1 , . . . , B n , so dass es für alle Indizes k, 1 ≤ k ≤ n, eine Bijektion

ϕ k : A k ∼ = B k gibt. Wie die Nomenklatur andeutet, handelt es sich bei f = um eine Äquivalenzrelation.

27 Diese Haltung findet sich beispielsweise bei Herrn Borel auf den Seiten 255-256 der

zweiten Edition von [Bo 1898] aus dem Jahr 1914. Dort kritisiert er Herrn Hausdorffs

Konstruktion für die Verwendung des Auswahlaxioms und erklärt dieses zum Ursprung der

widersprüchlichen Zerlegung der Sphäre. Das Banach-Tarski-Paradox verwendet dieselbe

Konstruktion und bekräftigt somit diese Kritik.

28 vgl. [BaTa 1924].

=, wie die Äquivalenz bezüglich Sehr leicht folgen einige Eigenschaften von

endlicher Zerlegungen von je zwei kongruenten Mengen,

A ∼ = B ⇒ A

f

die Existenz äquivalenter Teilmengen für solche A und B,

f f

und die Abgeschlossenheit unter endlichen Vereinigungen

f f

Offenbar liefert A

Unter Verwendung des Satzes von Schröder-Bernstein, welchen Herr Banach

in derselben Ausgabe der Fundamenta Mathematicae zum Satz von Schröder-

Bernstein-Banach verallgemeinert und für beliebige zweistellige Mengenrela-

f

tionen etabliert, 29 zeigt sich die wichtige Eigenschaft von

⇒ A = B.

Hieraus lässt sich sogleich ein nützliches Korollar ziehen:

f

C ⊆ B ⊆ A und A

⇒ A = B und B = C.

Die für diese Betrachtung wichtigsten Punkte sind aber die Erhaltung der maß-

f =. Sie leiten theoretischen und topologischen Eigenschaften von Mengen unter

sich direkt aus den Abschlusseigenschaften der Äquivalenzklassen der Relation

f = B. Ist A eine nirgends-dichte Menge 30 , so ist B ebenfalls nirgendsab. Sei A

dicht, und ist A eine Menge vom Maß Null für ein endlich-additives Maß (zum

Beispiel den Peano-Jordan-Inhalt), so ist B für dasselbe Maß ebenfalls eine

Nullmenge.

29 vgl. [Ba 1924].

30 d.h. wenn int(cl(A)) = ∅.

32 Abschnitt 1.2. Unlösbarkeit des Maßproblems

Mit diesem Ergebnis und dem Beweis der Existenz von endlich-additiven

Maßen auf dem R 1 und R 2 , ist zu sehen, dass zwei Mengen A, B in R 1 oder R 2 , f = B gilt, schon dasselbe Maß haben müssen. Andersherum formuliert für die A bedeutet dies, dass zwei Mengen, die ein unterschiedliches Maß besitzen, nicht äquivalent bezüglich endlicher Zerlegungen sein können. Betrachtet man jedoch reelle Räume höherer Dimension, also den R n für n ≥ 3, so lässt sich die erstaunliche paradoxe Zerlegung von nicht-leeren Mengen

konstruieren. Während hier der Fall des R 3 untersucht wird, lassen sich die Ergebnisse leicht verallgemeinern, indem statt der Kugeln n-dimensionale Zylindermengen der Form {(x 1 , . . . , x n ) : (x 1 −a 1 ) 2 +(x 2 −a 2 ) 2 +(x 3 −a 3 ) 2 = b 2 , c ≤ x k ≤ d, 4 ≤ k ≤ n}

betrachtet werden, wobei a 1 , a 2 , a 3 , b, c und d reelle Konstanten sind. Diese lassen sich identisch zerlegen und liefern das gewünschte Ergebnis. Das wichtigste Ergebnis der Arbeit ist eine Ausarbeitung des Hausdorffschen

Paradoxes. Zuerst ist zu beobachten, dass eine Kugel K ⊆ R 3 mit beliebigem Radius r > 0 zwei disjunkte Teilmengen A 1 , A 2 , A 1 ∩ A 2 = ∅, besitzt, so dass

f f

Nach Herrn Hausdorffs Konstruktion lässt sich die Oberfläche S ⊆ K der Kugel in vier disjunkte Teilmengen zerlegen:

S = A ∪ B ∪ C ∪ Q ,

wobei Q abzählbar ist und es Bewegungen (Drehungen) und damit bijektive Abbildungen gibt, so dass

A ∼ = B ∪ C

Man definiert nun jeweils Obermengen A, B, C und Q. Sei p der Mittelpunkt von K und sei

A := {x ∈ K : ∃z ∈ A ∃t ∈ (0, 1] (x = p · (1 − t) + z · t)}.

Kapitel 1. Einleitung

B, C und Q werden analog definiert und bestehen also aus der Vereinigung

aller Radien von K, deren äußerer Punkt in der jeweils korrespondierenden

Menge der Sphäre S liegt. Man erhält

K = A ∪ B ∪ C ∪ Q ∪ {p}

Um zu zeigen, dass das Maß der abzählbaren Mengen Q Null ist, hatte Herr

Hausdorff die Menge so rotiert, dass eine zu ihr kongruente Teilmenge Q

1

enstand, die eine echte Teilmenge des Komplements von Q in der Sphäre war,

Q 1 ⊂ A ∪ B ∪ C . Aus dieser Menge Q 1 erhält man analog zur Konstruktion

der Menge A eine Menge P , für die gilt

P ⊂ A ∪ B ∪ C

Nach (1.10) gilt offenbar

f f

womit man wegen der Transitivität von

erhält.

Setzt man nun

A 1 := A ∪ Q ∪ {p},

so ergibt sich wegen der Disjunktheit der Zerlegung von K und der Abgeschlos-

f

= unter disjunkten Vereinigungen senheit von

34 Abschnitt 1.2. Unlösbarkeit des Maßproblems

Auf der anderen Seite gilt nach (1.10) und (1.12) auch f

= A ∪ B ∪ C,

was die Existenz einer Bijektion ϕ zwischen B und A ∪ B ∪ C garantiert. Da die Menge P in A ∪ B ∪ C enthalten ist, gibt es eine echte Teilmenge

R ⊂ B, R = B, die das Urbild von P unter ϕ ist, das heißt

f

Da R = B, gibt es ein q ∈ B − R und man setzt

A 2 := C ∪ R ∪ {q}.

R und {q} sind zu C disjunkt, weil R eine Teilmenge von B, und q ein Element

von B ist. Wegen der Wahl von q außerhalb von R ist A 2 insgesamt als disjunkte Vereinigung definiert. Zudem gilt nach (1.13) und (1.14) schließlich f

Es ist sofort zu sehen, dass die Mengen A 1 und A 2 disjunkt sind, weshalb es sich um die gesuchten Teilmengen von K aus (1.9) handelt. Als nächstes erkennt man dann, dass für je zwei kongruente Kugeln

K 1 , K 2 ⊆ R 3 , K 1 ∼ = K 2 , schon gilt, dass

f

Seien nämlich A 1 und A 2 disjunkte Teilmengen von K 1 , so dass A 1 f

= K 1 . Damit ist auch K 2 = A 2 und die korrespondierende Bijektion liefert

A 2

eine Menge B ⊆ A 2 , so dass B f

= unter disjunkten Vereinigungen gilt dann f

A 1 ∪ B

Kapitel 1. Einleitung

Es ist aber

A 1 ∪ B ⊆ K 1 ⊆ K 1 ∪ K 2 ,

und nach dem Satz von Schröder-Berstein-Banach (1.8) folgt sofort

f = K 1 ∪ K 2 .

K 1

Enthält nun eine beschränkte Menge A ⊆ R 3 eine beliebige Kugel K vom

Radius r > 0, so gilt

f = K.

A

Da A beschränkt und R 3 archimedisch ist, existiert nämlich eine endliche Folge

von Kugeln (K i ), 1 ≤ i ≤ n, von der jede einzelne zu K kongruent ist und die

A überdecken,

K ∼ = K i , für 1 ≤ i ≤ n,

Dann gilt schon

f = K ∪ K i , für 1 ≤ i ≤ n,

und damit

f

Schließlich ist

und es folgt wieder mit dem Satz von Schröder-Berstein-Banach, dass

f = K.

A

Seien nun A und B zwei nicht-leere, beschränkte Teilmengen des R 3 . Dann

existieren zwei Kugeln K 1 ⊆ A und K 2 ⊆ B, die (ohne Einschränkung) den-

f selben Radius r > 0 besitzen, also kongruent sind. Es folgt K 1 = K 2 und

= K 1 und B = K 2 .

Also gilt

f = B.

36 Abschnitt 1.3. Lösungen des Maßproblems

Herr Banach und Herr Tarski zeigten also mit ihrer paradoxen Zerlegung nicht

nur, dass es unmöglich ist, ein Maß auf dem R n für n ≥ 3 zu definieren, sondern auch gleichzeitig, dass eine solche paradoxe Zerlegung in R 1 und R 2 nicht existiert. Mit leichten Modifikationen im Beweis zeigten sie anschließend die-

selbe endliche Zerlegungseigenschaft für Mengen der Sphäre S 2 ⊆ R 3 . Nun kann man analog zur Äquivalenz bezüglich endlicher Zerlegungen die Äquivalenz bezüglich abzählbarer Zerlegungen definieren. Zwei Mengen A, B

d = B, seien äquivalent bezüglich abzählbarer (dénombrable) Zerlegungen, A

wenn jeweils abzählbare Zerlegungen (A i ) i<ω und (B i ) i<ω , sowie für alle i < ω

eine Bijektion ϕ i existieren, so dass ϕ i : A i ∼ = B i .

f d = gelten größtenteils analoge Eigenschaften zu denen von =. Sei beispiels-Für

d = B. Ist A eine Menge der ersten Kategorie 31 , so ist B ebenfalls eine weise A Menge erster Kategorie, und ist A eine Lebesguenullmenge, so hat B ebenfalls das Lebesguemaß Null.

Für diese neue Relation gilt, wie Herr Banach und Herr Tarski zum Abschluss ihrer Arbeit zeigten (und wie es schon zu erwarten war), der Satz, dass für

jedes n ≥ 1 je zwei beliebige Mengen A, B ⊆ R n äquivalent bezüglich abzählbarer Zerlegungen sind.

Schließlich sind A und B in R 1 oder R 2 genau dann fast-sicher äquivalent bezüglich abzählbarer Zerlegungen (das heißt äquivalent bis auf je eine Lebesguenullmenge), wenn sie dasselbe Maß besitzen.

1.3 Lösungen des Maßproblems

Beim Studium der Ergebnisse zur negativen Lösung des Maßproblems im vorangehenden Abschnitt drängen sich einige Fragen auf. In den Beispielen von nicht messbaren reellen Mengen und damit von der Nicht-Existenz eines vollen Maßes auf den reellen Zahlen trat jedesmal eine paradox erscheinende Konstruktion von Mengen der Euklidischen Räume auf. Wie eng sind also, erstens, die Existenz von Maß und Paradox miteinander verknüpft? Die Antwort lautet, wie es Alfred Tarski zu zeigte, dass ein volles Maß genau dann existiert, wenn es keine solche paradoxe Erscheinung gibt.

Um von der sehr vagen Bezeichnung einer paradoxen Erscheinung fort zu kommen, bedarf es einer exakteren Definition. Mit dem Ziel, den wahren Grund

der Nicht-Existenz von Maßen in R n ausfindig zu machen, beschäftigte sich 31 d.h. eine abzählbare Vereinigung nirgends-dichter Mengen.

Kapitel 1. Einleitung

Johann von Neumann nach Veröffentlichung der Arbeit von Herrn Banach und Herrn Tarski eingehend mit dem Maßproblem und dem mit ihm verbundenen Auftreten der besagten Paradoxe. Schließlich erschien 1929 in der Fundamenta Mathematicae ein Aufsatz von Herrn von Neumann, der ein neues Licht auf die Maßproblematik warf. In ihm zeigte er, dass der Grund für das scheinbar widersprüchliche Verhalten der Euklidischen Räume bestimmte Eigenschaften der unterliegenden Gruppe von Bewegungen waren. 32 Herr Lebesgue hatte nach einem Maß verlangt, welches invariant bezüglich längentreuer Abbildungen sein sollte. Dass gerade die längentreuen Bewegungen der Euklidischen Räume sich paradox verhalten, schließt eine solche Maßdefinition natürlich aus.

Ist es, zweitens, auf der anderen Seite möglich, das Maßproblem so zu ändern und umzuformulieren, dass man nicht mehr in den Konflikt mit einer paradoxen Gruppe kommt? Diesen Ansatz verfolgte Herr Banach gemeinsam mit Kazimierz Kuratowski, als er, ebenfalls im Jahre 1929, die Forderung der Bewegungsinvarianz des Maßes durch die schwächere der Nicht-Trivialität ersetzte. Während auch dieses Maßproblem keine Lösung auf den reellen Zahlen besitzt, eröffneten diese Untersuchungen einer neuen Theorie den Weg, der Theorie der großen Kardinalzahlen. Es ergab sich, unter Mitarbeit von Stanisław Ulam und Alfred Tarski, dass eine Menge, auf der die Definition eines vollen Maßes möglich ist, mindestens gleichmächtig zur kleinsten unerreichbaren Kardinalzahl sein musste.

Die dritte Frage betrifft das Auswahlaxiom, welches von Ernst Zermelo fast genau zur selben Zeit wie das Maßproblem formuliert wurde. Das Axiom erlaubt eine simultane Auswahl und Verwendung beliebig vieler, nicht weiter spezifizierter Objekte und war, seitdem es Herr Zermelo als Teil seiner Axiomatisierung der Mengenlehre aufstellte, kontrovers diskutiert und vom philosophischen Standpunkt aus zweifelhaft. 33 In den behandelten Konstruktionen einer nicht messbaren Menge und des Banach-Tarski-Paradoxes spielte der Gebrauch des Auswahlaxioms eine große Rolle. Auch die Konstruktion der Maße auf R 1 und R 2 greift auf das Axiom zurück. 34

32 vgl. [vNeu 1929].

33 Für eine ausführliche Betrachtung des Streits um das Auswahlaxiom s. bspw. [Mo 1978].

34 vgl. [Mor 1949]. Auf der anderen Seite zeigte Anthony Morse 1949, dass sich die Nicht-

Existenz paradoxer Zerlegungen im R 1 und im R 2 durchaus ohne den Einsatz des Auswahlaxioms zeigen lässt.

38 Abschnitt 1.3. Lösungen des Maßproblems

Ist es also, drittens, möglich, bei der Maßkonstruktion nur von einer abgeschwächten Version des Auswahlaxioms Gebrauch zu machen und so die Existenz von Paradoxen zu umgehen? Ein vollständiger Verzicht scheint für das Maßproblem in der ursprünglichen Formulierung mit Blick auf die Forderung der σ-Additivität nicht möglich. Einen viel versprechenden Ansatz hält das Principle of Dependent Choices (DC) bereit, eine leichten Verschärfung des Auswahlaxioms für abzählbare Auswahlmengen. Wie zu sehen sein wird, lässt sich aber leider auch mit diesem abgeschwächten Axiom das Maßproblem nicht zur vollen Zufriedenheit lösen.

Johann von Neumann versuchte, die Maßtheorie in seiner Arbeit aus dem Jahre 1929 auf neue Füße zu stellen. Statt einer Maßfunktion auf den Teilmengen der reellen Zahlen definierte er den allgemeineren Begriff eines endlich-additiven Maßes für eine Menge M, auf der eine Gruppe G operiert. Ein solches sogenanntes [M, W, G]-Maß μ, wobei W eine ausgezeichnete Teilmenge von M ist, ordnet jeder Teilmenge A von M eine reelle Zahl zu, derart, dass (a) für zwei disjunkte Mengen A, B ⊆ M ist

μ(A ∪ B) = μ(A) + μ(B),

(b) für A ⊆ M und σ ∈ G ist

μ(σA) = μ(A),

(c) μ(W) = 1.

Fasst man nun G als (von links) auf sich selbst operierend auf, das heißt jedes σ ∈ G als bijektive Abbildung von den Elementen von G nach G, so bezeichnet man G allgemein als eine messbare Gruppe, wenn ein [G, G, G]-Maß existiert. Herr von Neumann zeigt, dass es mit Hilfe des Auswahlxioms möglich ist, für messbare Gruppen eine Charakterisierung der Existenz eines [M, W, G]- Maßesfür beliebige M und W ⊆ M anzugeben, und es wird deutlich, dass der Grund für das Auftreten von paradoxen Erscheinungen in M mit der speziellen Beschaffenheit der unterliegenden Gruppe G zusammenhängt.

Der erste Teil der Arbeit orientiert sich an Herrn Banachs Beweis für die Exis-

tenz von Maßen auf R 1 und R 2 . Neben dem Begriff der messbaren Gruppe definiert man ein Integral für beschränkte (reellwertige) Funktionen f von

Kapitel 1. Einleitung

einer Gruppe G. Ein solches Integral ist festgelegt als ein linearer, positiver Operator A(f ), der einer Funktion f einen reellen Wert zuweist, so dass die Bedingungen (α) A(af ) = a · A(f ), A(f + g) = A(f ) + A(g), für alle a ∈ R, f ,g Funktionen von G, (β) f ≥ 0 ⇒ A(f ) ≥ 0,

(γ) für die Funktion f τ , definiert durch f τ (σ) = f (τ ◦ σ) ist A(f τ ) = A(f ),

(δ) f ≡ 1 ⇒ A(f ) = 1

erfüllt sind. Neben der Linearität und der Positivität ist also insbesondere auch die Invarianz unter Gruppenoperationen für dieses Integral erfüllt, welches

beispielsweise in der Gruppe der Translationen auf R 1 die Translationsinvarianz bedeutet.

Eine Gruppe G, die ein solches Integral besitzt, ist in jedem Fall eine messbare Gruppe, denn einer Teilmenge A ⊆ G weise man einfach wieder das Maß μ(A) := A(f A )

zu, wobei f A die charakteristische Funktion von A ist. Es gilt aber auch die Umkehrung, denn eine messbare Gruppe besitzt ein Integral, welches die genannten Bedingungen erfüllt. Eine beschränkte Funktion auf einer Gruppe nimmt für eine beliebige Maschenweite ε > 0 einer äquidistanten, abzählbaren Unterteilung (k z ) z∈Z von R nur in endlich vielen Intervallen [k z , k z+1 ) dieser Unterteilung Werte an. Sei I(f, ε, z) := {σ ∈ G : k z ≤ f (σ) < k z+1 }.

Dann lässt sich ein Integral auf G definieren durch

A(f ) := lim ε→0 z∈Z

40 Abschnitt 1.3. Lösungen des Maßproblems

Mit diesen Definitionen ist eine Charakterisierung der Existenz für ein [M, W, G]-Maß möglich.

Theorem 1.3.1 (von Neumann 1929). Sei G eine messbare Gruppe und M eine Menge, auf der G operiert. Es gibt genau dann ein [M, W, G]-Maß, wenn für die Menge W ⊆ M folgende Bedingung gilt:

Für alle endlichen Folgen von reellen Zahlen a 1 , . . . , a k ∈ R und Gruppenelementen σ 1 , . . . , σ k ∈ G, k < ω, mit

k

und für alle x ∈ M gilt

a 1 · f σ 1 W (x) + · · · + a k · f σ k W (x) > 0,

wobei f σ i W die charakteristischen Funktionen der Mengen σ i W sind.

Denn angenommen, es existiert sowohl ein [M, W, G]-Maß als auch a 1 , . . . , a k ∈ R, σ 1 , . . . , σ k ∈ G, k < ω, und x ∈ M, so dass einerseits

k

aber andererseits

k

Sei dann für eine Menge E ∈ P({1, . . . , k}) die folgende Menge definiert: