Einführung in ein nonpolares
sphärisches Koordinatensystem
mit zwei bis vier Komponenten,
das Ähnlichkeit mit gerichteten
mechanischen Größen in der Ebene hat,
für zwei Komponenten eine
graphische Ortsermittlung direkt
auf der Kugeloberfläche und
ein sphärisches Getriebe ermöglicht. Schon vor längerer Zeit fand ich die spitzen und schmalen Dreiecke bei den
üblichen Koordinatennetzen auf einer Kugeloberfläche (polares System) an den
beiden Polen nicht besonders ästhetisch und angenehm. Wäre es da nicht möglich,
eine Alternative zu entwickeln, die den recht- (oder auch schief-)winkligen
kartesischen Koordinaten (zumindest in Polnähe, d. h., für zwei kleine Winkel)
ähnlich ist? Dieses Zwei-Winkel-System lässt sich leicht finden.
Um diese Gesetzmäßigkeit auch bei (sehr) kleinen Winkeln (quasi ebenen
Streckenlängen) und anderen in der Ebene angeordnete physikalischen Größen (z. B.
Kräften, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen) anwenden zu können, wurde
das Zwei-Komponenten-System für bis zu vier Komponenten erweitert. Trotzdem
sollte auch die erweiterte Ausführung eine möglichst einfache Gestalt annehmen.
Von den zahlreichen diversen möglichen Alternativen von Gleichungen mit
unterschiedlichen Winkelfunktionen (mit ganzen und halben Winkeln und diversen
Potenzen) und deren Kombinationen wird der folgende Aufsatz noch eine relativ
einfache Form darstellen können.
Schlüsselbegriffe: Komponente, Seitenwinkel, Richtungswinkel, Seitenkosinussatz,
Betrag der Resultanten, Richtung der Resultanten, Eigenschaften, Sternkonfiguration,
(erweiterte) Hauptgleichung, zusätzliche Gleichung, Gewichtungsfaktor
w, Teilfaktor k, Teilfaktor p
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Definition der Seitenwinkel (Komponenten) und des bzw. der Richtungswinkel(s)
3 Die vier Eigenschaften
4 Das Zwei-Komponenten-System
4.1 Entwicklungs-Einleitung
4.2 Der Seitenkosinussatz
4.3 Der Betrag der Resultanten
4.4 Die Richtung der Resultanten
4.5 Zahlenbeispiele zur Resultanten im rechtwinkligen System
4.6 Die Umkehrfunktionen für das rechtwinklige System
4.7 Das Aussehen des Koordinatennetzes
4.8 Hinweis zum sphärischen Getriebe
5 Das Mehr-Komponenten-System
5.1 Hinweis bezüglich der Eigenschaften
5.2 Die erweiterte Hauptgleichung
5.3 Die zusätzliche Gleichung
5.4 Der Gewichtungsfaktor w
5.4.1 Vorbetrachtung
5.4.2 Der Teilfaktor k
5.4.3 Der Teilfaktor p
5.4.4 Der Gewichtungsfaktor w
5.5 Die allgemeine Richtung der Resultanten
5.6 Der allgemeine Betrag der Resultanten
6 Zusammenfassung
Zielsetzung & Themen
Die Arbeit verfolgt das Ziel, ein nonpolares sphärisches Koordinatensystem zu entwickeln, das eine Alternative zu üblichen polaren Systemen darstellt. Sie untersucht, wie physikalische Größen wie Kräfte oder Geschwindigkeiten auf der Kugeloberfläche mittels zwei bis vier Komponenten mathematisch erfasst und graphisch ermittelt werden können.
- Entwicklung eines Zwei-Komponenten-Systems mit Ähnlichkeit zu kartesischen Koordinaten.
- Erweiterung auf Mehr-Komponenten-Systeme zur präzisen Richtungs- und Betragsermittlung.
- Einführung mathematischer Gewichtungsfaktoren zur Optimierung der Resultantenberechnung.
- Anwendung des Systems als sphärisches mechanisches Getriebe.
Auszug aus dem Buch
4 Das Zwei-Komponenten-System
Bei einem beliebigen Richtungswinkel kann man in einem Koordinatensystem mit zwei Seitenwinkeln den Betrag und die Richtung der Resultanten σ (sigma) dieser beiden Winkel direkt auf der Kugeloberfläche graphisch ermitteln (Abb. 3).
Verbindet man die Endpunkte der beiden Komponenten α1 und α2 mit einem Bogen auf einem Großkreis der Kugel und ermittelt dann die Mitte diese Bogens, so erhält man den halben Betrag und die Richtung der Resultanten σ. Nach Verdoppelung dieser Betragshälfte auf einem weiteren Großkreis, vom Koordinatenursprung ausgehend, hat man dann auch den Betrag von σ. Zur rechnerischen Ermittlung des Betrages und der Richtung der Resultanten wird der Seitenkosinussatz der Elliptischen Geometrie drei mal angewendet.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Die Einleitung motiviert die Entwicklung eines alternativen, nonpolaren Koordinatensystems zur ästhetischen und mathematischen Verbesserung der Ortsermittlung auf der Kugeloberfläche.
2 Definition der Seitenwinkel (Komponenten) und des bzw. der Richtungswinkel(s): In diesem Kapitel werden die grundlegenden Winkelarten sowie die Anordnung der Komponenten im Kugelmodell definiert.
3 Die vier Eigenschaften: Hier werden vier essenzielle Eigenschaften festgelegt, um mathematische Widersprüche zu vermeiden und den Übergang zu ebenen kartesischen Koordinaten zu gewährleisten.
4 Das Zwei-Komponenten-System: Dieses Kapitel behandelt die mathematischen Grundlagen, Berechnungsformeln und Anwendungsmöglichkeiten eines Zwei-Komponenten-Systems inklusive der Umkehrfunktionen.
5 Das Mehr-Komponenten-System: Es wird die Erweiterung auf drei oder mehr Komponenten beschrieben, wobei spezielle Gewichtungsfaktoren eingeführt werden, um die Resultanten korrekt zu bestimmen.
6 Zusammenfassung: Das Fazit fasst die Vorteile des Systems zusammen und betont die Anwendbarkeit für physikalische Aufgabenstellungen in der Statik und Kinematik.
Schlüsselwörter
Komponente, Seitenwinkel, Richtungswinkel, Seitenkosinussatz, Resultantenbetrag, Resultantenrichtung, sphärisches Koordinatensystem, Sternkonfiguration, Gewichtungsfaktor, Teilfaktor k, Teilfaktor p, sphärisches Getriebe, elliptische Geometrie, Koordinatennetz, Mehr-Komponenten-System.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in der Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit befasst sich mit der Einführung eines neuartigen, nonpolaren sphärischen Koordinatensystems für zwei bis vier Komponenten.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Zentrale Themen sind die mathematische Modellierung von Richtungen und Beträgen auf einer Kugeloberfläche sowie deren Ähnlichkeit zu mechanischen Größen in der Ebene.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Ziel ist die Schaffung eines Systems, das eine graphische Ortsermittlung direkt auf der Kugel ermöglicht und für Berechnungen in der Statik oder Kinematik genutzt werden kann.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es werden Methoden der sphärischen Geometrie, insbesondere der Seitenkosinussatz der elliptischen Geometrie, angewendet und um spezielle Gewichtungsfaktoren ergänzt.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil erstreckt sich von der Definition der Winkel über die mathematische Herleitung der Resultanten im Zwei-Komponenten-System bis hin zur komplexen Erweiterung für Mehr-Komponenten-Systeme.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Schlüsselbegriffe sind unter anderem Komponenten, Seitenwinkel, Resultanten, Gewichtungsfaktoren und sphärisches Getriebe.
Warum wird ein Gewichtungsfaktor w verwendet?
Der Gewichtungsfaktor w dient dazu, bei Systemen mit mehr als zwei Komponenten die Resultante mathematisch korrekt zu bestimmen, wenn die einfachen Summen nicht ausreichen.
Was ist die „reguläre Stern-Konfiguration“?
Dies bezeichnet eine Anordnung, bei der die Resultante den Wert Null hat, beispielsweise bei drei gleich großen Komponenten unter 120 Grad.
Inwiefern ist das System für Getriebe geeignet?
Das Modell lässt sich als mechanisches Getriebe mit vier oder sechs Gelenken interpretieren, mit dem sich Objekte auf einer Hohlkugeloberfläche bewegen lassen.
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- Friedhelm Thorn (Author), 2008, Einführung in das Multi-Circo-Octo-Sphäricum, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/120201
