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Inhalt

Verzeichnis  der Abbildungen  3

1  Einleitung  4

2  Definition der Seitenwinkel (Komponenten) und des bzw. der  

Richtungswinkel  (s)  4

3  Die vier Eigenschaften  5

4  Das Zwei-Komponenten-System  6

4.1  Entwicklungs-Einleitung  6

4.2  Der Seitenkosinussatz  6

4.3  Der Betrag der Resultanten  7

4.4  Die Richtung der Resultanten  7

4.5  Zahlenbeispiele zur Resultanten im rechtwinkligen System  7

4.6  Die Umkehrfunktionen für das rechtwinklige System  8

4.7  Das Aussehen des Koordinatennetzes  9

4.8  Hinweis zum sphärischen Getriebe  9

5  Das Mehr-Komponenten-System  10

5.1  Hinweis bezüglich der Eigenschaften  10

5.2  Die erweiterte Hauptgleichung  10

5.3  Die zusätzliche Gleichung  10

5.4  Der Gewichtungsfaktor w  11

5.4.1  Vorbetrachtung  11

5.4.2  Der Teilfaktor k  11

5.4.3  Der Teilfaktor p  15

5.4.4  Der Gewichtungsfaktor w  16

5.5  Die allgemeine Richtung der Resultanten  17

5.6  Der allgemeine Betrag der Resultanten  18

6  Zusammenfassung  20

Autor   20

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Verzeichnis der Abbildungen Abb. 1: Definition der Winkelarten 4

Abb. 2: Die „Mercedesstern“- und „Scherenkreuz“-Konfiguration 5

Abb. 3: Graphische Ermittlung des Betrages und der Richtung der Resultanten 6 Abb. 4: Koordinatennetz in in der um 30° gekippten Seitenansicht und in der Draufsicht sowie 45°-Koordinatenlinien in der „frontalen“ Seitenansicht und in der Draufsicht 9

Abb. 5: Der Teilfaktor k bei diversen Kombinationen dreier Komponenten (Gleichung (5.3) 12

Abb. 6: Der Teilfaktor k bei diversen „vierten“ Komponenten (Gleichung (5.3)) 13

Abb. 7: Der Teilfaktor k bei diversen „vierten“ Komponenten (Gleichung (5.3z) mit dem Faktor 6 und der Potenz 16) 13

Abb. 8: Der Teilfaktor k bei diversen Kombinationen dreier Komponenten (Gleichung (5.4) mit n = 125) 14

Abb. 9: Der Teilfaktor k bei diversen Kombinationen mit αi = 45° und zwei

weiteren Komponenten (Gleichung (5.4) mit n = 150) 15

Abb. 10: Die Beträge der Resultanten und der Faktor w in Abhängigkeit von den Komponenten (Gleichung (5.8); symmetrische Anordnung) 18

Abb. 11: Die Beträge der Resultanten und die Faktoren p und w in Abhängig-keit von den Komponenten (Gl. (5.8); asymmetrische Anordnung) 19

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1 Einleitung

Schon vor längerer Zeit fand ich die spitzen und schmalen Dreiecke bei den üblichen Koordinatennetzen auf einer Kugeloberfläche (polares System) an den beiden Polen nicht besonders ästhetisch und angenehm. Wäre es da nicht möglich, eine Alternative zu entwickeln, die den recht- (oder auch schief-)winkligen kartesischen Koordinaten (zumindest in Polnähe, d. h., für zwei kleine Winkel) ähnlich ist? Dieses Zwei-Winkel-System lässt sich leicht finden. Um diese Gesetzmäßigkeit auch bei (sehr) kleinen Winkeln (quasi ebenen Streckenlängen) und anderen in der Ebene angeordnete physikalischen Größen (z. B. Kräften, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen) anwenden zu können, wurde das Zwei-Komponenten-System für bis zu vier Komponenten erweitert. Trotzdem sollte auch die erweiterte Ausführung eine möglichst einfache Gestalt annehmen. Von den zahlreichen diversen möglichen Alternativen von Gleichungen mit unterschiedlichen Winkelfunktionen (mit ganzen und halben Winkeln und diversen Potenzen) und deren Kombinationen wird der folgende Aufsatz noch eine relativ einfache Form darstellen können.

Schlüsselbegriffe: Komponente, Seitenwinkel, Richtungswinkel, Seitenkosinussatz, Betrag der Resultanten, Richtung der Resultanten, Eigenschaften, Sternkonfiguration, (erweiterte) Hauptgleichung, zusätzliche Gleichung, Gewichtungs-faktor w, Teilfaktor k, Teilfaktor p

Soll ein schiefwinkliges System aus zwei oder mehreren Komponenten einer bestimmten physikalischen Größe, z. B. Winkel, Kräfte oder Geschwindigkeiten, betrachtet werden, so sind im ersten Beispiel zwei Winkelarten erforderlich.

Die Komponenten sind die „Seiten“-Winkel αi. Deren Schenkel treffen sich im

Kugelmittelpunkt M. Diese Winkel selber beginnen am Koordinatenursprung 0, der auf der Kugeloberfläche liegt, und sind dort unter dem bzw. den (eigentlichen) „Richtungs“-Winkel(n) ßij angeordnet (Abb. 1).

Für kleine Winkel αi kann man sich das Koordinatensystem als (geometrische)

Addition von Vektoren (in der Ebene), wie sie bei der Ermittlung der Resultanten (beliebig) gerichteter physikalischer Größen vorkommt, vorstellen.

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3 Die vier Eigenschaften

Die folgenden Eigenschaften sind zu beachten, um keine Wiedersprüche zu bereits bestehenden Gesetzmäßigkeiten zu erhalten: Bei zwei Komponenten:

1. Sind ein Winkel αi gleich 180° (es lässt sich kein ßij angeben) und ein anderer Winkel αj beliebig groß (beide Winkel liegen auf einem Großkreis), so

addieren sich beide Winkel, was in diesem Fall wegen der Periodizität auch einer Subtraktion entspricht. Bei zwei bis vier Komponenten:

2. Wenn der bzw. die Richtungswinkel gleich 0°, 180° oder 0° und 180° ist bzw. sind (die Seitenwinkel sind gleich- oder/und entgegengerichtet), erhält man die Summe (bzw. Differenz) der Winkel.

3. Die dritte Eigenschaft ist die, dass für kleine αi das System in das ebene

kartesische Koordinatensystem übergeht. Bei drei und vier Komponenten:

4. Bei einer regulären „Stern“-Konfiguration hat die Resultante den Wert Null. Das ist der Fall, wenn entweder drei gleich große Komponenten unter jeweils 120° („Mercedesstern“-Konfiguration) oder wenn bei vier Komponenten diese jeweils paarweise in gleicher Größe gegenüber dem Koordinatenursprung („Scherenkreuz“-Konfiguration) angeordnet sind (Abb. 2).

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Bei einem beliebigen Richtungswinkel kann man in einem Koordinatensystem mit

zwei Seitenwinkeln den Betrag und die Richtung der Resultanten σ (sigma) dieser

beiden Winkel direkt auf der Kugeloberfläche graphisch ermitteln (Abb. 3).

Verbindet man die Endpunkte der beiden Komponenten α1 und α2 mit einem

Bogen auf einem Großkreis der Kugel und ermittelt dann die Mitte diese Bogens, so

erhält man den halben Betrag und die Richtung der Resultanten σ. Nach Verdop-

pelung dieser Betragshälfte auf einem weiteren Großkreis, vom Koordinaten-

ursprung ausgehend, hat man dann auch den Betrag von σ. Zur rechnerischen

Ermittlung des Betrages und der Richtung der Resultanten wird der Seitenkosinussatz der Elliptischen Geometrie drei mal angewendet.

Dieser Satz besagt, dass in einem sphärischen Dreieck der Kosinus eines der drei Seitenwinkel gleich dem Produkt der Kosinus der beiden anderen Seitenwinkel plus dem Produkt aus dem Kosinus des Winkels, der von den letzteren eingeschlossen wird, und den Sinus dieser beiden Winkel. In einer Gleichung sieht der Satz folgendermaßen aus:

cos αk* = cos αi * cos αj + cos ßij * sin αi * sin αj

Der Index k* ist den Indices i und j in obiger Gleichung ebenbürtig, ist aber nicht zu verwechseln mit dem Index k der Systematik der Indices beim später behandelten Mehr-Komponenten-System.